Horas socialesMatemática 1. La siguiente diferencia de cubos en: Página 1 DESARROLLO DE EJERCICIOS PRE-PAES 3 x −10 3 está expresada correctamente Solución: Lo primero que hacemos es extraer las raíces cúbicas, luego el primer factor es la diferencia de ambos y el otro factor el cuadrado de la primera raíces, más la primera raíz por la segunda, más la segunda raíz al cuadrado. x 3−103=( x−10 ) ( ( x )2 + ( 10 ) ( x )+ ( 10 )2 ) x 10=( x−10)( x 2 +10 x+100) 2 a) (x-10) ( x +10 x +100 ¿ 2. Del siguiente sistema de ecuaciones +3 y=17 {72xx−3 y =1 , ¿Cuáles valores lo satisfacen? Solución: 7 x+3 y =17 (1) 2 x −3 y=1 (2) 9 x=1 x= 18 9 x=2 Sustituyendo en (1) 7 x+3 y =17 7 ( 2 ) +3 y=17 14+3 y =17 3 y=17−14 3 y= =1 3 y=1 c) x=2 ; y=1 3. La probabilidad de un suceso debe cumplir: Solución: Por axioma se sabe que la probabilidad de un suceso está comprendida entre 0 y 1. Centro Escolar “General Francisco Morazán” Universidad de El Salvador, Facultad de Ciencias Naturales y Matemática, Profesorado en Matemática a) 0 ≤ P( s) ≤1 4. ¿Qué función trigonométrica cumple que es positiva en el primer cuadrante y negativa en el cuarto cuadrante? Solución: Según el círculo unitario un punto en el primer cuadrante se define como θ cos θ , sin ¿ , ¿ pero sabemos que todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante, entonces resta analizar en el cuarto cuadrante. cos θ , es positiva en el cuadrante IV sin θ , es negativa en el cuadrante IV, entonces tangente por definirse como seno sobre coseno, esta es la que cumple la condición. c) Tangente 5. “Dos veces x al cuadrado multiplicado por la resta de x y tres veces z” se expresa en notación algebraica: Solución: d) 2 x 2 (x−3 z ) 6. Se escriben los números consecutivos desde 1 hasta 1002, es decir: 1,2,3,4,5,…, 999,1000,1001,1002 uno a continuación del otro, en una pizarra. Luego se borran, de menor a mayor, aquellos que son de la forma 4k+1, donde k es un número entero positivo. ¿Cuál fue el último número borrado? Solución: Como k es un número entero positivo, entonces despejamos K y llamamos x al número. 4 k +1=x , entonces k= x−1 , ahora sustituimos alguna posible respuesta que nos dan, 4 Coordinador: Melvin Bladimir Suárez Horas sociales 3 999−1 998 1001−1 1000 = ≈ 249.5(vemos que no cumple) k= = =250, Vemos que si cumple 4 4 4 4 Página k= Matemática para x=1001. c) 1001 7. Rosa, Reina y Mila son hijas de Dilia, de 30 años de edad. Rosa es 5 años mayor que Reina y Reina 2 años mayor que Mila. Este año casualmente la suma de las edades de las tres hojas es igual a la edad de su mamá Dilia, ¿Cuántos años tiene Mila? Solución: Sea x, los años de Mila, entonces: Rosa Reina Mila Dilia (x+2)+5 años (x+2) años X años 30 años Como las edades de las tres hijas suman la edad de la mamá: (x+2)+5+(x+2)+x=30 3x+9=30, 3x=30-9, x= 21 3 =7 b) 7 años. 8. ¿Cuál es el valor de la expresión √ 1+ 3 4 2 () ? Solución: √ a) 2 1+ √ 2 ( )√ √ 3 3 9 25 √ 25 5 = 1+ 2 = 1+ = = = 4 16 16 √ 16 4 4 () 5 4 Centro Escolar “General Francisco Morazán” Universidad de El Salvador, Facultad de Ciencias Naturales y Matemática, Profesorado en Matemática 9. Sean los puntos P(4,1) y Q (4,5) que pertenecen a la recta R. ¿Cuál es la pendiente de dicha recta? Solución: La ecuación de la pendiente es m= 5−1 4 = 4−4 0 m= y 2− y 1 x 2−x 1 , entonces: , como vemos no está definida la división por cero. Por lo tanto la pendiente no está definida. c) No está definida 10. La simplificación de la expresión algebraica 2 x3 y 2 3 ( )( ) y x3 es: Solución: 2 ( )( ) ( )( ) (2 x3 ) ( y )2 c) 3 y 9x = 2 9 x y 6 3 3−2 y 9y 9y = 9−6 = 3 9 x x x ( 4xy ) 3 11. Si tienes que empacar 15 peras, 25 manzanas y 35 jocotes en dos canastas o más, tal que todas las canastas tengan la misma cantidad de cada clase de frutas. ¿Cuál es la menor cantidad de canastas que necesitas? Solución: Según lo que se plantea lo que se pide es el Máximo Común Divisor, entonces 15 25 35 5 3 5 7 c) 5 Coordinador: Melvin Bladimir Suárez Horas sociales Matemática Página 5 12. Cien personas asistirán a una fiesta, si las entradas cuestan $30 cada una. Por cada incremento de $5 en el precio, diez personas menos irán a la fiesta. ¿A qué precio se deben vender las entradas para obtener máximas ganancias? Solución: Ingresos totales= (total personas) (precio por unidad) Sea x, el incremento. Como el precio se incrementa $5, entonces (30+5x) Si el precio aumenta irán 10 personas menos, entonces (100-10x) Ahora la función de los incrementos es f ( x )=( 30+5 x ) (100−10 x )=3000+200 x−50 x2 Vemos que tenemos una parábola, entonces buscamos su vértice y la primera componente corresponderá al aumento, mientras que la segunda nos dará lo que debemos aumentar a $30: 2 f ( x )=3000+200 x−50 x , entonces y =6+4 x−x 2 , dividiendo por 50 y=−x 2+ 4 x +6 y=−( x 2−4 x+ 4−4 ) +6 , 4 2 ( )2 = 2 =4 2 () 2 y=−( x−2 ) +6+ 4 2 y=−( x−2 ) +10 Por lo tanto el Vértice es V (2,10), por lo tanto el precio al que debe venderse las entradas es $ 40.00 c) $40 13. Si se sabe que cierta colección de objetos, solo hay de 2 colores diferentes, de 5 formas diferentes y de 3 marcas diferentes, ¿Cuál es el máximo número de objetos que puede tener la colección? Solución: Centro Escolar “General Francisco Morazán” ¿Cuál es el promedio de aprobación del alumno? Coordinador: Melvin Bladimir Suárez . Sea C(n.α ? Solución: Por definición dos ángulos α+ β . Profesorado en Matemática 2 colores 5 formas 3 marcas Aplicamos el principio de multiplicación: 2 x 5 x 3 = 30 es el número máximo de objetos 14. a) = C (15. x=140+α b) 140+ α 16. 9 y 7. Si 0 ≤ a<b ≤ 15 y C ( 15.entonces . Las notas obtenidas por n alumnos en tres exámenes parciales de Estadística fueron de 8. Si los porcentajes asignados a cada examen son 30%. pero como además se sabe que esos triángulos son isósceles. 30% y 40% respectivamente. como ya tenemos uno de 90. entonces a + b=15 c) 15 15. entonces al ser rectángulo se sabe que un ángulo es recto. ¿A que es igual el suplemento de 40. entonces los otros dos deben medir 45 cada uno. son suplementarios se α + β=180° ( 40−α )+ x =180.45. b) 45. x=180−40+ α .Universidad de El Salvador.r) el número combinatorio. b) . ¿Cuánto vale cada uno de los ángulos de n triángulos rectángulos rectángulo isósceles? Solución: Por definición se sabe que los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados. entonces a lados iguales se oponen ángulos iguales.90 17. Si α es un ángulo. