Universidade Federal do ABCSanto André - SP Fundamentos de Astronáutica ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Maria Cecília F. P. S. Zanardi 2015 cujo vetor posição em relação ao CM do corpo é 𝜌 e a posição em relação ao sistema inercial é 𝑟: dT = ½ ( 𝑉 2 dm) sendo 𝑉 o módulo da velocidade absoluta de dm. ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO A energia cinética de um corpo rígido em relação ao seu centro de massa é denominada de energia cinética de rotação. sendo que o primeiro termo representa a energia cinética de translação (Tt). então o vetor velocidade 𝑣 é dado por: ⃗ = ⃗⃗⃗ 𝑉 𝑉0 + ⃗Ω ⃗ ×𝜌 sendo ⃗⃗⃗ 𝑉0 a velocidade da origem do sistema fixo no corpo com relação a origem do sistema inercial. 5. Se o sistema fixo no corpo (Oxyz) gira em relação ao sistema inercial (O’XYZ) com velocidade ⃗Ω ⃗ . como se toda a massa M estivesse concentrada no centro de massa se deslocando com velocidade ⃗⃗⃗ 𝑉0. ou seja 1 𝑇𝑡 = 𝑀 𝑉02 2 . Lembrando que: ⃗ ∙𝑉 𝑉 ⃗ = 𝑉 2 = 𝑉02 + (Ω ⃗⃗ × 𝜌) ∙ (Ω ⃗⃗ × 𝜌) + 2𝑉 ⃗⃗⃗0 ∙ ( ⃗Ω ⃗ ×𝜌) A energia cinética total é dada por: 1 𝑇= 2 ∫𝑀 𝑉 2 𝑑𝑚 1 1 𝑇= ⃗⃗ × 𝜌) ∙ (Ω 𝑀 𝑉02 + ∫ (Ω ⃗⃗ × 𝜌) 𝑑𝑚 + 2𝑉 ⃗⃗⃗0 ∙ ( Ω ⃗⃗ × ∫ 𝜌⃗⃗⃗ 𝑑𝑚) 2 2 𝑀 𝑀 O último termo se anula. esta energia está relacionada com o ⃗. momento angular 𝐵 Considere inicialmente a energia cinética (dT) de um elemento de massa (dm) do corpo rígido. pois o sistema fixo no corpo tem origem no CM. Como será visto. Permanecem então apenas os dois primeiros termos. tem-se: 1 𝑇𝑟𝑜𝑡 = ∫ [ 𝑤𝑥2 (𝑦 2 + 𝑧 2 ) + 𝑤𝑦2 (𝑥 2 + 𝑧 2 ) + 𝑤𝑧2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 − 2 𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝑥 𝑦 2 𝑀 − 2 𝑤𝑥 𝑤𝑧 𝑥 𝑧 − 2 𝑤𝑦 𝑤𝑧 𝑦 𝑧]𝑑𝑚 Lembrando das definições de momentos e produtos de inércia: 𝐼𝑥𝑥 = ∫𝑀 (𝑦 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑚.O segundo termo está associado com a energia cinética em torno do centro de massa. estes momentos e produtos de inércia são constantes e todo o corpo gira com a mesma velocidade ⃗Ω ⃗ . então: 2 𝑇𝑟𝑜𝑡 = 𝑤𝑥2 𝐼𝑥𝑥 + 𝑤𝑦2 𝐼𝑦𝑦 + 𝑤𝑧2 𝐼𝑧𝑧 + 2 𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝐼𝑥𝑦 + 2 𝑤𝑥 𝑤𝑧 𝐼𝑥𝑧 + 2 𝑤𝑦 𝑤𝑧 𝐼𝑦𝑧 (*) Esta expressão pode ser reescrita como: 2 𝑇𝑟𝑜𝑡 = 𝑤𝑥 [ 𝑤𝑥 𝐼𝑥𝑥 + 𝑤𝑦 𝐼𝑥𝑦 + 𝑤𝑧 𝐼𝑥𝑧 ] + 𝑤𝑦 [ 𝑤𝑥 𝐼𝑥𝑦 + 𝑤𝑦 𝐼𝑦𝑦 + 𝑤𝑧 𝐼𝑦𝑧 ] + 𝑤𝑧 [ 𝑤𝑥 𝐼𝑥𝑧 + 𝑤𝑦 𝐼𝑦𝑧 + 𝑤𝑧 𝐼𝑧𝑧 ] . 