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高中數學MATHEMATICS 數列與級數 奶茶製 高中數學 第二冊第一章 數列與級數 目錄 CONTENTS 1-1 數列 .................................................................. 1 《主題１》數列與級數 ................................................. 1 《主題２》等差數列與等差級數 ......................................... 2 《主題３》等比數列與等比級數 ......................................... 6 《主題４》群數列 .................................................... 10 《主題５》數列一般項 ................................................ 11 《主題６》數學歸納法 ................................................ 16 1-2 級數 ................................................................. 20 《主題７》連加符號  ................................................ 20 《主題８》相消級數 .................................................. 25 《主題９》等比幾何 .................................................. 28 ANS 解答區 ............................................................... 31 1-1 數列 《主題１》數列與級數 一、數列 1.數的排列稱為【 】 。 2.數列的第一項（首項）記為【 】，第 n 項記為【 】 。 3.數列中的每一個數稱為【 】 ，所有項的個數稱為【 】 。 二、級數 1.數列的總和稱為【 】。 2.前 n 項的總和記為【 】。 3.數列（級數）分為【 】與【 】兩種。 3.(1) a1  a2  a3   an  【 】【 】。 3.(2) a1  a2  a3   an  【 】【 】。 例題 1 找出以下數列的規律，並在空格中填入適當的數字。 (1) 1, ___,7,10,13, ___,19, 22 (2) ___,6,18,54, ___ (3) 1, 4,9, ___, 25, ___ (4) 2, 2,3,5,8,12, ___, 23, ___ (5) 1,1, 2,3,5, ___, ___, 21, ___, ___ 例題 2 1 1 1 寫出下列各數列之通式：(1) 1,0,1,0,1,0, (2) 1,0,  ,0,  ,0,  , (3) 5,3,5,3,5,3, 3 5 7 (4) 7, 4,7, 4,7, 4, (5) 1,1, 2, 2,3,3, 4, 4, P.1 數列與級數 1-1 《主題２》等差數列與等差級數 一、等差數列 1.等差數列又稱為算術數列（A.P. Arithmetic Progression） 2.等差數列的一般項 an  【 ，公差 d  【 】 】 。 二、等差級數 1. S n  a1  a2  a3   an  【 】【 】【 】 。 三、等差的性質 1.若 a, b, c 三數成等差數列：(1) b 稱為「等差中項」或「算術中項」 (2) b  【 】 。 2.等差數列每 k 項和（ S k , S 2 k  S k , S3k  S 2 k ），形成新的等差數列 k 2.〈說明〉 Sk  [2a1  (k  1)d ] 2 2k k k 2.〈說明〉 S2k  Sk  [2a1  (2k  1)d ]  [2a1  ( k  1) d ]  [2a1  (3k  1) d ] 2 2 2 3k 2k k 2.〈說明〉 S3k  S2 k  [2a1  (3k  1)d ]  [2a1  (2k  1)d ]  [2a1  (5k  1)d ] 2 2 2 2.〈說明〉 S k  ( S3k  S 2 k )  2( S 2 k  S k )  S k , S 2 k  S k , S3k  S 2 k 成等差數列 3.中央項性質：(1) a1  a2  a3  a4  a5  【 】 (2) a1  a2  a3  a4  a5  a6  【 】 3.  若 an 為中央項，則此數列共有【 】項 ※比較 1. f ( x)  3 x  2 an  3n  2 結論： n Sn 2. Sn  [2a1  (n  1)d ]   2 n 結論： 〈暖身〉 (1)若 k , k  1, 2k  1 三數成等差數列，求 k  【 】 。 (2)等差數列中， S 2017  4034 ，則 a1009  【 】 。 1-1 等差數列與等差級數 P.2 例題 1 若一等差數列〈 an 〉， a7  28 、 a12  13 ，則：(1)第幾項開始為負值？ (2)前 n 項和 S n 之最大值為何？ 例題 2 (1)等差數列中， a3  21 、 a7  41 ，則 a13  ？ (2)等差數列中， am  n 、 an  m ， m  n ，求 am  n  ？ (3)等差數列中，前 m 項和 S m  n 、前 n 項和 S n  m ， m  n 。求前 m  n 項和 S m  n  ？ (3)（以 m 、 n 表示） 例題 3 (1)兩等差數列第 n 項之比為 ( n  2) : (3n  4) ，求其前七項之比為？ (2)兩等差數列前 n 項和的比為 (3n  2) : (2n  3) ，求其第三項之比為？ 例題 4 在 5 ~ 13 間插入 15 個數，使其 17 個數〈 5, a1 , a2 , a3 , , a15 ,13 〉皆成等差數列，則： (1) a4  ？ (2)此 15 個數的總和為？ P.3 等差數列與等差級數 1-1 例題 5 有一個共 2017 項的等差數列 a1 , a2 , a3 , , a2017 ，其總和為 0 ，且 a1000  1000 ，請選出正確的選項。 (1) a2  a2016  0 (2) a3  a2015  0 (3)此數列之公差 d  0 (4) a2000  2000 (5) a100  a200  0 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 1. 設一等差數列，其第 7 項為 9 ，第 19 項為 33 ，則其前 n 項和 S n 的最大值為【 】 。 2. 一等差數列共有 2n  1 項，其中奇數項總和為 357 ，偶數項總和為 340 ，試問此數列共有 【 】項。 3. 兩個等差數列前 n 項和的比為 (5n  2) : (2n  3) ，求其第三項之比為【 】 。 4. 有一等差數列共 20 項，其中 a1  a2  100 ， a19  a20  300 ，則此數列所有項的和為【 】 。 1-1 等差數列與等差級數 P.4 5. 在 2 至 1 之間插入 100 個數，使其 102 項皆成等差數列，求插入的 100 項總和為【 】。 6. 設方程式 x3  9 x  kx  12  0 的三根成等差數列，則 k  【 】 。 1 1 7. 等差數列之 am  、 an  ， m  n ，求 amn  【 】 。 n m <<< 筆記欄 >>> P.5 等差數列與等差級數 1-1 《主題３》等比數列與等比級數 一、等比數列 1.等比數列又稱為幾何數列（G.P. Geometric Progression） 2.等比數列的一般項 an  【 】【 ，公比 r  【 】 】 。 二、等比級數 1. S n  a1  a2  a3   an  【 】【 】 1.〈說明〉(ⅰ) r  1 時， S n  a1  a2  a3   an  na1 ) rSn  a1  a1r  a1r 2   a1r n 1 1.〈說明〉(ⅱ) r  1 時， ) rSn  a1r  a1r 2   a1r n 1  a1r n a1 (1  r n ) (1  r ) S n  a1  a1r n  S n  1 r 三、等比性質 1.若 a, b, c 三數成等比數列：(1) b 稱為「等比中項」或「幾何中項」 (2) b  【 】 2.等比數列每 k 項和（ S k , S 2 k  S k , S3k  S 2 k ），形成新的等比數列 a1 (1  r k ) 2.〈說明〉 Sk  1 r a1 (1  r 2 k ) a1 (1  r k ) a1 (1  r k ) k 2.〈說明〉 S2 k  Sk    r 1 r 1 r 1 r a1 (1  r 3k ) a1 (1  r 2 k ) a1 (1  r k ) 2 k 2.〈說明〉 S3k  S2 k    r 1 r 1 r 1 r 2.〈說明〉 S k ( S3k  S 2 k )  ( S 2 k  S k ) 2  S k , S 2 k  S k , S3k  S 2 k 成等比數列 〈暖身〉 (1) 1  2  22  23   210  【 】 。 (2)若 k  2, k , k  4 三數成等比數列，則 k  【 】 。 例題 1 (1)有一等比數列〈 an 〉，其中 a7  7 、 a10  189 ，則 a9  ？ (2)設 x, y, z, w 四正數為等比數列，且 x  w  3 、 y  z  2 ，求其公比 r  ？ 1-1 等比數列與等比級數 P.6 例題 2 設三正數 a, b, c 成等差數列，其和為 45 。若此三數依序加上 2,9, 28 ，則成等比數列，求三數中最小的數。 例題 3 設〈 an 〉為等比數列，若 a1  a2  a3  17 ， a1  a3  a5  221 ，則公比 r  ？ 