1 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a .c o m REVISÃO MATEMÁTICA ITA/IME – 2012 100 QUESTÕES Professor: Eurico Dias (
[email protected]) Obs: A distribuição dos tópicos abordados nas 100 questões segue aproximadamente a porcentagem média de cobrança desses assuntos nas últimas provas do ITA. I - Geometria Plana 1) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações 3a = 7c e 3b = 8c. a) 30 b) 60º c) 45º d) 120 e) 135º 2) Um triângulo ABC está inscrito num círculo de raio 2 3 . Sejam a, b e c os lados opostos aos ângulos A, B e C respectivamente. Sabendo que a = 2 3 e (A,B,C) é uma progressão aritmética, podemos afirmar que: (a) c = 4 3 e A = 30º (b) c = 3 3 e A = 30º (c) b = 6 e C = 85º (d) b= 3 e C = 90º (e) n.d.a 3) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2 cm . Sejam o e |, respectivamente , os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm 2 ) igual a a) 2sen 2 o cotg | + sen 2o b) 2sen 2 o tg| - sen 2o c) 2cos 2 o cotg | + sen 2o d) 2cos 2 o tg | + sen 2o e) 2sen 2 o tg | - cos 2o 4) Considere (P) um polígono regular de n lados. Suponha que os vértices de (P) determinam 2n triângulos, cujos lados não são lados de (P). O valor de n é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 20 e) não existe um polígono regular com esta propriedade. 5) Um triângulo abc com |ac| = B, |ab| = C e |bc| = A satisfaz C B A 3 C B 1 B A 1 + + = + + + . O ângulo em b mede: a) 30 o b) 45 o c) 60 o d) 90 o e) nda 6) (ITA-74) Seja CD AB= no quadrilátero ABCD, mostrado na figura abaixo. Então podemos garantir que: a) | o = o ¸ sen sen sen sen b) ¸| = oo c) tg o . tg | . tg ¸ . tg o d) AB . AD BC 2 = e) N.D.R.A. 7) (ITA-75) Os lados de dois octógonos regulares têm, respectivamente, 5 cm e 12 cm. O comprimento do lado de um terceiro octógono regular, de área igual à soma das áreas dos outros dois, é: a) 17 cm c) 14 cm e) N.D.R.A. b) 15 cm d) 13 cm 8) (ITA-75) Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência. Sabe-se que 4 9 - C sen . A sen D tg . B tg e D B , C 2 A = + > = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . Neste caso, os valores de D , C , B , A ˆ ˆ ˆ ˆ são, respectivamente. a) 150°, 45°, 75°, 30° d) 120°, 120°, 60°, 60° b) 90°, 120°, 45°, 60° e) N.D.R.A. c) 120°, 150°, 60°, 30° 9) O lado do pentágono regular inscrito numa circunferência de raio R = 10 2 5 ÷ vale: a) 5 b) 5 2 c) 5 - 5 d) 5 5 5 ÷ e) 10 10) Sejam A, B e C os comprimentos dos lados de um triângulo, e a, b e c os valores dos ângulos opostos. Se é dado que 13 B A 12 A C 11 C B + = + = + , qual das relações abaixo é verdadeira? a) 14 sinc 12 sinb 10 sina = = b) 10 sinc 14 sinb 12 sina = = c) 12 sinc 14 sinb 10 sina = = o ¸ | o C B A D 2 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m d) 10 sinc 12 sinb 14 sina = = e) 12 sinc 10 sinb 14 sina = = 11) (IME-72) Sejam “n” circunferências de raio R, tangentes entre si duas a duas e tendo seus centros sobre os vértices de um polígono regular. Calcule a área exterior às circunferências e compreendida entre elas, em função de R e n. a) ( ¸ ( ¸ t ÷ t n cot n tg . n R 2 b) 2 ) 1 n ( tg . R 2 t ÷ c) ( ¸ ( ¸ t ÷ ÷ t 2 ) 2 n ( n cot . n R 2 d) ( ¸ ( ¸ t ÷ t n cos n sen R 2 e) ( ¸ ( ¸ t ÷ t n cos n tg R 2 II - Polinômios 12) O resto da divisão do polinômio P(x) = x 100 pelo polinômio D(x) = x 2 – x é igual a a) 0 b) 1 c) – x d) x e) 2x 13) Considere todas as parábolas y = ax 2 + bx + c (a, b e c reais) que encontram o gráfico da função f(x) = 2x 4 + 7x 3 + 3x – 5 em quatro pontos distintos, digamos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ), (x 4 , y 4 ). Determine o valor de x 1 + x 2 + x 3 + x 4 . a) – 7/2 b) (a – 7)/2 c) a + b + c d) 9 e) impossível de calcular pois depende de a, b e c 14) Sejam a, b, c e d as raízes (nos complexos) do polinômio x 4 + 6x 2 + 4x + 2. Encontre um polinômio P(x), do quarto grau, que tenha como raízes a 2 , b 2 , c 2 e d 2 . a) x 4 + 12x 3 + 40x 2 + 8x + 4 b) x 4 + 12x 3 + 20x 2 + 4x + 4 c) x 4 + 16x 3 + 16x 2 + 10x + 4 d) x 4 + 40x 2 + 4x + 4 e) x 4 + 36x 2 + 16x + 4 15) (ITA-75) Sendo a, b, c, d as raízes da equação 2x 4 – 7x 3 + 9x 2 – 