5.3 diseños factoriales 2k, 3k e ingenierías de la calidad de acuerdo a Taguchi.En estadística, un experimento factorial completo es un experimento cuyo diseño consta de dos o más factores, cada uno de los cuales con distintos valores o niveles, cuyas unidades experimentales cubren todas las posibles combinaciones de esos niveles en todo los factores. Este tipo de experimentos permiten el estudio del efecto de cada factor sobre la variable respuesta, así como el efecto de las interacciones entre factores sobre dicha variable. Por ejemplo, con dos factores y dos niveles en cada factor, un experimento factorial tendría en total cuatro combinaciones de tratamiento, y se le denominaría diseño factorial de 2×2. Si el número de combinaciones en un diseño factorial completo es demasiado alto para su procesamiento, puede optarse por un diseño factorial fraccional, en el que se omitan algunas de las combinaciones posibles. Historia Los diseños factoriales fueron utilizados en el siglo XIX por Jhon Bennet Lawes y Henry J. Gilbert de la Estación experimental de Rothamsted. Ronald Fisher discutió en 1926 que los diseños «complejos», como diseños factoriales, eran más eficientes que estudiando un factor a la vez. Fisher escribió: «ningún aforismo se repite más con frecuencia con respecto a ensayos prácticos, que eso nosotros debe hacer naturaleza pocas preguntas, o, idealmente, a una pregunta, a la vez. Convencen el escritor de que esta visión está confundida enteramente. Naturaleza, sugiere, responderá lo mejor posible a un lógico y pensó cuidadosamente hacia fuera el cuestionario.» Un diseño factorial permite el efecto de varios factores e incluso interacciones entre ellas que se determinarán con el mismo número de ensayos que son necesario determinar de los efectos por sí mismo con el mismo grado de exactitud. Yates realizó importantes contribuciones significativas hechas, particularmente en el análisis de diseños, por Análisis de Yates. El término factorial no se pudo haber utilizado en la impresión antes de 1935, cuando Fisher la utilizó en su libro El diseño de experimentos. Notación Diagrama de cubo para 3 dimensiones usando variables A, B y C. Los puntos en este experimento se pueden representar como − − , + − , − + , y + + los puntos factoriales se pueden también abreviar cerca , a, b, y el ab, donde la presencia de una letra indica que el factor especificado está en su alto (o en segundo lugar) nivel y la ausencia de una letra indica que el factor especificado está en su (o primero) nivel bajo (por ejemplo, “a” indica que el factor A está en su alto ajuste, mientras que el resto de los factores están en su ajuste del punto bajo (o primero). Se utiliza indicar que todos los factores están en sus (o primero) valores más bajos. Para poder finalmente obtener un modelo estadístico que nos indique el valor de respuesta al modificar los factores. Calculo del efecto Contraste = (suma de niveles+)-(suma de niveles-) Efecto Contraste /replica*2^k b= efecto/2 bo= suma total/número total Modelo estadístico: Y= bo+ b1X1 + b2X2...... Ejemplo: el experimento factorial más simple contiene dos niveles para cada uno de dos factores. Suponga los deseos de un ingeniero para estudiar la energía total usada por cada uno de dos diversos motores, A y B, funcionando en cada uno de dos diversas 2000 o 3000 RPM de las velocidades. El experimento factorial consistiría en cuatro elementos experimentales: viaje en automóvil A en 2000 RPM, viaje en automóvil B en 2000 RPM, viaje en automóvil A en 3000 RPM, y viaje en automóvil B en 3000 RPM. Cada combinación de un solo nivel seleccionado de cada factor está presente una vez. Este experimento es un ejemplo de 22 (o 2x2) experimento factorial, nombrado así porque considera dos niveles (la base) para cada uno de dos factores (la energía o el exponente), o niveles factores, produciendo 22puntos factoriales =4. Los diseños pueden implicar muchas variables independientes. Como otro ejemplo, los efectos de tres variables entradas se pueden evaluar en ocho condiciones experimentales demostradas como las esquinas de un cubo. Esto se puede conducir con o sin la réplica, dependiendo de su propósito previsto y recursos disponibles. Proporcionará los efectos de las tres variables independientes en la variable dependiente y las interacciones posibles (en caso de haber más de 3 se habla de un hiperespacio). Análisis de Yates: la técnica fundamental consiste en repartir el total en componentes mediante sumas de cuadrados. Esta técnica tuvo efectos secundarios