8 - Resistencia Ao Escoamento - Esc Uniforme

RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTOESCOAMENTO UNIFORME Resistência ao Escoamento  Resultante do atrito entre a água e as superfícies de contato  Profundas discordâncias entre os hidráulicos ”experimentais “e os ”hidrodinâmicos”  Advento da Mecânica dos Fluidos no início do Século XX Conceito de camada limite Ludwig Prandtl – Teoria da camada limite, década de 1920  Região afastada do corpo sólido onde o fluido é suposto perfeito (U=cte., μ≈0, esc. irrotacional)  Teoria Hidrodinâmica Clássica  Região de pequena espessura, próxima ao corpo sólido, onde a velocidade decresce, tendendo a zero  A esta região dá-se o nome de “Camada Limite”  As perdas entre o fluido e o corpo ocorrem dentro dessa camada; fora dela o escoamento pode ser considerado sem atrito.  Camada Limite 0 subcamada laminar  distribuição parabólica da velocidade    0 subcamada turbulenta  distribuição logarítmica da velocidade Rugosidade e tipos de escoamento liso ondulado rugoso Perfis da superfície do canal com k< Altura característica de rugosidade k Rugosidade relativa:  k/Rh Altura crítica de rugosidade k   c 5C  gU C – Coeficiente de Chézy ~ C  8 g / f  K < Kc  Escoamento Hidraulicamente Liso  k >kc  Escoamento Hidraulicamente Rugoso Diagrama de Moody Modificado : C versus Re Regiões: Hidráulicamente liso. transição e plenamente rugoso . Tipos de escoamento rugoso  Escoamento com rugosidade isolada: vorticidade inteiramente dissipada no próprio elemento  Escoamento com rugosidade combinada: influência da vorticidade entre elementos distintos  Escoamento quase liso: fluxo passa sobre as cristas dos elementos rugosos . ANÁLISE GLOBAL DA RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO Escoamento uniforme: caso particular do escoamento variado montante x y U jusante x + Δx y + (dy/dx)Δx U + (dU/dx) Δx Forças atuantes:  Pressão: F1  Ay Sendo F2  Ay F3  A dy x dx y a altura do centróide da área de fluxo A e o peso específico da água .  Peso: W  Axsen  sen  tg   dz dx  W  A dz x dx  Atrito: F f   0 P x  0 : tensão de arraste  Resultante:  F  F1  ( F2  F3 )  W  F f  F  Ay  Ay  A dy dz x  A x   0 Px dx dx  dy dz  0 P     F    A  x   dx dx  A   .  Com base na equação da Quantidade de Movimento:   F  AU U    AU U      F  Q( 2 U 2  1 U 1 ) dU  x  U  dx   dy dz  P  dU  x  U   Ax   0  dx   dx dx A   dy dz  P  U dU     0  g dx  dx dx A   dy dz U dU     dx dx g dx    0  Rh  d  U 2   0  Rh z y dx  2 g  d  U2 com J   z  y  dx  2g     0  Rh J   Sendo Rh o raio hidráulico e J a declividade da linha de energia. . número de Reynolds. pode-se escrever:  0  KU 2  K  g U2 sendo K uma constante adimensional dependente de: . Com base nos princípios de Análise Dimensional. rugosidade interna do canal e da geometria  Rh J  K U 2 U g Fazendo C  g K  g Rh J K U  C Rh J Coeficiente de Chézy Fórmula de Chézy U  C Rh J (1718 – 1798) Antoine de Chézy. desenvolveu seus estudos em 1768. quando projetava um canal no rio Yvette. engenheiro francês. próximo à Paris . geometria) – similar a “f”  f  bastante estudado – condutos padronizados. com rugosidades reduzidas R0  kV0   R0 = Reynolds de arraste  = viscosidade cinemática k = comprimento de rugosidade característico  Rugosidade da superfície do canal V0  0  gRh J  V0 = velocidade de arraste .  