Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de IcaINDUCCIÓN-DEDUCCIÓN Y CRIPTOARITMÉTICA 3 3.1. RAZONAMIENTO INDUCTIVO (INDUCCIÓN) 3.1.1. DEFINICIÓN Consiste en analizar casos particulares, es decir realizar experiencias sencillas pero con las mismas caracteristicas del problema original, para conseguir resultados que al ser relacionados nos permitan llegar a una conclusión que lo llamaremos caso general. C A S O C A S O C A S O 1 2 3 INDUCCIÓN CASO GENERAL Ejemplo: 1 Teniendo en cuenta las figuras 1, 2, 3, ……, ¿cuántos puntos de contacto habrán en la figura 25 ?: Caso 1 Caso 2 Caso 3 … (fig. 1) (fig. 2) ……….. (fig. 3) Analizando: Fig. (1) : : 1=1 2 Fig. (2) : : 4=2 2 Fig. (3) : : 9=3 2 : 1 n=n Se establece que: Fig. (n) : 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA CICLO I – 2011 2 Por lo tanto: en la fig. (25) habrán: (25) = 625 puntos de contacto. 3.2. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO (DEDUCCIÓN) 3.2.1. DEFINICIÓN El razonamiento deductivo consiste en aplicar una verdad general (ya demostrada) en ciertos casos particulares. Este tipo de razonamiento garantiza la verdad de la conclusión, si la información de la que se parte es verdadera. DEDUCCIÓN CASO GENERAL CASO PARTICULAR 3.2.2 HABILIDAD OPERATIVA La habilidad operativa nos permite ahorrar tiempo en los cálculos, tiempo que en cualquier tipo de examen resulta determinante como para no despreciarlo en cálculos numéricos elementales. Otro aspecto importante, es que nos enseña las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa, pero con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más rápida. Ejemplo: 2 ¿Qué resultado se obtiene de la suma de las cifras no repetidas de: 2 2 A = 978029 - 978026 ? Resolución: 2 2 Sabemos que: a – b = (a + b) (a – b) ………. Diferencia de cuadrados Entonces: A = (978029 + 978026) (978029 – 978026) = (1956055) (3) = 5868165 Suma de cifras de A: 5 + 8 + 6+ 8 + 1 + 6 + 5 = 1 Rpta: La suma de las cifras no repetidas es 1. Unidad Académica de RAZONAMIENTO 2 Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 3.3. CRIPTOARITMÉTICA 3.3.1. DEFINICIÓN Es la habilidad para encontrar cifras escondidas en operaciones matemáticas (Adición, Sustracción, Multiplicación, División, etc.). Las cifras estan sustituidas por letras, simbolos o espacios vacios. A cada letra le corresponde una y solamente una cifra ó dígito. A letras iguales les corresponde cifras iguales. 3.3.2. CLASIFICACIÓN: Presenta dos formas: 1.3.2.1. FORMACIÓN DE NUMERALES: Son expresiones simples equivalentes a una cantidad determinada. En este caso el valor de cada letra se halla igualando al número por su valor posicional. Ejemplo: 3 CEPU = 1492, entonces C = 1, E = 4, P = 9, U = 2 1.3.2.2. OPERACIONES ARITMÉTICAS: En este caso tal como lo indica su nombre, se representa como suma, resta, multiplicación, división, etc. o como una operación combinada. Ejemplo: 4 ¿Cuál es el valor de: mnp mnp x x a b mnp x ab ? , si se sabe que: = 5468 = 2932 Resolución: Los productos se escribirán: mnp x ab 2932 5468 57612 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . 2... 2 Fig.. es: 204 Cifras A) 1846 B) 1836 C) 1934 D) 1935 E) 1936 Resolución: Por Inducción: er 2 cifras = 9 = 9 x 1 (1 ) : 6 = 36 do (2 ) : 66 er 2 cifras = 18 = 9 x 2 = 4356 2 (3 ) : 666 = 443556 vo (104 ) : En C = cifras = 27 = 9 x 3 (666 .N. es: … (fig. 3) C) 164 D) 415 E) 400 Resolución: Contando los puntos de corte de cada figura: Fig... 4 2. E (666 . 2) B) 430 (fig. B . 4=4x1 8=4x2 12 = 4 x 3 16 = 4 x 4 Fig. 1 Fig.ICA PREGUNTAS DE APLICACIÓN Nº 03 1.6) 2 ... Tomando en cuenta las figuras 1. 3 Fig.CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.. 3. 1) A) 412 (fig. (100) : 4 x 100 = 400 La suma de cifras del resultado de: C = Rpta. …. el número de puntos de corte de la figura 100...6) 2 204 Cifras cifras = 204 x 9 = 1836 Unidad Académica de RAZONAMIENTO 4 Rpta. . 2 .77) + (0. ..23) + (3... C.. es: La suma de las cifras del resultado de: P = (333 101 Cif ras A) 607 B) 608 C) 606 D) 604 E) 603 Resolución: er 2 (1 ) : 34 = 1156 do 2 (2 ) : 334 = 111556 er 2 (3 ) : 3334 = 11115556 to 2 (4 ) : 33334 = 1111155556 2 . El resultado de efectuar: 3 2 3 2 M = (1...23) + (2.77) + (0..77) 3 2 2 3 M = (1..23) + (0...77) (1. E = 1. 56 = 1111 101 Cif ras 101 Cif ras 100 Cif ras Entonces la suma de cifras de C es: 101 x 1 + 100 x 5 + 6 =101 + 500 + 6 = 607 4. 5 porque es el menor número que operado (5) nos da 4 cifras.31) (1.23) + (2. es: C) 55 D) 75 E) 85 Resolución: n CEPU tiene cuatro letras por lo tanto: n debe tener cuatro cifras. P = 2.. Entonces: n = 5.. U = 5 n (C + E + P + U) = 5 (11) = 55 5... A n (C + E + P + U).23 + 0.31) (1. 5 5 = 3125 = CEPU C = 3.69) (0..23) + 3(0. 