𝐼𝑦𝑦 = ∫𝑀 (𝑥 2 + 𝑧 2 ) 𝑑𝑚. 𝐼𝑧𝑥 = 𝐼𝑥𝑧 = − ∫𝑀 𝑥𝑧 𝑑𝑚. 𝐼𝑧𝑦 = 𝐼𝑦𝑧 = − ∫𝑀 𝑦𝑧 𝑑𝑚. 𝐼𝑥𝑦 = − ∫𝑀 𝑥𝑦 𝑑𝑚. 𝐼𝑥𝑧 = − ∫𝑀 𝑥𝑧 𝑑𝑚. 𝐼𝑦𝑧 = − ∫𝑀 𝑦𝑧 𝑑𝑚. Como o corpo é rígido. 𝐼𝑧𝑧 = ∫𝑀 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑚. 𝐼𝑦𝑥 = 𝐼𝑥𝑦 = − ∫𝑀 𝑥𝑦 𝑑𝑚. chamada energia cinética de rotação (Trot): 1 𝑇𝑟𝑜𝑡 = ⃗⃗ × 𝜌) ∙ (Ω ∫ (Ω ⃗⃗ × 𝜌) 𝑑𝑚 2 𝑀 Considerando ⃗Ω ⃗ e 𝜌. expressos no sistema fixo no corpo: ⃗ = 𝑤𝑥 𝑖̂ + 𝑤𝑦 𝑗̂ + 𝑤𝑧 𝑘̂ ⃗Ω 𝜌 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦 𝑗̂ + 𝑧 𝑘̂ A energia cinética de rotação Trot é dada por: 1 2 2 Trot = 𝑇𝑟𝑜𝑡 = 2 ∫𝑀 [ (𝑤𝑦 𝑧 − 𝑤𝑧 𝑦) + (𝑤𝑧 𝑥 − 𝑤𝑥 𝑧)2 + (𝑤𝑥 𝑦 − 𝑤𝑦 𝑧) ] 𝑑𝑚 Expandindo os termos. 𝑙𝑤𝑦 = . ou seja: 1 𝐼𝜀 = [𝑤 2 𝐼 + 𝑤𝑦2 𝐼𝑦𝑦 + 𝑤𝑧2 𝐼𝑧𝑧 + 2 𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝐼𝑥𝑦 + 2 𝑤𝑥 𝑤𝑧 𝐼𝑥𝑧 + 2 𝑤𝑦 𝑤𝑧 𝐼𝑦𝑧 ] 𝑤 2 𝑥 𝑥𝑥 A direção do eixo de rotação pode ser determinado lembrando que as componentes de 𝑤 ⃗⃗ no sistema fixo no corpo são dadas por: 𝑤𝑥 = ⃗Ω ⃗ ∙ 𝑖̂ = 𝑤 cos(𝑤.Ou ainda na forma de produto de matrizes: ⃗ 𝑡 ⃗⃗⃗⃗𝐼𝐼 ⃗Ω 2 𝑇𝑟𝑜𝑡 = ⃗Ω ⃗ Com o tensor de inercia ⃗⃗𝐼𝐼 ⃗⃗ dado por: 𝐼𝑥𝑥 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥𝑧 ⃗⃗⃗⃗𝐼𝐼 = ( 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑦𝑧 ) 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑧 Lembrando que o momento angular é dado por: ⃗ = ⃗⃗⃗⃗𝐼𝐼 ⃗Ω 𝐵 ⃗ A energia cinética de rotação também pode ser representada por: 2 𝑇𝑟𝑜𝑡 = ⃗Ω ⃗ ∙𝐵 ⃗ Se o sistema fixo no corpo coincide com o sistema principal de inércia. 𝑙𝑤𝑧 = . 𝑤 𝑤 𝑤 . então a partir de (*) tem-se: 1 2 𝑇𝑟𝑜𝑡 = 𝐼Ω (**) 2 𝜀 O momento de inércia 𝐼𝜀 pode ser determinado comparando (*) e (**). Logo o eixo de rotação 𝜀̂ é dado por: 𝜀̂ = 𝑙𝑤𝑥 𝑖̂ + 𝑙𝑤𝑦 𝑗̂ + 𝑙𝑤𝑧 𝑘̂ 𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝑤𝑧 Com: 𝑙𝑤𝑥 = . ⃗⃗⃗⃗ 𝑖̂) = 𝑤 𝑙𝑊𝑥 ⃗⃗ ∙ 𝑗̂ = 𝑤 cos(𝑤. 𝑤𝑦 = Ω ⃗⃗⃗⃗ 𝑗̂) = 𝑤 𝑙𝑊𝑦 ⃗ ∙ 𝑘̂ = 𝑤 cos(𝑤. então: 1 2 𝑇𝑟𝑜𝑡 = [𝑤 𝐼 + 𝑤𝑦2 𝐼𝑦 + 𝑤𝑧2 𝐼𝑧 ] 2 𝑥 𝑥 Se o sistema fixo no corpo é selecionado de modo que a velocidade de rotação é paralela a um dos eixos no instante em que a energia cinética de rotação é calculada. então somente uma componente de ⃗Ω ⃗ é não nula. 𝑤𝑧 = ⃗Ω ⃗⃗⃗⃗ 𝑘̂) = 𝑤 𝑙𝑊𝑧 Sendo w o módulo da velocidade de rotação ⃗Ω ⃗. Se 𝜀̂ é o eixo de rotação e 𝐼𝜀 o momento de inércia ao longo deste eixo. no qual os produtos de inércia são nulos.