C  Diversidade e variabilidade das grandezas envolvidas  Dificuldades de pesquisa em canais abertos  8g Relação de “C” e “f”  C  f para condutos circulares  Análise para pequenos condutos/canais.C =φ(Re.. rugosidade.. 5  2 log    12 Rh R f 8g e  Escoamento “Rugoso”:  Ábacos.51C  (Re> 105) Escoamento “em transição”:   k C 2 .Escoamento “Liso”: R0 < 4 1  C  28 . Colebrook  12 Rh   2 log   8g  k  C     Nikuradse .6 Re 8 (Re < 105)  R 8g    C  4 2 g log e   2. ESCOAMENTO UNIFORME Escoamento uniforme: Intensa utilização prática  Facilidade de cálculo  Aproximação pertinente em muitas situações práticas Características  Equilíbrio entre as forças de aceleração e de resistência  Constância dos parâmetros hidráulicos no espaço e tempo . Premissas básicas  Canal prismático  Declividade constante  Rugosidade constante  Comprimento razoável  Não interferência das extremidades montante e jusante . J d  U2   z  y   dx  2 g  dU 0 dx dy 0 dx   J dH dz  J I dx dx U  C Rh I   0  Rh I sendo I a declividade do fundo do canal F  0  Equilíbrio das forças :  Profundidade Normal: yn . C 1 Rh n 1/ 6  KRh 1/ 6  U 1 1/ 6 1/ 2 1/ 2 1 2 / 3 1/ 2 Rh Rh I  Rh I n n Combinando com a Equação da Continuidade: Q 1 ARh2 / 3 I 1 / 2 n Robert Manning. Strickler. engenheiro irlandês (1816-1897)  Principal difusor da equação que leva seu nome. na Suiça. difunde na Europa Continental equação similar “Coeficiente de Strickler” : K = 1/n . Bazin. Kutter. Definição do fator de resistência:  Formulações semi-empíricas: Ganguillet. etc. apresentada pela primeira vez pelo engenheiro francês Philippe Gauckler em 1867  Á mesma época de Manning. Com yn = 5. são conhecidos n = 0.00 m2 .00 m e z = 2.06%.025. sabendo-se que nesta situação a profundidade normal é 5. I  Seções definidas geometricamente: tabelas e gráficos  Seções complexas/irregulares: composição de áreas e integração Exemplo Um canal trapezoidal revestido com grama.0006 m/m.025 e I = 0.00 m Solução: Para utilizar a Fórmula de Manning.00 + 2 x 5. com inclinação dos taludes de 1(V):2(H). em regime uniforme.00 m e declividade de 0.Cálculo do escoamento uniforme Aplicação da Fórmula de Manning: Q  1 AR h2/3 I 1/2 n  Verificação do funcionamento – Cálculo direto: Variáveis geométricas (A e Rh) conhecidas  cálculo de Q. Determinar a vazão transportada. base de 7. n. Cálculo das variáveis geométricas: A = y ( b + zy ) = 5. apresenta um coeficiente de rugosidade de Manning de 0.00 ) = 85.00 x ( 7. 025  Dimensionamento – Cálculo indireto:  Problema de "dimensionamento hidráulico": Variáveis hidráulicas conhecidas  cálculo das variáveis geométricas Qn  AR h2 / 3 I1 / 2  Curvas auxiliares para determinação das profundidades para canais de seções quaisquer .P  b  2 y ( 1  z 2 )1 / 2  7  2 y( 5 )1 / 2  7  4 .90 ) 2 / 3 x ( 0 .35 m  Rh  85m 2  2 .47  29 .90 m 29 . pode-se escrever: Q 1 x 85 x ( 2 .0006 )1 / 2  170 m 3 / s 0 .35m Assim. Solução: Para utilizar o gráfico apresentado acima.0051 / 2  0 .00m  y  0 .96 m .0135 3 8 / 3 x0 . com z = 1. que é variável de entrada.0.n)/(I1/2D8/3) Exemplo Um canal trapezoidal.32  y  0 .005 m/m. Gráficos e tabelas auxiliares para seções parametrizáveis (Q. no gráfico auxiliar: Qn b8 / 3 I 1 / 2  15 x0 .153 Assim.0l35 e a declividade é de 0. pelo gráfico. em abscissa. sabendo-se que a rugosidade é de 0. obtém-se: y / b  0 .n)/(I1/2b8/3) ou (Q. com largura de base de 3m e taludes laterais 1:1.32 x3. calcula-se a seguinte expressão. transporta l5 m3/s. Pede-se calcular a profundidade de escoamento. 