34 (100) : En P = 333 1 555 . entonces el valor de: A) 45 B) 35 Rpta.. 334 ) .77) .23) + 3(1..69) (0. es: A) 10 B) 4 C) 12 D) 28 E) 8 Resolución: 3 3 2 2 3 Sabemos que: (a + b) = a + 3ab + 3a b + b Luego: 3 2 2 3 M = (1.77) + (3. Si : CEPU = nn . Rpta..77) 3 M = (1..77) 3 M=2 = 8 5 Rpta: E RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I .Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 3.23) (0. .M + N) = (9 ....5 + 1) = 125 Unidad Académica de RAZONAMIENTO Rpta: C 6 .ICA 6. 23 46 Cif ras A) 21 B) 23 C) 46 D) 43 Resolución: Usando la descomposición por bloques: E) 33 ababab = ab (10101) 1 01 01 Entonces: N= 21 21(101) 21(10101) 21(10101. Rpta.. entonces: 450 + 81 = 531 M = 5. . N = 3 2 2 (A .... es: 2323 . A 2 Si: 1A + 2A + 3A + …… + 9A = MN1. 23 23(101) 23(10101) 23(10101....01) .01) 23Sumados 21 21 21 21 . es: A) 144 B) 169 C) 125 D) 121 E) 256 Resolución: Descomponiendo: 10 + A + 20 + A + 30 + A + ……. + 90 + A = MN1 10 90 2 9 + 9A = MN1 450 + 9A= MN1 Por tanteo: A = 9. El valor de: N = 21 23 2121 2323 212121 232321 46 ras Cif 2121.... .CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.M + N) .N. entonces el valor de: (A .... 21 . N= 23 23 23 23 23Sumados 21 N= = 21 23 (23) 7. : C RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . La suma de todos los elementos de la matriz.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 8. es: 1 3 5 7 99 3 5 5 7 7 9 9 11 101 103 A 99 101 103 A) 247498 B) 247499 105 C) 247500 D) 247501 Resolución: E) 24502 Por Inducción: er (1 ) : 1 3 : 3 5 elementos = 12 = 3 1 3 5 do (2 ) : 3 5 7 : 5 7 9 er (3 ) : 1 3 2 elementos = 45 = 5 1 3 5 7 3 5 7 9 5 7 9 11 : 2 1 5 2 elementos = 112 = 7 2 1 7 2 2 7 9 11 13 Entonces: 1 3 5 7 99 3 5 5 7 7 9 9 11 101 103 A 99 101 103 : elementos = 99 1 99 2 2 105 2 = 99(50) = 99 x 2500 = 247500 7 Rpta. La suma de todos los elementos de la siguiente matriz.ICA 9. A) 8020 B) 4040 C) 16020 D) 8000 E) 1600 2. es: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ……………………. C PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 03 Nivel Básico 1. Si a + b + c = 17 entonces el valor de: abc + bca + cab . es: A) 2542 B) 247500 Unidad Académica de RAZONAMIENTO C) 328400 8 D) 328350 E) 264200 .CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. es: A) 1957 B) 51 C) 1887 D) 1227 E) 2017 Resolución: Ordenando los sumandos y a + b + c = 17 Entonces: abc + bca cab 1887 Rpta.N. La suma de las cifras de la fila 20. Si un número de 3 cifras se multiplica por 7. Si A) 10 entonces el valor de C + D + U. Si A) 23 = B) 25 C) 24 D) 12 . tal que: es: (Dar como respuesta la suma de cifras de b). si cero. A) 27 6. es: B) 39 C) 30 D) 15 E) 23 E) 19 7. La suma de las cifras del número. La fracción a/b con menor denominador.5 E) 1 5. el valor de a + b + c + d + e. el producto termina en 922. es: C) 300 D) 0. El valor simplificado de: A) 31 B) 0 C R I T I C A E) 1024 .Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 3. es: B) 20 C) 17 D) 16 10. Si el número se divide por . El valor de P + A + Z. El número total de palabras “CRÍTICA” que se pueden contar es: A C I T I R C A) 128 B) 512 C A C I T I R I C A C I T I T I C A C I T C) 64 b I T I C A C I R I T I C A C D) 256 4. es: A) 31 B) 18 C) 16 D) 25 E) 19 8. es: A) 19 B) 20 C) 23 D) 26 E) 22 9. es: A) 15 B) 12 E) 15 y todas las letras son diferentes de C) 21 D) 18 9 E) 19 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . se obtiene por cociente 11 y de residuo 80 entonces el valor de P + A + Z. después de 99 de estas operaciones. entonces el valor de C) 28574 D) 54123 10 .N. Si A) 23 x9999999 = …3518. si cada . ¿Cuántos triángulos se podrán contar en total al trazar la diagonal principal tablero de ajedrez? A) 36 B) 18 C) 72 D) 54 E) 45 2 16. Se tiene el conjunto de los 100 números: 1.31)(1.ICA Nivel Intermedio 11. todos ellos del mismo ancho. Si: 9328. ¿qué número queda? A) 1 B) 99 C) 100 D) 50 E) 101 13.69)(0.77) . Al efectuar M = (1.77) + (3. Se eliminan dos elemen- tos cualquiera a y b de este conjunto y se incluye en el conjunto el número (a + b + a x b) quedando así un conjunto con un elemento menos. entonces el valor de A + M + I + R. si en dicho tablero se dibuja una de las diagonales principales. A) 81 B) 60 C) 59 D) 72 12. Si A) 42857 B) 54321 Unidad Académica de RAZONAMIENTO . es: E) 42587 . es: B) 19 C) 32 D) 14 E) 20 20. A) 2n+2 B) 2n C) n+2 D) 3n+1 E) n(n+1) 14.23) + (0. La suma de las cifras del resultado de. ¿a cuántos casilleros cortará dicha diagonal ?. se obtiene: A) 10 B) 4 C) 12 D) 0 E) 8 18. es: A) 753 B) 18 7 C) 72 3 D) 546 E) 456 19.23) + (2. Se tiene un tablero dividido en “n+1”columnas y “n” filas. entonces el máximo valor que puede tomar letra representa una cifra impar menor que 9.CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. El valor de S= es: 46 cifras 23 cifras (Dar como respuesta la suma de cifras del resultado). Si: a + 1 = -a entonces el valor de a A) -1 B) 1 C) 0 3 3333 de un es: D) 2 2 3 E) 3333 2 17. 