7.1 Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos.pdf

7.- Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos –  Estimación por Intervalos  Pruebas de Hipotesis  Muestras Pareadas  Bondad de ajuste de distribuciones discretas y continuas 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 1.- Las ventas diarias de una gran tienda comercial es una v.a. con distribución aproximadamente normal. Al seleccionar al azar 25 días, se observaron las ventas siguientes: Ventas (millones $) 7 10 13 16 19 22 N° de días 2 5 7 8 2 1 1.1) El gerente comercial de la tienda estimó el promedio de las ventas diarias en 12 millones de pesos. Mediante un intervalo de confianza del 95%, señale usted si la estimación del gerente se puede validar con la información muestral obtenida. 1.2) Estime la variabilidad de las ventas diarias, con un nivel de confianza del 95%. 2.- Un informe obtenido por la Dirección de Obras de cierta Municipalidad, sobre la base de una muestra de 65 viviendas, reportó información respecto al daño causado por el terremoto de febrero del año 2010 en ellas. El siguiente gráfico muestra el resultado obtenido: 2.1) De acuerdo a la información disponible y considerando una confianza del 95%, estime la proporción de viviendas de la comuna que han sufrido daño grave. 2.2) En otra comuna se pretende realizar el mismo estudio, pero con un error de estimación de 0,05 y una confianza del 95,44%. ¿Cuántas viviendas de esa comuna deben ser seleccionadas para realizar la estimación, de la proporción de viviendas con daño grave, si no se tiene información respecto de los daños ocasionados por el terremoto, en esta comuna? 3.- Una constructora debe comprar una gran cantidad de acero, para una nueva obra. Analizando este producto en el mercado se encontró que existían dos tipos de acero que cumplían con las características de pureza que necesitaban: acero de alta pureza y acero comercial. Para tomar una decisión se toma una muestra aleatoria de 31 especímenes de acero de alta pureza, la cual mostró una resistencia media a la fractura de 60.6 kilos y una desviación estándar de 1.2 kilos. En cambio al tomar una muestra aleatoria de 41 especímenes del acero comercial, se obtuvo una resistencia media a la fractura de 59.8 kilos y una desviación estándar de 1.1 kilos. Página 172 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 3.1) El acero de alta pureza es más caro que el acero comercial. La constructora está dispuesta a asumir este costo siempre que la resistencia media a la ruptura del acero de alta pureza supere a la resistencia media del acero comercial. Con un nivel de significación de 0.1, ¿Qué decisión debería tomar la constructora? 3.2) Estime con un nivel de confianza del 95%, la varianza de la resistencia a la ruptura del acero de alta pureza. 4.- Una industria desea instalar sus nuevas dependencias en cierta ciudad. La comisión nacional del medio ambiente (CONAMA) exige que la cantidad media de partículas contaminante que se emite diariamente en cierto proceso de combustión debe ser inferior a 10 ppm. Una vez instalada la industria, se monitorea durante 30 días, escogidos al azar, registrándose una cantidad media de partículas contaminantes de 8.7 ppm, y una desviación estándar de 3.2 ppm Con un nivel de significación de 0.01, ¿Concluiría usted que la industria está cumpliendo con la exigencia de CONAMA? 5.- A continuación se presentan los sueldos anuales (en miles de dólares), de una muestra aleatoria de 20 empleados de una gran Empresa. X: sueldo anual del empleado a su ingreso a la Empresa; e Y: sueldo anual del empleado al cabo de dos años en esta Empresa, Empleado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 27 19 12 13 21 14 19 10 13 14 17 12 14 17 14 15 14 14 12 15 Y 57 40 21 22 45 32 36 22 28 24 30 28 28 35 27 41 46 42 26 39 5.1) ¿Se puede concluir, con un nivel de significación del 5%, que al cabo de dos años el sueldo medio anual de los empleados de esta Empresa aumenta en más de 15 mil dólares? 5.2) Estime con un nivel de confianza del 99%, la proporción de empleados de esta. Empresa que al cabo de 2 años aumentan sus ingresos anuales en más de 20 mil dólares. 