6.Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 1.- La resistencia de una plancha es una variable aleatoria continua X cuya función de densidad es: es: , con desconocido. Sea ( estimador máximo verosímil de . . Su función de distribución de probabilidad ) una m.a. (n) de X, determine el Sobre la base de una muestra aleatoria de 5 planchas, las resistencias observadas fueron: 0,5; 0,5; 0,8; 0,9 y 1. Determine la probabilidad que una plancha, elegida al azar, tenga resistencia inferior a 0,7. 1) Solución: La primero que debemos hacer es calcular la “función de verosimilitud”, lo que se lleva a cabo, por medio de la siguiente fórmula: Luego, tenemos que determinar el logaritmo natural de , como se muestra a continuación: En seguida, se obtiene el valor de que maximiza , lo que se logra derivando respecto a los parámetros desconocidos e igualando a cero dicha derivada, es decir: con Después, se despeja de la expresión anterior, para así obtener el estimador máximo verosímil de , como se ve a continuación: Posteriormente, sobre la base de la muestra aleatoria de 5 planchas, calculamos el valor de Finalmente, calculamos probabilidad requerida por el ejercicio: Respuesta: La probabilidad que una plancha, elegida al azar, tenga resistencia inferior a 0,7, es igual a 0,4218. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 111 con β desconocido. 4 en horas. determine el estimador máximo verosímil del parámetro β. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 2. Se sabe que la función de distribución que sigue dicho tiempo es 2. quedando de la siguiente forma: Página 112 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . 7. definimos la “función de verosimilitud”: Determinamos el logaritmo natural de : Derivando con respecto a .2) ¿Cuál la probabilidad de que en la fábrica transcurran más de 8 horas sin averías? 2.1) Solución: Sabemos que la derivada de la función de distribución. 8. 11. 1. 7.En una fábrica se ha medido el tiempo X. en una muestra aleatoria se obtuvo los siguientes tiempos: 3. transcurrido entre dos detenciones provocadas por averías en las máquinas.. en horas. e igualamos a cero: Despejamos . 3.1) Sea una muestra aleatoria de X. es igual a la función de densidad. 8. 1. 2.6. es decir: Luego. como se ve a continuación: En seguida. sigue una distribución de Rayleigh con función de densidad: 3. determinamos la probabilidad que nos solicita el problema: Respuesta: La probabilidad de que en la fábrica transcurran más de 8 horas sin averías.188. 3. obtenida la siguiente información..1) Solución: Definimos la “función de verosimilitud”.2) Solución: Utilizando la muestra que nos proporciona el ejercicio. calculamos el Estimador Máximo Verosímil. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 2.2) Determine si el estimador es insesgado. es igual a 0. la que está dada por: Calculamos el logaritmo natural de : Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 113 . 3. 3.6.La distancia entre un árbol cualquiera y el árbol más próximo a él. en un bosque.1) Determine el estimador máximo verosímil . de tamaño 50. a partir de una muestra aleatoria de . derivamos . calculamos la expresión antes definida: Finalmente.2) Solución: Sabemos que para que estimador de estimador sea igual al estimador.Sea . calculamos el valor de 3.2. 4. con la información que nos brinda el ejercicio.4.2) Si las observaciones de una muestra aleatoria para la variable X son: 1.1. la que se expresa de la siguiente forma: Determinamos la “función de verosimilitud”: Página 114 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . 1. muestra aleatoria de una población y desconocido: 4. con respecto a e igualamos a cero. de la siguiente forma: Posteriormente. 1. 0. como se cumple la igualdad. es decir: sea insesgado. 0. es decir: Luego. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO A continuación. determinamos por medio de propiedades la esperanza de .9. Estime la probabilidad de que la variable aleatoria no sea inferior a 1. el estimador es insesgado. 4.7.1) Encuentre el estimador máximo verosímil de α.6..1) Solución: Lo primero que debemos hacer es definir la función exponencial con variable α. se debe cumplir que la esperanza Luego. 4. 3893.Sea muestra aleatoria proveniente de una distribución normal con media µ y 2 varianza . 5.6. calculamos el logaritmo natural de : Derivando e igualando a cero: 4.2) Encuentre el estimador máximo verosímil de µ.2) Solución: Utilizando los datos de la muestra aleatoria que nos entrega el problema. es igual a 0. 5. la probabilidad estimada de que la variable aleatoria no sea inferior a 1. 5. si se cumple que la esperanza del estimador puntual es igual al estimador puntual..3) Compare el estimador obtenido por el método de máxima verosimilitud con los dos propuestos. sabiendo que la media y la varianza de es µ y 2. determinamos el estimador puntual : Respuesta: En base a la muestra aleatoria. respectivamente.1) Solución: Lo primero que debemos corroborar es. 5. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO En seguida. ¿Cuál es mejor estimador para µ? Justifique su respuesta. cuya función densidad es: Se propone a las siguientes estadísticas como estimadores de µ: 5. como se ve a continuación: Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 115 .1) Pruebe si estos estimadores son insesgados e indique cual es más eficiente. ambos estimadores puntuales de µ son insesgados. debemos determinar la varianza de cada uno de los estimadores. 5. En seguida. se llega a la conclusión que el estimador puntual .2) Solución: En este ítem lo primero que debemos hacer es definir la “función de verosimilitud”: Calculamos el logaritmo natural de : Derivamos e igualamos a cero: 5. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Es decir. lo que llevamos a cabo de la siguiente forma: que determinamos en el ítem Página 116 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . para así ver cuál de los dos estimadores es más eficiente: es más Debido a que es menor que eficiente que el estimador puntual .3) Solución: Empezamos por determinar si el estimador puntual de anterior es insesgado.6. 