ESTATÍSTICA BÁSICA86 Probabilidade No estudo das probabilidades estamos interessados em estudar o experimento aleatório, isto é, aquele cujo resultado é incerto, embora o conjunto de resultados possíveis seja conhecido. Por exemplo, lançar um dado ou uma moeda e observar o resultado obtido constituem um experimento aleatório. Da mesma forma, sortear uma bola de um conjunto de bolas numeradas de 1 a 100 também é um experimento aleatório. Em termos gerais, a probabilidade determina a possibilidade de ocorrer um determinado resultado. 1. Espaço Amostral (Ω) É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: a) Lançamento de uma moeda: Ω = {c, k} sendo c = cara e k = coroa b) Lançamento de duas moedas: Ω = { c c, c k, k c, k k } c) Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } d) Retirada de uma carta do baralho: Ω = { A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () } e) Vida útil de um componente eletrônico: Ω = { t = IR t 0 } 2. Evento A cada experimento está associado um resultado obtido, não previsível, chamado evento. Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral, sendo representados por letras maiúsculas A, B, C, D, etc. Exemplo: Lançam-se dois dados. Enumerar o espaço amostral e depois os seguintes eventos: A: saída de faces iguais B: saída de faces cuja soma seja igual a 10 C: saída de faces cuja soma seja menor que 2 D: saída de faces cuja soma seja menor que 15 E: saída de faces onde uma face é o dobro da outra F: saída de faces desiguais Solução: O espaço amostral desses eventos (todos os resultados possíveis de serem obtidos no lançamento dos dois dados) está descrito na tabela a seguir: ESTATÍSTICA BÁSICA 87 Tabela 1 – espaço amostral ( Ω) no lançamento de dois dados D1/D2 1 2 3 4 5 6 1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 3 4 5 6 1,3 1,4 1,5 1,6 2,3 ,2,4 2,5 2,6 3,3 3,4 3,5 3,6 4,3 4,4 4,5 4,6 5,3 5,4 5,5 5,6 6,3 6,4 6,5 6,6 Eventos: A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} B = {(4,6), (5,5), (6,4)} C = { } (evento impossível) D = Ω (evento certo) E = {(1,2), (2,4), (3,6), (2,1), (4,2), (6,3)} F=D-A Quando o espaço amostral for finito ou infinito enumerável, todo subconjunto poderá ser considerado um evento. Pode-se demonstrar que se contiver n elementos , existirão exatamente 2n subconjuntos (eventos). Exemplo: Considere um espaço amostral finito: = {A, B, C, D}. Os subconjuntos do espaço amostral são: {, A, B, C, D, (A,B},{A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}, {A,B,C}, (A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}, {A,B,C,D}. Observa-se que 2 4 = 16 é o número de total de eventos extraídos de . 3. Princípios de contagem A notação n(A) será usada para dar o número de elementos distintos de um conjunto A (cardinalidade de A). Alguns autores utilizam #A ou card(A) ao invés de n(A). Um conjunto é finito quando contém exatamente m elementos distintos, m IN. Exemplo: Em um cesto há 6 bolas de vôlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto são retiradas sucessivamente 3 bolas. Calcular o número de elementos dos seguintes eventos: A: As três bolas são da mesma cor. B: Duas bolas são brancas C: As três bolas são vermelhas D: O número de bolas brancas é igual ao número de bolas vermelhas. E: O número de bolas brancas é maior do que de bolas vermelhas ESTATÍSTICA BÁSICA 88 Solução: Espaço amostral do experimento: {BBB, BBV, BVB, VBB, BVV, VBV, VVB, VVV}; n (Ω) = 8 A = {VVV, BBB}; n(A) = 2 B = {BBV, BVB, VBB}; n(B) = 3. C = {VVV}; n( C) = 1 D = n (D) = 0 E = {BBB, BBV, BVB, VBB} 4. Operações com eventos Conjunto universo ou espaço amostral (Ω): é o conjunto formado por todos os eventos possíveis de um experimento aleatório. Todo conjunto é um sub conjunto do conjunto universo, pois todos os elementos do subconjunto pertencem ao conjunto universo (). Subconjunto: Dados dois conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os elementos que pertencem a B também pertencem a A Indica-se: B A ( B está contido em A) A B ( A contém B ) Exemplo: a) Sejam os conjuntos A = { a, b, c, d, e) B = {a, c, e } B A, pois todos os elementos de B estão contidos em A b) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = { 0, 3, 5, 6} B A, pois todos os elementos de B estão contidos em A Conjunto vazio: é conjunto que não contém elementos. Representa-se por { } ou por . O conjunto vazio, , também é um subconjunto de ou de outro qualquer subconjunto de . Exemplo: Lançamento de um dado e obter a face com número 7 (D): D = { } ou D = . 5. Tipos de eventos a) Evento certo É aquele que ocorre em qualquer experimento aleatório Exemplo: No lançamento de uma moeda , com certeza sairá sempre as faces “cara” ou “coroa”. b) Evento impossível o conjunto união A B representa a ocorrência do evento A ou do evento B ou de ambos os eventos. 2.ESTATÍSTICA BÁSICA 89 É aquele que nunca ocorrerá em um experimento aleatório Exemplo: Sair a face 7 no lançamento de um dado. 4. 6} e B = {4. 5} então A B = {5}. A A Ā = { x Ω | x A} d) Evento união ( ) ou soma Se A e B são dois eventos . . 5. 5} então Ā = {2. 3. 3. 6}. 4. 6}. 2. A B = { x Ω | x A ou x B} e) Evento intersecção ( ) ou produto Se A e B são dois eventos. 6} e B = {4. 2. 5. 4. 2. o conjunto intersecção A B representa a ocorrência de ambos os eventos A e B simultaneamente. Exemplo: Se A = { 1. 5. Exemplo: Se A = { 1. c) Evento complementar O evento complementar de A é formado pelos elementos de Ω que não pertencem a A (escreve-se Ā). f) Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos Quando A B = os eventos são mutuamente exclusivos. A B = { x Ω | x A e x B} A B representa a ocorrência do evento A e do evento B simultaneamente. 5. 5} então A B = {1. Exemplo: Se Ω = (1. 6} e A = { 1. 9) n(A) = 5 c) B = { 7. 7} então A B = { }. 5. 3. então n(A B) = n(A) + n(B) Se A e B são conjuntos finitos. c }. 2. e. não disjuntos ou não mutuamente exclusivos. 10} O número de elementos desse conjunto é n(Ω) = 10 b) A = { 1. 5. n(B) = 6 n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) = 4 + 6 – 2 = 8 Nesse caso os conjuntos A e B não são disjuntos. 