5 revision de algunos conceptos de probabilidad.pdf

Revisión de algunosconceptos de probabilidad c~liiiliii\c r i i i , i i l i i i q i i i ' ' 1 ' . '1: Ii1r1.1i. riii;. i i . i . i l i > . ,,l i l , i , i Ii,it<irir,i\i i i lici1iiii:ii r c i c i d i i.+i.i <iii<l,i<l (:ii.iiviil.i ~ r i , i i.iciiti, Ilit .i ,dI:,ii Iilqsi i i i \ V i t i . : t i . i'iii, ~ ; i i ! < liriii:: ~ c i i i i i , , \ ' . i ~ i :(:,,,il li i~~oI>.il>ilit!.i~! di r q i i i i i i iiiii,!.i i;.i,.i : i . i ~ . ~ , ! ~ > . i ilt i < r i i , i t i , , l , ,!< <it<i\ <J... ! h i q i ~ i c \ ' i\ks~ililciiii> i1 i ii.rcii.i<i \l 1 1 ii i ~ i i l.iii>iiq l l i < i \ CINCO Calcular probabilidades aplicando las reglas de adición y las reglas de rnultipl~cacion. SEIS Utilizar un diagrama de árbol para organizar y evaluar probabilidades. SIETE Calcular una probabilidad utilizando el teorema de Bayes Introducción Los capitulos 2 al 4 se centraron en la estadistica descriptiva. En el capitulo 2. los precios de 80 vehiculos que se vendieron el mes pasado en la agencia Whitner Pontiac. se organizaron en una distribución de frecuencias para mostrar los precios de venta más bajos y más altos. y dónde se presenta la mayor concentración de datos. En los capitulos 3 y 4 se utilizaron medidas de tendencia central y de dispersión para establecer el precio de venta tipico [aproximadamente $20 000 (dólares)] y para examinar la dispersión de los datos. La dispersióri de los precios de venta se describió empleando medidas de dispersión como la amplitud de variación y la desviación estandar Por tanto, la estadística descriptiva se ocupa de describir algo que ya ha ocurrido. Por ejemplo, los precios de venta de los vehiculos en la agencia Whitner Pontiac, el mes pasado. Ahora la atención se dirigirá al estudio de la segunda faceta de la estadística. que es el calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro. Esta parte de la estadística se denomina estadistica inferencia1 o bien. inferencia estadística. En muy pocas ocasiones el encargado de tomar decisiones dispone de informacion completa a partir de la cual pueda realizar una determinación. Por ejemplo: Toys 8, Things, un fabricante de juguetes y rompecabezas, ha desarrollado un nuevo juego basado en una trivia deportiva, y desea saber si los aficionados al deporte comprarán o no dicho juego. Dos de los posibles nombres son "Slam D u n k y "Home Run". Una forma de minimizar el riesgo de una decisión equivocada consiste en contratar a una empresa de encuestas para que tome una muestra de. por ejemplo, 2 000 personas de la población. y pregunte a cada una cómo reaccionaria ante el nuevo juego y los titulos propuestos. El departamento de control de calidad de la empresa Bethlehem Steel debe asegurar a ia gerencia respectiva que el alambre de un cuarto de pulgada de grosor que se está produciendo, tiene una resistencia aceptable a la tensión. Es obvio que no todo el alambre producido se puede probar para determinar su resistencia a la tensión mecánica, pues la prueba requiere que se estire hasta romperlo, destruyéndolo. De manera que se selecciona una muestra aleatoria de 10 piezas y se prueba. Con base en los resultados del ensayo, todo el alambre producido se considerara satisfactorio o no satisfactorio. Otras cuestiones relacionadas con la incertidumbre son: ¿Debe discontinuarse de inmediato la telenovela Days of Our Lives? 'Deberia el equipo Gigantes de Nueva York seleccionar en ia primera ronda de contrataciones a Sarnmy Uwea o a Clint Murray para las ligas colegiales de beisbol? LProducira ganancias un nuevo cereal con sabor a menta al ser introducido al mercado? ¿Debe el casarse con Jean? LDeberia comprar un Roiis Royce nuevo? ¿Debemos votar por Charles Linden como representante de la ciudad donde vivo? La inferencia estadística se ocupa de obtener conclusiones acerca de una población basándose eii una muestra tomada de aquella. (Las poblaciones en los ejemplos anteriores son: todos los consumidores a los que les gustan los juegos de trivias deportivas, todo el alambre de acero de un 114 de pulgada que se fabricó, todos los televidentes aficionados a las telenovelas. la totalidad de los jugadores de futbol americano colegial que serán contratados por los equipos profesionales. y asi sucesivamente.) Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomar decisiones; resulta importante que se evalúen en forma cientifica todos los riesgos iniplicitos conocidos. Es de gran ayuda en esta evaluación la teor;a de ia probabilidad, a la que frecuentemente se denomina "ciencia de la incertidumbre". El empleo de la teoria de la probabilidad permite -a quien toma decisiones con informacion Iimitada- analizar los riesgos y minimizar el azar inherente. Por ejemplo, al lanzar al mercado un nuevo producto o aceptar un embarque recién llegado que puede contener piezas defectuosas. Revisión de algunos conceptos de probabilidad lil Como los conceptos de probabilidad son tan importantes en el campo de la inferencia estadística (cuyo análisis se iniciará en el capitulo E), en este capitulo se presenta el lengua]e básico de la probabilidad, que comprende términos como experimento. evenfo, probabilidad subjetiva y las reglas de adición y multiplicación ¿Qué es una probabilidad? Sin duda alguna el lector está familiarizando con términos tales como probabilidad, posibilidad y azar. Con frecuencia se utilizan indistintamente. El pronóstico del servicio meteorológico anuncia que hay 70% de posibilidades de lluvia para el domingo en el que se realiza el luego del Super Tazón en el futbol de EUA. Mediante una encuesta a consumidores que probaron un nuevo pepinillo con sabor a plátano, la probabilidad de que si se lanza al mercado sea un éxito financiero, es 0.03. (Esto significa que la posibilidad de que el nuevo pepinillo con sabor a plátano sea aceptado por el público, es más bien remota). ¿Que es una probabilidad? En general, es un número que evalúa la posibilidad de que algo suceda. Probabilidad Valor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento. En el estudio de la probabilidad se utilizan tres palabras clave: experimento, resultado y evento. Estos términos se emplean en el habla cotidiana. pero en estadistica tienen significados especificas. Experimento Proceso que conduce a que ocurra una (y solamente una) de varias ob~e~acione posibles. s Esta definic~ónes más general-que la que se utiliza en las ciencias fisicas, donde es fácil imaginar a una persona manipulando microscopios o tubos de ensayo. En probabilidad, un experimento tiene dos o más resultados posibles, y es incierto cuál es el que ocurrirá. Resultado Un suceso particular proveniente de un experimento. Por ejemplo. lanzar una moneda al aire es un experimento. Se puede observar el lanzamento de la moneda. pero no se sabe si caerá "cara" (anverso) o "cruz" (reverso), De forma semejante. preguntar a 500 universitarios si cornprarian o no la nueva computadora Dei1 a un precio determinado, seria un experimento. Si la moneda se tira al aire. un resultado particular es "cara". El resultado alternativo es "cruz". En el experimento de la compra de una computadora, un resultado posible es que 273 estudiantes indiquen que si la comprarian. Otro resultado puede ser que 317 alumnos si adquirirían la máquina. Otro resultado más es que 423 estudiantes digan que si la adquirirían. Cuando se observan uno o más de los resuitados de un experimento, esto se conoce como un evento. 1 Evento Conjunto de uno o más resultados de un experimento. 1 En las siguientes páginas se presentan algunos ejemplos para aclarar las definiciones de los términos experimento. resulfado y evento en la ciencia estadistica. En el experimento de lanzar un dado existen seis resultados posibles, pero hay muchos eventos posibles. Si se cuenta el numero de miembros del consejo directivo mayores de 60 anos, en las 500 compaiiias presentadas en la revista Foriune. el numero de resultados posibles puede estar entre cero y la cantidad total de miembros. En este experimento hay un gran numero de eventos posibles. 152 1 Capítulo 5 Experimento Lanzar un dado Contar d numero de miembros del consejo direct~voen las 600 ornpresas presentadas en Foni;rie cuya edad es superior a 60 anos. Obtener i i r i 1 Ninguno tieiie niás de 60 Obtener iiii 2 Uno tiene más de 60 Obteiier ori 3 Dos tienen mas de 60 - -~ Otitenei uii 4 29 tienen inbs de 60 Obtener uri 5 Obtener i i r i 6 Alrliiiirjs $veritos posibles i l . l Onterier LJII t i i ! ~ n ? ~l c ~ ~ r Ot;le!ie: Liii nurnero iiiny<:r qiie 4 Obterier iin riuriiero .gii,il 'i~rile~or n :3 ! - Mas d? 13 tener?mas de 63 Ib?encsoe 20 :tenen inas O e i;l - 1 l -- Una probabilidad se expresa como una fraccion decimal, tal como, 0.70, 0.27 o bien 0.50. También puede indicarse corno una fracción común: por ejemplo, 7/10, 271100 o 112.Una probabilidad puede asumir cualquier valor desde O hasta 1. inclusive. De modo que si u!ia compañía tiene solo cinco regiones de ventas y el nombre o número de cada una se escribe en un trozo de papel. y luego tales datos se colocan en un sombrero. la probabilidad de seleccionar una de las cinco zonas es 1. La probabilidad de sacar del sombrero un trozo de papel que diga "Acereros de Pittsburgh" (un equipo deportivo), es O. De esta forma. la probabilidad 1 representa algo que seguramente va a suceder, y la probabilidad O correcponde a algo que no puede ocurrir. Cuanto más se aproxime a O una probabilidad, es más improbable que ocurra el evento respectivo. Cuanto más se acerque a 1, tanto mas seguro es que suceda. La relacion se muestra en el diagrama siguiente. junto con algunas creencias personales. Sin embargo, otro lector de este libro tal vez le asigne una probabilidad diferente a que gane el caballo Slo Poke en el Derby de Kentucky, o a que haya un aumento en los impuestos federales. Q l 3iJ l " 10 ,320 ' 3 2 t P r d t ~ a ~ I ~ dPiooab!i~aLi ad de i ~ iqiie c el S o quc SIC%he :iesapareica gane el, e Deihy este ano de Kentuvky l , 15 , - - - - A i).?, t ijú() ~~-~A--L.-L i< g.50 0 . (j t t i Pvoiiahildad 3: e i l . de ;iui!ler,to iiiin ~~ioii<idn i,iiq:i en los ' r "l ilrlpi~stos t r u :v, f<?iie~nli:s jiJ ! , .]m t ProUat>::iOó~i oe que llueva este ano eii Florida iuqadores veteranos de este tipo de atraccio. es decir. En respuesta. Enfoques de la probabilidad Se analizaran dos enfoques del análisis probabilístico. presiones de 1 050 libras por piilgada cuadrada (Iblpulg'. 190 de 1 000. que se analizarán en ei capitulo 10. Caso 2 En un gran proyecto de construccion se requieren miles de bloques de concreto.Revisión de algunos conceptos de probabilidad Autoexamen 5. se le debe otorgar el contrato. al azar? La probabilidad ayuda a tomar una decisión en este tipo de situaciones. como el de músicos. Probabilidad clásica La probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibies.obabilidad de que el nuevo juego de video sea un éxito se calcula que es-1. ya que senala que la diferencia de sólo 8 psi podria deberse al muestre0 (al azar). nes van a probar su potencial de mercado. i u e ~ ode video. Si la aseveración de Taylor también es correcta. Se disetió un numero especial y se envio a una muestra de 1 000 aficionados. La Strong Block Co. Dos empresas que fabrican estos bloques presentaron muestras para probarlos. en promedio. como se vera en el capítulo 11. o psi). Si la afirmacon de Strong Block es correcta. y decidir inmediatamente que no se va a publicar la revista? ' 0 podria atribuirse la diferencia entre el porcentaje necesario (20) y el porcentaje muestra1 (19) al muestreo.1 151 Se ha desarroilado un nuevo ~. Empleando el punto de vista clásico. Caso 1 Con base en la experiencia. los de la Taylor Company tuvieron una resistencia de 1 062 psi. ¿Debe afirmarse que esta proporción es menor que 20%. considera que se le debe otorgar el contrato porque sus bloques tienen una resistencia media mayor. La probabilidad ayudará a tomar una decisión en un caso como éste. ei contrato se dividirá entre las dos compafiias. los puntos de vista objetivo y subjehvo. es decir 19%. especificamente. una empresa editorial determinó que al inenos 20% de cierto grupo. La compañía Taylor no está de acuerdo. 80 . afirmaron que se siiscribirian a la revista si Ésta se publicara. La resistencia de los bloques de la firma Strong Block Co. a) 'Cuál es el experimento? b) ¿Cuál es un resultado posible? c) Suponga que 65 jugadores probaron el nuevo juego y afirmaron que les gusto. ¿Qué le indica esto? e) Especifique un evento posible. tuvo un valor medio de 1 070 psi. debe suscribirse a una revista mensuai para que ésta sea un Éxito financiero. La empresa esta considerando una publicación mensual para aficionados a observar aves. ¿Que función tiene la probabiiidad en la toma de decisiones? Esta pregunta puede contestarse citando dos casos que se analizaran en capitulos posteriores. la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el numero total de resultados posibles: . Las especificaciones indican que éstos deben soportar. La probabilidad objetiva puede subdividirse en: (1) probabilidad ciasica y (2) probabilidad ernpiiica. ¿Es 65 una ~robabilidad? d) La p. cada resultado sera un número par o impar. no puede caer un numero impar al inismo tiempo.-Numero de resultados favorables Numero total deresultados posibles í5.11 u - EJEMPLO Considérese el experimento de lanzar un dado comun. Si cae un numero par.) Además. tales como los eventos "cae un número par" y "cae un número impar" cuando se lanza un dado. se dice que los eventos son mutuamente excluyentes.. . [ ~ Número de resultados favorables .~de resultados posibles ~ 0. Si un experimento tiene un conjunto de eventos que comprende a todos los resultados posibles. los eventos "un numero par" y "un número impar" son mutuamente excluyentes.DEFINICI~N DE LA PROBABILIDAD CLÁSICA probabilidad de un evento = . entonces el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo. los eventos deben tener la misma posibilidad de ocurrir (a lo que se denomina eventos igualmente posibles. ¿Cuál es la probabilidad del evento "cae un numero par"? SOLUCI~N Los resultados posibles son: un uno un dos un cuatro m 1 0 un cinco Ijn tres Hay tres resultados "favorables" (un "dos". En el experimento donde se lanza una moneda: Probabilidad Evento: Cara Evento Cruz O5 1 I1 05 1O Para que se pueda aplicar el enfoque clásico.~ Mutuamente exciuvente La ocurrencia de un evento implica que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Por tanto: -~ probabilidad de un par 3 t 6l a t+ =. un "cuatro" y un "seis") en el conjunto de seis resultados posibles igualmente probables.5 Si sólo uno de varios eventos puede ocurrir cada vez. En el experimento de tirar un dado. el conjunto es colectivamente exhaustivo. Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamente excluyentes. . Sunia de probabilidades = 1 En el experimento de tirar un dado. Por tanto. Colectivameiite exhaiistivo Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento. el conjiiiito de eventos debe ser mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo. la suma de las probabilidades es 1. esto significa evaluar las opiniones disponibles y otra información para despues estimar o asignar la probabilidad. En otras palabras. con base en la experiencia. es decir. existe una probabilidad de 0. tampoco se tierie que realizar un experimento para determinar la probabilidad de que su declaración de impuestos fiscales sea sometida a una auditoria. Por ejemplo. el enfoque clasico de la probabilidad se desarrolló y aplico en o s siglos XVll y XVlll a juegos de arar. en la Universidad de Toledo (EUA).0012. Puesto que 383 de los 751 egresados. y en este caso P(A) indica la probabilidad de que un graduado no labore en el área principal de sus estudios universitarios. o bien tres "caras" cuando se lanzan al are tres monedas. Atinadaniente. la probabilidad de que o auditaran seria 0. si hay 2 millones de declaraciones que se envian a la oficina fiscal de recaudacitn de su distrito y se va a realizar una auditoria sólo a 2 400. Observese que es innecesario realizar un experimerito para determinar la probabilidad de que ocurra un evento cuando se utiliza el enfoque clásico. se puede llegar en forma logica a la probabilidad de obtener "cruz" en el lanzamiento de una moneda. I'robahiliclad siihjetiva SI existe poca o ninguna experiencia en la cual se pueda basar una probabilidad. pasado N h e r o totalde observaciones ~~ ~ ~ ~ Para simplificar. 0.l ii Revisión de algunos conceptos de probabilidad Desde un punto de vista histórico. se pueden utilizar letras o números. a este concepto se e denomina probabilidad subjetiva. un egresado especializado en contaduria. .51 en terminos de probabilidad. La probabilidad de que un evento ocurra se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. evento A. ¿Cuál es la probabilidad de que un egresado de administracion labore en una área distinta a la de sus estudios universitarios? Probabilidad de que suceda u n evento i i ! i : Numero de veces que ocurrio el evento en e ~~~. puede determinarse una probabilidad en forma subjetiva Fundamentalmente. Suponiendo que todas las declaraciones tengan la misma probabilidad de ser auditadas. P corresponde a probabilidad. estan en un campo laboral diferente al de su área de estudio. . Este experimento revelo que 383 de los 751 egresa dos no estaban empleados de acuerdo con su principal área de estudio. ahora es gerente de mercadotecnia en una empresa empacadora de tomates. como el de cartas y el de dados. Utilizando una fórmula: de qi.e suceda un evento EJEMPLO Numero de veces que ocurrio e everito en el pasado Numero total de obse~aclones Se efectuó un estudio con 751 egresados de la carrera de administración de empresas. .51 de que un graduado en administración labore en un campo distinto del de su área de estudios. que se obtiene al dividir 2 400 entre 2 millones. Es obvio que la probabilidad de que su declaración sea sometida a una auditoria es muy pequeña (o remota. se puede emplear esto como una estimación de la probabilidad. que es asignada por una persona basándose en cualquier información que este disponible. <:oiicel>to de I>robal>ili<lad siibietiva Es la posibilidad (probabiiidad) de que suceda uri evento especifico.) Concepto empírico Otro modo de definir la probabilidad es basándose en las frecuencias relativas. Por ejemplo. De la misma forma. 24 se debieron a accidentes automovilisticos. y 333 a enfermedades del corazón.. Mencione todos los posibles resultados de este experimento. En ambos casos (cuando se lanza un dado y en la prueba de un producto nuevo) una persona asigna un valor de probabilidad a un evento de interés. Por ejemplo. Desde luego. Se observó que una expresión probabilistica siempre constituye la estimación de u11 vaior desconocido que regirá un evento que aún no sucede.2 l . Se va a seleccionar al azar una carta de una baraja americana de 52 naipes. En resumen.Son ejemplos de probabilidad subjetiva: 1. Estimar la posibilidad de que el equipo de los Patriotas de Nueva Inglaterra participen en el juego del Súper Tazón de futbol americano para el próximo año en (EUA). y puede indicar que la probabilidad de que caiga un "uno" al lanzarlo. 2. Una encuesta en un grupo de 34 estudiantes de una escuela de administración. informó que de cada 883 decesos. ¿Cual es la probabiiidad de que el Promedio Industrial Dow Jones (PIDJ) sobrepase e valor de 12 000 antes que llegase el Tercer Milenio? ¿Que enfoque de la probabilidad utilizó para contestar a esta pregunta? - Eiercicios 1. en un lapso de dos años. pierda su lugar numero 1 en el total de unidades vendidas. y sólo existe diferencia en la confianza del pronóstico en cuanto a la precisión de la estimación. Sin embargo. 182 al cáncer. a fin de lograr un presupuesto equilibrado. o se desecha. ¿Cuál es la probabilidad de que una muerte especifica se deba a un accidente de automóvil? ¿Que enfoque de la probabilidad utilizó para contestar a esta pregunta? 3. se repara. El individuo sabe lo suficiente acerca del lanzamiento de un dado normal.) Autoexamen 5. sabe muy poco acerca de la forma en que reaccionarán los consumidores cuando el producto se introduzca en el mercado nacional. en tanto que otras estan en contra. Posteriormente se establece si la parte se acepta. el cual se basa principalmente en el conocimiento que posea la persona que analiza el proceso en cuestión. El Centro Nacional de Estadisticas de Salud de Estados Unidos. ¿Cual es la probabilidad de que la carta elegida sea una reina? ¿Que enfoque de la probabilidad utilizó para contestar a esta pregunta? 2. Se seeccionaron dos personas y se registraron sus opiniones. 3. se aplicarán las mismas leyes de probabilidad (que se exponen en las siguientes secciones. Después se prueba otra. e indique que hay 70% de probabilidad de que el producto tenga ventas de mas de un miilón de unidades. sea cual fuere el punto de vista. hay una extensión considerable en el grado de incertidumbre que rodea a tal estimación.. Un inspector de control de calidad eligió una pieza fabricada para probarla. aunque una directora de investigación de mercado pruebe un producto nuevo en 40 supermercados. hay dos puntos de vista con respecto a la probabiiidad: el objetivo y el subjetivo. Estimar la posibilidad de que usted obtenga una calificación de 10 en este curso. o a la Chrysler Corp. Evaluar la probabilidad de que la empresa General Motors Corp. revela la siguiente selección de carreras profesionales: ' Contaduria Finanzas Sistemas de información Administración Mercadotecnia ! ~ -~ 10 5 3 6 1U -~ ~~ 1 . Mencione los resultados posibles. 2. es 116. Algunas personas en IEUA) estan a favor de la reduccion en os beneficios del Seguro Social. frente a la Ford Motor Co. 3. Pero conoce muy poco acerca de la aceptación en el mercado de un nuevo producto todavia no probado. a ) ¿Cual es la probabilidad de que el o ella estudie la carrera de administración? b ) ¿Qué concepto de probabilidad utilizo para hacer tal estimación? 4. 7. 6. Una empresa concederá un ascenso a dos empleados de un grupo de seis hombres y tres niujeres. a) Mencione los resultados de este experimento si hay interés especial relacionado con la igualdad de género sexual. Una pregunta relacionada con aspectos ambientales requiere una respuesta de si o no. lllinois. todos igualmente capacitados. se pregunto a 500 ciudadanos si apoyaban la ampliación. Una empresa grande planea contratar a un nuevo presidente y ha preparado una lista final de cinco candidatos. en la ciudad de Whitehouse. a ) ¿Cual es a probabilidad de que contraten a un integrante de a minoria? b ) ¿Que concepto de probabilidad utilizó para llegar a tal conclusión? 5. Ha recibido seis cartas por correo respecto a este asunto. c) Diez de los 40 ejecutivos respondieron "si". a ) Una jugadora de basquetbol realiza 30 canastas (o encestes) en 50 tiros por faltas. a ) ¿Cuál es el experimento? b) Mencione un evento posible. ¿Cuai es la probabilidad de que uno de ellos sea elegido como el vocero? c ) Considere que usted compra uno de los 5 millones de billetes que se vendieron en el sorteo de loteria. a ) 'Cuál es el experimeiito? b ) 'Cuáles son algunos de los eventos posibles? c ) Mencione dos resultados posibles. b) ¿Que concepto de probabilidad utilizaria para calcular esas probabilidades? 9. Hay 52 cartas en una baraja americana.6. El presidente del comité directivo de la empresa Rudd lndustries pronunciara mañana un discurso ante ¡os accionistas de la compania. explicando su opinión en lo concerniente a que dicha corporación debe fusionarse con la empresa Zimmerman Plastics. En cada uno de los casos siguientes indique si se utiliza la probabilidad clásica. 8. La empresa decide seleccionar a presidente mediante un sorteo. Una muestra de 2 000 conductores con licencia reveló la siguiente informacion relacionada con el número de infracciones de transito. El departamento de via publica. a ) ¿Cual es el experimento? b ) ¿Cuales son algunos de los posibles eventos? c ) Mencione dos resultados posibles. La probabilidad de que efectue bien el siguiente tiro es 0. ¿Cual es la probabilidad de que gane el premio mayor de uii millón de dolares? d) La probabilidad de que ocurra un sismo en el norte de California en los próximos 10 arios.80. Con base en ¡as respuestas de la muestra. Se lanza un solo dado a ) ¿Cual es la probabilidad de que caiga un "dos"? b) ¿Que concepto de probabilidad se ilustra con esto? c ) ¿Los resultados para los numeros del "1" al " 6 son igualmente probables y mutuamente excluyentes? Explique 11. Dos son miembros de un grupo de minoría social. . Se selecciono una muestra de 40 ejecutivos para que respondieran a un cuestionario de prueba. esta considerando ampliar la Avenida Indiana a tres carriles. ¿cuál es la probabilidad de que la respuesta de un ejecutivo sea afirmativa? d ) ¿Qué concepto de probabilidad ilustra esto? e) ¿Cada uno de los resultados posibles son igualmente probables y mutuamente excluyentes? 12. b ) Se formo un comité de alumnos ritegrado por siete miembros para estudiar asuntos ambientales. y esta interesado en conocer el numero de remitentes externos que están de acuerdo con el. empírica o subjetiva. Antes de tomar una decisión. es 0. a ) ¿Cual es a probabilidad de que la primera carta que se saque sea una de espadas? b) 'Cuál es a probabilidad de que a primera carta seleccionada sea el sota de espadas? c ) ¿Que concepto de probabilidad ilustran los incisos a y b7 10.Revisión de algunos conceptos de probabilidad 157 Suponga que selecciona un estudiante y se considera su elección profesional. con los eventos ''el numero 4 o mayor" y "el numero 2 o uno menor". a) Considere esto como un experimento y mencione cuatro resultados posibles.1 Numero de infracciones Número de conductores O 1 2 5 o nias 1910 46 18 l2 9 -. Si el resultado se encuentra en el primer grupo (4. Esta regla se expresa en la fórmula siguiente: REGLA ESPECIAL DE ADICI~N pyi O B) = P(A) + P(B) i5. c ) ¿Cual es la probabilidad de que un conductor especifico haya cometido exactamente dos infracciones? 4 ¿Que concepto de probabilidad ilustra esto? 13. los eventos deben de ser mutuamente excluyentes.. ~ i i a) ¿De que experimento se trata? b ) Mencione Lin evento posible. Recuérdese que mutuamente excluyente significa que cuando ocurre un evento. para utilizario en los cajeros automaticos. la regla especial de la adición indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos. Reglas de adición Dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo. Un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes es el experimento de tirar un solo dado. En ia actualidad los clientes bancarios seleccionan su propio numero de identificación personal (NIP) de cuatro dígitos.21 Para tres eventos mutuamente excluyentes. bro colis y otras legumbres La mayor parte de las bolsas contiene el peso correcto. es igual a la suma de sus probabilidades. ninguno de los otros puede suceder al mismo tiempo. a ) Mencione los eventos posibles para este experimento. la regla se expresa como: P(A o B o C) = P(A) + PIB) + P(C) EJEMPLO Una rnaqufna automatica Shaw llena bolsas de plastico con una mezcla de frijoles. pero debido a ligeras variaciones en el tamaño de las verduras. b) Calcule la probabilidad para cada evento que considero en el inciso anterior c ) que concepto de probabilidad utilizo en el inciso b7 Algunas reglas de probabilidad Ahora que se ha definido la probabilidad y se han descrito los diferentes enfoques de !a misma. Y un producto industrial que sale de una línea de ensamble no puede ser defectuoso y satisfactorio al mismo tiempo.5 Total 2 O00 L - - 3 4 . Un inversionista compra 100 acciones de AT&T y registra el cambio diario de precio. 5 y ti} no puede estar también en el segundo grupo (1 y 2). Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes. Regla especial de adición Para aplicar la regla especial de adición. un paquete puede tener un peso . se examinarán las combinaciones de eventos mediante la aplicación de las reglas de adición y de multiplicación. B y C. representados por A. b ) ¿Cual es la probabilidad de que el serior Jones y laseiiora Smth seleccionen el mismo NIP? c) ¿Que concepto de probabilidad utilizó para contestar a la pregunta anterior? 14. Venn (1835-18881 ideó un diagrama para representar gráficameiite el resultado de un experimento. . al inismo tiempo. Estos eventos son también colectivamente exhaustivos. ~ ~~.. Observe que los eventos A y --A son mutuaniente excliiyentes y colectivamente exhaustivos.l i'J Revision de algunos conceptos de probabilidad ligeramente menor o mayor. de nacionalidad inglesa.~~~~~ ~ Peso . - 1O0 3 600 300 A 0 C ~ 4 000 ~~ - ~ .