2 A= es: 100 cifras A) 600 B) 601 C) 602 D) 603 E) 64 15. E) 69 . El valor de P= A) n-1 24. Si A) 9107 B) 4567 . ¿En qué cifra termina Nx12 si se sabe que Nx84 =…8836 ? (Dar como respuesta la suma de las últimas 4 cifras) A) 20 B) 18 C) 22 D) 24 E) 25 27. E)14 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . 7 3 2 8 N = 2 x5 x3x7 x11 .+N = es: A)10 B)11 C)12 D)13 11 E)2049 .. ¿Por cuánto se le debe multiplicar a N para que tenga raíz cuarta?. entonces el valor de A+N+I+T+E+P es: C) 35 D) 40 E) 25 25.. Si: S1=1 S2=1+1 S3=1+2+1 S4=1+3+3+1 ……. es: C)2086 6 9 D)2094 90 30.376 y N +N +N +………. Si A) 30 E) 729 . A) 12856 B) 18230 C) 72126 D) 54232 E) 13230 28. el valor de: A) 2048 B) 2046 3 3 . Si . F1=2 F2=2+2 F3=2+4+2 F4=2+6+6+2 ……. es: D) 16 E) 17 26. es: A) 20 B) 18 C) 19 D) 16 E) 12 29. Entonces. el valor de C+E+P+U. es: E) 4576 22. entonces el valor de a+b+c-x. En la multiplicación A) 18 B) 19 C) 15 . MAS x MAS = MENOS x MENOS. es: A) 125 B) 243 C) 8 D) 64 23. Si: N =…. es: B) n C) 2n+1 B) 18 D) n+1 E) n+2 O = cero .Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Nivel Avanzado 21. entonces el valor de 5 F= . entonces el valor de: a+b+c. entonces el mayor valor de C) 9231 D) 9765 .(Dar como respuesta al menor posible). La suma de las cifras del resultado de: A) 30 B) 29 C) 28 D) 3 E) 7 D) 32 E) 31 3.CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. El valor de m + n + p + q. Según el esquema mostrado.. es: A) B) C) D) E) 94950 5000 4850 5050 5151 1 2 3 Unidad Académica de RAZONAMIENTO 12 98 99 100 .N. 77 = mnpq 36 sumandos A) 7 B) 5 C) 25 D) 12 E) 14 5. ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “inducción”?. es: A) 5 B) 4 C) 6 2. Si: 1 + 2 + 3+ ……. entonces el valor de: a + b x c .+ 21 = abc .ICA AUTOEVALUACIÓN Nº 03 1. + 777 . A) 325 B) 256 C) 304 D) 272 E) 282 I N N D D D U U U U C C C C C C C C C C C I I I I I I I O O O O O O O O N N N N N N N N N 4. La cantidad total de esferas en el siguiente arreglo triangula. es: 7 + 77 + 777 + 7777 + ….. La suma de todos los números de la siguiente matriz: .Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 6. es: A) 39000 B) 48000 C) 24000 D) 36000 E) 27000 La teoría de esta Unidad Nº 03. La suma de las cifras del resultado de: . La suma de las cifras del resultado de M: A) 100 B) 900 C) 200 D) 300 E)450 10. 13 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . es: A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 2 8. Si : SIETE SEIS es: A) 8128 TRES = 100 000. 2000 1999 1998 1997 2 P = (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) … (2 + 1) . han sido redactadas y corregidas por el Lic. es: A) 11 B) 9 C) 10 D) 8 E)12 9. Docente del CEPU-UNICA. y además B) 8118 C) 9229 I = E y T = R entonces el valor de: D) 9339 E) 9119 7. ha sido revisada y las PREGUNTAS DE APLICACIÓN Nº 03 y las PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 03. La última cifra luego de efectuarse el producto. Juan Herrera Laine. 1.N.1. Este método no dispone de ninguna fórmula porque las operaciones a efectuar están condicionadas por el enunciado del problema y lo esencial es tener las operaciones para de allí empezar a invertir el proceso. La reiterada aplicación de estos artificios.2. se trabaja del valor final hacia el valor inicial haciendo operaciones contrarias a las que me indica el problema. MÉTODO DEL CANGREJO: Es llamado así por la característica principal de su procedimiento que consiste en empezar por el final y terminar por el principio. ya que han demostrado su eficacia frente a otros procedimientos.D O. Esquema: O.CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. CANGREJO SIMPLE: Se utiliza cuando se presenta varias operaciones. aunque es necesario saber reconocer en qué casos se van a aplicar. DEFINICIÓN Son artificios que abrevian un planteo tedioso y saturado de cálculos en la resolución de un problema matemático. El propósito de este capítulo es mostrar los artificios usados con más frecuencia.1.1. I Valor Inicial Unidad Académica de RAZONAMIENTO V.2. Este método se aplica de tres formas según sus resoluciones: 4.I Operaciones Directas Operaciones Inversas V. CLASIFICACIÓN 4.ICA 4 MÉTODOS OPERATIVOS 4.2. superando así a quienes continúen utilizando las técnicas tradicionales. conduce a desarrollar una metodología que ofrece más ventajas a quienes la dominen. que se han convertido en métodos. F 14 Valor Final . 4. Se caracteriza porque los datos del problema se presentan por medios de números enteros . se obtiene 7.D O. siendo estas las operaciones directas las cuales son multiplicaciones.I Operaciones Directas Operaciones Inversas 2 25 = 5 Valor Inicial 5 30 – 5 = 25 20 + 10 = 30 5 x 4 = 20 45 9 = 5 49 – 4 = 45 ( ) +5 -10 4 x9 +4 7 2 = 49 Valor final 7 Rpta: El número es 5 4. ¿cuál es el número? Resolución: Aplicando el método del Cangrejo simple. luego se le suma 4 y finalmente al sacarle la raíz cuadrada. Esquema: O.2. F Valor Final MATEMÁTICO I RAZONAMIENTO . luego se le resta 10.1. 