7x + 2 = 0, podemos afirmar que: a) a, b, c, d são reais positivas; b) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 é igual a 5 13 ; c) a, b, c, d não são reais; d) bcd 1 + acd 1 + abd 1 + abc 1 é a soma das raízes; e) N.D.R.A. 16) (ITA-74) Seja 2 2 2 c 1 b 1 a 1 M + + = , onde a, b, c, são as raízes da equação x 3 - 3 x 2 + 54 = 0. Então podemos afirmar que: a) log 3 M é um número irracional. b) log 3 M é um número primo. c) log 3 M = 3 5 . d) log 3 M = 2 5 ÷ . e) N.D.R.A. 17) Calcular os valores de m, de modo que a equação x 3 + mx 2 + 11x +m = 0 admita as raízes o, | e _, as quais verificam a relação o 2 + | 2 + _ 2 = 14. a) -6 e 6 b) -2 e 4 c) 2 e 5 d) 3 e 5 e) nda 18) (ITA-76) Determine os valores de a e b, tais que os polinômios x 3 – 2ax 2 + (3a + b)x – 3b e x 3 – (a + 2b)x + 2a sejam divisíveis por x + 1. a) a = 0 b = - 3 b) a = 3 b = - 4 c) a = 4 b = - 2 d) a = 5 b = - 1 e) a = 1 b = - 7 19) Um polinômio P(x), dividido por x + 1 e x 2 + 4 dá restos 0 e x + 1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de P(x) por (x + 2)(x 2 + 4)? a) x 2 /4 + 2x + 5 b) x 2 /8 + x + 3/2 c) x 2 + 5x/8 + 7 d) x 2 /16 + 7x/4 + 1 e) NDA 20) Se a é a hipotenusa e b e c são os catetos de um triângulo retângulo, então o que podemos afirmar sobre as raízes da equação a 2 x 2 – b 2 x – c 2 = 0. a) são iguais b) uma é igual a – 1 é a outra está entre 0 e 1. c) uma é igual a 1 e a outra está entre 0 e 2. d) uma é igual a 1 e a outra está entre – 1 e 0. e) são dois números racionais 21) Seja P(x) um polinômio de grau n > 1, com coeficientes reais. Sabendo que P(3 + i ) = 2 – 4i, onde i 2 = –1, calcule P(3 – i ). a) 2 – 4i b) 4 + 2i c) 4 – 2i d) 2 + 4i e) 0 3 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m III - Geometria Espacial 22) (ITA-67) Cortando-se uma pirâmide regular de altura h, com um plano paralelo à base, resulta uma segunda pirâmide. Se a razão entre as áreas das superfícies laterais das pirâmides (menor/maior) for r, a que distância do vértice deve passar o plano? a) h 2 r b) r h c) h r d) h r e) hr 23) (ITA-71) Cortando-se um determinado prisma triangular, reto, por um plano o que forma um ângulo de 45 o com o plano da base ABC observamos que a reta r, interseção de o com o plano da base, dista 7 cm de A, 5 cm de B e 2 cm de C. Se a área da base for 21 cm 2 , o volume do tronco de prisma compreendido entre a base ABC e o plano o será: a) 105 cm 3 b) 294 cm 3 c) 98 cm 3 d) 2 98 cm 3 e) 2 98 cm 3 24) (ITA-72) Seja ' C ' B a projeção do diâmetro BC de um círculo de raio r sobre a reta tangente t por um ponto M deste círculo. Seja 2k a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio BCC’B’ ao redor da reta tangente t e a área do círculo dado. Qual é o valor de k para que a medida do segmento ' MB seja igual a metade do raio r? a) 3 b) 2 / 3 c) 2 d) 1/2 e) 4 25) (ITA-73) Um octaedro regular está inscrito num cubo, que está inscrito numa esfera, e que está inscrita num tetraedro regular. Se o comprimento da aresta do tetraedro é 1, qual é o comprimento da aresta do octaedro? a) 27 2 b) 4 3 c) 4 2 d) 1/6 e) 1/12 26) Um poliedro convexo tem exatamente 6 vértices e exatamente 12 arestas. Considere as afirmativas: I – O número de faces é igual a 8; II – O número de faces quadrangulares é igual ao número de faces triangulares; III – Todas as faces do poliedro são triangulares; IV – Todas as faces do poliedro são quadrangulares; Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é correta. b) Somente as afirmativas I e II são corretas. c) Somente as afirmativas I e III são corretas. d) Somente as afirmativas I e IV são corretas. e) Todas as afirmativas estão erradas. 