~ . un peso satisfactorio o un peso mayor.31 Esta es la regla del complemento. Una verificación de 4 000 paquetes que se llenaron el mes pasado revelo lo siguiente: . Los eventos no se sobreponen. que se ii?drca P(--A)y se lee "no A . peso satisfactorio y peso mayor. lo cual indica que son mutuamente excliiyentes. mas la probabilidad de que no sea iiria bolsa con peso merior. y se dibuja dentro del rectángulo. . La regla del complemento se ~itilirapara determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando de 1 la probabilidad de que el evento no ocurra. primero se deiriiita un espacio en u11plaiio que representara todos los resultados posibles.P(-A) i5. debe ser Iogcamente igual a 1 . Apli. J. El concepto rnutuarnente exciliyenfe y otras reglas diversas para combinar probabilidades pueden visiializarse empleatido este recurso. .. Para elaborar iin diagrama de Venn.025 O <IOU O. P(A). Evento . Un diagrama de Venn qiie iliistre la regla del coniplenicnto seria. El resultado '"peso mayor" es el evento C. . Un evento se representa mediante un circulo. El sigiiiente diagrarna de Venn representa el concepto mutuarnerite excliiyente. ! La probabilidad de que una bolsa de legumbres niixtas tenga inenos peso.p ~ p~~ ~~ ~ -- ~ LCual es ia probabilidad de que un determinado paquete tenga un peso menor o mayor? SOLUCI~N El resultado "peso menor' es el evento A. 1O0 4 O00 ~~ 0. . lo que significa que un determinado paquete deberá tener un peso menor. lo ciial sigiiifica que un paquete con legumbres mixtas no pirede tener peso menor. Un diagrama de Venn es lin niedio Útil para representar la reglade adicion o la de rnultiplicacion El experto en lógica. cnrido la regla especial de adición: Observe que los eventos son niutuamente excluyentes. ~ . Este espacio genernlrriente tiene forina de rectjngiilo. . Número de paquetes ~ Menor Satisfactorio Mayor p Probabilidad de ocurrencia ~.Oi!> &~ ~ 1 000 ~ .. Fsto se expresa como sigue: Lo anterior puede expresarse con a regla del complemento: REGLA DEL COMPLEMENTO P(A) = 1 . cuya afea es proporcional a la prohabilidad del evento. 3 Se va a entrevistar un grupo selecto de empleados de la compañia Worldwide Enterprises con respecto a un nuevo plan de pensiones.900..P(C) = 0. Gerencia . ! Área de trabajo Evento .075 = 0.025 + 0.1OO.025. C) ¿Los eventos de la parte a) (1) son complementarios.. mutuamente excluyentes. En muchos casos es mas fácil calcular la probabilidad de que ocurra un evento determinando primero la probabiiidad de que no siiceda. más la probabilidad de que su peso sea menor Esto es. .900. P(A o Ci = P(A) . Número de empleados -~~-~ ~ ~ ~ - ~~- Supervisi6n Mantenimiento Produccion A B C D E .EJEMPLO Cabe recordar que la probabilidad de que una bolsa con verduras mixtas tenga menos peso es 0.[0. Autoexamen 5. SOLUCI~N La probabilidad de que el peso de la bolsa de legumbres no sea el correcto es igual a la probabilidad de que su peso sea mayor. de ambas clases? . Éstos se clasificaron como sigue: . por tanto P(B) = 1 [P(A)] + [P(C)] = 1 . El peso de la bolsa es satisfactorio si no es menor ni mayor.. y restando luego de 1 el resultado.025 + 0075j = 0. o bien. y que la probabilidad de que tenga mas peso es 0. Ilustre la solución utilizando un diagrama de Venn.075. El diagrama de Venii que ilustra esta situación es: La regia del complemento es iinportante en el estudio de la probabilidad. Se efectuaran entrevistas detalladas a cada uno de los empleados seleccionados en la muestra. Secretaral -- 7: 120 50 1460 302 68 - a¡ ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada: (i) sea empleado de mantenimiento o una secretaria? (11) no sea miembro de la gerencia? b) Elabore un diagrama de Venn mostrando sus respuestas del inciso a). Aplique a regla del complemento para demostrar que la probabilidad de que una bolsa tenga el peso correcto es 0. <<.11 c.. Por ejemplo.. !. Cuando dos eventos ocurren simultáneamente..c .\i<.l')t I..l. li. <l<>\ i...~~~~l.\ <li.!le %que"1 . y (2) se resta la probabilidad de visitar ambas atracciones. la probabilidad de seleccionar un turista que fue a Disney World es 0. cerca de Tampa.10..c <mcc<..te .. 1 .t<l . .ir.>1.P(A y 6) 15.?O < i l <1.. a la probabilidad respectiva se la denomina probabilidad conjunta..i:!iiiio . p r r .t> #!C<C'\ZT8Jhtt<!7:C $ 0. "1 ..il iiici....>.I!I.\:.l>io/i:l~ .. cs. l a iiilsiii.' i'l..i Ilnninila atenPI? '1. Sin embargo..al (1:- .. La suma de estas probabilidades es 1.X~ o<'v.<.P(Disney y Busch) O60tO50-0.<>.l~~ll<i.. :\te..rc.3 <.. .le :\!. ....I-lil<. i i < .. . :La expiicación es que muchos turistas visitaron ambas atracciones y se están contando dos veces! Una verificación de las respuestas de la encuesta revelo que 60 de las 200 personas de la muestra en realidad asistieron a ambos lugares. 1.tic <.a estadística en acción Si ili.i í t i .i.iíi. La probabilidad de que un turista visite ambas atracciones (0.1.3> e. ! c ) i i i i i ~ i i oinrr. i i c l i a . . I l i i .60.l $1.. suponga que la Comisión de Turismo de Florida seleccionó una muestra de 200 turistas que visitaron ese estado durante el año. .. y 100.ii'li I"""'te\ n.iit<rl. La encuesta revelo que 120 fueron a Disney World. i 11111.. e ...... De esta forma: - P(Disney o Busch) = P(Disney) PiBusch) . i 1..41 .".ii!. \silo .$ihk+. l:+ """l. ilill..>. [~r6%iima te~~.ioc- < ihtt i<ini i .ii i q i 'le\. 12 cp.i.30) es un ejemplo de probabilidad conjunta. i i i < l i r i<ii.l>!l.lc <.ií.i il Kegla gerirral de :idiciiiii Los resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes. 'Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens? Si se emplea la regla especial de adición. De manera similar. que se obtiene de 1201200. pe- (1i.\<.50.Jr~..30=080 .lill>\C I I l'... Para contestar a la pregunta: "¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens?" (1) se suma la probabilidad de que el turista haya visitado Disney World y la probabilidad de que haya ido a Busch Gardens. ..n . .c >... se sabe que esta probabilidad no puede ser mayor que 1...PIB) . En resumen 13 regla genera de adicion se refiere a o s eventos que no son mutuamente excuyentes Esta regla para dos eventos indicados por A y B se escribe REGLA GENERAL DE ADICIÓN P(A O B) = PIA) .. a Busch Gardens. ..11 .. .101 Revisión de algunos conceptos de probabilidad I.c:.. 4."i < .\ dc l. 8 .'...>:.i.\ ..... Probabilidad coiijliiita Es la medida de probabilidad que evalúa la posibilidad de que dos o nias eventos ocurran en forma simultanea.. ! > .>I. lp!"l~. # > l . ! ~L ¡ :. la probabilidad de que un turista haya ido a Busch Gardens es 0..<.% S.' iiilil i c i ...v !\. Utilizando la formula (5. si solamente se suma la probabilidad de un rey (hay 4 en la baraja de 52 naipes) a la probabilidad de una carta de corazones (hay 13 en una baraja de 52 naipes) y se indica que 17 de las 52 cartas satisfacen el requisito.3077. Dicho de otra forma..~. ~- ~ ~ ~~ ~ PPd Cotarones Rey de cotazoiiss p(BI P(A y BI ~ ~ .4): 4/52 i 13/52 - 1/52 16/52. o bien que puede ocurrir 5. 'Cuai es la probabilidad de que una carta elegida al azar d~ una baraja americana sea un rey o una reina de corazones7 SOLUCI~N Uno puede pensar en sumar la probabilidad de que salga un rey y la probabilidad de que se teriga una carta de corazones. A este uso de la "o" a veces se le llama inclusivo. Pero esto crea un problema..~ -- - . En conseciiericia la probabilidad es 16/52 2 0. A y B. . el rey de corazories se contaría con los reyes y también con las cartas de corazones. Si se hiciera así. o bien O 3077 Un diagrama de Venn presenta estos resultados que no son mutuamente excluyenies Reyes Ci~ra~<jnes . o de rey. Hay 4 reyes en la baraja de 52 cartas 13152 Hay 13 cartas de corazones eii la baraja de 52 naipes 1/52 Hay 1 rey de corazones en la baraja de 52 cartas 4/52 - --. En coiisecuencia. quizá uno vera con agrado que ocurran ambos. Se necesita restar 1 carta de las 17 para que el rey de corazones se considere una sola vez.~ . ~- ~~ Probabilidad He v .~ ~ ~ Caria . . . -~ --- Expiicacion ~ ~~ ~ ~ ~~~ . Por tanto. Esto incluye asimismo la posibilidad de que ocurran A y B. o bien que suceda cualquiera de los dos. hay 16 cartas que son de corazones.En la expresion P@ o 5). se habra contado dos veces al rey de corazones.la palabra "o" indica que puede ocurrir A. ¿Cual es la probabilidad de que ocurra X o Y? ¿Cual es la probabilidad de que no suceda X ni Y7 17. requerian tanto zapatos correctivos como un trabajo dental inayor. es 0. 1i ~p Numero de opiniones - 37 46 2 ~ j ~- a ) ¿Cual es el experiinento? b ) ¿Cual es uri evento posible? c ) 'Cual es la probabilidad de seleccioiiar uria respuesta especifica y descubrir que el diseñador prefiere rojo o verde? d) 'Cual es la probabilidad de que un disenador no prefiera el amarillo? 19. ¿. un trabajo dental imporiante: y 3 % . 'Cual es la probabilidad de que ocurra A o B ? ¿Ciial es la probabilidad de que no suceda ni A ni B? 16. LOSeventos X y Y son mutuamente excluyentes Supongase que P!X) = 0. 20.30 y P(B):0. Ejercicios 15." a ) Utilice la regla d r adición para encontrar la probabilidad de que no se pierda dinero el próxiiilo trimestre. . Un estudio de a s opiriiones de diseñadiires eii lo referente al color primario mas conveniente para aplicar en oficinas ejecutivas indico: ~ ~ ~~ ~ 1 Color primario 1~~ ~ ~ ----- ~ -~~~~ ~~ - ~~ Rojo Naranja An~aiilln Verde ~ ~ ~~~ 92 86 46 91 ~ ~ . a) 'Cual es la probabiiidad de que un empleado seleccionado al azar necesite calzado correctivo o un trabajo dental considerable? b) Muestre esta situación coii un diagrama de Verin.05 y P(Y)= 0. Suporiga qiie la probabilidad de que usted obtenga irna calificación de A en el curso de esta nlateria es 0.4 163 Como parie de un programa de servicio de salud para los empleados de la empresa General Concrete. se efectúan anualmente examenesfisicos de rutina. .Revisión de algunos conceptos de probabilidad Autoexamen 5. Un estiidio eii 200 cadenas de tiendas de comestbies revelo estos iiigresos (en dolares). Se descubrió que 8% de los empleados necesitaban zapatos correctivos.. despues del pago de impuestos: 1 ~~~ ~ ~~ ~ ~ - ~~~ ~ ~ 11 ~~ ~ Cantidad de empresas ~. y la de que teriga iina B.---102 ~~ Menos de 1 niilióii De 1 iiiillon a 20 millones De 20 iiiilnnes o mas ~ - ~ Ingreso (en dolares) después de impuestos -~ ~ 61 37 ~- ~ a) 'Cual es a probabilidad de que uria cadena determnada teiiga menos de 1 miloii (dedolares) de ingresos después de pagar iinpiiestos? b) 'Cual es la probabilidad de que una cadena de tiendas seleccionada al azar tenga un ingreso entre 1 millón y 20 mitones.50. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. y 20%i rle que pierda dinero el siguiente trimestre. 30% de qiie quede a nivel.Cuales la probabilidad de aue su calificacien sea rnayor que iina de C? . El presiderite de una Junta de Directores dice: "Hay 50% de posibilidad de que esta compañia tenga iitilidades. b) Ose la regla del conipleinento para encoritrar la probabilidad de que no pierda dinero el prOxim0 trlnlestre.02.25.20. Supóngase que P(A) :0. o un ingreso de 20 millones o mas? 'Que regia de probabilidad se aplico? 18.- -~~ ~ ~ Color primario NUmero de opiniones - ~ . . 15%. ~~~ Ariil lndiy« Violeta -. Para ilustrar lo que significa independencia de eventos. Suporiqase que los dos eventos A y B son mutuamente excluyentes.) Puesto de otra forma.15.35. o bien. 22. ¿Cual es la probabilidad de que pase al menos uno? 27. La probabilidad de que apruebe urnbos es 0.60. News & Worid Report. la probabilidad de que ocurran A y B se obtiene multiplicando las dos probabilidades. News & Worid Report. Las probabilidades de los eventos A y B son 0. C.70. Considere todas las parejas posibles de estos eventos e indique si son mutuamente excluyentes. 40% visitan Tetons.sale un numero impar".S. Nervs & World Hepoi? con regularidad? b ) ¿Corno se denomina a a probabilidad con valor de 0. El everitoA es "sale un 4". respectivamerite. ¿son A y B mutuamente excuyentes? ¿Son eventos complementarios? 23. Uii estudiante estú tomando dos cursos. y la de que apruebe el curso de Matematicas. suponga que se lanzan al aire dos monedas. Se arizan dos monedas al aire S A es ei evento 'caen dos caras" y B es e evento '.21.20. y el evento C corresponde a '. Despues ideiitifique si son conipiementarias. ¿Cual es la probabilidad de que ocurran X o Y? 25. y 35% van a ambos sitios.S. que expresada eri foriria simbólica es: REGLA ESPECIAL DE MULTIPLICACIÓN P(A y 8 ) = P(A)PIBj 15. La probabilidad de que tarito A como B ocurran es 0. a ) ¿Cual es la probabilidad de que un elecutivo determinado lea Time. a) ¿Cual es la probabilidad de que un vacacionista visite al menos una de estas atracciones? b) ¿Conlo se denomina a la probabilidad 0 35? c) ¿Los everitos son mutuaniente excluyentes7 Explique sii respuesta. E .55 y P(Y) = 0.20 y 0. Historia y Matematicas La probabilidad de que apruebe e curso oe Historia es 0. Se tira iin solo dado.30. el evento B es "sale un niiniero par". Para tres eventos independientes A. 28. Ésta es la regla especial d e multiplicación. revelo que 35% leen con regiilaridad la revista Time. 20%)leen Newsweek.50. Indepeiidiente La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad de la ocurrencta de cualquier otro evento Si dos eventos A y B son independientes. Un 10% lee tanto Time como U. la regla especial de multiplicación que se utiiza para determinar la probabilidad de que ocurran los tres eventos es: . Una encliesta a ejecutivos de alto nivel en EUA.51 Esta regla para combinar probabilidades supone que un segundo evento no se ve afectado por el primero.Sea P(X) 0.ici(iii La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventosA y B sean independientes. es 0. U. Siipongase que la probabilidad de que ambos ocurrari es 0. De nianera que si los eventos A y B son independientes. Dos eventos son indeperidientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad de que suceda el otro.107 C) ¿LOSeveritos son mutuamente excluyentes? Explique ia respuesta. ¿Cual es la probabilidad de su ocurrencia conjunta? 26. dos eventos son independientes si el resultado de un segundo evento no depende del resultado del primero. 'Cuál es la probabilidad de que suceda A o E? 24. y 40% leen U.S. Un estiidio reahzado por el Servicio de Parques Nacionales (de Estados Uriidos) revelo que 50'96 de los vacacionistas que viajan a la región de las Montañas Rocosas van al Parque YeIowstoiie. la ocurrencia de A no altera la probabilidad de B. Reglas <leiiiiiltiplicacióii Regla c\l>cci:il <Ic iiiiiltil>lic. El resultado de una (cara o cruz) no se ve afectado por el resultado de a otra moneda (cara o cruz.caen dos cruces". en la compañia Tetoii Tire se sabe qiie a probabdad de qiie su neurnatco XB-70 dure 60 000 milas antes de perder e dibujo o fallar es 0.60. se dice obvianiente que son dependientes. y R? son independientes. La proba- : : . peso de inas. y algunos. que se escribe P(R. usando la fórrnula 5 5. Debido a su larga experiencia. una inaquina autornatica Shaw llena bolsas de pastco con una mezcla de legumbres. Es obvio que la probabilidad de escoger un rollo cori defectos es 3/10. &Cual es la probabilidad de que los ctiatro neumAticos duren por lo nierios 60 000 niillas? 