Aritmética7 Tanto por Ciento Se llama tanto por ciento de un número, al número de centésimas partes del número. Tanto por ciento: % Luego Ejemplo 1: a%= a 100 Ejemplo 1: Dada una cantidad, la suma de su 20 % y 30% excede al 10% de su mitad en 135. Halla la cantidad indicada. Resolución: N: cantidad indicada 20 20% = = 100 1 5 25 25% = = 100 64 64% = = 100 1 4 16 25 N 135 20% (N) + 30% (N)-10% ( )= 2 1 N = (20 + 30)%N - (10 x )% 2 = 50% N - 5% N = (50 - 5)% N 45 = 45% N= N=135 ⇒ N=300 100 Ejemplo 2: ¿Cuál es el 20% de 720? 20% de 720 = 20% (720) 20 = (720) = 144 100 Ejemplo 3: ¿Cuál es el 75% de 420? 75% de 420 = 75% (420) = 75 (420) = 315 100 a % de N = a (N) 100 Ejemplo 2: La suma de un número con su 20% equivale al 75% de 2000. ¿Cuál es el número? Resolución: Sea N el número buscado, entonces: N + 20% N = 75% (2000) 100%N + 20% N = 75% (2000) 120% N = 75% (2000) 120 N = 75 (2000) De donde N = 1250 Relacion parte - todo en % OPERACIONES CON TANTO POR CIENTO 1.1. a% N ± b % N = (a ± b)% N 1.2. a x (b%N) = (a x b) % N 1.3. a(m%N±n%N) = am%N±an%N 1.4. Para todo N = 100% N Si N aumenta a%, se obtiene (100 + a)% N Si N disminuye b%, se obtiene (100 - b)% N Para determinar que tanto por ciento de B es A, se puede proceder como sigue. Lo que hace de parte A x100% Lo que hace de todo B 43 5to Secundaria CASOS PARTICULARES Ejemplo 1: ¿Qué tanto por ciento es 24 de 120? Porcentaje de porcentaje a % del b% de N = a% (b%(N)) 24 x 100%=20% 120 seencuentraacompañado de la palabra «de» Ejemplo 2: Ejemplo: Indica los siguientes porcentajes: a. 20% del 10% de 320 20% x 10% x 320 20 10 = x x 320 = 6,4 100 100 ¿Qué tanto por ciento de 400 es 180? 180 x 100%=45% 400 de Ejemplo 3: b. 18% del 15% del 50% de 400 18% x 15% x 50% x 400 50 18 15 = x x x 400 = 5,4 100 100 100 Descuentos y aumentos sucesivos (*)Dos descuentos (aumentos) sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento (aumento) único de: Descuento único: ¿Qué tanto por ciento más de 40 representa 50? Du = (a + b - ab )% 100 Aumento único: Resolución: Au = (a + b + Primero se determina qué tanto por ciento representa. 50 x 100%=125% 40 ⇒ El tanto por ciento demás es 125% - 100% = 25%. ∴ Representa un 25% más. Ejemplo 4: A una reunión asistieron 80 personas, de ellos 24 son mujeres y el resto son varones. Determina: a) ¿Qué tanto por ciento del total son mujeres? b) ¿Qué tanto por ciento del número de varones es el número de mujeres? ab )% 100 Ejemplo1 : Indica el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del: a. 20% y 10% Du = (20+10 - 20x10)%=28% 100 b. 18% y 15% Du = (18+15-18x15)%=30,3% 100 Ejemplo 2: Indique el aumento único equivalente a dos descuentos sucesivos del: a. 10% y 40% Resolución: Au = (10 + 40 + X= 44 24 x 100%=30% 80 del 10 x 40 )% = 54% 100 b. 16% y 25% Au = (16 + 25 + 16 x 25 )% = 45% 100 Aritmética APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO Ejemplo 3: Aplicaciones comerciales Si después de efectuar una venta se ganó 250 soles, ¿cuál es la ganancia neta obtenida si se debe cubrir los gastos efectuados en la venta los cuales representan el 18% de la ganancia bruta? En la venta de un artículo Pv: Precio de venta Pc: Precio de costo G: Ganancia (Pv >Pc) P: Pérdida (Pv < Pc) Resolución: Pv = Pc + G Pv = Pc - P Las ganancias y pérdidas se expresan como un tanto por ciento de los precios, generalmente del precio de costo. Ejemplo 1: Se conoce GB = GN + g 100% GB = GN + 18% GB ⇒ (100-18)% (250) = GN GN = 205 soles Se obtiene Ejemplo 4: Si se vendió un artículo en 240 soles ganando el 20% de costo, ¿cuánto costó el artículo? Resolución: Un objeto se ofrece en 240 soles, pero al momento de venderlo se le rebaja un 15%. ¿Cuánto se gana si su costo es 190 soles? Resolución: Pv = Pc + G 240 = 100%Pc + 20%Pc 240 = (100 + 20)% Pc = 120% Pc 120 240 = Pc ⇒ Pc = 200 soles 100 Ejemplo 2: Pf = 240 se le rebaja 15% Pventa=240 - 15% (240) =85% (240) = 204 soles También Pv =Pc + g 204 =190 + g Se gana 204-190= 14 soles Un distribuidor vende un objeto a S/. 540 con una pérdida del 10% del costo. ¿De cuánto es la pérdida? VARIACIONES PORCENTUALES Resolución: Es la variación porcentual que sufre una cantidad a causa de losaumentosodisminucionesporcentualesdelascantidades de los que depende. Pv = Pc - P 540 = 100%Pc - 10%Pc 540 = (100 - 10)% Pc = 90% Pc 90 540 = Pc ⇒ Pc = S/.600 100 Ejemplo 1: Sea M = a x b. Si a aumenta 25%, ¿qué porcentaje debe de variar b para que M no varíe? Pérdida: 600-540=S/.60=10% (600) Esquema Precio Fijado Precio venta real - Descuentos Precio de costo + Ganancia Observación 1 Para los casos donde la ganancia indicada es la ganancia bruta, y se efectúan gastos (g) se tiene: GB: Ganancia bruta GN: Ganancia neta g: Gastos GB = GN + g 45 5to Secundaria Resolución: EJERCICIO RESUELTO Valores Iniciales a1 , b1 Valores Finales a2 , b2 Donde a1 x b1 = a2 x b2 = M a1 x b1 = (a1 +25% a1)b2 a1 x b1 = 125% a1 x b2 125 5 b1 = b2 = b2 100 4 4 Dedonde b2 = 5 b1 = 80% b1 1) En una aplicación de multiplicación, si el multiplicando aumenta en x% y el multiplicador disminuye en x%; el producto disminuye en 4%. Halla "x". a) 30 b) 15 c) 12 d) 10 e) 20 Resolución: Sean m y n los factores: m(1+x%)n(1- x%)=mn(1- 4%) 100 + x 100 - x 96 x = 100 100 100 Se observa que b debe disminuir en un 20%. Ejemplo 2: 1002 - x2 = 9600 x = 20 Si el radio de un círculo aumenta un 50%, ¿en qué porcentaje aumenta el área? Rpta.: e Resolución: A2 = π R22 = π(150% R1)2 2) Un comerciante compra sillas a S/.32 cada uno. Anuncia su venta a P soles, de modo que cuando haga un descuento de 20% a sus clientes resulte ganando 20% sobre el precio real de venta. ¿Cuál es el valor de P? a) 38,4 b) 46 c) 50 d) 60 e) 64 9 2 A2 = π ( 23R1)2 = π (R 4 1) Resolución: ⇒ Area círculo = π Radio2 A1 = π R12 (inicialmente) El radio aumenta en 50% y se convierte en 150% ⇒ A2 = 2,25π R12 = 225% A1 C V P El área inicial aumentó en un 125%. Observación 2 Si al precio fijado a un artículo se le hace un descuento al momento de su venta. 32 G=20%V 20%P V = 80%P 32 + 20% (80%P)= 80%P 32= 64%P P = 50 Rpta.: c Pf: Precio fijado o precio de lista PvR: Precio de venta real D: Descuento PvR = Pf - D 46 3) Una persona compra un terreno y lo vende ganando 1/5 del precio de compra. Si la venta la hubiese realizado incrementando el precio en 10%, entonces su ganancia se hubiese incrementado en: a) 10% b) 25% c) 30% d) 50% e) 60% 6 = 160% Rpta.7.664 = 1 328 Produce: 3000 kg Pierde: 20% (3000) = 600 kg Vende: 2 400 kg Precio de costo: S/. por lo menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna.92..: b Costos: 1328 x 0.50. se obtiene un descuento del 20% por las páginas que son múltiplos de 3. cuyo verdadero nombre era Charles Lutmidge Dogson.3 d) S/. 1 992 Estos son en total: 664 páginas y los no°3 son 1 992 . ¿Cuántos por lo menos perdieron los 4 órganos? 47 .: b 5) Una fábrica produce en un mes 3 toneladas de espárragos a un costo de 14 400 soles. Si el precio normal de cada fotocopia sola es S/. 9.96 c) S/.5 soles 24000 Precio de venta: 125% (14400) Peso a vender: 80% (3 000) precio por kilo 1.92. 6k Ganancia: 1. el 75% una oreja. Un problema que se atribuye a él es el siguiente: "En una extraordinaria batalla. de un libro numerado del 1 al 1992.7.25(14400) =S/.18000 Precio de kilogramo 18000 =7.96 Rpta..8. La Madre de todas las Batallas Lewis Carrol.05 + 664 x 0.86.05.14400 Costo: S/.14400 Ganancia: 25%(14400) = 3 600 Precio de venta: S/. Si se pierde el 20% de la producción por falta de calidad.8 = S/. 6. matemático y escritor británico.6.18 b) S/.8(3000) Rpta. 9.: e 4) Cuando se fotocopia página por página.5 0.3 e) S/..89. .7 b) S/. ¿a cuánto tiene que vender el kilo para ganar el 25%? a) S/. ¿cuánto se pagó en total? a) S/.Aritmética Resolución: Resolución: Precio Costo 5k ganancia: k=100% Precio Venta 6k Si precio Venta: 6. por lo menos el 70% de los combatientes perdió un ojo.05 x 0.9.56 d) S/. en la cual manifiesta su interés por lo absurdo. los acertijos y la confusión. Se le conoce principalmente por su obra «Alicia en el país de las maravillas» . 1 989.32 e) S/.64 Resolución: Múltiplos de 3: 3.0.96.5 c) S/. la bicicleta? ¿cuántas personas no fuman de dicho conjunto de personas? Resolución: Resolución: Rpta: 2 En una granja el 20% son patos. el 45% gallinas y 4 ¿A qué precio se debe vender un reloj que costó el resto son pavos. ¿Cuánto pagó Pedro por de los hombres y el 15% de las mujeres fuman.5to Secundaria 1 De un conjunto de 800 personas. Sabiendo que el 80% 25% de lo que le costó.255 si se quiere ganar el 15% del precio de el doble. el 75% son 3 Pedro vendió su bicicleta en $150 ganando el hombres y el resto mujeres. ¿qué porcentaje del total serían pavos? venta? Resolución: Resolución: Rpta: 48 Rpta: Rpta: . Si el número de gallinas fuera S/. Si "E" pagó S/. ¿Qué precio se fijó para ganase el 28% de lo que le quedaría perdería su venta al público.11 200.El 50% ganando el 20%. "C" vende el objeto a "D" perdiendo el 10% y "D" vende el objeto a "E" ganando el 40%. "A" vende un objeto a "B" ganando el 20%. 