27) (ITA-75) Consideremos uma esfera de raio r = 1 cm e um ponto P fora desta esfera. Sabemos que a distância deste ponto P à superfície da esfera mede 2 cm. Qual é a razão K entre a área da superfície da esfera e a da calota visível do ponto P? a) K = 1 b) K = 2 c) K = 3 d) K = 5/2 e) N.D.R.A. 28) (ITA-75) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (sen x) cm e (cos x) cm. Um estudante calculou o volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa, e obteve como resultado t cm 3 . Considerando este resultado como certo, podemos afirmar que: a) 6 x t = c) 4 x t = e) N.D.R.A. b) 3 x t = d) 5 x t = 29) (ITA-77) O ângulo da geratriz com o eixo de um cone de revolução mede 30°. Se S é a área de sua secção reta a uma distância h do vértice, qual a relação entre S e h? a) S = 2 h 2 t b) S = 2 h 2 3t c) S = 3 h 2 t d) S = 2 h 3 2t e) n.d.a. 30) (ITA-75) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números log e t, log e t 2 e log e t 3 e a área total é 792 cm 2 . Sabendo-se que a soma das dimensões vale 12 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores destas dimensões? a) 6; 12 e 18 c) 2; 3 e 4 e) N.D.R.A. b) 5; 10 e 15 d) 2; 4 e 8 IV - Geometria Analítica 31) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação 288 1 3 5 34 1 0 2 4 1 6 2 40 1 det 2 2 = ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ + y x y x . a) Uma elipse. b) Uma parábola. c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole. 32) (ITA-78) Seja o triângulo de vértices A: (1,2); B: (2, 4) e C: (4, 1), no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo ao lado AC, é: a) 70 10 9 b) 70 9 c) 8 10 d) 3 3 e) n.d.a. 33) Seja S o conjunto de todos os pontos no plano xy cuja distância d 1 a (0, 0) e a distância d 2 a (1, 0) satisfaz 4 d d 2 1 = . Qual é a máxima distância possível entre dois pontos de S? 4 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m a) 8/15 b) 13/45 c) 4/25 d) 4/75 e) 3/35 34) (IME 92/93 Militares) Dada a cônica x 2 + 2y 2 + 3x – 3y – 3 = 0, determine a área do triângulo formado pelo centro da cônica e dois de seus vértices. a) 32 2 51 b) 16 2 51 c) 2 102 d) 2 51 e) 5 102 35) (ITA-77) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, uma das retas tangentes à circunferência de equação x 2 + y 2 + 2x + 4y – 20 = 0, passando pelo ponto P 0 (– 2, 5) tem equação: a) 3x – y + 1 = 0 b) x + y – 3 = 0 c) x + 3y – 13 = 0 d) 4x – 3y + 23 = 0 e) 3x + 4y + 10 = 0 36) (ITA-74) A reta que passa pela interseção das circunferências x 2 + y 2 = 1 e (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 2, é tal que: a) tem equação 3x/5 – 3y/4 + 1/4 = 0 b) não passa pela origem c) passa pela origem d) não é perpendicular e reta que passa pelos centros das circunferências. e) nda 37) (ITA-74) A reta que passa pelas intersecções das circunferências x 2 + y 2 = 1 e (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 2, é tal que: a) tem equação 0 4 1 y 3 2 - x 5 3 = + . b) não passa pela origem. c) passa pela origem. d) não é perpendicular a reta que passa pelos centros das circunferências. e) N.D.R.A. 38) (ITA-75) Seja S o conjunto das soluções do sistema de desigualdades: 2x + y – 3 > 0 x – 2y + 1 < 0 y – 3 < 0 x + my – 5 < 0, onde m é real. A representação geométrica de S, em coordenadas cartesianas ortogonais (x, y), é: a) um quadrilátero para qualquer m > 0. b) um triângulo isósceles para qualquer m < 0. c) um triângulo retângulo para m < 0 ou 3 5 < m < 4. d) S é o conjunto vazio para m > 3 5 . e) N.D.R.A. 39) (ITA-75) Considere a circunferência C que passa a pelos pontos (0, 0), (2, 0), e (0, 2) em um sistema de coordenadas cartesianos ortogonais. Uma das retas tangentes a esta circunferência, que passa pelo ponto (3, 5), tem por equação: a) x + y – 3 = 0; d) 6x – y – 16 = 0; b) 7x – y + 8 = 0; e) N.D.R.A. c) x – y + 2 = 0; V - Trigonometria 40) O conjunto de soluções da equação sen 2x = cos x pertencentes ao intervalo [0, 2t] é: a) {arc tg (0,5)} b) {arc tg (0,5), t + arc tg (0,5)} c) {t/6, 5t/6} d) {t/6, t/2, 5t/6, 3t/2} e) { } 41) (ITA-75) Admitindo-se que o polinômio P(y) = y 5 – (tg u) 2 y 3 + (tg u) y + sec 2 u – tg 2 u é divisível pelo polinômio Q(y) = y + cotg 2 u – cosec 2 u, onde π u 2 π < < , podemos assegurar que: a) tg u é um número irracional negativo; b) cossec u = - sec u; c) u = 3 2t ; d) tg u é um numero tal que – 1 < tg u < 0; e) N.D.R.A. 42) (ITA-75) Sabendo-se que 0 m e 0 n , n m n - m x sen > > + = , podemos afirmar que | . | \ | 2 x - 4 π tg é igual a: a) ± m n b) ± n m c) ± ( m n - 1 ) d) ± m n e) N.D.R.A. 43) (ITA-77) Considere um triângulo ABC