2. pero la mayoria tiene un peso satisfactorio. Después se elige un seqiiiido rollo de la caja sin devolver el primero a esta. ~ - 1 Peso de paquete Prababilidad ~- ~ ~ Ilisuficienle Satisfactoiio ~ 0.60 donde R. la probabilidad de que ambos hayan hecho una reservacion es 0. Como el numero de socios de la AAA es muy grande.60. ¿Cual es la probabtli dad de que ambos hayan hecho una reseniación en alguna linea aerea? SOLUCIÓN La probabilidad de que el priiner socio haya hecho una reseniacion en alguna linea aérea es 0.165 Revisión de algunos conceptos de probabilidad EJEMPLO Eri tina encuesta realizada por la American Autornobile Association (M(Asociación ) Automovilistica de EUA) encontró que 60'96 de sus socios liicieron alguna reservacion en una linea aerea el ano pasado.) = 0. de manera que P(R.60. La experiencia indica que algunos paquetes tuvieron menos peso. Para ilustrar la deperidencia. se puede suponer que R.900 O o075 7< txcedidu -~ 1 1 a) ¿Cual es la probabilidad de seleccionar hoy tres paquetes de la linea de procesamiento de alimentos.80. y encontrar que a los Ires les falta peso? b ) ¿. se refiere al hecho de que el primer socio haya hecho Lina reservación La probabilidad de que el segundo socio que se selecciono haya hecho uiia reservacion es también 0. y la probabilidad de seleccionar uno satisfactorio es 7/10.I : 0. Por tanto. que se obtiene de: Todos los resultados posibles se puederi niostrar coino siqtie R sigiiifica se hizo i l ~ resewacion d y NR indica no se hizo ninguna reservacion Autoexamen 5.5 l . Se selecciona iirio.Qué significa esta probabilidad? Si dos eventos iio son independientes. Segun se mencionó en un ejenipo anterior. Se tonian dos integrantes al azar. Usted compra cuatro neumatcus XB-70.36. suponga qiie hay diez rollos de pelicula fotografica eii una caja y que se sabe que tres estaii defectuosos. Se liace iin ajuste para el caso de cualquier llanta que no resista dicho recorrido. que resulta de calcular: I . por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B. De modo que P ( A ). si el primer rollo seleccionado fue bueno. (Los tres rollos defectuosos siguen estando en la caja que contiene nueve rollos. j 5 / El primer rollo seleccionado de la caja. se considerará de nuevo el ejemplo anterior de los diez rollos de pelicula en una caja. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un rollo con defectos seguido de otro también defectuoso? . es el evento B. De manera simboiica. uno después del otro. Probabilidad condicional Es la probabilidad de que ocurra un evento determinado. También debe observarse que la regla general de multiplicación puede ampliarse a más de dos eventos. que también era defectuoso. tres de los cuales están defectuosos. La raya vertical simboliza "dado que".: 219. El segundo rollo seleccionado. la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda el evento A. P(BIA) . dado que otro evento ya haya sucedido. como seleccionar dos rollos fotográficos defectuosos de una caja con diez rollos. B y C.61 donde P(BJAIexpresa la probabilidad de que ocurra B dado que ya sucedi6 A. que contiene nueve piezas. EJEMPLO SOLUCI~N Para mostrar el uso de la forniula.) 319. Por tanto. si el primer rollo seleccionado fue defectuoso. La probabilidad de que también el segundo rollo tenga defectos es: 219. Para el caso de tres eventos: A. La probabilidad de dos rollos defectuosos es [aplicando la fórmula (5. : Se supone que este experimento se realizó sin reposición (o reemplazo). a la 3\91 se le denomina apropiadamente probabilidad condicional porque sil valor está condicionado por (depende de) que el primer rollo que se sacó de la caja haya sido defectuoso o no.6)]: . a probabilidad de que los primeros tres rollos seleccionados de la caja sean todos defectuosos es 0. solo quedaron dos rollos "defectuosos" en la caja que contenia nueve. es ei evento A. la probabilidad conjunta P(A y B) se obtiene como sigue: REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIÓN P(A y 6 ) = P(A)P(BIA) i5.311 0 porque tres de los diez rollos tenían defectos.00833.) A la fracción 219 (o bien. Regla general de multiplicación La regla general de multiplicación se utiliza para determinar la probabdidad conjunta de que ocurran dos eventos. la fórmula seria: 1 PIA y B y C) - j ! P(A)P(B i AIP(C l A y B) Como ejemplo. el primer rollo defectuoso de pelicula no se devolvió a la caja antes de seleccionar el siguiente rollo. Se van a seleccionar dos. que resultó con defectos. (Quedarían sólo dos rollos defectuosos en la caja. la regla establece que dados dos eventos A y B. es decir. porque después que el primer objeto seleccionado fue un rollo con defectos. uno después del otro.bilidad de que sea defectuoso depende de si el primer rollo seleccionado no fue aceptable. En general. o 0.servicio . Una de las preguntas planteadas fue: "¿Si otra compañia ie hiciera una oferta igual o ligeramente mejor que la de su puesto actual.1201200.1.1. Para en. El evento B. Se seleccionará al azar un comite de cuatro integrantes.1 contrar la probabilidad de que suceda el evento A.6 El consejo directivo de la empresa Tarbell lndustries está integrado por ocho hombres y cuatro muieres. -6a10 años Masde 10 años 1 Total EJEMPLO 'Cual es la probabilidad de seleccionar ai azar un ejecutivo que sea leal a ia empresa (se i quedarla) y que tenga mas de 10 anos de servicio'. al azar. P(BA) es la probabilidad condicional de que un . tabla 5.1. de . Se observa que hay 120 ejecutivos. de los 200 que participaron en la encuesta. se determina utilizando la regla general de multiplicación que indica la fórmula (5. de manera que P(A) . SOLUCI~N Observese que ocurren dos eventos al mismo tiempo el ejecutivo permaneceria en la empresa y tiene mas de 10 años de servicio 1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean mujeres los cuatro integrantes del comité de investigación? b ) 'Cual es ia probabilidad de que los cuatro integrantes sean hombres? c) ¿La suma de las probabilidades de ¡os eventos descritos en los incisos a y b es l? Explique su respuesta. Menosde 1 ano ~p Lealtad la5 años 1 Tiempo. consulte la tabla 5. a pesar de que otra compania le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor. ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene mas de 10 años de servicio en la empresa. se le denomina tabla de contingencias. de manera que P ( 6 . permanecería con la empresa o tomaria el otro empleo?" Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaron en forma cruzada con su tiempo de servicio en la compañia. f La probabilidad de que un ejecutivo seleccionado al azar sea uno de los que se quedarian en la compañia y de los que tienen más de diez años de servicio. ejecutivo con mas de 10 años de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otra compafiia le haga una oferta igual o ligeramente mejor. 75 de los 120 ejecutivos que se quedarían tienen mas de y 10 anos de servicio. que permanecel rian con su empresa actual. Vea la tabla 5. para recomendar a un nuevo presidente de la compaiiia. I A ) = 751120. De esta forina..60. Al consultar la tabla de contingencias. A continuación se presenta otra aplicación de la regla general de multiplicación. El evento A ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar permaneciera en la empresa . Una encuesta a ejecutivos se enfocó a su lealtad a la empresa. 2.6): t ! .) Al tipo de tabla que resulta.167 Revisión de algunos conceptos de probabilidad Autoexamen 5. -53.1 Autoexamen 5.igraiiia dc :irl>ol <IIIC <IP 1111:i CIIIIIIC\:I. i -0 i ! 181 0275 X 'O O 050 v. Para mostrar la elaboración de un diagrama de arbol utilizaremos los datos de la tabla 5.1 1 0..l' \ Meiio:.lo..\ lieriil~us<Ic scrvirio <Ic c i c i i i t i \ i .~p- - 25 ao ~ 221: 200 DIAGRAMA 5. r . ¿cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriameiite un elecutivo que no perrnaneceria con la empresa y que tenga menos de un año de sewico? 1 Diagrarnas de árbol Pasos para elaboiar un diagrama de irbol. 1C :.I25 ~.1. Utilizando la regla general de multiplicación.7 Refiérase a la tabla 5. La elaboración de un diagrama de árbol comienza trazando un pequeño punto a la izquierda. * a 5 ?tic>!. Cada segmento en e árbol es iiiia etapa del problema.050 / ' ..1) 120 x Menos rle 1 i i i o 200 25 ..-n g 1 80 200 - 5 Rj-..i<l ) ~ p ~ ~~ ~~ Ir. Las probabilidades escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento.1 1. O. r~-.. . el cual representa la raiz del árbol (vea el diagrama 5.) !) 80 \ - El total debe 1 (y] p indica 150 ~ ~ 1)i. periiianecerarr 80 -- 80 Más tic. Un diagrama de árbol es una representación grafica útil para organizar cilculos que abarcan varias etapas.lll. ilii I año '0 120 I:i ~ ~- lc. no se quedarian. B es para 6 a 10 anos. 60% una cuenta de ahorros. qiie tenga de 6 a 10 anos de seivbabilidad conjunta de seleccoiiar ~ i r ejecutivo cio y qiie iio pernianeceria en la empresa al recibir una oferta g ~ r aol ligeramente mejor de parte de otra compañia. y la probabilidad de que ambos camiones esten disponibles es 030.8 1 Refiérase al contenido del diagrama 5. ~ .00 (vea el diagrama 5.).) 0. ¿ c m es la probablidad de que ningun vehiculo este disporiible? . m i s de 10 años de servicio: etc. Se selecciono Lina mLiestra a azar de o s empleados de a empresa Hardware Manufacturng Co para determinar sus panes de lubiacion despues de haber cumplido 65 anos. y 50% tieneri ambas. a s probabilidades conjuntas de que los eventosA y B ocurran al mismo t e m po. Las probabilidades condicionales para la rama superior de! arbol. 6 a 10 anos de servicio. Se simbolizan por P(A) y P(-A). Si la probabilidad de que el primer camion este disponible es 0. 1 A).1. ¿Cual es la probabilidad conjunta de X : y Y"? 31. a saber 101120. Se trata de a s probabilidades P(B. especificamente 120R00 y 801200. c) ¿Estas probabilidades conjuntas suman 100? 'Por que7 Ejercicios 29. la superior representa la opción "se quedarian" y la iriferor la de 'no se quedarian". se muestran en el lado derecho. 301120. y corresponden a o s tiempos de servicio: merios de 1 ano. P ( B 1 A) y P(Bi 1 A).30. B corresponde a 1 a 5 años.40 y P(B / A) 0. y B.40.75 y PIY. 2. Explique que ruta seguria para encontrar a proi al azar. Los seleccionados en la muestra se dividieron en las areas de gerencia y produccon Los resLlItados fueron. En este problenia saleri dos ranias priiicipales de la raíz. Siiponqa que P[A) 0. donde E. Por ejemplo.169 Revisinn de algunos conceptos de probabilidad 2. a probabilidad conj~intade seleccioiiar a1 azar un eleciitivo que pernianeceria en a empresa y que tiene menos de un ano de servicio es. Las probabilidades se indican en a s ramas. Por ultimo. 1 X : ) 0.. 1 a 5 años. ¿cual es la probabilidad de qiie este tenga una cuenta de cheques o una de ahorros? ¿Cual es la probabilidad de que e cliente no tenga ninguna de las dos? 32. La empresa Al1 Seasoris Plumbinq cuenta con dos camiones de servcio que se descomponen frecuentemente.6): Debido a que a s probabilidades coiijuntas representan a todas las selecciones posibles Ice quedarian. ~~ Planes despues de 10s65 años ~ Empleado -~ Gerencia Prntlu~cio~~ L-- ~ Se retira ~ -------- S 30 ~-~~ ~ No se retira ~ 15 SO Total ~ ~~ 20 80 100 - j ai ¿Corno se denomina esta tabla? b ) Elabore Lin diagrama de arbol y determine las probabilidades conjuntas.1 1 Autoexamen 5. ¿Cual es a probabilidad corijurita de A y B? 30. 3. Si se selecciona iin cliente al azar. la de que el segurido camion tanibien o este es 0. 1 A).50. utilizando la forniula (5.75. a mas de 10 anos A contnuac o n se escribe11las probabilidades condicionales de a rama inferior 4. PIE. Considere que PIX. Cuatro ramas secundarias .'se desprenden" de cada rarna principal. 6 a 10 años y mas de 10 anos. 5. deben sIimar 1. se refiere a menos de 1 aiio de seivicio. e t c se indican sobre a s rariias correspondientes. Un banco local reporta que 80% de sus clientes tienen una cuenta de cheques.120. 38. pero no saben quiénes son los "lideres fuertes". y A:). condicionaies y conjuntas. planteó ia siguiente pregunta: ¿Realmente existe Dios? Ya que estaba interesado en las ciencias matemáticas.-~-- //. Cleanbrush Products envio por accidente a una farmacia tres cepillos dentales electricos. . uno despues de otro. que estaban defectuosos. Los representantes de ventas son convincentes. 4 2 1 3 6 ! 1 1 a) Determine P(A.33. Cada vendedor en la negociación Stiles-Compton se califica como "abajo del promedio". Se programa que tres vendedores haran presentaciones de ventas. o (3) permanezca sin cambio. evalue sus probabilidades respectivas de ganar dicha cuenta. El primer vendedor que descubra a uno de los lideres fuertes ganará la cuenta. no tienen influencia aiguna. 34. 1 A. o excelente. Tres son "lideres fuertes". elegido por el vendedor. tiene las mismas posibilidades de que (1) aumente su valor. "promedio" o "arriba del promedio". En la tabla que sigue se presenta la clasificacion cruzada respecto a estos conceptos. Cada acción. ¿cual es a probabilidad de que: (a) todas hayan nacido en un dia miercoles? (b) todas hayan nacido en dias de la semana diferentes? (c) ninguna haya nacido en sábado? Teorema de Bayes En el siglo XVlll el reverendo Thornas Bayes. . "Ideres débiles".bajodello Posibilidad de promoción ~ptituden venías ! Promedio ' Arriba del promedio -\ - ñegular Buena Excelenie --16 12 i 22 45 60 45 1 93 72 135 i ~ a) ¿Como se denomina esta tabla? b) ¿Cual es la probabilidad de que un vendedor seleccionado al azar tenga aptitud para las ventas por encima del promedio y excelente posibilidad de promoción? c) Trace un diagrama de árbol que muestre las probabilidades normales. (2) disminuya su valor. Si en la unversidad usted pregunta a tres personas desconocidas. de los 500 vendedores. Calcule la probabilidad de que al menos dos de las acciones aumenten de valor. cada uno se clasifica respecto de su posibilidad de promocion en: regiiar bien. lo aprobara11todos los demás miembros del comite. Los otros integrantes. con respecto a su aptitud para las ventas. El comite directivo de una empresa pequeña esta integrado por cinco personas. b ) Establezca P(B. Considere la siguiente tabla ! Primer evento A Total evento A. ¿Los tres vendedores tienen la rntsma probabilidad de obtenerla? De lo contrario. junto con 17 en buen estado.). independientementede ¡as otras. ante un miembro del comite. Además. 36. Mencione todos los posibles resultados de este experimento. c) Determine P(B. Sin embargo.). ministro presbiteriano ingles. Si aceptan un proyecto. 37. Un inversionista posee tres acciones comunes. sabran a quien se dirigió el representante de ventas anterior. a) ¿Cuál es ia probabilidad de que los primeros dos cepillos vendidos se devuelvan a la farmacia por tener defectos? b) ¿Cual es la probabilidad de que ¡os primeros dos cepillos vendidos no tengan defectos? 35. ~ <ltI ~ .. l ~ t l .~tl. cli 1"' P(B 1 A.¡ir> ...l.15 Se selecciona en forma aleatoria a iin habitante de Umen.~~\:. t . c ~ ~ ~ c ~lcllc.