UNIVERSIDAD POLITÉCTICATERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] MOVIMIENTOS CURVILINEOS El movimiento de una partícula a lo largo de una curva, se denomina movimiento curvilíneo. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO CURVILÍNEO Sea C la curva cuya ecuación vectorial es R ( t ) = f ( t ) ˆi + g ( t ) ˆj + h ( t ) kˆ Si una partícula se mueve a lo largo de C de modo que su posición en cualquier tiempo t unidades es el punto P ( f ( t ) , g ( t ) , h ( t ) ) , entonces el vector velocidad V ( t ) y el vector aceleración A ( t ) en el punto P se definen como V ( t ) = R′ ( t ) ⇔ V ( t ) = f ′ ( t ) iˆ + g′ ( t ) ˆj + h′ ( t ) kˆ A ( t ) = R′′ ( t ) ⇔ A ( t ) = f ′′ ( t ) ˆi + g′′ ( t ) ˆj + h′′ ( t ) kˆ ⇔ A ( t ) = V ′ ( t ) Donde R′′ ( t ) existe. Puesto que la dirección de R′′ ( t ) en el punto P es la misma que la de la recta tangente a la curva en P, entonces el vector velocidad V ( t ) tiene esta dirección en P. El módulo o intensidad (o también magnitud) del vector velocidad, V ( t ) es una medida de la rapidez de la partícula. La figura muestra las representaciones de los vectores velocidad y aceleración en el punto P de C. En resumen: si x e y son funciones dos veces derivables de t y R ( t ) = x ( t ) ˆi + y ( t ) ˆj el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez se definen: En el plano: Velocidad: V (t ) = R′ ( t ) = x ′ ( t ) iˆ + y ′ ( t ) ˆj Aceleración: A(t ) = R′′ ( t ) = x ′′ ( t ) ˆi + y ′′ ( t ) ˆj Rapidez: V (t ) = R′ ( t ) = [ x ′ ( t )]2 + [y ′ ( t )]2 En el espacio: R ( t ) = x ( t ) iˆ + y ( t ) ˆj + z(t )kˆ Velocidad: V (t ) = R′ ( t ) = x ′ ( t ) iˆ + y ′ ( t ) ˆj + z ′(t )kˆ Aceleración: A(t ) = R′′ ( t ) = x ′′ ( t ) ˆi + y ′′ ( t ) ˆj + z ′′(t )kˆ Rapidez: V (t ) = R′ ( t ) = [ x ′ ( t )]2 + [y ′ ( t )]2 + [ z′(t )]2 107 http://www.damasorojas.com.ve Dr. DÁMASO ROJAS ve Dr.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] EJEMPLO. 1 Determine los vectores velocidad y aceleración en el punto donde t = π . y = 4 sen( 2t ). s2 Las ecuaciones paramétricas de C son x = 4cos( 2t ). como el vector velocidad tiene longitud constante. y = 2cos( 2t ) . DÁMASO ROJAS . Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana que tiene la ecuación 1 1 vectorial R ( t ) = 4cos tiˆ + 4 sen tjˆ . La cual es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 4. la partícula se mueve sobre el círculo con rapidez constante. Hallar el vector velocidad y el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva C del plano descrita por: R ( t ) = 2cos( 2t )ˆi + 2sen( 2t )tjˆ V ( t ) = R′ ( t ) ⇔ V ( t ) = f ′ ( t ) iˆ + g′ ( t ) ˆj + h′ ( t ) kˆ A ( t ) = R′′ ( t ) ⇔ A ( t ) = f ′′ ( t ) ˆi + g′′ ( t ) ˆj + h′′ ( t ) kˆ ⇔ A ( t ) = V ′ ( t ) El vector velocidad es V (t ) = R′ ( t ) = cos ( t ) iˆ − sen ( t ) ˆj 2 2 La rapidez en el instante t viene dada por V (t ) = cos2 ( 2t ) + sen2 ( 2t ) = 1 sen( 2t ) ˆ cos( 2t ) ˆ i− j 2 2 Las ecuaciones paramétricas de la curva son x = 2sen( 2t ).com. El módulo del vector aceleración también es constante e igual a 1 cm . pero dirección cambiante cuando t crece. 3 Al calcular V ( t ) y A ( t ) se tiene 1 1 V ( t ) = R′ ( t ) = −2sen tiˆ + 2cos tjˆ 2 2 2 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎛ V ( t ) = ⎜ −2sen t ⎟ + ⎜ 2cos t ⎟ = 4 sen2 t + 4cos2 t = 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 2 ⎝ 1 ˆ 1ˆ A ( t ) = V ′ ( t ) = − cos ti − sen tj 2 2 2 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ A ( t ) = ⎜ − cos t ⎟ + ⎜ − sen t ⎟ = 1 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ Por tanto. Calcule la rapidez de la partícula y el módulo del 2 2 vector aceleración de la partícula a los t segundos si la distancia se mide en centímetros. la rapidez de la partícula es constante e igual a 2 cms . EJEMPLO. 0 ≤ t ≤ 4π Al eliminar el parámetro t de estas ecuaciones se obtiene la ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 16 . se obtiene la ecuación rectangular x 2 + y 2 = 4 . 