50  15 .5 e 5.10  0.33 y  6 m  A  94 . P  21.21  9 .0m  A  10.25m 2 . Calcular a capacidade máxima deste e a profundidade de escoamento para uma vazão de 600 m3/s.0 m y  2m  A  10 .5m y  1.21  3.92 Para y entre 1. A segunda coluna da tabela auxiliar mostrada a seguir é.79 y  4 m  A  52 .5m  A  15. ARh 2 / 3  297 .50m. P  21.0026 m/m.21m.31 y  6 . No presente exemplo.21m.50 /21.75  47 .00  22 . P  21.022.00  30 .75m 2 .00  28 .60 y  1.21m.10m.50 2/3  6 .5.022 e .00  15 .21  7 .21m.Exemplo 2/3 Determinar a curva auxiliar de cálculo (y x AR h ) para uma seção do canal do Ribeirão Arrudas.75  68 .75  89 . sabendo-se que a declividade média neste trecho é de 0. ARh 2 / 3  129 .5 = ARh2/3.25m 2 . P  21. P  21. ARh 2/3  10 .5).21  1.21  10 .21m.75  120 .17 y  5m  A  73.50  15 .56 Sabe-se que Qn/i0.21  5 .21m. ARh 2 / 3  29 . ARh 2 / 3  192 . Solução: Para y entre 0 e 1. Caso se divida os valores da 2ª coluna por (n/i0. n=0.25m 2 .50  15 .50  15 .00  26 .75  110 . ARh 2 / 3  73.00  24 . ARh 2/3  12. também igual à Qn/i 0.50 x0.75m 2 . sendo sua rugosidade avaliada em cerca de 0. Rh  A/P  10 . ter-se-ão os valores de Q mostrados na 3ª coluna. P  21.5 m  A  105 . P  21. P  21. ARh 2 / 3  261.25m 2 .25m 2 . em Belo Horizonte.00  31. portanto.34 y  3m  A  31.75  26 .50  15 .21m.50m 2 . 9 m.4315. a capacidade de vazão máxima do canal é de cerca de 689m3/s.30 29.20 y (m) por 0. Neste caso.0 4.i=0. constituintes do gráfico mostrado a seguir.60m.5 = 0. n/i0. em função de y. ter-se-ão as vazões.36 Q (m3/s) 0 15. se os valores da 2ª coluna da tabela-auxiliar forem divididos y 0 1. .33 261.0 6.0026.31 297.0 1.79 129.00260.0 5.92 29.38 445.34 73.17 192.95 68.4315.0 5.0 3. 7.0 0 100 200 300 400 500 Q (m3/s) 600 700 800 Assim. ter-se-á uma borda livre de 0.0 2. 5.65 689. O gráfico de y em função de Q mostrado anteriormente permite concluir que o nível de água no canal para a vazão de 600 m3/s é de.022/0.60 12.5 2.0 6.5 = 0.77 605.00 171. aproximadamente.0 3.5 ARh2/3 0 6. Desta forma. Portanto.0 0.0 1.0 6.03 299.0 4. Instabilidade do Escoamento Uniforme Velocidades e declividades elevadas  formação de “roll waves”  Número de Verdenikov (Chow. 1959):  x  U Vw  U . x : expoente de Rh (utilizando Manning. x =2/3) Vw: velocidade absoluta das perturbações Vw-U: celeridade das perturbações (C) : fator de forma    1  Rh dP dA  = 1 para canais largos  = 0 para canais muito estreitos  2    Fr 3  < 1  Escoamento uniforme estável   1  Formação de ondas . Exemplo Verificar se haverá formação de ondas num canal retangular. =1  2 2    Fr   1  2 .013. . e coeficiente de Manning de 0. com z=0.021 / 2  0 .81  0 .3 9 . pelo gráfico.0/(5.0. Solução: Cálculo da profundidade normal Qn b 8 / 3 1/ 2 10 x0 .38  2 . haverá formação de ondas.2).38)=5.8 3 3 Como  > 1. declividade longitudinal de 2%.7 Como b é muito maior que y (b/y=13. o canal pode ser considerado largo e.06  y  0 .7  1.3 m/s Fr  U gy  5 .013  I 5 8/3 x0 . portanto.0 m  y  0 .013 Assim.38m U=Q/A=10.075 x5 .0 m de largura.0. com 5. quando transportar 10m3/s. obtém-se y / b  0 .  aplicação da Equação de Bernoulli entre as duas seções. permitindo a determinação da declividade da linha de energia: 2 2      z  y  U1    z  y U2  1 2 2g   2 2g   1    J x  cálculo de “n” médio pela aplicação da fórmula de Manning utilizando as características médias entre as duas seções: n Rh 2/ 3 U J 1/ 2 .  