cujos ângulos internos A ˆ , B ˆ e C ˆ verificam a relação sen A ˆ = tg 2 C ˆ B ˆ + . Então podemos afirmar que: a) Com os dados do problema, não podemos determinar A ˆ nem B ˆ e nem C ˆ . b) Um desses ânulos é reto. c) A ˆ = 6 t e B ˆ + C ˆ = 6 5t d) A ˆ = 6 t , B ˆ = 6 t e C ˆ = 12 5t e) n.d.a. 44) A menor solução positiva da equação sen 9x + sen 5x + 2 sen 2 x = 1 é: a) t 4 b) 3 84 t c) t 42 d) t 84 e) t 294 45) O conjunto das soluções da inequação cos 4 x - 4 cos 3 x + 6 cos 2 x - 4 cosx + 1 < 0 é: 5 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m a) C b) 9 c) {2kt | k e Z} d) {kt | k e Z} e) {(2k + 1)t | k e Z} 46) (IME-72) Determine os valores de x que satisfazem a equação: x arcsen x 2 arcsen ) 3 x arcsen( ÷ = . a) x = 0 b) x = ± 1 c) x = 0, x = ± 1 d) x = 0, x = ± 3 e) x = 0; x = ± 1/2 VI - Funções / Equações 47) Seja uma função f real definida para todo x real tal que: f é ímpar; f(x + y) = f(x) + f(Y); e f(x) > 0, se x >0. Definindo g(x) = x (1) - (x) f f , se x = 0, e sendo n um número natural, podemos afirmar que: a) f é não – decrescente e g é uma função ímpar. b) f é não – decrescente e g é uma função par. c) g é uma função par e 0 s g(n) s f(1). d) g é uma função ímpar e 0 s g(n) s f(1). e) f é não – decrescente e 0 s g(n) s f(1). 48) Dada a função real definida por f(x) = x 2 , considere a função real g definida por g(x) = f(x+m) + k, sendo m e k eIR. É INCORRETO afirmar que: a) o gráfico da função g em relação ao gráfico da função f é deslocado k unidades para cima, se k > 0, e m unidades para a direita, se m < 0. b) a equação do eixo de simetria da parábola que representa g é dada por x – m c) se m = 0 e k = 1, então o conjunto imagem de g é dado por Im = {y e IR | y > 1} d) se m = -2 e k = -3, então as coordenadas do vértice da parábola que representa g são (-m,k) 49) Para todo x real, ÷ < + ÷ ÷ + < 3 2 1 2 2 2 x ax x x se e só se: a) -3 < a < 2 b) -1 < a < 2 c) -6 < a < 7 d) -1 < a < 7 e) -6 < a < 2 50) (ESPCEX-96) Seja a função f: R÷R, definida por f(x) = 2x + |x + 1| – |2x – 4|. O valor de f – 1 (30) é: a) 6. b) 20. c) 25. d) 35. e) 10. 51) (ITA-85) Considere as seguintes função: f(x) = x – 7/2 e g(x) = x 2 – 1/4 definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação |(gof)(x)| > (gof)(x), podemos afirmar que: a) Nenhum valor de x real é solução. b) Se x < 3 então x é solução. c) Se x > 7/2 então x é solução. d) Se x > 4 então x é solução. e) Se 3 < x < 4 então x é solução. 52) (ESPCEX-93) Sejam os conjuntos A = {x e 9/ x s 1/2}, B = {x e 9/ x > – 1} e as funções f de A em 9 – definidas por f(x) = 2x – 1; g de 9 – em 9 + , definida por g(x) = x 2 e h de 9 + em B, definida por h(x) = 4x – 1. Pode-se, então, afirmar que a função inversa de ho(gof) é definida por: a) 2 1 4 ÷ + x b) 16x 2 – 16x + 3 c) 2 1 4 + + x d) 2 1 4 ± + x 53) Seja ) x ( F 2 1 1 a 1 ) x ( G x | . | \ | + ÷ = , onde a é um número real positivo diferentes de 1 e F(x) é uma função ímpar. Qual das alternativas abaixo é verdadeira? a) G(x) é uma função ímpar. b) G(x) é uma função par. c) G(x) não é uma função par e nem ímpar. d) G(x) pode ser uma função par ou ímpar dependendo do valor de a. 54) Considere a função F: N÷N definida por ¹ ´ ¦ + = contrário caso 1 n 2 3 de múltiplo um é n se 3 / n ) n ( F Para quantos inteiros positivos k vale a equação F(F(k)) = k? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 55) Se f(x) = ax 2 – c satisfaz – 4 s f(1) s – 1 e – 1 s f(2) s 5, então: a) 7 s f(3) s 26 b) – 1 s f(3) s 20 c) – 4 s f(3) s 15 d) – 28/3 s f(3) s 35/3 e) 8/3 s f(3) s 13/3 56) (ITA-77) Supondo a < b, onde a e b são constantes reais, considere a função H(x) = a + (b – a)x definida no intervalo fechado (0, 1). Podemos assegurar que: a) H não é uma função injetora b) Dado qualquer y < b, sempre existe um x em (0, 1) satisfazendo H( x ) = y c) Para cada y , com a < y < b, corresponde um único real x , com 0 < x < 1, tal que H ( x ) = y . d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado (a, b), satisfazendo a relação G(H(x)) = x para cada x em (0, 1). e) n.d.a. 6 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 57) (ITA-78) Seja