108 http://www. Eliminando el Y el vector aceleración es A(t ) = − parámetro t.damasorojas. Ecuación rectangular (la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen). damasorojas.0) y se mueve con una aceleración A(t ) = ˆj + 2kˆ Donde A ( t ) se mide en pies2 . en el tiempo t unidades. (b) Determine los vectores velocidad y aceleración en t = 1 . θ1 = y θ2 = π .2. π < θ1 < π y la dirección de 2 ⎝3 ⎠ 1 3 ⎛1 ⎞ A ⎜ π ⎟ está dada por tanθ2 = . está dada por la ecuación vectorial R ( t ) = ( t 2 + 2t + 1 ) ˆi + t 3 ˆj . y .com.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] 1 Ahora se determinarán los vectores velocidad y aceleración en t = π . V ( t ) y A ( t ) . De la descripción del movimiento del objeto deducimos las siguientes condiciones iniciales. La posición de una partícula que se mueve en el plano. z) = (1. A ( t ) .ve Dr. Ya que el objeto parte en reposo. a)V ( t ) = R′ ( t ) = ( 2t + 2 ) iˆ + 3t 2 ˆj V (t ) = 2 (2t + 2 ) + ( 3t 2 ) = 9t 4 + 4t 2 + 8t + 4 2 A ( t ) = V ′ ( t ) = 2iˆ + 6tjˆ ⇒ A ( t ) = 4 + 36t 2 b) V (1 ) = 5. π < θ2 < π 2 3 ⎝3 ⎠ π 7 Así.2. 3 EJEMPLO. La figura muestra la trayectoria de la partícula y las 3 6 representaciones de los vectores velocidad y aceleración que tienen punto inicial para el 1 cual t = π . 3 1 1 1 ⎛ ⎞ V ⎜ π ⎟ = −2sen π iˆ + 2cos π ˆj = −iˆ + 3 ˆj 6 6 ⎝3 ⎠ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1ˆ ⎛1 ⎞ A ⎜ π ⎟ = − cos π i − sen π j = − 3i − j 6 6 2 2 ⎝3 ⎠ 1 ⎛1 ⎞ La dirección de V ⎜ π ⎟ está determinada por tanθ1 = − 3 . 0 ≤ t ≤ 2 (a) Calcule V ( t ) . Hallar la posición del objeto tras un tiempo de s t = 2 segundos. como parte del punto (x .32 EJEMPLO.0) se tiene R(0) = x(0)iˆ + y(0) ˆj + z(0)kˆ = iˆ + 2 ˆj 109 http://www. tenemos v (0) = 0 . DÁMASO ROJAS . Además. A (1 ) = 40 ≈ 6. Un objeto parte del reposo del punto P(1. obtenemos. c5 = 2. El vector de velocidad inicial. el vector velocidad en cualquier instante t es V (t ) = tjˆ + 2tkˆ . Como V ( 0 ) = V0 . obtenemos. y y pies la distancia vertical del proyectil también desde su punto de partida a los r segundos. entonces C1 = V0 . Refiérase a la figura. usando cada vez las condiciones iniciales para fijar el valor de la constante de integración. R ( t ) = x ( t ) iˆ + y ( t ) ˆj Si F representa la fuerza que actúa sobre el proyectil. así. pues. Integrando de nuevo vemos que: 2 t R(t ) = ∫ V (t )dt = ∫ (tjˆ + 2tkˆ)dt = ˆj + t 2 kˆ + c . Suponga que un proyectil se dispara desde un cañón que tiene un ángulo de elevación de α radianes. Por tanto.damasorojas. V ( t ) es el vector velocidad y A ( t ) es el vector aceleración del proyectil a los t segundos. c6 = 0 por ⎛ t2 ⎞ + 2 ⎟ ˆj + t 2 kˆ ⎝2 ⎠ lo tanto el vector posición es: R (t ) = ˆi + ⎜ MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL. R ( t ) es el vector de posición. El vector velocidad es: Vt ) = ∫ A(t )dt = ∫ (iˆ + 2kˆ)dt = tjˆ + 2tkˆ + c donde C = c1iˆ + c2 ˆj + c3kˆ . Haciendo t = 0 y aplicando la condición inicial v(0) = 0 . 110 http://www. se obtiene: V ( t ) = −gtjˆ + C1 . Sea v0 el número de pies por segundo la velocidad inicial o velocidad de salida. x pies la distancia horizontal del proyectil desde el punto de partida a los t segundos.com. Donde C = c4 iˆ + c5 ˆj + c6 kˆ ⇒ si t = 0 aplicando la 2 condición inicial v(0) = 0 . V0 del proyectil está determinado por V0 = v0 cos α iˆ + v0 senα ˆj Sean t segundos el tiempo que transcurre desde que el arma se disparó.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] Para hallar su función posición. V (0) = c1iˆ + c2 ˆj + c3kˆ = 0 ⇒ c1 = c2 = c3 = 0 Así. DÁMASO ROJAS . entonces F = −mgj De esta ecuación de la segunda ley de Newton para el movimiento. Los ejes coordenados se colocan de modo que el cañón esté ubicado en el origen.ve Dr. se escriben las componentes horizontal y vertical de R ( t ) como x ( t ) y y ( t ) . R(0) = c4 iˆ + c5 ˆj + c6 kˆ = iˆ + 2 ˆj ⇒ c4 = 1. hemos de integrar dos veces. Como x y y son funciones de t. mA ( t ) = −mgjˆ ⇒ A ( t ) = −gjˆ ⇔ V ′ ( t ) = −gjˆ Al integrar los dos miembros de esta ecuación con respecto a t. ve Dr.com. esto es. el vector velocidad y la rapidez a los 2s. Si se integra otra vez. y (h) una ecuación cartesiana de la trayectoria del proyectil. (c) el tiempo de recorrido del proyectil. y ( t ) ) es la posición del proyectil a los t segundos. ¿Cuál es el alcance del proyectil? El alcance es la distancia OA a lo largo del eje x. el tiempo que tarda el proyectil en ir de O a A? 3. Generalmente. Obtenga: (a) el vector de velocidad inicial. (d) el alcance del proyectil. y su velocidad de salida es de 480 pies . (g) el vector de posición.