2. se le suma 5. al resultado se le multiplica por 9.2. se trabaja con los valores que le faltan a dichas fracciones para que sean la unidad. 3. CANGREJO COMPUESTO: Se utiliza cuando los datos del problema se presentan por medio de fracciones. luego se procede al igual que en el caso simple.D O. I Valor Inicial V. se tiene: O. …. 4. queda queda queda queda queda 15 Operaciones Inversas V.I Operaciones Directas Datos 1.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Pregunta: 1 Si a un cierto número se eleva al cuadrado. 5. al resultado se le divide entre 4. entonces. 525 4.CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. quedándole aún 60 soles. Diana y Natalia acuerdan que después de Unidad Académica de RAZONAMIENTO 16 . La suma horizontal de cada fila siempre es la misma. ¿Cuál es el sueldo de Maritza? Resolución: Aplicando el método del Cangrejo compuesto.2. no varia.1. se tiene: Datos O. El problema se desarrolla mediante columnas donde siempre se dan los valores finales de cada sujeto con la cual se quedaron luego de las jugadas. juegos de dados. también se presentan variantes de estos tipos de problemas.D O.N.I 2 queda 5 3 queda 7 2 queda 3 3 5 4 7 1 3 Valor final 5 = 525 3 7 180 x = 315 4 315 x 60 x 3 = 180 60 Rpta: El sueldo de Maritza es S/. CANGREJO MEDIANTE CUADROS: Se utiliza generalmente cuando en el problema se presenta juego de naipes. Esquema: Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 suma es constante suma es constante suma es constante suma es constante Valor final Valor final Valor final suma es constante Pregunta: 3 Tres jugadoras Andrea. 3/7 de lo que queda en un pantalón y por último gasta los 2/3 de lo que le quedaba en alimentos.3. entre dos a más sujetos.ICA Pregunta: 2 Maritza gasta de su sueldo: los 2/5 en un par de zapatos. etc. Se caracteriza porque la recaudación total es constante. 28 y la 3ra S/. un valor numérico producido por la suma de las dos incógnitas (número total de elementos) y un valor unitario de cada una de las incógnitas. 24. resulta que la 1ra tiene S/. además debe tener otro valor numérico producido por el número total de elementos. Habiendo perdido cada jugadora una partida en el orden indicado. 14.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica cada partida la perdedora duplicará el dinero de las otras dos. 12 la suma debe ser constante en cada fila 28 4. ¿Cuánto dinero perdió Andrea? Resolución: Aplicando el método del Cangrejo mediante cuadros. Esquema: Mayor valor por unidad – x Nº total de elementos – Recaudación total Deben ser iguales las unidades Menor valor por unidad 17 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . la 2da S/. se tiene: Andrea Diana Natalia 36 20 10 6 40 12 2 24 2 2 14 2 suma = 66 20 2 suma = 66 40 2 suma = 66 14 suma = 66 Rpta: Andrea. MÉTODO DEL ROMBO: Se utiliza cuando se presentan dos incógnitas. perdió 36 – 24 = S/.2.2. 10 * Nº de días que no trabaja = 30x50 960 50 ( 10) * Nº de días que trabaja = 30 – 9 = 21 Rpta: Trabajó: 21 días.N.ICA C (>) – x A – >= A xC .B C-D <= A xD-B D-C B D (<) Pregunta: 4 Una persona por cada día que trabaja gana 50 soles y el día que no trabaja debe pagar 10 soles de multa.3. Si después de 30 días recibe 960 soles ¿Cuántos días trabajó? Resolución: * Aplicando el método del Rombo: S/. MÉTODO DEL RECTÁNGULO: Unidad Académica de RAZONAMIENTO 18 =9 (multa por día que no trabaja) (Menor) .CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.50 (ganancia por día que trabaja) (Mayor) – x (total de días) 30 días – S/.2.960 (total de dinero) – S/. 4. también número de personas. Esquema: Sobrante (ganancia) Cant. A B DATO QUE FALTA = B– C A–D – 5 – C D v C–B c DATO QUE FALTA = D–A Pregunta: 5 Si 5 palomas se posan en cada poste faltarían 3 postes. I – 5 + Las unidades del sobrante y el faltante deben ser iguales Faltante (pérdida) Cant. y se divide con la diferencia de las cantidades para hallar el dato que falta. II + Datos que falta = Los datos que falta representa: Costo por unidad. etc. objetos. pero si se posaran 2 palomas en cada poste sobrarán 48 palomas ¿Cuál es la cantidad de palomas? Resolución * Aplicando el método del Rectángulo. se tiene: 3(5) (sobrante) 5 – 2 Número de palomas – 48 (sobrante) 19 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . – 5 Nota: Si ambas cantidades producen sobrantes o faltantes diferentes se toma la diferencia de ellos.