f (x) uma função real de variável real. Se para todo x no domínio de f temos f (x) = f (-x), dizemos que a função é par; se, no entanto, temos f (x) = -f (-x), dizemos que a função é impar. Com respeito á função g (x) = log e [ sen x + x sen 1 2 + ], podemos afirmar que: a) está definida apenas para x > 0; b) é uma função que não é par nem impar. c) é uma função par. d) é uma função impar. e) n.d.a. 58) Se f(x) satisfaz 2.f(x) + f(1 – x) = x 2 para todo x, então f(x) = a) (x 2 – 3x + 1)/2 b) (x 2 + 8x – 3)/9 c) (4x 2 + 3x – 2)/6 d) (x 2 + 2x – 1)/3 e) (x 2 + 9x – 4)/9 59) Suponha que o gráfico de y = ax 2 + bx + c é dado pela figura abaixo. Então entre as expressões: ab, ac, b, a + b + c, a – b + c quantas são positivas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 60) Seja f uma função real tal que: f(2) = 3 e f(a + b) = f(a) + f(b) + ab, para todo a e b. Calcule f(11). Resp: 66 61. Quantas pares ordenados (x,y) , x e y sendo números inteiros, são soluções da inequação : ? 100 y x < + a)19801 b) 19802 c) 19803 d) 19804 e) 19805 VII - Complexos 62) Considere o número complexo z tal que z z + = 2 – i, onde i = 1 ÷ e identifique entre as opções abaixo, as que são corretas. (01) O afixo de z é ponto do 1º quadrante. (02) 1002 4 3 z | . | \ | ÷ é real positivo. (04) O menor inteiro positivo n para o qual n 4 1 z | . | \ | + é real negativo pertence ao intervalo ]2, 5[ A soma das opções corretas é igual a a) 6 b) 5 c) 3 d)2 63) (ITA-74) A equação x n – 1 = 0, onde n é um número natural maior do que 5, tem: a) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas quando n é par. b) 1 raiz positiva, (n – 1) raízes não reais quando n é par. c) 1 raiz negativa, (n – 1) raízes complexas quando n é impar. d) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n - 2) raízes complexas quando n é um número natural qualquer. e) N.D.R.A. 64) (ITA-78) O lugar geométrico, no plano complexo, representado pela equação 0 k z z - z z - z z 0 0 = + , onde k é um número real positivo e k, z 2 0 > é: a) uma hipérbole com centro z 0 . b) uma elipse com um dos focos em z 0 . c) uma circunferência com centro em z 0 . d) uma parábola com vértice em z 0 . e) n.d.a. 65. Para , i 1 ÷ = os valores reais de a e b tais que bi i i i i a + = ÷ 3 26 3 são, respectivamente: a) 0 e 2 3 b) – 4 e 1 c) 2 3 e 0 d) 2 3 e 2 e) NRA 66) Representemos por z o conjugado do número complexo z . A equação z 3 = z : a) possui uma única raiz. b) possui exatamente quatro raízes. c) tem o produto das suas raízes igual a 1. d) tem o produto das suas raízes igual a -1. e) tem a soma das suas raízes igual a 0 . 67) No conjunto dos números complexos seja o tal que ¦o¦ < 1. O lugar geométrico dos pontos z e C que satisfazem a igualdade: z z ÷ ÷ = o o 1 1é: a) Uma circunferência de centro na origem e raio 1. b) Uma hipérbole. c) Uma elipse de semi-eixo maior igual a 2. d) Uma parábola. e) Formado por duas retas concorrentes. Observação: A notação o é usada para denotar o conjugado complexo de o . 1 7 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m VIII - Combinatória 68) Considere que | | . | \ | p n significa a combinação de n elementos tomados p a p. Assim, | | | . | \ | | | . | \ | 2 2 n é idêntico a: a) | | . | \ | 2 n b) | | . | \ | 3 n 2 c) 3 | | . | \ | 4 n d) | | . | \ | + 3 1 n 2 e) | | . | \ | + 4 1 n 3 69) (ITA-77) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61473 é: a) 76º b) 78º c) 80º d) 82º e) 84º 70) Uma escola oferece 5 diferentes classes de línguas, 4 diferentes classes de ciências e 3 diferentes classes de matemática. De quantas maneiras é possível escolher 2 classes, não ambas do mesmo assunto? a) 64 b) 50 c) 21 d) 36 e) 47 71. Um novo tipo de cadeado com dez botões está sendo comercializado, onde para abri-lo devemos pressionar – em qualquer ordem – os cinco botões corretos. O exemplo abaixo mostra um cadeado com a combinação { } 9 , 6 , 3 , 2 , 1 . 