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] V ( t ) = −gtjˆ + V0 ⇔ R′ ( t ) = −gtjˆ + V0 . Se dispara un proyectil desde un cañón que tiene un ángulo de elevación de 1 π rad. ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la curva recorrida por el proyectil? 5. DÁMASO ROJAS . 1 (a) De 10 con v0 = 480 y α = π . 2. R ( 0 ) = 0 por lo que 2 1 C2 = 0 . ¿Cuál es el tiempo total de recorrido.damasorojas. ¿Cuál es el vector velocidad del proyectil en el momento del impacto? EJEMPLO. R ( t ) = − gt 2 ˆj + V0t 2 1 Con el valor de V0 esta ecuación se transforma en R ( t ) = − gt 2 ˆj + v0 cos α iˆ + v0 senα ˆj t 2 1 ⎛ ⎞ R ( t ) = tv0 cosα ˆi + ⎜ tv0 senα − gt 2 ⎟ ˆj . resulta: 1 R ( t ) = − gt 2 ˆj + V0t + C2 . De este modo. el vector de velocidad inicial es 6 1 1 V0 = 480cos π iˆ + 480 sen π ˆj = 240 3iˆ + 240 ˆj 6 6 1 ⎛ ⎞ (b) El vector de posición a los t segundos es: R ( t ) = 240 3tiˆ + ⎜ 240t − gt 2 ⎟ ˆj 2 ⎝ ⎠ 2 Si se considera g = 32 se tiene R ( t ) = 240 3tiˆ + ( 240t − 16t ) ˆj Si ( x ( t ) . 6 (b) el vector de posición R ( t ) y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil. Esta ecuación proporciona el vector de posición del 2 ⎝ ⎠ proyectil a los t segundos. las cuestiones de interés son las siguientes: ( ) 1. entonces: x ( t ) = 240 3t y y ( t ) = 240t − 16t 2 (2) 111 http://www. Puesto que el proyectil parte del origen. ¿Cuál es la altura máxima del proyectil? 4. (f) el vector velocidad y la rapidez en el momento del impacto. A partir de esta ecuación se puede estudiar el movimiento del proyectil. (e) la altura máxima alcanzada por el proyectil. se considera y ( t ) = 0 240t − 16t 2 = 0 ⇒ t ( 240 − 16t ) = 0 ⇒ t = 0. Con V ( t ) = R′ ( t ) . el cual es la mitad del tiempo total de recorrido.damasorojas. a los 2 s la rapidez es de 32 199 pies ≈ 450 pies . (h) A fin de obtener una ecuación cartesiana de la trayectoria del proyectil. se obtiene de (1) V ( t ) = 240 3iˆ + ( 240 − 32t ) ˆj Así. Al calcular y ′ ( t ) de la ecuación se tiene y ( t ) = 240t − 16t 2 entonces. el alcance es de 3600 3 ≈ 6200 pies. se debe obtener t cuando y ( t ) = 0 .5 .En consecuencia. se obtiene t = 7. Al sustituir el valor de t de la primera ecuación en la segunda se obtiene 2 1 1 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ y = 240 ⎜ x− x2 ⎟ − 16 ⎜ ⎟ ⇒y= 10800 3 ⎝ 240 3 ⎠ ⎝ 240 3 ⎠ La cual es una ecuación de una parábola. el tiempo de recorrido es de 15 s. (f) Puesto que el tiempo total de recorrido es de 15 s. se elimina el parámetro t de las ecuaciones paramétrica. y ′ ( t ) = 240 − 32t Si se considera y ′ ( t ) = 0 .UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] (c) Con el propósito de calcular el tiempo de recorrido del proyectil. DÁMASO ROJAS . donde f ′ y g′ son continuas en el intervalo cerrado [a. LONGITUD DE ARCO Si C es una curva plana cuyas ecuaciones paramétricas son x = f ( t ) y y = g ( t ) . esto es cuando y ′ ( t ) = 0 . (g) R ( 2 ) = 480 3ˆi + 416 ˆj ⇒ V ( 2 ) = (240 3 ) 2 + (176 ) = 32 199 2 V ( 2 ) = 240 3iˆ + 176 ˆj Por tanto.ve Dr. t = 15 El valor 0 para t se presenta cuando el proyectil se dispara. (d) Con el fin de obtener el alcance del proyectil se calcula x (15) x ( t ) = 240 3t entonces x (15 ) = 3600 3 .com. el vector velocidad en el momento del impacto es V (15) . (e) El proyectil alcanza su máxima altura cuando la componente vertical del vector velocidad es cero. V (15 ) = 240 3iˆ − 240 ˆj Como V (15) = 480 . Como y (15) = 0 . la rapidez en el momento del impacto es de 480 pies . b] y si L unidades es la longitud de arco de 112 http://www. De esta manera. entonces ⎡⎣ f ′ ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣g′ ( t ) ⎤⎦ dt 2 2 Puesto que una ecuación vectorial de C es R ( t ) = f ( t ) iˆ + g ( t ) ˆj . 