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. a ) =C(15. entonces como C (15. b). ¿Cuál es el valor de a+b? Solución: Por propiedad de combinatoria: Cnk =C n−k n . y se extraen sin reemplazamiento.9 30+30+40 100 a) 7. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una roja y seguidamente una verde? Solución: Como hay 3 bolas rojas y 7 verdes.40 y Melvin $2.3 20+ 20+10+15 65 a) $2. Si Juan trabaja 20 horas.50. Javier 10. Tomas $2. Se extraen 2 bolas una tras otra sin reemplazo.5 X´ = = =2.20. En una urna hay 3 bolas rojas y 7 verdes.2 ) +20 ( 2.4 ) +15( 2. pero con la primero que saquemos quedaran 9. ¿Cuál es el salario promedio por hora? n Solución: Utilizando la fórmula de la media aritmética ponderada ∑ xi f i ´x = i=1 n 20 ( 2. Tomas 20 y Melvin 15 a la semana.10.1) 149.Horas sociales Matemática 7 n ∑ xi f i Página Solución:como el promedio se define: ´x = i=1 n 8 ( 30 ) + 9 ( 30 )+7 (40) 790 X´ = = =7.5 ) +10 ( 2. Por Laplace P ( E )= Número de casos faborables n ( E) = Número de casos posibles n (S) Entonces: Centro Escolar “General Francisco Morazán” . Javier $2. en total se tienen 10 bolas. Cuatro amigos trabajan en un supermercado algunas horas por día.9 18. recibiendo el siguiente salario por hora: Juan $2.30 19. luego aplicamos el principio de multiplicación: a) ( 103 )( 79 )= 2190 = 307 7 30 20. entonces 24x=x+1324 24x-x=1324 23x=1324 Coordinador: Melvin Bladimir Suárez . en seguida se extrae la segunda y se tienen 7 favorables. entonces 3 10 .Universidad de El Salvador. de 9 que han quedado. de 10 posibles. entonces 7 9 . Profesorado en Matemática En la primera extracción se tienen 3 favorables. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. ¿El número es? Solución: Sea x el número. su valor aumenta en 1324 unidades. Al multiplicar un número por 24. Al resolver la ecuación log 8+ log x=3 se obtiene para x el valor de: Solución: Por propiedades de logaritmos se tiene que: ( xy)=¿ log x+ log y log ¿ entonces: log 8+ log x=3 log 8 x=3 3 10 =8 x x= 1000 =125 8 a) 125 21. 25.64.43 x .43=0. 4.09 a) 27 23. entonces el número de ratones que 30 gatos pueden cazar en 30 minutos es: Solución: CAUSA Gato Minut s os 6 6 30 30 x= EFECTO Ratones 6 x 30 x 30 x 6 =150 6 x6 c) 150 24. 49. 9. 36. 16. El 3% de 81 es igual al 9% de: Solución: Calculamos el 3% de 81 y es: 2. entonces: Sea 2. Dada la sucesión infinita de números: 1.Horas sociales 9 1324 ≈ 58 23 Página x= Matemática a) 58 22.43 0.09x x= 2.… ¿Qué número siguen después de 64? Solución: Centro Escolar “General Francisco Morazán” . Si 6 gatos cazan 6 ratones en 6 minutos. el número que buscamos. Coordinador: Melvin Bladimir Suárez . n = 1.Universidad de El Salvador. Profesorado en Matemática Esta es la sucesión de los números cuadrados. 3. 2.∞ +¿ . es decir. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. ¿ ¿−2. B=¿−∞ . f ( n )=n . Dados los conjuntos A= { xϵR / x >−2 } y B={ xϵR / x ≤ 5 } . la intercepción de A con B es: Solución: Trascribir los conjuntos en notación de intervalos. 2 n . A=¿ . …. 2 2 n=9. ¿A que es igual el suplemento de 40 °−α ? Solución: Sea β el suplemento del ángulo entonces se cumple que: β+ ( 40 °−α )=180 ° β+ ( 40 °−α )=180 ° β=180 °−( 40 °−α ) β=180 °−40° + α β=140 °+ α b) 40 °−α 26. La respuesta es el literal a. f ( 9 )=9 =81 b) 81 25..5 ¿ ¿ Luego colocarlos sobre la recta real y observar en que intervalo aparecen dos colores los cuales son los elementos en común. X´ t =6 .Horas sociales Matemática Página 11 27.0=´x2 La respuesta correcta es el literal a 28. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sigo 6. Se pretende ordenar a un grupo de 3 señoras y 3 señores en una línea. Diez alumnos han reprobado con nota de 3 y el resto obtuvo más de 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados? Solución: Se forma 2 grupos con 10 alumnos cada uno. ¿De cuantas maneras se pueden hacer si se desea que las 3 señoras permanezcan juntas? Solución: Importa el orden pues estarán colocados en fila por ello se usan permutaciones. (3P3) (3P3)=6*6=36 Centro Escolar “General Francisco Morazán” . se tiene una media total de 6 y una media de un grupo de 3 por propiedades (la media de una constante es la constante) entonces X´ t = se utiliza n1 ´x +n ´x n1 +n2 1 2 2 . Datos: n1=n2=10 X´ t = 6= . Se aplica el principio del producto debido a que son sucesos dependientes. ´x 1=3 n1 ´x +n ´x n1 +n2 1 2 2 10(3)+10 ´x 2 20 120=30+10 ´x 2 90=10 x´ 2 9. 5 ∗4 10 2 P ( S )= = 9 9 Por lo tanto la respuesta es el literal a.Universidad de El Salvador. 29. para la segunda extracción se disminuye en 1 los casos posibles y de igual forma los favorables. n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6 1 1 1 1 1 3 4 1 5 1 3 6 1 0 5 6 2 1 4 1 0 2 0 1 5 1 5 1 6 1 6+15+20+15+6=62 por lo tanto la respuesta correcta es el literal b Coordinador: Melvin Bladimir Suárez . 30.4)+ C (6. se extraen dos tarjetas. 1)+ C (6. Profesorado en Matemática La condición es que las tres mujeres están juntas por lo cual existen varios casos: I. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. 2)+ C (6. Para que sea la primera tarjeta par se tiene 5/10. II. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos presenten números pares cuando se extrae una tras otra si la primera extraída no se regresa a la urna? Solución: Se usa el concepto de probabilidad clásica casos posibles entre casos favorables. Sea C(n. r) el número combinatorio. Se dispone de 10 tarjetas enumeradas del 1 al 10 en una urna. III. IV. MMMHHH-------36 HMMMHH-------36 HHMMMH-------36 HHHMMM-------36 formas formas formas formas Cada suceso es independiente por ello se emplea el principio de la suma por ello son 144 formas diferentes que las tres mujeres estén juntas respuesta es literal a. ¿Cuántos es C (6. Son sucesos dependientes por ello se aplica el principio del producto.3)+ C (6. 5)? Solución: La forma más fácil de resolverlo es mediante el uso de la calculadora o usando el triángulo de pascal. En un carrito le ofrecen una hamburguesa básica. La probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos es siempre 1.80. Centro Escolar “General Francisco Morazán” . 