en el modelo. Por ejemplo, demostramos el modelo para un ANOVA simplificado con un tipo de tratamiento en diversos niveles. Los los grados de libertad se pueden repartir de manera similar y especifican distribuciones chi-cuadrado que describen las sumas asociadas de cuadrados. Prueba F de Fisher Se utiliza para las comparaciones de los componentes de la desviación total. Por ejemplo, en una forma, o el solo-factor ANOVA, la significación estadística es probada para comparando la estadística de la prueba de F Donde: Número de tratamientos: ,I Total de casos: , n T' F-distribución con el del I-1, secundario< del > n< T> /sub grados de libertad. Usar la F-distribución es un candidato natural porque la estadística de la prueba es el cociente de dos sumas malas de los cuadrados que tienen a distribución del chicuadrado. Experimento factorial general Los resultados del Anova para dos factores pueden ser extendidos a un caso general en donde a son los niveles del factor A, b son los niveles del factor B, c son los factores del nivel C, y así sucesivamente, los cuales pueden ser arreglados en un experimento factorial, en el cual el número de réplicas es n. Está diseñada para generar procesos de calidad. Taguchi desarrolló una aproximación al diseño de experimentos con el objetivo de reducir los costos emanados de la experimentación, esta aproximación es más práctica que teórica y se interesa más por la productividad y los costos de producción que en las reglas estadísticas. Los conceptos de estas técnicas están basados en las relaciones de costos y ahorros. Diseñar un sistema de manufactura para elaborar un producto requiere de conocimientos técnicos además de una gran experiencia en el área a la cual pertenece el producto. Los diseños factoriales son ampliamente utilizados en experimentos en los que intervienen varios factores para estudiar el efecto conjunto de estos sobre una respuesta. Existen varios casos especiales del diseño factorial general que resultan importantes porque se usan ampliamente en el trabajo de investigación, y porque constituyen la base para otros diseños de gran valor práctico. En los últimos años se ha observado un creciente interés por algunas de las ideas del profesor Genechi Taguchi acerca del diseño experimental y su aplicación al mejoramiento de la calidad El diseño factorial fraccionario 2 k-p se usa en experimentos de escrutinio para identificar con rapidez y de manera eficiente el subconjunto de factores que son activos, y para obtener alguna información sobre la interacción. La propiedad de proyección de estos diseños hace posible en muchos casos examinar los factores activos con más detalle. La combinación secuencia de estos diseños a través del plegamiento es una forma muy eficaz de obtener información extra acerca de las interacciones, la cual puede identificarse en un experimento inicial como potencialmente importante. Diseño Factorial General 2k Los diseños factoriales son a ampliamente utilizados en experimentos en los que intervienen varios factores para estudiar el efecto conjunto de estos sobre una respuesta. Existen varios casos especiales del diseño factorial general que resultan importantes porque. Se usan ampliamente en el trabajo de investigación, y porque constituyen la base para otros diseños de gran valor práctico. El más importante de estos casos especiales ocurre cuando se tienen k factores, cada uno con dos niveles. Estos niveles pueden ser cuantitativos como sería el caso de dos valores de temperatura presión o tiempo. También pueden ser cualitativos como sería el caso de dos máquinas, dos operadores, los niveles "superior" e "inferior" de un factor, o quizás, la ausencia o presencia de un factor. Una réplica completa de tal diseño requiere que se recopilen 2 x 2 x.... x 2 = 2k observaciones y se conoce como diseño general 2k. El segundo caso especial es el de k factores con tres niveles cada uno, conocido como diseño factorial 3k. Se supone que: a) los factores son fijos b) los diseños son completamente aleatorios c) se satisface la suposición usual de normalidad El diseño 2k es particularmente útil en las primeras fases del trabajo experimental, cuando es probable que haya muchos factores por investigar. Conlleva el menor número de corridas con las cuales pueden estudiarse k factores en un diseño factorial completo. Debido a que sólo hay dos niveles para cada factor, debe suponerse que la respuesta es aproximadamente lineal en el intervalo de los niveles elegidos de los factores. Diseño 22 El primer diseño de