12. Si cada una de las dimensiones de un paralepípedo aumentara en 20%. .1134 por el objeto. ¿cuánto ganó "A" en la venta de dicho objeto? 11. ¿qué tanto por ciento se ganó en la tercera. sabiendo que en total se ganó $330? 49 .El 60% del resto perdiendo el 30% ¿Qué porcentaje sobre el resto del lote debe ganarse para que la ganancia total sea el 7%? 10. "B" vende el objeto a "C" ganando el 25%. ¿con cuánto me quedaría si volviera a gastar 50% más de lo que gasté al inicio? 8. por lo que tan sólo se gana S/. 50% y 40%. sabiendo que si al venderlo se S/156.320. Se vendieron tres refrigeradoras en $660 cada una. Si inicialmente tenía S/. Si hubiesen sido dos descuentos iguales al 20% se hubiese ganado S/. ¿Cuál era el precio de costo? 9. Un objeto sufre dos descuentos sucesivos del 20% y del 30%. ¿en cuánto aumentariá su volumen? Se vende un lote de objetos de la siguiente manera: .6 000. En la primera se ganó el 20%.Aritmética 5 Si Juan gastara el 30% del dinero que tiene y 6 Un objeto costó S/.2400. ¿Cuánto tiene Juan inicialmente? hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20% todavía se gana el 20% del costo? Resolución: Resolución: Rpta: Rpta: 7. Gasté el 60% de lo que no gasté. en la segunda se ganó el 10%. Se vende dos filmadoras en $720 cada una.5 e) $312.457.540 e) S/.5 c) 2/5 e) 3/2 c) $287.480 d) S/. a) 3/4 b) 3/5 d) 7/12 c) 7/10 e) 8/11 . Con el importe de la venta compró otro artículo que lo vendió ganando el 30% del precio de venta. a) 72 2/3% b) 86 2/3% c) 90 1/3% d) 82 1/3% e) 69 1/3% Si compré un televisor en $240 y lo quiere vender ganando el 30% del costo.504 Si a es el 25% de c y b es el 40% de c. 4. ¿Cuánto se ganó o perdió en esta venta? a) Se ganó $60 c) Se ganó $80 d) Se perdió $80 c) 1020 e) 1340 En cierto momento de una fiesta el 60% de los hombres están bailando y el 20% de las mujeres no bailan. ¿qué porcentaje del área original es el área que ha quedado? a) $560 b) $480 d) $490 6. c) 200 e) 180 e) No se ganó ni perdió Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en 40% y al momento de venderlo se hace una rebaja del 10% del precio fijado.450 ganándose el 25% del costo. ¿Cuál sería el precio de venta si se quiere ganar el 40% del costo? a) S/. Si el precio del pantalón disminuye en 10% y el precio del saco disminuye en 5%. 5. Si en total fueron 350 personas. ¿Cuál es el precio de costo de cada computadora? c) $540 e) $504 Se vendió un artículo en S/.520 b) S/. ¿cuál es el precio de venta? 10. ¿Cuántas naranjas quedaron sin vender? a) 720 b) 600 d) 1320 2. ganando el 20% del precio de venta. Un comerciante vendió un artículo ganando el 20% del costo. Halla la relación entre los precios de venta de los artículos.5 11. Un técnico compró un televisor en $200. c) S/. ¿Cuánto cuesta un saco y un pantalón? a) 16 soles b) 20 soles d) 64 soles c) 50 soles e) 32 soles 12. Después de lavarse. ¿Qué tanto por ciento del precio de costo se gana finalmente? a) 30% b) 20% d) 25% c) 24% e) 26% 9. En una de ellas se gana el 20% del costo y en la otra se pierde el 20%.490. Cinco pantalones y veinte sacos cuestan S/.5to Secundaria 1. b) Se perdió $60 Un tejido al lavarse se encoge en 2 por 15 de su longitud y el 5% de su ancho. el costo de 5 pantalones y 20 sacos sería S/.490 50 8. 3. ¿qué parte de b es a? a) 8/5 b) 1/2 d) 5/8 a) $275 b) $325 d) $235. ¿Qué precio tiene que fijar para su venta teniendo en cuenta que aún haciendo al comprador una rebaja del 20% sobre el precio fijado todavía gana un 25% sobre el precio que el costó el aparato? a) $288 b) $272 c) $312 d) $252 e) $324 Un mayorista vende computadoras en $700. ¿cuántos bailaron ese momento? a) 120 b) 150 d) 240 7. Una señora lleva 3000 naranjas al mercado y encuentra que el 20% está malogrado y sólo pudo vender el 70% de los buenos. impuesto a la tasa del r% anual. recibiendo un interés de S/. generalmente expresado como un tanto por ciento del capital prestado y en un período de tiempo señalado. El valor del interes simple ganado por el préstamo de un capital C. ¿Qué monto se ha obtenido y qué tanto por ciento se está ganando (tasa)? Resolución: Interés=300 Capital=750 (se presta) Monto= 750+300=1050 (se recibe) gana 8 tiempo=1 año Se obtiene un monto de 1050. Ejemplo: Tasa de interés del 20% anual indica que en un año se debe de ganar 20 unidades monetarias de cada 100 prestadas. 2.300. CONCEPTO Se denomina interés a la ganancia obtenida por el préstamo de una determinada cantidad de dinero durante un cierto tiempo y bajo condiciones previamente señaladas en la tasa de interés.2. Monto = Capital + Interés Ejercicio 1 Se ha prestado S/. Monto (M) Es el valor que resulta de sumar el capital prestado el interés ganado. está dado por: I = Cr% t . ELEMENTOS 2.1.3. durante t años.. meses o días. 2. Un mes comercial de 30 días. (1) 51 . 2. Tasas equivalentes Tasa 10% mensual<>tasa 30% trimestral<>tasa 120% anual Tasa 12% mensual<>tasa 36% trimestral<>tasa 144% anual Tasa 4% mensual<>tasa 12% trimestral<>tasa 48% anual Interés Para el tiempo se considera: Un año comercial de 360 días. La regla de interés es el conjunto de procedimientos que permiten el cálculo del interés con los elementos previamente señalados.4. Interés r%= capital ×100%= 300 ×100%=40% 750 3. Capital (C) Es el dinero que ha sido prestado.Aritmética 1. al término del prestamo. Un año bisiesto de 366 días. INTERÉS SIMPLE Aquel en el cual el capital permanece constante durante todo el tiempo que dura el préstamo. Tasa de interés (r) Es el indicador que señala la ganancia a recibir por el préstamo del capital. impuesto o depositado en una entidad financiera. Tiempo (t) Es aquel que señala la duración del prestamo expresado en años. 2.750 por un año. Un año común de 365 días.. Este proceso se llama capitalización.568 . 24 marzo Marzo C1=1000 Interés +110 Ejemplo: Interés +100 Setiembre 18 M=C 1+ n 3 r 12 ⇒ M=6000 1+ 100 100 M= S/. para el siguiente período. desde el 20 de julio hasta el 18 de septiembre?. 20 julio 18 septiembre Julio 11 Donde la tasa y el número de períodos de capitalización debendeestarenlasmismasunidadesdelacapitalización. considerando a. durante n períodos de capitalización se utilizará: Ejemplo: M=C(1+r%)n ¿Cuál es el interés producido por un capital de S/.87. El interés ganado es 1331–1000=331 soles. CÁLCULO DE DÍAS TRANSCURRIDOS En el caso que el tiempo está dado en días. se utiliza los días que tiene el calendario.er año Para obtener el monto final.86.° año 3. que resulta de prestar un capital C.. la norma bancaria es el sistema que utilizan los bancos para calcular el interés mediante el interés ordinario con el número exacto de días. El interés obtenido en un determinado período se agrega al capital para formar un nuevo capital.8429. ¿Cuántos días hay desde el 24 de marzo al 25 de junio? 24 de marzo: El mes de marzo posee 31 días. faltan 31-24=7 días. como han transcurrido 24.. ¿Qué monto se recibirá al cabo de dicho tiempo? Según el interés ordinario: Resolución: I = 5000 × 10%(2) = 1000 soles El monto recibido: M = 5000+1000 =6000 soles I= 2920×18×60 = S/. INTERÉS COMPUESTO Observación Para utilizar únicamente la expresión (1) se debe de tener en cuenta que la tasa de interés y el tiempo deben de estar en las mismas unidades de tiempo. Resolución: Agosto + 31 + 60 días 52 C3=1210 25 junio Abril 7 C2=1100 Interés +121 Tasa 10% anual ⇒ Al tercer año el nuevo capital formado es 1331 soles.Interés exacto Ejemplo: Resolución: Calculando el número de días.4 36500 Para realizar cualquier transacción.5to Secundaria Ejercicio 2 Se deposita 5000 soles en un banco a la tasa del 10% anual durante 2 años.6 36000 Según el interés exacto: I= 2920×18×60 = S/.1000 capitalizable anualmente al 10% anual durante 3 años. Ejemplo: Se presta S/.er año 2. ¿Qué interés se gana? 4.2920 prestado al 9% semestral.Interés ordinario b.6000 colocado al 12% de interés compuesto anual durante 3 años. a una tasa del r%. Halla el monto de un capital de S/. 5. Abril: Utiliza 30 días Mayo: Utiliza 31 días 25 de junio: Utiliza 25 días Junio Mayo + 30 + 31 + 25 93 días C4=1331 1 año 1 año 1 año 1. tasa 10% bimestral I=2500×10% (3)= S/.8000 se convierte en S/. Un capital depositado al 8% anual capitalizable semestralmente por un año. cuando ha sido colocado al 25% de interés compuesto anual? 6.06)8 ⇒ M=S/.2500.10% bimestral<>5% mensual.7500= S/. se cumple: 3. Ejemplo: SiprestamosS/. 8 x3 3 18/3 r/m⇒M=400 ⇒M=C 1+ 1+ 100 100 nxm M=400(1.400 impuestos al 18% capitalizable cuatrimensualmente por 2 años y 8 meses.612 8 2 años 8 meses <> 2+ años= 8 12 3 3 Capitalización semestral 8 año 12 También 1 año<> 3 cuatrimestres.750 2 ×5 n n 5⇒ 4 3 n =5 5 4 4 ∴ n = 3 años 4. I=2500×30% (1)= S/. Halla el monto que produce S/. n n r 25 ⇒15625=8000 1+ 100 100 6 3 6 Dos tasas son equivalentes cuando.25 . Resolución: El tiempo indicado se expresa como fracción de un año: 2 M=C(1+4%)2=8112⇒ C= S/. semestral. TASAS EQUIVALENTES M=2500(1+5%)2=2756. capitalizable trimestralmente durante 6 meses.637.2500 por 6 meses al 10% bimestral? 5 125= 53 ⇒ 23= (2 ) 100 Se recibe S/. I=2500×5% (6)= S/. Se deposita 2500 al 20% anual.25 5. 