5)+C (6. La probabilidad de un evento es siempre un número entero c. En una clase hay 30 alumnos. Pero debe estar integrado por hombres y mujeres por ello se usa el principio del producto pues son sucesos dependientes. de los cuales 18 son mujeres y 12 hombres. la suma de las probabilidades de un suceso y su complemento debe ser uno pero esta resulta 1. Se desea elegir el comité deportivo integrado por 3 mujeres y 4 hombres. 3)) = 18 ! ( 3!∗15 )! ∗( 412! !∗8 ! ) Por lo cual la respuesta es el literal d 33. ¿Cuántos comités distintos es posible elegir? Solución: Como no se especifica que se tendrán cargos en el comité por ello no importa el orden entonces se usa combinaciones.3)+C (6. El número de hamburguesas distintas que usted puede pedir es de: Solución: El orden de los aderezos no importa por ello se emplea las combinaciones pero no especifica que solamente puedo escoger un aderezo por ello de los 6 aderezos escojo cero. entonces la probabilidad que no gane es 0. 4))*(C (18.10 FALSO. uno dos. cuatro cinco y seis. 1)+C (6.30 d. la cual puede agrandar o mejorar con 6 aderezos distintos. Solución: Para responder esta interrogante se debe discriminar las opciones de respuesta.30 b. a. 2)+C (6. Escojo hombres x Escojo Mujeres=(C (12.6)=1+6+15+20+15+6+1=64 Por lo tanto la respuesta correcta es el literal c 32.Horas sociales Matemática Página 13 31. De las siguientes afirmaciones ¿Cuál es la VERDADERA? a. tres. La probabilidad que una persona gane en una rifa puede ser -0. 0) +C (6. C (6. Si la probabilidad que el Águila gane es 0.4)+C (6. Las estaturas de las alumnas de primer año de bachillerato se distribuyen normalmente con una media de 167 cm y una desviación estándar de 6cm. 34. La probabilidad nunca puede ser negativa d. Se tiene que un x0 μ=167 .1590 p x −167 > ( x−167 )=0. Profesorado en Matemática b.6) se debe cambiar la variable X a Z. Para llevarla a la distribucion N(0. FALSO pues 0 ≤ p ( x i ) ≤1 c.Universidad de El Salvador.9% de sus compañeras son más altas que ellas? Solución: Sea x: estatura de las alumnas. ¿Cuál es la estatura de una alumna de quien se sabe que solo el 15.1590 → z 0=1 z 0= x0 −μ x −167 → 1= 0 σ 6 6=x0 −167 → x 0=173 Coordinador: Melvin Bladimir Suárez normal estandar .1590 6 6 0 p ( z> z 0 ) =0. σ =6 es la altura de la alumna. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. La distribucion es N(167.Estandarizar la variable mediante el proceso siguiente: Z= X−μ σ p ( x> x 0 ) =0.1). Esta ubicado en el cuarto cuadrante donde coseno es positivo y el seno negativo por lo cual la tangente será negativa (cociente entre seno y coseno). El valor de 15 Matemática Aplicando la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos. tangente (-). ¿Cuál es el valor numérico de la expresión 2 4 sen 6 0° +2 cos 45° 2 2 3 cos 60 °+ sen 30 ° ? Solución: Para facilitar el proceso se usara los triángulos notables y las razones trigonométricas de esos triángulos. Centro Escolar “General Francisco Morazán” .Horas sociales La respuesta es el literal b sin ( 90 °−θ ) es igual al valor de: Solución: Página 35. coseno (+). 2 37. coseno y tangente de un ángulo de 310® son respectivamente: Solución: Primero se debe identificar en que cuadrante se encuentra el ángulo θ=310 ° . 36. Los signos de las funciones seno. solo que la condición es la pregunta y su respectivo orden seno (-).Por lo tanto la respuesta es el literal d. sin ( α −β )=sin α cos β−cos α sin β sin ( 90 °−θ ) =sin 90 ° cos θ−cos 90° sin θ=1∗cos θ−0∗sin θ=cos θ Por lo tanto la respuesta correcta es literal b. ¿ ( A−B ) =¿ 6.Universidad de El Salvador.6 ¿ ¿ y . ¿ C=¿ 4.9 ¿ ¿ . Sean los conjuntos: ( A−B ) ∪( A ∩C ) resultado de A= { xϵR /2 ≤ x <9 } . Primero ( A−B ) es decir los elementos de A que no tienen relación con B. Profesorado en Matemática 2 2 4 sen 60° +2 cos 45° = 2 2 3 cos 60 °+ sen 30 ° ¿ 3+1 =4 4 4 4 2 √3 + 2 1 2 √2 2 ( ) ( ) = 4 ( 34 )+2( 12 ) 1 1 1 1 3 ( ) +( ) 3 ( )+ 2 2 4 4 2 2 Por lo tanto la respuesta es el literal c 38. A=¿ . B={ xϵR / x ≤ 6 } C={ xϵR /x > 4 } . Coordinador: Melvin Bladimir Suárez . Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. Para evitar confusión se realizara cada operación por aparte colocando cada intervalo sobre la recta real. 9¿ Luego observar en que intervalo aparecen dos colores los cuales son los elementos en común entre A y C.El y es: Solución: Trascribir los conjuntos en notación de intervalos. B=¿−∞ . es decir donde solo aparece el color naranja. ∞+¿ ¿ 2. 2.5. 4. 3.6. 3.5 } Centro Escolar “General Francisco Morazán” C={ 1.3. B={ 1. Falso pues NϵQ Respuesta correcta es el literal c. ¿Cuál de las siguientes relaciones establecidas entre subconjuntos de los números reales es verdadera? Solución: Para responder esta interrogante se debe discriminar las opciones de respuesta. 7 } ={ 3. 3.9 ¿ ( A−B ) ∪( A ∩C )=¿ la respuesta es el literal b.9 ¿ ( A ∩C ) =¿ Al realizar la unión de los intervalos resultantes es: ¿ 4. 7 } Y C−( A ∩B ) Solución: Se realizará por partes para evitar confusión ( A ∩B )={ 2. Sean determina los conjuntos A= { 2.Si . b. 40.8 } .5 } ∩ {1. 3.5. 5 } . Falso pues N ∩ Z=N c. 39. Falso pues los enteros poseen incluido el cero. 4. Cierto pues los ‘racionales son todos aquellos números que puedo escribir como cociente de dos enteros y los irracionales lo contrario d. a. 5.Horas sociales Matemática Página 17 ¿ 4. Profesorado en Matemática Que corresponde el literal d 41. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 2 4 x +9=12 x ? Solución: La manera más fácil es aplicar la formula general para ecuaciones de segundo grado. A=4.Universidad de El Salvador. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. 4 x 2 +9=12 x 2 4 x −12 x +9=0 . El polinomio que se factorizó es: Solución: ( 5 x+ 3 3 3 2 2 3 3 2 9 5 x + = 5 x + =( 5 x ) +2 ( 5 x ) + =25 x 2 +15 x+ 2 2 2 2 2 4 )( )( ) ( )() Respuesta es el literal d 42. B=-12 y C=9 Coordinador: Melvin Bladimir Suárez . Luego de descomponer en factores un polinomio se obtuvo como resultado (5 x+ 32 )(5 x + 32 ) . ¿Cuál es la solución de la ecuación x+ 5−4 x =2 x+1 ? 3 Solución: x+ 5−4 x =2 x+1 3 3 x+5−4 x=6 x+ 3 3 x−4 x −6 x=3−5 −7 x=−2 → x= 2 7 La respuesta correcta el literal b 43. 25 )=5 . En un costal hay x cantidad de frutas. pero como vamos a agregar x cantidad de acido. 45. 5+ x .60 Por lo tanto la solución de ácido que hay que agregar es 5 ml. de la cual queremos que aumente a 40%.60 x=3 x= 3 =5 0. la Cantidad final de x+ 20 solución Cantidad final de ácido x+ 5 x+ 20 . Un laboratorista tiene 20ml de una solución que contiene 25% de concentración de ácido. 