la serie 2k es aquel que tiene sólo dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse "inferior" y "superior". Diseño 23 Suponga que se encuentran en estudio tres factores A, B y C, cada uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial, 23 y las ocho combinaciones de tratamientos pueden representarse gráficamente mediante un cubo. Existen en realidad tres notaciones distintas que se usan ampliamente para las corridas o ejecuciones en el diseño 2k: a) La primera es la notación "+,-", llamada "geométrica". b) La segunda consiste en el uso de letras minúsculas para identificar las combinaciones de tratamientos. c) En la tercera se utilizan los dígitos 1 y 0 para denotar los niveles alto y bajo del factor, respectivamente. Diseño factorial fraccionado 2k-p Un diseño factorial fraccionario 2k que contiene 2k-p ensayos se conoce como fracción 1/2p del diseño factorial 2k, o simplemente diseño factorial fraccionario 2k- p . Estos diseños requieren que se elijan p generadores independientes. La relación que define estos diseños consta de las p generadoras originalmente elegidas y de sus 2P - P - 1 interacciones generalizadas. La estructura de los alias puede determinarse multiplicando cada efecto, módulo 2, por la relación que define al diseño. Se debe tener cuidado al elegir las generadoras para que los efectos de interés potencial no sean alias entre sí. Cada efecto tiene 2P-1 alias. Por lo regular, se suponen despreciables las interacciones de orden superior (las de tercero, cuarto o mayor orden) cuando los valores de k son moderadamente grandes. Esto simplifica mucho la estructura de los alias. Diseño Factorial General 3k Este diseño es una variación del diseño 2k y son muy útiles como las que se emplean cuando todos los factores actúan a tres niveles. En los últimos años se ha observado un creciente interés por algunas de las ideas del profesor Genechi Taguchi acerca del diseño experimental y su aplicación al mejoramiento de la calidad. Este es un diseño que consta de k factores con tres niveles cada uno. Los factores y las interacciones se representan mediante letras mayúsculas. Los tres niveles de los factores pueden referirse como nivel inferior, intermedio y superior. Estos niveles se representan mediante los dígitos 0 (nivel inferior), 1 (intermedio) y 2 (superior). Cada combinación de tratamientos de un diseño 3k se presenta mediante k dígitos, donde el primero incida el nivel de A, el segundo señale al nivel de B,..... y el késimo dígito, el nivel del factor k. Por ejemplo, es un diseño 32 el 00 representa la combinación de tratamientos, en la que tanto el factor A como el B están en el nivel inferior, y el 01 representa la combinación de tratamientos que corresponde al factor A en el nivel inferior y a B en el nivel intermedio. En éste, el sistema de notación que se prefiere usar es el de + - en virtud de que facilita la interpretación geométrica del diseño y de que es directamente aplicable al modelado por regresión, la formación de bloques y la construcción de factoriales fraccionarios. La adición de un tercer nivel permite modelar con una relación cuadrática la relación entre la respuesta y cada factor. Diseño 32 El diseño más simple es el 32 que consta de dos factores con tres niveles cada uno. Como hay 32 = 9 combinaciones de tratamientos, existen 8 grados de libertad entre ellas, Los efectos principales A y B tienen dos grados de libertad cada uno, y la interacción AB tiene cuatro grados de libertad. Si hay n réplicas habrá un total de n32 - 1 grado de libertad, correspondiendo para el error 32 (n-1) grados de libertad. Diseño 33 Si se supone que se están estudiando tres factores (A, B, C) y que cada factor tiene tres niveles acomodados en un experimento factorial. Diseño del proceso Diseñar un sistema de manufactura para elaborar un producto requiere de conocimientos técnicos además de una gran experiencia en el área a la cual pertenece el producto. TAGUCHI define la calidad de la siguiente manera. “la calidad de un producto es la perdida mínima impartida por el producto a la sociedad, desde el momento en que es embarcado. “El fabricante es quien más resiente las pérdidas debido a la reacción negativa del consumidor de un producto de mala calidad.Taguchi quiere decir por desarrollo de tecnología es lo siguiente: El desarrollo de tecnología es realizar una investigación, tras completar el diseño de un sistema, para optimizar la robustez de la función básica de una familia de productos. La investigación es realizada en un laboratorio,