5.3) El estadístico de la Gerencia de Recursos Humanos de la Empresa, entregó al Gerente el siguiente intervalo de confianza respecto de la proporción de empleados de la Empresa que aumentaron su ingreso anual al cabo de 2 años, en más de 20 mil dólares [0.141 ; 0.559] ¿Qué nivel de confianza utilizó este estadístico, para realizar la estimación? 6.- En una empresa computacional dedicada a la fabricación de memorias para P.C. el protocolo de calidad establece los dos siguientes criterios: A: Al menos el 95% de los circuitos fabricados de la memoria no debe tener ningún defecto. B: El tiempo medio de acceso a una celda no debe superar los 100 ns. El último mes se ha realizado un muestreo de 400 circuitos, de los cuales 30 han presentado defectos. En la muestra, los tiempos de acceso a una celda tienen una media de 105 ns. y una desviación estándar de 20 ns. Suponiendo validos los supuestos necesarios 6.1) ¿Los datos muestrales dan evidencias de que no se cumple el criterio A, con α = 0,01, en el último mes? Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 173 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 6.2) ¿Puede Ud. concluir que no se cumple el criterio B, con α = 0,01, en el último mes? 6.3) Para estimar el porcentaje de clientes que estarían dispuesto a adquirir un nuevo tipo de memoria, la empresa realizara una encuesta. ¿A cuántos clientes se debería encuestar, si no existen antecedentes de estos clientes, si se desea una confianza del 98% y un error de estimación no superior a 0,01? 7.- Una línea aérea internacional, está considerando pintar sus aviones con nuevos colores, sus ingenieros afirman que pintar el exterior del avión afecta su velocidad de vuelo, reduciéndola en forma significativa La empresa decide realizar una prueba y toma una muestra de 8 aviones de su flota y registra la velocidad máxima en un vuelo corto, antes y después de ser pintados: Avión 1 2 3 4 5 6 7 8 Sin pintar 426.1 418.4 424.4 438.5 440.6 421.8 412.2 409.8 Con pintura 416.7 403.2 426.1 431.0 432.6 404.2 398.3 405.4 Suponiendo válidos los supuestos necesarios: 7.1) Realice una dócima que le permita verificar la afirmación de los ingenieros, con un nivel de significación de 0.01. 7.2) En los aviones que fueron pintados, estime con un 95% de confianza la proporción de aviones que disminuyeron su velocidad máxima en por lo menos 10 nudos. 8.- El desbordamiento de un río se mide por sus descargas (pies3/seg). Se decide analizar el comportamiento de dos ríos de cierta zona, para lo cual se toman muestras de los desbordamientos que han ocurrido en los últimos años, obteniéndose: Río A: 𝑛 = 11 𝐴 = 5090 𝑆(𝐴) = 2568.404 Río B: 4710 1970 8220 4530 5780 6560 7500 15000 6340 15100 Si las descargas del río se distribuyen en forma normal 8.1) ¿Se puede afirmar que la descarga promedio del río A difiere de la descarga promedio del río B, en 2000 (pies3/seg), con α = 0.05? 8.2) Si de estudios anteriores, se sabe que la desviación típica de las descargas que afectan al río A es de 2000 8.2.1) Construya un intervalo de confianza del 95%, para estimar la descarga promedio del río A. 8.2.2) ¿Cuál debería ser el tamaño de muestra, si se permite un error de estimación igual a la mitad del obtenido en el intervalo anterior y un nivel de confianza del 81.98%? 9.- Se está investigando el tiempo de secado de una pintura tapa poros. Suponiendo que dicho tiempo se distribuye normal, se diseña un experimento en que se mide el tiempo de secado de 10 paredes, de similares características, resultando un tiempo promedio de secado de la pintura de 121 minutos, con una desviación estándar de 8.38 minutos. 9.1) Basándose en la evidencia presentada ¿se puede afirmar, con un error tipo I igual a 0,05, que el tiempo medio de secado es mayor a 115 minutos? ¿A partir de qué nivel de significación se rechaza la hipótesis nula? Página 174 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 9.2) En estudios anteriores se obtuvo una desviación estándar para el tiempo de secado de las paredes igual a 8 minutos. Determine el tamaño de muestra para estimar el tiempo medio de secado, con una confianza del 99% y un error de estimación no superior a 4,8577 minutos. 