6} e B = {4. b. 4}. 8. Descrever os seguintes conjuntos e dar o número de elementos de cada um. 3. 7. n(A) = 3 conjunto finito B = { d. então n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) Exemplo: a) conjunto finito A = { a. 10} n(B) = 4 6. 9. 4. 9. 6. g }. 5. 2. 6.ESTATÍSTICA BÁSICA 90 Exemplo: Se A = {1. Propriedades das operações com eventos aleatórios . 3. 7. pois têm elementos em comum (2 e 4). c) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. 5. 8. a) o espaço amostral Ω b) O evento A: o número da bola é ímpar c) O evento B: o número da bola é maior que 6 Solução: a) Ω = { 1. f. Se A e B são conjuntos finitos disjuntos. 9). 8. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado. 2. 4. n(B) = 4 n(A B) = n(A) + n(B) = 3 + 4 = 7 b) conjunto finito A = { 1. n(A) = 4 conjunto finito B = {2. ..91 ESTATÍSTICA BÁSICA Sejam A. As seguintes propriedades são válidas: a) IDEMPOTENTES AA= A A A=A b) COMUTATIVAS AB=BA AB=BA c) ASSOCIATIVAS A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C d) DISTRIBUTIVAS A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) e) ABSORÇÕES A (A B) = A A (A B) = A f) COMPLEMENTARES A A A A A A g) LEIS DE MORGAN A B A B A B A B A B A B 7. En ) formam uma partição de um evento maior S quando: . E2. B e C eventos associados a um espaço amostral Ω.. Partição de um espaço amostral Dizemos que n eventos (E1. E3.. Exercícios . En = S b) Ei Ej = para todo i j e i. E3 } é uma partição do evento S... 3. E1 E3 = . 2} E2: {3. E2 E3 = e S = E1 E2 E3 Então {E1.ESTATÍSTICA BÁSICA 92 a) E1 E2 . 4} E3: {5. E3 En Consideremos uma urna com 6 bolas numeradas... e uma experiência aleatória que consiste em retirar duas bolas da urna. 6} Então.. 2.. Considere os eventos: E1: {1..... E2. temos que E1 E2 = . n} E1 E2 . de 1 a 6. j {1.. Retiram-se dois deles ao acaso e calcula-se a soma dos números obtidos. e se observa a seqüência de faces obtidas. Descreva o espaço amostral: (a) não levando em conta os naipes. (b) levando-se em conta os naipes. Isto é . 2 Descreva um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: (a) 3 jogadas de uma moeda. (d) jogada de uma moeda e um dado. As peças são inspecionadas e suas condições registradas. Considere duas roletas R e T conforme representadas nas figuras: R T 1 2 3 4 5 6 Uma experiência aleatória consiste em acionar a roleta R e em seguida a roleta T e anotar as pontuações obtidas nesta ordem. sucessivamente. a) Qual o espaço amostral ? b) Defina os eventos A a soma das pontuações obtidas é par B a soma das pontuações é 5 C o produto das pontuações é 12 D o produto das pontuações é maior que 20 E a diferença das pontuações é positiva 5. 3 Uma moeda é lançada três vezes. Determine os eventos: a) uma soma par e múltiplo de 3 b) uma soma ímpar e múltiplo de 3 c) uma soma múltiplo de 7 6.ESTATÍSTICA BÁSICA 93 1 De um baralho comum de 52 cartas extrai-se uma carta ao acaso. (b) número de fumantes em um grupo de 500 adultos de sexo masculino. Determinar os eventos: a) o espaço amostral b) faces iguais c) cara na 1a moeda d) coroa na 2a e 3a moeda e) ocorrerem exatamente duas caras f) ocorrerem exatamente duas caras consecutivas g) ocorrerem no mínimo duas caras 4. Em uma caixa existe 5 papelotes numerados de 1 a 5. Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (P). (c) jogar uma mesma moeda até que apareça coroa. a) somente A ocorre b) A e C ocorre. formado pelos números primos f) o evento E formado pelos divisores do número 20 g) o evento complementar de b h) o evento C D i) o evento D E 8. Extrai-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Numa classe de 20 alunos será sorteado um ingresso para uma peça teatral. a) Defina os seguintes eventos através do diagrama de Venn e utilizando as operações dos conjuntos. intersecção e complemento. Exprimir os eventos abaixo através do diagrama de Venn e utilizando as operações de união. 20. y) representam um ponto amostral. Suponha que duas peças sejam selecionadas no lote. 10.ESTATÍSTICA BÁSICA 94 feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que 4 peças tenham sido inspecionadas. B e C ocorrem d) Pelo menos um ocorre e) Exatamente um ocorre f) Nenhum ocorre g) Exatamente dois ocorrem h) Pelo menos dois ocorrem i) No máximo dois ocorrem 9. Usando o plano cartesiano. Se x e y indicam respectivamente os diâmetros da 1a e 2a peças selecionadas. indicar os seguintes eventos: a) A = { x = y } b) B = { y < x } c) C = { x = y – 10} d) D = (x + y) / 2 < 10 } 10. 7. Determine: b) o espaço amostral do experimento c) o evento B formado pelos números múltiplos de 3 d) o evento C formado pelos números menores que 6 e) o evento D. Sejam A. 25 e 30 mm de diâmetro. o par (x. C: ocorrência de pelo menos um dos eventos A e B D: ocorrência de B mas não de A E: ocorrência de A e de B F: ocorrência de A mas não de B . Considere os eventos: A: saída de uma dama B: saída de uma carta de copas. c) A. Descreva o espaço amostral desse experimento. Um lote contém peças de 5. B e C três eventos de um espaço amostral. mas B não. aquilo que ocorrer em primeiro lugar. 15. Para concorrer ao sorteio cada aluno recebeu um número de 1 a 20. y): x y} B: {(x. Defina B C .ESTATÍSTICA BÁSICA 95 G: não ocorrência simultânea de A e de B H: não ocorrência de A e de B 11.B. sem reposição. Seja x o número da primeira bola e y o número da segunda bola. 4.% Para cada um dos outros números do Ω. a probabilidade é de 1 em 52 ou de 1/52. y): y = 6} C: {(x. a) Determine o espaço amostral do experimento. B e C do item anterior. A. Considere um experimento aleatório em que cada um dos n eventos simples do Ω a chance de ocorrência é a mesma. b) Defina os seguintes eventos: A: {(x. mas com reposição da primeira. Nesse caso dizemos que Ω é um espaço equiprovável e que a probabilidade de cada evento é 1/ n. Retiram-se duas bolas sucessivamente. 5. Uma caixa contém 6 bolas numeradas de 1 a 6. a probabilidade de sair a face “3” é de 1 para 6 ou de 1/ 6 ou ainda 16. y): y 12} F: {(x. B.66. A B d) Determine o espaço amostral da retirada de duas bolas sucessivamente. 