<".".cp<ini<i %. . I I I I ¡he.. llccttc. P(B 1 A.<l clr 1.l. y A: el evento "no tiene la enfermedad".. Suponga que 596 de la pobacion de Umen.dad de que la prueba indique la presencia de tal dolencia es 0..95)(0. es posible determinar a probabilidad l ~ ~ ~ ~ 4.0450 0.i <. l t l # > .05.i. P(A.. la probabili2 1)cI ..)P(B A l ~- P(A.. tal afirmación se 1 l.#.NI vsc... ... la prueba indique que la enfermedad esta presente. que se obtiene de 1 .itlc.ti.~~I c t t 1. y que A representa cualquiera de los eventos A.t>.<~.Ao. 1 o( L. padece iina enfermedad que es originaria de ese iigar.)P(B I A. '/ti<. En forma rnariejable...)P(B A..95... con base en la evidencia de a que el disponia aquí en la Tierra. 1 .) ~ ~ ' P(A. .S.. iii/ dencia historica muestra que si una persona realmente padece la enfermedad.. ~ ~ . ¿Cuál es la probabilidad de que la persona realmente tenga dicho padecimiento? En forma simbólica.lC . l~. formula (5..'l<iii. Sea A.<LI..90 i'.<...Id iiliiiiii. ..05)(0. C/C ~ ~1111 ~ CL.!I.+ 1 ~ 1 ~ ~ .. < .. Lapace afino el trabajo de Bayes y le dio el nombre de "teorema de Bayes".~ L~. I lI . a probabilidad de que el elegido tenga el padecimiento es 0. t ferniedad.X'<l~ l>. l il i c:. A?) E. qiie se interpreta como: P(se tiene a enfermedad) 1 (Los resultados de la prueba son posit~vos). #<>.I.EI significado de o s simbolos usados se ilustra en el ejemplo siguiente. se desea determinar P(AI 1 Bj..~..~l.05..i.i%cri i i - En a formula 5. 1 8 ) P(A..! .. m L ~ ...05)(0.l <Ir>\. Se le da este nombre porque la probabilidad se asigna antes de haber obtenido datos ernpiricos. .~~. a que se le aplica a prueba.... Utilizando las definiciones <III> rC </(.r.k.~ .. S I GIL.~~ll>o ~ c ~ c..c.) 0.I~~... de probabilidad condicional desarrolladas anteriormente en este capitulo. ~ ~ a ~ 0. ~ I cC ~ II z .Ic ~"<'i"".l p . / E ] se denomina probabilidad a posteriori.. Mas adelante.> ' i i ' i J a l n<i*<le1iilt..~.i ci.iccióii 1 c.)P(B (0.v~. < I flll i \l # ! ~ i!t...~>l>. Probabiliclad a p r i o r i Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de inforl ~ r ~ l".~ I!. . e!) < l ' .90. VSC.) = Pitiene a enfermedad) = 0.cc.ic iiicC.... 1 - de Bayes. Por tanto sabernos que si seleccionamos al azar a un habitante de Umen...24 . ~ i I ~ ! : ~ . e teorema de Bayes se expresa as¡: P ( A 1 B) TEOREMA DE BAYES P(A. y A..~t. i l i < i i C Considere que la probabilidad de que en una persona que en realidad no padece la eriII.La probabilidad de P(A. cl. son mutuamente excuyentes y colectivamente exhaustivos.. por tanto. .' . <.. 1 di.verv~- c 1 I iii<li.. o A.) = 0.1111<1..\~ICI. pero no es muy exacta. . 1.l!cl. se denomina probabilidad a priori. S .'i""..)P(B 4 ) ~ P(A.t~. c5t.!h<.i.15. l...7 se supone que los eventos A.I!<~ .. I ~ ~ o bien PIA) = 0.. . ..90) (0.05..95. es 0.T~ Existe una técnica de diagnóstico para detectar la enfermedad.1875 ~ ~~ 0.) = 0...II. !.</ /litill<iI>lll<liiil <l< expresa como: CI. h i lli.iil>..i q.C~~!.1.II. l l l l t .. el evento "tiene la enfermedad".l 8 1.tc\t~~ ~ l ~<Iv~ ~ ~ ~ mación. . I 1 I 1 1 1 .. ~pr<>lxcl>l- La probabilidad a priori de que una persona no padezca el trastorno es.?..~1: .~I 1 fk3.90) (0.~~<~c . o bien P(A. .7)...iriiii.) - ' P(A.)P(B .l~.0. .05.15) 1 A:) 0.71 en .. Prol>abilidad a posteriori Es una probabilidad revisada con base en información adicional. Esta probabilidad. l r l ~ ~ "t ' r t u~n <"iU1i><'Sea B el evento "la prueba indica que la enfermedad esta presente". P(A... lk. Los resultados indican que la enfermedad esta presente.++ iii +o : l . .% . ' ~ t l ~ ~Con l ~lacayuda ~ ~ del ~ l teorema ~ ~ a posteriori.1-1 Revisión de algunos conceptos de probabilidad intentó desarrollar una formula para llegar a evaluar a probabilidad de que Dios exista. < l t'\i... Considere que la evi~~l~~~~ S . un pais ficticio del Tercer Mundo. I.. igual ll<l. .!~...ni.di.. ~ l l . P(A. la posibilidad de que en realidad tenga la enfermedad aumenta aproximadamente cinco veces. El fabricante tiene historiales extensos acerca d e los tres proveedores.1875 1 ~- Probabilidad posteriori. y lo encuentra defectuoso &Cual es la probabilidad de que haya sido fabiricado por Schuller Sales? SOLUCI~N Como un primer paso.~ ..Por tanto.05. ..) ~.. se resume enseguida parte de la informacion dada en ei enuncidd o del problema Existen tres eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. p p ~ Evento.. la formula del teorema de Bayes (5. ~- + P(A. y el 50% restante a Crawford Components. y A_..Y qB1 ~ PiA. el LS-24. I 6 ) 0.)P(B l A. 20% a Schuller Sales. Si hay n eventos de este tipo. A.) O 90 0. de 0.)P(B 1 A.7) se convierte en: p(A.) 0.045010.) i P(A.. A. NO tiene a enferriiedad. . y no son inspeccionados o identificados de algún modo por el proveedor Uii tiabajauor selecciona uno para su instaacori en una VCR. A. EJEMPLO Un fabricante de videograbadoras (VCR) compra un circuito integrado. En el problema anterior se tenían solamente dos eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.)P(B 1 A.~ L ~ Probabilidad Probabilidad Probabilidad a prori. Cuando los circuitos integrados LS-24 llegan al fabricante. y sabe que 3 % de los circuitos LS-24 de Hall Electronics resultan defectuosos.24. El circuito LS-24 se conipro a Hall Electronics . ! .. que 5% de los circuitos d e Schiiller Sales son no aceptables. . i B ) = p(A.. se colocan directamente en un contenedor.24. la probabilidad de que padezca la enfermedad es 0.1875 = 0..0450 0. ¿Como se interpreta este resultado? Si una persona se selecciona al azar de la población.) + . A PY. los cálculos para el problema en Urnen se pueden resumir en la siguiente tabla. .)P(Bi A.~ . -~ --. condicional. p ..15 6) 0. A . de tres proveedores.05 a 0. Si se aplica la prueba a la persona y resulta positiva.24 O 142510 1875 = O 76 1 00 0.- A continuación se presenta otro ejemplo que muestra el uso del teorema de Bayes.. los eventos A. y 4% de los de Crawford Cornponents tienen defectos.. . .~ ~ .. L ~ . la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad. es 0. dado que la prueba resultó positiva.1425 - -A. . conjunta.05 O 95 P(BI A. que son los tres proveedores: A..) ~~ ~~ Utilizando la anotación anterior.. . Un 30% de los circuitos LS-24 se compran a Hall Electronics. Tiene ia erifermedad. . El circuito LS-24 se compro a Schuller Sales A. que el circuito LS-24 no sea defectuoso A continuacon se indican las siguientes probabilidades condicionales P(B. ) sea mayor que P(AI). para obtener la probabilidad conjunta. 1 A . se sospecha que P(A. en 1 000 casos se esperaria hallar nueve circuitos con defectos producidos por Hall Electronics. Esto es. la probabilidad de que hubiera sido de Schuller Sales era de 0. Esta probabilidad aumento a 0. Para elaborar el diagrama de árbol de dicha ilustracion. Esta probabilidad conjunta se indica en la ultima columna del diagrama 5. ¿Como se logra eso? Primero se observan las probabilidades conjuntas como frecuencias relativas respecto a 1 000 casos. Antes de hallar el circuito defectuoso. Se observa que en 39 de 1 000 casos el circuito seleccionado para su montaje sera defectuoso. corisideremos el diagrama de árbol presentado en el diagrama 5. no se sabe con exactitud ciia de los proveedores lo fabrico. Como primer paso.2.2564. la probabilidad de que un circuito LS-24 defectuoso haya sido producido por Hall Electronics es 0. Observe el informe respecto a la calidad de los productos de Schuller.50 La probabilidad de que el circuito haya sido fabricado por Hall Electronics La probabilidad de que el circuito provenga de Schuller Sales La probabilidad de que el circuito haya sido fabricado por Crawford Components La informacion adicional puede ser 6.70 P(AJ = 0. Los eventos son dependientes. se necesita ir de derecha a izquierda en tal gráfico. ) = O 03 La probabilidad de que un circuito LS-24 producido por Hall Electronics sea defectuoso PiB ( A ) O 05 La probabilidad de que un circuito LS-24 producido por Schuller Sales sea defectuoso P(B l A ) O 04 La probabilidad de que un circuito procedente de Crawford ComDonents sea defectuoso Se toma un circuito del contenedor Como o s circuitos integrados no están identificados segun e proveedor. asi que la probabilidad a priori en la primera rama se multiplica por la probabilidad condicional en la segunda.2.009. lo que se obtiene de 9 i 10 + 20.) = 0. E.). 5 . Se tiene un circuito defectuoso y se desea determinar la probabilidad de que sea de los comprados a Schuller Sales. que el circuito LS-24 sea defectuoso. Ahora que se ha encontrado un circuito integrado LS-24 defectuoso.30 P(A. Esto es. De esta forma.) = 0. 10 fueron producidos por Schuller Sales.2564.Revisión de algunos conceptos de probabilidad 173 A.). en ver de ir de izquierda a derecha en el diagrama 5. la probabilidad de que el circuito defectuoso haya sido de los comprados a Schuller Sales es 10139 = 0. 1 E. se espera que la probabilidad revisada sea mayor que 0.20 Pero.2. Se ha determinado ahora la probabilidad revisada de P(A. Lo que se requiere hacer es invertir el proceso de tiempo. Se desea determinar la probabilidad de que el circuito defectuoso sea de los comprados a Schuller Saies.20. ¿cuánto mayor? El teorema de Bayes puede dar la respuesta. Por tanto. 1 B. Esta probabilidad se expresa como P(A. Por ejemplo. Es e peor de los tres proveedores. El circuito LS-24 se compro a Crawford Components Las probabilidades a priori son P(A. se utilizo una secuencia de tiempos que va desde el proveedor hasta la determinacion de si el circuito fue aceptable o inaceptable. : . De estos 39 circuitos defectuosos. .Capítulo 5 . . . se refiere a Schuller Sales.291 l H .Y 8. B I) = ..~.i = 020 abi? l P (A. : ~' P(A.IP(B~IA.yB:) LF'~A. . conjunta.) Este es el mismo resultado que el obtenido a partir del diagrama 5. 1 E.) .lA.30)(0.~.039 = 0.~~ VIY E.039 == 0.) -~~ 0 009 0010 0 020 -P(Bi - .) = 10.. 1 Probabilidad conjunta Probabilidad condicional I p 14.. 11 1 1 P(A. condicional.(O 30) (O S/) = 0. = Sc17uiler P iA. A./A. al hecho de que el circuito integrado seleccionado fue defectuoso. Evento.20 0 50 ~ PíB.03)= 0. ~-l"*r)i-+'9*s~~+*zs .30 0.2 y de la tabla de probabilidad condicional. I A.2564 O 020 O 039 ~~ ~~ ~ O 039 La probabilidad de que el circuito LS-24 defectiioso provenga de Schuller Sales se puede encontrar aplicando el teorema de Bayes.#< c+ .)P (B. L Defeciiioso .P(A.2308 001010.yB.. ~. ~ p ( AI E.)P(B. y 5 ...) =piA.) I-A.009 aolc PIA.)P(B. y B?! ~:P(A:. p(A. donde A.03 0... -- ~~ ! Probabilidad Probabilidad Probabilidad a prori. .) (07O)(0. 1<jii i : La información anterior se resume en la siguiente tabla. Se desea calcular P(A.) t 0. = Defectuoso Probabilidad a priori . B. A.A-) = (020)!O 05! 3 U: 0 - ii .05 O 04 .) 0. ---- / ~ Schuller Crawford P(Ar) 0.)P(B.95)-o.00910.! .) ~ -W P 1 P IB.3)P(B! i A. . ~ - P(A.) P ( A ~ ) P ( B-¡ A.).~ Probabilidad posteriori. y asi sucesivamente. y n formas de hacer otra existiran m x n iormas de hacer ambas .Revision de algunos conceptos de probabilidad 175 Refiérase al ejemplo y solución anteriores. El equipo gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los diurnos. 40. Piieden tener solo ninos. Caiforna. ¿Cual es la probabilidad de que haya pagado en efectivo? 44. resultaría tedioso contar todas las posibilidades. ( A .05 y P(B. y 60% de las compras acredito. un equipo de liga menor de la organización de los Indios de Cleveland.P(A2)-0.40. De acuerdo con un diario del dia de hoy. P(A. en Anaheim.P(A. hay seis resultados posibles cuando se lanza un dado. E departamento de crédito de a tienda departamental i o n ' s . pero solamente en l % de las cocheras cuyas piiertas se quedan cerradas se han robado algo. se exarniriaran tres fórmulas: la fórmula d e la multiplicación (no se debe confundir con la regla de muliiplicaciori descrita con anterioridad en este capitulo). ( A . ¿Cual es la probabilidad de que si haya hecho todos los problemas asignados? 43.0. También determinó que de los aiumnos que hacen su tarea 90'H~aprobara el curso De aquellos estudiantes que no hacen todos Sanchez curso estadistica el semestre los aroblemas asionados 60% sera oromovido Miauel * " pasado con la profesora Stallter y obtuvo una calificación aprobatora. La doctora Stallter ha enseñando estadistica básica durante muchos años. 30% son pagadas con cheque en e momento de la compra y 40% so11a credito Se tiene que 20% de as compras en efectivo. 0 5 y P ( B . a) Obtenga una formula para determinar la probabilidad de que la parte seleccionada provenga de Crawford Components. ) ~ 0 . resulta relativamente fácil contarlos. Para facilitar el conteo. Ejercicios 39. / 5 : ) .2O. la fórmula d e la permutación. juega 70% de sus partidos por la noche.60. dos niños y ocho nitias. son por más de S50 (dólares) La señora Tina Stevens acaba de comprar un vestido nuevo que cuesta $120. 1 0 .10. 4 0 . P(A. ( A 2 ) = 0 . Utilice el teorema de Bayes para determinar P(A. ) : 0. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la noche? 42.). ¿cual es la probabilidad de que sus puertas se hayan dejado abiertas? Principios de coilteo Si el numero de resiiltados posibles de un experimento es pequeno. 2 5 P ( B . si existe un gran numero de resultados posibles. Si los delincuentes roban una cochera.) = 0. los Ludlow Wildcats ganaron ayer. Por ejemplo. P(B.40yP(A3) 0 . Ella sabe que 80% de o s estudalites hacen todos los problemas asignados. especificamente: Sin embargo. 1 A . y 30% durante el dia. 1 F ó r m i i l a de l a m i i l t i p l i c d c i ó n Si hay m formas de hacer una cosa.)=0. un riiño y nueve niñas. ) = 0 . dado que se trata de un circuito integrado aceptable. P ( B . 90% de las compras pagadas con cheque. El lefe de la policia local calcula que en 5% de las cocheras cuyas puertas se dejan abiertas se roban algun objeto. informó que 30% de sus ventas son en efectivo.) =: 0. Emplee el teorema de Bayes para determinar P(A. como podria ser el numero de nifios y niñas en familias con 10 hijos. 41. y la fórmula d e la combinación. 1 A. El equipo de beisbol Ludlow Wildcats. / E. Una cuarta parte de los residentes del fraccionamiento Burnin Ridge dejan abiertas las puertas de su cochera cuando salen de su casa.). 8] Lo anterior puede extenderse a más de dos eventos. o: Numero total. un sedan de dos puertas.