例題 4 等比數列中，若 S n  5 ， S3n  35 ，且公比 r  0 ，則 S6n  ？ 例題 5 1 2 3 n (1) i  1 ，求 1  2i  3i 2  4i 3   100i 99 之值。 (2)     之值。 2 22 23 2n P.7 等比數列與等比級數 1-1 例題 6 (1) 9  99  999   an  ？ (2) 0.9  0.99  0.999   an  ？ (3) 0.8  0.88  0.888   an  ？ ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 8. 設〈 an 〉是等比數列， a3  2 、 a7  6 ，則 a15  【 】。 9. 設三正數 a, b, c 成等差數列，其和為 30 ，若此三數依序加上 1, 6, 47 後即成等比數列，求三數中最小的 數為【 】。 10. 有一等比數列，一、二、三項和為 13 ，一、三、五項和為 91 ，則其公比為【 】 。 1-1 等比數列與等比級數 P.8 11. 等比數列中， S n  x ， S 2 n  2 x  6 ， S3n  3 x  14 ，則 x  【 】 。 12. 在等比數列〈 an 〉中， a1  1 ， a4  2  5 且 an  2  an 1  an （ n  1 ），求〈 an 〉的公比為 【 】 。 13. 設方程式 x3  5 x 2  kx  8  0 的三根成等比數列，則 k  【 】 。 1 3 5 2n  1 14. (1)求  2 3  之和為【 】 。 2 2 2 2n (2)求 0.32  0.0302  0.003002   an 之和為【 】 。 P.9 等比數列與等比級數 1-1 《主題４》群數列 1.群數列就是指數列以群體的方式出現。 2.解題方法：觀察「數字」和「項數」的規律，並將其「分群」。 例題 1 數列 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4, ，則：(1)求 a100  ？ (2)求 S100  ？ 例題 2 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 3 設某數列為 , , , , , , , , , , ，則：(1) 為第幾項？ (2) a200  ？ 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 14 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 15. 數列 1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,3,5,7,9, 中，前 100 項的和為【 】 。 16. 設數列 1, 2,1, 2, 2,1, 2, 2, 2,1, 2, 2, 2, 2,1, ，則前 83 項的總和 S83  【 】 。 1-1 群數列 P.10 《主題５》數列一般項 此主題介紹求得數列一般項 an 的方法。 一、規則數列 1.等差： an  【 】 。 2.等比： an  【 】 。 二、 S n 性質（適用任何數列） 1. a1  【 】。 2. an  【 】，注意：【 】 。 三、遞迴數列 1.累加法遞迴： an 1  an  f (n) 2.累乘法遞迴： an 1  an  f (n) 3.常係數一階線性遞迴： an 1  pan  q ex：已知數列〈 an 〉滿足遞迴式 an 1  an  n ，其中 n 為自然數，求此數列的一般項 an 。 四、階差法 ex：設數列〈 an 〉  〈 1, 2,5,10,17, 〉，求一般項 an 。 例題 1 若一數列〈 an 〉之前 n 項和 S n  n 2  2n  3 ，求：(1) a1  ？ (2) a5  ？ (3)一般項 an  ？ P.11 數列一般項 1-1 例題 2 設數列〈 an 〉之前 n 項和 S n  5n 2  3n ，則一般項 an  ？ 例題 3 若 a1  2a2  3a3   nan  n 2  3n  1 ，則一般項 an  ？ 例題 4 (1)設數列〈 an 〉的首項 a1  1 ，且滿足遞迴關係式 an 1  an  2(n  1) ， n  1 ，則一般項 an  ？ (2)設數列〈 an 〉的首項 a1  1 ，且滿足遞迴關係式 an 1  an  n  1 ， n  1 ，則一般項 an  ？ n 例題 5 (1)平面上若有 100 條相異直線，最多可將平面分割成多少部分？ (2)平面上作 10 個相異之圓，至多可將平面分割成幾個區域？ 1-1 數列一般項 P.12 例題 6 (1) a1  2 ， an 1  3 an  1 ，求 an 通式為？ (2) a1  1 ， an 1  2an  1 ，求 an 通式為？ 