6 9 1 2 3 Supondo que novos cadeados sejam criados de modo que suas combinações incluam desde um até nove botões pressionados, o número de combinações adicionais que isto perm ite é : a) 710 b) 730 c) 750 d) 770 e) 790 72) Reduzidos os termos semelhantes, quantos termos existem no desenvolvimento de (a + b + c + d + e) 17 ? a) C 21, 5 b) C 17, 5 c) C 12, 5 d) 2.C 21, 5 e) 2.C 17, 5 73 - O conjunto A possui n elementos. a) Determine o número de relações que podem ser construídas em A. b) Determine o número de relações reflexivas. c) Determine o número de relações simétricas. d) Determine o número de relações anti-simétricas. e) Determine o número de relações reflexivas e simétricas. f) Determine o número de relações reflexivas e anti- simétricas. IX - Matemática Básica 74. A classificação dos tipos sangüíneos é feita de acordo com presença dos antígenos A, B e Rh. Segundo a escrita biomédica, a presença de A e B é simbolizada por AB, a ausência de A e B é simbolizada por O; a presença de Rh por Rh + e a ausência de Rh por Rh ÷ . Em um grupo de 100 pacientes de um hospital verificou-se 6 pacientes tem sangue (O, Rh ÷ ); 45 pacientes são portadores de somente um dos antígenos no sangue, sendo 6 portadores do antígeno A e 36 do antígeno Rh; 10 pacientes são portadores dos 3 antígenos; 83 pacientes são portadores do antígeno Rh sendo que destes, nenhum é portador do antígeno A sem ser do antígeno B, Se x e y representam o número de pacientes cujos tipos sangüíneos são (B, Rh + ) e (AB, Rh ÷ ) respectivamente então x + y é igual a : a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42 75. Alice em mais uma de suas viagens, encontra-se à frente de 3 portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra- se uma inscrição: Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está na porta 2.” Porta 2: ”Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro: mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra- se um feroz dragão.” Porta 3: “podes entrar sem medo pois atrás dessa porta não há dragão algum .” Alertada por seu amigo Shrek de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as outras duas verdadeiras), Alice conclui então, corretamente, que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respectivamente : a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa. b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão. c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão. d) A linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro. e) O feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro. 76. Um casal tem filhas e filhos. Cada filho tem um numero de irmãos igual ao numero de irmãs. Cada filha tem um numero de irmãos igual ao dobro do numero de irmãs. Qual o total de filhos e filhas do casal? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) NRA 77. Quantos números de 1 a 1000 possuem números impar de divisores? a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 78. Para todo conjunto S, seja S o número de elementos de S, e seja n(S) o número de subconjuntos de S. Se A, B, C são conjuntos tais que : 8 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m ( ) ( ) ( ) ( ) C B A n C n B n A n = + + e 100 B A = = então, o valor míni mopossível para C B A é igual a : a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 100 79. (EN) Se ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = + ÷ + = + + + = + ÷ + 5 3 2 8 9 5 222 3 9 5 37 4 3 30 1 4 3 5 , 7 3 2 12 y x z y z y z x z x y x Determine x+y+z: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 X - Matrizes 80) Considere as seguintes informações sobre matrizes reais quadradas de ordem n : I- Se as matrizes, não singulares, A e B são ortogonais , então A.B é ortogonal. II- A inversa da matriz C = o.A é o.A -1 . III- Se a matriz A é ortogonal, então A -1 é ortogonal. IV- (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Então: a) Todas as afirmações são corretas. b) Apenas a afirmação I é correta. c) Apenas a afirmação II é falsa. d) Apenas a afirmação III é correta. e) Apenas as afirmações I e III são corretas. 