10.- Una Compañía fabrica propulsores para uno de sus motores de turbina. Una de las operaciones consiste en esmerilar una superficie particular con una aleación de titanio. Para esta operación pueden utilizarse dos procesos de esmerilado y se cree que ambos pueden producir partes que tienen la misma rugosidad superficial. El Ingeniero encargado selecciona una muestra aleatoria para cada uno de los procesos y registra la rugosidad superficial en micropulgadas (mp), estas fueron: Proceso I 3,2 4,6 5,3 4,9 4,4 5,6 5,0 4,5 Proceso II 4,2 4,6 3,8 3,5 4,0 4,3 4,4 3,9 10.1) La Compañía preferiría utilizar el proceso I, pues es menos costoso de realizar, pero lo seleccionará siempre que la variabilidad de la rugosidad, obtenida con este proceso, no son superior a la obtenida con el proceso II. Con un nivel de significación del 5%, ¿Qué procesos selecciona la Compañía? 10.2) Docime la hipótesis de que la rugosidad superficial promedio es la misma en ambos procesos. Use α = 0,05 10.3) Si la rugosidad de una superficie es superior a 4,4 micropulgadas, esta debe ser reprocesada. Estime con un nivel de confianza del 90% el porcentaje de las superficies que sometidas al proceso I deberían ser reprocesadas 11. En el mercado existe una gran variedad de cables eléctricos de uso industrial. Dependiendo de su uso, los compradores consideran entre otras variables: el número de barras de cobre que poseen, si tienen capa protectora aislante y la corriente máxima que es capaz de soportar, en amperes. Para los cables con capa protectora aislante y con cuatro barras de cobre se toma una muestra aleatoria, obteniendo la siguiente información respecto a la corriente máxima que soportan. Corriente máxima Nº de cables 26627 – 27289 10 27289 – 27951 20 27951 – 28613 33 28613 – 29275 25 29275 – 29937 12 Suponiendo válidos los supuestos necesarios: 11.1) Estime, con un 99% de confianza, la varianza de la corriente máxima que soportan los cables con capa protectora aislante con cuatro barras de cobre. 11.2) Los cables que soportan una corriente máxima inferior a 26958 amperes se consideran defectuosos. Una empresa dedicada a la minería desea realizar una gran compra de este tipo de cables, siempre que le demuestren que el porcentaje de cables no defectuosos es superior al 90%. Con un nivel de significación de 0.07. Realice una docima que le ayude a tomar una decisión a la empresa. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 175 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 12. En el mercado existe una gran variedad de cables eléctricos de uso industrial. Dependiendo de su uso los compradores consideran entre otras variables: el número de barras de cobre que poseen, si tienen capa protectora aislante y su grosor. Se toman muestras aleatorias de cables con capa protectora aislante que poseen cuatro y cinto barras de cobre y se mide el grosor de cada cable (en mm), obteniéndose: N° de cables N° de cables Grosor cables en mm Con cinco barras Con cuatro barras 1,2 – 1,4 0 9 1,4 – 1,6 8 11 1,6 – 1,8 14 13 1,8 – 2,0 11 17 2,0 – 2,2 7 6 2,2 – 2,4 3 0 Suponiendo válidos los supuestos necesarios: 12.1) Una norma ISO exige un grosor entre 1,45 a 2,2 mm en los cables con cinco barras. Estime con una confianza del 95% la proporción de cables con cinco barras que cumplan con la norma ISO. 12.2) ¿Es posible concluir con 5% nivel de significación, que el grosor medio de los cables en cinco barras es superior al grosor medio de los cables con cuatro barras? 12.3) Se desea estimar el grosor medio de los cables con cuatro barras, con error de estimación de 0,03 mm y una confianza de 90%, ¿De qué tamaño debe ser la muestra, si existen antecedentes respecto de que la varianza poblacional de los cables es de 0,06 (mm)2? 13.- Un operario (A) recibe 80 artículos defectuosos, de los cuales es capaz de identificar sólo 10. Otro operario (B) también recibe 80 unidades defectuosas, de las cuales identifica 15 correctamente. Antes de la realización de esta prueba, se afirmaba que el operario B tiene mayor capacidad de detectar unidades defectuosas. 