5.- Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos – Distribución Conjunta Distribución Marginal Distribución Condicional Independencia de Variables Aleatorias Valores Esperados 5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 1.- Cierto supermercado tiene una caja de salida común y una caja rápida, en que X 1 es el número de clientes que están esperando en la caja común, en un momento particular del día, y X2 es el número de clientes que están esperando en la caja rápida, al mismo tiempo. Suponga que la función de probabilidad conjunta de X1 y X2 es la siguiente: X1 \ X2 0 1 2 3 0 .08 .07 .04 .00 1 .06 .15 .05 .04 2 .05 .04 .10 .06 3 .00 .03 .01 .07 4 .00 .01 .05 .06 1.1) Calcule la probabilidad de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de espera que en la otra. 1.2) Si se sabe que en la caja común hay dos personas esperando, ¿Cuál es el número esperado de clientes que están en la caja rápida? 1.1) Solución: Lo primero será definir las variables a utilizar: 𝑥1 = “Número de clientes que esperan caja común” 𝑥2 = “Número de clientes que esperan caja rápida” Luego, debemos representar la probabilidad que la fila 𝑥1 tenga por lo menos dos clientes más que la fila 𝑥2, lo que está dado por: 𝑃 𝑥1 ≥ 𝑥 2 + 2 = 𝑃 𝑥1 = 2; 𝑥 2 = 0 + 𝑃 𝑥1 = 3; 𝑥2 = 0 + 𝑃 𝑥1 = 4; 𝑥 2 = 0 + 𝑃 𝑥1 = 3; 𝑥 2 = 1 +𝑃 𝑥1 = 4; 𝑥 2 = 1 + 𝑃 𝑥1 = 4; 𝑥 2 = 2 Y el otro caso está dado por: 𝑃 𝑥1 + 2 ≤ 𝑥 2 = 𝑃 𝑥1 = 0; 𝑥 2 = 2 + 𝑃 𝑥1 = 0; 𝑥 2 = 3 + 𝑃 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 3 + 𝑃 𝑥1 = 0; 𝑥 2 = 2 Finalmente, calculando la suma de estas probabilidades, tenemos: 𝑃 𝑥1 ≥ 𝑥 2 + 2 + 𝑃 𝑥1 + 2 ≤ 𝑥 2 = 0,04 + 0,04 + 0,05 + 0,03 + 0,01 + 0,05 = 0,22 Respuesta: La probabilidad de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de espera que en la otra, corresponde a 0,22 1.2) Solución: 𝑥2 𝑓(𝑥2 /𝑥1 = 2) Luego, calculamos el valor esperado: 0 0,05/0,25 = 0,20 𝐸(𝑥 2/𝑥1 = 2) = 𝑥2𝑖 ∙ 𝑃(𝑥 2𝑖 /𝑥1 = 2) 1 0,04/0,25 = 0,16 𝑅𝑒𝑐 𝑥 2 2 0,10/0,25 = 0,40 𝐸(𝑥 2/𝑥1 = 2) = 0 ∙ 0,20 + 1 ∙ 0,16 + 2 ∙ 0,40 + 3 ∙ 0,24 3 0,06/0,25 = 0,24 𝐸(𝑥 2 /𝑥1 = 2) = 1,68 Respuesta: Si en la caja común hay dos personas esperando, entonces el número esperado de clientes que están en la caja rápida es 1,68 Página 94 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas 00 0. tal que su distribución de probabilidad conjunta es: 𝒚 0 1 2 3 4 𝒙 1 0. La correspondiente distribución de probabilidad conjunta es la siguiente: 𝒚 0 1 2 𝒙 0 0.54 0.15/0.08 0. esto se puede definir por simple inspección.000 y la diferencia entre el precio de venta y el costo variable es de $1. procedemos a determinar el número esperado de 0 0.54 solicitudes rechazadas diariamente: 1 0. 2) Solución: Lo primero es definir el número de préstamos solicitados en el día cuando este es máximo. en esta empresa.54 0.05 0. es igual a 0.00 3 0.15 0.01 0.54 𝐸(𝑦/𝑥 = 3) = 𝑦 ∙ 𝑝(𝑦/𝑥 = 3) 2 0.02 3.02 0.16 0. ligeras y pesadas. en que 𝒙 e 𝒚 representan en número de chancadoras vendidas al mes de tipo ligero y de tipo pesado respectivamente.54 0.05 4 0. por lo tanto.04 Determine el número esperado de solicitudes rechazadas diariamente.05 0.04/0. Calcule utilidad mensual esperada y su varianza en la empresa.6852 3.000 por chancadora tipo pesada vendida y $700. cuando el número de préstamos solicitados en el día es máximo. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 95 . Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 2. cuando el número de préstamos solicitados en el día es máximo.15 0.En una Financiera.01 0.00 2 0. se consideran variables aleatorias: 𝒙 = Número de préstamos solicitados diariamente 𝒚 = Número de solicitudes rechazadas diariamente.04 0.200.05/0.6852 0.54 0.1) Se seleccionan al azar las ventas mensuales..04 0.000 por chancadora tipo ligera vendida.00 0.30 0.000.54 𝑅𝑒𝑐 𝑦 3 0.30/0.10 0.54 Respuesta: El número esperado de solicitudes rechazadas diariamente.20 0.02 1 0. hasta ubicar un mes en que la cantidad vendida de chancadoras ligeras supera a la de las pesadas.04 𝐸(𝑦/𝑥 = 3) = 0 ∙ + 1∙ +2∙ +3∙ = 0. Las cantidades vendidas mensualmente son variables aleatorias.06 0.02 0.06 0.. 𝑦 𝑓(𝑦/𝑥 = 3) En seguida. 5. cuyo resultado es tres.15 0. creamos una tabla con probabilidad de número de préstamos solicitados diariamente. Determine la probabilidad de tener éxito después del tercer mes elegido 3.2) La empresa tiene un costo fijo mensual de $2.10 2 0.15 0. dado que el número de solicitudes rechazadas diariamente sea igual a tres.30 0.06 0.05 3 0.05 0.08 0.Una empresa vende dos tipos de “chancadoras”. 31 mejor manera.37 2 = 0.05 = 0.37 0+ 0.63 0. 𝑦 = 1 + 𝑃 𝑥 = 4.02 + 0.27 + 3 ∙ 0.63 0. 3. notemos que estamos en presencia de una distribución Geométrica.24 = 0.37 1+ 0.12 𝐸 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑃 𝑦 = 0 ∙ 0.31 + 1 ∙ 0. es 0. tenemos que obtener la probabilidad correspondiente a ubicar un mes en que la cantidad vendida de chancadoras ligeras supera a la de las pesadas.0507.12 = 1.37 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Finalmente calculamos la probabilidad que nos solicita el problema: 𝑃 𝑉 > 3 = 1 − 𝑃 𝑉 ≥ 3 = 1 − [𝑃 𝑉 = 1 + 𝑃 𝑉 = 2 + 𝑃 𝑉 = 3 ] 𝑃 𝑉 > 3 = 1 − 0.93 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝐸 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥 = 0 ∙ 0.63 Después. 𝑦 = 1.7 + 1 ∙ 0.24 Después utilizando la fórmula de esperanza.2) Solución: Utilizaremos la siguiente notación: 𝑈 = “Utilidad mensual de la empresa (MM$) 𝑈 = 1. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 3. 𝑦 = 1 + 𝑃 𝑥 = 3. 𝑦 = 0 + 𝑃 𝑥 = 3.06 + 0.27 2 0.33 1 0.07 0 0.0507 Respuesta: La probabilidad de tener éxito después del tercer mes elegido. 1 0.45 2 0.98 𝑅𝑒𝑐 𝑥 Página 96 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . supera a la de las pesadas” Además. para así. 𝑦 = 0 + 𝑃 𝑥 = 2.06 + 0. 𝑦 = 2 𝑃 𝑥 > 𝑦 = 0. definimos otra variable a utilizar: 𝑉 = “Cantidad de meses seleccionados hasta que la cantidad vendida de chancadoras ligeras.10 + 0. lo que se expresa de la siguiente forma: 𝑃 𝑥 > 𝑦 = 𝑃 𝑥 = 4.16 + 0.63) 𝑓 𝑉 = 0.63 0.2𝑦 + 0.1) Solución: Lo primero que debemos hacer es definir las notaciones a utilizar: 𝑥 = “Número de chancadoras vendidas al mes de tipo ligero” 𝑦 = “Número de chancadoras vendidas al mes de tipo pesado” Luego.04 + 0.21 obtenemos: 4 0.06 + 0. 