6} Evento A: sair 3 A = { 3 } A é um evento simples Então. y): x + y é ímpar} E: {(x. y): y = 2x} c) Considere os eventos A.. 3.C . 2. Probabilidade de um evento Considere as seguintes situações: a) No lançamento de um dado qual a probabilidade de sair a face “3”? Ω = {1. a probabilidade é a mesma: 1/ 6 b) Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas. Podemos ampliar essa definição de probabilidade de um evento simples para probabilidade de um evento qualquer . y): x + y = 5} D: {(x.. 8. A probabilidade de ser retirada ao acaso qualquer uma das outras 51 cartas do baralho é 1/52. qual a probabilidade de ser um “rei de copas”? Nesse caso. portanto n(A) = 1 P(A) = n(A) / n(Ω) = 1/ 6 = 0. 6}.66. 3. A probabilidade deve assumir um valor entre 0 e 1.33% Extrações com reposição e sem reposição Muitas situações práticas podem ser comparadas com extrações sucessivas de bolas de uma urna (como selecionar peças de uma produção ou indivíduos de uma população).% b) ocorrência do número par: B = {2.. eventos mutuamente exclusivos.50 = 50% c) ocorrência de número múltiplo de 3: C = {3. An i 1 i forem. como número decimal. Exemplo: 1) No lançamento de um dado. .. portanto n(Ω) = 6 ocorrência do número 2: A = { 2 }.96 ESTATÍSTICA BÁSICA P ( A) n( A) n() Sendo n(Ω) o número de elementos do espaço amostral e n(A) o número de elementos do evento A . = 16.. dois a dois.1666. 4. 6}. se A1.. determinar a probabilidade de se obter a) o número 2 b) um número par c) um número múltiplo de 3 Solução: a) Ω = { 1.. 6 }. A . c) n Ai P i 1 i n P( A ) . 4.. A2 . 5. portanto n(B) = 3 P(B) = n(B) / n (Ω ) = 3/ 6 = 1 / 2 = 0. logo n( C) = 2 P(C ) = n(C ) / n (Ω ) = 2 / 6 = 1 / 3 = 0. 2. Essas extrações podem ser realizadas com reposição ou sem reposição: . A probabilidade deve satisfazer ainda os seguintes axiomas: a) b) P () = 1 P(AB) = P(A) + P(B) se A e B forem mutuamente exclusivos.333 = 33.. fração ou porcentagem: 0 P(A) 1 para todo evento A. com reposição solução a) número de cartas do baralho na 1a extração: n() = 52 número de damas no baralho na 1a extração: n(Q) = 4 n(Q ) 4 P(D1 ) = n() 52 b) número de cartas do baralho na 2a extração: n() = 52 número de damas no baralho na 2a extração: n(Q) = 4 P(D2 ) = n(Q ) 4 n() 52 a) independente da retirada da 1a carta: P(D2 ) = 13/52 9. duas cartas. então P(Ā) = 1 – P(A) 97 . Exemplo: 1. Determinar: a) a probabilidade de tirar dama na primeira carta b) a probabilidade de tirar dama na segunda carta c) a probabilidade de tirar naipe de ouros na segunda carta solução a) número de cartas do baralho na 1a extração: n() = 52 número de damas no baralho na 1a extração: n(Q) = 4 n(Q ) 4 P(D1 ) = n() 52 b) número de cartas do baralho na 2a extração: n() = 51 número de damas no baralho na 2a extração: n(Q) = 3 P(D2 ) = n(Q ) 3 n ( ) 51 c) se a 1a carta retirada foi de ouros: P() = 12/51 se a 1a carta retirada não foi de ouros: P() = 13/51 2. De um baralho de 52 cartas tiram-se sucessivamente. Leis da Probabilidade a) Probabilidade de um evento (A) não ocorrer Se P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer. Idem exemplo 1.ESTATÍSTICA BÁSICA o com reposição cada bola retirada é devolvida à urna antes da extração da bola seguinte o sem reposição uma bola retirada não é devolvida à urna. sem reposição. portanto. P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 4/ 52 = 48 / 52 = 12 / 13 b) Probabilidade de um evento (A) ou outro evento (B) ocorrer Duas situações podem ocorrer: Se dois eventos forem mutuamente exclusivos (A e B não podem ocorrer juntos) P(A ou B) = P(A + B) = P(A) + P(B) Se dois eventos não forem mutuamente exclusivos (A e B podem ocorrer juntos) P(A ou B) = P(A B) = P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A B) Exemplo Retirando-se uma carta do baralho.ESTATÍSTICA BÁSICA 98 Esse evento é o complementar ao evento A . Os eventos são. Logo P(A) + P(Ā) = Ω = 1 Exemplo: Qual a probabilidade de não se pegar um “A” de um baralho de 52 cartas. mutuamente exclusivos A: retirada de uma carta de ouros B: retirada de uma carta de espadas P(A) = 13/52 = 1/ 4 P(B) = 13/52 = 1/ 4 P(A ou B) = P(A) + P(B) . qual a probabilidade a) que a carta seja de ouros ou de espadas b) que a carta seja de ouros ou seja um “A” Solução a) Uma carta de ouros e uma carta de espadas não podem ocorrer ao mesmo tempo. Nesse caso. A: retirada de uma cartas de ouros B: retirada de um “A “ P(A) = 13/52 P(B) = 4/52 Existe uma carta no baralho que é tanto um “A “ quanto de ouros. a) qual a probabilidade que saiam duas cartas de ouros? b) Se a primeira carta de ouros foi devolvida. sendo P(B A) a probabilidade de B. qual a probabilidade que a segunda seja também de ouros? Solução: Seja A: retirada de uma carta de ouros Seja B: retirada da segunda carta de ouro a) A primeira carta de ouros tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4 A segunda carta de ouros tem P(B A) = 12/ 51 Os eventos não são independentes Então P(A e B) = P(A) * P(B A) = 1/ 4 * 12 /51 = 12/ 204 = 3/ 51 b) A primeira carta de ouros tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4 A segunda carta de ouros tem P(B) = 13/ 52 = 1/ 4 Os eventos são independentes Então P(A e B) = P(A) * P(B) = 1/ 4 * 1 /4 = 1/ 16 Os diagramas em árvores também podem ser utilizadas no cálculo das probabilidades: 1/ 4 B segunda carta 1/ 4 * 1/ 4 = 1/ 16 .ESTATÍSTICA BÁSICA 99 P(A ou B) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2 b) Seja. Exemplo: Foram retiradas duas cartas do baralho. dado que A ocorreu. A e B não são mutuamente exclusivos P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A ou B) = 13/ 52 + 4/ 52 – 1/ 52 = 16/ 52 = 4/ 13 c) Probabilidade de um evento (A) e outro evento (B) ocorrer Duas situações podem ocorrer: o Se dois eventos forem independentes (a seleção do evento A não altera a composição do evento B) P(A e B) = P(A) * P(B) o Se dois eventos não forem independentes (a seleção do evento A altera a composição do evento B ) P(A e B) = P(A) * P(B|A) . p = p! r p ! p Onde r! = r. Qual a probabilidade de se formar uma comissão de 5 membros.1)(r .1 p! = p.7! 