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高中數學MATHEMATICS 數列與級數 奶茶製 高中數學 第二冊第一章 數列與級數 目錄 CONTENTS 1-1 數列 .................................................................. 1 《主題1》數列與級數 ................................................. 1 《主題2》等差數列與等差級數 ......................................... 2 《主題3》等比數列與等比級數 ......................................... 6 《主題4》群數列 .................................................... 10 《主題5》數列一般項 ................................................ 11 《主題6》數學歸納法 ................................................ 16 1-2 級數 ................................................................. 20 《主題7》連加符號 ................................................ 20 《主題8》相消級數 .................................................. 25 《主題9》等比幾何 .................................................. 28 ANS 解答區 ............................................................... 31 1-1 數列 《主題1》數列與級數 一、數列 1.數的排列稱為【 】 。 2.數列的第一項(首項)記為【 】,第 n 項記為【 】 。 3.數列中的每一個數稱為【 】 ,所有項的個數稱為【 】 。 二、級數 1.數列的總和稱為【 】。 2.前 n 項的總和記為【 】。 3.數列(級數)分為【 】與【 】兩種。 3.(1) a1 a2 a3 an 【 】【 】。 3.(2) a1 a2 a3 an 【 】【 】。 例題 1 找出以下數列的規律,並在空格中填入適當的數字。 (1) 1, ___,7,10,13, ___,19, 22 (2) ___,6,18,54, ___ (3) 1, 4,9, ___, 25, ___ (4) 2, 2,3,5,8,12, ___, 23, ___ (5) 1,1, 2,3,5, ___, ___, 21, ___, ___ 例題 2 1 1 1 寫出下列各數列之通式:(1) 1,0,1,0,1,0, (2) 1,0, ,0, ,0, , (3) 5,3,5,3,5,3, 3 5 7 (4) 7, 4,7, 4,7, 4, (5) 1,1, 2, 2,3,3, 4, 4, P.1 數列與級數 1-1 《主題2》等差數列與等差級數 一、等差數列 1.等差數列又稱為算術數列(A.P. Arithmetic Progression) 2.等差數列的一般項 an 【 ,公差 d 【 】 】 。 二、等差級數 1. S n a1 a2 a3 an 【 】【 】【 】 。 三、等差的性質 1.若 a, b, c 三數成等差數列:(1) b 稱為「等差中項」或「算術中項」 (2) b 【 】 。 2.等差數列每 k 項和( S k , S 2 k S k , S3k S 2 k ),形成新的等差數列 k 2.〈說明〉 Sk [2a1 (k 1)d ] 2 2k k k 2.〈說明〉 S2k Sk [2a1 (2k 1)d ] [2a1 ( k 1) d ] [2a1 (3k 1) d ] 2 2 2 3k 2k k 2.〈說明〉 S3k S2 k [2a1 (3k 1)d ] [2a1 (2k 1)d ] [2a1 (5k 1)d ] 2 2 2 2.〈說明〉 S k ( S3k S 2 k ) 2( S 2 k S k ) S k , S 2 k S k , S3k S 2 k 成等差數列 3.中央項性質:(1) a1 a2 a3 a4 a5 【 】 (2) a1 a2 a3 a4 a5 a6 【 】 3. 若 an 為中央項,則此數列共有【 】項 ※比較 1. f ( x) 3 x 2 an 3n 2 結論: n Sn 2. Sn [2a1 (n 1)d ] 2 n 結論: 〈暖身〉 (1)若 k , k 1, 2k 1 三數成等差數列,求 k 【 】 。 (2)等差數列中, S 2017 4034 ,則 a1009 【 】 。 1-1 等差數列與等差級數 P.2 例題 1 若一等差數列〈 an 〉, a7 28 、 a12 13 ,則:(1)第幾項開始為負值? (2)前 n 項和 S n 之最大值為何? 例題 2 (1)等差數列中, a3 21 、 a7 41 ,則 a13 ? (2)等差數列中, am n 、 an m , m n ,求 am n ? (3)等差數列中,前 m 項和 S m n 、前 n 項和 S n m , m n 。求前 m n 項和 S m n ? (3)(以 m 、 n 表示) 例題 3 (1)兩等差數列第 n 項之比為 ( n 2) : (3n 4) ,求其前七項之比為? (2)兩等差數列前 n 項和的比為 (3n 2) : (2n 3) ,求其第三項之比為? 例題 4 在 5 ~ 13 間插入 15 個數,使其 17 個數〈 5, a1 , a2 , a3 , , a15 ,13 〉皆成等差數列,則: (1) a4 ? (2)此 15 個數的總和為? P.3 等差數列與等差級數 1-1 例題 5 有一個共 2017 項的等差數列 a1 , a2 , a3 , , a2017 ,其總和為 0 ,且 a1000 1000 ,請選出正確的選項。 (1) a2 a2016 0 (2) a3 a2015 0 (3)此數列之公差 d 0 (4) a2000 2000 (5) a100 a200 0 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 1. 設一等差數列,其第 7 項為 9 ,第 19 項為 33 ,則其前 n 項和 S n 的最大值為【 】 。 2. 一等差數列共有 2n 1 項,其中奇數項總和為 357 ,偶數項總和為 340 ,試問此數列共有 【 】項。 3. 兩個等差數列前 n 項和的比為 (5n 2) : (2n 3) ,求其第三項之比為【 】 。 4. 有一等差數列共 20 項,其中 a1 a2 100 , a19 a20 300 ,則此數列所有項的和為【 】 。 1-1 等差數列與等差級數 P.4 5. 在 2 至 1 之間插入 100 個數,使其 102 項皆成等差數列,求插入的 100 項總和為【 】。 6. 設方程式 x3 9 x kx 12 0 的三根成等差數列,則 k 【 】 。 1 1 7. 等差數列之 am 、 an , m n ,求 amn 【 】 。 n m <<< 筆記欄 >>> P.5 等差數列與等差級數 1-1 《主題3》等比數列與等比級數 一、等比數列 1.等比數列又稱為幾何數列(G.P. Geometric Progression) 2.等比數列的一般項 an 【 】【 ,公比 r 【 】 】 。 二、等比級數 1. S n a1 a2 a3 an 【 】【 】 1.〈說明〉(ⅰ) r 1 時, S n a1 a2 a3 an na1 ) rSn a1 a1r a1r 2 a1r n 1 1.〈說明〉(ⅱ) r 1 時, ) rSn a1r a1r 2 a1r n 1 a1r n a1 (1 r n ) (1 r ) S n a1 a1r n S n 1 r 三、等比性質 1.若 a, b, c 三數成等比數列:(1) b 稱為「等比中項」或「幾何中項」 (2) b 【 】 2.等比數列每 k 項和( S k , S 2 k S k , S3k S 2 k ),形成新的等比數列 a1 (1 r k ) 2.〈說明〉 Sk 1 r a1 (1 r 2 k ) a1 (1 r k ) a1 (1 r k ) k 2.〈說明〉 S2 k Sk r 1 r 1 r 1 r a1 (1 r 3k ) a1 (1 r 2 k ) a1 (1 r k ) 2 k 2.〈說明〉 S3k S2 k r 1 r 1 r 1 r 2.〈說明〉 S k ( S3k S 2 k ) ( S 2 k S k ) 2 S k , S 2 k S k , S3k S 2 k 成等比數列 〈暖身〉 (1) 1 2 22 23 210 【 】 。 (2)若 k 2, k , k 4 三數成等比數列,則 k 【 】 。 例題 1 (1)有一等比數列〈 an 〉,其中 a7 7 、 a10 189 ,則 a9 ? (2)設 x, y, z, w 四正數為等比數列,且 x w 3 、 y z 2 ,求其公比 r ? 1-1 等比數列與等比級數 P.6 例題 2 設三正數 a, b, c 成等差數列,其和為 45 。若此三數依序加上 2,9, 28 ,則成等比數列,求三數中最小的數。 