13.1) ¿Con esta información y un α = 5%, cuál sería su conclusión? 13.2) ¿Cuántos artículos defectuosos debería revisar el operario A, para estimar con un nivel de confianza del 90% y un margen de error no superior a un 4%, el porcentaje de artículos que es capaz de identificar correctamente? 13.3) El tiempo promedio utilizado por el operario A en clasificar una unidad fue de 30 segundos con una desviación estándar de 6 segundos. Para el operario B, el tiempo promedio utilizado fue de 25 segundos. ¿Existe una diferencia significativa entre los tiempos medios utilizados por estos operarios? (α = 1%) (*) 14.- El año 2012 se realizó un estudio sobre los costos operacionales anuales, en millones de dólares, en empresas de dos rubros (A; B). Se tomaron muestras aleatorias de 15 empresas del rubro A y 12 empresas del rubro B, obteniéndose: Rubro A 5,3 4,4 2,8 7,5 4,5 4,2 3,9 5,3 2,7 8,2 3,9 4,2 5,2 4,4 6,2 Rubro B 3,5 4,5 4,1 3,6 5,2 4,6 2,9 4,0 4,7 5,5 2,9 5,9 Página 176 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Suponiendo válidos los supuestos necesarios: 14.1) Estime con una confianza del 95% los costos operacionales de todas las empresas del rubro A. ¿Qué debería modificar usted para mejorar la precisión del intervalo, si se mantiene constante el tamaño de la muestra?. Justifique su respuesta. 14.2) Si se dispone de la información del año 2012, ¿Cuál debe ser el mínimo tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de empresas del rubro B que generan costos operacionales superiores a 5 millones de dólares anuales, si se considera un error máximo de 4% y una confianza del 98%? 14.3) La junta directiva de las empresas del rubro A está preocupada por las fluctuaciones de la bolsa, que repercuten en las fluctuaciones de los costos operacionales. Históricamente la varianza de los costos operacionales no supera los 3 (millones de dólares) 2, pero tienen la sospecha que el año 2012 sí los supera. ¿Qué puede usted concluir respecto de lo sospechado, para el año 2012, con un nivel de significación del 5%? 14.4) ¿Es correcto afirmar que los costos operacionales promedio de las empresas del rubro B son significativamente inferiores a los de las empresas del rubro A? Utilice una significación de 10%. 15.- Se utilizan dos máquinas diferentes de moldeo por inyección para la fabricación de piezas de plástico. Una pieza se considera defectuosa si tiene un encogimiento excesivo o si le falta color. Se toman dos muestras aleatorias, cada una de de tamaño 300, y se encuentran 15 piezas defectuosas en la muestra de la máquina 1, mientras que sólo ocho en la máquina 2. Concluya con un nivel de significación del 2% si la proporción de piezas defectuosas producidas por la máquina 2 es inferior a la producida por la máquina 1. Recordar algunas fórmulas: Para 𝐻0 : 𝑝1 − 𝑝2 = 0 𝑝̂ 1 − 𝑝̂ 2 𝑝̂ 1 ∙ 𝑛1 + 𝑝̂ 2 ∙ 𝑛2 𝑇= ~ 𝑁(0,1) ; 𝑝∗ = ; 𝑅𝐶 = {𝑇 < −𝑍1 − 𝛼 ó 𝑇 > 𝑍1 − 𝛼 } 1 1 𝑛1 + 𝑛2 2 2 √𝑝∗ ∙ 𝑞∗ [ 𝑛1 + 𝑛2 ] 16.- Para controlar las mediciones del ángulo de ruptura de la torsión de alambres de acero en dos maquinas similares (I y II) se tomo una muestra de 10 pares de alambre, cada par del mismo tipo, obteniéndose los siguientes resultados: Tipo de alambre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maquina I (1) 32 35 38 28 40 42 36 29 33 37 Maquina II (2) 30 33 39 26 37 31 37 30 30 32 ¿Existe evidencia estadística, con un nivel de significación del 5% que permita concluir que en las maquinas I y II las mediciones del ángulo de ruptura promedio difieren? 17.- Un artículo publicado en el Journal of Strain Analysis (2003 Vol. 18 N° 2) compara dos métodos para medir la resistencia al corte de vigas de placa de acero. Se toma una muestra aleatoria de nueve vigas, y se mide en cada una de ellas la resistencia al corte, por el método Karlsube y el método Lehigh, en Kp, obteniendo la siguiente información: Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 177 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Viga 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Karlsrube 1,18 1,15 1,32 1,34 1,20 1,40 1,37 1,54 1,56 Lehigh 1,16 1,25 1,30 1,33 1,18 1,31 1,34 1,59 1,45 ¿Existe diferencia significativa, en la resistencia promedio al corte de las vigas, entre estos dos métodos? Utilice un nivel de significación del 5%. 