1.Aritmética 1+ nxm n r = 1+ 100 r/m 100 Resolución: M=C 1+ Donde m es el número de períodos de capitalización en un año.750 b) 6 meses.3202 de monto.54 53 .2000al16%capitalizabletrimestralmente durante 3 años. Resolución: 20% anual <> 5% trimestral 6 meses <> 2 trimestres Capitalización trimestral EJERCICIOS RESUELTOS ¿Qué interés se gana al prestar S/. El interés ganado: 8112 . Determina el interés ganado. origina un monto de 8112 soles.04)12=3202 100 Resolución: Se puede calcular de varias maneras: a) 6 meses <>3 bimestres. ¿Qué interés se gana? Resolución: c) 6 meses<>1 semestre.750 10% bimestral<>30% 8% anual <> 4% semestral 1 año <> 2 semestres 2.7500.25 ⇒ I = 2756. ¿cuál será el monto? Resolución: M=C 1+ nxm r/m Donde 1 año<>4 trimestres 100 ⇒ m = 4 períodos de capitalización M=2000 1+ 3x4 16/4 = 2000(1. ¿Al cabo de qué tiempo un capital de S/. Se gana un interés: I = 256. dentro de períodos de capitalización diferentes. 15625. 8% quincenal.4000 a una tasa de interés del 3 Un capital se impone al 5% mensual. ¿Cuál fue el capital? del monto produciría en 6 años? Resolución: Resolución: Rpta: 54 Rpta: Rpta: .5to Secundaria 1 Se depositan S/. ¿Qué porcentaje S/. ¿Qué interés producirá en cinco tiempo se quintuplicará? quincenas? Resolución: Resolución: Rpta: 2 Un capital impuesto al 20% trimestral de interés 4 Un capital impuesto durante 2 años produce un simple se convirtió al cabo de ocho meses en interés igual al 10% del monto. ¿En qué 0.49680. 9. Dos capitales que suman S/. Un capital de S/.3920. respectivamente.1600. La diferencia de dos capitales es S/.Aritmética 5 Una persona coloca la mitad de su capital al 6% 6 La relación de dos capitales es de 4 a 11. Halla la suma de los capitales.2500 al 24%. ¿Qué interés se habría ganado si el capital inicial se hubiese prestado al 48% de interés simple durante "n" años? 55 . 10. 12. el primero durante 5 meses y el segundo durante 8 meses.5184. La anual. capitalizable semestralmente.6000 se imponen a una misma tasa de interés. Si el segundo capital es su capital? está impuesto al 16% anual. el monto hubiera sido S/.125 y S/.280 de interés. Si luego de un año ganó S/.2000. ¿cuál algún tiempo es de 7 a 22. Si el mayor se impone al 5% anual y el menor al 12% anual. Halla el interés ganado al finalizar el segundo año. Indica el capital menor.650. Halla el monto si se hubiera depositado al 2%. Rpta: Se sabe que S/. la tercera parte al 5% anual y el resto al relación entre los intereses producido después de 4% anual. Se depositó un capital al 5% y el monto fue S/.4200. Al cabo de "n" años el capital se convirtió en S/. produciendo S/.4500 es impuesto al 20%. luego de 10 meses los intereses obtenidos ascienden a S/. ¿cuál es la tasa de imposición del primer capital? Resolución: Resolución: Rpta: 7.54000 es la suma de los capitales de dos personas. Pero si se hubiera depositado al 3%. La primera impone su dinero al 4% durante tres meses y recibe un interés doble del que tendría la segunda persona imponiendo el suyo al 5% durante 6 meses. capitalizable cada año. Halla la diferencia de los capitales. Se ha prestado un capital de S/. 11. 8. 2200 d) S/. Carlos presta su dinero al 20% de interés.1800 e) S/. c) S/.3200 Si un capital depositado a una tasa anual del r % produce un interés que representa el 18% del capital en cuatro meses. 1500 7.6500 Los 2/5 de un capital se prestan al r1% anual y el resto al r2% anual. Si el mismo capital se hubiera depositado al 18% trimestral durante 20 meses. a) 1/4 b) 3/4 d) 5/4 c) 2/3 e) 3/5 10. ¿cuál sería la relación de los intereses obtenidos? a) 1/2 b) 2/3 d) 2/5 c) 3/4 e) 3/5 11.3750? 9. Si prestara C durante 18 meses ganaría 121 soles más que si lo prestara durante un año.18500 c) S/. La cuarta parte de un capital se depositó al 8% anual y el resto al 6% anual.3400 a) S/. ¿En qué tiempo produce el 25% del monto? a) 6 meses b) 11 meses d) 12 meses 5.2484.6000 b) S/. a) S/. Si al cabo de un año producen montos iguales. 2000 d) S/.3000 e) S/. 3000 b) S/. halla el capital. Si gana una renta anual de S/. durante el mismo tiempo.20500 d) S/. c) 50% e) 54% Un capital se presta al 50%. halla "r2/r1" sabiendo que r2+r1=100. 3600 ¿Qué suma de dinero se debe depositar al 10% anual. la tercera parte al 5% y lo que queda al 4%. 1800 c) S/. Si luego de dos años los intereses ganados ascienden a S/.312. Al depositar un capital al 5%. ¿Cuál es el menor capital? a) S/.7800 c) S/. 2400 e) S/. c) 24 e) 39 La diferencia de los capitales es S/. capitalizable anualmente durante 3 años. 1200 b) S/. a) S/. 1800 d) S/. Halla el valor del capital inicial. Si se impone el mayor al 4% anual y el menor al 12% y luego de 18 meses los intereses son iguales. 3.14300 son impuestos.18000 e) S/. halla r.1200 b) S/.2400 b) S/. a) 48% b) 58% d) 60% 4. uno al 12% y el otro al 10%.6200 e) S/. capitalizable semestralmente. 1560 e) S/. ¿Cuánto ganará en dos años? a) S/.2080. ¿cuál es su capital? (en miles de soles) a) 20 b) 22 d) 26 6.27500 b) S/. Karina depositó en el banco de Lima S/. se obtiene S/.2800 d) S/. 2.2500 c) S/.5to Secundaria 1.7200 d) S/. para que en dos años y medio se convierta en S/. 1440 8.3000 a una tasa de interés simple del 2% mensual. ¿cuál es el capital mayor? a) S/. produciendo igual interés.2000 12.15000. Dos capitales que suman S/. Un capital se deposita al 20% semestral durante 18 meses.22500 56 c) 8 meses e) 10 meses Susana colocó la mitad de su capital al 6%. a) 1 b) 2 d) 4 c) 3 e) 9 . c) S/. Halla la suma de las cifras de C.75 menos que si hubiera prestado el doble del capital anterior al 5% de interés simple durante 4 años. 5 dólares 12 100 Entonces como efectivo o cantidad actual te entrego: 360 ..Aritmética 9 Regla del Descuento REGLA DEL DESCUENTO En la actividad comercial se usan letras o pagarés.t años → 100 meses→ 1 200 días → 36 000 1 x 1200 por 3 meses 100 57 .5 = 355. en todo esto. trimestral. hasta el día de vencimiento. los cuales tienen un vencimiento de pago. Descuento Comercial (Dc) Es el descuento que realizan los bancos.5 dólares Ejemplo 2: Una letra de 1200 soles es descontada al 1% trimestral por 5 meses.20 = 1180 soles En resumen. Generalmente se presenta en meses. el valor actual será: 1200 . aquí descontamos el 5% anual. Halla el valor actual o efectivo. ese mismo día que se firmó. y es el interés que se cobra a la hora de descontar. los elementos que participan son: Valor Nominal (Vn) Es la cantidad de dinero que lleva impresa la letra o pagaré. Resolución: El descuento será: Por 1 mes será: 1 1 x x 1200 100 3 y por 5 meses: 5x 1 1 x x 1200 = 20 soles 100 3 Luego. bueno si es así. cuando se compra a crédito (plazos). es decir: 5 x 360 por 1 año 100 Por mes se descuenta 5 1 x x 360 12 100 y por los 3 meses 3x 5 1 x x360 = 4. Ejemplo 1: Juan vende un artefacto a plazos y le firman una letra de 360 dólares pagadero a los 3 meses. que los bancos compren estas letras antes que se cumplan sus vencimientos. pero ya sabes que te la voy a descontar porque no deseas esperar los 3 meses. etc. Juan la vende a un banco.4. r. Tasa de descuento (r) Está dado como porcentaje (r%) anual. Tiempo de vencimiento (t) Es el tiempo que falta desde el día que se vende la letra al banco. Es costumbre. Esta letra. por lo general sobre el valor nominal y su cálculo es: (1) Dc = Vn. y el banquero le dice: bueno te la compro. Vac ∴ El VaR = Vac = Vn en el día de vencimiento.DR = VaR .Dc (6) Vn = Aplicando fórmulas a los ejemplos anteriores. Si esto último se sustituye en lo anterior. DR Dc . r.30 VaR = 1800 soles .5 = 355.DR = Ejemplo 1: Dc . (5) DR = Vn. r. Resolución: Vn = S/. Ejemplo 1: Una letra de 1830 soles es descontada racionalmente al 4% anual por 5 meses. calcula el valor actual de la letra.5) DR = 30 soles y el valor actual racional será: VaR = 1830 .20 = 1180 soles Existe otro descuento poco usual.4.5to Secundaria Siendo r:% porcentaje de la tasa anual.DR 58 ∴ El descuento es un interés que sirve de ganancia para el banco. llamado: Descuento Racional (DR) También se le llama matemático o interno.4. Su cálcula está dado por: (3) DR = VaR. ∴ Dc . tasa y tiempo.1830 r= 4% al año t= 5 meses El descuento racional será: DR = 1830. se obtiene la fórmula más usada: A este descuento se le llama también externo o abusivo.t años → 100 + rt meses→ 1 200 + rt días → 36 000 + rt De las fórmulas (1) y (5) se puede obtener: (2) Vac = Vn . tenemos además: (7) Dc . Valor actual comercial (Vac) Llamado tambien valor efectivo. es el dinero que se tiene después del descuento.5 1200 + (4.t años → 100 meses→ 1 200 días → 36 000 El valor actual racional será: (4) VaR = Vn . r.1200 r= 1% en 3 meses → 4% al año t= 5 meses El descuento será: 1200 x 4 x 5 Dc = = 20 1200 y el valor actual será: Vac = 1200 .t 1200 meses Observación El descuento será: Dc = 360 x 5 x 3 =4.360 t= 3 meses r= 5% al año DR . cuyo cálculo se hace sobre el valor actual que tendrá la letra después de descontarla.5 dólares 1200 y el valor actual será: Vac = 360 . ∴ Siempre Dc > DR y VaR > Vac Ejemplo 2: Vn = S/.DR Vn = S/.5 dólares ∴ El descuento es DP al valor nominal. es decir no hay descuento. 