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Se utiliza cuando intervienen dos cantidades. una de ellas produce un sobrante y la otra un faltante. ICA * Luego: Nº postes = 48 15 = CICLO I – 2011 33 = 11 5 2 3 * Hallando el total de palomas: 5(11) + 15 = 70 Rpta: Hay 70 palomas 4. se tiene: Columna (1) Columna (2) “X” cebollas < > 9 ajos 36 ajos < > 12 camotes 27 camotes < > 18 yucas 6 yucas < > 27 tomates 18 tomates < > 12 cebollas Luego: X(36)(27)(6)(18) = (9)(12)(18)(27)(12) Rpta: Por 9 ajos darán 6 cebollas. por 36 ajos dan 12 camotes. por 27 tomates se recibe 6 yucas ¿Cuántas cebollas darán por 9 ajos? Resolución: * Aplicando el método de la Regla conjunta. por 27 camotes dan 18 yucas. si esto sucede se intercambia la igualdad. por 18 tomates dan 12 cebollas.N. se coloca uno debajo de la otra cuidando que las unidades no se repitan en la columna. donde se practica el trueque. MÉTODO DE LA REGLA CONJUNTA: Se utiliza cuando se presentan varias equivalencias (igualdades).Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. Luego el resultado es otra nueva equivalencia. I Columna II A B C B C X Luego: (A)(B)(C) = (B)(C)(X) Pregunta: 6 En un poblado de la sierra.2. siendo esta la multiplicación de la primera columna igual a la multiplicación de la segunda columna. Esquema: Columna. Unidad Académica de RAZONAMIENTO 20 .4. 20 soles diarios. A Si un jugador hizo 3 apuestas. Rpta.20 25.20 698. Rpta. entonces. Cuadriplicó su dinero 21 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . entonces: Nº de loros = 15x4 44 =8 4 2 Nº de alas = 2 (8) = 16 Entonces.40 = 22 57. 698. 3. al principio se le pagaba 22 soles diarios y después 25. el tiempo que transcurrió desde el inicio del trabajo hasta cuando se le aumentó el jornal.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica PREGUNTAS DE APLICACIÓN Nº 04 1.40 S/. el número de alas que se pueden contar. se tiene: Nº de días que ganaba 22 soles al principio = 30x25. entonces. Si por los 30 días se le pagó 698. duplicó su dinero y gastó 30 soles.20 (después) x (Total de días) 30 – – S/. 22 (al principio) Se le aumentó el jornal al cabo de 18 días de iniciado el trabajo. sabiendo que del dato del problema. se cuentan 16 alas. E Un peón trabaja en una obra durante 30 días. entre todos los leones y loros se podían contar 30 ojos y 44 patas. fue: A) 18 d B) 15 d C) 19 d D) 21 d E) 16 d Resolución: Aplicando el método del Rombo.40 soles. de las cuales. en la 1ra. 25. en la 3ra.2 S/. Si en un zoológico. es: A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 4 x 15 (Total de animales) (patas del león) – – 44 patas 2 (patas del loro) 2.60 = 18 3. Triplicó su dinero y gastó 54 soles. podemos deducir que hay 15 animales en total. en la 2da. Resolución: Aplicando el método del rombo. 50 D) S/. le estarían sobrando 10 galones. 3. es: A) 8. 27 B) S/.25 D) S/. si por 2 ajos dan una cebolla. 4. si así lo hace. quedándole al final 48 soles. 29 Resolución Aplicando el método del Cangrejo simple. entonces. 50 D) 7. C En el “campo ferial” de Nasca. 2. por 4 tomates una lechuga.ICA y gastó 72 soles.CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.00 B) S/.60 E) S/. 20 C) 8. 31 E) S/. 1. era: A) S/. 20 Resolución: Aplicando el método del Rectángulo.50 Unidad Académica de RAZONAMIENTO 22 .N. 32 E) 8. E Una empresa comercial desea repartir 5 galones de pintura a cada una de las casas de una quinta. los jueves suelen realizar intercambios. Entonces el dinero que tenía al principio dicho jugador.54 x4 -72 58 2 = 29 28 + 30 = 58 84 3 = 28 30 + 54 = 84 120 4 = 30 48 + 72 = 120 Valor final 48 Tenía inicialmente 29 soles. el número de casas y la cantidad de galones que se dispone. 30 C) S/. 90 B) 6.D O.I Operaciones Directas Operaciones Inversas x2 -30 x3 . por 2 cebollas un tomate. 3.80 C) S/. hay 8 casas y 50 galones 5. entonces. pero si entrega 8 galones a cada una. el costo de 12 ajos más una cebolla. 3. se tiene: O. Rpta. se tiene: 5 10 (sobrante) – Número de casas 14 (faltante) 8 Luego: Nº casas = + 24 10 14 = =8 3 8 5 cantidad de galones: 5(8) + 10 = 50 Entonces. es: A) S/. le faltarían 14 galones. Rpta. 2 lechugas cuestan 8 soles. 120 B) 4. por lo que decide sacar entradas de S/. a este resultado le extrae la raíz cuadrada. El número de cuñados que tiene y el total de dinero que disponía Héctor. luego lo multiplica por cuatro. 100.5. 0. 8 S/. Dicho número. eran: A) 3. es: A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 23 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . 180 Entonces. S/.5 Entonces.5 Y como 2 ajos equivalen a una cebolla. 2 ajos cuestan S/. Rpta. enseguida le resta 4.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Resolución: Aplicando el método de la Regla conjunta. de esta manera entran todos y aún le sobra S/.10(8) + S/. S/. 7. S/. 3.180 Resolución: Aplicando el método del Rectángulo. 30. Por lo tanto 12 ajos más una cebolla cuestan S/. D Un niño ha pensado un número en el cual él realiza las siguientes operaciones consecutivas: le agrega 2. luego lo divide entre 2. C 6.5 Rpta. 10. el costo de 12 ajos más una cebolla es de S/.100 = S/.180 E) 8. y por último. X < > 12 ajos (2)(4)(2)(2)(X) = (1)(1)(8)(12) Entonces. entonces 1 cebolla cuesta S/. 