~Idos con rrics irildo.orl~v<:s Sedán dc :? iiii<i~tas Cedhn de 4 pilertas r:ori rines dcpiirtvos Sedán de 4 piii:rias i o n rne5 :. Observe eii las aplicaciones anteriores de la fórmula de la multipl~cación.8): Totai de arreglos posibles . Podemos utilizar la fórmula de la multiplicación para verificar (donde m es el número de modelos y n el tipo de rin).que habia dos o más grupos de donde hacer una elección. . Aplicando la formula (5.II<!c. (.6 En este ejemplo no fue dificl contar todas a s posibles coinbinaciones de rines y niodelos de autos. y además puede elegir si desea qire los rines sean sólidos o deportivos. En este caso hay. Resultaría tedioso dibujar y contar todas las opciones posibies. ::~. o un modelo de cuatro piiertas. de arreglos = (rn)(n)(o) EJEMPLO Un vendedor de automoviles desea anunciar que por $29 999 [dólares) usted puede comprar un auto convertible. Si un constructor de inmuebies ofreciera cuatro estilos de exteriores para una casa. la formula de la rnultiplicación se utilizaría para determinar cuántos arreglos diferentes se pueden tener.(mj(n) = (3)(2). puede utilizarse la fórmula de la multiplicación. (m)(n) = (S)@) = 48 arreglos posibles. n. : .Capitulo 5 Expresado con una formula: FÓRMULA DE LA MULTIPLICACIÓN Número total de arreglos = (m)@) [5. el vendedor de automoviles ofrecía una variedad de modelos y otra de rines. y tres estilos para el interior. ¿Cuántos arre glos diferentes de modelos y rines puede ofrecer el comerciante? i SOLUCI~N Desde luego. Sedán de 2 piicrlti:. Sin embargo. el vendedor podría determ~nare número total de arreglos esquematzandolos y contandolos. Hay seis arreglos. con rines del.rnvert~blc! i:ori r i'es depci luci:: Co!>verhhl<: vale:.. En vez de esto. Por ejemplo. Para tres eventos m. suponga que el vendedor decide ofrecer ocho modelos y seis tipos de rines. Por defii. en segundo lugar los diodos emisores de luz (LED).91 es el numero de total de objetos es el numero de objetos seleccionados Antes de resolver los dos problemas de ejemplo debe observarse que las PermUtaCiOneS y combinaciones (que se analizaran mas adelante) utilizan una notación que se expresa como factoriai n. ¿De cuántas fornias distintas puede realzar las veriticaciones? Un orden para la prirnera ilustración podria ser: el transistor primero.10 l .3j. la formula de la multiplicación se aplica para encontrar el numero de arreglos posibles.. Como se muestra a continuación. c. y en tercero el sintetizador. el factorial cero. Las partes se pueden ensamblar en cualquier orden. representado por O!. Observe que los arreglos a. ¿Cuantos arreglos diferentes de base y pantalla se pueden ofrecer? 2.para factoriai se tiene: 51 = 5 4 3 . Periniitación Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un solo grupo d e n objetos posibles. Se escribe n ! . es igual a 1. cuatro bocinas. y el b. c.2 1 = 120. son permutaciones diferentes. dados dos o mas grupos. Cuando los cuatro tipos de componentes compatibles se venden juntos forman un "sistema". La empresa Stiffin Lamps desarrolló cinco bases para lámparas de mesa y cuatro pantallas intercambiables. La fórmula de la permutación se utiliza para determinar el número posible de arreglos cuando solo hay un grupo de objetos. No importa en que orden las realice.y significa el producto n(n . Es decir.Pr = (n-r)! P. a.1 -- Revisión de algunos conceptos de probabilidad Autoexamen 5. Como ejemplos de este tipo de problema: Se van a ensamblar tres partes electronicas en una unidad modular para un receptor de televisión.l ) ( n. y tres reproductores de discos compactos. dos reproductores de cinta. La compañia Pioneer fabrica tres modelos de receptores de radio estereofonicos.icion. ¿Cuantos sistemas distintos puede ofrecer esta empresa? Fórmula de la pemiiitaci6ri Segun se obsetvo. b . O! = 1 . A este arreglo se le denomina una permutación. n r n! . La pregunta reiacionada con coriteo es: ¿De cuantos modos diferentes pueden ensamblarse las tres partes? Un operario debe realizar cuatro verificaciones de seguridad antes de activar su maquina. ( 1 ) Por e~empio. La fórmula que se utiliza para contar e numero total de permutaciones distintas es: FÓRMULA DE LA PERMUTACIÓN donde.Z)(n . se pueden cancelar números cuando se tienen las mismas cifras en nuinerador y denoninador. . ¿Cuántos códigos diferentes se pueden estabiecer? 4. y no importa en que orden las realice.) : ... Ei 1 083 podria identificar una blusa azul.x-*?. El 2 031. el grupo azul y rosa no puede usarse para identificar una linea diferente.11 t . Báez y Chauncy han de ser elegidos como un comite para negociar una fusión de empresas. 1 ?r-i-->r. unos pantalones. si bemol y mi. se dijo que ocho colores tomados de tres en tres.- 35 Los siete colores de los que se toman tres cada vez (esto es. Es decir. tomadas tres cada vez. 2 562 o 5 559 no se permitirían. el mismo numero no puede ser utilizado dos veces (o mas) en una secuencia. pero una combinación de tres colores que se utilizan en una linea no puede reordenarse y utilizarse para identificar a otra linea diferente. re.:-.ljr-i. do. En la solución dei ejemplo anterior de los discos compactos. tres colores para cada linea) no serian suficientes para codificar por color las 42 lineas diferentes de discos com- ! pactos. y así sucesivamente. ¿cuántas permutaciones son posibles ahora? 2 Recuerde que un operario de taller debe hacer cuatro verificaciones de seguridad antes de activar su máquina.rr.r)! 3!(7 . verde y violeta (o cualquier otra combinación de estos tres colores) no se podria emplear para identificar otra línea.9). darian 56 combinaciones diferentes. 'Serian suficientes 10 colores para codificar las 42 lineas? (Nuevamente.:79. amarillo y violeta para señalar una linea. sólo tres de las cinco se utilizarán en sucesión. Esto seria más que suficiente para codificar cromáticamente las 42 lineas. Por ejemplo.rr*n~m--. una combinación de dos colores sólo puede utilizarse una vez: es decir. ¿De cuántos modos puede hacer las verificaciones el mecánico operador? 3. mi y sol. si los ejecutivos Abel.r. r ! . Utilizando la fórmula de la combinación: A un departamento de mercadotecnia se le ha solicitado que diseñe códigos de colores para las 42 lineas de discos compactos (CD) que comercializa la empresa Goody Records. Se van a utilizar tres colores en cada linea de CD.. como do. a) 'Cuántas permutaciones de las cinco notas. No se permiten repeticiones de los numeros. Chauncy y Abel. 2 256. Un músico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas: si bemol.*.. talla mediana. a) Use la fórmula (5. que se obtienen al calcular 7C:i - 7! n! ~. porque sólo permiten 35 combinaciones.3)! 7! 3!4! -~ . talla 18.r-rq*-?- Autoexamen 5. Se van a utilizar los 10 numeros del O al 9. b ) Como un plan alternativo para codificar con colores las 42 lineas. ¿Serán adecuados siete colores tomados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 iíneas? i 1 1 i f ' i Aplicando la formula (5 lo). Ocho colores tomados de tres en tres darían 56 combinaciones distintas. si para unos discos el codigo es rosa y azul. Báez y Chauncy equivale al integrado por Báez. entonces amarillo.179 Revisión de algunos conceptos de probabilidad Por ejemplo. Sin embargo. Esto significa que si se usaran los colores verde.10) para mostrar que esto es cierto. sólo existe una combinación posible de estos tres. existen 35 combinaciones.-r-. El comité formado por Abel. para crear un codigo de cuatro dígitos e identificar un articulo de ropa. son posibles? b) Utilizando la fórmula (5. se sugirió que se colocaran solo dos colores en cada disco. si bemol y mi. No se permitirán repeticiones como si bemol. Obtenga el valor de lo siguiente: a ) 40ii35! bi . Las reglas de multiplicación se refieren al producto de eventos. C. y Iiay siete gerentes disponibles para dirigir una divisioii. el otro no puede suceder. ¿De cuantas maneras diferentes se piiedeii ordenar las 10 preguntas seieccionadas? 52. y ¡os tres primeros representan la zona. [5. El entrevistador seleccionará 10 de las preguntas.31 . ¿Cuántas rutas diferentes se pueden hacer.Eiercicios 45. y se dispone de 15 de ellos para obtenerlas.21 B. ¿Cuántas muestras diferentes se pueden obtener? 51. B. Uii evento es el conjunto de uno o más resultados de un experimento. Una organizacioii nacional de encuestas ha elaborado 15 preguntas destinadas a evaluar a actuación del presidente de Estados Unidos. \V. La definicion clásica se aplica cuando hay n resultados igualmente probables de un experimento. A. qiie representa la posibilidad de que ocurra un evento en particular. Un número telefónico está integrado por siete digitos. La regia del complemento sirve para determinar la probabilidad de que ocurra un evento.P(-A) VI. La regla especial de la adicion se emplea cuando los eventos son inutuamente excluyentes. ¿Cuantos números telefónicos distintos son posibles dentro del area ronal 537? 49. en virtud de la ocurrencia de uno. P(A o E) - P(A) -t P(B) i5. B.Una empresa de mensajeria nocturna rápida debe abarcar cinco c~idadeseri su recorrido.41 C. desea seleccionar muestras de 10 rellerlus sanitarios. Una empresa esta creando tres divisiones nuevas.P.P(A Y B) í5. restando de 1 la probabilidad de que ese evento no ocurra. P(A) = 1 . La regla general de ia adición es P(A O E) = P(A) + P(B) . Un representante de la Agencia de Protección Ambiental (EPA de Environrnentai Protection Agency) de Estados Unidos. Existen tres definiciones de probabilidad. A. C. ¿De cuántos modos se pueden nombrar los tres nuevos dirigentes? Kesurneii del capítiilo 1. V. Un resultado es el valor particular de un experimento. Dos eventos son mutuamente excluyentes si. La definicbn empírica ocurre cuando el numero de veces en que sucede un eveilto se divide entre la cantidad total de obse~aciones. Evalúe lo siguiente: a ) 2Oi1171 bl . LCuir~tosgrupos diferentes de 4 se pueden hacer? 48. A.Un entrevistador selecciono al azar 4 de 10 persorias dispoiiii>les. C ) 5% 46.Pr c) ?Ci 47. Un experimento es la observación de aiguna actividad o el acto de efectuar una medición. III. suponiendo que no iniporta el orden en qLie se visiten ¡as ciudades en ei recorrido? 50. Una probabilidad subjetiva se basa en cualquier información disponible. Los eventos son ~ndependientessi la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. 11. Las reglas de adición se aplican a la unión de eventos. Una probabilidad es un valor que va desde O hasta 1 inciusive. ..l.181 Revisión de algunos conceptos de probabilidad A. ! e.. e\ 1 cii h S...pioi>. clcqdiii a! gn>pc(le +J <iii. Una probabilidad condicional es la posibilidad de que ocurra un evento. qiic de ". iilil.h.) VII.r'.i~:ca ....2 <lb<elaii:a ~3it. D.iIiiiid.. Cornbinacion d e n elementos seleccionando r a la ver Cnr PdeAoB Ejercicios del capítiilo 53. 1. 1.i ~po~>hiliciad de qiii.\.i»ii r.nci:i.iiisi cl ~ ~ T C : I I N > SCI.l. P i l Y 6)= Pil)P(B) i5.8 p d e i <.))P(B + P(A. La regla general de multiplicación se refiere a eventos que no son independientes. ir <.. La regla de multiplicacion establece que SI hay m formas en que un evento puede ocurrir y n formas en que otro evento puede suceder.. l .51 B.ii. a ) ¿Cual es el experimento? b ) cual es un evento posible? . :37x clk. < ~ T I ~ < ~ ~ ..!ir< 2 3 iccc:: ulitc~ "c. i l iites- Número de arreglos =(m)@) 15..i lbcr . E.ic..<:ti tiii!. El teorema de Bayes es un metodo para revisar una probabilidad.)P(BP(AA..n1.i.id l:lr>7.*\l.ii l.r3:.n. La regla especial de multiplicacion se refiere a eventos que son independientes.. dado que se ha obtenido información adicional.i nioozda. Hay tres reglas de conteo que son utiles para determinar el numero total de resultados de un experimento A. 1. 1hicri.icr &upiiaIi~i 211 ~ n ~ t l i o de > w~ ~ I A P:+T C S i.P(A.81 B.<.es "cari" vi. Una combinacion es un arreglo en el que no es importante el orden de los objetos seleccionados de un grupo especifico de ellos. dado que otro ya ha ocurrido. L/nr cic!>c dtixt.i >ii<i'. C.'. Una probabilidad conjunta es la posibilidad de que dos o más eventos ocurran al mismo tiempo.)P(B ) A. Una permutacion es un arreglo en el cual es importante el orden de los objetos seleccionados de un conjunto deterniinado de objetos..i:.>rv C.<lodc g. Para dos eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos: La estadística en acción p(A 8 ) '' lo iiii d6Ia:. li ici.ciic <IC . !~IIPCIC pnai iinn s u i i i ~c i i i x i - lA .El departamento de investigación de mercado de la empresa Vernors planea reaiizar una encuesta a adolescentes acerca de sus reacciones ante una bebida suave de reciente elaboración Se les pedirá que la comparen con su refresco favorito. \< iiii.i .31>il.. prr.. Simhología SIMBOLO p(A) SIGNIFICADO Probabilidad de A FORMA EXPRESIVA PdeA P(-A) Probabilidad de no A PdenoA P(A y B) P(A o B) Probabilidad de A y B Probabilidad de A o B PdeAyB P(A 1 B) Probabilidad de A dado que B ha sucedido P d e A dadoB Yr Perniutación de n elementos seleccionando r a la vez Pnr "C.n- 1.iiur. 9$3 51(. entonces hay mn formas en que los dos eventos pueden ocurrir drraliie dc diiicru i:it a l ~ n ~crtldos ~ m i:t cam hdad <lile puede ob1c.lildr CI /piCllllO dc 1. ~ I .ii'.>Ir.. c) Probabilidad conjunta. Numero de veces 5 hasta 10 10 hasta 20 20 hasta 50 50 a más Total 200 100 75 75 50 500 a) 'Cuál es la probabilidad de que una propina sea igual o superior a $50? b) 'Se consideran mutuamente excluyentes las categorías $ O a $5. Considere el diagrama siguiente. ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un rey en la segunda toma? c) 'Cuál es la probabilidad de que salga un rey en la primera toma y otro en la segunda (considerando que el primer rey no se repuso)? 61. ¿Como se le denomina a este enfoque de la probabilidad? 55. 95% de los sistemas recién desarrollados duraba tres años.Qué definición de probabilidad se utiliza? 58. establezca una ecuación que muestre la forma en la que obtuvo la respuesta del inciso a). antes de empezar a fallar en el cambio adecuado de las señales.que una persona se recupere después de recibir 50 heridas de Dala. etcétera? c) Si se sumaran las probabilidades correspondientes a cada una de las categorias. $5 a $10. Se consideró que la probabilidad de que la causa y la curación del cáncer se descubrieran antes del año 2010 era (1. 60. Al tirar un dado. ¿cuál es la probabilidad de que caiga un "uno" o un "dos" o un "seis"? ¿. En las solicitudes de empleo para distintos puestos. La primera carta seleccionada de una barala americana de 52 naipes fue un rey. ¿cuánto daría esta suma? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una propina sea mayor que $lo? e) 'Cuál es la probabilidad de que una propina sea inferior a $50? 59. El numero de veces que sucedió cierto evento en el pasado se divide entre el numero total de ocurrencias. 62. a) 'Cómo se denomina tal representación? b) ¿Qué regla de probabilidad ilustra? . determinó que bajo pruebas aceleradas de duracion. en Carolina del Sur. ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro operen adecuadamente por lo menos tres años? b) ¿Qué regla de probabilidad ilustra esto? C ) Utilizando letras para representar los cuatro sistemas.Capitulo 5 54. a ) Si una ciudad adquirió cuatro de estos sistemas. el dueño desearia incluir una pregunta acerca del valor de la propina. Un estudio de las notas recientes indica que el camarero obtuvo las siguientes propinas. por cuenta. ¿Qué punto de vista de la probabilidad se ilustra con esta afirmación? 56. a) Si se devuelve la carta a la baraja completa. que puede esperar ganar un camarero. un fabricante de sistemas de semáforos. 0 0 ? ¿Por qué? 57. Si es verdad que no existe ninguna posibilidad de. ¿cuál es la probabilidad de que salga rey en la segunda toma? b) Si no se repone dicha carta. El restaurante Berdine's Chiken Factory tiene varias sucursales en el área de Hilton Head. ¿la probabiiidad asignada a este evento es 1 . Defina cada uno de los siguientes términos: a) Probabilidad condicional. b) Evento. Armco.20. Cada uno obtuvo un promedio de 0. 2 son secretarias.372. Se eligen al azar tres de esas casas. Las tablas de mortalidad indican que la posibilidad de que un varón de 60 años viva un año mas. Suponga que se selecciona un empleado de ese grupo: a) ¿Cuál es la probabiiidad de que la persona elegida labore en producción? b) 'Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea de producción o un supervisor? c) ¿Son los eventos del inciso b) mutuamente excluyentes? dj ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado elegido no sea de producción ni un supervisor? 66. 40 son supervisores. y Nomar Garciaparra.80. 57 son de producción. del equipo de béisbol Colorado Rockies. a) Una persona que participa en el programa se selecciona al azar. Hay 100 empleados en la empresa Kiddie Carts International. empataron al obtener el indice más alto de bateo en la temporada de la liga mayor de béisbol de 2000.00? ¿Por qué? 64. 50 planean continuar los estudios universitarios.372 de anotar un hit cada vez que batean. y 78% de los varones también. las probabilidades condicionales y las probabilidades conjuntas. a) ¿Cuál es la posibilidad de que los cuatro vuelos elegidos lleguen con un retraso de 15 minutos con respecto a la hora programada? b) ¿Cuál es la posibilidad de que ninguno de los vuelos elegidos llegue con un retraso de 15 minutos? c) ¿Cuál es la posibilidad de que por lo menos uno de los vuelos elegidos llegue con un retraso superior a 15 minutos? 65. El 90% de las mujeres asistió a una universidad. Todd Helton. Supóngase que ambos tienen una probabilidad de 0. 80% de los capacitados son mujeres. a través de Internet. ¿A que es igual P(B) + P(-B)? 63. Si se ofrece la póliza a cinco hombres de 60 años: a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cinco vivan un año más? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno no sobreviva un año más? 70. Se eligen al azar dos estudiantes para llevar el banderín en la ceremonia de fin de cursos. En esta primavera egresarán 90 estudiantes de la preparatoria Lima Shawnee. En un programa de capacitación para el personal del área administrativa en la empresa Claremont Enterprises. a) ¿Que tipo de probabilidad ilustra este ejemplo? b) ¿Cual es la probabilidad de que logren tres hits en un determinado juego? c) 'Cuál es la probabilidad de no obtener ningún hit en un juego? d) ¿Cuál es la probabilidad de que obtengan por lo menos un hit en un encuentro? 67. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) todos den en el blanco? b) ninguno acierte al objetivo? cj al menos uno acierte en el blanco? 68.98. del equipo Boston Red Sox. Se envían cuatro bombarderos hacia el mismo objetivo.90. es 0. c) ¿La suma de las probabilidades conjuntas es 1. De los 90 alumnos. Se seleccionan cuatro de los vuelos de ayer. La empresa de seguros Brooks quiere ofrecer seguros de vida para hombres cuya edad es de 60 años. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres casas elegidas tengan un sistema de seguridad? . Supóngase que la posibilidad de que un vuelo de American Airlines se retrase 15 minutos con respecto a la hora de llegada estipulada es 0. y el empleado restante es el director general. Se tiene que 40% de las casas construidas en el área de Quali Creek tienen un sistema de seguridad. Supóngase que en un determinado juego ambos batean tres veces. de esos. La probabilidad de que un avión bombardero acierte en su objetivo en una misión es 0. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer que no asistió a la universidad? b) Elabore un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades comunes. a) ¿Cual es la probabilidad de que los dos estudiantes elegidos planeen continuar sus estudios universitarios? b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los estudiantes elegidos planee continuar sus estudios universitarios? 69.Revisión de algunos conceptos de probabilidad 181 c) Se ttene que B representa el evento de eiegir una famiiia que recibe pagos de seguro social. y 20% varones. en forma aleatoria. de delito Con violencia Sin violencia Tota! Menos de M 20 a 40 27 12 39 41 34 75 40 o mas Total 14 22 - 68 - 82 36 150 1 a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso para analizarlo y encontrar que fue un delito con violencia? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso para anaitzarlo y descubrir que el delito lo cometió alguien con menos de 40 años de edad? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso y que el crimen haya sido cometido con violencia o que el delincuente tenga menos de 20 años? ¿Qué regla de adición se aplico? . Un malabarista tiene una bolsa que contiene tres pelotas verdes. pero considere que hay 10 casas y solo cuatro de ellas tienen sistema de seguridad. Refiérase al ejercicio 70. El consejo directivo de Saner Automatic Door Co. 3 de los cuales son mujeres. una roja y cuatro azules. dado que la persona seleccionada es de sexo masculino? e) Suponga que se seleccionan dos estudiantes al azar para asistir a un almuerzo con el presidente de ia universidad. Una encuesta a los estudiantes de licenciatura de la escuela de administración de empresas. 1 ! Edad (en años1 -. al comisario le reportaron un total de 150 delitos cometidos durante el pasado año. 'Cual es la probabilidad de que ambos seleccionados tengan como área principal de interes la contaduria? 75. para que redacten el manual. Se eligen al azar tres casas. azul? 73. Como se muestra a continuación. después sir1 volver a coiocar la primera eii la bolsa toma una segunda pelota. Debe seleccionarse un comité de 3 miembros. El malabarista toma una pelota al azar. dos amarilias. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera pelota sea amarilla. está formado por 12 integrantes. Género Contaduría Adminlstracion Masculino Femenino Total 100 100 --200 150 50 200 50 50 100 300 500 a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una alumna? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a alguien que tenga como area de especialización finanzas o contaduria? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una estudiante o alguien que tenga interes en contaduria? ¿Qué regla de la adicion se aplico? d) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar alguien cuyo interes sea contaduria. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres casas elegidas tengan un sistema de seguridad? b) 'Cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres casas tenga dicho sistema? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de ellas tenga un sistema de seguridad? d) ¿Se considera que los eventos son dependientes o independientes? 72.b) ¿Cuai es la probabilidad de que ninguna de las tres tenga un sistema seguridad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uiia de las tres casas seleccionadas tenga un sistema de seguridad? d) ¿Considera que los eventos son dependientes o independientes? 71. y la segunda. del personal del Consejo. y si el crimen ocurrió con violencia o sin ella. Se va a redactar un nuevo manual de politicas y procedimientos para ia empresa. a) ¿Cual es la probabilidad de que todos los integrantes del comité sean varones? b) ¿Cuál es probabilidad de que al menos 1 elemento del citado comité sea una mujer? 74. El comisario de la policia de Wood County clasifica los delitos de acuerdo con ia edad (en años) del malhechor. revelo lo siguiente con respecto a! género y area de especializac~onde los estudiantes: Especialidad -. G. hechos en terracota. amarillo y azul. y en 10% son malas. la Gran Muralla y otros sitios históricos en Beijing (Pekín) o cerca de ahí. Un nuevo trabajo consiste en ensamblar cuatro partes diferentes. ¿cual seria la probabilidad de que ganara? c) Suponga que adquiere tres boletos para el juego de esta noche y selecciona un numero diferente para cada uno. Cuenta también con 250 trabajadores (hombres). Las cuatro tienen distintos códigos de color y pueden unirse en cualquier orden. a) ¿Cuántos resultados diferentes (de tres digitos) son posibles? 6) Si comprara un boleto para el juego de esta noche. con sus magníficas esculturas de soldados. . La compra de un boleto da la oportunidad de seleccionar un conjunto de números. los oariicioantes . Después se reaiizara el ensamble en un orden diferente. el Templo del Cielo. El señor y la señora Wilhelms estan retirados y viven en Arizona. a) ¿Cual es la probabilidad de que tanto ei señor como la señora Wilhelms vivan después de 10 años? 6) 'Cual es la probabilidad de que dentro de 10 años el señor Wilhelms no viva y la señora Wilhelms si? c) ¿Cual es la probabilidad de que dentro de 10 años al menos uno de los dos viva? 77. de modo que un billete (o boleto) ganador podria ser. Hay 400 empleados en la empresa G. El departamento de producción desea determinar la forma más eficiente de ensamblar los cuatro eiementos.70. La probabilidad de ganar un refresco gratis es 1 en 10. en 30% son regulares. ¿De cuantos modos distintos se pueden ensamblar las cuatro piezas? 82. 80% dieron utilidades durante el primer año: y de las evaluadas como regulares. 20% arrojaron beneficios durante el primer año. Alberi Flashner. . . Se halló que 60% de los turistas que van a China visitan la Ciudad Prohibida. ¿Cual es la probabilidad de que se le haya dado una clasificación inicial de maia? 78. planean unir las paries en este orden: verde. Greene Manufacturing Co. caballos y carruajes. informa que evalúa las posibilidades como buenas. " de la lotería diaria en Illinois. por ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean crímenes cometidos con violencia? 76. Suponga que la probabilidad de que un hombre retirado viva 10 años más es 0. ¿Cual es la probabilidad de que no gane con ninguno de los boletos? 81.. La empresa Flashner Marketing Research se especializa en proporcionar evaluaciones de sus perspectivas a tiendas de ropa para dama en centros comerciales. Un 40% visita Xi'an. El lector planea almorzar en Tony's el día de mañana. el director.60. 307. ¿Cual es la probabilidad de que: a) gane una pizza grande o un refresco? 6) no obtenga un premio? c) no gane un premio en tres visitas consecutivas a Tony's? d) reciba por lo menos un premio en una de sus tres visitas próximas al establecimiento? 80. Los registros de las evaluaciones anteriores indican que en 60% de los casos. 60% produjeron utilidades el primer año: y de las clasificadas como malas. y la probabilidad de que una mujer retirada viva otros 10 años es 0. Con cada compra de una pizza grande en Tony's Pizza. las perspectivas son buenas. Las cifras ganadoras se anuncian en un programa nocturno de television. ¿cual es la probabilidad de que lo haya cometido una persona menor de 20 años? e) Un juez seleccionó dos casos para revisarlos. Los supervisores realizaran algunos experimentos para resolver el problema. 75 de los cuales fuman. y registrar el tiempo. y la de obtener gratis una pizza grande es 1 en 50. 'Cuai es ia probabilidad de que un ernpieado seleccionado al azar: a) sea hombre? 6) fume? c) sea hombre y fume? d) sea hombre o fume? 79. regulares o malas. Primero. Connie's Apparel fue uno de los clientes de Flashner que obtuvo utilidades el año pasado. en una comunidad de personas jubiladas. el cliente recibe un cupón para rasparlo y ver si esta premiado. No se puede elegir un numero mas de una vez. y 100 de ellos fuman. negro. En el iueoo seleccionan tres diaitos entre O v 9. De las evaluadas como buenas.Revisión de algunos conceptos de probabilidad 1 Hi d) Dado que se selecciona para análisis un delito con violencia. las placas de licencia para automóviles tienen tres numeros. tomate en rebanadas. 86. La caja 1 contenia 25 camisas deportivas y 15 de vestii. Supóngase (y es de esperar) que estos problemas se presentan en forma independiente. ¿Cuántos juegos tendría que programar el comisionado del torneo cada año? (Recuerde que.que habían estado sepultados por más de 2 000 años. La compaiiía compro recientemente cuatro terrenos en Holly Farms Estates. La constructora ha estandarizado tres planes para interiores que pueden incorporarse en cualquiera de los cinco diseños exteriores. mayonesa y lechuga. En la caja 2 habia 30 deportivas y 10 de vestir. Cada equipo jugaría con cada uno de los demás en esa justa deportiva. y pagar un precio reducido. seguidos por tres letras. ¿Cuántos grupos cromáticos hay disponibles en los que se pueden utilizar los siete colores agrupando de cinco en cinco? (Esto supone que cinco colores distintos entran en cada alfombra. 3 ensaladas. al tejer una alfombra sólo se pueden utilizar cinco husos. además. Ofrecen 4 sopas. durante la temporada. una camisa para inspeccionarla. La prenda era deportiva. ¿De cuántas formas distintas pueden ofrecerse a los posibles compradores de casa. ¿Cuántos números de placa diferentes son posibles? 91.) 89. Dada esta información. Se recibieron dos cajas de camisas Old Navy para hombre. por lo menos uno deje de fumar? 90. A los potenciales compradores de casa se les ofrecen cinco diseños de exterior. ¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique cómo obtuvo su respuesta. cebolla. Una empresa pequeíia que fabrica alfombras ha decidido usar siete colores compatibles en su nueva línea de productos. 12 platillos principales. 'Cuál es la probabilidad de que un turista visite por lo menos uno de esos lugares? 83. Si 60% de las personas que usan la goma tienen éxito. Sin embargo. En su publicidad desea indicar el número de diferentes grupos de colores disponibles para la venta. 'cuál es la probabilidad de que dicha camisa provenga de la caja l ? 