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Gradientes y derivadas direccionalesAlexander Holguín Villa Departamento de Matemáticas, FCEN Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia e-mail: [email protected] [email protected] Abstract En la sección 2:1 estudiamos las grá…cas de funciones con valo- res reales. Ahora retomaremos este estudio usando los métodos del cálculo. Especí…camente, los gradientes se usarán para obtener una fórmula para el plano tangente a una super…cie de nivel. Keywords: Gradiente, derivadas direccionales, plano tangente.. 1 Gradientes y derivadas direccionales De…nición 1.1 Si , : l ¸ R 3 ÷ R es diferenciable, el gradiente de , en (r. ¸. .) es el vector en el espacio dado por \, = @f @x . @f @y . @f @z . Este vector también se denota por \, (r. ¸. .). Así, \, es simplemente la matriz derivada 1,, dispuesta como vector. Sea , : l ¸ R 3 ÷ R a valores reales ! ·. ! r ¸ R 3 y consideremos la función dada por t ÷ , ! r + t ! · . Note que el conjunto de puntos de la forma ! r + t ! ·, t ¸ R es la recta 1 que pasa por ! r y es paralela al vector ! ·, 1 dada por | (t) = ! r + t ! ·. Además t ÷ , ! r + t ! · = ,[ L : ¿Con qué rapidez cambian los valores de , a lo largo de 1 en el punto ! r? Dado que la razón de cambio de una función está dada por una derivada, la respuesta será: es el valor de la derivada de esta función de t en t = 0 (t = 0 ÷ ! r +t ! · = ! r). Esto debería ser la derivada de , en ! r en la dirección de ! ·. De…nición 1.2 , : l ¸ R n ÷R m . Dado ! n ¸ R n [ n ! C o , se de…ne , 0 ! c; ! n = lim t!0 , ! c + t ! n ÷ , ! c t siempre que este último límite exista. Nótese que este límite depende de ambos ! c y ! n, por lo que es denominado la derivada de , en ! c en la dirección de ! n, (En cálculo se requiere que este último vector sea unitario, pero tal condición no es necesaria). Ejemplo 1.3 , : R 2 ÷ R dada por , (r. ¸) = r¸. Determinar , 0 ! c; ! n , con ! c = (c 1 . c 2 ) y ! n (0. 1). 2 , 0 ! c; ! n = lim t!0 , ((c 1 . c 2 ) + t (0. 1)) ÷ , ((c 1 . c 2 )) t , 0 ! c; ! n = lim t!0 c 1 (c 2 + t) ÷ c 1 c 2 t = c 2 Teorema 1.4 Si , : l ¸ R 3 ÷R diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales (en dirección de ! n ,= ! C) existen y además , 0 ! c; ! n = \, ! c ! n Observación 1.5 Como , 0 ! r; ! n = \, ! r cos (o), para ! n = ^ n uni- tario y o = ¸ \, ! r . ^ n , por tanto: Se tendrá un máximo si o = 0 :cd y, en este caso \, ! r y ^ n tienen igual dirección y sentido. Ahora se tiene un mínimo si o = : :cd, luego \, ! r y ^ n tienen sentido contrario. Adicionalmente para una partícula que se de- splaza sobre la super…cie que de…ne ,, ésta lo hará a nivel constante, es decir . = /, si \, ! r ! n = 0, es decir \, ! c l ! n; así: Teorema 1.6 Supongamos que \, ! r ,= ! C. Entonces \, ! r apunta en la dirección a lo largo de la cual , crece más rápido. Ejemplo 1.7 (Dirección de máximo crecimiento) Si la temperatura en cada punto (r. ¸. .) viene dada por 1 (r. ¸. .) = 85 + (1 ÷ .,100) c (x 2 +y 2 ) hallar en 1 0 (2. 0. 99) la dirección en que la temperatura crece más rápido. \1 (r. ¸. .) = c (x 2 +y 2 ) (÷2r (1 ÷ .,100) . ÷ 2¸ (1 ÷ .,100) . (÷1,100)), así: \1 (2. 