18.- A continuación se presenta una muestra de 100 conductores electrónicos, a los cuales se les midió su resistencia (X), en . Resistencia (X) N° de conductores 100 Menos de 10 11 ∑ 𝑋𝑖 = 1386 10 – 12 18 𝑖=1 12 – 14 24 100 14 – 16 21 16 – 18 16 ∑ 𝑋𝑖 2 = 20084 𝑖=1 18 y más 10 Total 100 18.1) Pruebe si la resistencia de los conductores eléctricos tiene un comportamiento Normal con media y varianza 7.84 (Ω2 ), con un nivel de significación igual a 0.05. 18.2) Estime con 95% de confianza la proporción de conductores que tienen una resistencia superior a 13  19.- El número de autos de lujo que vende diariamente cierta automotora (X), se modela mediante la siguiente función: 2𝑥 𝑝(𝑥) = { 6 ∙ 𝑥! 𝑠𝑖 𝑥 = 1,2,3,4 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Para analizar si este modelo ha cambiado, debido a la fuerte baja del dólar, se observan las ventas realizadas durante 90 días tomados en forma aleatoria. Se obtuvo: Número de autos vendidos (X) Número de días 1 25 2 34 3 22 4 9 Total 90 Con un nivel de significación del 5%, ¿concluiría usted que el modelo ha cambiado? 20.- Una racha de lluvias es un período de días consecutivos de lluvias donde el día inmediatamente anterior a la racha es seco y el día inmediatamente posterior también es seco. Es importante el estudio de la rachas de lluvias para la planificación vial, estudios de la calidad de aire, entre otros. La tabla siguiente presenta la distribución de las rachas, según N° de días con lluvia hasta que llega el último día de lluvia en la racha. Página 178 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 𝑥 Número de rachas 1 194 2 101 3 66 4 30 5 y más 26 Total 417 Si la distribución de probabilidades de 𝑥: “Número de días con lluvia hasta que llega el último día de lluvia en la racha” se modela mediante una Distribución Geométrica, con parámetro p. 20.1) A partir de una muestra aleatoria de tamaño n de 𝑥, determine el Estimador Máximo Verosímil para p, desconocido. 20.2) Pruebe, con un 5% nivel de significación, que los datos de la muestra provienen de una Distribución de Probabilidad Geométrica, con parámetro conocido p = 0,45. 21.- Una empresa de hardware que fabrica chips, todos los días realiza un control sobre su producto, que consiste en revisar chips hasta encontrar dos defectuosos. La persona encargada de este control afirma que el procedimiento se puede modelar mediante la siguiente distribución de probabilidad: (𝑥 − 1) (0,1)2 (0,9)𝑥 − 2 ; 𝑠𝑖 𝑥 = 2,3,4,5,6,7,8,9, … 𝑝(𝑥) = { 1 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Para estar seguro decide tomar una muestra aleatoria de 280 días, la cual mostró los siguientes resultados: Nº de chips revisados 4 y menos 5 6 7 8 y más Nº de días 6 9 12 14 239 Basándose en la muestra y con un nivel de significación de 0.025 ¿Qué le respondería Ud. a la empresa? 22.- La tabla siguiente muestra los registros de 300 días del control de calidad de los extintores de cierta fábrica. Se tomaron diariamente al azar 4 extintores de la producción diaria y se sometieron a prueba, registrándose el número de extintores defectuosos (X). Número de extintores defectuosos (X) N° de días 0 233 1 57 2 7 3 2 4 1 Total 300 Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede afirmar que el “número de extintores defectuosos” se distribuye según el modelo Binomial? Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 179 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 23.- En la fabricación de semiconductores, para quitar el silicio de la parte trasera de las placas, antes de la metalización, se prueban dos sustancias químicas A y B. Para evaluar el tiempo de reacción, en ms, se toma una muestra aleatoria de 25 placas tratadas con la sustancia A, obteniendo un tiempo medio de reacción de 10,5 ms y una desviación estándar de 0,8 ms. En una muestra aleatoria de 49 placas tratadas con la sustancia B, se obtiene la siguiente información: Tiempo de reacción sustancia B, en ms Número de placas Menos de 8,0 2 8,0 – 9,3 8 9,3 – 10,6 19 10,6 – 11,9 16 11,9 y más 4 Total 49 En que 𝑋̅𝐵 =10,38 ms 𝑆𝐵 =1,1 ms Suponiendo válidos los supuestos necesarios: 23.1) ¿Aportan los datos de las muestras, suficiente evidencia para concluir que el tiempo medio de reacción de la sustancia A es superior al de la sustancia B, con un nivel de significación del 5%? 