777 b) S/. se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).DR k .4375 = S/. el valor actual comercial 4900 . 1) El valor nominal de una letra es S/.4220 d) S/.1150 Resolución: Por dato: Vn1 = 3 y Vn2 5 Dc2 = S/. sin embargo.: S/.1 500 = 300 k = 1 800 Hallamos el Descuento comerciales: ∴ Vn = 5(1 800) = 9 000 4900 = Dc x 525 Dc . Ambas se ha descontado al 25% por un mes y 12 días la primera.Aritmética Ejemplo 2: El descuento comercial de una letra es a su valor nominal como 1 es a 5. lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón.4312 EUCLIDES (330 a. . Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides.DR (3) DR = 1500 Resolución: En (2) 5k = k . Enseñó en Alejandría.525 Pero: Vn = Dc x DR Dc . Es probable que Euclides se educara en Atenas.525 ⇒ Dc = S/.4300 e) S/.4900 descontada racionalmente se obtiene por ella S/.1500.1 500 1= 300 k .4312 Rpta. ¿cuál fue el descuento de la primera letra? a) S/. calcula el valor nominal de la letra.810 c) S/. y por dos meses la segunda.C.1850. Si el descuento racional es S/. a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama.588 = S/.S/. pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. 1500 k .275 a.777 59 .4900 . Si al descuento de la segunda letra ha sido S/. donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter.C.4336 c) S/.: S/.1850 Además sabemos: Dc1 = Vn1 x r x 42 36000 Vn2 x r x 60 Dc2 = 36000 ÷ Dc1 3 42 = x 1850 5 60 ⇒ Dc1 = S/. DR (2) Vn = Dc .4900 DR = S/.102 d) S/.) Matemático griego.1 500 Datos: Vn = S/. se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas.588 Luego.4375 ¿cuánto se obtendría si el descuento fuese comercial y al mismo porcentaje? a) S/.777 Rpta.4324 Resolución: (1) Dc = k Vn = 5k Dc . 2) El valor nominal de una letra es 3/5 del valor nominal de una segunda letra. aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.695 e) S/.4312 b) S/. Halla el valor nominal de dicha letra.1320 Va = S/. faltaría: 2(30) .Vac = Dc .Dc = 18300 .375.DR 5= DR x 2 x3 1200 DR x r x t 1200 ⇒ DR = 1000 Dc = 1005 5) Una letra de S/. luego: D2 = 31 de diciembre Va = Vn ..5000 b) S/. Si dicha letra se descontara dentro de 10 días.4500 d) S/. hoy día tiene un valor actual de S/4050.x.16980 Resolución: Va1 = V . Se cancela dicha letra en un día tal que el número de días transcurridos del años excede en 3 días a los 3/8 del número de días que faltan por transcurrir. dicho descuento sería de S/.5to Secundaria 3) Una letra pagadera dentro de 2 meses se va a descontar al 3% anual.: $201 000 4) Una letra vence dentro de 2 meses.V. a) S/.: S/.10 = 50 días para su vencimiento.4200 c) S/. para cancelarla el 31 de diciembre del año siguiente.5600 El valor actual.DR 5 (366 . 50 36000 = 375 ⇒ V.a)días Vn = $201000 Rpta..a) ..16980 dentro de 10 días.1320 36000 Además Rpta. ¿Cuánto se pagará por dicha letra si sufrió un descuento del 10% anual? a) 16958 d) 17000 b) 16980 e) 17200 c) 16920 Resolución: Además recordaremos que: Vn = Días transcurridos Faltan transcurrir Dc x DR 100 x 1105 = Dc . V . (2) reemplazando en (1).(1) 1200 V.3a = 3 → a = 264 8 Ahora el descuento será: Dc = 18300 x 10 x 264 = S/..: 4500 60 31 de diciembre ⇒ (366 . a días .x = 270 000 . faltando 2 meses será: 2x = 4050.4800 e) S/. ¿Cuál es el valor nominal de dicha letra sabiendo que la diferencia de los valores actuales bajo el descuento racional y comercial es de $5? a) $100 000 d) $201 000 b) $151 000 e) $215 000 c) $197 000 Resolución: Sabemos que: VaR .2(270 000) = 4050 1200 se obtiene V = 4500 Rpta.183 000 se firmó el 31 de diciembre. que es un año bisisesto. Aritmética 1 ¿Cuál de los siguientes documentos no es 3 Una letra de 1000 soles es pagadera a los 10 utilizado en el comercio? meses de firmada. Si se negocia a los 3 meses. de un pagaré de 2400 dólares al 5% mensual por 3 meses. a) letra entonces el tiempo de descuento a considerar b) memorándun será: c) factura d) boleta Resolución: e) cheque Resolución: Rpta: 2 Una letra de cambio de 2400 soles es aceptada el 15 de abril y se vence el 10 de junio. el 15 de abril. Si se negocia Rpta: 4 Calcula el descuento externo. el tiempo del descuento será de: Resolución: Resolución: Rpta: Rpta: 61 . 5to Secundaria 5 Calcula el descuento interno de un pagaré de 72 540 soles por 45 días al 3% semestral. 10. cuya tasa de descuento es del 5%. mientras la segunda por 3 meses.2640. ¿cuál fue el descuento de la otra? 62 12. Se presenta una letra pagadera a los 4 meses a un banquero. a una tasa del 15%? 8. Sabiendo que. calcula el valor nominal. (Consi- Resolución: dera descuento interno) Resolución: Rpta: Rpta: 7.4950. Se han descontado comercialmente al 4% la primera por un mes y 6 días. si el banquero hubiera aplicado el descuento interno en vez del descuento externo. Halla el valor nominal de una letra. 6 Calcula el valor efectivo de un pagaré de 12240 soles pagadero en 10 meses al 3% anual si fue cancelado a los 2 meses de ser firmado. al 16% anual. El descuento comercial de una letra es a su valor nominal como 1 es a 5. que al ser descontada 9 meses antes de su vencimiento. . ¿Calcula el valor nominal de la letra.2 050.? 9. El valor nominal de una letra es 4/5 del valor nominal de otra letra. pero lo paga el 4 de marzo S/. Una persona debe pagar una letra de S/. Si el descuento de esta última fue de S/. ¿Cuál fue la tasa de descuento? 11. ¿Cuántos días faltaba para el vencimiento de una letra. se ha recibido por ella S/.5000 el 13 de abril. saldría perjudicado en 5 soles. Si el descuento racional es 1500 soles. que al ser descontada se recibió por ella sus 23/24. al 6% de descuento? a) 10 meses b) 5 meses d) 9 meses c) 8 meses e) 6 meses 11. al 5% anual.6 000 b) S/. a) S/.14 780 12. Toda letra de cambio no posee: a) b) c) d) e) 7. respectivamente.5 e) $68 Al ser negociada una letra de $3612 se efectúa un descuento racional por 5 meses al 0. c) $66.300 e) S/. sale perjudicado en S/.100 b) S/.6 070 Se sabe que el descuento comercial de una letra es a su valor nominal como 1 es a 2.6 060 d) S/. ¿cuál es el valor nominal? c) S/. ¿Un banquero al descontar una letra al 4% anual por 5 meses.500 c) 7% e) 9% Los valores nominales de dos letras son entre sí como 4 es a 9. a) S/. Fecha de negociación. Si el descuento racional es S/. entonces el tiempo para el descuento respectivo será de: a) 8 meses b) 3 meses d) 4 meses c) $12 e) $14 Un pagaré de 6320 soles es descontado matemáticamente 2/3% mensual por 8 meses.200 d) S/. Fecha de vencimiento. a) S/. halla el tiempo del descuento.100. ¿Cuánto faltaba para vencer una letra que al ser cancelada se recibió por ella sus 19/20.14 820 d) S/. Si el descuento de la segunda letra es 81 dólares. Fecha de aceptación. Si aplica el descuento racional en vez del descuento comercial. a) $40 b) $45 d) $55 c) $50 e) $60 10.7 d) $67. El descuento fue de: a) $10 b) $11 d) $13 6. Si es vendida el 5 de junio. La primera descontada al 2% trimestral por 5 meses. mientras la segunda se descuenta a la misma tasa por 3 meses. Si era pagadera a los 8 meses.400 8. 2. calcula el descuento de la primera letra. c) S/. La tasa descontable fue: a) 5% b) 6% d) 8% 9.Aritmética 1. si por ser descontada al 6% trimestral se recibió por ella el 80% de su valor nominal.2% trimestral.5 5. Una letra de cambio de 1500 soles es aceptada el 10 de mayo y vence el 18 de julio.6 040 e) S/. pero el 15 de mayo se canceló con 9 920 soles. Firma del deudor. a) 40 días b) 57 días d) 53 días 3. halla el valor nominal de la letra. c) 69 días e) 43 días Una letra se negocia 5 meses más tarde de firmada. Calcula el descuento comercial. Valor nominal.6 050 Una letra de 10 000 soles debe ser pagada el 20 de junio. a) 10 meses b) 11 meses c) 1 año 2 meses d) 1 año 3 meses e) 1 año 63 . Calcula el valor actual de la letra.14 860 c) S/. 4. c) 13 meses e) 5 meses Una letra de 5 400 dólares es pagadera a los 3 meses.4. Halla el tiempo de vencimiento de un pagaré.14 640 b) S/. a) $65 b) $65.14 720 e) S/. 64 Ejemplo 3: Se tiene 3 sustancias cuyos pesos son 10.. .6.Cn Precios Unitarios: P1. P3.5)+12(3) = S/. con el cual no se gana ni se pierde. .2.4. Pn Precio Medio (Pm) = P1 C1+P2C2+ .7 cada kilogramo de la mezcla no se gana ni se pierde. Ejemplo 1: Sean los ingredientes cuyas cantidades y precios son: cantidades: C1 . Mezcla Observación Para fijar los precios de venta..5to Secundaria 10 Es la reunión de dos o más ingredientes de la misma naturaleza. .4 y S/.5 .3 cada kilogramo..7 18 + 12 Vendiendo a S/. pero con características (calidades) diferentes. S/... Para varios ingredientes: Cantidades: C1..2 + 0.C3. ¿A cómo debe venderse la mezcla para ganar S/.3 por kilogramo? Resolución: Para determinar el precio de venta se debe conocer el precio medio(costo). Pm = 10(3)+12(4)+8(6) = 4.2. 