0. 99) = ÷ 1 25 c 4 . 0. ÷ 1 100 c 4 3 Para hallar un vector unitario paralelo al anterior multiplicamos la anterior expresiónpor 100c 4 , por tanto: ! n = (÷4. 0. ÷ 1) ÷ ^ n = 1 _ 17 (÷4. 0. ÷ 1) que es la dirección en la que 1 crece más rápido. Ejemplo 1.8 Calcular , 0 ! r. ^ n en 1 0 (0. 1) para el cual ^ n es unitario en la dirección de ! 1 0 Q, Q(3. 5). Además determinar en 1 0 , para el cual , 0 ! r. ^ n es máxima, si , (r. ¸) = c x tan 1 (¸). ! 1Q = (3. 4) ÷ ^ n = 1 5 (3. 4). Además , x = c x tan 1 (¸), , y = c x 1 + ¸ 2 , luego , 0 (0. 1) ; ^ n = ^ n \, ((0. 1)) = 1 5 (3. 4) (:,4. 1,2) = 1 5 3 4 : + 2 Ahora bien, 1 ^ u , es máxima cuando \, y ^ n tienen la misma dirección y sentido, por tanto: ^ n = \, ((0. 1)) |\, ((0. 1))| = (:. 2) _ : 2 + 4 luego para determinar , 0 ! r. ^ n es máxima si: , 0 (0. 1) ; ^ n = ^ n \, ((0. 1)) = _ : 2 + 4 4 Ejemplo 1.9 Suponga que la temperatura en un punto (r. ¸. .) ¸ R 3 está dada por 1 (r. ¸. .) = 80 (1 + r 2 + 2¸ 2 + 3. 2 ) donde 1 se mide en grados Celsius; r. ¸. ., en metros. ¿En qué dirección aumenta la temperatura con más rapidez en el punto (1. 1. ÷2)?¿Cuál es la máxima razón de cambio? 4 \1 = 160 (1 + r 2 + 2¸ 2 + 3. 2 ) (÷r. ÷ 2¸. 3.) ) la temperatura aumenta con mayor rapidez en la dirección del vector \1 (1. 1. ÷2) = 5 8 (÷1. ÷2. 6) o equivalentemente en del vector (÷1. ÷2. 6) ÷ 1 _ 41 (÷1. ÷2. 6) = ^ n La máxima razón de incremento es respecto a la longitud del vector gradiente |\1 (1. 1. ÷2)| = 5 8 _ 41 Ejercicios 1.10 1. La ecuación de la super…cie de una montaña es . = 1200 ÷ 3r 2 ÷ 2¸ 2 (distancia en metros), el eje 1 x apunta al este, el 1 y al norte. Un montañista se encuentra en el punto 1 0 (÷10. 5. 850). (a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada? Ilustre grá…- camente en el plano xy . (b) ¿Si el montañista se desplaza en dirección este, asciende o des- ciende y a qué razón? ¿Qúe sucede por cada metro que avance en el 1 x ? Ilustre. (c) ¿Si lo hace en dirección suroeste, asciende o desciende y a qué razón? Ayuda: Sea ^ n = (cos (o) . :c:(o)). (d) ¿En que dirección recorre una trayectoria a nivel, estando en el punto 1 0 ? Ayuda: Halle ^ n = (n 1 . n 2 ) tal que ^ n \, (10. ÷5) = 0. 2. Suponga que, en cierta región del espacio, el potencial eléctrico \ está dado por \ (r. ¸. .) = 5r 2 ÷ 3r¸ + r¸.: (a) Encuentre la razón de cambio del potencial en 1 0 (3. 4. 5), en la dirección del vector ! n = (1. 1. ÷1) (b) ¿En qué dirección cambia \ más rápidamente en 1? (c) ¿Cuál es la mayor razón de cambio en 1? 5 1.1 Gradiente y super…cies de nivel de una función , A continuación veremos la relación entre el gradiente asociado a una fun- ción dada , y sus super…cies de nivel. Ya conocemos que el gradiente \, apunta en la dirección de más rápido crecimiento de los valores de ,, mien- tras que una super…cie de nivel está en las direcciones en las que esos valores no cambian. Si el comportamiento de , es su…cientemente bueno, el gradi- ente y la super…cie de nivel serán perpendiculares en cierto sentido, como se establecerá. Teorema 1.11 (Gradiente e snormal a la super…cie) Sea , : l ¸ R 3 ÷ R una aplicación de clase ( 1 y (r 0 . ¸ 0 . . 