1) R ( t ) = t 2 + 4 iˆ + ( t − 2 ) ˆj. V ( t ) y A ( t ) . Entonces si L es la longitud de arco de C desde el punto ( f ( a ) . t1 = π 4) R ( t ) = iˆ − tjˆ. a) Obtenga V ( t ) . b] . Sea C la curva cuya ecuación vectorial es R ( t ) = f ( t ) iˆ + g ( t ) ˆj + h ( t ) kˆ .UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] C desde el punto L=∫ b a ( f (a ) . Calcule la longitud de arco de la hélice circular R ( t ) = 2cos tiˆ + 2 sentjˆ + tkˆ desde t = 0 hasta t = 4π . Calcule la longitud de arco descrito por el punto terminal de la representación de posición de R ( t ) conforme t se incrementa de 1 a 4 si R ( t ) = et sentiˆ + et cos tjˆ R′ ( t ) = ( et sent + et cos t ) ˆi + ( et cos t − et sent ) ˆj ( e sent + e cos t ) + ( e cos t − e sent ) R′ ( t ) = t t 2 t t 2 R′ ( t ) = e2t sen2t + 2 sent cos t + cos2 t + cos2 t − 2sent cos t + sen2t = et 2 L=∫ 4 1 2et dt = 2 et ⎤⎦1 = 2 ( e 4 − e ) 4 LA LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL. DÁMASO ROJAS . b) Determine los vectores velocidad y aceleración en t = t1 . t1 = 4 4 t 4 ( ) ( ) 113 http://www.damasorojas. h ( a ) ) hasta el punto ( f ( b ) . g ( a ) . t1 = 3 2) R ( t ) = (1 + t ) iˆ + t 2 − 1 ˆj. a las t unidades de tiempo está determinada por la ecuación vectorial.ve Dr. h ( b ) ) esta viene expresada por L = ∫ R′ ( t ) dt b a EJEMPLO. t1 = 1 1 2 1 3) R ( t ) = 5cos 2tiˆ + 3 sen 2tjˆ. A ( t ) . g ( b ) .com. R′ ( t ) = −2 sentiˆ + 2cos tjˆ + kˆ L=∫ 4π 0 4π 2 ( −2 sent ) + (2cos t )2 + 1dt = ∫0 4 sen2t + 4cos2 t + 1dt = ∫ 4π 0 5dt = 4π 5 = 28. g′ y h′ son continuas en el intervalo cerrado [a. y suponga que f ′.g (a )) hasta el punto ( f ( b ) . g ( b ) ) . esta ecuación puede escribirse como L = ∫ R′ ( t ) dt b a EJEMPLO. que se mueve en el plano xy .10 Ejercicios Propuestos La posición de una partícula. t1 = 4 La posición de una partícula. t1 = 0 1 5 7) R ( t ) = tiˆ + ln sec tjˆ. t1 = π 15) R ( t ) = tiˆ + t 2 ˆj + t 3kˆ. t1 = π 8) R ( t ) = 2 (1 − cos t ) iˆ + 2 (1 − sent ) ˆj. Obtenga los vectores velocidad y aceleración así como la rapidez de la partícula en t = t1 . t1 = π 16) R ( t ) = tiˆ + t 2 − 2t ˆj + 2 ( t − 1) kˆ. t1 = 2 ( ) 18) R ( t ) = et cos tiˆ + et sen tjˆ + et kˆ. a las t unidades de tiempo está determinada por la ecuación vectorial dada. t1 = π 4 6 1 1 9) R ( t ) = ( t 2 + 3t ) iˆ + (1 − 3t 2 ) ˆj. t1 = 0 19) R ( t ) = −1 1 2 t + 1) iˆ + ln (1 + t 2 ) ˆj + tan −1 tkˆ. t1 = 10) R ( t ) = ln ( t + 2 ) iˆ + t 2 ˆj. y R ( 0 ) = iˆ − ˆj 2 2 t 3 2 24) R ( t ) = ∫ ⎡ x iˆ + 5 ( x − 1) ˆj + ( sen π x ) kˆ ⎤ dx. la aceleración a y la rapidez s en el instante t = t1 . t1 = 1 26) r ( t ) = tiˆ + ( t − 1) ˆj + ( t − 3) kˆ. π 11) R ( t ) = cos tiˆ + sen tjˆ + tkˆ. t1 = 1 2 3 La posición de una partícula. Obtenga una ecuación vectorial de la trayectoria de la partícula. A ( t ) . a) Obtenga V ( t ) .ve Dr. V ( 0 ) = 2iˆ + ˆj. t1 = 2 2 2 3 1 2 17) R ( t ) = 3cos tiˆ + 4 sen tjˆ + 2tkˆ. que se mueve en el espacio tridimensional.V ( 0 ) = iˆ + ˆj. 1 ˆ 20)V ( t ) = i − ( t + 1) ˆj. b) Determine los vectores velocidad y aceleración en t = t1 .com. y R ( 0 ) = 3iˆ + 2 ˆj 21) V ( t ) = ( 2t − 1) iˆ + 3t −2 ˆj. y R (1) = 4iˆ − 3 ˆj 2 ( t − 1) 22) A ( t ) = e−t iˆ + 2e2t ˆj . t1 = ln 2 6) R ( t ) = e2t ˆj + e3t ˆj. 1 1 1 14) R ( t ) = 2 cos tiˆ + 2 sentjˆ + tkˆ. t1 = 2 ⎦ 1 ⎣ Determine la velocidad v . t1 = 0 114 http://www. 2 3 25) r ( t ) = 4tiˆ + 5 ( t 2 − 1) ˆj + 2tkˆ. t1 = π 12) R ( t ) = sen (2t )iˆ + cos(3t ) ˆj + cos(4t )kˆ.damasorojas. que se mueve en el plano xy . a las t unidades de tiempo está determinada por R ( t ) . t1 = 1 ( 2 Una partícula se mueve en el plano xy de modo que se satisfacen la ecuación dada y las condiciones iniciales. t1 = 2 π 13) R ( t ) = tan(t )iˆ + 3et ˆj + cos(4t )kˆ.