12 y 8kg y cuyos precios por kilogramos son respectivamente S/. .2.2 18 + 12 + 8 Para fijar el precio de venta Pv: Pv = Pm + ganancia Pv = 4. los comerciantes determinan el precio medio como el costo de la mezcla. P2. C2 precios unitarios: P1 . P2 Determina el precio medio (Pm) de la mezcla.. Cn Resolución: Venta = Costo Pm (C1+C2)=P1 C1 +P2 C2 ⇒ Pm = P1 C1 +P2 C2 C1 + C2 Ejemplo 2: Halla el precio medio que se obtiene al mezclar dos tipos de arroz: 18kg del tipo A a S/.0. +Pn Cn C1+C2 + .5 el kilogramos y 12kg del tipo B a S/.3 = S/. C2.3. PROBLEMA GENERAL DE MEZCLA Consiste en determinar las características de la mezcla.. Resolución: Determinando el precio medio: Pm = 18(2. conocidas la cantidad y la calidad de los ingredientes. +gn Vn V1+V2+V3+ . ¿Qué cantidad de la primera se utiliza si se mezclan ambas sustancias y de la segunda se utiliza 18kg. Grado Alcohólico Es la relación que hay entre el volumen de alcohol puro y el volumen total del alcohol (alcohol puro + agua). y volúmenes 20 litros. si del primer tipo hay 20 kg y del segundo 30 kg.10 y S/.. 18 litros y 12 litros.3 cada kilogramo. formado por 24 litros de agua y 36 litros de alcohol puro. Determina el grado del alcohol resultante.Aritmética MEZCLA ALCOHÓLICA Ejemplo 4: ¿Qué precio debe fijarse para la venta de una mezcla de dos tipos de café: de primera a S/.12? Resolución: g1 V1+g2 V2+g3 V3+.10 Resolución: 12 18 S/.P2 Grado= P2-Pm S/. Ejemplo 6 : El grado de un alcohol..+Vn Ejemplo 7: Se mezclan tres alcoholes cuyos grados son 40°.15.5 cada kilogramo y de segunda a S/.P1 agua alcohol puro 36 x 100° 24+36 Grado= 60° <> 60% ⇒ Pm Pm-P1 Se toma las diferencias en aspa Para la mezcla de varios tipos de alcohol Volúmenes: V1 V2 V3 . es: VA: V0H: Método del Aspa: Volumen alcohol puro x100° Volumen total 24 36 Ingrediente 1 C1 Ingrediente 2 C2 S/... debiendo ganarse además un 20%? Es un caso particular de mezcla. Vm Grados: g1 g2 g3 . obteniéndose un precio medio de S/. donde los ingredientes son alcoholes con diferentes pureza y volumen. x 15-12=3 S/. 50° y 65°.. Resolución: Grado= Observación Al mezclarse dos ingredientes. conocidos sus precios y el precio medio de la mezcla(P1 < Pm < P2) se determina una relación entre las cantidades a mezclar..15 12-10=3 Grado medio 40(20)+50(18)+65(12) 20 + 18 + 12 2480 = = 49.6° 65 . respectivamente.6° 50 gm = ⇒ x 3 ⇒ x = 27kg = 18 2 Se utiliza 27kg del primero Se obtiene alcohol de 49.. Donde se cumple: P -Pm C1 = 2 Pm-P1 C2 gm El grado medio (gm) de la mezcla Ejemplo 5: gm= Se tiene dos sustancias cuyos precios por kilogramo son S/.. ..gm V1 g1 gm V2 gm . la ley (L) varía entre cero y uno: 0 < ley (aleación ) < 1 Ejemplo 8: Al mezclar alcohol al 40% con 30 litros de alcohol al 80% se ha obtenido alcohol al 50%. ¿Cuántos litros del primero han intervenido en la mezcla? Propiedades 1) Generalmente la ley del oro se expresa en quilates. estaño.800. Ley de una Aleación. Resolución: 80 -50=30 x 40% 50% 50 -40=10 30 80% ⇒ x 30 ⇒ = 30 10 x = 90 litros Número de quilates = 24 x Ley 2) En una aleación donde el metal fino es la plata..800 400 + 100 Ley = La ley de la aleación es 0..+Wn Ejemplo 11: Halla la ley media que se obtiene al fundir 3 lingotes: el primero 1.gm V1 =g -g V2 m 1 Observaciónes 1) La ley de un metal no fino u ordinario es igual a cero. platino.2 kg de ley 0.8kg de ley 0. plata. Ley (metal no fino)= 0 2) Si la aleación sólo contiene un metal fino puro.8 = 0. considerando para el oro puro 24 quilates. etc. Aleación Es una mezcla donde los ingredientes son metales. generalmente se expresa la ley como el número de milésimos que ésta posee.800 200 + 50 Una aleación tiene una ley de 0. Metales ordinarios: cobre.800 o también es de 800 milésimos. la aleación es igual a uno. distinguiéndose: Metales finos: oro.+LnWn W1+W2+W3+ ..6 y 3kg el tercero con ley 0. Ley (metal fino)= 1 3) Si una aleación contiene un metal fino y además un metal no fino.5. 400 =0..5to Secundaria Para la mezcla de 2 tipos de alcohol: g1 < gm < g2 g2 .g1 g2 ⇒ g2 . Ley= Peso metal fino (WF) Peso total (W T ) Ejemplo 9: Una aleación formada por 200 g de oro y 50 g de cobre. 66 W3 L2 L3 . el segundo 1. Es la relación que hay entre el peso de metal fino y el peso total de la aleación (metal fino + metal ordinario). Ejemplo 10: Una aleación formada por 400 gramos de plata y 100 gramos de estaño.. plomo. Wn Ln La ley media (Lm) de la mezcla: Lm= Au Cu 200g 50g W2 L1W1+L2W2+L3W3+.4. Para la mezcla de 2 o más aleaciones Pesos: W1 Leyes: L1 200 ⇒ Ley = = 0. etc. 20 y 18.2+1.5) Lm= 1. En 100 litros de mezcla: Ejemplo 12: Agua 25 L → 100 g Se funden 3 aleaciones de oro cuyos pesos son de 800. ¿cuánto pesará 1 litro de mezcla formado de 25% de alcohol y 75% de agua? a) 890 g b) 900 g c) 925 g d) 950 g e) 980 g 1. ¿Cuál es el peso de la aleación resultante? a) 350 d) 750 b) 500 e) 300 c) 600 Resolución: Peso inicial del oro: P Resolución: X 0.750 con 300 gramos de un lingote de ley 0.900 ⇒ P = 1350 1500 0.800.4)+1.51 = 12.780 20 2 = = = 300 0.925 ⇒ x = 500 1500+x Rpta.8(0.L1 L2 ⇒ 2) Un joyero tiene un lingote de oro de ley 0.Lm L1 Rpta.: d Lm W2 Lm .510 ° ° Si las aleaciones fueran de oro: #quilates=24 x 0.750 x 0.780 300 0.925? L2 . Para la mezcla de 2 tipos de aleaciones: L1 < Lm < L2 W1 850g 25 350-x ⇒ x = 800g = 75 150 Resolución: Nota x Pm = 25x800 + 75x100 = 950g 25 + 75 L2 .0.0.780 .900 que pesa 15000g. #milésimos = 510 Resolución: Calculamos el peso de 1 litro de alcohol.750 30 3 Se obtiene x = 200g El peso total de la aleación: 200 + 300 = 500g Sea x el peso a aumentar: 1350+x =0. el peso medio no varía).8+3 = 0.Aritmética Resolución: Determinando la ley media 1) Si 1 litro de mezcla formado del 75% de alcohol y 25% de agua pesa 850 gramos.51 = 0.0.780 P =0.: b 67 .800 ⇒ 0. ¿Qué cantidad de oro puro (en g) tendrá que añadir al lingote para elevar su ley a 0. ¿Cuál será el número de quilates de la aleación resultante? Alcohol 75 L 0 < Números de quilates ≤ 24 850-x 150 Peso medio de 100 litros de mezcla (cuando varía el volumen de la mezcla.750 0.L1 Ejemplo 13: Al fundir un ligote de ley 0. y el número de quilates correspondientes 16.24 quilates Si las aleaciones fueran de plata. se ha obtenido un aleación de 0. 1200 y 1600 gramos.780 .6)+3(0.800 .0.800 .780.Lm W1 = W2 Lm .2(0. 750<>24x0.B) 2 mh(A.024 L = 0. Entonces.100 Resolución: Aro 20k 0.: a LR2 .75g 68 Maria Gaetana Agnesi (1718 . Resolución: Fundiendo los dos primeros: c) mh(A.LR1 = 0.750 de ley.B) 2 e) ma(A.. ¿Qué peso de oro puro había inicialmente en el anillo? Las leyes son: L1= 0. ya que su padre daba grandes fiestas y los invitaba.020 3.6L 1 2L 2 A-Z Z ⇒AB = AZ + BZ = Z B-Z 3 1 AB = Z= 2 A+B 5 Z= 2L L = R Fundiendo los tres lingotes: Z A B 2(2L)+3(3L) 2 +3 2 2AB A+B mh(A. el valor de Z para que ambas mezclas resulten con el mismo precio por litro es: 1 a) mh(A.100 Rpta. Indica la ley del tercer lingote. Desdepequeña conocío a gente muy inteligente y preparada profesores universitarios. L3=0. filósofos.6L= 0.B) 5) Las leyes y los pesos de 3 lingotes son proporcionales a 2. Si al fundir los 3 lingotes se obtiene una aleación cuya ley es 24 milésimas mayor a la que se obtendría de fundir los dos primeros únicamente.B) b) 1 d) ma(A.750 =18k Cobre 2g ⇒ 80%W 18 = 2 2 W=22.8L-2. 3 y 5. Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio.5to Secundaria 3) Se tiene A litros de vino a 8 soles por litro y B litros de vino a 6 soles por litro..1799) Nació en Milan (Italia) un 16 de mayo de 1718. Sus padres la presentaban a sus importantes invitados como una niña prodigiosa y algunos de ellos instruyeron a María en diversos temas y ciencias.040.: 0.060. L2=0.024 4) Al fundir el 80% de un anillo de oro de 20 kilates con 2 gramos de cobre resulta una aleación de 0.5g 20 x Luego: W oro puro = = 24 22.B) 2 3L LR2 = 5L 2(2L)+3(3L)+5(5L) 2 +3 +5 LR =3. fue la mayor de 6 hermanos (4 hermanas y 2 hermanos).: 18. Se extraen Z litros de vino de cada recipiente y lo extraído se vierte en el otro recipiente. . científicos.5 W total x = peso oro puro = 18.B) Resolución: Z A-Z Z B-Z Z A B 3 3L LR1 =2..75g Rpta.8L 2 Dato: Rpta.B)+ma(A. ¿cuál debe ser el precio de venta por kilogramo si se quiere ganar S/.30 por litro. ¿en qué rela- kilogramo.00 el litro y se acaba de llenar con agua.24. se está vendiendo a S/. 50 litros de 25 litros de otro aceite de S/.00 el litro y 40 litros de vino de S/.5.20 Resolución: por kilogramo? Resolución: Rpta: Rpta: 69 .4.00 el litro.30 el kilogramo. ¿cuánto se ¿Cuál es el precio de venta por litro si se quiere está ganando por litro vendido? ganar el 25% del costo? Resolución: Resolución: Rpta: 2 Un bodeguero compró 36kg de té a S/.16. Si la mezcla S/. Si combina una mezcla de 72˚? las tres cantidades.1.3.5.00 el litro 3 En un tónel de 100 litros de capacidad se echan con 20 litros de otro aceite de S/.12. 22kg de té a S/.15 el Rpta: 4 Si tenemos alcohol de 80˚ y de 60˚.12 el kilogramo y ción están los volúmenes a mezclar para obtener 42kg de té a S/.Aritmética 1 Mario mezcla 35 litros de aceite de S/. 9. ¿cuánto se recaudará si se vende toda la mezcla? 8. Se mezclan tres tipos de té. ¿Cuántos kilogramos se deben tomar del primero para obtener 60kg de plata con una ley de 0. S/.17.10 y S/. 70 10.70.6 respectivamente. ¿Qué peso debe tomar del primer lingote si el peso tomado del tercero debe ser el doble del peso tomado del segundo? .850 y 0. Un joyero tiene tres lingotes de plata cuyas leyes son 650.4° de pureza? 