81) Dadas as afirmações: I- Se A = 2 - 3 - 5 -1 4 5 1 - 3 - 4 ¸ ( ¸ ( ( ( , então A 1997 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ¸ ( ¸ ( ( ( . II- A matriz A = cos - sen sen cos u u u u ¸ ( ¸ ( é ortogonal. III- Se B = -1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 ¸ ( ¸ ( ( ( , então B 1997 = B IV- Uma matriz T é involuntória se, e somente se, (I - A) . (I + A) = 0. V- Duas matrizes comutam se, e somente se, são quadradas e de mesma ordem. Pode-se afirmar que o número de afirmações corretas é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 82) Seja X = 1 m 0 1 | \ | . | uma matriz quadrada 2 x 2 , onde m é uma número inteiro qualquer. Se P = (a ij ) é uma matriz definida por P = X n + X n-1 + X n-2 + ... + X , onde n é um inteiro positivo (n > 1), então podemos afirmar que: a) um elemento a ij da matriz P é igual a m. n(n 1) 2 + b) um elemento a ij da matriz P é igual a m. n(n 1) 2 ÷ c) um elemento a ij da matriz P é igual a n. m(m-1) 2 d) P é uma matriz cujos elementos são todos inteiros se, e somente se, m é par. e) nda 83) (IME-75/76) Considere as matrizes A e B, apresentadas abaixo: ( ( ( ¸ ( ¸ = 0 0 a 0 b 0 c 0 0 A , ( ( ( ¸ ( ¸ = 16 0 6 0 25 0 10 0 16 B . Os elementos a, b e c, da matriz A, são números positivos. Determine a matriz A – 1 sabendo que A 2 + 2A + I = B. Considere que I é a matriz identidade de ordem 3. a) ( ( ( ¸ ( ¸ 0 0 3 / 1 0 4 / 1 0 5 / 1 0 0 b) ( ( ( ¸ ( ¸ 0 0 5 / 1 0 4 / 1 0 3 / 1 0 0 c) ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ 5 / 1 0 0 0 6 / 1 0 0 0 3 / 1 d) ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ 5 / 1 0 0 0 6 / 1 0 0 0 3 / 1 e) Não existe A – 1 84) (IME-81/82) Seja M n (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, de coeficientes reais. Defini-se a função +: M n (R) x M n (R) ÷ M n (R) por +(A, B) = AB – BA. Calcule o valor de +(+(A, B), C) + +(+(B, C), A) + +(+(C, A), B) : a) 0 b) 2BCA – 2BAC c) ABC – ACB + BCA – BAC + CAB – CBA d) 4CAB + 4BAC e) 6ACB – 6BCA XI - Sequências 85) (IME-71) Uma bola é lançada na vertical, de encontro ao solo, de uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura de que caiu. Calcular o comprimento 9 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m total percorrido pela bola em suas trajetórias, até atingir o repouso. a) h b) 2h c) 3h d) 7h/3 e) 3h/2 86) (IME-72) Achar o valor da soma dos termos da série abaixo. (O valor absoluto de a é menor que 1): ... a a 4 a a 3 a a 2 a a 4 3 2 + + + + a) a + 1 b) (a – 1)/a c) a – 1 d) a/(a – 1) e) [a/(a – 1)] 2 87) (ITA-78) Sejam a matriz ( ¸ ( ¸ ÷ = 1 2 k 1 A , k é real, k = – 1/2, e a progressão geométrica a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n de razão q > 0, a i = q i – 1 .det A, i = 1, 2, 3, ..., n. Se a 3 = det B, com ( ( ¸ ( ¸ ÷ = 1 2 3 k 3 1 B e a soma dos 16 primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a 6 3 3 1 + , podemos dizer que k é: a) k = 1 – 3 – 8 b) k é um número negativo c) k = 1 + 3 – 8 d) k > 0 e) k = 1 88. (IME-80/81) Mostre que o número 9 8 ...... 8888 4 ...... 4444 vezes ) 1 n ( vezes n ÷ é um quadrado perfeito. 89. (IME-78/79) Seja uma progressão aritmética de 1º termo 0 a 1 = e último termo a 10 , tal que 0 a a 10 1 = = . Seja a progressão aritmética de 1º termo 1 1 a 1 b = e último termo 10 10 a 1 b = . Calcule 6 5 b a em função de a 1 e a 10 . XII - Logaritmos 90) A curva abaixo representa o gráfico da função f definida por . log ) ( x x f a = Se B e C têm coordenadas respectivamente iguais a (2,0) e (8,0), e se a área do trapézio BCDE é igual a 6, então, pode-se dizer que a área do triângulo ABE é y 0 A B C x D E a) um número irracional b) um número primo c) um número quadrado perfeito d) uma dízima periódica 91) (ITA-71) Determinando-se a condição sobre t para que a equação 4 x – (log t + 3)2 x – log t = 0 admita duas raízes reais e distintas, obtemos: a) e – 3 s t s 1 b) t > 0 c) e – 1 < t < 1 d) 3 < t < e 2 e) N.r.a 92) (ITA-78) A soma de todos os valores de x que satisfazem à identidade abaixo: 1 3 4 9 x 1 2 1 x ÷ = ÷ ÷ ÷ , é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.d.a. 93) O conjunto - solução da equação 5 2 3 4 5 4 5 8 4 | \ | . | = | \ | . | + x x é: a) 5 4 ¦ ´ ¹ ¹ ` ) b){1} c) 5 4 1 2 ,÷ ¦ ´ ¹ ¹ ` ) d) 1 5 2 , ¦ ´ ¹ ¹ ` ) e) nda XIII - Determinantes 94) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais que A e B são inversíveis e ABCA = A t , onde A t é a transposta da matriz A. Então podemos afirmar que: a) C é inversível e det C = det(AB) -1 ; b) C não é inversível pois det C = 0; c) C é inversível e det C = det B; d) C é inversível e det C = (det A) 2 . Det B; e) C é inversível e det C = det det A B . 