0. ordenamos los intercambios: Columna (1) Columna (2) Luego: 2 ajos < > 1 cebolla 4 tomates < > 1 lechuga 2 cebollas < > 1 tomate 2 lechugas < > S/. S/. 180. le quita uno. Héctor sale con su enamorada y sus cuñados a la Feria Internacional de la Vendimia. obteniendo como resultado final uno. le faltaría para dos de ellos. S/. Observa que si saca entradas de S/. Héctor tiene 6 cuñados y S/. 3. 12 ajos cuestan S/.180 D) 6. 3.140 C) 5. se tiene: S/ 60 (falta) S/ 30 – Número de personas S/ 10 Luego: Nº personas = + S/ 100 (sobra) 60 100 160 = = 8 son 6 cuñados 30 10 20 Total de dinero: S/. es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 Resolución: Aplicando el método del Rectángulo. D Si se forman filas de 7 niños sobran 5 .D O.I Operaciones Directas Operaciones Inversas +2 x4 -4 5–2 =3 20 4 = 5 16 + 4 = 20 2 -1 4 2x2 1+1 2 Valor final 1 Dicho número es 3 8. es: A) 47 B) 48 C) 49 D) 50 E) 46 Resolución: Aplicando el método del Rectángulo. entonces.ICA Resolución: O.CICLO I – 2011 Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. + = 18 =9 2 Rpta. sobrarían 6 aves. la cantidad de postes. C Si se posaran 3 aves en cada poste. pero si se posara un ave en cada poste. se tiene: 12 (falta) 3 – Número de postes 6 (sobra) 1 Luego: Nº postes = 12 6 3 1 9. el número de niños. sobrarían 4 postes. = 16 =4 =2 Rpta. pero faltarían 7 niños para formar 3 filas más de 6 niños. se tiene: 5 (sobra) 7 – Número de filas 6 Unidad Académica de RAZONAMIENTO – 11(sobra) 24 .N. entonces. 5 Nº de boletos que se vendieron de mezanine es: 500 – 280 = 220 Se vendieron 280 boletos de platea y 220 de mezanine. 35 a cada uno. entonces el número de boletos de cada clase que se vendieron. fue: A) 300 y 150 B) 280 y 220 C) 220 y 180 D) 280 y 150 E) 120 y 80 Resolución: Aplicando el método del Rombo.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Luego: Nº filas = 11 5 6 = =6 7 6 1 Entonces la cantidad de niños es: 7(6) + 5 = 47 Rpta. Rpta. por lo que a cada uno de los demás les tocó S/.) 500 S/. sabiendo que del dato del problema. es: A) 30 B) 60 C) 100 D) 120 E) 90 2. 2 (mezanine) x – (Total de est. es: A) 4 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6 25 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . B PREGUNTAS PROPUESTAS N° 04 Nivel Básico 1. hay 500 estudiantes en total. 860. entonces: S/. Entonces el número de escalones que tiene la escalera. 1. 42. Si subo una escalera de 3 en 3. pero uno de ellos renunció a su parte.50 y los de Mezanine S/. El número de personas que había inicialmente.50 (platea) Nº de boletos que se vendieron de platea = 500x2 860 = 140 = 280 2 1. 1. A una función musical concurrieron 500 estudiantes y se recaudó S/.50 0. doy 4 pasos más que subiendo de 5 en 5. A 10. 2. A cierto número de personas se les iba a dar S/. 860 – S/. Si los boletos de platea costaron S/. Si todos bailan a excepción de 26 mujeres. Las 26 Unidad Académica de RAZONAMIENTO . Si por cada dos docenas que vende le obsequian un huevo blanco. El número de billetes de 50 soles. el número de partidas que perdió Miguel. es: A) 144 B) 120 C) 160 D) 124 E) 116 9. 36 y la de huevos blancos a S/. 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. más 2/7 de lo que le queda en un pantalón y por último gasta los 3/5 del nuevo resto en alimentos. es: A) 3501 B) 3510 C) 3150 D) 3050 E) 3250 5. Entonces el sueldo de Fidel. A una reunión asistieron 120 personas. En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos. 31. Dos amigos jugaron 25 partidas de casino. Para comprar entradas de 5 soles les faltaría dinero y si adquieren las de 4 soles les sobrarían dinero. 38. 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos. 44 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3 5 7 12. El número de hijos que tiene el matrimonio. 24. todos los demás comieron cantidades diferente? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 10. entonces. El puntaje que se puede obtener. 24. acordando que por cada partida el perdedor entrega 10 soles.ICA CICLO I – 2011 3. entonces ¿cuál es el número de caramelos que como mínimo se repartieron. Si al final Adolfo ha ganado 130 soles. si hubo solo 4 niños que comieron el mismo número de caramelos. Se lanzan seis flechas al disco que se muestra. fueron: A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 8. Si un conejo cuesta 30 soles. y por 25 huevos obtiene S/. es: 16. es: A) 5 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 Nivel Intermedio 11.Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. fueron: A) 17 B) 7 C) 18 D) 6 E) 19 7. entonces el número de huevos rosados. entonces el número de mujeres que hay en total. Un matrimonio dispone de 32 soles para ir al cine con sus hijos. 