0 ) un punto sobre la super…cie de nivel o , (r. ¸. .) = /, para / constante. Entonces \, (r 0 . ¸ 0 . . 0 ) es perpendicular a la super…cie o en el siguiente sentido: si ! · es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c (t) en o con c (0) = (r 0 . ¸ 0 . . 0 ), entonces \, (r 0 . ¸ 0 . . 0 ) ! · = 0. Prueba. Sea c (t) en o; entonces (, · c) (t) = / y sea ! · como en la hipótesis; entonces ! · = c (0). Por tanto, de lo anterior y la regla de l acadena, setiene que 0 = d dt , (c (t)) = \, ! · (0) ! · Del anterior resultado e sbastante razonable de…nir el plano tangente a o como el plano ortogonal al gradiente: De…nición 1.12 (Planos tangentes a las super…cies de nivel) Sea o := ¦(r. ¸. .) : , (r. ¸. .) = /. / ¸ R¦. El plano tangente a o en el punto (r 0 . ¸ 0 . . 0 ) de o está dado por \, ! · (0) : \, (r 0 . ¸ 0 . 0 ) (r ÷ r 0 . ¸ ÷ ¸ 0 . . ÷ . 0 ) = 0 Ejemplo 1.13 Hallar t (1. 1. 1) de 3r¸ 2 + r¸. 2 = 4. \, (r. ¸. .) = (3¸ 2 + ¸. 2 . 6r¸ + r. 2 . 2r¸.), luego: t (1. 1. 1) : \, (1. 1. 1) (r ÷ 1. ¸ ÷ 1. . ÷ 1) = 0 ) 4r + 7¸ + 2. = 13 (veri…carlo). 6 Observación 1.14 Con frecuencia los diversos autores se re…eren a \, como el campo vectorial gradiente; esto debido al hecho que \, asigna un vector a cada punto en el dominio de ,: Ejemplo 1.15 (Ejemplo 6 del libro pág. 150 ÷ 151) La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria : en el punto (r. ¸. .) pro- ducida por una masa ` en el origen en R 3 , de acuerdo a la ley de grav- itación universal de Newton, est ´adada por ! 1 = ÷ G:` : 2 ^ : (1) donde G es una constante; : = ! : = p r 2 + ¸ 2 + . 2 es la distancia de (r. ¸. .) al origen y ^ : = ! : ! : el vector unitario en la dirección del vector posición ! : = (r. ¸. .). Notemos que ! 1 = \ G:` : = ÷\\ , es decir, ! 1 es el negativo del po- tencial gravitacional \ = ÷ G:` : . Finalmente notemos que la expresión 1 indica que ! 1 está dirigido hacia adentro, es decir hacia el origen y, las super…cies de nivel de \ son esferas. ! 1 es normal a estas esferas, lo que con…rma elresultado del Teorema 1.11. 7 u . y) = xy. Nótese que este límite depende de ! ! ! ambos a y u. se de…ne f 0 a. (En cálculo se requiere que este último vector sea unitario. pero tal condición no es necesaria). Determinar f 0 a. 1). por lo que es denominado la derivada de f en a en la dirección ! de u. Esto debería ser la derivada de f en x en la dirección ! de v . u = lim t!0 ! ! ! f a + tu ! ! f a ! t siempre que este último límite exista. a2 ) y u (0. la respuesta será: es el valor de la derivada de esta función de t en t = 0 ! ! ! ! (t = 0 ! x + t v = x). n!o ! De…nición 1. Dado u 2 Rn j O .dada por l (t) = x + t v .2 f : U Rn ! Rm .3 f : R2 ! R dada por f (x. Ejemplo 1. 2 ! ! ! ! . Además t 7! f x + t v ! ! ! ! = f jL : ¿Con qué rapidez cambian los valores de f a lo largo de L en el punto x? Dado que la razón de cambio de una función está dada por una derivada. con a = (a1 . 