1) Solución: Utilizaremos la siguiente variable: “Número de veces que se debe subir la barrera en un intervalo de 10 minutos. 6. como se ve a continuación: En seguida. se registra para cada intervalo el valor que toma la variable en estudio . determinaremos la varianza de dicho estimador.6. e .. luego. elegidos en forma independiente. para ver si mejor estimador. se concluye 6. son estimadores del parámetro . sabemos que dicha variable tiene una distribución de Poisson. es decir. se considera una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λ desconocido. para que pasen vehículos en un sector de alta seguridad” Luego. como se muestra a continuación: En seguida. para que pasen vehículos en un sector de alta seguridad.En un estacionamiento el número de veces ( ) que se debe subir la barrera en un intervalo de 10 minutos. definimos la “función de verosimilitud”: Determinamos el logaritmo natural de : Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 117 . el estimador puntual de es insesgado.1) En una muestra aleatoria de 8 intervalos de 10 minutos cada uno. . mejor. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Por lo tanto. 6. 3 5 8 7 4 Encuentre la estimación máximo verosímil de λ. como la varianza de es menor en comparación a las varianza de que el estimador puntual.2) Sea Si una muestra aleatoria tamaño n de 5 6 2 ~ Poisson( ) . es más eficiente. 6. Determine cuál de ellos es el mejor estimador del parámetro . 2) Solución: Lo primero que se debe hacer es determinar si estos estimadores son o no insesgados. el paso a seguir es determinar la varianza de cada estimador puntual. ambos estimadores son insesgados. utilizando la muestra aleatoria. la efectividad de los estimadores depende del tamaño de la muestra. ya que. obtenemos el valor del estimador máximo verosímil. 7. Página 118 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . si la muestra es mayor a uno. si la muestra es igual a uno.6. 6. la estimación máxima verosímil corresponde a 5. es decir: Por lo tanto.Sea una muestra aleatoria de una variable aleatoria con distribución Normal con media y varianza . elegidos en forma independiente. Se proponen los siguientes estimadores: Determine cuál es el mejor estimador para . lo que se sabe si se cumple que la esperanza del estimador es igual al mismo estimador. el mejor estimador es . Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Derivando e igualando a cero: En seguida. el estimador más eficiente es .. en cambio. lo que se hace de la siguiente manera: En conclusión. Justifique su respuesta. como se ve a continuación: Respuesta: En una muestra aleatoria de ocho intervalos de 10 minutos cada uno. Entonces. 9 y 6. para así saber cuál de los dos estimadores puntuales es mejor. 8. 1.1) Determine el estimador máximo verosímil de probabilidad de la exponencial truncada es: . se concluye que el mejor estimador para . se debe determinar el sesgo o error del estimador. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 119 . 4. lo que se calcula con la siguiente fórmula: En seguida. 2. 5.2) Encuentre la estimación puntual del parámetro a para el valor cuando se ha observado los siguientes tiempos de desintegración de un átomo (u. 8. 8. lo que se realiza con la siguiente fórmula: Respuesta: Debido a que el error cuadrático medio de de . con distribución exponencial truncada con parámetro ( > 0) es decir. como se muestra a continuación: Debido a que ambos estimadores propuestos son sesgados.Sea la variable aleatoria continua. es es menor que el error cuadrático medio . 5. que toma sólo aquellos valores de superiores a .t. que indica el tiempo de desintegración de un átomo.6.. calculamos el error cuadrático medio del estimador. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 7) Solución: Debemos determinar si los estimadores que nos proponen son o no insesgados. 7. si la función de distribución de 8.): 3. calculamos la varianza de cada uno de lo estimadores propuestos: Finalmente. Sea ( una muestra aleatoria tamaño n de . es decir: En seguida.2) Solución: Considerando la muestra que nos entrega el ejercicio. es igual a 0. definimos la “función de verosimilitud ”: Aplicamos logaritmo natural: Derivando e igualando a cero: 8. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 8. para el valor . con las diez Página 120 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas .1) Solución: Sabemos que la derivada de la función de distribución es igual a la función de densidad. tenemos que: Reemplazando: Respuesta: La estimación puntual del parámetro observaciones dadas por el problema.25.6. b) En seguida.3) Determine el estimador máximo verosímil de: a) 9.. en segundos: 9. Estime la probabilidad del tiempo máximo necesario para terminar un proceso.1) Determine el estimador máximo verosímil de .8.9.2) En base a una muestra aleatoria de .6.1) Solución: Determinamos la “función de verosimilitud”: . 0.6. 9. 0.5 segundos.7.9. 0. calculamos el logaritmo natural de : Derivamos e igualamos a cero: 9. determine la estimación máximo verosímil de .8. donde la muestra está constituida por los siguientes datos: 0.7. representa el tiempo máximo necesario para terminar un proceso. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 9. con los datos de la Luego. ni supere los 0. no exceda los 0. 0. 0. 0. estimamos que la probabilidad de Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 121 .2) Solución: Determinamos el estimador máximo verosímil de muestra que nos entrega el ejercicio: . distribuida según .9.Sea Donde una muestra aleatoria de .75 segundos. 9. con desconocido. 0. corresponde a 3. por lo tanto. 9. que corresponde al estimador máximo verosímil de .3) Solución: Debido a que determinamos . que nos otorga el ejercicio.6. las expresiones pedidas las calculamos por medio de propiedades: a) b) – – – – Página 122 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . es igual 0. el estimador máximo verosímil de . no excede los 0.3102. ni supera los 0.5 segundos.75 segundos. y al estimar que la probabilidad del tiempo máximo necesario para terminar un proceso.0271. Estimadores Puntuales – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Respuesta: En base a una muestra aleatoria de .