624. César vende la docena de huevos rosados a S/. es: A) 26 B) 37 C) 83 D) 91 E) 73 4. Para cancelar una deuda de 1390 soles se usó billetes de 20 soles y 50 soles. entonces 4 gallinas cuestan: A) 28 B) 36 C) 42 D) 54 E) 62 6. Si cada uno de los 10 niños que asistieron a una fiesta come al menos 5 caramelos. quedándole aún 300 soles. Fidel gasta de su sueldo los 2/3 en un par de zapatos.N. Se lanzan cuatro dados y se observa que las caras superiores suman 17. en total 35 billetes. 41. suponiendo que todas las flechas caen dentro del disco. 19. es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Más de 8 14. Entonces no pudieron pagar: A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 8 19. suman: A) 10 B) 11 C) 12 D) 15 E) Más de 13 13. Si por cada 5 caballeros hay 2 damas y si se retiran 10 parejas. en: A) No se sabe B) En la fiscalía C) En su casa D) A la mitad del camino a su casa E) No se puede determinar 20. En una fiesta hay 60 personas entre damas y caballeros. conejos y animales raros llamados fujís de cinco patas cada uno. Si en total hay 600 patas. entonces se encuentra. Una persona cada día que trabaja ahorra 4 soles. es: A) 10 B) 12 C) 20 D) 15 E) 18 27 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . El número de bolas negras. entonces. es: A) 12 B) 80 C) 68 D) 48 E) 64 18. el número de días que trabajo. es: A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) Más de 5 15. En un corral hay gallinas. Si cada uno da 20 soles sobrarían 28 soles y si cada uno da 15 soles sobrarían 15 soles. El número de hijos que tiene Hitarina. El número de amigos. pero algunos no pudieron pagar por lo que los restantes abonaron 125 soles más. En una urna hay 160 bolas. Cada día Massiel para ir de su casa a la fiscalía gasta 20 soles y de regreso 40 soles. Si durante 10 días ha ahorrado 22 soles. es: A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14 16. Por cada 5 gallinas hay 4 conejos y por cada 5 conejos hay 2 fujís. es: A) 16 B) 24 C) 32 D) 40 E) 48 17. Si ya gastó 920 soles. en cambio el día que no labora gasta 2 soles. por cada 3 bolas blancas hay 20 negras y 17 rojas. entonces. entonces el número de fujís que hay. para entrar todos a popular (30 soles entrada) tendrían para una entrada más. Los gastos de 15 excursionista ascienden a 3750 soles los que deben ser pagados por partes iguales. el número de damas que quedan en la fiesta. Un grupo de amigos van al estadio y sucede lo siguiente: para entrar todos a preferencia (40 soles entrada) faltaría dinero para 3 de ellos. Los hijos de Hitarina desean hacerle un regalo.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica caras que están contra el piso. Si cada uno pierde una apuesta y al final terminan con S/. más 2 soles. es: A) 216 B) 200 C) 160 D) 178 E) 232 23.5 C) 8 D) 10 E) 6 29. el número de entradas con que cubrirán los gastos. 48 26. 28. es: A) 58 B) 68 C) 78 D) 88 E)98 22. fue: A) 2 Km B) 2. Alejandro gasta su dinero: el primer día gasta un tercio de lo que tenía. Si por 6 soles me dan 2 cadenas de acero´. El número de fichas rojas que tenía. era: A) 53 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 25. 20 B) S/. hasta que le quedó sólo 8 soles. Si entraron solo niños. fueron: A) 20. lo que tenían al inicio.40 y 20 E) 62. entonces. si pierde 4 de cada color entonces el triple del número de fichas azules equivaldría el número de fichas rojas. De una combi bajan en cada paradero. más 5 soles. 56. S/. El dinero que perdió. el tercer día 3/7 del nuevo resto. con la condición de que el que pierde duplique el dinero de los demás. Si al final se quedó con 2 soles. más 4 soles.40 y 72 B) 20. Si lleva una llanta de repuesto y todas se utilizaron de modo alternado. el segundo día gasta 2/5 del resto. la tercera parte de los pasajeros que habían más 8 pasajeros.N. fue: A) 80 B) 150 C) 64 D) 120 E) 128 27. 45 y 25 28. Juan tenía 120 fichas¸ unas rojas y las otras azules. 36 E) S/. Si después de tres paraderos la combi se quedó sin pasajeros. entonces inicialmente tenía: A) S/. repitió lo mismo por tercera y cuarta vez. entonces. volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba.Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. 30 D) S/. correspondía a cada 28 Unidad Académica de RAZONAMIENTO . entonces. Un auto debe recorrer 10 Km. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero. Un espectáculo público cubre sus gastos con entradas de 30 adultos más 70 niños o de 42 adultos más 18 niños. Cuando se hizo la conducción del agua a un cierto pueblo. 30 y 12 D) 72. entonces. Tres amigos juegan tres apuestas entre sí. En una joyería: 4 cadenas de oro equivalen a 10 de plata. es: A) 10 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15 24. y S/. 24 C) S/. la distancia que recorrió cada llanta.ICA CICLO I – 2011 Nivel Avanzado 21.40 y 62 C) 80. 