例題 3 設〈 an 〉為等比數列,若 a1 a2 a3 17 , a1 a3 a5 221 ,則公比 r ? 例題 4 等比數列中,若 S n 5 , S3n 35 ,且公比 r 0 ,則 S6n ? 例題 5 1 2 3 n (1) i 1 ,求 1 2i 3i 2 4i 3 100i 99 之值。 (2) 之值。 2 22 23 2n P.7 等比數列與等比級數 1-1 例題 6 (1) 9 99 999 an ? (2) 0.9 0.99 0.999 an ? (3) 0.8 0.88 0.888 an ? ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 8. 設〈 an 〉是等比數列, a3 2 、 a7 6 ,則 a15 【 】。 9. 設三正數 a, b, c 成等差數列,其和為 30 ,若此三數依序加上 1, 6, 47 後即成等比數列,求三數中最小的 數為【 】。 10. 有一等比數列,一、二、三項和為 13 ,一、三、五項和為 91 ,則其公比為【 】 。 1-1 等比數列與等比級數 P.8 11. 等比數列中, S n x , S 2 n 2 x 6 , S3n 3 x 14 ,則 x 【 】 。 12. 在等比數列〈 an 〉中, a1 1 , a4 2 5 且 an 2 an 1 an ( n 1 ),求〈 an 〉的公比為 【 】 。 13. 設方程式 x3 5 x 2 kx 8 0 的三根成等比數列,則 k 【 】 。 1 3 5 2n 1 14. (1)求 2 3 之和為【 】 。 2 2 2 2n (2)求 0.32 0.0302 0.003002 an 之和為【 】 。 P.9 等比數列與等比級數 1-1 《主題4》群數列 1.群數列就是指數列以群體的方式出現。 2.解題方法:觀察「數字」和「項數」的規律,並將其「分群」。 例題 1 數列 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4, ,則:(1)求 a100 ? (2)求 S100 ? 例題 2 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 3 設某數列為 , , , , , , , , , , ,則:(1) 為第幾項? (2) a200 ? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 14 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 15. 數列 1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,3,5,7,9, 中,前 100 項的和為【 】 。 16. 設數列 1, 2,1, 2, 2,1, 2, 2, 2,1, 2, 2, 2, 2,1, ,則前 83 項的總和 S83 【 】 。 1-1 群數列 P.10 《主題5》數列一般項 此主題介紹求得數列一般項 an 的方法。 一、規則數列 1.等差: an 【 】 。 2.等比: an 【 】 。 二、 S n 性質(適用任何數列) 1. a1 【 】。 2. an 【 】,注意:【 】 。 三、遞迴數列 1.累加法遞迴: an 1 an f (n) 2.累乘法遞迴: an 1 an f (n) 3.常係數一階線性遞迴: an 1 pan q ex:已知數列〈 an 〉滿足遞迴式 an 1 an n ,其中 n 為自然數,求此數列的一般項 an 。 四、階差法 ex:設數列〈 an 〉 〈 1, 2,5,10,17, 〉,求一般項 an 。 例題 1 若一數列〈 an 〉之前 n 項和 S n n 2 2n 3 ,求:(1) a1 ? (2) a5 ? (3)一般項 an ? P.11 數列一般項 1-1 例題 2 設數列〈 an 〉之前 n 項和 S n 5n 2 3n ,則一般項 an ? 例題 3 若 a1 2a2 3a3 nan n 2 3n 1 ,則一般項 an ? 例題 4 (1)設數列〈 an 〉的首項 a1 1 ,且滿足遞迴關係式 an 1 an 2(n 1) , n 1 ,則一般項 an ? (2)設數列〈 an 〉的首項 a1 1 ,且滿足遞迴關係式 an 1 an n 1 , n 1 ,則一般項 an ? n 例題 5 (1)平面上若有 100 條相異直線,最多可將平面分割成多少部分? (2)平面上作 10 個相異之圓,至多可將平面分割成幾個區域? 1-1 數列一般項 P.12 例題 6 (1) a1 2 , an 1 3 an 1 ,求 an 通式為? (2) a1 1 , an 1 2an 1 ,求 an 通式為? 5 例題 7 河內塔問題: 傳說在古老的印度,有一座神廟,據說它是宇宙的中心。