5. 3 0. poder trabajar con ellos de 0 0.7𝑥 − 2 Distribuimos lo datos que nos otorga el 𝑥 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑃(𝑦) problema.08 + 0.2. 𝑦 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2. 𝑦 = 0 + 𝑃 𝑥 = 4. 𝑦 = 2 + 𝑃 𝑥 = 3. lo que se expresa de la siguiente manera: 𝑦−1 . 𝑦 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1.21 + 4 ∙ 0.63 0.33 + 2 ∙ 0. … 𝑉 ~ 𝐺𝑒𝑜 (𝑝 = 0.45 + 2 ∙ 0. 98 ∙ 0.2 ∙ 0.72 ∙ 1.41 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝑉 𝑥 = 𝐸 𝑥2 − 𝐸 𝑥 2 = 5.Las proporciones 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐.93 = −0.2 de la sustancia 𝒙𝟐.22 𝑉 𝑦 − 2 ∙ 0.93 + 0.. 𝑦 = 1.7 ∙ −0.𝒙𝟐 = 𝟎 𝒆𝒏 𝒐.2 ∙ 0.17 Finalmente. 𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 − 𝐸 𝑥 ∙ 𝐸 𝑦 = 1. nos solicitan la varianza de la Utilidad mensual de la empresa. como ya tenemos todos los valores necesarios calculamos la varianza de la Utilidad mensual de la empresa.22 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝐸 𝑦2 = 𝑦 2 ∙ 𝑃 𝑦 = 02 ∙ 0.5451 𝐸 𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑃 𝑥.9 − 2 = 0.24 = 1.7𝑥 − 2 = 1.07 + 12 ∙ 0. de dos sustancias que se encuentran en muestras de insecticidas.7𝐸 𝑥 − 2 𝐸 𝑈 = 1.2𝐸 𝑦 + 0.2𝑦 + 0.12 = 5.72 𝑉 𝑥 + 1.67 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝐶𝑜𝑣 𝑥. como se muestra a continuación: 1 − 𝑥2 𝑓 𝑥2 = 𝑓 𝑥1 .17 = 1.502 y 1.7𝑥 + 1. en la empresa. lo que se obtiene integrando la función con respecto a 𝑥1.7 ∙ 1. 𝑉 𝑈 = 𝑉 0. 4) Solución: Definimos la función marginal de 𝑥 2. por lo que calculamos lo siguiente: 𝐸 𝑥2 = 𝑥 2 ∙ 𝑃 𝑥 = 02 ∙ 0.31 + 12 ∙ 0.707 Respuesta: La Utilidad mensual esperada y la varianza.22 ∙ 0. por propiedades calculamos la esperanza de la Utilidad mensual de la empresa: 𝐸 𝑈 = 𝐸 1.22 − 1. 𝒄 Determine la proporción esperada de la sustancia 𝒙𝟏. 0.502 Por otro lado.33 + 22 ∙ 0.93 2 = 0. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO En seguida.21 + 42 ∙ 0. 5.2𝑦 − 2 = 0. con los límites de integración dados gráficamente en la figura. 𝑦 𝑉 𝑈 = 1.45 + 22 ∙ 0. son respectivamente.2996 𝑉 𝑦 = 𝐸 𝑦2 − 𝐸 𝑦 2 = 1.98 2 = 1.2 𝐶𝑜𝑣 𝑥. 4. cuando las muestras de insecticida contienen 0.2996 − 2 ∙ 1. tienen la siguiente función de densidad conjunta: 𝟐 𝟎 ≤ 𝒙𝟏 ≤ 𝟏 𝟎 ≤ 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏 𝒇 𝒙𝟏 .67 − 1.27 + 32 ∙ 0.7 ∙ 1.707. 𝑥2 𝑑𝑥1 = 2 𝑑𝑥1 = 2(1 − 𝑥 2 ) 𝑅𝑒𝑐 𝑥 1 𝑥1 = 0 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 97 .41 − 0.5451 + 0. 2 = = = 𝑓 𝑥2 𝑥2 = 0. de la siguiente forma: 2 1 − 𝑥2 . lo que se expresa como sigue: 𝑓 𝑥1 .8 𝑥1 𝐸 𝑥1 𝑥 2 = 0. por lo que se puede ocupar la formula de esperanza para distribuciones uniformes. 0 ≤ 𝑥 2 ≤ 1 𝑓 𝑥2 = 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Luego.2 = 0.2 0.8 .8 𝑥1 𝑥 2 = 0.2 𝑑𝑥1 = 𝑑𝑥 = 0.2 = 𝑥1 ∙ 𝑓 𝑥1 𝑥2 = 0.2 de la sustancia 𝑥 2.8] 𝐸 𝑥1 𝑥 2 = 0. 𝒄..2 2 1 − 𝑥 2 𝑥 2 = 0.4.2 de la sustancia 𝑥 2. La Superintendencia tiene la intención de revisar los medidores de aquellos hogares donde el consumo de gas y energía eléctrica no sobrepasa las respectivas cantidades esperadas. para distribuciones continuas: 0. 5. se ve a continuación: 1 𝑓 𝑥1 𝑥 2 = 0. 𝑥2 2 1 𝑓 𝑥1 𝑥2 = 0.4 0. cuando las muestras de insecticida contienen 0. La función de densidad conjunta de dichas variables es la siguiente: 𝒙+𝒚 𝒇𝒙𝒚 𝒙. 0 < 𝑦 < 4 𝟐𝟒 𝟎 𝒄. además del consumo de energía eléctrica (Y) en cientos de KW. 5. dado que contiene 0. por medio de la fórmula general de esperanza. determine la probabilidad de que sólo en uno de ellos se revisen los medidores.𝒚 = 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒙 < 2 .2. calculamos la función marginal de la sustancia 𝑥1.8 Y la distribución de dicha función marginal. quedando de la siguiente forma: 0+0. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Por lo que queda expresada la función marginal de 𝑥 2. es igual a 0. 5.8 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 En seguida calculamos la esperanza. Página 98 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas .El Departamento de Estudios de la Superintendencia de Electricidad y Combustible (SEC) dispone de la información del consumo de gas natural (X).2 ~ 𝑈[0.4 2 Respuesta: La proporción esperada de la sustancia 𝑥1. 0.8 1 𝑅𝑒𝑐 𝑥 1 𝑥1 = 0 Análogamente.1) ¿Qué porcentaje de los hogares de este sector debería revisar la SEG? 5. expresada en cientos de m3. de un conjunto de viviendas ubicadas en el sector sur oriente de la capital durante el mes de Abril pasado. 0 ≤ 𝑥1 ≤ 0. posee una distribución uniforme. notemos que 𝑥1 𝑥 2 = 0. 𝒐.2) Si se considera una revisión aleatoria de 10 hogares del sector.2 = = 0. 2011 24 𝑥 = 0 𝑦 =0 Finalmente. 𝑦≤𝐸 𝑦 = 𝑃 𝑥 ≤ 10 9 . 𝑦 ≤ 22 9 = 0.3) Si se revisan los consumos de los hogares uno a uno. lo que se denota de la siguiente forma: 10/9 22/9 𝑥+𝑦 𝑃 𝑥≤𝐸 𝑥 . ¿Cuál es la probabilidad de que al tercer hogar revisado se encuentre el segundo hogar donde el consumo de gas y electricidad no sobrepase lo esperado? 5.4) De los hogares con un consumo de 100 m3 mensuales en gas ¿Qué proporción consume menos de 100 KW en energía eléctrica? 5. determinamos las esperanzas de cada una de las variables. corresponde al 20. los que corresponden a aquellos hogares donde el consumo de gas y energía eléctrica no sobrepasa las respectivas cantidades esperadas. como se muestra a continuación: 2 2 𝑥+2 1 1 8 10 𝐸 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑓𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑥 = +4 = 6 6 6 3 9 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 𝑥 =0 4 4 𝑦+1 1 1 64 22 𝐸 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑓𝑦 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦∙ 𝑑𝑦 = 𝑦 2 + 𝑦 𝑑𝑦 = +8 = 12 12 12 3 9 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝑦 =0 𝑦 =0 Posteriormente. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 5. el porcentaje pedido es: %𝑃 𝑥 ≤ 10 9 . en cientos de m 3” 𝑦 = “Consumo de energía eléctrica. en una revisión aleatoria de 10 hogares del sector” Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 99 . 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 2 + 2𝑦 = 24 24 12 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 Luego. por lo que los límites de integración están dados entre cero y el valor esperado de cada variable. en cientos de KW” En seguida. 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 = 4𝑥 + 8 = 24 24 6 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝑦 =0 2 𝑥+𝑦 1 (𝑦 + 1) 𝑓𝑦 𝑦 = 𝑓𝑥𝑦 𝑥.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Consumo de gas natural.2011 ∙ 100 = 20. procedemos a calcular las funciones marginales de 𝑥 e 𝑦.11% 5.2) Solución: Sea: 𝑤 = “Número de hogares donde se revisan los medidores. respectivamente: 4 𝑥+𝑦 1 (𝑥 + 2) 𝑓𝑥 𝑥 = 𝑓𝑥𝑦 𝑥. calculamos la probabilidad de los hogares de este sector que deber ía revisar el Departamento de Estudios de la Superintendencia de Electricidad y Combustible. 𝑦 ≤ 22 9 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0.11% Respuesta: El porcentaje de los hogares de este sector que debería revisar la SEG. 5. corresponde a 0. 𝑝 = 0. … . 𝑤 = 0.065 1 Respuesta: Si se hace una revisión de los consumos uno a uno.2011 0.2666. con la siguiente función de densidad conjunta: 𝟑 𝟐 𝟐 𝒇 𝒙. 𝑦 24 𝑥+𝑦 𝑓 𝑦 𝑥 = = 𝑥 +2 = 𝑓𝑥 𝑥 4𝑥 + 8 6 Luego. cuyo consumo de gas y electricidad no sobrepase lo esperado” 𝑣− 1 Con: 𝑣 ~ 𝐵∗ (𝑟 = 2. la proporción consume menos de 100 KW en energía eléctrica. calculamos la probabilidad de que a sólo uno le revisen el medidor: 10 𝑃 𝑤 =1 = 0. es igual a 0. determinamos el valor de la probabilidad condicional. la probabilidad de que al tercer hogar revisado.125 12 12 2 8 0 Respuesta: De los hogares con un consumo de 100 m 3 mensuales en gas. corresponde a 0.2011 0.1.2666 1 Respuesta: Si se considera una muestra aleatoria de 10 hogares del sector.2011 2 0.. 𝑣 = 2.3) Solución: Sea: 𝑣 = “Número de hogares revisados hasta encontrar el segundo. 𝒚 = 𝟑𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙 + 𝒚 𝟐𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟎 𝟐𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟑𝟎 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 ¿Cuál es la probabilidad de que la presión del neumático derecho exceda a la presión del neumático izquierdo en al menos dos 𝒍𝒃/𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐? Página 100 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas .7989 . 10 𝑤 10 − 𝑤 𝑤 ~ 𝐵(𝑛 = 10 . 𝑝 = 0. la probabilidad de que sólo en uno de ellos se revisen los medidores.3.125 6.2011 1 0.10 𝑤 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Luego.Cada neumático delantero de un tipo particular de automóvil se llenará a una presión (requerida) de 26 lb/pulg2.2011) 𝑃𝑣 = 0.2011) 𝑃𝑤 = 0. Suponga que la presión de aire de cada neumático es una variable aleatoria.7989 𝑣 − 2 . 5.7989 9 = 0. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Donde. X para el neumático derecho e Y para el izquierdo.065. … 1 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 2 2 1 𝑃 𝑣=3 = 0. 1 𝑦+ 1 1 1 1 𝑃 𝑦<1 𝑥=1 = 𝑑𝑦 = + 1 = = 0. calculamos la función condicional para 𝑥 = 1: 𝑦+1 𝑓 𝑦 𝑥 =1 = 12 Finalmente.2. 5. 5. se encuentre el segundo hogar donde el consumo de gas y electricidad no sobrepase lo esperado.7989 = 0.4) Solución: Lo primero será definir la función condicional: 𝑥+𝑦 𝑓𝑥𝑦 𝑥. 7.3203 7. son variables aleatorias con función de probabilidad de densidad conjunta dada por: 𝟑 𝒙+ 𝒚 𝟎 < 𝒙 < 1−𝒚 𝟎< 𝒚<1 𝒇 𝒙. la probabilidad de que la presión del neumático derecho exceda a la presión del neumático izquierdo en menos de al menos dos 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2. calculamos la integral que sigue para obtener la probabilidad requerida..5 gramos de partículas tipo B. 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 = 22 𝑦 = 20 30 𝑥–2 3 𝑃 𝑥 ≥𝑦+2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 380000 𝑥 = 22 𝑦 = 20 30 𝑥 3 − 18𝑥 2 + 3𝑥 − 2002 3804 = 𝑑𝑥 = 95000 11875 𝑥 = 22 = 0. 5. 7.5 gramos de partículas tipo A y menos de 0. por lo tanto. 𝑃(𝑥 ≥ 𝑦 + 2) En seguida. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 6) Solución: Debido a que 𝑥 es la presión de aire de para el neumático derecho.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Cantidad de partículas tipo A” 𝑦 = “Cantidad de partículas tipo B” Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 101 .3203 Respuesta: La probabilidad de que la presión del neumático derecho exceda a la presión del neumático izquierdo en al menos dos 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2. se denota se la siguiente forma: 𝑃(𝑥 − 𝑦 ≥ 2) .𝒄 7. donde sus límites están dados gráficamente por la imagen: 30 𝑥 −2 𝑃 𝑥 ≥ 𝑦+ 2 = 𝑓 𝑥. es igual a 0. en 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2. 𝒚 = 𝟎 𝒆𝒏 𝒐.1) Determine la probabilidad de que un día determinado se encuentre más de 0. e 𝑦 la presión de aire para el neumático izquierdo.Al estudiar el tipo de partículas que contaminan el aire de Santiago. o bien. en 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 . que se contabilizan en los filtros colocados diariamente para tal efecto. se ha determinado que las cantidades X e Y (en gramos) de partículas tipo A y B respectivamente.2) Determine la cantidad total esperada de partículas que se encuentran diariamente en el filtro. Página 102 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . quedando de la siguiente forma: 1 1 −𝑥 𝑃 𝑥 > 0.5 gramos de partículas tipo A y menos de 0.375 2 2 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 𝑥 =0 1 1 3 3 𝐸 𝑦 = 𝑦∙𝑓 𝑦 = 𝑦 ∙ 1 − 𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑦 − 𝑦 3 𝑑𝑦 = 0. 𝑦 𝑑𝑦 = 3(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 = 1 − 𝑥2 2 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝑦 =0 1 −𝑦 3 𝑓𝑦 = 𝑓 𝑥. para obtener el valor esperado total de partículas que se encuentran diariamente en el filtro.3125 2 𝑥 = 0.5 gramos de partículas tipo B. 