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] 5) R ( t ) = et iˆ + e2t ˆj. y R ( 0 ) = 3 ˆj 1 1 23) A ( t ) = 2cos 2tiˆ + 2 sen 2tjˆ. DÁMASO ROJAS . damasorojas. su vector aceleración siempre es perpendicular a su vector velocidad. ( ) 2 2 35) V ( t ) = iˆ + ˆj − 32tkˆ. t1 = 2 32) r ( t ) = ln tiˆ + ln t 2 ˆj + ln t 3kˆ. f) el vector velocidad y la rapidez en el momento de impacto. 34) Pruebe que r ( t ) es constante si y sólo sí r ( t ) i r ′ ( t ) = 0 . Demuestre que los vectores y aceleración son ortogonales en t = 0 . t1 = 6 42) α = π . Una partícula se mueve en el espacio tridimensional de modo que la ecuación dada y las condiciones iniciales se satisfacen. Determine una ecuación de la trayectoria de la partícula. y R ( 0 ) = 4kˆ 38) A ( t ) = −32kˆ. v0 = 160. d) el alcance del proyectil. 40) Demuestre que para la cúbica alabeada V ( t ) = iˆ + 2tjˆ + 3t 2 kˆ . Si la velocidad de 115 http://www. El cañón forma un ángulo de 30° con la horizontal. v0 = 320. t1 = 2 31) r ( t ) = t sen π tiˆ + t cos π tjˆ + e− t kˆ. b) el vector de posición R ( t ) y ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] 6 −1 ⎛1⎞ 27) r ( t ) = ⎜ ⎟ iˆ + ( t 2 − 1) ˆj + t 5 kˆ. c) el tiempo de recorrido del proyectil. Obtenga: a) el vector de velocidad inicial. t1 = 2 33) Demuestre que si la rapidez de una partícula móvil es constante. 1 1 41) α = π .V ( t ) y A ( t ) son ortogonales. si t ≠ 0 . t1 = 2 28) r ( t ) = t 6iˆ + ( 6t 2 − 5 ) ˆj + tkˆ. y h) una ecuación cartesiana de la trayectoria del proyectil. y R ( 0 ) = iˆ + 2 ˆj 36) V ( t ) = t + 2t iˆ + 2tjˆ + 3t kˆ. el vector velocidad y la rapidez a los t1 segundos. y R ( 0 ) = 2 ˆj + kˆ 37) A ( t ) = 6tiˆ + 12t 2 ˆj + kˆ.V ( 0 ) = 4iˆ + 4 ˆj.com. V ( 0 ) = 2iˆ + 3 ˆj. y su velocidad de salida es v0 pie por segundo. t1 = 2 30) r ( t ) = (∫ ) (∫ 1 t e x dx iˆ + π t ) 2 sen πθ dθ ˆj + t 3 kˆ. DÁMASO ROJAS . Se dispara un proyectil desde un cañón que tiene un ángulo de elevación de α radianes.ve Dr. t1 = 1 ⎝t ⎠ 29) r ( t ) = iˆ + (∫ t 0 ) 2 x 2 dx ˆj + t 3 kˆ. entonces ningún par de los vectores R ( t ) . t1 = 4 4 3 43) Se dispara un proyectil desde un cañón situado en la parte superior de un edificio de 96 pie de altura. e) la altura máxima que alcanza el proyectil. y R ( 0 ) = 60kˆ 39) Una partícula se mueve a lo largo de una curva que tiene la ecuación vectorial R ( t ) = tan tiˆ + senh 2tjˆ + sec h tkˆ . g) el vector de posición. ¿Con qué ángulo de elevación s debe dispararse el arma a fin de que el proyectil impacte un objeto situado al mismo nivel del arma y a una distancia de 400 pie de ésta? 45) ¿Cuál es la velocidad de salida de un cañón si un proyectil disparado desde éste tiene un alcance 2000 pie y alcanza una altura máxima de 1000 pie? 46) Se lanza horizontalmente una pelota desde la parte superior de un risco de 256 pie pie de altura con una velocidad inicial de 50 . pie 44) La velocidad de salida de un arma es de 160 . 47) A medida que un barco se aleja de un muelle. suponiendo que la muchacha lanzó pie horizontalmente la piedra con una velocidad inicial de 15 . salida es de 1600 48) Responda la pregunta del ejercicio anterior.com. s 116 http://www. o caerá al agua y se hundirá? Justifique su respuesta. una muchacha ubicada en la cubierta del barco. El barco se hallaba a 28 pie del muelle en el momento en que la joven lanzó la piedra desde su mano. DÁMASO ROJAS . a 55 pie por arriba del muelle. El niño lanza la pelota hacia el anuncio con una velocidad inicial de 60 pie y un ángulo de elevación de 60°. El anuncio tiene 10 pie de altura y su base está a 35 pie sobre el suelo.damasorojas. de modo que si amigo reciba la nota. a 5 pie por arriba de la cubierta. Si la mano del niño está a 5 pie del suelo. hacia el pie muelle con una velocidad inicial de 15 y en un ángulo de 45° con respecto a la s horizontal. lanzó una piedra envuelta en una nota a un amigo que está en el muelle.ve Dr. s 49) Un niño apuesta a sus amigos que puede lanzar una pelota y pegarle a un anuncio que se encuentra a 25 pie de él. calcule el tiempo de recorrido y la distancia desde la base del s edificio hasta el punto donde caerá el proyectil. ¿Llegará la piedra al muelle.