determinação das velocidades médias de escoamento nas duas seções.O COEFICIENTE DE RUGOSIDADE DE MANNING Dificuldades para determinação do coeficiente de rugosidade:  Variabilidade de superfícies de atrito  Influência de fatores não-explicitos (turbulência?) Determinação direta do coeficiente de rugosidade  determinação das cotas de fundo e das características hidráulicas em duas seções (1 e 2) distintas. separadas pela distância x. 1948) d90: diâmetro da peneira (m) com 90% dos grãos passando  Canais revestidos: Henderson (1966) n  C m 3. variando de 15.97 logRh 0.7 (Akan.Fixação do coeficiente de rugosidade  Estimativa a partir da granulometria do leito  Leitos planos.(1969 e 1980) n R h 0. 4 1.039  Canais gramados: Kouwen at al. sem transporte sólido: 1/ 6 n  0. 2006) .28d 50  1 6 d50: diâmetro da peneira (m) com 90% passando Cm: 0.8 a 37.3048 I 0. 4 C: Coeficiente relativo ao tipo de grama e altura de corte.038d 90 (Meyer-Peter e Muller.034 a 0.3048 1 6 C  19. n2: correspondente à freqüência de ocorrência de variações de forma. densidade e altura da vegetação . conforme as possibilidades de causar perturbações no fluxo . etc. segundo o tipo.n1: correspondente às irregularidades. de acordo com o material associado à superfície de contato. troncos. . uniforme e com superfícies planas.n4: baseado na influência da vegetação no escoamento.n3: correspondente à presença de obstruções. tais como erosões.m5: baseado no grau de meandrização do curso d’água . Estimativa através de incrementação Método Cowan  n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) m5 . . . saliências e depressões na superfície.n0: valor básico para um canal retilíneo. etc. como matacões. assoreamentos. 150 1.024 0.030 0.010 – 0.300 .005 – 0.010 0.000 0.000 0.005 0.020 0.020 – 0.015 0.040 – 0.025 – 0.100 1.050 0.010 – 0.010 – 0.000 0.Condições do canal n0 Solo Rocha Material envolvido Pedregulho fino Pedregulho graúdo n1 Liso Pequeno Grau de irregularidade Moderado Severo n2 Gradual Variações da seção transversal Alternâncias ocasionais Alternâncias freqüentes n3 Desprezível Pequeno Efeito de obstruções Apreciável Severo n4 Baixa Média Vegetação Alta Muito alta m5 Pequeno Grau de meandrização Apreciável Severo Valores 0.028 0.025 0.000 1.020 0.050 – 0.025 0.010 0.060 0.015 0.005 0. 014 0.025 0.035 Espécies vegetais 0.020 0.028 Solo sem revestimento 0.070 Aço 0.023 0.011 0.015 Concreto com acabamento 0.022 0.022 Gabiões 0.016 0.018 0.017 0.013 0.020 Concreto projetado 0.028 Rocha sem revestimento 0.019 0.014 Ferro fundido 0.025 0.040 .035 0.022 0.015 0.010 0.012 0. Estimativa do coeficiente de rugosidade através de tabelas Coeficientes de rugosidade para canais artificiais Revestimento Rugosidade mínima usual máxima Concreto pré-moldado 0.016 Aço corrugado 0.035 0.013 0.018 Concreto sem acabamento 0.014 0.030 0.011 0. 100 Pastagens 0.040 0.030 0.050 Vegetação Densa 0.033 0.160 Canais de grande porte (B > 30 m) Planícies de inundação .070 0.080 Canais de pequeno porte em Leito desobstruído montanhas (B < 30 m) Leito com matacões 0.020 0.060 Seções irregulares 0.030 0.045 0.025 - 0.025 0.035 Culturas 0.Coeficientes de rugosidade para canais naturais Tipo Características Rugosidade mínima usual máxima Canais de pequeno porte em Limpos planície (B < 30 m) Trechos lentos 0.050 0.035 - 0.070 Seções regulares 0.040 0.045 0.040 0.025 0.050 0.050 0.070 0.  