𝑦 < 0. 7.5 gramos de partículas tipo B. lo que se expresada de la siguiente forma: 𝑃 𝑥 > 0. 5.5 Respuesta: La probabilidad de se encuentre más de 0.5 𝑦 = 0 1 3 2 = − (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 0. calculadas en el paso anterior: 𝐸 𝑥 + 𝑦 = 𝐸 𝑥 + 𝐸 𝑦 = 0.2) Solución: Lo primero que debemos determinar son las funciones marginales de cada variable. nos piden determinar la probabilidad de que se encuentre más de 0. como se muestra ahora: 1−𝑥 3 𝑓𝑥 = 𝑓 𝑥.375 + 0.5. para determinar el valor esperado de la cantidad total de partículas. 𝑦 𝑑𝑥 = 3(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 = 1 − 𝑦2 2 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 Posteriormente.5 Cuyos límites de integración se ven gráficamente en la imagen. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Luego. 𝑦 < 0.375 2 2 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝑦 =0 𝑦 =0 Finalmente. en un determinado día es 0.375 = 0.5 gramos de partículas tipo A y menos de 0. es 0. como se muestra a continuación: 1 1 3 3 𝐸 𝑥 = 𝑥∙𝑓 𝑥 = 𝑥 ∙ 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑥 3 𝑑𝑥 = 0.5. debemos sumar las esperanzas de cada variable.5 = 3(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 = 0.75.75 Respuesta: La cantidad total esperada de partículas que se encuentran diariamente en el filtro.3125. debemos calcular los valores esperados de ambas variables. 25 𝑃 𝑤 = 0. Se toma al azar un tubo de 90 centímetros de largo.1.5 toneladas. 8. 𝑝 = 0. determinamos la probabilidad de que el doble de la cantidad de polvos finos sea superior que la cantidad de polvos gruesos.75 . … . como se ve en la siguiente expresión: 10 𝑤 10 − 𝑤 𝑤 ~ 𝐵 𝑛 = 10.25 0. es 6 por metro lineal de tubo. son variables aleatorias modeladas por la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta: 𝟐 𝒇 𝒙.La mezcla adecuada de polvos finos y gruesos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos dos irregularidades en el tubo? Considere válidos los supuestos de Poisson. en toneladas” Luego. ¿Cuál es la probabilidad de que en cuatros de ellas el doble de la cantidad de polvos finos sea superior que la cantidad de polvos gruesos? 8.10 𝑤 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 103 .2) Determine la probabilidad de que la cantidad de polvos finos sea inferior a la esperada y la cantidad de polvos gruesos fluctúe entre 1.. 8.1) Se toman al azar 10 muestras de estas mezclas.3) El número promedio de irregularidades que se encuentran en tubos de cobre. antes de sintetizar cobre.3 y 1. 𝒚 = 𝟕 𝒙 + 𝟐𝒚 𝟎 < 𝒙 < 1. 5. donde los límites de integración están definidos gráficamente en la imagen: 2 1 2 𝑃 2𝑥 > 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 7 𝑦 =1 𝑥 = 2 2 −9𝑦 2 + 16𝑦 + 4 1 = 𝑑𝑦 = = 0. 𝑤 = 0. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 8.25 28 4 𝑦 =1 En seguida. ambos en toneladas. es esencial para lograr uniformidad en el producto terminado.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Cantidad de polvos finos.2. utilizaremos la siguiente variable: 𝑤 = “Número de mezclas en el cual el doble de la cantidad de polvos finos es superior que la cantidad de polvos gruesos de un total de diez mezclas analizadas elegidas independientemente” Cuya variable se distribuye de forma binomial. 1 < 𝒚 < 2 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 8. fabricados con esta mezcla. La cantidad de polvos finos (X) y polvos gruesos (Y). en toneladas” 𝑦 = “Cantidad de polvos gruesos. utilizadas en las mezclas. 5238) 2 2.09164 7 7 𝑦 = 1.75 = 0. la esperanza de la cantidad de polvos finos.2.14599 4 Respuesta: De una muestra de 10 mezclas.1.5238.3 ≤ 𝑦 ≤ 1. la determinamos por fórmula: 1 1 2 2 𝐸 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 𝑑𝑥 = 0.4 𝑃𝑣 = .5238 7 7 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 𝑥 =0 En seguida.3 ≤ 𝑦 ≤ 1. … 𝑡! 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑣 = “Número de irregularidades en un tubo de 90 cm” 6 ∙ 90 𝑒 −5.2. lo primero que debemos hacer en este ítem.5 toneladas.1. 𝑡 = 0.4 ∙ 5. la probabilidad de que en cuatros de ellas se cumpla que el doble de la cantidad de polvos finos sea superior que la cantidad de polvos gruesos. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Finalmente.3 𝑥 = 0 1. reemplazamos los valores determinados anteriormente.5 = 𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 7 𝑦 = 1.3 Respuesta: La probabilidad de que la cantidad de polvos finos sea inferior a la esperada y la cantidad de polvos gruesos fluctúe entre 1.09164. 1.5) Por lo que. es igual a 0. 1. … 100 𝑡! 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Página 104 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas .5 0.14599.25 0.5 (0.3) Solución: Sean las variables con sus respectivas distribuciones: 𝑡 = “Número de irregularidades en un tubo de 100 cm” 𝑒 −6 ∙ 6𝑡 𝑡 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 ( = 6) 𝑃𝑡 = .0952 𝑦 = + 𝑑𝑦 = 0. quedando de la siguiente forma: 1. corresponde a 0. 8. 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = (𝑥 + 3) 7 7 𝑅𝑒𝑐 𝑦 1 Luego.5238 2 𝑃 𝑥 < 0.4𝑡 𝑣 ~ 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑜𝑛 = = 5. 𝑡 = 0. hacemos los cálculos para 𝑤 = 4: 10 4 6 𝑃 𝑤=4 = 0.2) Solución: Notemos que debemos calcular la siguiente notación: 𝑃(𝑥 < 𝐸 𝑥 . es calcular la función marginal de 𝑥.3 y 1. 5. 8. usando la siguiente fórmula: 2 2 2 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥. 5.0243] = 0.97118 0! 1! Respuesta: La probabilidad de encontrar por lo menos dos irregularidades en el tubo de 90 centímetros de largo.3125 = 0.5 = 1 − 𝑃 𝑥 ≤ 0.6875. lo que se ve a continuación: 1 3 2 3 1 𝑓𝑥 = 𝑓 𝑥.5 = 1 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 − 0. 𝒚 = 𝟐 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 9. 0 < 𝒚 < 1 𝒇 𝒙. determinamos la función marginal de la proporción de tiempo que se usa en la primera línea. procedemos a determinar la probabilidad que nos pide el ejercicio: 0. ¿cuál es la proporción esperada de tiempo que se ocupa la primera línea ese día? 9.1) ¿Cuál es la probabilidad de que un día la primera línea esté ocupada más de la mitad del tiempo? 