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] pie . Calcule el tiempo de recorrido de la pelota s y la distancia desde la base del risco hasta el punto donde caerá la pelota. Las gotas caen en un intervalo regular de tiempo. 53) Para probar la calidad de una pelota de Tenis. determine el ángulo en que debe lanzar la pelota con una pie velocidad inicial de 25 si sus manos se encuentran a 6 pie por arriba del piso en el s momento del tiro.0ms.ve Dr. la cual esta a 225 pie del banderín.damasorojas. la tiras hacia el piso a una altura de 4. 117 http://www. y determine a qué distancia del banderín cae la pelota.com. 52) Determine el ángulo de elevación de un cañón de modo que al dispararse se obtenga el máximo alcance para una velocidad de salida dada. El árbol se encuentra a 100 pie de la pelota. Encuentra las localizaciones de la segunda y tercera gota cuando la primera golpea el piso. Si la jugadora se encuentra a una distancia horizontal de 11 pie del centro de la canasta.00m. Si la bola estuvo en contacto con el piso por 10. . ¿cuál es la aceleración promedio durante el contacto? 54) Una regadera gotea en el baño hacia el piso a 200cm abajo. DÁMASO ROJAS . 50) Una basquetbolista debe efectuar un tiro libre en la canasta cuyo aro está a 10 pie del piso del gimnasio.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] demuestre que el niño gana la apuesta y determine la dirección de la pelota en el momento del impacto. 51) Un árbol de 45 pie de altura se encuentra entre un banderín y una pelota de golf. Está rebota a una altura de 3. Un golfista pie y un ángulo de golpea la pelota en dirección del banderín con una rapidez de 80 s 45°.00m. La primera gota golpea en el piso en el instante en que la cuarta gota empieza a caer. Demuestre que la pelota no golpea el árbol. ¿Qué sucederá? (b) ¿con qué ángulo de elevación deberá el jugador de tercera base la atrape? Suponga que el guante del jugador en primera base está también a 3ft sobre el terreno./s ¿dentro de qué zona angular deberá ser pateada la pelota si el pateador debe apenas anotar un gol de campo desde un punto situado a 50m enfrente de los postes de gol cuya barra horizontal está a 3. Determine expresiones para r ( t ) .30 ft pero no mayor de 3.0 mi/h y aun así entrar en la zona de "strike" sobre la base que está a 60.11 m/s.3° una cantidad difícil de detectar.damasorojas.ve Dr. 57) Si el montículo del lanzador está a 1. DÁMASO ROJAS .60ft 58) Un jugador de tercera base quiere lanzar a la primera base. ¿Cuánto tiempo tiene el piloto para hacer una corrección si ha de evitar que el jet toque el terreno? La rapidez del jet es de 361.44m sobre el terreno? 62) Un punto se mueve en la circunferencia x 2 + y 2 = 25 a una velocidad angular constante de 6 radianes por segundo. está en vuelo horizontal a 35m sobre el nivel del terreno. cuando un paquete es tirado por un lado. la bola debe entrar a una altura de 1. Su mejor velocidad de tiro es de 85mi/h.5 ft de distancia? Suponga que. ¿Cuál debe ser su velocidad promedio si tiene que atrapar la pelota en el momento antes de que llegue al suelo? Desprecie la resistencia de aire. que dista 127 ft. v ( t ) . iniciando en ( 5. Súbitamente el jet encuentra que el terreno sube cuesta arriba en 4. a) ¿Cuánto tiempo le tomará al paquete llegar al suelo? b)¿Con qué velocidad golpea el piso? 56) Un jet plano de alto desempeño que realiza ensayos para evitar el radar. ¿puede un lanzador lanzar una bola rápida horizontalmente a 92. v ( t ) y a ( t ) 118 http://www. La distancia horizontal entre el punto de emisión de la señal y el punto en que la señal golpea el suelo es de 2300ft (a) ¿cuánto tiempo estará la señal de aire? (b) ¿A que altura estaba el aeroplano cuando se emitió la señal del radar? 60) Una pelota de fútbol es pateada con una velocidad inicial de 64 ft/s y un ángulo de proyección de 42º sobre la horizontal. (a) si la bola deja su mano a 3ft sobre el suelo en una dirección horizontal.25 ft sobre el campo de béisbol. (c) ¿cuál será el tiempo recorrido? 