120 3.(p – 1)(p – 2). 3 2 P(A) = 27 5 .7! Exemplo: Em um congresso científico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos..1 admite-se que 0! = 1 Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podem-se formar com um grupo de 10 pessoas? 10 10! C10. comissões formadas por 3 matemáticos e 2 estatísticos A = 3 2 15 12 .3 = 3!(10 3)! 3 10. na qual figurem 3 matemáticos e 2 estatísticos? Solução: A: comissão de 3 matemáticos e 2 estatísticos 27 número de comissões possíveis de 5 elementos = 5 15 12 . calcula-se por r r! Cr.. Lembramos que a combinação de r elementos tomados p a p (p r). devemos usar a análise combinatória como processo de contagem. Nesses caso.(r .8.100 ESTATÍSTICA BÁSICA 1/ 4 carta de ouros A de ouros 3/ 4 segunda carta não é de ouros 3/ 4 carta não é de ouros Contagem por análise combinatória Nem sempre é possível enumerar o espaço amostral.9..2)..2. 6! 28 vezes B pode ocorrer 2!(8 2)! 2.2! 2 S pode ocorrer 2!(12 2)! 2 Logo.2! 6 vezes A pode ocorrer 2!(4 2)! 2.10! 66 vezes 2. Solução: A: saída de 3 caras e 2 coroas = 25 = 32 número de possibilidades em 5 moedas ( espaço amostral) 5 A = = 10 número de possibilidades de 3 caras em 5 jogadas 3 .11.6! 2 12 12! S pode ocorrer 2!(12 2)! 2 Logo. P(A) = 12.101 ESTATÍSTICA BÁSICA Exemplo: Num lote de 12 peças. Calcule: a) A probabilidade de ambas serem defeituosas b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.7. P(B) = 12.11.10! 28 14 66 33 c) C = (ao menos uma é defeituosa) C é o complemento de B. 4 são defeituosas. Solução: a) A = (ambas são defeituosas) 4 4! 12 12! 4.10! 6 1 66 11 b) B = (ambas não são defeituosas) 8 8! 8.3. duas peças são retiradas aleatoriamente.10! 66 vezes 2. isto é C = B P(C ) = 1 – P(B) = 1 - 14 19 33 33 Exemplo: Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda. Qual é a probabilidade do guarda aplicar exatamente 4 multas em um dia? .ESTATÍSTICA BÁSICA P(A) = 102 10 5 32 16 Exercícios 1. Numa cidade os táxis de uma frota estão numerados de 1 a 200. Qual a probabilidade do número sorteado ser múltiplo de 2 ou de 3? 3. Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. A probabilidade de um guarda aplicar 4 ou mais multas em um dia é de 63%. Qual a probabilidade de uma pessoa chamar um táxi de número maior que 122? 2. Uma bola é extraída ao acaso dessa urna. A probabilidade do guarda aplicar 4 ou menos multas em um dia é de 56%. Uma urna contém 5 bolas brancas. Seja um experimento com reposição. 7. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. 5. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. da mesma cor das balas de abacaxi). extrai-se uma bola de uma urna. Achar a probabilidade de que: a) nenhuma seja vermelha b) exatamente uma seja vermelha c) todas sejam da mesma cor 10. isto é. 9. contendo 10 bolas vermelhas. Determine a probabilidade de: a) A ganha todas as três b) Duas partidas terminarem empatadas c) A e B ganham alternadamente 11. duas de abacaxi e 9 são “drops” cítricos (três brancos e 6 amarelos. devolva e depois retire outra de hortelã f) que ele retire duas balas . Um dado é lançado 3 vezes sucessivamente. Demonstrar que P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC). 5 de café. Qual a probabilidade do consumidor comprar os dois aparelhos sem defeito? a) Qual a probabilidade do consumidor comprar os dois aparelhos com defeito? b) Qual a probabilidade do consumidor comprar pelo menos um dos aparelhos c) defeituosos? 8. sem reposição. Seja o evento E: “pelo menos um dos números obtidos é diferente dos outros”. 3 brancas e 5 azuis. A e B concordam em jogar 3 partidas. Achar a probabilidade das duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha. Anota-se a cor da bola retirada e devolve-se a mesma à urna. 6.ESTATÍSTICA BÁSICA 103 4. Qual a probabilidade: a) do primeiro aluno retirar uma bala de hortelã b) que ele retire qualquer bala que não seja de abacaxi c) que ele retire uma bala de café ou um drops cítrico d) que ele retire uma bala amarela ou drops cítrico e) que ele retire uma bala de café. Um professor distribuiu balas entre seus alunos. Determinar o evento complementar de E. Uma loja tem um lote de 10 aparelhos de CD. B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B jogam 120 partidas de xadrez. 4 vermelhas e 3 azuis. Nesse lote existem dois aparelhos com defeito. Existem 20 balas que são dos seguintes tipos: 4 de hortelã. Um consumidor compra dois aparelhos do lote escolhidos aleatoriamente. Qual a probabilidade de se retirar duas bolas vermelhas? R: ¼ . . das quais A ganha 60. ambas de café. São retiradas 3 bolas. Probabilidade condicional Sendo conhecido o espaço amostral de um experimento aleatório. podemos ter interesse em calcular a probabilidade de um evento não em relação a todo espaço amostral. conforme tabela a seguir. suponha que um determinado evento ocorreu. mas em relação a um outro conjunto de condições? O estudo da probabilidade desses eventos chamamos de probabilidade condicional.104 ESTATÍSTICA BÁSICA 12. Considere uma caixa contendo 100 bolas de diferentes tamanhos e cores. Categoria profissional Médico Técnico de Laboratório Enfermeiro Técnico em radiologia Manutenção Terapeuta Serviço administrativo Total Até 25 anos 5 20 200 4 10 6 20 265 De 26 ate 35 anos 30 65 816 29 35 60 85 1120 Mais de 35 anos 75 35 203 12 22 13 25 385 Total 110 120 1219 45 67 79 130 1770 Se um dos funcionários é escolhido aleatoriamente no conjunto dos 1770 empregados. qual a probabilidade dele ser médico? Sejam os eventos B: médico S: funcionário do hospital n( B ) 110 Então P(B) = n( S ) 1170 0.06 . Azul Branca Vermelha Total TAMANHO Grande Média Pequena 5 8 10 8 10 13 12 15 19 25 33 42 Total 23 31 46 100 a) Qual a probabilidade de ser sorteado uma bola vermelha ? b) Qual a probabilidade de ser sorteado uma bola vermelha ou branca ? c) qual a probabilidade de sair uma bola azul ou uma bola grande ? 