9.4 ∙ 5.5 𝑃 𝑥 > 0.97118 9.2) Determine la probabilidad de que en un día la primera línea se ocupe menos tiempo que la segunda. corresponde a 0.. En un día seleccionado aleatoriamente.Una instalación de servicio telefónico opera con dos líneas de servicio.6875 𝑥 =0 Respuesta: La probabilidad de que un día.00452 + 0. 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑥 2 + 2 2 3 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝑦 =0 Luego.41 = 1− + = 1 − [0.4 ∙ 5. la primera línea esté ocupada más de la mitad del tiempo. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 105 . Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Finalmente. Suponga que la función de probabilidad conjunta es: 𝟑 𝟐 𝒙 + 𝒚𝟐 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒙 < 1 .1) Solución: Sean: 𝑥 = “Proporción de tiempo que se usa en la primera línea” 𝑦 = “Proporción de tiempo que se usa en la segunda línea” En seguida.3) Si un día la segunda línea se ocupa el 75% del tiempo. calculamos la probabilidad requerida: 𝑃 𝑣 ≥ 2 = 1−𝑃 𝑣 < 2 = 1− 𝑃 𝑣 = 0 +𝑃 𝑣 = 1 𝑒 −5.40 𝑒 −5. considere X la proporción de tiempo que se utiliza la primera línea e Y la proporción de tiempo que se utiliza la segunda línea. 9. es igual 0. 𝒇𝑻𝟐 𝒕𝟐 = 𝒆 𝟐𝟎 𝒕𝟐 > 0 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟎 𝒐. 𝒄 ¿Cuál es la probabilidad que el empleado deba esperar mayor cantidad de minutos al bus alimentador que al bus troncal? Página 106 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas .75 𝑑𝑥 = 𝑥∙ 1 𝑑𝑥 = = 0. la primera línea se ocupe menos tiempo que en la segunda línea. 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 =0 𝑥 =0 1 𝑦 1 3 2 𝑦 3 3𝑦 3 1 = 𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑦 = = 0.752 𝑥 2 + 0.3) Solución: Debido a que debemos calcular la proporción esperada de tiempo que ocupa la primera línea.75 = 𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑦 = 0..8958 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 3 Respuesta: Si un día aleatorio. cuyas funciones de densidad se muestran a continuación: 𝟏 𝟏 − 𝒕𝟐 𝒇 𝑻𝟏 𝒕 𝟏 = 𝟎 < 𝒕𝟏 < 20 .5.5 2 2 2 2 𝑦 =0 𝑥 =0 𝑦 =0 Respuesta: La probabilidad de que en un día. 10. calculamos la función condicional. es igual a 0.5944. la segunda línea se ocupa el 75% del tiempo.5625 0. 9. que se expone a continuación: 3 𝑓 𝑥.2) Solución: La probabilidad a determinar se calcula por medio de la función de densidad. la proporción esperada de tiempo que se ocupa la primera línea ese día.5625 2 3 3 Finalmente. 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑥 = + 𝑦2 2 2 3 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 Luego. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 9.5625 2 𝑓 𝑥 𝑦 = 0. son variables aleatorias independientes 𝑻𝟏 y 𝑻𝟐 . determinamos la esperanza que nos solicitan: 1 𝑥 2 + 0.752 + 0. con los límites de integración plasmados en la imagen: 1 𝑦 𝑃 𝑥<𝑦 = 𝑓 𝑥. 5. es conveniente partir por calcular la función marginal de la proporción de tiempo de la segunda línea: 1 3 2 3 1 𝑓 𝑦 = 𝑓 𝑥.75 = = 3 1 = 1 𝑓 𝑦 𝑦 = 0.Un empleado cada día debe tomar dos buses del Transantiago para llegar a su trabajo: el alimentador H-201 y el troncal 401. 𝒄 𝟎 𝒐. es igual a 0.5325 𝐸 𝑥 𝑦 = 0. expresadas en minutos. dado que la segunda línea ocupa el 75% del tiempo. Los tiempos de espera de las respectivas líneas. 𝑦 𝑥 2 + 0.75 + 0.5625 0.5944 + 0. 0 < 𝑡1 < 20 . 𝟐 𝒙+ 𝟏 𝟎 < 𝑥 < 0. la función conjunta queda expresada de la siguiente forma: 1 − 𝑡2 𝑓𝑇1 𝑇2 𝑡1 .8 𝒇 𝒙.. 𝒚 = 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 11. que tienen determinadas sillas para oficinas. se tiene que: 𝑓𝑇1 𝑇2 𝑡1 . calculamos la probabilidad requerida por el ejercicio. 𝑡2 = 𝑓𝑇1 𝑡1 ∙ 𝑓𝑇2 𝑡2 Por lo tanto. por se 𝑇1 y 𝑇2 variables aleatorias independientes.2 micras de milímetros? 11. ¿Cuál es la probabilidad de que la capa de níquel sea inferior a 0.2) Si la capa de cromo es menor que 0. 11.1) ¿Cuál es la probabilidad de que la capa de cromo sea más gruesa que la capa de níquel? 11. llevan una capa de níquel y sobre ella una de cromo. 𝑡2 𝑑𝑡2 𝑑𝑡1 𝑡1 = 0 𝑡2 = 0 20 𝑡1 20 1 − 𝑡2 1 𝑡1 = 𝑒 20 𝑑𝑡2 𝑑𝑡1 = 1 − 𝑒 − 20 𝑑𝑡1 400 20 𝑡1 = 0 𝑡2 = 0 𝑡1 = 0 1 = 20 + 20𝑒 −1 + 20 = 𝑒 − 1 = 0. El grosor de la capa de níquel (X) y de la capa de cromo (Y) son variables aleatorias que tienen la siguiente función de densidad conjunta. se sabe que el grosor óptimo de la capa de cromo debe ser superior a 0. con los límites de integraciones que se ven en la imagen 20 𝑡1 𝑃 𝑇1 > 𝑇2 = 𝑓𝑇1𝑇2 𝑡1 . 𝑡2 = 𝑒 20 .6 micras de milímetros. 0 < 𝑦 < 0. 𝑡2 > 0 400 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Entonces.3 micras de milímetros. 5. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 10) Solución: Sean: 𝑇1 = “Tiempo que espera el empleado hasta que pasa el alimentador H-201” 𝑇2 = “Tiempo que espera el empleado hasta que pasa el troncal 401” Luego.3678 20 Respuesta: La probabilidad de que el empleado deba esperar mayor cantidad de minutos al bus alimentador que al bus trocal.5 .3678. corresponde a 0.Las piezas de metal. Ambas capas se miden en micras de milímetros.3) Se realiza control de calidad de estas sillas. ¿Cuál es la probabilidad de tener que revisar a lo más cuatro sillas hasta encontrar la segunda con un grosor óptimo de la capa de cromo? Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 107 . la probabilidad posee el siguiente valor: 0.8 0. como se ve a continuación: 0. la probabilidad de que la capa de níquel sea inferior a 0.3 = = 0.6667 3 𝑥 =0 Respuesta: La probabilidad de que la capa de cromo sea más gruesa que la capa de níquel. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 11.3 = 2(𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0.2 0.5 2 = −2𝑥 2 − 0.2 ∩ 𝑦 < 0.132 𝑥 =0 𝑦 = 0 𝑥 =0 0.375 𝑦 =0 𝑦 =0 Por lo que. con una medida estadística adecuada.6 𝑑𝑥 = 0.132 𝑃 𝑥 𝑦 < 0.2 micras de milímetros. 11. 11. es igual a 0.352 0. si es posible afirmar que mientras mayor es el grosor de la capa de níquel. en micras de milímetros” 𝑦 = “Capa de cromo en una silla.3 𝑃 𝑥 𝑦 < 0. 