5 例題 7 河內塔問題： 傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。神廟中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板， 在其中的一根木釘上，由上而下被放置了 64 片直徑由小到大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧 侶們要按以下的規則將 64 片的圓環形金屬片移至三根木釘中的其中一根上： 1.在每次的移動中，只能搬移一片金屬片。 2.過程中必須保持金屬片小的在上、大的在下。 直到有那麼一天，僧侶們能將 64 片的圓環形金屬片依規則從指定的木 釘上全部移到另一根木釘上，那麼世界末日即隨之來到，世間的一切 終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。 (1)僧侶必須搬動幾次才可成功？ (2)假設今天只有 10 片金屬片，且由小到大編號○ 1 到○ 10 ，求○ 3 號金屬片被搬動了多少次？ P.13 數列一般項 1-1 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 17. 設數列〈 an 〉之前 n 項和 Sn  n 2  3 ，則一般項 an 為【 】 。 18. 設 n 為自然數， a1  2a2  3a3   nan  n(n  1)(n  2) ，求一般項 an  【 】 。 19. 設數列〈 an 〉滿足 a1  1 ，且遞迴關係式 an 1  an  (3n  1) ， n 為正整數，求 a200 之值為【 】 。 20. 平面上作過一定點 P 之 10 個相異之圓，至多可將平面分割成【 】個區域。 21. 如圖規律所示，第 1 圖有 1 個正方形、第 2 圖 5 個、第 3 圖 13 個，令 an 表示第 n 圖中正方形的個數，求 a10  【 】 。 1-1 數列一般項 P.14 22. 奶茶使用黑白兩種顏色的△地磚，拼成如下規則的三角形，回答下列問題。 (1)設 an 為第 n 圖需用到的白色地磚個數，求 a25 之值為【 】 。 (2)已知第 1 圖的黑色地磚面積為 1 ，設 bn 為第 n 圖的黑色地磚面積，求 b25  【 】。 <<< 筆記欄 >>> P.15 數列一般項 1-1 《主題６》數學歸納法 當我們要證明有關【 】性質時，通常會選擇使用數學歸納法。 一、證明 SOP 通常用 Pn 表示某個命題，並且採取下列步驟證明： (ⅰ)證明 P1 成立。 (ⅱ)假設 Pn 成立，並由 Pn 成立推得 Pn 1 成立。 (ⅲ)則可以說明對於任意自然數 n ， Pn 皆成立。 二、原理 類似遞迴的概念，「由 Pn 成立推得 Pn 1 成立」此步驟建立（得證）了一個遞迴關係，即 Pn 1  aPn  b ， 同理， Pn  2  aPn 1  b 、 Pn 3  aPn  2  b 、 。因此可以推廣到所有的自然數。 也就像骨牌效應一樣，從 Pn 開始倒下， Pn 撞倒 Pn 1 、 Pn 1 撞倒 Pn  2 、 。 例題 1 n(n  1)(2n  1) 證明： 12  22  32   n2  ，n N 。 6 例題 2 n(n  1)(n  2) 設 n 為自然數，求證： 1  n  2  (n  1)  3  (n  2)   (n  1)  2  n  1  。 6 1-1 數學歸納法 P.16 例題 3 已知 n 是正整數，且 3  7 n  2  2n 恆為某質數 p 的倍數。 (1)試求質數 p 之值。 (2)利用數學歸納法證明你的猜測正確。 例題 4 已知 n 是正整數，證明 28n 1  24 n 的個位數字恆為 6 。 例題 5 數列〈 an 〉定義如下： a1  0 、 an 1  1  an ， n  N 。 3  an (1)寫出前 5 項之值。 (2)推測 an 之通式，並以數學歸納法證明：你的推測正確。 P.17 數學歸納法 1-1 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ n(2n  1)(2n  1) 23. 證明： 12  32  52   (2n  1) 2  ，n N 。 3 n(n  1)(n  2) 24. 設 n 為自然數，求證： 1  2  2  3  3  4   n  ( n  1)  恆成立。 3 25. 對於所有正整數 n ， 32 n 1  2n  2 恆為某一質數 p 的倍數。 (1)推測 p 之值為【 】 。 (2)利用數學歸納法證明(1)的結果正確。 1-1 數學歸納法 P.18 26. 設 n  N ，試證： 15n  23n1  1 必為 14 的倍數。 27. 數列〈 an 〉中， a1  1 且 an 1  a1  a2  a3   an ， n  N 。 (1)預測 an  【 】 （以 n 表示）。 (2)利用數學歸納法證明：你的預測正確。 28. 數列〈 an 〉中， a1  2 ， an 1  2  1 ， n  N 。