23.2) Determine el tamaño de muestra para estimar, con una confianza del 95% y un error de estimación igual a 0,06, la proporción de placas tratadas con la sustancia B que reaccionan antes de 9,5 ms. 23.3) Con α = 0,05 ¿Es posible concluir que el tiempo de reacción de la sustancia B, es una variable aleatoria proveniente de una distribución distribuida 𝑁(𝜇; 1,21). Página 180 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Soluciones Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste Respuesta: No se puede validar la estimación del 1.1) 𝐼𝐶(𝜇)0,95 = [12,1916; 15,2484] gerente, debido a que la venta diaria estimada igual a 12 millones de pesos no se encuentra dentro del intervalo 1.2) 𝐼𝐶(𝜎 2 )0,95 = [8,3578; 26,5333] 2.1) 𝐼𝐶(𝑝)0,95 = [0,7027 ; 0,8972] 2.2) Respuesta: La cantidad de viviendas de esa comuna que deben ser seleccionadas para realizar la estimación son 400. 3.1) 𝐻0 : 𝜎𝐴 2 = 𝜎𝐶 2 𝑆𝐴 2 𝐹(30;40;0,05) = 0,5581 3.1) 2 2 ; 𝑇 = 𝑆𝐶 2 = 1,0909 ; Resultado: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Las varianzas 𝐻1 : 𝜎𝐴 ≠ 𝜎𝐶 𝐹(30;40;0,95) = 1,7444 poblacionales son iguales. 𝐻0 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐶 𝑇 = 2,9384 ; 𝑆𝑝 = 1,1439; 𝑡(70;0,90) = 1,2938 𝐻1 : 𝜇𝐴 > 𝜇𝐶 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, la resistencia media a la ruptura del acero de alta pureza supera a la resistencia media del acero comercial, por lo que la empresa está dispuesta a asumir el costo del acero dl acero de alta pureza, con α = 0,10 3.2) 𝐼𝐶(𝜎 2 )0,95 = [0,9196 ; 2,5728] 4) 𝐻 : 𝜇 = 10 𝑇 = −15,6272 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Existe información suficiente para 2) 0 ; rechazar la hipótesis nula, se concluye que la industria 𝐻1 : 𝜇 < 10 −𝑡(29;0,99) = −2,4620 está cumpliendo con la exigencia de CONAMA. 5.1) 𝐷 = 𝑦−𝑥 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Existe información suficiente para 5.1) 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 15 𝑇=2 rechazar la hipótesis nula, por lo que el sueldo medio ; 𝑡 anual de los empleados de esta Empresa no aumenta 𝐻1 : 𝜇𝐷 > 15 (19;0,95) = 1,7291 en más de 15 mil dólares, con α = 0,05. 5.2) 𝐼𝐶(𝑝)0,99 = [0,0754; 0,6246] 5.3) Nivel de confianza igual al 95% 𝐻 : 𝑝 ≥ 0,95 𝑇 = −2,2942 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente 4.1) 0 6.1) ; −𝑍 para rechazar la hipótesis nula, es decir, los datos 𝐻1 : 𝑝 < 0,95 0,99 = −2,33 muestrales dan evidencias de que no se cumple el criterio A, con α = 0,01, en el último mes. 6.2) 𝐻 : 𝜇 ≤ 100 𝑇=5 4.2) 0 ; 𝐻1 : 𝜇 > 100 𝑡(399;0,99) ≈ 2,3357 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, podemos concluir que no se cumple el criterio B, con α = 0,01, en el último mes. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 181 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 𝐷 =𝑠−𝑐 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente 5.1) 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0 7.1) 𝑇 = 4,1925 para rechazar la hipótesis nula, por lo que es correcta la ; 𝐻1 : 𝜇𝐷 > 0 𝑡(7;0,99) = 2,9980 afirmación de los ingenieros, con un nivel de significación del 1%. 7.2) 𝐼𝐶(𝑝)0,95 = [0,0395 ; 0,7105] 8.1) 𝐻 : 𝜎 2 = 𝜎𝐵 2 𝑆𝐵 2 𝐹(9;10;0,975) = 3,7790 Resultado: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Las varianzas 6.1) 0 𝐴2 2 ; 𝑇 = 𝑆𝐴 2 = 2,8103 ; 𝐻1 : 𝜎𝐴 ≠ 𝜎𝐵 𝐹(10;9;0,025) = 0,2646 poblacionales son iguales. 𝐻0 : 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 2000 𝑇 = −2,8607 ; 𝛾 ≈ 15 ; −𝑡 𝐻1 : 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ≠ 2000 (15;0,975) = −2,1315 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, no se puede afirmar que la descarga promedio del río A difiere de la descarga promedio del río B, en 2000 (pies3/seg), con α = 0.05 8.2.1) 𝐼𝐶(𝜇𝐴 )0,95 = [3908,076 ; 6271,924] 8.2.2) 𝑒 = 590,962 ; 𝑍0,9099 = 1,34 ; 𝑛 ≈ 21 9.1) 𝐻0 : 𝜇𝑥 = 115 𝑇 = 2,2642 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No se puede afirmar, con α = 0,05, ; 𝑡 que el tiempo medio de secado es mayor a 115 minutos, 𝐻1 : 𝜇𝑥 > 115 (9;0,95) = 1,8331 además se rechaza la hipótesis nula a partir de α = 0,025. 