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 =0 𝑦 = 𝑥 𝑥 =0 𝑦 = 𝑥 0.3 0.2 𝑃 𝑥 < 0.3 = 𝑃 𝑦<3 Con: 0. si las variables están relacionadas. mayor es el grosor de la capa de cromo.3 micras de milímetros.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Capa de níquel en una silla.6667.6𝑥 + 0. es igual a 0.3 = 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 = 1. calculamos la probabilidad condicional de la siguiente manera: 𝑃 𝑥 < 0. 5.25 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 Luego.3 𝑃 𝑦 < 0.25 𝑑𝑦 = 0.6 𝑑𝑥 = = 0.4𝑥 + 1. con los límites de integración que se muestran en la imagen: 0.5 𝑓 𝑦 = 2 (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2 (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 1.3 0.2 ∩ 𝑦 < 0.4) Pruebe.375 Respuesta: Si la capa de cromo es menor que 0.5 0.352 Página 108 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas .5 0. en micras de milímetros” Procedemos a calcular la probabilidad.8 𝑃 𝑦>𝑥 = 𝑓(𝑥.2) Solución: Lo primero determinamos la función marginal de y. notemos que la multiplicación de las funciones marginales son iguales a la función conjunta.25 2 0.6 𝑥 + 1 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝑦 =0 0. 𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 1.8 𝑓𝑥 = 𝑓 𝑥.8 1 𝑃 𝑦 > 0. como se ve a continuación: 𝑤 = “Número de sillas revisadas hasta encontrar la segunda con un grosor optimo” 𝑤−1 2 𝑤 −2 𝑤 ~ 𝐵∗ (𝑟 = 2. la probabilidad de tener que revisar a lo más cuatro sillas hasta encontrar la segunda con un grosor óptimo de la capa de cromo. … 1 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Finalmente.8 0. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 109 .25 0.6 Definimos la siguiente variable a utilizar.25 4 𝑦 = 0.5 𝑓𝑦 = 𝑓 𝑥. lo que se hace de la siguiente forma: 0.75 2 = 0.3. es decir la covarianza es cero.6 𝑦 = 0.2617 1 1 1 Respuesta: Al hacer un control de calidad de estas sillas.75 1 + 0. es igual a 0. por ende no se puede afirmar que a mayor grosor de la capa de níquel.4) Solución: En este ítem. 5. 𝑦 𝑑𝑦 = 2 𝑥 + 1 𝑑𝑦 = 1.3) Solución: Lo primero que debemos hacer es determinar la probabilidad de encontrar una silla con grosor óptimo. En conclusión el Coeficiente de Pearson es igual a cero.2617.25 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 Luego.6 = 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 = 1. 𝑦 = 2 𝑥 + 1 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑓 𝑦 Lo que implica que ambas variables son variables aleatorias independientes.25) 𝑃 𝑤 = 0.25 𝑑𝑦 = = 0. como se muestra: 𝑓 𝑥. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 11.25 0. determinamos la probabilidad que nos solicitan: 𝑃 𝑤 ≤ 4 = 𝑃 𝑤 = 2 +𝑃 𝑤 = 3 + 𝑃 𝑤 = 4 1 2 0+ 2 2 3 = 0. la que tiene una distribución Pascal o binomial negativa. 11.4. calculamos la función marginal de cada variable definidas anteriormente.75 . de la siguiente forma: 0. 𝑤 = 2. mayor grosor de la capa de cromo.75 0. 𝑝 = 0.25 0. 5 e Y < 0. en la empresa. lo que se hace con la siguiente fórmula: 6 6 𝑓 𝑥. de cierta empresa.8 Página 110 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . dado que la producción diaria de cable sea 0.8) 2 8 𝑥 = 0.Sean X e Y variables aleatorias que denotan la producción diaria de cable (en miles de metros) en los turnos A y B respectivamente de cierta Empresa.7 e Y ≥ 0. 𝟎 ≤𝒚≤𝒙 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 Las funciones de densidad para cada variable son: 𝟐 𝟔 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏 . Por disposición de la gerencia de comercialización la producción en el turno B no debe superar a la del turno A. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 12. se observó un comportamiento de tipo exponencial con media de 30.. ¿Cuál es la producción esperada en el turno B? 12.3) Si el costo de producir un metro de cable es de $1800 en el turno A y de $2100 en el turno B. 5.2) ¿Cuál es la probabilidad de que la producción en el turno B supere los 600 metros de cable? 12.1) Cuando en el turno A se producen 800 metros de cable. 12.7 Normal X > 0. 𝒚 = 𝟓 𝟐𝒙 + 𝒚 𝟎 ≤𝒙 ≤𝟏.7 12. 𝒇𝒚 = 𝟏 + 𝒚 − 𝟐𝒚𝟐 𝟎≤𝒚≤𝟏 𝟓 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 La empresa clasifica su productividad diaria de acuerdo al siguiente criterio: Nivel de Producción diaria Productividad (en miles de metros) Baja X ≤ 0. sea mayor a 35 Kw.8 + 𝑦 5𝑦 5 𝑓 𝑦 𝑥 = 0.5 Alta X ≥ 0. en miles de metros” Lo primero será definir la función condicional. de cierta empresa.1) Solución: Sean: 𝑥 = “Producción diaria de cable en el turno A. El comportamiento conjunto de ambas variables se modela mediante función de densidad: 𝟔 𝒇 𝒙.8 en el turno A.8 𝑥 = 0. Determine la probabilidad que el consumo de energía diario. 𝑦 2𝑥 + 𝑦 2 0.8 = = =5 =1+ 𝑓𝑥 3𝑥 2 3 (0. ¿Cuál es el costo total esperado de la producción diaria de cables en esta empresa? 12. en miles de metros” 𝑦 = “Producción diaria de cable en el turno B.5 e Y ≤ 0. 50 y 40 Kw respectivamente.4) Al observar el consumo diario de energía eléctrica para los distintos niveles de productividad. 2368 12. 1 1 𝐸𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ (3𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 3𝑥 3 𝑑𝑥 = 0. calculamos la esperanza de la función que definimos en el paso anterior. la producción esperada en el turno B. por lo tanto. reemplazamos los valores obtenidos. está dada por la siguiente ecuación: 𝐶 = 1800 𝑥 + 2100 𝑦 .6 = 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = 1 + 𝑦 − 2𝑦 2 𝑑𝑦 = = 0.000.8 = 𝑦 𝑓 𝑦 𝑥 = 0. quedando de la siguiente forma: 1 1 6 148 𝑃 𝑥 > 0. la que por la información que nos suministra el ejercicio. corresponde a 0.2368 5 625 𝑥 = 0.8 0. 12. en el turno A y B. o 4267 metros. quedando como se ve a continuación: 𝐸 𝐶 = 1800 𝐸 𝑥 + 2100 𝐸 𝑦 = 1800 ∙ 750 + 2100 ∙ 400 = $2. 𝑐𝑜𝑛 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Luego. respectivamente. de la siguiente forma: 0. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Luego. 