84. por lo menos uno sea de Holly Farms? c) 'Estos eventos son independientes o dependientes? . serian los participantes en el torneo. de acuerdo con sus puntuaciones. al auto se le denomina una "estafa". y seis en Newburg Woods. u omitir. salsa de tomate. pepinillos. Los terrenos tienen el mismo atractivo y se venden aproximadamente al mismo precio. es decir. aderezo. La compañía constructora Reynolds ha acordado que todas las casas que se van a edificar en un fraccionamiento tendrán una apariencia diferente. ¿Cuántos menús diferentes ofrecen? Tal establecimiento tiene. una promoción especial. Un 30% de los turistas van a Beijing y a Xi'an. En el estado de Maiyland. Si ocurren uno u otro de tales problemas. Los 10 equipos más importantes del país. ¿cuáles la probabilidadde que en un grupo de cuatro fumadores. Se considera organizar un torneo de futbol americano "Súper Diez".) 88. cualquier combinación de lo siguiente para su hamburguesa: mostaza. por ejemplo. Se seleccionó al azar una de las cajas y de esa se eligió. Se ha elaborado una nueva goma de mascar que ayuda a quienes desean dejar de fumar. Hace algunos años la empresa Wendy's Hamburgers anuncio que tenia 256 formas de preparar una hamburguesa. y defectos en el mecanismo de dirección 5% de las veces. el "pájaro madrugador". Si se tienen ambos problemas. 6 de legumbres y 5 postres. Un nuevo modelo de auto deportivo presenta fallas en su sistema de frenado 15% de ias veces. en Estados Unidos. ¿Cuántos menús distintos tienen para los clientes de la promoción "pájaro madrugador"? 85. a ) 'Cuál es la probabilidad de que los próximos dos terrenos que venda sean de Newburg Woods? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en los cuatro predios siguientes que venda. provenientes de la fábrica. el equipo de Oklahoma contra el de Michigan es lo mismo que el equipo de Michigan contra el de Oklahoma. Usted puede elegir. excepto de los principales. Los encargados del restaurante Riccardo's anuncian que tienen un gran número de selecciones de comida. no hay repeticiones de color. El equipo ganador de más juegos seria declarado Campeón Nacional. las combinaciones de exteriores e interiores? 87. el vehículo es una "amenaza". Tim Bleckie es el propietario de una compañia de inversiones y bienes raíces. Un profesor compró uno de esos automoviles el dia de ayer 'Cuál es la probabilidad de que le resulte: a) una "estafa"? b) una "amenaza"? 92. también aleatoriamente. Se puede omitir cualquier platillo de una comida. Asimismo. ¿cuál es la probabilidad de que esté suscrito a la revista Healthy Livíng? c) Si una persona no compra el producto. pero suponga que funciona sólo si A o B operan (uno solamente). a ) ¿Que proporción de los trabajadores será despedida? bJ De los despedidos. deben trabajar tanto el componente A como el B. a ) ¿Cuántas combinaciones diferentes de 3 latas se podrian seleccionar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la lata contaminada sea seleccionada para la prueba? 95. 7%. y que existe 1 posibilidad en 20 de que una persona sea un suscriptor. Para reducir los robos.) Suponga que la probabilidad de que A funcione es 0. de Chief Executive Oficer).Revisión de algunos conceptos de probabilidad 187 93. 6. 25%. y Parts. Considere el diagrama del sistema anterior. Se van a elegir al azar tres latas para su prueba. y sus vicepresidentes se enuncian al azar en la segunda columna. y los de Parts. Hay cuatro personas que se consideran para el puesto de presidente y ejecutivo en jefe (CEO. a) 'Cual es el porcentaje total (promedio) de cinescopios defectuosos? b) En la última remesa se descubrió un cinescopio con defectos. un anunciante en la revista iieaithy Living. Una clave de acceso @asswor@está integrada por cuatro caracteres. ¿Cuál es la probabilidad de que opere el sistema? 98. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje segun estas condiciones? 99. Tres de los aspirantes tienen más de 60 años. Una caja con 24 latas contiene una que está contaminada. Fuji Importers. Los nombres de 10 presidentes de Estados Unidos se presentan en una columna. En ei siguiente diagrama se representa un sistema de dos componentes. La empresa Honvege Electronics. los de Kirkpatricks. el que se sabe funciona correctamente 90% de las veces (tanto para sujetos culpabies como inocentes). la compañia Meredeth hace pasar a todos sus empleados por una prueba con detector de mentiras. A y B.. Cada carácter se puede usar varias veces. y la de que B también lo haga es 0. de las cuales sólo una es mayor de 60. 'Cuántas claves de acceso diferentes es posible obtener? 96. para que el sistema opere. en la empresa Dalton Enterprises. ¿que proporción es culpable? d) ¿Que opina el lector de la polittca de George? 101. ¿cual es la probabilidad de que esté suscrita a esa publicación? . Kirkpatricks. 30%. ¿cuantos pares son posibles? 'Cuál es la probabilidad de que los 10 pares sean correctos? 100. George Meredeth decide despedir a todos los trabajadores que falien en la prueba. Si se realizan las asociaciones al azar. adquiere cinescopios para televisores con cuatro proveedores. Suponga que 5% de los empleados son cuipables de robo.90. Peterson's Vitamins. estima que 1% de los suscriptores comprará sus vitaminas. El proveedor Tyson Wholesale tiende a dar la mejor calidad. Éstos pueden ser cualquiera de las 26 letras del alfabeto. Considere que ambos componentes son independientes. Un acertijo en un diario presenta un problema de arreglo por pares. Inc. ya que sólo 3% de sus productos son defectuosos. Inc. ¿qué proporción es realmente culpable? C) De los no despedidos. b) Si una persona adquiere las vitaminas.90. Dos son mujeres. a) Encuentre la probabilidad de que una persona seleccionada al azar comprará las vitaminas. 25%. de Parts. Inc. a ) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato sea mayor de 60 y mujer? b) Dado que el candidato es hombre.5% de los no suscriptores adquirirán el producto.? 97. que están "en serie". Inc. (Estar en serie significa que. 'cuál es la probabilidad de que tenga menos de 60 años? c) Dado que la persona es mayor de 60. 'Cuál es la probabilidad de que lo haya enviado Tyson Wholesale? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo defectuoso provenga de Fuji Importers? ¿O de Kirkpatricks? ¿O bien.5% de defectuosos. ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? 94. Los de Fuji lmporters tienen 4% de no aceptables. considera que 0. Ei acertijo pide al lector unir cada presidente con su vicepresidente respectivo. Tyson Wholesale proporciona 20% de los tubos de imagen. 5 a 2. que tenga piscina. utilizando tres categorías: asistencia menor a 1 500 000 (que se indica en los datos como 1. f 05. en cada uno de los cinco munici~ i o itownshiosi s . que da información acerca de los 30 equipos de beisbol de la Liga Mayor en la temporada 2000 (en Estados Unidos. 50%. y la de que uno "malo" tenga un accidente es 0. ¿Cual es la probabilidad de que el señor Bores sea: a ) un conductor "bueno"? b) un conductor "mediano"? c ) un conductor "malo"? eiercicios. y le preguntaba al concursante si deseaba cambiar la puerta elegida por una de las otras dos.10. asistencia de 1. en comparación con la cantidad de casas que no la tienen. ¿Debería el concursante cambiar la puerta elegida? 'Aumentan las posibilidades de ganar al cambiar de puerta? Vaya ai siguiente sitio de la Red (Website). o tenga piscina. detrás de una de las cuales se encontraba un premio. Coiisidere el conjunto de datos de bienes raíces (Real State) incluido en el apéndica. Si se selecciona un equipo al azar. 2) Dado que esta en el municipio 3. La Aseguradora de Autos ABC clasifica a los conductores como "buenos".com 103. respectivamente.stat.Capitulo 5 102. Si se selecciona una casa al azar. calcule las siguientes probabilidades: 1) Que haya tenido una temporada ganadora.orobabilidad: 1) ~ u laecasa esté en el municipio 1. a) Elabore una tabla que muestre el numero de equipos con una temporada exitosa comparado con los que tuvieron una temporada con fracaso. y 20%. la de que un conductor "mediano" tendra un accidente es 0. y pruebe su propia estrategia: http//www. es 0. Las otras dos puertas contenían algún regalo de broma. segun las tres categorias de asistencia. . 2) Dado que esté en ei municipio 5. Luego establezca otra variable nueva para la asistencia del público. no tenga cochera. "regulares".5 millones. Después de que el concursante elegia una de las puertas.5 millones o mas. y los que triunfaron en 80 o menos. Florida. y asistencia de 2. que da información acerca de las casas vendidas en el area de Venice. Es decir. Si se selecciona al azar un inmueble.5). La compañia le vende al señor Bores una póliza de seguro y éste tuvo un accidente. 2) Que haya logrado una temporada exitosa o una asistencia de mas de 2.sc.03. . que es administrado por el Departamento de Estadistica de la Universidad de Carolina del Sur (en EVA). comparadas con las que no la tienen. ¿Fue correcta su estrategia? Eiercicios con datos Dara compiitadora 104.html. establezca una variable para contar los equipos que ganaron 81 juegos o mas. calcule las siguientes probabilidades: 1) Que la casa tenga cochera. .html Vaya a la siguiente pagina de la Red y lea acerca de las posibilidades del juego: http://www. o "malos". 3) Que tenga piscina y este en el municipio 3.edu/-westijavahtmllLetsMakeaDea.5 millones de espectadores. En ei decenio de 1970 el programa de concurso Lets Make a Deal tuvo un gran ex~toen la televisión. 3) Que la casa tenga cochera y este en el municipio 3. La probabilidad de que un conductor "bueno" tendra un accidente. durante el año pasado. b) Organice los datos en una tabia que muestre la cantidad de casas que tienen cochera.) Establezca una variable que divida los equipos en dos grupos. stat. a) Organice los datos en una tabla que muestre el numero de casas que tienen piscina.edul-westiapplets/LetsMakeaüeal. Los automovilistas que solicitan un seguro entran en estos tres grupos en las proporciones: 30%. en cada uno de los cinco municipios. el conductor del programa le revelaba lo que habia detras de una de las puertas que no eligió. Los concursantes tenían que elegir una de tres puertas. Considere el conjunto de datos de beisbol (Basebalo. 4) Que no tenga cochera o este en el municipio 2.01.sc. los que tuvieron una temporada exitosa y los que no la tuvieron. calcule la siauiente < . les agradó. es 0. Considere el conjunto de datos de escuelas (Schoois) que se tienen en el apéndice.25. Clásico. . 883 3. "mediano" (entre 1 000 y 3 000 alumnos). (. 106. . b) A setenta y tres jugadores les gustó el juego. o 0. El autor de este libro considera que la posibilidad de que el índice Dow Jones (DJIA) suba a 12 000. 2) ¿Es la posibilidad de seleccionar un equipo con récord de triunfos. el A mas de la mitad de las Dersonas aue . mayor para equipos con campos de cesped natural o de cesped artificial? 3) Tener un record ganador.3 a ) (i) (50 + 68) = 0.059 2 O00 . "moderada" (entre 5 y lo%. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante pase el examen de conocimientos? Sugerencia: Encuentre el porcentaje medio que aprueba el examen y use este valor como la probabil~dadaprobar el examen.5 millones. 3) ¿Qué porcentaje de los distritos es tanto "pequeño". o jugar en un campo de cesped artificial.5 millones. calcule las siguientes probabilidades: 1) Seleccionar un equipo con campo local dotado de césped artificial. inclusive). o no pase el examen. el cual se refiere a los 94 distritos escolares situados en el noroeste de Ohio. como de "baja" ayuda social? 4) ¿Qué porcentaje es "pequeño" o de "baja" ayuda social? 5) Si se eligen tres distritos al azar.1 Resouestas al autoexamen a) Probar el nuevo juego de computadora. y una temporada exitosa. Subjetivo. 5. calcule la probabilidad de que sea uno con ayuda social "baja". ¿cuál es la probabilidad de que el alumno pase el examen? 3) ¿Cuál es la probabilidad de que ei alumno provenga de un distrito con ayuda social "alta" y apruebe el examen? 4) Obtenga la probabilidad de que un estudiante sea de un distrito con ayuda social "moderada".027 Empírico. c ) No. indicando el numero de juegos ganados y perdidos. a) Agrupe los distritos basándose en el porcentaje de estudiantes que reciben ayuda social: "baja" (menos de 5%). hay otras respuestas posibles. tenga éxito.= 0. d) No puede ser menor que 0.8125.189 Revisión de algunos conceptos de probabilidad 3) Que haya tenido una asistencia superior a 2. 4) Que haya tenido una temporada con fracaso y una asistencia inferior a 1. Si se selecciona un equipo al azar.orue' ban dicho juego. o "grande" (con más de 3 000 escolares). Tal vez hubo un error aritmético. b) Ahora clasifique los distritos por tamaño: "pequeño" (con menos de 1 000 estudiantes). b) Elabore una tabla que muestre el número de equipos que juegan en campos con cesped artificial. 2) Si es un distrito con ayuda social "baja".cuál es la probabilidad de que todos sean de tamaño "mediano"? Caoítulo 5 5. El lector puede ser más o menos optimista. La probabilidad de que el juego. 1) ¿. y "alta" (mas de 10%) 1) Se selecciona un distrito escolar al azar. es 65/80.) 24 2. (Desde luego. y en campos con cesped natural. La probabilidad no puede ser mayor que 1. al ser lan- zado al mercado.Qué porcentaje de los distritos es "pequeño"? 2) Si un distrito es "pequeño". Después se elige un alumno que se halle en ese distrito. = -. Hay 45 combinaciones. Para obtener la probabilidad conjunta: P J O.08 0.rreglo dental es e evento B. al La necesidad de zaoatos esoeciales es el even' to A La necesidad de un . 24. que resulta de (5)(4).-E!? ??) 005 = .201(0 951 +(O 50)(0 9E. se incluyen todas las posibilidades. Hay 72.80)(0. b) La posibilidad de seleccionar tres bolsas y encontrar que a todas les falta peso. 5.p ( y ~8 ) = (E){ . como la de tres mujeres y un hombre.!E)(?!?) 100 80 100 + 0.3)! - 56 b) Sí.10 1.80)(0. Saiir del tronco de árbol por la rama inferior. = 16 O00 = + l0. bl Empleados 5. a) Tabla de contingencias. que se obtiene de (3)(2)(4)(3). que se evalúa por: 4.80. La probabilidad condicional es 10180. 2. "no se quedaría"..5 0. .] ..PM.200.8 1.4 c) No son complementarios.30 2400 8 o00 j%)[?!?) = 4000 100.80)(0..80)= 0.499 5. 1030)lO 97) -- 5. 80.IPIB. 5 040.002.6 o. que se obtiene de: _ c ) Sí. Hay 20. a) 56 es correcto. 5.i . sino mutuamente excluyentes. a) 0.lPIB: A.0000156.7 P(A y E) = P(A)P(B / A) 5. i 5. - PVI. porque existen otras posibilidades. que se obtiene de: A. = = 0. c) No.03 5. a) 60. 8000 50 \No 80 b) Una posibilidad es: . a) 0.4096. 2. se encuentra la rama con el rótulo "6-10 arios".N!<9!L~ ~~ 0. Siguiendo por el mismo camino. resultante de: 2.i 0. i 1.0. . (0.025)(0.15 . y provkene de: C.lP(B. b) 60. La probabilidad de ese evento es 80/200.r)! 2!(10 . s. valor resultante de: 3.r)! = '! 3!(8 .961 b) 0.14.9 1 a) pw. que se obtiene de (5)(4)(3).20 Planes Conjunta ~ 'O0 a:\ (. que se obtienen evaluando: c =Al o ! lo r!(n.5o ~~ P(A. obtenido por: (0.11 1. 2.2)! =45 .."! r ! . i Ad .lP(B. es muy remota. 'PDI.025)(0.025).