10. Exemplo: A tabela a seguir classifica em categorias os funcionários de um hospital. Tal evento pode modificar o cálculo da probabilidade de um segundo evento qualquer? Por outro lado. qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ser médico? Agora. quando se sabe que a bola retirada é pequena. Em uma caixa contém 50 bolas de diferentes tamanhos e cores. Solução: n(Ω) = 50 n(V) = 16 n(Pe) =v18 n(V Pe) = 3 . dado que A já ocorreu do seguinte modo: P B A P B A P A Tiramos da definição da probabilidade condicional o chamado Teorema do Produto: P(B A) = P(A)*.P(B A) Exemplos: 1. Denomina-se probabilidade condicional de B. trata-se de uma probabilidade condicionada ao conjunto dos funcionários com mais de 35 anos. Cor Azul Branca Vermelha Total Grande 3 5 4 12 Média 5 6 9 20 Pequena 7 8 3 18 Total 15 19 16 50 Achar a probabilidade de ser sorteada uma bola vermelha. Seja o evento A3 : funcionário com mais de 35 anos Então P(B A3) = n( B A3 ) 75 0.19 n( A3 ) 385 Conceito clássico de probabilidade condicional Sejam A e B dois eventos com P(A) > 0.105 ESTATÍSTICA BÁSICA Supondo agora que o conjunto dos funcionários refere-se aqueles com mais de 35 anos de idade. conforme tabela a seguir. Solução: Seja A: “sair um número menor que 4” e B: “sair um número ímpar” .67% 18 18 50 2.P V V 2 1 9 8 3 2 9 8 4 3 9 8 4 3 1 . 9 8 6 b) P MC . n 50 P Pe n Pe 18 . n 50 PV Pe nV Pe 3 n 50 3 3 PVlPe 50 0. . Disciplina Sexo H M Total F Q Total 40 70 110 60 80 140 100 150 250 Um aluno é sorteado ao acaso. 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que esteja cursando química. que relaciona disciplina X sexo de uma faculdade.1667 16.106 ESTATÍSTICA BÁSICA PV nV 16 . Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas.P Q M 150 150 P M 250 4. 20 5 72 18 3. sabendo-se que o resultado é um número ímpar. dado que é mulher? Solução: 80 P Q M 250 80 . Considere a tabela a seguir. Determinar a probabilidade da jogada de um dado resultar em um número menor que 4. Qual a probabilidade de que ambas a) sejam verdes? b) sejam da mesma cor? Solução: a) P V V P V . . Seja P: “o aparelho é perfeito” D: “o aparelho é defeituoso” Então o que se deseja é P(D/D) ou P(D/P) 2 6 P( D D) P ( D P ) 20 20 1 2 3 Assim P D / D P D / P 2 3 P( D) P( P) 4 4 4 5 5 . Achar a probabilidade do segundo aparelho ser defeituoso. São retiradas duas bolas. P B / A 3 P( A) 3 7 7. Em uma urna existem 3 bolas verdes e 4 bolas pretas. Sabendo-se que a primeira bola é verde. Solução: Seja A: “primeira bola é verde” e B: “a segunda bola é preta”. achar a probabilidade de que a segunda bola seja preta. Solução: Seja A: “sair uma carta de ouros” e B: “sair um rei” 1 P ( B A) 52 1 Então P B / A 13 P ( A) 13 52 6. Achar a probabilidade de que seja um rei. Então P B / A P ( B A) P ( A) P(A) = 3 / 7 P(B A) = 12 / 42 12 P ( B A) 42 2 Logo. sendo que o primeiro já está escolhido.ESTATÍSTICA BÁSICA 107 2 P( A B 6 2 Então P A / B 3 3 P B 6 5. e sabe-se que nesse lote existem 2 aparelhos com defeito. Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas e sabe-se que saiu uma carta de ouros. Um consumidor compra 2 aparelhos do lote. Uma loja tem um lote de 5 parelhos de DVD. escolhidos aleatoriamente. P( B i 1 i Ai ) Exemplo: 1. Teorema da Probabilidade Total Seja A1. ...P ( B A2 ) .. Então n P ( B ) P ( B A1 ) P ( B A2 ) ...108 ESTATÍSTICA BÁSICA 11..P ( B An ) = n P( A ). A3 eventos que formam uma partição do espaço amostral.+ P ( An ). Seja B um evento desse espaço.P ( B A1 ) P ( A2 ). Escolhe-se.Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. A2. ao acaso. P ( B An ) P ( B Ai ) i 1 P(B) = P ( A1 ). Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. uma urna e dela retira-se uma bola. Qual a probabilidade de ser branca? 3B 2A 4B 2A I P I P II II 1 2 1 2 P( B I ) 3 5 P B II 4 2 6 3 Logo a bola branca pode ocorrer: P(B) = P(B I) + P(B II) P(B) = P(I)*P(B / I) + P(II)*P(B/I) .. 15% e 10% respectivamente para cada um dos três funcionários. pede-se a probabilidade de se encontrar um erro de arquivamento nessa secretaria.P(EC) + P(A/ EJ).30 P(E) = 0.25 + 0.15 P(A/EM) = 0.0375 EC 45% 25% J 15% EJ 0.10 P(E) = P(A/EC). 2 5 2 3 30 resolução usando o diagrama em árvore (I B) 3/5 B 3/10 A 1/5 I 1/2 2/5 3/10 + 1/3 = 19/30 (II B) 2/3 B 1/3 1/3 A 1/6 1/2 II 2. enquanto Jorge arquiva 25% e Manoel os outros 30%. .09 . O funcionário Carlos arquiva 45% dos documentos. P(EM) P(E) = 0.05 P(A/EJ) = 0.15*0.109 ESTATÍSTICA BÁSICA P B 1 3 1 2 19 .0225 JE 0.05*045 + 0.10*0. Solução: Seja A: “documento mal arquivado” P(A/EC) = 0. Numa secretaria três funcionários são responsáveis pelo arquivo de documentos. P(EJ) + P(A/EM).09 Resolução pelo diagrama em árvore 5% C CE 0. Supondo que a percentagem de documentos arquivados de forma errada seja de 5%. se der cara.n P Aj B P Aj . e a urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis.110 ESTATÍSTICA BÁSICA 30% 10% ME EM 0.. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento? Solução: 3V 2A A 2V 8A B Queremos: P(V/C) P C 1 2 P(V C ) 3 5 P K 1 2 P V K 2 10 Pelo teorema da probabilidade total: P(V) = P(C V) + P(K V) P(V) = P( C) .030 M 12. extrai-se uma ficha da urna A.. se der coroa .P B A i 1 i . n i Exemplo: A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis. Uma ficha vermelha é extraída. Joga-se uma moeda.2.. Considerando a figura anterior ..2. Teorema de Bayes O teorema de Bayes relaciona uma das parcelas da probabilidade total com a própria probabilidade total. j 1...P B Aj n P A . P(V/K) ... P(V/C) + P(K) . conhecido P(Ai) e P(B/Ai) e i = 1. extrai-se uma ficha da urna B. R. como segue: (C V) 3/5 1/ 2 V P V C 3 2 4 10 20 10 A 2/10 1/ 2 V (K V) P C V 3 / 10 3 4 / 10 4 K A Exercícios: 1. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um pênalti são respectivamente 2/3.111 ESTATÍSTICA BÁSICA Então: P (V ) 1 3 1 2 4 .: 1/6 c) todos errarem. 2 5 2 10 10 Calculando agora P(C/V) 3 P V C 10 3 . 