5. es $2. la que por medio de propiedades nos queda expresada de la siguiente forma: 𝐸 𝐶 = 𝐸 1800 𝑥 + 2100 𝑦 = 1800 𝐸 𝑥 + 2100 𝐸 𝑦 Entonces.6 Respuesta: La probabilidad de que la producción en el turno B supere los 600 metros de cable. nos piden el valor esperado de esta ecuación. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 111 .8 0. debemos calcular los valores esperados de la producción diaria de cable.3) Solución: Lo primero será definir el costo total de la producción diaria de cable en esta empresa.4267 8 8 75 𝑦 =0 𝑦 =0 𝑦 =0 Respuesta: Cuando en el turno A se producen 800 metros de cable.2) Solución: Debido a que nos preguntan sobre la producción en el turno B.000 Respuesta: El costo total esperado de la producción diaria de cables en esta empresa. utilizaremos la función de densidad de la producción diaria de cable en el turno B.190.8 5𝑦 5𝑦 2 32 𝐸 𝑦 𝑥 = 0.6 𝑥 = 0.4267 miles de metros. es igual a 0.190.75 = 750 𝑚 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =0 𝑥 =0 1 1 6 6 𝐸𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑦∙ 1 + 𝑦 − 2𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑦 + 𝑦 2 − 2𝑦 3 𝑑𝑦 = 0.8 𝑑𝑦 = 𝑦 1+ 𝑑𝑦 = 𝑦+ 𝑑𝑦 = = 0. donde esta supere los 600 metros de cable.4 = 400 𝑚 5 5 𝑅𝑒𝑐 𝑦 𝑦 =0 𝑥 =0 Finalmente. 5 𝑥 6 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝑥 ≤ 0. son variables aleatorias con función de densidad conjunta dada por: 𝟐 𝒆− 𝒙 − 𝒚 .4169 ∙ 0.5 = (2𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0.4149 Respuesta: La probabilidad que el consumo de energía diario.4169 40 Finalmente. 𝑦 < 0.4966 50 1 35 𝑐 𝑁 ~ 𝑒𝑥𝑝 = → 𝑃 𝑐 > 35 𝑁 = 𝑒 − 40 = 0. definimos las probabilidades condicionales: 1 35 𝑐 𝐵 ~ 𝑒𝑥𝑝 = → 𝑃 𝑐 > 35 𝐵 = 𝑒 − 30 = 0..5. en vehículos elegidos al azar. la cantidad de la sustancia contaminante tóxica que emite es de 2 grs.La cantidad de sustancia contaminante corrosiva (X) y de sustancia contaminante tóxica (Y).7 𝑦 = 0.7 𝑃 𝑁 = 𝑃 𝑥 > 0. 𝑦 ≥ 0. en la empresa. sea mayor a 35 Kw.4149. 5. quedando de la siguiente forma: 𝑃 𝑐 > 35 = 𝑃 𝑐 > 35 𝐵 ∙ 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝑐 > 35 𝐴 ∙ 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝑐 > 35 𝑁 ∙ 𝑃 𝑁 𝑃 𝑐 > 35 = 0.3114 30 1 35 𝑐 𝐴 ~ 𝑒𝑥𝑝 = → 𝑃 𝑐 > 35 𝐴 = 𝑒 − 50 = 0.1404 5 𝑥 = 0.125 + 0. sin perder de vista que los límites de integración están dados gráficamente por la imagen. 𝑦 ≤ 0..7.1404 + 0.7 = 1 − 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐴 = 0. 𝟎<𝑦<𝑥<∞ 𝒇 𝒙. 13.3114 ∙ 0.4) Solución: Sean: 𝐵 = “Nivel de Productividad Baja” 𝐴 = “Nivel de Productividad Alta” 𝑁 = “Nivel de Productividad Normal” 𝑐 = “Consumo diario de energía” Luego calculamos las probabilidades de cada nivel de producción. Página 112 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas .5. que se encuentran al examinar las emisiones de gases. Calcule la probabilidad que la cantidad de sustancia contaminante corrosiva que emite supere a 4 grs. es igual a 0. expresadas en grs.4966 ∙ 0. 𝒚 = 𝟎 𝒆𝒏 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐 Si en un vehículo elegido al azar. calculamos la probabilidad total de consumo diario de energía.7346 Posteriormente. lo que se realiza de la siguiente forma: 0.125 5 𝑥 =0 𝑦 =0 1 𝑥 6 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑥 ≥ 0.7 = (2𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0.7346 = 0. por medio de fórmulas. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 12. como se ve a continuación: ∞ 𝑓𝑦 = 𝑓 𝑥. 𝑦) 2 𝑒− 𝑥 – 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦=2 = = = 𝑒 − 𝑥+ 𝑦 = 𝑒− 𝑥 + 2 𝑓(𝑦) 𝑦 = 2 2 𝑒 −2𝑦 𝑦 = 2 𝑦=2 Finalmente. en gramos” 𝑦 = “Sustancia contaminante tóxica.1353 𝑥 =4 𝑥 =4 Respuesta: Al elegir de forma aleatoria un vehículo. y la cantidad de sustancia contaminante tóxica que emite es de 2 gramos. de la siguiente forma: ∞ ∞ 𝑃 𝑥>4 𝑦=2 = 𝑓 𝑥 𝑦 = 2 𝑑𝑥 = 𝑒 − 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 𝑒 −2 = 0. Distribución Conjunta – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 13) Solución: Sean: 𝑥 = “Sustancia contaminante corrosiva. la probabilidad que la cantidad de sustancia contaminante corrosiva que emite supere a 4 gramos es 0. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 113 . definimos la función condicional que nos servirá para determinar la probabilidad requerida por el ejercicio.1353. en gramos” Luego. para lo que se utiliza la siguiente fórmula: 𝑓(𝑥. 5. 𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑒 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 = 2 𝑒 −2𝑦 𝑅𝑒𝑐 𝑥 𝑥 =𝑦 En seguida. debemos definir la función densidad de la sustancia contaminante tóxica. calculamos la probabilidad pedida por el problema. Una persona tiene dos bombillas para una lámpara en particular.1) ¿Cuál es la probabilidad que la primera bombilla dure a lo sumo 1500 horas y que la segunda también dure a lo sumo 1500 horas? 3. e Y = La duración de la segunda bombilla (ambas en miles de horas). son variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta: 𝑦 0 1 2 3 4 𝑥 1 0. y el producto interno bruto: PIB (Y). ha investigado el comportamiento de las variables: tasa de crecimiento de las exportaciones (X).10 0.3) Determine el porcentaje de variabilidad del número de llamadas que solicitan atención de emergencia los fines de semana. se ha estudiado que el número (Y) de llamadas recibidas solicitando atención de emergencia cada fin de semana y el número (X) de especialistas disponibles. 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑥 ≤ 20 2 ≤ 𝑦 ≤ 6 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 2.05 0.02 0.04 0..02 1.5 𝑥 +2𝑦 𝑓 𝑥.1) Si la tasa de crecimiento de las exportaciones es de un 10% ¿Cuál es el producto interno bruto esperado? 2. 05 – Distribución Conjunta .23 0.03 0. 𝑦 = 3 ∙ 𝑒 𝑥>0 𝑦>0 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 3.En empresas que prestan servicio de soporte computacional los fines de semana.Un servicio de estudios económicos.15 0.12 0. (expresadas en porcentaje): 3𝑥 − 𝑦 𝑓 𝑥.Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 1.00 2 0.08 0.1) En los fines de semana en que hay dos especialistas disponibles ¿Cuál es el número esperado de llamadas de emergencia recibidas? 