9.2) Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser de 18 muros. 10.1) 𝐻0 : 𝜎𝐼 2 ≤ 𝜎𝐼𝐼 2 𝑆𝐼 2 2 2 ; 𝑇 = 𝑆𝐼𝐼 2 = 4,1507 ; 𝐹(7;7;0,95) = 3,7870 𝐻1 : 𝜎𝐼 > 𝜎𝐼𝐼 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que la Compañía seleccionará el proceso II. 10.2) 𝐻0 : 𝜎𝐼 2 = 𝜎𝐼𝐼 2 𝑆𝐼 2 𝐹(7;7;0,975) ) = 4,9949 Resultado: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Las varianzas 2 2 ; 𝑇 = 𝑆𝐼𝐼 2 = 4,1507 ; poblacionales son iguales. 𝐻1 : 𝜎𝐼 ≠ 𝜎𝐼𝐼 𝐹(7;7;0,025) = 0,2002 𝐻0 : 𝜇𝐼 = 𝜇𝐼𝐼 𝑇 = 2,099 ; 𝑆𝑝 = 0,5717 ; 𝑡 𝐻1 : 𝜇𝐼 ≠ 𝜇𝐼𝐼 (14;0,975) = 2,1448 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, se concluye con un 5% de significación que la rugosidad superficial promedio es la misma en ambos procesos 10.3) 𝐼𝐶(𝑝)0,90 = [0,4981 ; 1,0000] 8.1) 𝐼𝐶(𝜎 2 )0,99 = [548,829 ; 1138,644] 11.1) Página 182 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 𝐻 : 𝑝 ≤ 0,90 𝑇 = 1,667 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para 8.2) 0 11.2) ; rechazar la hipótesis nula, es decir, se demuestra que el 𝐻1 : 𝑝 > 0,90 𝑍0,93 = 1,475 porcentaje de cables no defectuosos no es superior al 90%, con α = 0.07 12.1) 𝐼𝐶(𝑝)0,95 = [0,7879 ; 0,9795] 12.2) 𝐻0 : 𝜎𝑥 2 = 𝜎𝑦 2 𝑆𝑦 2 𝐹(55;42;0,975) ≈ 1,8178 Resultado: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Las varianzas 2 2 ; 𝑇 = 2 = 1,1605 ; 𝐻1 : 𝜎𝑥 ≠ 𝜎𝑦 𝑆𝑥 𝐹(55;42;0,025) ≈ 0,5645 poblacionales son iguales. 𝐻0 : 𝜇𝑥 = 𝜇𝑦 𝑇 = 2,4238 ; 𝑆𝑝 = 0,2460 ; 𝑡 𝐻1 : 𝜇𝑥 ≠ 𝜇𝑦 (97;0,95) = 1,6607 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, se concluye con un 5% de significación que el grosor medio de los cables con cinco barras es superior al grosor medio de los cables de cuatro barras. 12.3) Respuesta: El tamaño de la muestra de cables deben ser de 181. Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → La afirmación no es correcta, ya 13.1) 𝐻0 : 𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 ; 𝑇 = 1,0887 𝐻1 : 𝑝𝐵 > 𝑝𝐴 𝑍0,95 = 1,645 que ambos operarios tienen igual capacidad para detectar los artículos defectuosos. 13.2) Respuesta: El Operario A debería revisar 185 artículos defectuosos como mínimo. 13.2) 13.3) 𝐻0 : 𝜎𝐴 2 = 𝜎𝐵 2 𝑆𝐴 2 𝐹(79;79;0,995) ≈ 1,8096 Resultado: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Las varianzas 2 2 ; 𝑇 = 𝑆𝐵 2 = 1,44 ; 𝐻1 : 𝜎𝐴 ≠ 𝜎𝐵 𝐹(79;79;0,005) ≈ 0,5526 poblacionales son iguales. 𝐻0 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 𝑇 = 5,7259 ; 𝑆𝑝 = 5,5227 ; 𝑡 𝐻1 : 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝐵 (158;0,995) ≈ 2,6090 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una diferencia significativa entre los tiempos medios utilizados por los operarios A y B, con α = 0.01 14.1) 𝐼𝐶(𝜇𝐴 )0,95 = [4,002 ; 5,692] Respuesta: Para mejorar la precisión del intervalo se debe disminuir el nivel de confianza. 14.2) Respuesta: El mínimo tamaño de la muestra de empresas del rubro B debe ser 637 14.3) 𝐻0 : 𝜎𝐴 2 ≤ 3 𝑇 = 10,8672 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para ; 2 𝐻1 : 𝜎𝐴 2 > 3 = 23,685 (14; 095) rechazar la hipótesis nula, por lo que la varianza de los costos no superarán los 3 (millones de dólares)2, es decir, la sospecha es incorrecta, con α = 0,05. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 183 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 2 2 14.4) 𝐻0 : 𝜎𝐴 = 𝜎𝐵 ; 𝑇 = 𝑆𝐴 2 = 2,4924 ; 𝐹(14;11;0,95) = 2,7383 2 Resultado: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Las varianzas 2 2 𝐻1 : 𝜎𝐴 ≠ 𝜎𝐵 𝑆𝐵 𝐹(14;11;0,05) = 0,3898 poblacionales son iguales. 