95) Seja ì um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos a ij são definidos por: a ij = i + j . Sobre a equação em ì definida por det (A - ìI) = det A - ì , qual das afirmações abaixo é verdadeira ? a) Apresenta apenas raízes negativas. b) Apresenta apenas raízes inteiras. 10 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m c) Uma raiz é nula e a outra negativa. d) As raízes são 0 e 5/2. e) Todo ì real satisfaz esta equação. 96) Seja a matriz ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 a a a 1 a a a 1 A , onde a e 9. Considere que ì 1 , ì 2 e ì 3 são as três raízes da equação det (A – ìI) = 0, sendo I a matriz identidade de ordem 3. Determine um valor de a de modo que ì 1 2 + ì 2 2 + ì 3 2 = 27. a) a = – 1 b) a = 0 c) a = 1 d) a = 2 e) a = 3 XIV - Sistemas Lineares 97) Analise as proposições abaixo, classificando-as em VERDADEIRA(S) ou FALSA(S). I) o sistema linear ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + = + 0 0 0 mz y z x y x é indeterminado para m= -1 e uma de suas soluções é a terna ordenada (-1, 1, 1) II) Para que o sistema ¹ ´ ¦ = ÷ + = + + 0 ) 2 ( 4 10 7 ) 1 ( y m x y x m seja possível deve- se ter m = -5, somente. III) Na equação matricial ( ¸ ( ¸ ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ ( ¸ ( ¸ + + + ÷ 5 2 0 3 1 0 1 1 . 2 1 z y x z y x a soma x+y+z é igual a 3 Tem-se a seqüência correta: a) V, V, F b) F, V, F c) V, F, V d) F, F, V 98) (ITA-78) Examinando o sistema abaixo ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ + = + + = ÷ + 0 z y 2x 0 2z 8y x 0 2z 4y 5x podemos concluir que: a) o sistema é determinado b) o sistema é indeterminado com 2 incógnitas arbitrárias c) o sistema é indeterminado com 1 (uma) incógnita arbitrária d) o sistema é impossível e) n.d.a. 99) (ITA-77) Seja: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + ÷ + ÷ = ÷ + + + ÷ = ÷ + ÷ + + 0 z ) k k ( y ) k k ( x ) k k ( 0 z ) k k ( y ) k k ( x ) k k ( 0 z ) k k ( y ) k k ( x ) k k ( 1 3 2 3 2 1 1 3 3 2 1 2 3 1 3 2 2 1 um sistema homogêneo de equações lineares reais em x, y e z. Com respeito ao sistema acima podemos afirmar: a) se k 1 = ± k 2 , k 1 = ± k 3 e k 2 = ± k 3 então o sistema só admite solução trivial. b) se k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 = 0, então o sistema só admite solução trivial. c) o sistema admite solução não trivial se e somente se k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 = 0. d) se k 1 = 0, k 2 = 0 e k 3 = 0, então o sistema só admite solução trivial. e) o sistema admite solução não trivial para quaisquer valores reais de k 1 , k 2 e k 3 . XV – Probabilidade 100) Dentro de uma caixa há nove etiquetas. Cada etiqueta recebe um número de 01 a 09, sem repetir nenhum. Retira- se três delas, uma a uma, sem reposição. A probabilidade de que os três números correspondentes às etiquetas retiradas sejam, nesta ordem, ÍMPAR – PAR – ÍMPAR ou PAR – ÍMPAR – PAR é de a) 28 1 b) 18 5 c) 81 20 d) 36 5 11 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m GABARITO 1) B 2) A 3) A 4) B 5) C 6) A 7) D 8) D 9) C 10) D 11) C 12) D 13) A 14) A 15) D 16) D 17) A 18) B 19) E 20) D 21) D 22) B 23) C 24) C 25) D 26) C 27) C 28) E 29) C 30) A 31) C 32) A 33) A 34) A 35) D 36) B 37) B 38) C 39) D 40) B 41) D 42) B 43) C 44) C 45) C 46) E 47) E 48) B 49) B 50) C 51) E 52) A 53) B 54) C 55) B 56) C 57) D 58) D 59) B 60) 66 61) A 62) B 63) A 64) C 65) B 66) E 67) A 68) E 69) A 70) E 71) C 72) A 73) a) 2 2 n b) 2 n n ÷ 2 C) 2 2 2 n n + d) 2 n * 3 2 2 n n ÷ e) 2 2 2 n n ÷ f) 3 2 2 n n ÷ 74) B 75) E 76) C 77) D 78) B 79) E 80) E 81) C 82) A 83) B 84) A 85) C 86) E 87) B 88) Número = ( ) | | 2 n 3 / 1 10 . 2 + . 89) 10 1 6 5 a . a b a = . 90) C 91) E 92) B 93) B 94) A 95) B 96) D 97) C 98) C 99) D 100) B Júlio Sousa Email:
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