神廟中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板, 在其中的一根木釘上,由上而下被放置了 64 片直徑由小到大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧 侶們要按以下的規則將 64 片的圓環形金屬片移至三根木釘中的其中一根上: 1.在每次的移動中,只能搬移一片金屬片。 2.過程中必須保持金屬片小的在上、大的在下。 直到有那麼一天,僧侶們能將 64 片的圓環形金屬片依規則從指定的木 釘上全部移到另一根木釘上,那麼世界末日即隨之來到,世間的一切 終將被毀滅,萬物都將至極樂世界。 (1)僧侶必須搬動幾次才可成功? (2)假設今天只有 10 片金屬片,且由小到大編號○ 1 到○ 10 ,求○ 3 號金屬片被搬動了多少次? P.13 數列一般項 1-1 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 17. 設數列〈 an 〉之前 n 項和 Sn n 2 3 ,則一般項 an 為【 】 。 18. 設 n 為自然數, a1 2a2 3a3 nan n(n 1)(n 2) ,求一般項 an 【 】 。 19. 設數列〈 an 〉滿足 a1 1 ,且遞迴關係式 an 1 an (3n 1) , n 為正整數,求 a200 之值為【 】 。 20. 平面上作過一定點 P 之 10 個相異之圓,至多可將平面分割成【 】個區域。 21. 如圖規律所示,第 1 圖有 1 個正方形、第 2 圖 5 個、第 3 圖 13 個,令 an 表示第 n 圖中正方形的個數,求 a10 【 】 。 1-1 數列一般項 P.14 22. 奶茶使用黑白兩種顏色的△地磚,拼成如下規則的三角形,回答下列問題。 (1)設 an 為第 n 圖需用到的白色地磚個數,求 a25 之值為【 】 。 (2)已知第 1 圖的黑色地磚面積為 1 ,設 bn 為第 n 圖的黑色地磚面積,求 b25 【 】。 <<< 筆記欄 >>> P.15 數列一般項 1-1 《主題6》數學歸納法 當我們要證明有關【 】性質時,通常會選擇使用數學歸納法。 一、證明 SOP 通常用 Pn 表示某個命題,並且採取下列步驟證明: (ⅰ)證明 P1 成立。 (ⅱ)假設 Pn 成立,並由 Pn 成立推得 Pn 1 成立。 (ⅲ)則可以說明對於任意自然數 n , Pn 皆成立。 二、原理 類似遞迴的概念,「由 Pn 成立推得 Pn 1 成立」此步驟建立(得證)了一個遞迴關係,即 Pn 1 aPn b , 同理, Pn 2 aPn 1 b 、 Pn 3 aPn 2 b 、 。因此可以推廣到所有的自然數。 也就像骨牌效應一樣,從 Pn 開始倒下, Pn 撞倒 Pn 1 、 Pn 1 撞倒 Pn 2 、 。 例題 1 n(n 1)(2n 1) 證明: 12 22 32 n2 ,n N 。 6 例題 2 n(n 1)(n 2) 設 n 為自然數,求證: 1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1 。 6 1-1 數學歸納法 P.16 例題 3 已知 n 是正整數,且 3 7 n 2 2n 恆為某質數 p 的倍數。 (1)試求質數 p 之值。 (2)利用數學歸納法證明你的猜測正確。 例題 4 已知 n 是正整數,證明 28n 1 24 n 的個位數字恆為 6 。 例題 5 數列〈 an 〉定義如下: a1 0 、 an 1 1 an , n N 。 3 an (1)寫出前 5 項之值。 (2)推測 an 之通式,並以數學歸納法證明:你的推測正確。 P.17 數學歸納法 1-1 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ n(2n 1)(2n 1) 23. 證明: 12 32 52 (2n 1) 2 ,n N 。 3 n(n 1)(n 2) 24. 設 n 為自然數,求證: 1 2 2 3 3 4 n ( n 1) 恆成立。 3 25. 對於所有正整數 n , 32 n 1 2n 2 恆為某一質數 p 的倍數。 (1)推測 p 之值為【 】 。 (2)利用數學歸納法證明(1)的結果正確。 1-1 數學歸納法 P.18 26. 設 n N ,試證: 15n 23n1 1 必為 14 的倍數。 27. 數列〈 an 〉中, a1 1 且 an 1 a1 a2 a3 an , n N 。 (1)預測 an 【 】 (以 n 表示)。 (2)利用數學歸納法證明:你的預測正確。 28. 數列〈 an 〉中, a1 2 , an 1 2 1 , n N 。