20 x 25 =20 ( 0.Horas sociales 19 −b ± √ b2−4 ac 2a Página x= Matemática −(−12 ) ± √ 122−4∗4∗9 12 ± √ 144−144 12 3 x= = = = 2∗4 8 8 2 Por lo tanto la respuesta es el literal c.40 ( 20+ x ) 5+ x=8+ 0. hay 25% que son de concentración de ácido. es decir. ¿Cuántos milímetros de ácido debe agregar a la solución? Solución: Sea x. Entonces como hay que agregar x cantidad. pero sabemos que en solución final es los 20ml. 44. Si desea aumentar la concentración a 40%.40 x=8−5 0.40 x x−0. la cantidad de ácido que hay que agregar. La tercera parte son mangos. las dos quintas partes son naranjas y las restantes son 160 manzanas ¿Qué cantidad de naranjas hay en el costal? Centro Escolar “General Francisco Morazán” . entonces: 5+ x=0. La relación entre las escalas de temperaturas Celsius y Fahrenheit está dada por la ecuación F = 9 5 C + 32. Por cierto trabajo. 46. si el laboro 10 horas más que el ingeniero? Solución: Sea x: el número de horas que trabajo el ayudante X-10: el número de horas que trabajo el ingeniero ( x )( 10 ) + ( x−10 )( 40 )=2200 10 x+ 40 x−400=2200 50 x=2200+400=2600 x=52 El número de horas que laboro el ayudante son 52 que es el literal a 47.200 ¿Cuánto tiempo trabajo el ayudante. la empresa les extiende a ambos un solo cheque por $ 2. Profesorado en Matemática Solución: Sea x: la cantidad total de futas x 2 x= + x+ 160 3 5 x 2 x− − x=160 3 5 15 x−5 x−6 x =160 15 4 x =2400→ x=600 Son la cantidad total de frutas pero la interrogante es el número de naranjas en el costal 2 2 x= ∗600=240 5 5 la respuesta es el literal d. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática.Universidad de El Salvador. Una empresa consultora paga a un ingeniero en computación $ 40 por hora y a su ayudante $ 10 por hora. Un grupo de ecologistas informa que es Coordinador: Melvin Bladimir Suárez . entonces el intervalo de sus edades mentales es: Solución: 80 ≤CI ≤ 140 80 ≤ M ∗100 ≤140 C 80 ≤ M ∗100 ≤ 140 15 Centro Escolar “General Francisco Morazán” . Si para un grupo de jóvenes de 15 años de edad. se tiene que 80 ≤CI ≤ 140 . M=edad mental y C=edad cronológica.2° 48.Horas sociales 21 Matemática Santa Tecla la temperatura está variando entre 68 ° y 72° Fahrenheit. ¿Cuál es Página el rango de temperaturas en grados Celsius? Solución: 9 68 ° ≤ C+ 32° ≤72 ° 5 9 68 °−32 ≤ C +32 °−32° ≤ 72°−32 ° 5 9 36 ° ≤ C ≤ 40 ° 5 36 ° ( 59 ) ≤ 95 ( 59 ) C ≤ 40 ° ( 59 ) 20 ° ≤ C ≤ 22. Los psicólogos para calcular el coeficiente intelectual de una persona utilizan la fórmula: CI = M ∗100 C donde CI=coeficiente intelectual. 5 ] el literal b es la respuesta correcta.−2. Solución: Rescribiendo los conjuntos resultantes al E= { 2.1. Un conjunto de puntos aislados b.1 ) . ( 2.2 ) } Por lo tanto la respuesta es el literal c. Si E= { xϵN /1< x ≤ 3 } y F={ yϵZ / 0 ≤ y <3 } entonces ExF es igual a. Un conjunto de barras horizontales d. (2.0 ) . ( 3. Coordinador: Melvin Bladimir Suárez seis. ( 3.2 ) .−1. Si y N= { yϵR /1 ≤ y ≤ 5 } . Profesorado en Matemática 80∗15 140∗15 ≤M ≤ 100 100 12≤ M ≤ 21 años El intervalo corresponde al literal a. 1. en la representación grafica de MxN en el plano cartesiano. 2 } producto El número de pares ordenados cartesiano son ExF={ ( 2. ( 3. Un rectángulo sombreado en su interior Solución: Reescribir los conjuntos M ={−3.0.1 ) . 50.3 } realizar y el F={ 0. . tendrá la forma de: a. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática.2 } Y N= [ 1. M ={ xϵZ /−3 ≤ x ≤2 } 49.Universidad de El Salvador.0 ) . Un conjunto de barras verticales c. entonces. dueño de una pequeña fábrica de piñatas. es decir. ¿Cuál de las funciones expresadas mediante ecuaciones es una función infectica? Solución: Por definición una función es inyectiva. entonces es una función lineal. 0 ≤ x ≤ 1000. Ulises es un joven emprendedor. 1 ¿ ¿−∞ . y de las funciones presentadas la única que cumple es a) f ( x )=−3 x+4 Centro Escolar “General Francisco Morazán” f ( x )=−3 x+ 4 . 1 ¿ 53. b) Función lineal. Esta ecuación representa una: Solución: Como el grado del polinomio es 1. el intervalo que es creciente es de menos infinito hasta la abscisa del vértice. 52. Ha realizado estudios en la Universidad y sus conocimientos de matemática le han permitido descubrir que el costo de producción C (en dólares) de un número x de piñatas viene dado por la expresión: C ( x )=2 x+500 . sí y solo sí es. 2) Como la parábola es cóncava hacia abajo. creciente o decreciente (monótona).Horas sociales 23 Matemática Página 51. b) ¿−∞ . la función f ( x )=−x 2+2 x +1 es creciente en el intervalo: Solución: Busquemos primero el vértice: y=−( x 2−2 x ) + 1 y=−( x 2−2 x+1−1 ) +1 2 2 =1 2 () y=−( x−1 )2 +2 V (1. Facultad de Ciencias Naturales y Matemática. los terceros 60 centavos.2)(60) = =( 30 )( 12. y así sucesivamente.40 0. Si sus ahorros los inicio el 1 de enero. 1 enero 2 enero 3 enero 1 marzo Necesitamos conocer el número de días que han transcurrido.. ¿Cuánto dinero tendrá en su alcancía el 1 de marzo de este mismo año (incluyendo lo de ese día)? Solución: Hacemos primero el diagrama del problema: an 0.40−0.20 ) =0.20+11.20+12)(60) (12.Universidad de El Salvador.20 0. a 60=0.40 2−1 1 Como ya tenemos la razón podemos conocer el término 60 que es 1 de marzo: an =an + ( n−1 ) d . la suma: S=7+ 7 ( 2 )+ 7 ( 4 )+7 ( 8 )+ … 7(2 ) Coordinador: Melvin Bladimir Suárez tiene un valor igual a: . el segundo día mete 40 centavos. S60 = ( 0.20+ ( 60−1 )( 0.2 ) =366 2 2 Ahora de lo anterior Mónica ahorro $ 366. para ello: Vemos que n=60 días a n−a1 d= Ahora utilizamos la fórmula para hallar la diferencia n−1 d= 0. Ahora solo buscamos la sumatoria de estos: S n= ( a 1+ an ) n 2 . c) $ 366 15 55.20 0. Mónica se ha propuesto ahorrar dinero durante el presente año. Profesorado en Matemática 54.20 = =0.60 … ….8=12 Esto quiere decir que el día 1 de marzo ella insertó 12 dólares. El primer día mete a su alcancía 20 centavos de dólar. luego factoramos para conocer el número 7(20 +21 +23 +…+215 ) . un cultivo contiene inicialmente 10 bacterias y este número se duplico cada 5 minutos. De tal manera que luego de ½ hora. n Ahora sustituimos en S 16 = a) 7(2 −1) S n= . en el cultivo había 640 bacterias. Luego vemos que la razón es (7(2)/7)=2. en cero la sucesión. r −1 7(216 −1) =7(216−1) 2−1 7 ( 216−1 ) 56. la mínima cantidad de bacterias será de 640.Horas sociales Matemática 25 Solución: Página Observamos que es una sucesión geométrica. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? SOLUCIÓN Min 0 5 10 15 20 25 30 Bacteri a Bacteri a 10 20 40 80 160 320 640 20 40 80 160 320 640 1280 Por lo que al cabo de 25 minutos. c) En 25 minutos el mínimo de bacterias seria de 640. Centro Escolar “General Francisco Morazán” . ya que comienza de términos. Si inicialmente hubiese habido 20 bacterias. de lo que se puede notar que n=16. 2. A continuación se presenta dos columnas: la de la izquierda contiene la información que se quiera representar y la de la derecha el tipo de grafico que se podría utilizar. d. ¿Cuál es la relación correcta entre la información y el tipo de grafico a utilizar? Los salarios mensuales de los trabajadores. d) 1d-2a-3b 58. por ser cantidades continuas se representan a través de Histograma. De barras simples. Histograma. De sectores. Salarios mensuales de un grupo de trabajadores de maquilas. las ventas realizadas por Arnoldo en el último semestre fueron: 1º mes: $2000 4º mes: $4000 2º mes: $2500 5º mes: $4500 3º mes: $3000 6º mes: $5000 ¿Cuál de las siguientes conclusiones puede ser obtenida a partir de la inferencia estadística? SOLUCIÓN Saquemos la media aritmética de los datos x= 2000+2500+3000+4000+ 4500+5000 6 x=3500 La inferencia estadística nos permita suponer ó predecir lo que podría suceder. b. c. a. Las exportaciones e importaciones. Información 1.Horas sociales Matemática 57. la comparación de estas 2 variables que se puede representar con un gráfico de barras dobles. Tipo de grafico De barras dobles. en dólares de un país en la última década. Los porcentajes de personas simpatizantes se presta para su representación con gráfica de sectores. 3. Porcentajes de personas simpatizantes con determinado partido político. Exportaciones e importaciones. Centro Escolar “General Francisco Morazán” . ¿Cuál es la calificación en la siguiente prueba que le permitirá aumentar su promedio a 9.33 60. puede ser que sean mayores de $5000 el próximo mes.5+ 9.2 = 4 4 x=8.8 Centro Escolar “General Francisco Morazán” .4 35.Horas sociales Matemática Por lo que el literal “a” no nos proporciona una inferencia porque esta afirmación es correcta es un dato que se puede conocer a través de su cálculo.3+ 9. Si analizamos el literal”d” podemos ver que ese dato es un resultado verdadero.4. Si las calificaciones de una señorita son: 7. 9. $185. la media aritmética de los salarios mensuales de 100 trabajadores de la Fabrica A es $175. 59.0? SOLUCIÓN Primero encontremos cual es el promedio actual de las calificaciones: x= 7. en una institución educativa. c) En el mes que viene las ventas serán mayores que $5000. ¿Cuál es la media de los salarios mensuales que el conjunto de estas tres empresas pagan a sus trabajadores? SOLUCIÓN Fabrica A B C # de empleados 100 125 150 Suma Media aritmética 175 200 180 555 Encontremos la media aritmética total de todos los salarios: x= 175+ 200+180 555 = 3 3 x=$ 185 b. El literal “b” obviamente es algo que a simple vista podemos concluir. 9.5. la nota de informática de un periodo lectivo se obtiene calculando la media aritmética de 5 evaluaciones correspondientes a ese periodo. sin necesidad de inferir en el resultado.3. de los 125 trabajadores de la fábrica b es $200 y de los 150 trabajadores de la fábrica C es $180.0. 9.0+9. del que no es necesario inferir. Por todo lo anterior y analizando el enunciado del literal” se puede inferir que las ventas realizadas por Arnoldo. Peso promedio del conjunto de jóvenes. 3. y por ultimo Cuando habla de un determinado peso que supera a un determinado porcentaje. Solución: Según los datos el numeral uno referido al promedio del conjunto de jóvenes. Variabilidad o dispersión de los pesos. la que mejor representa el salario promedio del conjunto de salarios mostrado es: $200 Salarios de la empresa “ABC” $200 Centro Escolar “General Francisco Morazán” . Peso de un joven que supera a un determinado porcentaje de los participantes en el estudio. Media Aritmética. y estructuremos la siguiente ecuación. Deciles. es el orden respectivo. 1w-1y-2x-3z 62. x.0= 8. c. ¿Qué medida de la columna N debe calcular? Columna M 1.2 c) 9. de las medidas de posición. de las siguientes medidas. DesviaciónEstándar. Si desea obtener lo que se especifica en la columna M. Llamemos x: la última calificación. la que mejor lo representa es la media aritmética y la mediana (1y1w). Columnas N w. Mediana. luego en el segundo numeral vemos que se refiere a variabilidad.8+ x 2 x=9. z.8 61.0. 2. por ser los estadígrafos de posición que tienden a ocupar la posición central. analizar e interpretar para la elaboración del informe. ha conseguido datos referidos a los pesos de dichos jóvenes. por ello la que lo representa es la desviación estándar (2x). los cuales deberá organizar. 9.Horas sociales Matemática Ahora bien lo que se requiere es saber que calificación debe obtener para lograr elevar su promedio a 9. la medida de posición que mejor lo expresa es los Deciles (3z). Por lo tanto la 1w-1y-2x-3z. y. Entre otros. Suponga que usted está realizando un estudio sobre la nutrición de los jóvenes. por lo cual no podemos aplicar un promedio. por lo tanto la mejor medida de posición que representa la información mostrada es la mediana. ni moda. 63. con este dato observamos que se encuentra en la cuarta clase.8 ( n+1 ) 100 100 ) 80 Fa 9 25 38 46 48 49 50 9 16 13 8 2 1 1 50 en que intervalo se encuentra el percentil 80. Centro Escolar “General Francisco Morazán” .V.” Tiempo(min) F 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 –89 90 – 99 Total Solución: 9 16 13 8 2 1 1 50 Primero le añadimos una columna más a la tabla para obtener la frecuencia acumulada. vemos que hay datos que sesgan el análisis. Tiempo(min) F 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 –89 90 – 99 Total Ahora utilizamos la fórmula para ubicar Dk =k 50+1 D =80 ( =40. Para la distribución mostrada la afirmación verdadera referida al valor percentil ochenta es: TIEMPO DE DESPLAZAMIENTO DE SU HOGAR AL TRABAJO DE EMPLEADOS DE “ÉXITO S. b) Mediana. DE C.Horas sociales Matemática $255 $400 $500 $4000 Solución: $250 $450 $3000 Por el comportamiento de los datos.A. . a) Está en la segunda clase pero más próximo a 40 min. 