9. resultando un precio medio de S/.18 el litro. Sabiendo que por cada tres litros del segundo hay cuatro litros del tercero. Se mezcla 45 litros de vino de S/. ¿Cuál es el precio por kilogramo de la Resolución: segunda cantidad de azúcar? Resolución: Rpta: 7. Se disponen de lingotes de plata cuyas leyes son 0. ¿Cuál es la pureza de este último alcohol si la mezcla tiene 68.825? 11. con vino de S/.20 el litro con vino de S/.14.12 el litro y con otro de S/.5to Secundaria 5 Se ha mezclado 120 kg de azúcar de S/. cuyos pesos son proporcionales a los números 4.3 el 6 Si fundimos 200g de oro de 18 kilates con 300g kilogramo con otra cierta cantidad de azúcar. 3 y 8 además sus precios por kilogramo son S/. Rpta: Se mezcla 90 litros de vino de S/.775. Se quiere formar un lingote que pese 20kg y tenga una ley de 755 milésimos empleando un poco de los tres lingotes. ¿a cómo se debe vender el kilogramo de mezcla? 12. en kilates? ha obtenido como precio medio por kilogramo S/.12 el litro y con un tercero de S/.20 el litro.15 el litro. Si se desea ganar el 25% del costo. de oro de 21 kilates y con 400g de oro de 14 cuyo peso representa el 20% del peso total y se kilates. 700 y 800 milésimos. Se han mezclado 50 litros de alcohol de 96° de pureza con 46 litros de alcohol de 60° y 54 litros de otro alcohol. resultando un precio medio de S/. ¿cuál es la ley de la aleación. halla la cantidad total de la mezcla. Sabiendo que por cada cinco litros del segundo hay siete litros del tercero.2. obteniéndose una ley de 0.900 Con dos clases de azúcar de S/.25 kg 10.5 c) 15 e) 16 12. Si el más pesado es de 21 kilates y el menos pesado de 18 kilates.925 c) 0.915? a) 2.5 por kilogramos y 50kg de S/.20 el kilogramo. 11. 16 e) S/. ¿de cuántos kilates es el intermedio.8 el kilogramo y los mezcló con 80kg de café de S/.00 b) S/.60 Un comerciante compró 120kg de café a S/.850 respectivamente.05 d) S/. 16.950.75 2. ¿cuál es el precio de venta por litro? a) S/. 1.950 se debe emplear para obtener una aleación de 0.900. Se funde con otras dos barras cuyos pesos están en la relación de 2 a 3 y sus leyes son 0. Un comerciante ha mezclado tres tipos de arroz: 80kg de S/2. 2. ¿En qué relación se debe mezclar dos cantidades de vino cuyos precios unitarios son S/.4. 21 6. 17. para esto se disponen de 24 litros de vino de S/.50 c) S/.5 kg e) 3.00 4.48 e) S/. ¿Cuál es el peso de toda la mezcla? a) 90 kg b) 75 kg d) 60 kg 8. ¿Cuál es la ley de la aleación? a) 0. la segunda pesa 120g más y su ley es de 0.910 e) 0.7 e) 86.20 y S/. Tenemos 54 litros de alcohol de 90° y se mezclan con 81 litros de otro alcohol de 72°. ¿A cómo debe vender el kilogramo de la mezcla si quiere ganar el 25% del costo? a) S/.2 por litro. de tal manera que del más barato se tenga 25 kg menos que del más caro.0 kg b) 2.60 d) S/. a) 9 kg b) 8 kg d) 4 kg c) 5 kg e) 3 kg 71 . la primera pesa 240 g y tiene una ley de 0. 120kg de S/. c) S/.950.850. 1.4 b) 64. 50 litros de vino de S/.18 el litro y 40 litros de vino de S/. ¿Cuál es el precio por litro del segundo vino? a) S/.24 el litro. 13.5kg y una ley de 0.8 d) 43. 12. 3. Una barra de plata pesa 5kg y tiene una ley de 0. ¿Qué cantidad de plata de ley 0.4 Se tiene una barra de plata de 3. Si al venderlo se desea ganar S/. ¿Cuántos kilogramos de carbón con 9% de humedad se deben mezclar con carbón de 5% de humedad para obtener una mezcla de 76kg de carbón con 6% de humedad? a) 20 b) 19 d) 18 c) 21 e) 32 11. ¿Cuántos litros de agua deben añadirse a esta mezcla para obtener una mezcla de 60° de pureza? a) 81. 3 y 7. 14. se quiere hacer una mezcla de S/.14? a) 1 : 2 b) 1 : 3 d) 2 : 3 5.20 e) S/.0 por kilogramo. Los pesos de tres lingotes de oro están en la misma relación que los números 2.00 y S/.5 por kilogramo. c) S/.5. 20 d) S/.860.915 d) 0.Aritmética 1. c) 1 : 4 e) 2 : 5 Se quiere preparar una mezcla de 40 litros de vino que cueste S/.5 d) 15. si luego de fusionarlos la ley resultante fue de19 kilates? a) 14 b) 14. Halla el peso de la segunda barra.25 kg c) 1. 12.12 para obtener una mezcla con un precio unitario de S/. 11.96 b) S/. 15.50 d) S/.80 7. 18.92 En un barril se mezclan 60 litros de vino de S/. c) 120 kg e) 150 kg c) 32. 1.12.1.20 b) S/.5 kg d) 2.00 e) S/.4.800 y 0.80 el kilogramo.2 9.2. 18 Se funden dos barras de plata. c) S/.10. 15 b) S/. 2.15 el litro.930 b) 0. ¿Cuál es el precio medio de un kilogramo de la mezcla? a) S/.28 el litro y 16 litros de vino de otra calidad. K = 1 + 3. Donde: n: número total de datos disponibles.5to Secundaria 11 Estadística I DEFINICIÓN DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Es una ciencia que nos porporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección. Ejemplo: Sea el intervalo [Li . clasificar. INTERVALO DE CLASE O CATEGORÍA (Li): Son grupos que resultan de dividir el alcance o recorrido. Ejemplo: La edades de los alumnos de la UNI. Ejemplo: Las edades de los alumnos de la facultad de Mecánica. ANCHO DE CLASE (W): Es la diferencia que hay entre los extremos de cada intervalo de clase. clasificación. CLASES DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Es la parte de la estadística que trata de recopilar. Li+1〉 W = Li+1 – Li también : W = R K .32 logn (redondeando al entero superior e inferior según convenga). Muestra Es el subconjunto tomado al azar de los elementos de una determinada población. ESTADÍSTICA INFERENCIAL Es la parte de la estadística cuyo objeto de estudio es investigar cómo deben ser utilizados los datos para producir resultados o probar alguna hipótesis. Observación: La diferencia entre la estadística descriptiva y la inferencial es que la segunda usa el cálculo de la probabilidad. presentar y describir datos estadísticos. análisis e interpretación de datos en forma adecuada con el fin de realizar una teoría de decisiones más efectivas. Consiste en distribuir los datos de la muestra de clase o categorías e ir colocando el número de datos que caen en cada intervalo. presentación. organización. RANGO O RECORRIDO (R): Es la longitud de alcance que resulta de la diferencia entre el mayor y menor valor. Población: Es un conjunto de datos referentes a determinadas características de un grupo de individuos o elementos. el número de grupos (K) se determina por la regla propuesta por Sturges. 72 DEFINICIONES PREVIAS ALCANCE (A): Es el intervalo definido por los datos extremos (mayor y menor valor). .. (n = número de datos) K = 1 + 3..+hk=1 Donde : i = 1.. .5 50 50 10 7 [ 53 ..61 ≅ 7 Li .. FRECUENCIA RELATIVA (hi): Viene a ser el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. 3. . 88 〉 4 47 84. Li+1〉 xi = Li+Li+1 2 Problema aplicativo: Se tiene los pesos de 50 estudiantes de la UNI con una aproximación de 1 kg. H1 = h1 j H2 = h1 + h2 Hi= hj H3 = h1 + h2 + h3 j=1 ∑ H(k)= h1+h2+h3+.5 50 50 50 3 [ 88 . 73 67 67 60 61 67 57 59 57 77 69 76 52 69 72 76 77 94 77 93 79 70 68 72 63 47 82 70 67 80 70 85 70 73 58 58 67 68 66 86 79 88 67 54 56 64 46 63 84 74 Calculando el alcance: Dato mayor : 94 Dato menor : 46 A = [ 46 ... F1 = f1 F2 = f1 + f2 F3 = f1 + f2 + f3 F(k) = f1+f2+f3+. Ejemplo: Suponiendo «k» intervalos. hi= fi n FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (Fi): Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias absolutas.Aritmética MARCA DE CLASE (x): Son los puntos medios de los intervalos de clase. Ejemplo: Sea el intervalo [Li .5 50 50 16 6 [ 60 .+fk=n Donde n : número de intervalos. k FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (H) Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias relativas. 81 〉 8 43 77. 53 〉 3 3 49. 3. Li+1 Tabulación fi Fi hi Hi xi 3 3 [ 46 . 2. Fi= i ∑f j j=1 Donde : Calculando el ancho de clase: W= R K = 48 = 6.5 50 50 FRECUENCIA ABSOLUTA (fi): Es el número de datos que caen dentro de cada intervalo de clase. k 73 .5 50 50 35 19 [ 67 .5 50 60 43 8 [ 74 . 60 〉 7 10 56. 67 〉 6 16 63..86 ≅ 7 7 Con los siguientes datos encontrados haremos una tabla de distribución de frecuencia. 2. 94 ] Calculando el Rango: R= 94 – 46 = 48 Calculando el número de intervalos: Si n = 50. 74 〉 19 35 70. i = 1. 95 〉 3 50 91.5 50 50 47 4 [ 81 .32 log(50) = 6. 360° x = = 144° 150 60 x H2 = 7 3 + 50 50 H3 = 7 3 + + 50 50 H4 = 3 + 50 7 + 50 +6 50 H5 = 3 + 50 7+ 50 6 + +19 50 50 H6 = 3 + 50 7 + 50 6 19 8 + + + 50 50 50 4 50 4 3 7 6 19 8 H7 = + + + + + + 50 50 50 50 50 50 3 50 74 12 16 20 GRÁFICO DE SECTORES Calculando las frecuencias relativas 3 h1= 50 8 En porcentaje: 360° 100% 144° .5to Secundaria Calculando las frecuencias absolutas Del conjunto de datos se puede observar cuantos de éstos caen en cada intervalo de la distribución de frecuencias. Calculando las frecuencias absolutas acumuladas F1 = 3 F2 = 3 + 7 F3 = 3 + 7 + 6 F4 = 3 + 7 + 6 + 19 F5 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 F6 = 3 + 7 + 6 + 19 + 8 + 4 F7 = 3 + 7 + 6 + 1 9 + 8 + 4 + 3 GRÁFICOS Histograma: Son diagramas de barras o rectángulos cuyas bases son los intervalos de clase y las alturas las frecuencias absolutas o relativas. este número de datos se irá colocando en sus respectivos casilleros hasta llenar toda la columna.