試寫出 an 的通式，並以數學歸納法證明之。 an P.19 數學歸納法 1-1 1-2 級數 《主題７》連加符號  一、符號介紹 n 設 r , n  N ，則  f (k )  k r 5 ex：  (2k  3)  k 1 二、  運算 n 1.  c  ak  c  a1  c  a2  c  a3   c  an  c (a1  a2  a3   an )  k 1 n 2.  (ak  bk )  (a1  b1 )  (a2  b2 )  (a3  b3 )   (an  bn )  (a1  a2  a3   an )  (b1  b2  b3   bn ) k 1 2.  n 3.  (ak  bk )  k 1 ※錯誤 n n  bn )   ak   bk n 1.  (ak  bk )  a1b1  a2b2  a3b3   anbn 【 】 (a1  a2  a3   an )(b1  b2  b3  k 1 k 1 k 1 n n  ak 2.  ak  a1  a2  a3   an 【 】 a1  a2  a3   an  k 1 k 1 bk b1 b2 b3 bn b1  b2  b3   bn n  bk k 1 三、  公式 n 1.  c  c  c  c  c k 1 n 2.  k 2  12  22  32   n2  k 1 n 3.  k 3  13  23  33   n3  k 1 n 4.  k  1  2  3  n k 1 n 5.  k (k  1)  1  2  2  3  3  4   n( n  1)  k 1 n 6.  k (k  1)(k  2)  1  2  3  2  3  4  3  4  5   n(n  1)(n  2)  k 1 1-2 連加符號  P.20 四、運算方式 10 1.  帶很多組 【 】 ex：  (k 2  3k  1)  k 1 20 2.  帶有相乘 【 】 ex：  (k  1)(2k  1)  k 1 10 3.  帶有 【 】 ex：  (1  2  3   k)  k 1 4.級數展開式 【 】 ex： 1  3  4  5  7  7  10  9   28  21  . 〈暖身ⅰ〉 展開下列式子： 666 (1) 10  k 1 20 (2)  (3t  2)  t 1 6 (3)  3x  x1 (4)  p( p  1)  10 p 1 3 〈暖身ⅱ〉 將下列式子寫成  的形式： (1) 2  5  5  7  8  9   44  33  (2) 1  2  3   10  23 3 4 45 11  12 (3) 1  (1  2)  (1  2  3)   (1  2  3   100)  例題 1 (1) 1  n  2  (n  1)  3  (n  2)   ( n  1)  2  n  1  ？ (2) 1  29  3  26  5  23   19  2  ？ P.21 連加符號  1-2 例題 2 10 (1) 1  1  1  2  3  4  3  5  7  4  7  10   10  19  28  ？ (2)  (2k  k 2  1)  ？ k 1 例題 3 (1) 1  (1  2)  (1  2  3)   (1  2  3   n)  ？ (2) 1  (1  4)  (1  4  7)   (1  4  7   28)  ？ 例題 4 n k 10 k m (1)求  t  ？ (2)求    t  ？ k 1 t 1 k 1 m 1 t 1 1-2 連加符號  P.22 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 20 29. (1)試求  (3 p  2)( p  1) 之值為【 】 。 p 1 20 (2)試求  (3k  1)(2k  1)  【 】 。 k 2 10 (3)  (2n  3n  1)  【 】 。 n 1 30. (1) 1  3  3  5  5  7   29  31  【 】 。 (2)求級數 1  30  2  29  3  28   28  3  29  2  30 1 之和為【 】。 31. 級數 1  22  2  32  3  42   10  112 之和為【 】 。 P.23 連加符號  1-2 32. 求 12  22  32  42  52  62   59 2  60 2  【 】 。 33. (1)計算 1  (1  2)  (1  2  3)   (1  2  3   99)  之值為【 】 。 (2)求 1  2  2  (2  4)  3  (2  4  6)   10  (2  4  6   20)  【 】。 34. 求 21  (21  22 )  (21  22  23 )   (21  2 2  23   210 )  【 】 。 35. 用長度相同的鋼條焊接成如右圖， E  1 需要 4 條鋼條、 E  2 需 10 條、 E  3 需 18 條，則： (1) E  10 需要【 】條鋼條。 (2)從 E  1 到 E  10 共需要【 】條鋼條。 1-2 連加符號  P.24 《主題８》相消級數 常用於有【 】或【 】的級數，利用兩兩對消求和。 ex： 1  ex： 1  23 35 例題 1 (1) 1  1  1   1 ？ (2)求 1  1  1   1 ？ 1 2 23 3 4 n  ( n  1) 1 3 35 57 99 101 例題 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (1)     ？ (2)求     之值。 1 2  3 2  3  4 3  4  5 10 11 12 2 2 3 3 3 3 4 4 3 20  20 3 例題 3 計算 1  1  1   1 之值。 1 1 2 1 2  3 1 2  3   99 P.25 相消級數 1-2 例題 4 (1) 1  1!  2  2!  3  3!   n  n!  ？ (2) 1  2  3   n ？ 2! 3! 4! (n  1)! ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 36. 計算 1  1  1   1 之值為【 】 。 25 58 8 11 98 101 9 37. 求  1 【 】 。 n 1 n ( n  1)( n  2) 1 1 1 1 38. 求級數     之和為【 】 。 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99  99 100 1-2 相消級數 P.26 39. (1)求級數 32  5  7   201 【 】 。 1 1 22 2 1 2 3 2 2 2 1  2  32  2 2  1002 (2)計算 13  31  23  31  23  3 3   1 2  3   20 之值為【 】 。 1 1 2 1 2 3 1 2 3  3 3 3  203 1 2 3 10 40. 試求     【 】。 14  12  1 24  22  1 34  32  1 104  102  1 10 1 41. 若 an  1  (1  2)  (1  2  3)   (1  2  3   n) ，求  之值為【 】 。 a n 1 n P.27 相消級數 1-2 《主題９》等比幾何 例題 1 有一顆籃球由離地 3 公尺處落下，籃球每次反彈的高度為其落下高度的 2 ，則籃球由落下至觸地 n 次之間 5 經過的距離為何？ 例題 2 如右圖， BAC  60 ，最大圓 O1 的面積為 100 ，且 B, C 為其切點，若向內部作圓 O2 使其與 AB 、 AC 以及 圓 O1 皆相切，以此規律繼續下去。試求 n 個圓 O1 , O2 , O3 , , On 的面積總和。 例題 3 如右圖，△ ABC 的底邊 BC  6 ，頂點 A 至底邊 BC 的距離為 10 。若於 BC 邊作內接於△ ABC 的正方形 S1 ，再作內接於△ AB C  的正方形 S 2 ，依此規律繼續下去，則 n 個正方形的面積總和為？ 1-2 等比幾何 P.28 例題 4 如右圖，直角△ ABC 中， ABC  90 ， ACB  30 ， AC  10 ， S1 , S 2 , S3 , , S n 分別表示內接正方形的面 n 積，求 lim  Sk  ？ n  k 1 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 42. 坐標平面上有直線 L : x  y ，由點 A1 (1, 0) 對 L 作垂直線，交於 B1 ，再由 B1 對 x 軸作垂直線，交於 A2 ， 繼續由 A2 對 L 作垂直線，交於 B2 ，以此類推，會得到 A3 , B3 , A4 , B4 , 。求線段 A1B1  B1 A2  A2 B2  B2 A3  A3 B3   An Bn  Bn An 1 之總和為【 】 。 43. 有一隻螞蟻由坐標原點 O (0, 0) 出發，其行徑軌跡為半圓形（ OA1 、 Ak Ak 1 均為半圓， k 為正整數） ， 已知其中四點坐標為 A1 (1, 0) 、 A2 ( 1, 0) 、 A3 (2, 0) 、 A4 ( 2, 0) 。 (1)求 A2n 的坐標為【 】 。 (2)螞蟻由原點 O 行走到 A2n 的軌跡長度為【 】 。 P.29 等比幾何 1-2 44. 如右圖，直角△ ABC 中， AB  16 、 BC  24 ， S1 , S 2 , S3 , , S n 分別表示內接正方形的面積，求 n 個內 n 接正方形的面積  S k  【 】。 k 1 45. 如右圖， AB  AC  13 、 BC  10 ，若在△ ABC 中作內切圓 S1 ，再作圓 S 2 與 AB 、 AC 和圓 S1 皆相 切。以此類推，可得到圓序列 S1 , S 2 , S3 , , Sn 。 (1)求圓 S1 的面積為【 】。 (2)求圓 S1 , S 2 , S3 , , S n 的面積總和為【 】 。 46. 如右圖，矩形 ABCD 的一邊 AB  1 ，將矩形 ABCD 剪去最大的正方形 ABEF ，其面積為 S1 ，再由剩下 的矩形剪去最大的正方形，其面積為 S 2 。依據此規則，持續剪去所剩矩形中最大的正方形，會得到面 積 S1 , S 2 , S3 , , S n 的正方形，若剪去前的矩形與所剩的矩形為相似形，則： (1) Sn  【 】 。 S n 1 n (2) lim  Sk  【 】 。 n  k 1 1-2 等比幾何 P.30 ANS 解答區 練習題解答 1. 144 2. 41 3. 27 :13 4. 2000 5. 50 6. 4 7. 1 8. 54 9. 3 10. 3 或 2 1 5 11. 9 12. 2 1 2n  1 14. (1) 3  ( )n 2  n 2 2 13. 5 35 1 1 n 2 1 n (2)  ( )  ( ) 99 3 10 99 100 15. 900 16. 154 (n  1) 17. an   4 18. 3n  3 2n  1 (n  2) 19. 59900 20. 56 21. 181 22. (1) 975 (2) 1525 23. 略 24. 略 25. (1) 7 (2)略 26. 略 1 (n  1) 27. (1) an   (2)略 28. an  n  1 n2  2 (n  2) n 29. (1) 8360 (2) 2241 (3) 2201 30. (1) 4945 (2) 4960 P.31 解答區 ANS 31. 3850 32. 1830 33. (1) 166650 (2) 3410 34. 4072 35. (1) 130 (2) 550 36. 33 202 37. 27 38. 9 110 10 39. (1) 600 (2) 40 40. 55 101 21 111 1 41. 65 42. (1  2)[1  ( ) n ] 44 2 n(2n  1) 9 n 43. (1) (  n, 0) (2)  44. 144[1  ( ) ] 2 25 180 46. (1) 3  5 (2) 1  5 100 16 45. (1)  (2) [1  ( ) n ] 9 13 81 2 2 ANS 解答區 P.32 例題解答 主題１：1. (1) 4,16 (2) 2,162 (3) 16,36 (4) 17,30 (5) 8,13,34,55 1 1 11 3 主題１：2. (1) an  [1  (1)n 1 ] (2) an  [1  (1) n 1 ] (3) an  4  ( 1) n 1 (4) an   (1) n 1 2 2n 2 2 1 n  [1  (1) n 1 ] 主題１：(5) an  2 2 1 1 主題２：1. (1) 17 (2) 376 2. (1) 71 (2) 0 (3)  3. (1) 3 : 8 (2) 17 :13 4. (1) 7 (2) 135 m n 主題２：5. (2)(5) 1 1 主題３：1. (1) 63 (2) 2 或 2. 10 3. 4 或 3 4. 315 5. (1) 50  50i (2) 2  (n  2)( ) n 2 2 1 1 1 1 8 1 1 主題３：6. (1) (10n 1  10  9n) (2) (9n   n ) (3) (9n   n ) 9 9 10 10 81 10 10 11 主題４：1. (1) 14 (2) 945 2. (1) 169 (2) 20 5 ( n  1) (n  1) 主題５：1. (1) 6 (2) 11 (3) an   3. an   2n  2 6 2. 10n  2  2n  1 (n  2)  ( n  2)  n 主題５：4. (1) n 2  n  1 (2) n 5. (1) 5051 (2) 92 6. (1) 5  1 ( 3 )n1 (2) 2n  1 2 2 5 主題５：7. (1) 264  1 (2) 128 主題６：1. 略 2. 略 3. (1) 5 (2)略 4. 略 5. (1) a1  0 、 a2  1 、 a3  2 、 a4  3 、 a5  4 3 4 5 6 主題６：(2) an  n  1 n 1 主題７：1. (1) n(n  1)(n  2) (2) 1055 2. (1) 15565 (2) 2441 3. (1) n(n  1)(n  2) (2) 550 6 6 主題７：4. (1) n(n  1)(n  2) (2) 715 6 主題８：1. (1) n (2) 50 2. (1) 25 (2) 209 3. 99 4. (1) ( n  1)!  1 (2) 1  1 n 1 101 264 840 50 (n  1)! 300 25 75 主題９：1. 7  4( 2 ) n1 2. 225 [1  ( 1 ) n ] 3. [1  ( ) n ] 4. (2 3  1) 5 2 9 13 64 11 P.33 解答區 ANS