64.8 dólares 65.Horas sociales Matemática Ahora solo sustituimos en Dk =l i +C [ k ] −Faa ( n+1 100 ) D f 80 =60+9 [ 80 ] −38 ( 50+1 100 ) =60+3. x 3+ a . x n +a n 1 ∑ ( x ± a ) = 1n ∑ x i ± 1n ∑ a= 1n ∑ xi ± 1n ( na )= x´ ± a n i=1 i i=1 i=1 i=1 Centro Escolar “General Francisco Morazán” . entonces ´x = 3+5+8+9+ 10 35 = =7 5 5 34 =¿ √ 6. las cantidades de dinero que cinco personas cargan en sus carteras son: $3. $5. En una empresa la media aritmética de los salarios de los trabajadores es $400. $8. y la desviación estándar es de $25. pero vemos que antes i=1 n n necesitamos conocer la media ´x = 1 ∑x n i=1 i . La desviación típica de estas cantidades es: Solución: La fórmula para encontrar la desviación: Sx = √ n ∑ ( x i− ´x )2 . pero vemos por las respuestas que la que más se acerca es el literal d. Si a cada trabajador se le da un aumento de $50.15 8 Ahora vemos que está en la cuarta clase. entonces la nueva media y la nueva desviación estándar será respectivamente: Solución: Acá se deducen las propiedades: Dado n x ±´ a= n n x 1+ a . … … … .8 5 Sx = c) √ Dólares (3−7)2 +(5−7)2+(8−7)2+(9−7)2+(10−7)2 = √¿ 5 √ 6. $9 y $10.. x 2 +a .15=63. x n+ a x n Entonces: x 1(1+ a). … … …. $ 25. . Si a cada trabajador se le da un aumento del 25% de su salario. … … … . es 300 dólares y la varianza 100 dólares. b) 450 y 25 dólares 66. x 3 +a x 3 . por la formula. x n (1+a) 1+a xi (¿) ¿ n 1 x i=¿ ( 1+ a ) ∑ ( x i )=(1+a) x´ n i=1 ¿ n 1 (a ´x + x´ )= ∑ ¿ n i =1 Centro Escolar “General Francisco Morazán” . es decir. la media aritmética de los salarios de los trabajadores de una empresa. la nueva media es $ 450 y la desviación estándar permanece igual. x 2 (1+ a).Horas sociales Matemática x (¿¿ i± a)−(´x ± a) ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ n 1 2 S x ±a= ∑ ¿ n i=1 S x ± a=S x Como la media era de $ 400. x 3 (1+a). la nueva media y la nueva desviación estándar? Solución: Se deducen las siguientes propiedades: Dados x 1+ a x 1 . . ¿Cuáles serán respectivamente. x 2 +a x 2 . 5 a) $375 y $12. con una desviación estándar de 5.25) (100)=√ ( 1.Horas sociales n S 2ax + x = Matemática 1+a ¿ ¿ ¿ n 2 1 1 ( ( 1+a ) x i−( 1+a ) ´x ) = ∑ ¿ ∑ n i=1 n i=1 a 1+¿ ¿ ¿2 ¿ ¿¿ S ax =√ a2 S 2x =(1+a)S x Como 25% quiere decir que se está multiplicando por 100.25 ) (300)=375 La desviación es S ax =√ (1+0.2.25 ) ( 300 )=( 1. Centro Escolar “General Francisco Morazán” . por lo tanto la nueva media 2 2 es $ 375 y la desviación estándar es $ 12. 25/100 = 0. Debido a un mal manejo del registro de calificaciones en la computadora. cada nota de los alumnos disminuyo en 5 puntos. Esto permaneció así hasta que el docente se dio cuenta. procedemos a dividirlo por 100 para sustituir en la formula. y para corregir el error solicito que cada una de las últimas notas que aparecerían se multiplicara por 1. la nueva media será: ( a ´x + ´x ) =( 1+ a ) ´x =( 1+0. La media aritmética de los puntajes de un examen de Ciencias Naturales fue 65.5 .25 = a Por las propiedades anteriores.25 ) (100)=12.5 67. ¿Cuáles son respectivamente la media y la desviación típica de las notas después de haberse realizado los que el docente solicito? Solución: Como cada una de las notas disminuyó en 5 puntos entonces por la propiedad: x ± a ⟹ ´x ± a . 9. entonces obtenemos la semisuma: y es 7 2 2 3 5 5 6 7 7 7 9 10 13 1ª 2ª 3 4 5 6 7 8 9 10 Por último por definición la moda es el dato que aparece varias veces repetido.2.Horas sociales Entonces la media es nueva media es Matemática ´x ± a=65−5=60 . 10. pero como se multiplica por 1. 7 Entonces. 6. 7. S=( 1. la mediana. es decir. ´x = 3+2 ( 5 )+3 ( 7 )+ 6+9+10+13 =7. El número de inasistencias a su trabajo durante el año. La media aritmética.2 )=72 y la desviación S ax =a S x . a) 7. 7. 5. La posición entre el 5 y el 6. En un restaurante se ofrecen dos aperitivos. 69.2. y la moda son: 7. entonces la ax ⇒ a ´x . la mediana y la moda son respectivamente: Solución: Lo primero que hacemos con los datos: 3.5. 13. 3. entonces ´x =60 ( 1. 7. 7. respectivamente la media. 7. 6. 7. El número de platos completos y distintos que pueden ser ordenados es: Solución: 2 Aperitivo 4 Plato 3 Bebida Centro Escolar “General Francisco Morazán” 2 Postres . 10. 9. 7. 5. cuatro platos fuertes. de un grupo de 10 empleados de una oficina gubernamental se presenta a continuación: 7. 5.2 10 Como ya ordenamos los datos solo utilizamos la fórmula para hallar la posición de la mediana. n+1 10+1 = =5. 7. 6 68. 7.2.2 ) ( 5 )=6 a) 72. 5. 13. tres bebidas y dos postres. 7. 4. En una fiesta infantil. entonces por principio multiplicativo: ( 2! )( 3 ! )( 4 ) =48 a) 48 71. 5 Primero verificamos todos los casos: 4 V 7 =7 p 4=840 Ahora vemos los que no cumplen lo que se solicita: 3 x 6 x 5 x 4=360 1 x 2 x 5 x 4=40 Ahora solo a todos los posibles les restamos los que no cumplen: Centro Escolar “General Francisco Morazán” .Horas sociales Matemática 2 x 4 x 3 x 2=48 Aplicando el principio de multiplicación: b) 48 70. ¿Cuántas cantidades podrían formarse? 1 6 2 4 7 5 9 Solución: se tiene 1. Si Gaby y Diana quieren estar siempre juntas. ¿De cuantas maneras distintas pueden ordenarse en la fila? Solución: Construimos el posible resultado por defecto: 2 1 1 er 3 do er 2 2 1 ¿ 5¿ 4 3 Pero como dos de ellas desean ir juntas. Iván y Diana hacen fila para ser vacunados contra el tétano. 2. Para ello le da a cada niño uno de los siete cartones mostrados y les pide que formen cantidades de cuatro cifras mayores de 5300. el payaso invitado llama a siete a participar en un juego. 6. 9. Gaby. David. Miguel. utilizamos la Ley de Laplace. La probabilidad de que el tribunal quede conformado por tres mujeres y dos hombres es igual a: Solución: Por lo que menciona el problema. El número de palabras de cinco letras que es posible formar con las letras de LIBRETA es: Solución: como no nos da restricción. aplicamos principio de multiplicación: 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520 a) 2520 73.6 . 4 . 5. 3.7. Si se extraen 4 bolitas una después de la otra y sin reposición.390625 74. Se seleccionan al azar cinco nombres para conformar un tribunal de conciencia. 2 . ¿Cuál es la probabilidad que se forme un número de cuatro cifras significativas y que sea par? Solución: Se tiene S={0 .1. y el principio de multiplicación: (103 )(82) = 20 ( 185) 51 d) 20 51 Centro Escolar “General Francisco Morazán” . En las páginas de un documento de un juez están escritos los nombres de 10 mujeres y 8 hombres.Horas sociales Matemática 840-360-40=440 a) 440 72. 8 } 7 6 5 5 8 8 7 6 = 105 0 268 8 n(S) = 9 = 0. En una urna se tienen 9 bolas numeradas del 0 al 8. además no son complementarios. Cierto tipo de focos tiene una durante media igual a 900 horas y desviación estándar de 50 horas. U. la probabilidad que él bebe ordene los cubos formando la palabra NÚMERO es: Solución: Utilizamos la Ley de Laplace y principio de multiplicación: ( 16 )( 15 )( 14 )( 13 )( 12 )( 11 )= 7201 a) 1 720 76.7.4 y P (AUB) = 0. cada uno tiene escritos en sus seis caras una sola de las siguientes letras: O. determina a A y B como eventos de un espacio muestral S. ya que no cumplen ni siquiera las condiciones anteriores. a) A y B son eventos dependientes. Bajo el supuesto que los focos tienen una duración que acusa tendencia normal.5. M. 77. N. y si vemos A y B no son mutuamente excluyentes ya que tienen una intersección. μ=900 y σ =50 El área buscada (o probabilidad) es la de la gráfica. de tal manera que P(A) = 0. ¿Cuál de las siguientes proposiciones referidas a los eventos A y B es verdadera? Solución: Por las condiciones mencionadas hay una unión de sucesos.Horas sociales Matemática 75. ¿Qué porcentaje aproximado de focos durara entre 850 y 1000 horas? Solución: Sea x: el número de horas que dura los focos. Un joven que estudia la teoría de probabilidades. Centro Escolar “General Francisco Morazán” . A un bebe le han regalado 6 cubos. R. P (B) = 0. E. dado que están unidos. y mucho menos suman uno. por lo que podemos decir que son dependientes. Horas sociales Matemática El procedimiento consiste en cambiar la variable X por otra llamada variable estándar Z. El procedimiento consiste en cambiar la variable X por otra llamada variable estándar Z.85% la cual corresponde al literal b. Z= X–μ σ Centro Escolar “General Francisco Morazán” .8413 }=0. Asumiendo que los tiempos de duración tienen tendencia normal. la duración promedio de los anuncios por televisión es de 30 segundos con una desviación típica de 5 segundos.8185 Para obtener el porcentaje basta multiplicar por 100 la probabilidad obtenida 81.9772−0.1587=0.9772− {1−0. Z= X−μ σ p ( 850≤ x ≤ 1000 )= p X −900 1000−900 ≤ ≤ ( 850−900 )= p (−1 ≤ Z ≤ 2) 50 50 50 = p ( Z ≤ 2 )− p ( Z ≤−1 )= p ( Z ≤ 2 )− { 1− p ( Z ≤1 ) } ¿ 0. 78. la probabilidad aproximadamente que un comercial dure más de 35 segundos es: Solución: Sea x: el número de horas que dura los comerciales. μ=30 y σ =5 El área buscada (o probabilidad) es la de la gráfica. 4 aproximadamente 1954 estudiantes que corresponde al literal d.9 = ¿ 0.9 ) μ=6. 80.6? Sea x: la nota obtenida por los alumnos.8413=0.6−6. aproximadamente.159 ( X −30 5 5 ) Que corresponde al literal d 79. obtuvieron calificaciones menores de 8.6 )= p 8. y la desviación típica fue de 0.8 y σ =0.Horas sociales p ( x ≥35 )= p Matemática 35−30 ≥ =p ( Z ≥ 1 )= {1− p ( Z ≤ 1 ) }=1−0.9. Si la distribución de las notas acusa tendencia normal.8 ≤ = p ( z ≤ 2) ( X −6. p ( x ≤ 8.9772 Para conocer el número de estudiantes basta multiplicar la probabilidad obtenida por 2000 y resultan 1954.1587 ≈ 0.8. En el triángulo mostrado. la calificación media obtenida por un grupo de 2000 estudiantes en una prueba de admisión a la Universidad fue de 6. ¿Cuántos estudiantes.9 0.8 0. la medida del Angulo θ es de: Centro Escolar “General Francisco Morazán” . Para la siguiente figura. 3 81. QP= 3. cuando un triángulo tiene sus tres lados proporcionales a otro triangulo. RS=2x+3. sabiendo que: QR=x+4. lueo 25 ° .Horas sociales Matemática Solución: Como por definición dos ángulos suplementarios suman 180 ° . TS= 5 Centro Escolar “General Francisco Morazán” . encuentre el valor de x. despejando θ=120 ° . entonces podemos conocer que el ángulo que se forma con la línea recta es de angulos interiores de un triangulo suman obtenemos πrad 180 ° . luego como los 35 °+ 25° +θ=180 ° . 82. luego lo convertimos a radianes: 180 ° 120 ° X x= (120 °)(πrad ) 2 π = rad 180 ° 3 b) 2π rad . se dice que los triángulos son: Solución: Por definición son semejantes. c) Semejantes. luego separamos los triángulos y escribimos la información que nos proporcionan: Luego como tienen dos ángulos iguales. entonces por criterio de semejanza aa. los triángulos: ⊿QRP ≅⊿ SRT Entonces: QR QP = SR ST x+ 4 3 = 2 x +3 5 Ahora despejamos x: 5 ( x+ 4 ) =3 ( 2 x +3 ) 5 x+20=6 x +9 x=1 d) 11 Centro Escolar “General Francisco Morazán” .Horas sociales Matemática Solución: Vemos que los ángulos ∡QRP=θ=∡SRT . Horas sociales Matemática 3 cos θ= y θ es Un ángulo agudo. entonces utilizamos seno. y sobre razones trigonométricas Por teorema de Pitágoras sabemos que cos θ= C . entonces es el cateto opuesto. Como tenemos hipotenusa y lado opuesto que es el que queremos conocer. y como la tangente se define a) tan θ= a=√ 5 2−32=4 . tan θ=¿ Solución: c 2=a 2+ b2 .7)(sin 63) x≈6 d) 6 Centro Escolar “General Francisco Morazán” .7 x=( 6. a=√ c 2−b2 .7m de longitud se coloca contra una pared haciendo un ángulo de 63 ° con respecto al suelo. sin 63 °= x 6.a H Solo despejamos a o b de la formula. ¿Cuántos metros arriba quedarán la punta de la pared de la escalera con respecto al piso? Solución: Primero hacemos un bosquejo del problema: Ahora busquemos una razón trigonométrica que nos relacione toda la información. ahora este C . Una escalera de 6. Adyacente 3 4 3 84. entonces 5 83. Opuesto 4 = C . Solución: Como es un decágono entonces tiene 10 vértices. La cantidad de drama contenida en m2 es aproximadamente: Solución: Por Teorema se sabe que el área en función de sus lados es: p= a+b +c .5−5)(11. Una diagonal es un segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos del polígono. con las medidas mostradas en la figura (sin escala).5−7)(11.5 (11. Un jardín engramado tiene forma triangular. A= √ 11. 2 A= √ p ( p−a )( p−b ) ( p−c ) p= 7+5+11 =11.5 2 . Encuentre la cantidad total de diagonales que pueden dibujarse en un decágono. Un decágono es un polígono con 10 vértices y 10 lados.5−11) ≈ 13 e) 13 86. es dado por Ahora: (nk )−número de lados (102)−10=45−10=35 d) 35 Centro Escolar “General Francisco Morazán” . y para obtener el número de diagonales que pueden dibujarse. siendo k=2 .Horas sociales Matemática 85. son como se muestra en la tabla. b) Función lineal. El valor de tan 50o es igual al de: Solución: Lo que hacemos es simplemente probar utilizando la calculadora (se puede hacer utilizando las definiciones. luego en tres 4000. y se observa que la relación ve decreciendo entre ambas componentes. y por ello podemos afirmar que es una función lineal.Horas sociales Matemática 87. en dos decrece a 4. 