𝐻0 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 𝑇 = 1,112 ; 𝑆𝑝 = 1,3096 ; 𝑡 𝐻1 : 𝜇𝐴 > 𝜇𝐵 (25;0,90) = 1,3163 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, los costos operacionales promedios de las empresas del rubro B no son significativamente inferiores a los de las empresas del rubro A, con α = 0,10 15) 𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝2 𝑇 = 1,4641 ; 𝑝∗ = 0,0385 ; 𝑍 𝐻1 : 𝑝1 > 𝑝2 0,98 = 2,055 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que la proporción de piezas defectuosas producidas por la máquina 2 no es inferior a la producida por la máquina 1, con un nivel de significación del 2%. con α = 0,10 16) 𝐻 : 𝜎 2 = 𝜎2 2 𝑆12 𝐹(9;9;0,975) = 3,7790 Resultado: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Las varianzas 10) 0 12 2 ; 𝑇 = 𝑆22 = 1,2696 ; 𝐻1 : 𝜎1 ≠ 𝜎2 𝐹(9;9;0,025) = 0,2646 poblacionales son iguales. 𝐻0 : 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 = 0 𝑇 = 1,3006 ; 𝑆𝑝 = 4,298; 𝑡(18;0,975) = 2,1009 𝐻1 : 𝜇𝐴 − 𝜇𝐵 ≠ 0 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, se puede concluir que en las maquinas I y II las mediciones del ángulo de ruptura promedio no difieren, con α = 0.05 17) 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0 𝑇 = 0,7828 3) ;𝑡 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Existe información suficiente para 𝐻1 : 𝜇𝐷 ≠ 0 (8;0,975) = 2,3060 rechazar la hipótesis nula, por lo que se concluye que existe diferencia significativa en la resistencia promedio al corte de las vigas, entre estos dos métodos 18.1) 𝐻0 : 𝑥 ~ 𝑁(𝜇; 𝜎 2 = 7,84) 2 = 6,078 𝑜𝑏𝑠 ; 2 𝐻1 : 𝑥 ~ 𝑁(𝜇; 𝜎 2 = 7,84) (0,95; 4)= 9,488 2 Respuesta: 𝑜𝑏𝑠 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, se puede concluir que la resistencia de los conductores eléctricos tiene un comportamiento Normal con media y varianza 7.84 (Ω2 ), con un nivel de significación igual a 0.05. 18.2) 𝐼𝐶(𝑝)0,95 = [0,4936 ; 0,6864] 2 19) 𝐻0 : 𝑥 ~ 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑠 = 1,667 1 2. ; 2 𝐻1 : 𝑥 ~ 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 (0,95; 3)= 7,815 2 Respuesta: 𝑜𝑏𝑠 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, se puede concluir que el modelo no ha cambiado, con un nivel de significación igual a 0.05. Página 184 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas 07. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 1 20.1) 𝐸𝑀𝑉 (𝑝) = 𝑥̅ 2 20.2) 𝐻0 : 𝑥 ~ 𝐺𝑒𝑜 (𝑝 = 0,45) 𝑜𝑏𝑠 = 5,6897 1. 2) ; 2 𝐻1 : 𝑥 ~ 𝐺𝑒𝑜 (𝑝 = 0,45) (0,95; 4) = 9,488 2 Respuesta: 𝑜𝑏𝑠 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, los días con lluvia hasta que llega el último día de lluvia en la racha se distribuye geométricamente con p = 0,45, con un nivel de significación igual a 0.05. 2 21) 𝐻 : 𝑥 ~ 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑠 = 7,7384 1 2. 0 ; 2 𝐻1 : 𝑥 ~ 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 (0,975; 4) = 11,143 2 Respuesta: 𝑜𝑏𝑠 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, efectivamente el procedimiento se modela mediante el modelo dado por el encargado que realiza el control, con un nivel de significación de 0,025 n igual a 0.05. 2 = 2,2032 22) 𝐻0 : 𝑥 ~ 𝐵(𝑛 = 4; 𝑝 = 0,068) 𝑜𝑏𝑠 ; 2 𝐻1 : 𝑥 ~ 𝐵(𝑛 = 4; 𝑝 = 0,068) (0,95; 1) = 3,841 2 Respuesta: 𝑜𝑏𝑠 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, por lo que se puede afirmar que el número de extintores defectuosos, se distribuye según el modelo Binomial, con un nivel de significación de 0,05 2 n igual 23.1) = 𝜎𝐵 2 𝐻 :a𝜎0.05. 𝑆𝐵 2 𝐹(48;24;0,025) = 0,5143 Resultado: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → Las varianzas 10) 0 𝐴 2 2 ; 𝑇 = 𝑆𝐴 2 = 1,375 ; 𝐻1 : 𝜎𝐴 ≠ 𝜎𝐵 𝐹(48;24;0,975) = 2,1130 poblacionales son iguales. 𝐻0 : 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 𝑇 = 0,4878 ; 𝑆𝑝 = 1,001; 𝑡(72;0,95) = 1,6663 𝐻1 : 𝜇𝐴 > 𝜇𝐵 Respuesta: 𝑇 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, se puede concluir que el tiempo medio de reacción de la sustancia A es superior al de la sustancia B, con un nivel de significación del 5% 23.2) Respuesta: El tamaño de la muestra de sustancias B debe ser de 208. 2 23.3) 𝐻0 : 𝑥 ~ 𝑁(𝜇; 𝜎 2 = 1,21) 𝑜𝑏𝑠 = 1,4597 ; 2 𝐻1 : 𝑥 ~ 𝑁(𝜇; 𝜎 2 = 1,21) (0,95; 1) = 3,841 2 Respuesta: 𝑜𝑏𝑠 ∈ 𝑅𝐶 → No existe información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, se puede concluir que el tiempo de reacción de la sustancia B se distribuye normalmente con media y varianza 1,21 (𝑚𝑠 2 ), con un nivel de significación igual a 0.05. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 185