1. Suponga que X e Y son independientes y con función densidad conjunta dada por: − 1.01 3 0. 𝑦 = 2010 .2) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración total. 3. Sea X = La duración de la primera bombilla.. 2.01 0. Al analizarlas se encontró que dichas variables se pueden describir según la siguiente función de densidad conjunta..12 0.02 0.2) ¿Cuál es la probabilidad que en un fin de semana el número de llamadas solicitando atención de emergencia sobrepase el número de especialistas disponibles? 1.2) Calcular la probabilidad de que la tasa de crecimiento de las exportaciones sea superior a cinco veces el producto interno bruto. esté entre 1000 y 2000 horas? Página 114 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . de ambas bombillas. 3) En una investigación con respecto a la duración de la primera bombilla. las manzanas son embaladas en bandejas de 4 unidades. ha modelado el peso (X).2) ¿Cuál es el diámetro esperado de las piezas que son sometidas al proceso de torneado? 6. el diámetro exterior de la pieza (D. y el peso es de al menos 150 gr. 5.. 2 𝑟𝑝𝑚 < 𝑔 < 10 𝑟𝑝𝑚 320 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 6. de acuerdo a las exigencias de los clientes. 𝑦 = 1<𝑥 <2 2<𝑦<3 4 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Además.. ¿Cuál es la probabilidad que tengan un diámetro máximo superior al diámetro máximo esperado? 6. es la siguiente: 𝑥+𝑦 𝑓𝑋𝑌 𝑥. en decenas de centímetros.1) Si se elige al azar una pieza ¿Cuál es la probabilidad que el diámetro exterior supere los 10 mm y la velocidad de giro sea inferior a 6 (rpm)? 6.. en cientos de gramos y el diámetro máximo (Y) de cada manzana..1) Calcular el espesor medio del teflón A.1) Las manzanas son clasificadas tipo A. del teflón tipo A y B que llevan en el interior determinadas tuberías de agua potable y cuya función de densidad de probabilidad conjunta está dada por: 3 𝑥+1 𝑓 𝑥. un proveedor selecciona al azar 8 bombillas de distintas partidas. 𝑥 + 𝑦 ≤ 1 2 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 4. para estas dos variables aleatorias.2) Si el espesor del teflón tipo A es inferior a 0. si al momento del embalaje fueron elegidas al azar por un sistema robotizado y colocadas en la bandeja? 5. ¿Cuál es la probabilidad que una bandeja contenga más de dos unidades del tipo A.8 milímetros? 5. 𝑦 = 𝑠𝑖 𝑥 > 0 . en mm) y la velocidad de giro de ella (G.Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 3. 2𝑚𝑚 < 𝑑 < 12 𝑚𝑚. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 6 de las bombillas duren más de 700 horas? 4.3) Se elige al azar una pieza con un diámetro exterior de 10 mm ¿Cuál es la probabilidad que su velocidad de giro sea superior a 5 rpm? Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 115 . 4. 𝑦 = . La función de densidad conjunta. si su diámetro máximo supera los 25 cm. en rpm) se puede modelar por la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta: (𝑔 − 2) 𝑓𝐷𝐺 𝑥.6 milímetros ¿Cuál es la probabilidad de que el teflón tipo B tenga un espesor inferior a 0. en milímetros.Una empresa que exporta cierta variedad de manzanas al mercado Europeo. 05 – Distribución Conjunta .2) En las manzanas que pesan 190 gramos.Las variables X e Y representan los espesores. 𝑦 > 0 .En el proceso mecanizado de torneado de piezas. se ha estudiado que el ingreso mensual (X) en millones de $ y el gasto mensual (Y) en millones de $ de las familias. 𝑦 = 5400 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 50 𝑚𝑚 .2) Se eligen al azar y en forma independiente 10 familias de la población en estudio.En un experimento sobre cierto tipo de mezcla de hormigón se determinó que la densidad (X). 8. 9.000. son variables aleatorias que tienen la siguiente función densidad conjunta: 1 𝑦 − 40 𝑠𝑖 2400 ≤ 𝑥 ≤ 2500. 0. 𝑦 = 1 𝑦 − 60 1− 𝑠𝑖 2400 ≤ 𝑥 ≤ 2500.1) Determine la densidad esperada para este tipo de mezcla de hormigón.6 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 8..En cierta población. ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos en dos familias el gasto mensual sea superior al ingreso mensual? (*) 9. medida en kg/m 3.500. para las familias cuyo ingreso mensual es de $1..480 (N/mm 2)? (*) 8. 40 ≤ 𝑦 ≤ 60 2000 20 𝑓 𝑥. considerados variables aleatorias con función de densidad conjunta: 10 𝑓 𝑥. 7.2) Se sabe que el próximo sistema frontal tendrá una duración de tres días.1) Determine el gasto mensual esperado.2 < 𝑦 < 1. Determine la probabilidad que entre cinco sistemas frontales independientes. 60 ≤ 𝑦 ≤ 80 2000 20 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 7. De acuerdo a la información histórica las variables presentan la siguiente función de densidad conjunta: 𝑥+𝑦 𝑓 𝑥. ¿Cuál es la probabilidad que la precipitación sobrepase los 40 mm? Página 116 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas . más de uno sea intenso.2) ¿En qué porcentaje. 05 – Distribución Conjunta . 0 < 𝑦 < 4 𝑑í𝑎𝑠 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 En la zona central: 9. medida en N/mm 2. 𝑦 = 54 𝑥 + 𝑦 𝑠𝑖 0. la fuerza compresiva es inferior a 45 (Kg/m 3) y la densidad es inferior a 2.1) Un sistema frontal es intenso si dura más de un día y la precipitación es sobre 30 mm.5 < 𝑥 < 2 . El Servicio de Meteorología ha modelado la cantidad de agua caída (X) en milímetros y la duración (Y) en días. de este tipo de mezcla de hormigón.Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 7. de los sistemas frontales que afectan a la zona central. la fuerza compresiva (Y). 1) $1.2) 0.235 7.3162 5.12 1.507 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 117 .Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Soluciones: 05.2) 8.3429 5.7758 9.1) 2450 7.5% 3.011 2.2) 0.1) 0.2) 2.085.2) 0.2) 0.1) 1.1) 0.2) 0.1) 0.2) 8.375 4. 05 – Distribución Conjunta .357 1.806 9.05 6.1) 3.3) 75% 6.8501 3.1) 0.333 8.076 4.2) 0. Distribución Conjunta 1.75 6.95 2.1) 0.3) 0.
Report "5. Probabilidad Conjunta - Ejercicios Resueltos y Propuestos"