° de Expresado Expresado Personas en grados en porcentajes 60 Álgebra (X) 20 30 Trigonometría (T) 3 h7= 50 40 144° 48° 72° 96° 40 % 13.3 % 20 % 26.7 % Total 150 Calculando acumuladas 3 H1 = 50 las frecuencias relativas En grados: 150 360° 60 . fi Histograma 7 6 5 4 3 2 1 0 Polígono de Frecuencia 4 h3= 6 50 h2= 8 h5= 50 7 50 Preferencia h4= 19 50 Aritmética (A) 4 h6= 50 Ii Geometría (G) N. 100% y= = 40% 360° 144° y 6 50 19 50 8 50 . 30> 60 [30.: 170% X 13.Aritmética Diagrama Escalonado: Son diagramas similares al histograma. con la diferencia de que las alturas son frecuencias absolutas o relativas acumuladas. obteníendose: Edades N° de empleados [25. > [ .3% 2) Dada la siguiente distribución de frecuencias en base al ingreso familiar de 450 familias: Grados Ingreso 144° [ . 40> 120 [40. f > a [240. Empleados con más de 30 años: f2+f3+f4+f5=75+120+85+60=340 13 6 Diagrama escalonado ⇒ A= Ii Empleados con menos de 45 años: f1+f2+f3+f4=60+75+120+85=340 2 4 8 12 16 20 ⇒ B= Porcentajes A 40% G 20% T 26. > 72° 48° 96° [ . > F 80 2a+40 [ .7% 340 x100%=85% 400 340 x100%=85% 400 ⇒ A+B=85%+85%=170% Rpta. 35> 75 [35. ¿cuántas familias tienen un ingreso comprendido entre 300 y 380 soles? Resolución: 1) En una empresa se realizó una encuesta sobre las edades de los empleados. 50> 60 Se cumple: 240+4w=400 w=40 También: f1=Fi=a F3=fi+f2+f3 ⇒ 5a=a+80+2a+40 a=40 5 También: ∑ fi=450 i=1 ⇒ 60+80+160+f4+40=450 f4=110 75 . 400> 5a a-20 Si el ancho de clase es constante. 45> 85 [45. Fi Resolución: Ojiva 20 17 Donde A es el porcentaje de empleados con 30 años o más y B es el porcentaje de empleados con menos de 45 años Halla: A+B. 23> 8 6.45> → x [40.2% [19. 17> 36 28.4% 2 2 Rpta.: 46. ¿Qué porcentaje de ingresantes tienen entre 18 y 22 años? fi Rpta.6% [21.8% 70 30 [17.4% 21 22 23 De la ojiva se forma la tabla: De 18 a 22 se tendrá: 76 Sueldos Fi fi [10. 20> 30 30 [20. 30> 70 40 [30.: 210 54 36 3) La siguiente ojiva muestra las frecuencias absolutas acumuladas correspondientes al ingreso diario (en soles) de un cierto número de empleados. 60> 200 20 43. 280> 80 [280.2% Resolución: 21. 400> 40 } [40. } x= 60(45-40) =30 50-40 Entonces entre 20 y 45 hay 90+30=120 Rpta. 21> 27 21.° de empleados 15 17 19 21 23 Edades 0 Resolución: 200 180 I fi hi (%) 120 [15.40> hay 40+50=90. 50> 180 60 [50.2% 6.50> →60 Entre 300 y 380 soles. lo que corresponde a [40. 40> 120 50 [40.4% .6%+ =46.6% 17 18 19 6.45> lo averiguamos mediante una interpolación.4% +21.: 120 f3 = 160 f4 =110 f5 = 40 280 300 320 360 380 400 80 20 80+110+20=210 4) El histograma muestra la distribución de frecuencias de las edades de los ingresantes a cierta facultad. 27 8 N.4% 0 10 20 30 40 50 60 Ingresos ¿Cuántos empleados ganan entre 20 y 45 soles? Total 125 43.5to Secundaria En la tabla: En [20. 240> 60 [240. 19> 54 43. 360> 110 [360. Ingreso fi [200. 320> 160 [320. 4. 3. 2. 3. 2. 2. ¿en qué porcentaje es mayor? colegio MENTOR. 3. pero menos de cuatro. 4.° de alumnos Resolución: 40 30 25 20 0 Lun Mar Jue Vie ¿Cuántas tardanzas se registraron en toda la semana? Resolución: Rpta: 2 Del ENUNCIADO 1: Rpta: 4 Al averiguar el número de hijos de 20 familias se ¿Qué porcentaje del total de tardanzas se registró obtuvo los siguientes datos: el día viernes? 3. fi 1 N. Resolución: Rpta: Rpta: 77 . 0. 4. 1. 1. 3 Determina qué porcentaje de familias tiene dos Resolución: hijos más.Aritmética 1 3 Del ENUNCIADO 1: ENUNCIADO 1: El siguiente diagrama muestra el número de El número de tardanzas del viernes. 5. 4. con respecto alumnos que llegaron tarde la semana pasada al al día jueves. 0. 1. 3. 2. 85 . en miles de dólares. Vivienda 10% Otros 54° Observa el siguiente histograma de frecuencias y 20 17 Alimentación 20% 10 4 Educación 45% 5 10 15 20 25 Clases ¿Qué se puede afirmar si la persona tiene un xi fi Fi 0–5 ingreso de S/. 30> [30. Rpta: La tabla muestra la distribución de frecuencias (fi) de un conjunto de niños.50. 20 – 25 Calcula x3 + f5 + F4 + n. 10 – 15 II. Gasta igual en vivienda y en ropa. 300> 0. 300? 5 – 10 I. I. El siguiente cuadro corresponde al ingreso semanal (en soles) de cierto número de obreros. sobre sus edades: Edades (años) fi 6 4 8 6 10 2 12 7 ¿Cuántos niños tienen 8 años? ¿ Cuántos niños tienen más de 8 años? ¿Cuántos niños tienen por lo menos 10 años? ¿Cuál es la frecuencia absoluta de los niños que tienen 12 años? La inversión anual. 15 – 20 III. 60> 0. Determina la mayor frecuencia. 50> 30 [50. Dada la siguiente distribución de frecuencia halla: f1+f3+F4 Ii fi Fi hi Hi [10. 135 en educación.30 [200.5to Secundaria 5 6 Para el siguiente gráfico: Ropa 36° completa la tabla de frecuencias que está debajo. Resolución: Resolución: Rpta: 7. 150> fi hi Fi Hi 50 [150.95 5 10.260. 40> 24 [40. 250> [250. de una muestra de 40 pequeñas empresas fueron: 31 15 36 25 17 39 19 28 27 18 29 33 20 30 37 28 28 41 33 22 10 26 27 23 34 12 24 31 25 46 26 29 4 18 27 35 24 23 31 21 Si se construye una distribución de frecuencias de 7 intervalos de clase. 8. La persona gasta S/. En alimentación gasta S/. Calcula cuántos empleados se estima que ganan entre S/. Calcula qué porcentaje de empresas invirtieron entre 14 mil y 20 mil dólares. 200> 0.125 y S/.3 0. 20> 0. I [100. 78 9.1 [20. II. calcula: a+d+e+q+k+m+f3+x1 Ii xi fi Fi 12.M. 6 Calcula: hi 4 c) 250 Se afirma: I. 5.25 d) 0. 7. d > 10 [ 80 . Destina un 30% a la alimentación. xi fi Ocupación N.70 2.: _____________ La frecuencia del 6.N.20 e) 0. [ a . f > 2k [ p . En la siguiente tabla de distribución simétrica de frecuencias. Son ciertas: a) Sólo I b) I y II c) Sólo II d) II y III e) Sólo III 79 .° de personas Administradores 120 50 80 90 60 n=400 Ingenieros Abogados Obreros Secretarias Fi 1. Del ENUNCIADO 1: ¿Cuál es la frecuencia relativa de los abogados? a) 0. b > [ c . de ancho de clase constante.M. 6 . q > k * 100 95 65 50 30 n = 60 0 ENUNCIADO 1: Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de trabajadores de un ministerio. 5. a) 30% d) 50% 8 10 4. 10.: _____________ La frecuencia absoluta del 10. 4 .80 a) b) c) 5. Destina el 40% a la educación.S. de acuerdo a su ocupación. 4. El siguiente cuadro muestra la ojiva de las frecuencias relativas acumuladas de las notas de un examen de ingreso a la U. Dados los datos: 10. b) 0. 100 > m [ e .40 108° Educación c) 25% Del ENUNCIADO 1: Halla F3. Rpta. II.: _____________ 144° Otros b) 40% e) 20% 16 20 Notas Alimentación Del ENUNCIADO 1: Halla el porcentaje de administradores. III. 3. Completa la tabla. Determina qué tanto por ciento de alumnos tuvieron una nota entre 9 y 15.Aritmética 11. Rpta. a) 200 d) 400 La frecuencia del 4. El 30% lo dedica a otras actividades. 10. Rpta. b) 220 e) 180 Dado el gráfico: (presupuesto de un estudiante) c) 0. 7. En el siguiente pictograma se muestra las preferencias de la cantidad de alumnos referentes a los cursos A. T. 0. F y Q. calcula: f2-f1+n fi hi Fi Hi Clases [10. 33 > 0. [12. 80 [50. El mayor crecimiento ocurre durante el año 88. c) 60% e) 80% b 160 A G 16% 10% 6.3 [ 39 . La distribución de edades de 100 trabajadores es: ¿Cuántas personas tienen menos de 33 años? a) 21 b) 20 d) 16 X X c T 48 64 Q c) 20 e) 70 c) 18 e) 25 12. III.10 [ . 51 > 0. 18> 0 0.8 c) 104 e) 106 11. G. Tiene dos años con iguales crecimientos. 40> a) Sólo I b) Sólo II d) I y II 7. 24> -5 84 85 86 87 88 fi hi Fi Edades 2 años Se afirma: I. así mismo se indica los porcentajes: Calcula a+b+c+d+e+f.3 [40.° de hijos 0 1 2 3 4 8 12 m n 20 a) 20 b) 12 d) 10 c) 15 e) 9 Del siguiente cuadro acerca del número de entenados que tienen los casados con viudas. 27 > 8 [ 27 .° Entenados fi hi 20 0. De la siguiente tabla de distribución de frecuencias. crecimiento 5 Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias e indica qué tanto por ciento del total tienen edades desde 20 hasta 33 años.1 [ 33 .25 N. G Halla x. 60> 20 0. c) Sólo III e) II y III La tabla muestra la distribución de frecuencias de 50 familias según el número de hijos que poseen.16 2 x 3 15 4 30 5 0. X. 30> [30. a) 30 b) 60 d) 50 25 Ii fi Fi hi Hi [ 21 . 36> 20 a) 40% b) 50% d) 70% 10. 45 > [ 45 . II. 50> a) 102 b) 103 d) 105 fi ¿Cuántas familias tiene un solo hijo? 8. N. T d% f F a) 135 b) 136 d) 138 e% A a% 6% Q c) 137 e) 139 F .1 [20.30 [ . Su mínimo crecimiento se da en el año 86. 30> 40 [ . 20> Son ciertas: 0. 39 > 0.5to Secundaria Del siguiente gráfico: 9. 30 14 + 27 = 20. la distribución es multimodal. Ejemplo: • Mediana (Me): El valor mediano o mediana de un conjunto de valores o datos es aquel que tiene la propiedad de dividir al conjunto en 2 partes igualmente numerosas. Para dictar la clase de aritmética poseo 6 tizas de diferentes colores. Ejemplo: • Media (Ma): Llamada también «promedio aritmético» o media aritmética de los datos.5 2 Que se han repetido: Su nota media o promedio será: 27 por lo tanto la mediana será: 8. 11 2.Aritmética 12 Estadística II MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (ESTADÍGRAFOS) Describen el comportamiento del grupo de valores en estudio de una característica de la muestra. bimodal. cuyos pesos. los cuales están ordenados de mayor a menor. trimodal.125 8 Antonio aprobó el curso. 