5 Como f 0 x. ( 1=100)).6 Supongamos que rf x 6= O. u . Entonces rf x la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido. por tanto: = Se tendrá un máximo si ^ = 0 rad y.7 (Dirección de máximo crecimiento) Si la temperatura en cada punto (x. es decir ! ! ! ! z = k. Ahora se tiene un mínimo si rad. y. z) = e (x +y ) ( 2x (1 z=100) . 2 2 rT (x. 0. luego rf x y u tienen sentido contrario. Ejemplo 1. y.f 0 a. z) = 85 + (1 2 2 z=100) e (x +y ) ! ! ! apunta en hallar en P0 (2. y. 99) = 25 100 3 . ésta lo hará a nivel constante. 1)) f ((a1 . u = rf a Observación 1.4 Si f : U direccionales (en dirección de u 6= O) existen y además f 0 a. z) viene dada por T (x. 0. a2 )) t!0 t a1 (a2 + t) a1 a2 = lim = a2 t!0 t R3 ! R diferenciable. así: Teorema 1. 0. u ! ! ! ! = lim f 0 a. Adicionalmente para una partícula que se desplaza sobre la super…cie que de…ne f . a2 ) + t (0. u tario y = ! ^ ! ! u = rf x ! cos ( ). entonces todas las derivadas ! ! ! ! ! ! Teorema 1. es decir rf a ? u. 99) la dirección en que la temperatura crece más rápido. 2y (1 z=100) . si rf x u = 0. para u = u uni- ! ^ rf x . u f ((a1 . así: 1 1 4 e . en este caso rf x ! y u tienen igual ! ^ dirección y sentido. e 4 rT (2. 8 Calcular f 0 x. z. 1)) = ^ ^ ! ^ p 2 +4 4 Ejemplo 1. por tanto: ! u = ( 4. 0.9 Suponga que la temperatura en un punto (x. para el cual f 0 x. 0. z) = 2 + 2y 2 + 3z 2 ) (1 + x donde T se mide en grados Celsius. 1. D ^ f es máxima cuando rf y u tienen la misma dirección y u sentido. 1)) = ^ 1 (3. u ! 1 ^ es máxima. 1) .Para hallar un vector unitario paralelo al anterior multiplicamos la anterior expresiónpor 100e4 . ¿ qué dirección En aumenta la temperatura con más rapidez en el punto (1. 1) para el cual u es unitario en la dirección de P0 Q. Ejemplo 1. 1=2) 5 1 3 = +2 5 4 ^ Ahora bien. Q (3. u en P0 (0. Además determinar en P0 . 4). en metros. y. y) = ex tan 1 (y). x. 17 1) que es la dirección en la que T crece más rápido. 2) ^ u= =p 2+4 krf ((0. u ^ ! ! ^ ! ^ ^ = u rf ((0. por tanto: rf ((0. Además 5 ex x 1 fx = e tan (y). 1))k luego para determinar f 0 x. z) 2 R3 está dada por 80 T (x. 4) ! u = (3. luego 1 + y2 f 0 (0. 5). y. fy = . 2)?¿ Cuál es la máxima razón de cambio? 4 . 1)) ( . u = u rf ((0. P Q = (3. 1) . u es máxima si: f 0 (0. 4) ( =4. 1 ^ 1) ! u = p ( 4. y. si f (x. 6) ! p ( 1.10 1. 2)k = Ejercicios 1. (b) ¿Si el montañista se desplaza en dirección este. el Ey al norte. 5. 2y. 6) = u 41 La máxima razón de incremento es respecto a la longitud del vector gradiente krT (1. en cierta región del espacio. 850). 2. 6) 8 5p 41 8 . el potencial eléctrico V está dado por V (x. 1. 2. (a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada? Ilustre grá…camente en el plano xy . y. 1. sen ( )). 1. 5) = 0. Suponga que. 1) (b) ¿En qué dirección cambia V más rápidamente en P ? (c) ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P ? 5 ^ ^ ^ 5 ( 1. Un montañista se encuentra en el punto P0 ( 10. 2. z) = 5x2 3xy + xyz: (a) Encuentre la razón de cambio del potencial en P0 (3. asciende o desciende y a qué razón? ¿Qúe sucede por cada metro que avance en el Ex ? Ilustre. el eje Ex apunta al este. asciende o desciende y a qué razón? Ayuda: Sea u = (cos ( ) . La ecuación de la super…cie de una montaña es z = 1200 3x2 2y 2 (distancia en metros). 