4/5 e 7/10. R. R. .: 28/75 b) apenas um acertar. qual a probabilidade de : a) todos acertarem.: 1/50 . Se cada um cobrar uma única vez.P C V 4 P V 4 10 O problema também pode ser resolvido pelo diagrama em árvore. das quais 8 são defeituosas.: 5/12 . Seja x o número da primeira bola retirada e y o número da segunda. d) Qual o espaço amostral do experimento. mas não de B <G> não ocorrência simultânea de A e B <H> não ocorrência de A e não ocorrência de B b) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Explique. retiram-se duas bolas simultaneamente sem reposição.: 11/57 4.: 7/12 c) sair um número impar.: a) 12/30 b) 17/30 c) 15/30 5. R. 4. P(A/B) e P(B/A).y): x + y é impar} <E> = {(x. R. 6. 4. 6.: 7/12. Numa caixa existem 12 tiras de papel numeradas do seguinte modo: 1. ¾ e ½. Calcule: P(AB). (b) não tenha grandes defeitos.y): y = 6} <C> = {(x. 3. 3. R. R.y):x < y } <B> = {(x. 7. Um artigo é escolhido ao acaso. 6. quando se retiram simultaneamente duas bolas. 2. 5 com pequenos defeitos e 3 com grandes defeitos. Uma caixa contém 6 bolas numeradas de 1 a 6. P(B) = 1/3 e P(A B) = ¼. Considere os eventos: <A> saída de uma dama <B> saída de uma carta de copas a) Defina e construa um diagrama para cada um dos eventos <C> ocorrência de pelo menos um evento A e B <D> ocorrência de B. (c) ou seja perfeito ou tenha grandes defeitos. Determine a probabilidade de que ele: (a) não tenha defeitos. Selecionando uma tira de papel ao acaso.y): x + y = 5} <D> = {(x.y): y = 2x} c) Qual o espaço amostral considerando a retirada sucessiva de duas bolas. Um lote é formado por 12 artigos bons. mas não de A <E> ocorrência de A e de B <F> ocorrência de A. 3. R.ESTATÍSTICA BÁSICA 112 2. 2. 4. a) Descreva os resultados dos eventos possíveis de acontecerem b) Descreva os seguintes eventos <A> = {(x.y): y 6} <F> = {(x.: 1/4 b) sair um número par. (b) exatamente uma seja defeituosa. R. qual a probabilidade de: a) sair o número 3. Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = ½. Determine a probabilidade p de que: (a) nenhuma seja defeituosa. 5. Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 20 lâmpadas. Suponha um baralho comum de 52 cartas do qual se extrai uma carta. 3. com reposição da primeira. A distribuição destes trabalhadores por classe de idades é a seguinte: Menos de 21 De 21 a 50 anos Homens 5 30 mulheres 3 18 . O armário I tem 3 bolas de voleibol e uma de basquete. Uma caixa em um depósito contém 4 lâmpadas de 40W. qual a probabilidade que seja examinada pelo menos 6 lâmpadas? 11. R. Numa população. enquanto o armário II tem 3 bolas de voleibol e 2 de basquete. R.: 42 b) Selecionando um aluno ao acaso. ter se inscrito para Fortaleza. Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 3/8. Calcule: a) P(A + B) b) P( A ) c) P( B ) d) P( A e B ) 9. sabendo-se que o armário II foi escolhido c) de basquete 12.ESTATÍSTICA BÁSICA 113 d) sair um número divisível por 3. R. Dois armários guardam bolas de voleibol e basquete.: 32 13. 40% das famílias têm televisão. Se 3 lâmpadas são selecionadas aleatoriamente: a) Qual a probabilidade de ser selecionado exatamente 2 das lâmpadas de 75W? b) Qual a probabilidade de serem selecionadas 3 lâmpadas da mesma potência? c) Qual a probabilidade de que uma lâmpada de cada tipo seja selecionada? d) Se as lâmpadas são selecionadas uma a uma até que seja encontrada uma de 75W. 8. a) Quantos alunos tem a turma ? R. Os alunos de uma turma pretendem realizar uma viagem. P(B) = ½ e P(A e B) = ¼. 5 de 60W e 6 de 75W.: 5/12. Calcule a probabilidade de: I) ter pelo menos um dos tipos de aparelho. calcule a probabilidade da bola ser a) de voleibol. Uma família é escolhida ao acaso. sabendo-se que o armário I foi escolhido b) de basquete. R.: 50% IV) ter só televisão. ter se inscrito em apenas uma viagem R. mas não para Natal R. 30 alunos inscreveram-se na viagem a Fortaleza. Na inscrição. R. Numa fábrica trabalham 30 mulheres e 50 homens. Todos os alunos inscreveram-se em pelo menos um destino.: 60% III) não ter qualquer aparelho. qual a probabilidade de: 1. 22 na viagem a Natal e 10 inscreveram-se nos 2 destinos.: 20 2.: 50% II) não ter televisão. R.: 20% V) ter um só aparelho. Escolhendo-se ao acaso um armário e em seguida uma das bolas . 30% têm computador e 20% têm ambos os aparelhos.: 30% 10. : 3/5 14. sendo que tem idade entre 21 e 30 anos R.: 30% c) não estar inscrito em nenhuma disciplina R.: 85% b) freqüentar pelo menos uma das disciplinas R. sendo que freqüenta Sociologia. sendo que é mulher R. Determine a probabilidade de : a) a garrafa ser de suco de laranja b) ter sido retirado da caixa A. A probabilidade de fechamento de cada rela do circuito apresentado a seguir é dada por p. sabendo que é de suco de laranja. Qual a probabilidade de: a) não estar inscrito em Sociologia R. qual a probabilidade da pessoa ser: a) Homem R.: 1/10 c) ter mais de 50 e ser mulher R.: 70% d) estar inscrito em Psicologia. Se todos os relés funcionarem independentemente. Numa escola. Escolhe-se uma caixa ao acaso e dela tira-se uma garrafa. Um estudante é escolhido ao acaso.: 9/40 f) ser mulher.: 9/80 d) ser mulher ou ter a idade entre 21 e 50 anos R. Qual a probabilidade de que a comissão seja formada por: a) rapazes b) duas moças e dois rapazes c) pelo menos um rapaz 15. R. 17.: 5/8 b) ter menos de 21 anos R. Numa turma de 30 alunos. qual será a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R? 1 2 L R 3 4 . Considere duas caixas A e B. Pretende-se escolher 4 alunos para formar uma comissão representativa da turma.: 3/8 g) ter entre 21 e 30 anos.: 2/3 16.114 ESTATÍSTICA BÁSICA Mais de 50 anos 15 9 Escolhe-se uma pessoa ao acaso. 15% em Sociologia e 10% em ambas disciplinas.: ¾ e) ser mulher e ter idade entre 21 e 30 anos R. 20 são rapazes e 10 moças. A caixa A contém 3 garrafas de suco de laranja e 5 de suco de maracujá e a caixa B contêm 4 garrafas de suco de laranja e 6 de suco de maracujá. 25% dos alunos estão inscritos em Psicologia. 3/5 e 3/10. a urna III tem 3 bolas brancas e 4 pretas. dado que sejam A. 3 vermelhas e duas brancas.ESTATÍSTICA BÁSICA 115 18. Certa loja vendeu um carro da marca X. não se pode utilizar diretamente os recursos estabelecidos na estatística descritiva.50? 