32 • Moda (Mo): Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos. Si el número de elementos fuese par hay 2 elementos en el centro y como mediana tomamos el promedio de ambos. 1. ordenados de menor a mayor. 2 y 3. 12. son: 220 180 110 110 100 por lo tanto la inteligencia mediana de los alumnos será de 110. 10. fueron: 10 10 8(2)+12(1)+10(2)+11(3) = 10. Así tenemos para datos no clasificados: M E D I A . etc. A una distribución que tiene una sola moda se le denomina unimodal. son: Ejemplo: Las notas del joven Antonio en su primer ciclo en la UNI en Matemática I. veces 14 Las edades de los alumnos ingresantes a la facultad de Ingenería Mecánica fueron: de 16 años 25 alumnos de 17 años 32 alumnos 81 . M E D I A N A Y M O D A PA R A D ATO S N O CLASIFICADOS Ejemplo: Se observó que el coeficiente de inteligencia de 5 alumnos de la UNI. Si hubiese más de dos valores no adyacentes con frecuencias máximas similares. 9〉 8 5 40 [9 . [30 . Ejemplo: m -f 2 m-1 Fm Donde: Lm: Límite inferior de la clase mediana.15〉 14 2 28 [15 .4400〉 120 200 [4400 .13〉 12 6 72 [13 . Li +1〉 xi fi xifi 6 [5 . m: Número total de datos. Fm: Frecuencia absoluta de la clase mediana.9 20 • Mediana (Me) Me = Lm + Wm d1 d1 + d2 Mo = Lo + Wo Donde: Lo: Límite inferior de la clase modal. M E D I A .4800〉 99 424 [4800 .8 = 2 Mo = 30 + 10 82 8 8+2 = 38 .85〉 Total fi 2 10 8 6 2 d1 d2 28 Clase modal: Aquel que posee la mayor frecuencia absoluta. i i [4400 .40〉 [40 .65〉 [65 .5200〉 78 590 [5200 . d1: Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y de la clase anterior.5400〉 10 600 Total 600 por lo tanto la moda de edades será 18.55〉 [55 .7〉 6 1 [7 .200 =4560 2 125 Me=4400+200 Ejemplo: [Li .17〉 16 2 32 Total 20 218 Ma = • Moda (Mo) 218 =10.2 = 8 d2 = 10 .4600〉 125 325 [4600 .40〉 d1 = 10 .11〉 10 4 40 [11 . M E D I A N A Y M O D A PA R A D AT O S CLASIFICADOS • Media Aritmética(Ma) k Ma = n Σ i=1 xi hi Σxf i=1 = n Clase mediana: Aquel que supera por primera vez a la mitad del número de datos.5to Secundaria de 18 años de 19 años de 20 años de 21 años de 22 años 46 alumnos 23 alumnos 40 alumnos 27 alumnos 12 alumnos Ejemplo: [Li . d2: Diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia de la clase siguiente. fm-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase que precede a la clase mediana.30〉 [30 .4200〉 80 80 [4200 .4600〉 600 . [Li . Li -1〉 [20 .Li +1〉 xi f i [4000 . Wm: Ancho de la clase mediana.5000〉 88 512 [5000 . Wo: Ancho de la clase modal. Me y Mo.3 Término central Me = 10 las notas aprobatorias son: 11. 24〉 [24. 1200] 100 10 1100 clase mediana clase mediana clase modal Para el cálculo de x.: 3 3) De la siguiente ojiva de los sueldos de los empleados de una empresa. 8. 12〉 [12. 28〉 Hi a 2a 4a 7a 11a 12a 90 60 35 15 I 200 400 600 800 1000 1200 Resolución: Formemos la siguiente tabla: Calcula la suma de la media aritmética. 10. 1000] 90 30 900 〈1000. 400] 15 15 300 〈400. 800] 60 25 700 〈800. 600] 35 20 500 〈600. 8〉 [8.28 7 iii) Mo = 20+ Me : se ordena las 7 notas: 8. 10. 12. 9. Fi 2) Conocida la siguiente distribución de frecuencias relativas acumuladas: Ii [4. ¿Cuántos aprobaron? x= 17. 11. 20〉 [20. Resolución: De la tabla se forma: Relación hi Relación Hi 1 1 1 2 2 4 3 7 4 11 1 12 100 Ii F f x 〈200.1) 1 Luego: x +Me + Mo = 57 = 57.6 ii) Me = 16+ 4x (12/2 .3) = 21 (4 .3)+(4 .4) = 18. basta tomar la relación en que aparecen: hi (ó fi) y Hi (ó Fi) I) Cálculo de la media: x = Σ xifi = Σ fi 300(15)+500(20)+700(25)+900(30)+1100(10) 15+20+25+30+10 = 700 83 .Aritmética 1) Las notas de 7 alumnos son: 08. halla en qué proporción se encuentran la media y mediana. 09.3 3 Rpta. 08. 14 un alumno aprueba si su nota es mayor que la media o que la mediana. la mediana y la moda. 14 4x (4 . 12 y 14 Rpta.6 3 Resolución: x= i) x= 1(6)+1(10)+2(14)+3(18)+4(22)+1(26) 1+1+2+3+4+1 8+9+10+11+8+12+14 =10. 11. 16〉 [16.: 57. 12. 9.+x8 8 Se obtiene: x+y = 5 .5to Secundaria II) Cálculo de la mediana: El intervalo de clase mediana es el tercero.: 36 35 4) En el siguiente gráfico de frecuencias: fi Resolución: 20 fi = 100 = x1 + x2 +.A. debe corresponder Mo = 5 donde x > y.: 8 84 Total: 100 (x .. halla la M.. 14〉 13 [14.9 Se obtiene: a = 8 Rpta. de (α) y (β): x = 3 ∧ y = 2 0 a 12 14 16 x x= Si la M. porque de los 100 datos su mitad es 50.3 Σ fi 100 Rpta.A.. halla "a".y)= 1 . 16〉 15 fi 4 8 20 8 Total 40 12+a a (4)+ 8+13x20+15x8 2 2 ⇒ x= 40 Como: x = 11.y = 1 .3 Resolución: Llevando a una tabla: Ii xi [0. xi fi 3 10 4 12 5 18+x 6 18+y 7 4 8 8 9 15 10 10 200 100 -35 = 720 Xm = 600+ 25 2 Piden: 720 36 = 700 35 Rpta.. luego x . (α) 4 como la moda es impar.. y está en dicho intervalo: 5) Si la moda de la variable aleatoria x es un número impar. (β).: 6. 12〉 (12+a)/2 [12.. es 11. a〉 a/2 [a. Σ xifi 630 = = 6. 13.Aritmética 1 Dado el siguiente conjunto de datos: 3 Dada la distribución: 6. 12. 4.150> 2 3 5 2 4 [150. Resolución: Ii [35. Resolución: Rpta: Rpta: 85 .200> 4 Determina la media de los sueldos diarios. 8. 7. 4. 80> [80 . Resolución: Rpta: 2 Rpta: 4 En la siguiente distribución: Edades (años) 20 22 24 26 28 fi Dado la siguiente tabla de frecuencias respecto al sueldo diario de 20 empleados de una empresa: 5 4 6 3 2 Halla el promedio entre la mediana y la moda.85> 13 Determina la suma de la media. 15.55> 8 [55. 8 Calcula la media aritmética. 50> [50 . Resolución: Ii fi [20 .75> 15 [75. 13. 8.45> fi 4 [45. moda y mediana. 60> [60 . 12.65> 10 [65. 7. mediana y moda.100> [100. 8. 8. fi hi Fi Hi > > > > [ . Se hizo una encuesta sobre el número de personas aficionadas a las matemáticas y se les clasificó por edades. . 13. 10. 12. Rpta: Del ENUNCIADO 1: Calcula la media para los datos sin agrupar. Luego se hizo el siguiente histograma. 14 Agrupa los datos en intervalos de ancho común igual a 4 y completa la siguiente tabla. 11. 10. de Estadística recogiéndose los siguientes datos: 3. 13. Dado el siguiente histograma: Cantidad de cajas Del ENUNCIADO 1: Calcula la mediana para los datos sin agrupar. 2. 9. 7. 15 Resolución: 7. 11. 10. > ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso según los datos originales? Resolución: Rpta: 7. 848484. [ .. a 30 10 fi 35 30 25 20 15 10 edad 10 20 30 40 50 60 70 Determina la mediana.. Intervalo de clase <0 .5to Secundaria 5 6 ENUNCIADO 1: Se analiza las notas de 20 alumnos en el curso Del ENUNCIADO 1: Calcula la moda para los datos sin agrupar. 9. 6. [ . [ . 10. 86 20 30 40 50 60 70 Pesos Halla "a" si la media es 49. 16. 60 45 9. 4. 3 d) 11 c) 11.Aritmética 11. c) 25. A.2 5 15 18 30 35 Determina la moda. Dado el siguiente histograma y su correspondiente poligonal de frecuencias: 12.8〉 [8 . 20. Calcula la moda. 14. 12.6〉 [6 . a) 10 b) 10. 11 a) 26.7 Ii 5. 10. 09. a) 44 5 /8 b) 12 1/3 d) 24 1/6 4. las notas de once alumnos fueron: 04.7 e) N. 3. 1. 11 que se han repetido 2.2 e) 10. recogiéndose los siguientes datos: Calcula la media. 10.10] a) 4 b) 6 d) 3 fi 2 4 6 4 2 c) 7 e) 5 87 . De la siguiente distribución de frecuencias: Ii fi [10 . 12 7. 30> [30 . 8. mediana y moda. 8. 30 40 50 60 Luego de un examen. Dado el siguiente gráfico.4〉 [4 . 10.9 d) 26. 12. Las notas de Juan en el primer ciclo en la UNI fueron: 8. a) 20 b) 30 d) 32 4. 2. c) 34 1/5 e) 42 1/6 A continuación se muestra el número de hijos que posee cada una de las 18 familias de un pueblo joven elegida al azar. 06. 11. 8. 60> 2. 40> [40 . determina la mediana. 11.2 b) 25. 3 veces respectivamente Calcula su promedio (redondear). Número de hijos [0 .2〉 [2 . 12 y 15 Calcula la suma de la mediana y la moda. 50> c) 22 e) 24 [50 . 8. Fi Marca de Clase fi 60 50 30 18 22 6 18 20 40 60 80 100 12 Ii 20 1. 13. 20> [20 . Se tienen las notas de 20 alumnos en el curso de Matemática I. 17. 3. 9. 5. 8. 6. 10. 11. 15. 13. 70〉 [70 . Halla la media de la distribución cuyo histograma se muestra. 9.65> [65.55> [55.85> [85. Dado la siguiente ojiva acerca de las edades de cierto número de alumnos.45 30 26 0.90] fi 2 a) 74 b) 75 d) 77 4 10 6 c) 76 e) 78 Dado el siguiente histograma.5to Secundaria 6.84 d) 62.75> [75. 60〉 [60 . a) 61. 26> 12 20 40 10 a [26 .25 Dada la distribución: Ii [35.60] fi 10. 2 3 5 6 12 hi 0.25 0.6 e) 14. a a) 43 b) 46 d) 47 7. 50〉 [50 . A.30〉 [30 . Se muestra la frecuencia de la cantidad de bolas metidas en 2 horas por Renzo y sus amigos: Ii [10 . 30> b c) 15.45> [45.67 b) 61. Halla la mediana de la siguiente distribución cuyo tamaño de muestra es 80.50〉 [50 . 22> [22 .8 12.95> 0.54 e) 59.25 e) 47. 10> [10 .10 20 12 7 12 17 22 b 4 5 10 15 20 25 30 Hi a) 18 2/3 b) 17 2/3 d) 18 1/3 88 Ii a) 19.72 Se muestra las frecuencias absolutas de los sueldos anuales en miles de soles de un grupo de trabajadores: Sueldos [40 . a c) 46. c) 60.55 0.30 c) 17 1/3 e) 16 2/3 a) 22% b) 18% d) 23% c) 21% e) 20% .80〉 [80 . 0 20 40 60 80 100 Ii a) 32 b) 39 c) 36 d) 38 e) N. halla la mediana. determina la mediana de la distribución: fi Fi [6 .20 Calcula la mediana.6 b) 12.21 8.40〉 [40 . ¿Qué porcentaje tienen entre 10 y 15 años? Hi a 0. 18> [18 .20〉 [20 .6 8 Calcula la moda. 14> [14 .40 0.6 d) 14. sabiendo que el tamaño de la muestra es un número de 3 cifras. fi 5 12 18 14 6 3 11.