試寫出 an 的通式,並以數學歸納法證明之。 an P.19 數學歸納法 1-1 1-2 級數 《主題7》連加符號 一、符號介紹 n 設 r , n N ,則 f (k ) k r 5 ex: (2k 3) k 1 二、 運算 n 1. c ak c a1 c a2 c a3 c an c (a1 a2 a3 an ) k 1 n 2. (ak bk ) (a1 b1 ) (a2 b2 ) (a3 b3 ) (an bn ) (a1 a2 a3 an ) (b1 b2 b3 bn ) k 1 2. n 3. (ak bk ) k 1 ※錯誤 n n bn ) ak bk n 1. (ak bk ) a1b1 a2b2 a3b3 anbn 【 】 (a1 a2 a3 an )(b1 b2 b3 k 1 k 1 k 1 n n ak 2. ak a1 a2 a3 an 【 】 a1 a2 a3 an k 1 k 1 bk b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 bn n bk k 1 三、 公式 n 1. c c c c c k 1 n 2. k 2 12 22 32 n2 k 1 n 3. k 3 13 23 33 n3 k 1 n 4. k 1 2 3 n k 1 n 5. k (k 1) 1 2 2 3 3 4 n( n 1) k 1 n 6. k (k 1)(k 2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n(n 1)(n 2) k 1 1-2 連加符號 P.20 四、運算方式 10 1. 帶很多組 【 】 ex: (k 2 3k 1) k 1 20 2. 帶有相乘 【 】 ex: (k 1)(2k 1) k 1 10 3. 帶有 【 】 ex: (1 2 3 k) k 1 4.級數展開式 【 】 ex: 1 3 4 5 7 7 10 9 28 21 . 〈暖身ⅰ〉 展開下列式子: 666 (1) 10 k 1 20 (2) (3t 2) t 1 6 (3) 3x x1 (4) p( p 1) 10 p 1 3 〈暖身ⅱ〉 將下列式子寫成 的形式: (1) 2 5 5 7 8 9 44 33 (2) 1 2 3 10 23 3 4 45 11 12 (3) 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 100) 例題 1 (1) 1 n 2 (n 1) 3 (n 2) ( n 1) 2 n 1 ? (2) 1 29 3 26 5 23 19 2 ? P.21 連加符號 1-2 例題 2 10 (1) 1 1 1 2 3 4 3 5 7 4 7 10 10 19 28 ? (2) (2k k 2 1) ? k 1 例題 3 (1) 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n) ? (2) 1 (1 4) (1 4 7) (1 4 7 28) ? 例題 4 n k 10 k m (1)求 t ? (2)求 t ? k 1 t 1 k 1 m 1 t 1 1-2 連加符號 P.22 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 20 29. (1)試求 (3 p 2)( p 1) 之值為【 】 。 p 1 20 (2)試求 (3k 1)(2k 1) 【 】 。 k 2 10 (3) (2n 3n 1) 【 】 。 n 1 30. (1) 1 3 3 5 5 7 29 31 【 】 。 (2)求級數 1 30 2 29 3 28 28 3 29 2 30 1 之和為【 】。 31. 級數 1 22 2 32 3 42 10 112 之和為【 】 。 P.23 連加符號 1-2 32. 求 12 22 32 42 52 62 59 2 60 2 【 】 。 33. (1)計算 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 99) 之值為【 】 。 (2)求 1 2 2 (2 4) 3 (2 4 6) 10 (2 4 6 20) 【 】。 34. 求 21 (21 22 ) (21 22 23 ) (21 2 2 23 210 ) 【 】 。 35. 用長度相同的鋼條焊接成如右圖, E 1 需要 4 條鋼條、 E 2 需 10 條、 E 3 需 18 條,則: (1) E 10 需要【 】條鋼條。 (2)從 E 1 到 E 10 共需要【 】條鋼條。 1-2 連加符號 P.24 《主題8》相消級數 常用於有【 】或【 】的級數,利用兩兩對消求和。 