5). (d) ¿En que dirección recorre una trayectoria a nivel. estando en el punto P0 ? Ayuda: Halle u = (u1 .160 ( x. 3z) (1 + + 2y 2 + 3z 2 ) ) la temperatura aumenta con mayor rapidez en la dirección del vector rT = x2 rT (1. 2) = o equivalentemente en del vector 1 ^ ( 1. 2. (c) ¿Si lo hace en dirección suroeste. 4. en la ! dirección del vector u = (1. u2 ) tal que u rf (10. y. rf (x. 1) : rf (1.11 (Gradiente e snormal a la super…cie) Sea f : U R3 ! R una aplicación de clase C 1 y (x0 . Teorema 1. Ya conocemos que el gradiente rf apunta en la dirección de más rápido crecimiento de los valores de f . z) = k. (1. z0 ) un punto sobre la super…cie de nivel S f (x. como se establecerá. de lo anterior y la regla de l acadena. z) : f (x. mientras que una super…cie de nivel está en las direcciones en las que esos valores no cambian. y0 . z0 ). 1) (x 1. y0 . ! Prueba. y0 . y 1. z0 ) de S está dado por rf v (0) ! : rf (x0 . 1) de 3xy 2 + xyz 2 = 4. 1. y0 . z) = k. k 2 Rg. entonces v = c (0). 2xyz). Sea c (t) en S. setiene que 0= d f (c (t)) = rf dt v (0) ! ! v Del anterior resultado e sbastante razonable de…nir el plano tangente a S como el plano ortogonal al gradiente: De…nición 1. y y0 . 1. z0 ) v = 0. el gradiente y la super…cie de nivel serán perpendiculares en cierto sentido.13 Hallar t (1.1. y. ! entonces rf (x0 . luego: t ) 4x + 7y + 2z = 13 (veri…carlo). y. y. para k constante. 1.12 (Planos tangentes a las super…cies de nivel) Sea S := f(x. El plano tangente a S en el punto (x0 . 6xy + xz 2 . Si el comportamiento de f es su…cientemente bueno. z0 ) es perpendicular a la super…cie S en el siguiente sentido: si v es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c (t) en S con c (0) = (x0 . z 1) = 0 6 . entonces (f c) (t) = k y sea v como en la ! hipótesis. Por tanto. y0 z0 ) (x x0 . y0 . z z0 ) = 0 Ejemplo 1. z) = (3y 2 + yz 2 .1 Gradiente y super…cies de nivel de una función f A continuación veremos la relación entre el gradiente asociado a una función dada f y sus super…cies de nivel. Entonces ! rf (x0 . F es el negativo del por GmM tencial gravitacional V = . z) producida por una masa M en el origen en R3 . Finalmente notemos que la expresión r ! 1 indica que F está dirigido hacia adentro. las ! ^ ! ! r ! el vector unitario en la dirección del vector GmM ^ n (1) r2 p ! r = x2 + y 2 + z 2 es la distancia de r Notemos que F = r ! super…cies de nivel de V son esferas. es decir. F es normal a estas esferas. y. z) al origen y n = posición r = (x. lo que con…rma elresultado del Teorema 1:11. y. est ´ adada por F = donde G es una constante. de acuerdo a la ley de gravitación universal de Newton. ! GmM = rV .14 Con frecuencia los diversos autores se re…eren a rf como el campo vectorial gradiente. es decir hacia el origen y. z). r = (x.15 (Ejemplo 6 del libro pág. esto debido al hecho que rf asigna un vector a cada punto en el dominio de f : Ejemplo 1. 7 ! .Observación 1. 150 151) La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria m en el punto (x. y.