20.00 e 4 de 0. Qual a probabilidade do indivíduo que comprou ser da classe B? R: 4/7 24. A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de ¾. Uma urna I tem 3 bolas brancas e 2 pretas. 4 vermelhas e 3 pretas. 6 vermelhas e 7 pretas. Qual a probabilidade de. As probabilidades dos indivíduos comprar um carro da marca X são 1/10. obtermos 1. qual a probabilidade de ser menor? 23. B e C respectivamente. da classe B é de 1/5 e da classe C 1/20. Passa-se uma bola. Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha? 21. quando os componentes (cara ou coroa) não são valores numéricos. Qual a probabilidade do problema ser resolvido? 22. qual a probabilidade de ser homem? e) Dado que a escolhida é mulher. Um grupo de 15 elementos possui a seguinte composição: Menores Adultos Homens Mulheres 5 3 5 2 Pede-se: a) Qual a probabilidade de ser homem? b) Qual a probabilidade de ser adulto? c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher? d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto. Uma bola é retirada de cada urna. Foram extraídas 3 bolas com reposição. A probabilidade do aluno X resolver este problema é 3/5 e a do aluno Y é 4/7. Feito isso. Variável Aleatória discreta Quando o espaço amostral de um experimento não é constituído por números reais. Numa bolsa temos 5 moedas de 1. de I para II.50. Outra contém 18 bolas: 5 brancas. uma urna II tem 4 bolas brancas e 5 pretas. retira-se uma bola de II e retiram-se 2 bolas de III. Ë o caso do lançamento de uma moeda e observação de sua face superior. Uma urna contém 5 bolas pretas. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor? 19. ao retirarmos duas moedas. Qual a probabilidade de saírem 3 bolas da mesma cor? R: 11/50 13. . escolhida aleatoriamente. c). Determinar a distribuição de probabilidade de X. c). k) com probabilidade ¼ X = 1 corresponde ao evento (c. k) e (k. Seja X a soma das faces. Distribuição de probabilidade da variável aleatória X é a associação de cada possível resultado da variável aleatória X à sua probabilidade de ocorrência P(X). k). Exemplo: O número X de peças defeituosas em cada cinco peças inspecionadas. isto é.1 Função de Probabilidade A função P(xi) = P(X = xi ) que associa um número P(x i). Para que haja uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é necessário que n p( x ) 1 i 1 i Exemplo: Lançam-se duas moedas. X = 0 corresponde ao evento (k. 1. 3. 5} 13. (c. é o conjunto de pares [xi. (k. Solução: O espaço amostral = {(c. P(x i)]. Determinar a distribuição de probabilidade de X. Faces dos dados X P(X) . Variável aleatória é qualquer função que associa números reais aos eventos de um espaço amostral.c) com probabilidade ¼ Tabela X P(X) 0 ¼ 1 ½ 2 ¼ 1 P(x) ½ ¼ 0 1 2 x Exemplo: Lançam-se 2 dados. 4. c) com probabilidade 2/4 X = 2 corresponde ao evento (c. X = {0. (k. Seja X: número de ocorrências da face cara.116 ESTATÍSTICA BÁSICA Para a utilização desses recursos é necessário estabelecer uma função que transforme o espaço amostral não numérico em um espaço amostral numérico. k)} Os valores possíveis da variável aleatória X serão 0. denominado de função de probabilidade da variável aleatória X. 1 e 2. 2. Uma variável aleatória será discreta se o número de valores possíveis de X (contradomínio) for finito ou infinito numerável. A função é não decrescente Exemplo: Admita que a variável aleatória X tome os valores 0.117 ESTATÍSTICA BÁSICA 11 12. 44 36. 1. 22 14. 53. 23. 63. 65 66 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1 13. . 21 13. P(a X b) = F(b) – F(a) 5. 3 6 2 F(X) = 0 se x 0 F(X) = 1 3 se 0 x1 F(X) = 1 2 se 1 x2 F(X) = 1 se x2 Eis o gráfico de F(X). F 1 4. 32 15. F(x) . 55 56. 62. 61. 10 4.2 Função de distribuição acumulada É a soma das probabilidades dos valores xi menores ou iguais a x. 31. 52. 33 16. F ( x) P ( X x) p( x ) xi x i Propriedades: 1. 45. 51. respectivamente. 41. P(a X b) = F(b) – F(a) + P(X = a) 6. F 0 3. 35. 34. 54 4 10. F(X) = P ( x) xi x 2. 43 26. 42. P(a X b) = F(b) – F(a) – P(X = b) 7. 2 com probabilidades 1 1 1 . 24. 25. as crianças que ainda tivessem alguma reação alérgica recebiam nova dose da vacina.533 para 2 x < 3. 934 – 0. considerando: . Seja X: número de bolas brancas.45) = F(2. 288 = 0.689 Exercícios: 1) Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. determinar a distribuição de probabilidades de X. esse valor fica inalterado no intervalo [2. Após um mês da vacinação.1) = F(2.288 b) P(x 2) = P(x = 1) + P(x = 2) = 0. determine a probabilidade da criança: a) ter recebido duas doses: P(x = 2) b) ter recebido até duas vacinas: P(x 2) c) ter recebido entre 2 e 4 vacinas: P(2 x 4) Solução: n ( D 2) 288 a) P(x=2) = n() 1000 0. c) P(2 x 4) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) = 0.689 ou P(2 x 4) = F(4) – F(2) + P(2) = 0. Isto é F(2.3).118 ESTATÍSTICA BÁSICA 1 1/2 1/3 0 1 2 3 x Exemplo: Uma população de 1000 crianças foi vacinada contra um tipo de alergia.533 + 0.533 Como a variável só tem valores inteiros.99). Ao fim de 5 doses. Por isso podemos escrever F(x) = P(X x) = 0. Os resultados estão na tabela a seguir: Gráfico Doses 1 2 3 4 Frequência 245 288 256 145 Freqüência 245 533 789 934 acumulada 5 66 1000 0 1 2 3 4 5x Se uma criança é sorteada ao acaso. Retiram-se 3 bolas. todas as crianças foram consideradas imunizadas. F(2). isto é: n E(x) = x1 P ( x1 ) x2 P ( x2 ) . Por exemplo. o valor esperado do lançamento de um dado não viciado é 3. 5.5). . São retiradas aleatoriamente 3 pessoas. b) Calcule P(X 4 ) e P(X < 3) c) Calcule P( X – 3 < 2) 3) Uma variável aleatória discreta tem a distribuição de probabilidade dada por P(X) = K para x = 1.5 (prove). F(-0. F(0. F(3)..119 ESTATÍSTICA BÁSICA a) sem reposição b) com reposição 2) Dada a tabela: X 1 2 3 4 5 P(X) P2 P2 P P P2 a) Ache p. 13. b) Determine a função acumulada F(x) c) Construa o gráfico F(x) d) Calcule as probabilidades I) P(X 2) II) P(X 0) III) P(1 X 3) IV) P(2 X 3) V) P(X 2) e) Determine: F(2. F(3.5).3 Esperança matemática (Valor esperado) É a média dos possíveis resultados esperados considerando o peso de cada probabilidade de ocorr6encia de x. Construa uma tabela.5). 