ex: 1 ex: 1 23 35 例題 1 (1) 1 1 1 1 ? (2)求 1 1 1 1 ? 1 2 23 3 4 n ( n 1) 1 3 35 57 99 101 例題 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) ? (2)求 之值。 1 2 3 2 3 4 3 4 5 10 11 12 2 2 3 3 3 3 4 4 3 20 20 3 例題 3 計算 1 1 1 1 之值。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 99 P.25 相消級數 1-2 例題 4 (1) 1 1! 2 2! 3 3! n n! ? (2) 1 2 3 n ? 2! 3! 4! (n 1)! ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 36. 計算 1 1 1 1 之值為【 】 。 25 58 8 11 98 101 9 37. 求 1 【 】 。 n 1 n ( n 1)( n 2) 1 1 1 1 38. 求級數 之和為【 】 。 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 1-2 相消級數 P.26 39. (1)求級數 32 5 7 201 【 】 。 1 1 22 2 1 2 3 2 2 2 1 2 32 2 2 1002 (2)計算 13 31 23 31 23 3 3 1 2 3 20 之值為【 】 。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 3 3 3 203 1 2 3 10 40. 試求 【 】。 14 12 1 24 22 1 34 32 1 104 102 1 10 1 41. 若 an 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n) ,求 之值為【 】 。 a n 1 n P.27 相消級數 1-2 《主題9》等比幾何 例題 1 有一顆籃球由離地 3 公尺處落下,籃球每次反彈的高度為其落下高度的 2 ,則籃球由落下至觸地 n 次之間 5 經過的距離為何? 例題 2 如右圖, BAC 60 ,最大圓 O1 的面積為 100 ,且 B, C 為其切點,若向內部作圓 O2 使其與 AB 、 AC 以及 圓 O1 皆相切,以此規律繼續下去。試求 n 個圓 O1 , O2 , O3 , , On 的面積總和。 例題 3 如右圖,△ ABC 的底邊 BC 6 ,頂點 A 至底邊 BC 的距離為 10 。若於 BC 邊作內接於△ ABC 的正方形 S1 ,再作內接於△ AB C 的正方形 S 2 ,依此規律繼續下去,則 n 個正方形的面積總和為? 1-2 等比幾何 P.28 例題 4 如右圖,直角△ ABC 中, ABC 90 , ACB 30 , AC 10 , S1 , S 2 , S3 , , S n 分別表示內接正方形的面 n 積,求 lim Sk ? n k 1 ◇◆◇ 練習題 ◇◆◇ 42. 坐標平面上有直線 L : x y ,由點 A1 (1, 0) 對 L 作垂直線,交於 B1 ,再由 B1 對 x 軸作垂直線,交於 A2 , 繼續由 A2 對 L 作垂直線,交於 B2 ,以此類推,會得到 A3 , B3 , A4 , B4 , 。求線段 A1B1 B1 A2 A2 B2 B2 A3 A3 B3 An Bn Bn An 1 之總和為【 】 。 43. 有一隻螞蟻由坐標原點 O (0, 0) 出發,其行徑軌跡為半圓形( OA1 、 Ak Ak 1 均為半圓, k 為正整數) , 已知其中四點坐標為 A1 (1, 0) 、 A2 ( 1, 0) 、 A3 (2, 0) 、 A4 ( 2, 0) 。 (1)求 A2n 的坐標為【 】 。 (2)螞蟻由原點 O 行走到 A2n 的軌跡長度為【 】 。 P.29 等比幾何 1-2 44. 如右圖,直角△ ABC 中, AB 16 、 BC 24 , S1 , S 2 , S3 , , S n 分別表示內接正方形的面積,求 n 個內 n 接正方形的面積 S k 【 】。 k 1 45. 如右圖, AB AC 13 、 BC 10 ,若在△ ABC 中作內切圓 S1 ,再作圓 S 2 與 AB 、 AC 和圓 S1 皆相 切。以此類推,可得到圓序列 S1 , S 2 , S3 , , Sn 。 (1)求圓 S1 的面積為【 】。 (2)求圓 S1 , S 2 , S3 , , S n 的面積總和為【 】 。 46. 如右圖,矩形 ABCD 的一邊 AB 1 ,將矩形 ABCD 剪去最大的正方形 ABEF ,其面積為 S1 ,再由剩下 的矩形剪去最大的正方形,其面積為 S 2 。