88. a medida transcurre el tiempo X. Si se expresa Y como función de x. las posiciones Y ocupadas por un ciclista. Sabemos: sin a cos a tan a csc a= 1 sin a sec a= 1 cos a cot a= 1 tan a Entonces cotangente = 1/ tan 50 °=tan 50 ° a) cotangente de 400 89. se obtiene una: Tiempo t (en min) 0 1 2 3 4 Posición Y (en metros) 5000 4500 4000 3500 Solución: Con los datos en la tabla vemos que en uno comienza con 5000.500.-1) y Q (2.5) tiene un valor igual a: Solución: Centro Escolar “General Francisco Morazán” . la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-3. pero es muy tedioso). =(−2. Agrupando de forma conveniente para formar el cuadrado perfecto Centro Escolar “General Francisco Morazán” .-4) con el punto D (-6. k ) x 2−6 x+ 4 y +1=0 x 2−6 x+ 1=−4 y . = . El vértice de la parábola 2 x −6 x+ 4 y +1=0 está en el punto: Solución: Para determinar el vértice despejamos la variable y luego completamos 2 cuadrados para llevarla a la forma canónica: y−k=a (x−h) . Completando cuadrado x (¿¿ 2−6 x +9)−9+1=−4 y ¿ 6 =3 2=9 2 () . y +2 y ) 1 2 1 2 .0) es: Solución: como por definición el punto medio es la semisuma de cada abscisa y cada ordenada: P m= ( x +2 x .-2) 91.Horas sociales Matemática Por definición la pendiente está dada por: m= m= y 2− y 1 x 2−x 1 .−2) ( 2+(−6) 2 2 ) ( 2 2 ) a) (-2. Despejando y 2 2 x −6 x+ 9−9+1=−4 y . El punto medio del segmento que une el punto C (2. entonces: P m= −4+0 −4 −4 . sustituimos 5−(−1) 5+1 6 = = 2−(−3) 2+ 3 5 6 5 C) 90. donde Vértice es V (h . en los puntos de intersección de las rectas con la secante se forman 8 ángulos.2) 4 a) (3. En el siguiente gráfico se presenta la distribución del número de goles anotados por jugador en un torneo de futbol. s ¿Cuál de las siguientes parejas de ángulos suman siempre 180 0? Solución: como vemos los únicos ángulos que podemos afirmar que suman 180 dado que son suplementarios es s y u. Agrupando ( x−3 )2−8 =y −4 . c) s yu 93.Horas sociales ( x−3 )2−8=−4 y Matemática . Centro Escolar “General Francisco Morazán” . despejando y −( x−3 )2 8 + =y 4 4 y−2= −( x−3 )2 . tal como se muestra en la figura. por lo tanto elVértice es V (3. Cuando dos rectas paralelas AB y CD son cortadas por una secante cualquiera MN.2) 92. ya que los demás solo son opuestos por el vértice. notamos que el punto (-1.3[. lo que indica restrictividad.2]x[1. La gráfica: Solución: Analizamos los puntos extremos de la región sombreada.Horas sociales Matemática 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 ¿Cuántos goles se anotaron durante el torneo? Solución: Como la relación de las barras es goles anotados por número de jugadores entonces: Goles anotados durante el torneo = 10(1)+6(2)+4(3)+4(4)+2(5)+1(6)= 66 goles d) 66 94. Centro Escolar “General Francisco Morazán” .3) hy un pequeño huequito. al igual que los puntos (-1.1) y (2. lo cual nos indica que no está tomando este valor. por lo cual el producto cartesiano es ]-1.3). y además notamos que las unen líneas discontinuas. AM ≈ MB . b) FM 96.2]x[1. Con relación a la figura dada. y además por el dibujo MF ⊥ AB .3[ 95. es la que parte del punto medio de un segmento de forma perpendicular. por lo cual FM es la mediatriz del triángulo.Horas sociales Matemática Es la representación del producto cartesiano: b) ]-1. entonces de los datos vemos que AM=MB. es decir que M es el punto de AB Entonces la mediatriz es: Solución: como por definición la mediatriz. En el triángulo △ ABC . tenemos que DC||AB y AD|| BC ¿Cuáles de los triángulos son isósceles? Solución: Centro Escolar “General Francisco Morazán” . Horas sociales Matemática Como DC||AB y AD|| BC. entonces ABCD es paralelogramo. entonces utilizamos la ecuación punto pendiente: y− y 1=m ( x−x 1 ) y−4=−2 ( x−1 ) y−4=−2 x +2 y=4+2−2 x y=6−2 x Centro Escolar “General Francisco Morazán” . entonces AB=DC y AD=CB. Dada la representación gráfica de la recta que pasa por el punto (1. los ⊿ ADB ≡⊿ DHB c) Los triángulos ADB y DHB 97. además los ángulos ∡BDC=θ=∡ABD .4) con pendiente m=-2 Solución: Como la pendiente m=-2. entonces por criterio de congruencia triángulos LAL . Horas sociales b) Matemática y=6−2 x 98. primero debemos conocer la altura del trampolín.87 pies 99. por la información que nos proporcionan.87. sin 40= sin 36= y . ¿Cuál es la longitud del segmento del segundo cable? c) x=60/(sin 36/sin 40)=54. Solución: si llamamos y a la altura del trampolín. entonces la respuesta es literal c. para verificar en que Centro Escolar “General Francisco Morazán” . Un cable tiene 60 pies de longitud y forma un ángulo de 360 con la horizontal y el segundo forma un ángulo de 40 0. es decir función seno. entonces buscamos una función trigonométrica que nos relacione cateto opuesto e hipotenusa. x= x sin 40 Ahora vemos que aproximadamente el valor es 54. ¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente desigualdad cuadrática? 12≤ x 2+ x Solución: Ordenamos la inecuación La escribimos de forma estratégica Buscamos dos números que multiplicados den -12 y sumados x 0 ≤ x 2 + x−12 x 2+ x−12 ≥ 0 ( x+ 4 ) (x−3)≥ 0 Ahora utilizamos el cuadro de variación. y =60 sin 36 . ahora volvemos a hacer uso de la 60 60 sin 36 60 sin 36 . Entonces utilizamos seno. un trampolín para clavados por 2 cables que van desde el tope de este hasta el suelo a lados opuestos del mismo. + ∞¿ ¿−∞ . obtenemos como resultado: Solución: Lo primero que hacemos es extraer las raíces cúbicas. Al factorizar el polinomio: 3 x −64 . más la segunda raíz al cuadrado. más la primera raíz por la segunda.−4 ¿U ¿ ¿ 3.Horas sociales Matemática intervalo esta la solución: -4 (x+ 4) −¿ (x−3) −¿ (x−3)( x+ 4) +¿ 3 +¿ +¿ −¿ −¿ Luego la parte sombreada constituye el conjunto solución. 3 3 2 x −4 =( x−4 ) ( ( x ) + ( 4 )( x ) + ( 4 ) 2 ) 2 x 4=( x−4)(x + 4 x +16) a) ( x−4)( x 2+ 4 x +16) Centro Escolar “General Francisco Morazán” .−4 ¿U ¿ b) 100. es decir.+ ∞¿ ¿−∞ . +¿ +¿ ¿ 3. luego el primer factor es la diferencia de ambos y el otro factor el cuadrado de la primera raíces.