3.. Faça X a variável aleatória número de rapazes a) Determine a distribuição de probabilidade da variável X. p( xi ) i 1 O valor esperado nem sempre assume um dos valores da distribuição. xn P ( xn ) xi . 7 x a) calcular o valor de K b) calcular P(x = 5) 4) Numa sala tem 5 rapazes e 4 moças.5). 10 = 2. KKC.120 ESTATÍSTICA BÁSICA Exemplo: Lançam-se 3 moedas. O preço é variável de acordo com o número de clientes: 10.10 Qual a quantidade média de clientes esperada por dia? y = número de clientes que ocupam quartos E[y] = 1.E(X) i 1 i i . 0. 0.00 com dois clientes. 0. CCK. Seja x o número de ocorrências da face cara. 0.45 + 3.375 + 2.(0. p( x ) = k. Espaço amostral (): CCC. 0.125 3/8 = 0.35 A quantidade diária média de clientes é de 2.10) = 32.00 com três clientes e 85. Calcule o número médio de caras nesse lançamento.60 A diária média do estabelecimento será de 32.15 + 2.00 com quatro clientes.375 + 3. p( x ) = k.xi . KKK N0 DE CARAS (X) 0 1 2 3 P(X) 1/8 = 0.(0. 0.(0.35. 20. k = constante Demonstração: n E(k) = n k.30 P(4 clientes) = 0. 42.00 para um cliente.15) + 20. i 1 n x . KCK.x) = k .E(X) Demonstração: n E(k.375 1/8 = 0. 0.125 + 1.45 P(3 clientes) = 0. KCC.x) = k. Qual o valor médio esperado por dia pela pousada? x = diária de um quarto ocupado E(x) = 10. CKC.60.15 P(2 clientes) = 0.5 Exemplo: Uma pousada possui dois quartos duplos iguais. i i 1 II) i 1 p ( xi ) = k.45) + 42.30) + 85. 0.1 = k E(k. As probabilidades relativas à ocupação dos quartos são as seguintes: P(1 cliente) = 0.30 + 4.(0.125 E[X] = 0. p( xi ) = k. Propriedades do valor esperado: I) E(k) = k. CKK.125 = 1.375 3/8 = 0. 30 2 0. A altura média de uma um grupo de pessoas é 1. 0. A variância é uma medida que dá o grau de dispersão de probabilidades em torno da média.x) = E(X) – E(x) = E(X) . 0. 0.30 + 3.4 Variância e Desvio Padrão O conhecimento da média de uma distribuição de probabilidades não avalia o grau de dispersão das probabilidades em torno dessa média.70 m e a variância 25 cm2.05 O número esperado de venda semanal será: Média E[x] = 0. p ( xi ) e E(x) = 2 i 1 n x .15 + 4. por semana: Xi (vendas) P(xi) 0 0.05 E[x] = 1.0.x = 0 13.(020) + 1. obtém-se uma fórmula mais fácil de ser aplicada: Var (X) = E(X2) – {E(X)}2 Onde: n 2 E[X ]= xi . Exemplo: Um gerente de loja construiu a seguinte distribuição de probabilidade para vendas de fogões.30 + 2.55 fogões Variância: V(x) = E[x2] – {E[x]2}= . A definição de variância de uma variável aleatória discreta é dada por: 2 = Var (X) = E{[X – E(X)]2} Desenvolvendo o quadrado da diferença. Contornamos esse problema definindo desvio padrão.20 1 0.15 4 0. que é a raiz quadrada da variância. p( x ) i 1 i i A variância é um quadrado e muitas vezes o resultado torna-se artificial.121 ESTATÍSTICA BÁSICA III) IV) E(X Y) = E(X) E(Y) n X E ( X i ) i i 1 i 1 n V) E(aX b)=E(aX) b.30 3 0. a e b constantes VI) E(X . E(X) i 1 i i i 1 i i 3.30 + 32 . a) Construir a distribuição de probabilidade através de uma tabela e gráfico das seguintes variáveis I) W=X–Y I) A = 2. 0. 0. p( x ) = k.5) . Z e B e fazer os respectivos gráficos c) Aplicando as propriedades da função acumulada.x) = k2.25 Desvio padrão: = 1.Y) V(X Y) = E {[( X Y ) – E ( X Y)]2 } n n X V ( X ) 2 cov X i .x .55]2 V(x) = 1. a e b constantes 13.65 – [1.65 V(x) = 3.V(X) Demonstração: n V(k.05 = 3.0. 0. k = constante Demonstração: V(k) = E{[k – E(k)]2} = E{[k – k]2} = 0 2.25 = 1.5 Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias Exemplo: No lançamento simultâneo de dois dados. p( x ) = k.x) = n k . considere as seguintes variáveis aleatórias: X = número de pontos obtidos no primeiro dado Y = número de pontos obtidos no segundo dado.15 + 42 .12 Propriedades da variância: 1. X j 4. V(k) = 0. V i i i 1 i j i 1 n 5. 0.20 + 12. V(k.122 ESTATÍSTICA BÁSICA E[x2] = 02.Y) b) Construir a função acumulada das variáveis W.Y III) B = máximo de (X.30 + 22 .Y II) Z = X. V(aX b) = a2 V(X) . x . V(X Y) = V(X) V(Y) 2 cov (X. calcular as probabilidades: I) P(-3 W 3) II) P(0 W 4. 2) As probabilidades de que haja 1. respectivamente: 5%.5) V) P(Z = 3) VI) P(1 B 4) VII) P(W -8) VIII) P(20 Z 35) Exercícios 1) Uma empresa transporta seus produtos utilizando dois tipos de caminhões. qual o volume médio transportado em cada viagem. 3. 20%. 25% e 10%. supondo que eles estão sempre cheios. 40%. 2. 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num sábado são. Se 30% do transporte foi feito no primeiro caminhão e o restante no segundo. O primeiro tem uma carroceria com dimensões de 2 x 3 x 9 metros e o do segundo a carroceria mede 3 x 3 x 12 metros.ESTATÍSTICA BÁSICA 123 III) P(A 6) IV) P(Z 5. . 55 e 2. A paga 20. R.9728 d) P(1 x 3) R.00. em 10 hrs de contagem? 3) Num jogo de dados.: 3. Calcular o lucro líquido de A em uma jogada.2 5) Sabe-se que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que a face coroa.1792 6) Uma variável aleatória discreta pode assumir 5 valores.: 0. A ganha 50.10 Encontrar o valor de p(3).45 R. Qual é o valor da função acumulativa para x = 5? Encontrar a média da distribuição.124 ESTATÍSTICA BÁSICA d) Qual o número médio de pessoas no carro? e) Se chegam ao litoral 4. Seja X o número de cartas que aparece.90 R. A ganha 20.: 1.00 e se sair face 1 em apenas um dados. Seja X o número de bolas brancas. A ganha 80.: 0.: 0.20 2 0. Calcular E(X).: 3.000 carros por hora. Calcular a variância e o desvio padrão.: 0.: 4. Três bolas são retiradas com reposição.00.13 .20 b) V(X) R. em 10 horas de contagem? f) Em que intervalo em torno da média chegam 68% das pessoas.: 0.64 c) P(X 2) R.15 R. R.30 8 0. conforme a distribuição de probabilidades: Xi P(xi) a) b) c) d) 1 0. Esta moeda é lançada 4 vezes.25 3 ? 5 0.00 à B para lançar 3 dados. se sair face 2 em apenas dois dados. quando lançada. 4) Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. Se sair face 1 nos três dados. qual o número esperado de pessoas. determine: a) E(X) R.