依據此規則,持續剪去所剩矩形中最大的正方形,會得到面 積 S1 , S 2 , S3 , , S n 的正方形,若剪去前的矩形與所剩的矩形為相似形,則: (1) Sn 【 】 。 S n 1 n (2) lim Sk 【 】 。 n k 1 1-2 等比幾何 P.30 ANS 解答區 練習題解答 1. 144 2. 41 3. 27 :13 4. 2000 5. 50 6. 4 7. 1 8. 54 9. 3 10. 3 或 2 1 5 11. 9 12. 2 1 2n 1 14. (1) 3 ( )n 2 n 2 2 13. 5 35 1 1 n 2 1 n (2) ( ) ( ) 99 3 10 99 100 15. 900 16. 154 (n 1) 17. an 4 18. 3n 3 2n 1 (n 2) 19. 59900 20. 56 21. 181 22. (1) 975 (2) 1525 23. 略 24. 略 25. (1) 7 (2)略 26. 略 1 (n 1) 27. (1) an (2)略 28. an n 1 n2 2 (n 2) n 29. (1) 8360 (2) 2241 (3) 2201 30. (1) 4945 (2) 4960 P.31 解答區 ANS 31. 3850 32. 1830 33. (1) 166650 (2) 3410 34. 4072 35. (1) 130 (2) 550 36. 33 202 37. 27 38. 9 110 10 39. (1) 600 (2) 40 40. 55 101 21 111 1 41. 65 42. (1 2)[1 ( ) n ] 44 2 n(2n 1) 9 n 43. (1) ( n, 0) (2) 44. 144[1 ( ) ] 2 25 180 46. (1) 3 5 (2) 1 5 100 16 45. (1) (2) [1 ( ) n ] 9 13 81 2 2 ANS 解答區 P.32 例題解答 主題1:1. (1) 4,16 (2) 2,162 (3) 16,36 (4) 17,30 (5) 8,13,34,55 1 1 11 3 主題1:2. (1) an [1 (1)n 1 ] (2) an [1 (1) n 1 ] (3) an 4 ( 1) n 1 (4) an (1) n 1 2 2n 2 2 1 n [1 (1) n 1 ] 主題1:(5) an 2 2 1 1 主題2:1. (1) 17 (2) 376 2. (1) 71 (2) 0 (3) 3. (1) 3 : 8 (2) 17 :13 4. (1) 7 (2) 135 m n 主題2:5. (2)(5) 1 1 主題3:1. (1) 63 (2) 2 或 2. 10 3. 4 或 3 4. 315 5. (1) 50 50i (2) 2 (n 2)( ) n 2 2 1 1 1 1 8 1 1 主題3:6. (1) (10n 1 10 9n) (2) (9n n ) (3) (9n n ) 9 9 10 10 81 10 10 11 主題4:1. (1) 14 (2) 945 2. (1) 169 (2) 20 5 ( n 1) (n 1) 主題5:1. (1) 6 (2) 11 (3) an 3. an 2n 2 6 2. 10n 2 2n 1 (n 2) ( n 2) n 主題5:4. (1) n 2 n 1 (2) n 5. (1) 5051 (2) 92 6. (1) 5 1 ( 3 )n1 (2) 2n 1 2 2 5 主題5:7. (1) 264 1 (2) 128 主題6:1. 略 2. 略 3. (1) 5 (2)略 4. 略 5. (1) a1 0 、 a2 1 、 a3 2 、 a4 3 、 a5 4 3 4 5 6 主題6:(2) an n 1 n 1 主題7:1. (1) n(n 1)(n 2) (2) 1055 2. (1) 15565 (2) 2441 3. (1) n(n 1)(n 2) (2) 550 6 6 主題7:4. (1) n(n 1)(n 2) (2) 715 6 主題8:1. (1) n (2) 50 2. (1) 25 (2) 209 3. 99 4. (1) ( n 1)! 1 (2) 1 1 n 1 101 264 840 50 (n 1)! 300 25 75 主題9:1. 7 4( 2 ) n1 2. 225 [1 ( 1 ) n ] 3. [1 ( ) n ] 4. (2 3 1) 5 2 9 13 64 11 P.33 解答區 ANS
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