59) Cierto aeroplano tiene una velocidad de 180mi/h.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] 55) Un globo de aire caliente está ascendiendo a una velocidad de 12m/s ‐y está 80 m arriba del suelo. para obtener un strike. Un receptor en la línea de gol situada a 65 yardas en la dirección de la patada comienza a correr para atrapar a la pelota en ese instante.com. 0 ) . 61) El pateador de un equipo de Fútbol americano puede dar a la pelota una velocidad de 25. y baja en picada con un ángulo de 27º debajo de la horizontal cuando emite una señal de radar. una luna orbita un planeta. demuestre que el movimiento de la luna con respecto al Sol. en donde la componente k mide la altura. Supondremos que estas órbitas son circulares con el Sol en el centro de la órbita del planeta y el planeta en el centro de la órbita de la luna. podemos representar el movimiento de la Luna mediante r ( t ) = ⎡⎣93cos ( 2π t ) + 0. a) Si el radio de la órbita de la luna es Rm y el radio de la órbita del planeta alrededor del Sol es R p . en metros. el cual da vueltas alrededor del Sol. dada por r ( t ) = sen tiˆ + cos tjˆ + ( t 2 − 3t + 2 ) kˆ . c) ¿Cuál es el período de cada uno de los dos movimientos? d) ¿Cuál es la distancia máxima a la que se encuentra la Luna del Sol? e) ¿Cuál es la distancia mínima a la que se encuentra la Luna del Sol? f) ¿En algún momento la Luna está estacionaria con respecto al Sol? 1 g) ¿Cuáles son la velocidad. 65) Suponiendo que las órbitas de la Tierra alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra están en el mismo plano y son circulares. En algunos casos las órbitas son casi circulares.com.24cos ( 26π t ) ⎤⎦ iˆ + ⎡⎣93 sen ( 2π t ) + 0. de modo que en el instante t la luna permanezca inmóvil con respecto al Sol. por arriba del suelo y t ≥ 0 . trace la trayectoria que describe la luna cuando el planeta da una vuelta alrededor del Sol.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] 63) Considere el movimiento de una partícula a lo largo de una hélice. describa los siguientes movimientos “helicoidales”: a) r ( t ) = sentiˆ + cos tjˆ + tkˆ b) r ( t ) = sen t 3iˆ + cos t 3 ˆj + t 3kˆ c) r ( t ) = sen ( t 3 + π ) iˆ + t 3 ˆj + cos ( t 3 + π ) kˆ d) r ( t ) = t sentiˆ + t cos tjˆ + tkˆ 119 http://www. DÁMASO ROJAS .ve Dr.1 . Rm y t . la luna da diez vueltas alrededor del planeta. en el origen. la rapidez y la aceleración de la Luna cuándo t = ? 2 66) En términos generales. a) ¿En algún momento la partícula se mueve hacia abajo? b) ¿En algún momento la partícula se detiene? c) ¿En qué instantes llega a una posición de 12 metros por arriba del suelo? d) Cuando la partícula se encuentra 12 metros por arriba del suelo. podría ser dado mediante x = R p cos t + Rm cos10t y = R p sen t + Rm sen 10t b) Para R p = 1 y Rm = 0. Suponga que el tiempo en que el planeta da una vuelta alrededor del Sol. ¿cuál es su velocidad? 64) En muchos lugares del sistema solar. Además. supondremos que todo el movimiento está en un sencillo plano xy . a) ¿Cuáles son las unidades adecuadas para t ? b) Grafique la trayectoria de la Luna cuando la Tierra da una vuelta alrededor del Sol.24 sen ( 26π t ) ⎤⎦ ˆj Donde r ( t ) se mide en millones de millas. c) Determine un conjunto de valores para R p .damasorojas. f) Haga la sustitución q = r ′ y utilice el resultado de la parte e) para obtener la ecuación dq r02 v02 GM = 3 − 2 diferencial (no lineal) de primer orden en q : q dr r r 2 p GM g) Integre con respecto a p − 0 2 ambos lados de la ecuación anterior y utilice una v0 ⎛1 1 ⎞ ⎛ r2 ⎞ condición inicial para obtener q 2 = 2GM ⎜ − ⎟ + v02 ⎜1 − 02 ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r r0 ⎠ 1 h) Sustituya p = en la ecuación anterior para obtener r 120 http://www. Con frecuencia omitiremos el argumento t . sea θ ( t ) el ángulo que el vector r ( t ) hace con el eje x positivo en el instante t . DÁMASO ROJAS . a) Demuestre que u1′ = θ ′u2 y u2′ = −θ ′u1 Sean u1 = b) Demuestre que los vectores velocidad y aceleración satisfacen ( ) v = r ′u1 + rθ ′u2 ⇒ a = r ′′ − r (θ ′ ) u1 + ( 2r ′θ ′ + rθ ′′ ) u2 2 c) Utilice el hecho de que la única fuerza que actúa sobre el planeta es la gravedad del Sol. u1 y u2 son funciones de t . Así. Los vectores u1 y u2 son r vectores unitarios ortogonales que apuntan en las direcciones en que aumentan r y θ .damasorojas. Utilice el resultado de la parte b) para mostrar que D = r 2θ ′k . Coloque el sistema de coordenadas de modo que el Sol esté en el origen y la aproximación más cercana (perihelio) del planeta al Sol está en la parte positiva del eje x y ocurre en el instante t = 0 .UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] 67) En este ejercicio deducirá la Primera Ley de Kepler. para expresar a como un múltiplo de u1 . r = ( cos θ ) iˆ + ( sen θ ) ˆj y u2 = ( − sen θ ) iˆ + ( cos θ ) ˆj . resume esta notación.θ ( t ) ) es la representación en coordenadas polares de la posición del planeta.com. Un apóstrofo indica derivación con respecto al tiempo t . Sea r ( t ) el vector de posición y denótese con r ( t ) = r ( t ) la distancia al Sol en el instante t . Además. Luego argumente que r 2θ ′ = r0 v0 para toda t . respectivamente.ve Dr. ( r ( t ) . La figura dada. un vector constante. e) Sustituya t = 0 para obtener D = r0 v0 k . pero tenga presente que r . digamos D . Iniciamos con la notación. luego explique cómo podemos concluir que −GM 2 r ′′ − r (θ ′ ) = 2 r 2r ′θ ′ + rθ ′′ = 0 d) Considere r × r ′ .θ . la cual dice que la trayectoria de los planetas es elíptica. donde r0 = r ( 0 ) y v0 = v ( 0 ) . t = 0. 1 + e cos θ GM ⎞ ⎟ ⎟ =θ ⎟ ⎟ ⎠ t t Calcule la longitud exacta del arco desde 1 hasta 2 de la curva que tiene la ecuación vectorial dada.damasorojas.com. 72) R (t ) = tiˆ + t 2 ˆj + t 3 kˆ.UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] r02v02 ⎛ dp ⎞ p2 ⎞ 2⎛ = − + − 2 GM p p v 1 ( ) ⎜ 0 0 ⎜ ⎟ 2 2 ⎟ (θ ′) ⎝ dt ⎠ ⎝ p0 ⎠ 2 2 2 p0 GM ⎞ ⎛ p0 GM ⎞ ⎛ dp ⎞ ⎛ i) Muestre que ⎜ ⎟ −⎜ p − ⎟ ⎟ = ⎜ p0 − 2 v0 ⎠ ⎝ v02 ⎠ ⎝ dθ ⎠ ⎝ j) Con base en la parte i) de inmediato podemos concluir que 2 2 2 2 2 ⎛ p 2GM ⎞ ⎛ p 2GM ⎞ dp = ± ⎜ p0 − 0 2 ⎟ − ⎜ p − 0 2 ⎟ dθ v0 ⎠ ⎝ v0 ⎠ ⎝ Explique por qué. 68) R (t ) = (t + 1)iˆ − t 2 ˆj + (1 − 2t )kˆ. el signo menos es el correcto. t1 = 0. t = 2 1 2 1 2 121 http://www. t1 = 0.ve Dr. en este caso. t1 = −1. de la longitud de arco de t 1 a t 2 de la curva que tiene la ecuación vectorial indicada. t = 1. t1 = 0. t2 = 1 3 2 70) R(t ) = 4t iˆ − 3sen tjˆ + 3cos kˆ. t2 = 2 3 69) R(t ) = sen 2tiˆ + cos 2tjˆ + 2t 2 kˆ. t = 2 73) R (t ) = et iˆ + et ˆj + ln tkˆ. ⎛ p02GM ⎜ p− v02 −1 ⎜ k) Separe las variables e integre para obtener cos ⎜ p02GM − p ⎜ 0 v02 ⎝ l) Por último. obtenga r como una función de θ : r0 (1 + e ) r0 v02 r= En donde e = − 1 es la excentricidad. con cuatros dígitos significativos. DÁMASO ROJAS . t2 = 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 71) R ( t ) = t 2iˆ + ⎜ t + t 3 ⎟ ˆj + ⎜ t − t 3 ⎟ kˆ. t2 = 1 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ Obtenga un valor aproximado. y = 2 sen t .1 ≤ t ≤ 3 4 3 2 3 2 3 2 81) x = t .com. y = . z = t . 2 ≤ t ≤ 4 4 3 32 ⎛4⎞ 83) x = t 2 . z = .1 ≤ t ≤ 4 82) x = t .0 ≤ t ≤ 2 78) R ( t ) = t cos tiˆ + t sen tjˆ + 2tkˆ. t2 = 1 75) R(t ) = sen 2tiˆ + cos 2tjˆ + t 2 kˆ. z = 3t . y = t . z = 4t. 0 ≤ t ≤ 8π 20 3 122 http://www. t2 = 4 76) R (t ) = (t + 1)iˆ − t 2 ˆj + (1 − 2t )kˆ. 0 ≤ t ≤ 2 80) x = 3 2 t t t .0 ≤ t ≤ 8 t . y = 3 ⎝3⎠ t 85) x = 2 cos t . 77) R ( t ) = tiˆ + sen tjˆ + cos tkˆ.ve Dr. y = 3t . DÁMASO ROJAS . −π ≤ t ≤ π 86) x = 2 cos t . t1 = 0. t1 = −1. t1 = −1.0 ≤ t ≤ 2 Determine la longitud de arco de la curva dada. y = t . z = t . z = 3t . z = .damasorojas. z = 2t . y = 2 sen t . 79) x = t .1 ≤ t ≤ 4 84) x = t 2 .UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA [Escriba texto] 1 74) R (t ) = cos tiˆ + sen tjˆ + t 3 kˆ. y = ⎜ ⎟ t 2 . t2 = 2 Determine la longitud de la curva con la ecuación vectorial dada.
Report "8.- Movimientos Curvilíneos y Longitud de Arco"