Estimativa através de analogia com canais existentes Identificação do curso d’água em estudo com curso d’água existente.wr.usgs. etc.gov/sws/fieldmethods/Indirects/nvalues/index. Chow.htm . para o qual o coeficiente de rugosidade foi determinado  uso de coletâneas de fotos com coeficiente de rugosidade medidos (French.) http://wwwrcamnl. 035 0.018 0.029 0.018 0.150 .125 0.020 0.110 0.030 0.0. Rugosidade variável ao longo do perímetro molhado .Seção analisada como um todo  Coeficiente de rugosidade global:  m 3/ 2   Pi ni n   i 1 P          2/ 3 . Coeficientes de rugosidade para seções simples com rugosidade variável . com 3.Exemplo Calcular o coeficiente de rugosidade global para uma canalização com seção transversal constituída parcialmente com gabiões (n = 0.0303/2 x 15. com 11.502)1/2 = 6.030) e solo com revestimento vegetal (n = 0. tem-se as duas áreas triangulares laterais.00 m + 2.71)] 2/3 = 0.71) / (15.00 + 0.00 m = 15. tem-se a área retangular central.00 m de largura e 2. o perímetro molhado é: P2 = 2 x (3. o perímetro molhado associado é: P1 = 2.030. Assim.00 m de altura.71 m.033 .0403/2 x 6.040.00 + 6.002 + 1.00 m de largura e 1. Solução: Associado à rugosidade com n=0.  m 3/ 2   Pi ni Resolvendo através da equação n   i1 P        2/ 3 o coeficiente de rugosidade global “n” é: n = [(0.00 m.040).50 m de altura. Associado à rugosidade com n=0. Assim.00 m + 11. Rugosidade variável ao longo do perímetro molhado . Corps of Engineers: m n n i 1 A i Ai .Seções compostas  necessidade de subdivisão  Cálculo do Coeficiente de rugosidade equivalente:  Metodologia do U.S. Coeficiente de rugosidade para seções compostas . 031 11x3.5  2 x3.5 / 2 tem-se: .0 x1.030 x11. Solução: m Com base na equação n  n n i 1 i Ai A 0 .5   2 x0 .0 x3.delimitação arbitrária das áreas associadas através de verticais Exemplo Calcular o coeficiente de rugosidade equivalente para o córrego Ressaca. em Belo Horizonte.5 / 2 n = 0.040 x3..0 x1. cuja seção transversal é mostrada a seguir. divisão da seção composta em diversas subseções . Cálculo da vazão através do Fator de Condução: .cálculo do Fator de Condução para cada subseção: A 5/ 3 K nP 2 / 3 .vazão associada a cada subseção: Q = K I1/2 .Cálculo dos coeficientes de Coriolis e Boussinesq:   m    Ai   i 1  2 m  K13   m 3  2    i 1  Ai    Ki   11  m A  K12     2   m  i 1  Ai    Ki   11  i 1 i m .vazão total: soma das vazões associadas à cada subseção . apresenta uma declividade de 0. S.07 m K3  A4=20x10= 200. estimando-se o valor da rugosidade equivalente pelo processo do U.040.18 m K1  25 5/3 0.0 75 5/3 0. Corps of Engineers.11.035.0m K4   1219 .5 5/3 0.6 37 .Exemplo Sabendo-se que o canal fluvial descrito esquematicamente na figura.15 2/3  8762 .0 5/3 0.5  23172. pede-se calcular a vazão transportada.025. Solução: A 5/ 3 Com base na equação K  2 / 3 tem-se: nP A1=(10x5)/2 = 25 m2 P1  10 2  5 2  11.3 .7.030.002 m/m.5 m2 P3  5 2  5 2  7 .18 2/3 A2=15x5 = 75 m2 P2  15m K2  A3=(5+10)x5/2 = 37.0 2/3  3797 .0 m2 P4  20 .07 2/3 200 .20. 3  3797 .0  8762.9 m3/s  Unidades do coeficiente de rugosidade de Manning  Adimensional  [L1/6]  [TL-1/3]  Fórmula de Manning dimensionalmente homogênea .025.6  3797 .002)1/2 = 2106.5 m2 P7  P3  5 2  5 2  7 .5  23172.07 m K5  A6=10x5 = 50 m P6  10m K6  A7=(5x5)/2 = 12.07 2/3 50 5/3 0.8 12 .7 Utilizando a equação Q = K I1/2 obtém-se a vazão transportada: Q = 47112.5  5841.0  K  1219.030.8  522.5 5/3 0.5 m2 P5  P3  7 .10 2/3  3797 .07 2/3  522 .7.7x(0.5  5841.035.07 m K7  2 37 .0  47112.5 5/3 0.A5=A3 = 37.7.