9 de plata equivalen a 2 de diamantes y 5 de diamantes a 30 de acero. entonces. el número de pasajeros que había inicialmente. el número de cadenas de oro que me darán por 120 soles. 48. El número de caballos que tiene el padre. es: A) 27 B) 30 C) 33 D) 36 E) 39 4. es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. y al cuarto los 2/3 de los restantes. es: A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55 6. y las preguntas en blanco no tienen valor. Una guarnición de 3000 hombres tienen provisiones para 70 días.00 nuevos soles. entonces éste número. El número de habitantes que tiene actualmente el referido pueblo. en la que tiene monedas de S/ 2. extraerle la raíz cuadrada.Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica habitante 60 litros por día. Un padre desea repartir sus caballos a sus hijos. Si a un número. quedándose él con un caballo. Ricardo quiere ir de paseo y para esto rompe su alcancía. Hoy ha aumentado el pueblo en 40 habitantes y corresponde a cada uno dos litros menos. se obtiene 3. Si entregan 20 computadoras sobrarían 100 y si entregan 30 computadoras. faltarían 700 computadoras ¿De cuántas computadoras dispone la Universidad San Luis Gonzaga de Ica y cuál es la cantidad de facultades? A) 1600 y 50 B) 1650 y 55 C) 1700 y 80 D) 1750 y 80 E) 1800 y 95 29 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I . salen 600 hombres. ¿Cuántas mesas de 3 patas hay? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. La Universidad San Luis Gonzaga de Ica tiene comprado cierta cantidad de computadoras para repartirla en cada una de sus facultades. es: A) 1200 B) 1160 C) 1300 D) 1130 E) 1480 30. obteniendo 100 puntos. al segundo los 2/3 de lo que queda.00 nuevos soles que tiene Ricardo. Si cuenta 40 monedas y tiene un total de S/164. 5. Si en total hay 180 patas. al terminar el día 22. Si cada pregunta bien contestada vale 3 puntos. entonces el número de preguntas correctamente contestadas por dicha alumna. una alumna respondió 3/4 de ellas. dando al primero los 2/3 de lo que tiene menos 7 caballos. el número de monedas de S/. luego de sumarle 1. dividir por 2. al tercero le da 1/3 del resto más un caballo. por cada pregunta que tiene errada le quitan 1 punto. multiplicar por 11. En un aula de inicial hay 50 mesas circulares de 3 y 4 patas.00 y s/ 5. son: A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 5. restarle 5 y finalmente dividir por 2. es: A) 48 B) 50 C) 56 D) 58 E) 60 AUTOEVALUACIÓN Nº 04 1. El tiempo que podrá durar las provisiones al resto de la guarnición.00 nuevos soles. En un examen de 80 preguntas tomado en la Facultad de Medicina Humana. en cambio el día que no laboro gasto 2 soles. 3.N. el valor de A – B. A un baile asistieron 60 personas. Jeddy vende naranjas de la siguiente manera: cada 3/4 de hora vendió los tres cuartos de naranjas que tenía en esa hora y media naranja más.Si A es la cantidad de dinero que tiene José. Al sacar los boletos observa que si saca las entradas de S/ 5. José invita a sus amigas al cine.ICA CICLO I – 2011 7. La suma de las cifras de la cantidad de naranjas que vendió esa mañana. y por cada respuesta correcta se asigna un punto y por cada incorrecta se tiene un puntaje en contra de un cuarto de punto. y B es el número de amigas. quedándose al final de 180 minutos únicamente con 2 naranjas. fue: A) 60 B) 50 C) 45 D) 40 E) 30 11. fue: A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 10. ¿Cuántos hijos tiene Massiel? A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 2 9. Si durante 10 días he ahorrado 22 soles. entonces el número de damas que se quedaron. Cada día que trabajo ahorro 4 soles. entre damas y caballeros. Docente del CEPU-UNICA. fueron: A) 6 B) 7 C) 5 D) 3 E) 4 12. Unidad Académica de RAZONAMIENTO 30 . Sacando cuentas se percatan que si cada uno diera 20 soles sobrarían 28 soles y si cada uno diera 15 soles sobrarían 3 soles.00 nuevos soles la faltaría para comprar el boleto para él. es: A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 NOTA: La teoría de esta Unidad Nº 04 ha sido revisada. y las PREGUNTAS DE APLICACIÓN Nº 04 y las PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 04. los días que no trabajé. entonces el número de preguntas erradas que tuve. Se acerca el cumpleaños de Massiel y sus hijos desean comprarle un regalo. Roberto Cuba Acasiete. y si compra el de S/.00 nuevo soles le sobraría S/.Centro de Estudios Preuniversitarios de la U. si se retiraron 10 parejas. existiendo 3 caballeros por cada 2 damas. En un examen de admisión. habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. es: A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 8. han sido redactadas y corregidas por el Ing. obtuve 50 puntos. la prueba tiene 100 preguntas. 3.00 nuevo soles . Si en dicha prueba.