ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” ARITMÉTICANÚMEROS PRIMOS NUMERO PRIMO ABSOLUTO Es aquel número que tiene sólo dos divisores que son el mismo número y la unidad. NUMERO COMPUESTO Son aquellos números que tienen más de 2 divisores. Números Primos Entre sí (PESI) Llamados también primos relativos; se denomina así al conjunto de números que tienen como único divisor común, la Unidad. Regla para Determinar si un Número es Primo Absoluto Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada del número Paso 2: Se divide el número entre todos los números primos menores e iguales que la raíz entera. Paso 3: Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo absoluto. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Todo entero positivo mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única y se denomina “Descomposición Canónica”. Expresar 540 en su descomposición Canónica 540 2 270 2 135 3 45 3 5 . 3 . 2 540 3 2 · → 15 3 5 5 1 Cantidad de Divisores de un Número Compuesto. Sea el número compuesto N expresado en función de sus factores primos: .... c . b . a N λ β α · Siendo: a, b , c Números primos absolutos. La cantidad de divisores de N estará dado por: ( ) ( )( )( ) 1 1 1 Cd N + + + · λ β α Ejemplo: Calcular el número de divisores de 540: 5 . 3 . 2 540 3 2 · Entonces: ( ) ( )( )( ) ( ) 24 2 . 4 . 3 Cd 1 1 1 3 1 2 Cd 540 540 · · + + + · Suma de Divisores de un Número Compuesto El número compuesto se descompone en sus factores primos: .... c . b . a N λ β α · Luego la suma de todos los divisores de N estará dado por la fórmula: ( ) 1 c 1 c . 1 b 1 b . 1 a 1 a Sd 1 1 1 N − − − − − − · + + + λ β α MÁXIMO COMÚN DIVISOR El MCD de varios números naturales es otro natural que cumple dos condiciones: 1. Es divisor de los números dados 2. Es lo mayor posible Propiedad: Todos los divisores comunes de varios números son también divisores del MCD de ellos. DETERMINACIÓN DEL MCD Por Factorización Individual Luego de descomponer a los números en sus factores primos, se toman únicamente los factores comunes afectados de sus menores exponentes. Por Factorización Simultánea Se escriben los números en fila, luego se dividen simultáneamente del menor al mayor primo común a dichos números, hasta que los cocientes sean P.E.S.I. Propiedades 1. Si A y B son P.E.S.I, entonces: MCD (A,B) = 1 2. Si A es múltiplo de B, entonces: MCD (A;B) = B 3. Si se multiplican o dividen varios números por una misma cantidad, su MCD también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa misma cantidad. 4. Si se dividen a varios números entre su MCD, los cocientes obtenidos son números P.E.S.I. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO EL MCM de varios números naturales es aquel número natural que cumple dos condiciones: 1. Es un múltiplo común de todos. 2. Es el menor Posible. Propiedad: Todos los múltiplos comunes de varios números dados son también múltiplos de MCM. DETERMINACIÓN DEL MCM Por Factorización Individual Luego de descomponer a los números en sus factores primos, se toman a todos los factores, afectados de sus mayores exponentes. Por Factorización Simultánea Se dividen los números dados simultáneamente a todos o algunos de ellos, del menor al mayor factor primo, hasta que se obtengan cocientes iguales a la unidad. Propiedades: 1 ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” ARITMÉTICA 1. Sean 2 números A y B P.E.S.I, entonces el MCM de ellos es su Producto. MCM (A; B) = A . B 2. Si A es múltiplo de B, entonces el MCM de ellos es A. MCM (A; B) = A 3. Los cocientes de dividir el MCM de un conjunto de 2 ó más enteros positivos entre cada uno de ellos, son siempre P.E.S.I. 4. Si se multiplica o dividen varios números por una misma cantidad, su MCM también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa cantidad. 5. El producto de 2 números es igual al producto de su MCD por el MCM de ellos. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular el valor de N sabiendo que es de la forma: k 10 . 9 y además tiene 3 divisores más que el número 360 A)90 B)900 C)9000 D)90000 E)N.A 2. Si: b a 3 . 4 tiene aa divisores. ¿Cuántos divisores tiene abba ? A)18 B)9 C)21 D)36 E)45 3. Hallar el menor número que tenga 15 divisores. Dar como respuesta la cifra de las decenas del número. A)4 B)3 C)2 D)1 E)0 4. ¿Cuál es el menor número de términos que debe tener la siguiente serie para que su suma tenga 6 divisores? ..... 91 91 91 S + + + · A)5 B)6 C)7 D)8 E)13 5. ¿Cuántos divisores de 720 no son múltiplos de 6? A)16 B)14 C)12 D)20 E)10 6. Hallar un número de 3 cifras que tiene 9 divisores sabiendo que su cifra central es igual a la suma de sus cifras extremas. A)682 B)594 C)374 D)484 E)286 7. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? A)6 B)8 C)9 D)5 E)4 8. Si: n 1 n 15 . 10 . 14 N + · y se sabe que N tiene 18 divisores múltiplos de 21 pero no de 5. Hallar “n” A)2 B)4 C)3 D)1 E)5 9. Se trata de depositar el aceite de 3 barriles de 219, 300 y 420 litros de capacidad en envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite? A)30 B)51 C)31 D)41 E)27 10. El cociente de 2 números es 15. Si su MCD es 18. Hallar el número mayor. A)180 B)240 C)200 D)270 E)220 11. ¿Cuántas parejas de números cumplen que su MCD sea 9 y su suma sea 126? A)1 B)3 C)2 D)5 E)4 12. Las dimensiones de un terreno rectangular son 894 y 354 m. Se desea parcearlo en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor número de parcelas. ¿Cuántas parcelas cuadradas resultarán? A)354 B)894 C)8940 D)8791 E)879 13. Julio compró cierto número de trajes por $. 20500 y vendió unos cuántos en $.15000, cobrando por cada traje lo mismo que le había costado. Hallar cuántos trajes quedan si el precio de estos fue el mayor posible. A)11 B)13 C)30 D)15 E)N.A. 14. Hallar “K” sabiendo que: MCD (210K; 300K y 420 K) = 1200 A)6 B)15 C)40 D)90 E)30 15. Si: MCD (10A y 14B) = 60 MCD (14A y 10B) = 420 Hallar el MCD de A y B. A)60 B)30 C)20 D)15 E)12 16. Hallar 2 números sabiendo que su suma es 10 veces se MCD y que su producto es 483 veces dicho MCD Dar Como respuesta la diferencia de los números. A)92 B)72 C)82 D)96 E)99 17. La suma de los cuadrados de 2 números es 676 y uno de ellos es 12 veces su MCD. Hallar la diferencia de los números. A)12 B)24 C)18 D)14 E)22 18. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3 sobra 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro? A)524 B)512 C)534 D)547 E)564 19. Hallar el número de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto sabiendo que su arista está comprendida entre 2 y 3m y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de 20, 15 y 8 cm. A)5760 B)720 C)1020 D)246 E)960 20. El producto y el cociente del MCM y MCD de 2 números son 1620 y 45 respectivamente. ¿Cuál es el número mayor? A)49 B)54 C)190 D)230 E)90 21. El MCM de los números A y B es 88. Si: 2000 B A 2 2 · + .Hallar A + B A)48 B)50 C)44 D)52 E)56 22. Las cifras del número abcabc son todas diferentes de cero. Si el número es el menor posible y tiene 16 divisores. ¿Cuál es la suma de sus cifras? A)6 B)8 C)10 D)18 E)24 23. Sean los números A y B cuyo MCD es 12 y la diferencia de sus cuadrados es 20880. Hallar A - B A)55 B)84 C)60 D)48 E)72 24. La suma de 2 números es 224 y su MCD es 28. Hallar el número mayor. A)196 B)140 C)178 D)168 E)156 2 ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” ARITMÉTICA 25. EL MCM de las edades de 2 personas A y B es el doble de A y el MCD de sus edades es la tercera parte de A. Si B nació 24 años después que A. ¿Cuántos Años tiene A? A)48 B)60 C)54 D)72 E)26 FRACCIONES 1) Definición: Una fracción es la división indicada de dos números enteros no nulos. Fracción = b a Donde: a ∈ Z – {0} b ∈ Z - {0} a ≠ º b 2) Clasificación de las fracciones: A) Por la comparación de sus Términos: 1) Fracción Propia: Es cuando el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: ect ; 1000 9 ; 12 7 ; 5 3 ; 7 2 2) Fracción Impropia: Es cuando el numerador es mayor que el denominador. Ejemplos: etc ; 6 13 ; 4 9 ; 3 7 B) Por su denominador: 1) Fracción Ordinaria o Común: Es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10. Ejemplo: etc ; 5 18 ; 7 5 ; 3 8 2) Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplo: etc 1000 13 ; 100 11 ; 10 3 C) Por la comparación de los Denominadores: 1) Fracciones Homogéneas: Es cuando tienen el mismo denominador. Ejemplo: etc ; 5 12 ; 5 7 ; 5 2 2) Fracciones Heterogéneas: Es cuando tienen denominadores diferentes. Ejemplo: etc ; 7 8 ; 5 2 ; 2 1 D) Por la Relación de los divisores de sus términos: A) Fracciones Reductibles: Son aquellas que se pueden simplificar. Ejemplo: etc ; 56 21 ; 12 4 B) Fracciones Irreductibles: Son aquellas cuyos términos son primos entre si. Ejemplo: etc 11 17 ; 19 16 ; 5 3 C) Fracciones equivalentes: Es cuando tienen el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Número Mixto: Es aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria. Ejemplo: etc ; 7 1 6 ; 5 2 3 Convertir 3 17 a mixto 17 3 ⇒ 3 17 = 3 2 5 Simplificación de Fracciones: Ejemplos: Simplificar: 120 50 1` ⇒ = 4 5 Fracción de Fracción: Ejemplo: Calcular los 10 6 3 2 de ⇒ x = 5 2 Signo de una Fracción: 1) b a a a · + + 2) b a a a · − − 3) b a b a − · − 4) b a b a − · − OPERACIONES CON FRACCIONES 1) Adición y Sustracción: Tenemos 2 casos: Caso I: Para fracciones homogéneas. Ejemplo: 12 5 1 3 12 5 12 1 12 3 + − · + − 12 7 · Caso II: Para fracciones heterogéneas. Ejemplo: 7 2 2 1 4 3 − + M.C.M (4; 2 y 7) = 28 Luego: 28 27 28 8 35 28 8 14 21 · − · − + 3 Numerador Denominador 10 -2 5 4 150 120 2 3 1 6 10 5 1 2 ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” ARITMÉTICA 2) Multiplicación: Ejemplo: x x = 15 1 3) División: Ejemplo: 4 7 6 5 ÷ − Primera Forma: x = 21 10 − Segunda Forma: = = 21 10 − EJERCICIOS PROPUESTOS 1. La región sombreada corresponde al racional A) 4 1 B) 8 1 C) 16 1 D) 36 4 E) 16 3 2. Fernando dedica 1/8 del día a jugar en la computadora, 1/16 del día lo dedica a comer, y ¼ del día lo dedica dormir. Si el resto del día lo dedica a cumplir con los trabajos del colegio. ¿Qué fracción del día dedica a esta última labor? A)8/15 B)9/16 C)9/17 D)8/17 E)7/17 3. Una ama de casa compra 3 kilos de carne, ¾ de arroz; 5 3 1 Kg de frutas y 3 1 2 de verduras. ¿Qué peso tuvo que llevar? A) 60 51 5 B) 60 71 6 C) 60 81 D) 60 41 7 E) 60 41 8 4. Un padre de familia recibe cierta cantidad de dinero por escolaridad. Si gasta los 3/5 de lo que recibió y aún le quedan S/.120. ¿Cuánto recibió por escolaridad? A)200 B)250 C)300 D)350 E)280 5. El denominador de una fracción excede al numerador en 12. Si el denominador aumenta en 8, el valor de la fracción sería 1/5, entonces la fracción es: A)5/17 B)7/15 C)1/13 D)4/5 E)11/23 6. Si 1/3 de lo que caminé equivale a los 2/3 de lo que me falta caminar. ¿Qué fracción del recorrido total, caminé? A)1/3 B)3/5 C)3/8 D)5/8 E)2/3 7. ¿Cuántas fracciones irreductibles con denominador doce son propias? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 8. Se distribuye 300 litros de leche entre tres depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta 3/5 y el segundo hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenaría si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros? A)1/6 B)1/2 C)2/3 D)1/3 E)3/4 9. Si tres calculadoras tipo A cuestan S/.40 y nueve calculadoras tipo B cuestan S/.120. ¿Cuánto costará comprar 7 calculadoras tipo A, más 14 calculadoras tipo B? A) S/. 270 B) S/.300 C) S/.280 D) S/.180 E) S/.100 10. Ernesto me debe los 4/5 de S/.160, si me paga los 5/8 de S/.160, ¿Cuánto me debe? A) S/.30 B) S/.28 C) S/.36 D) S/.12 E) S/. 20 11. Una fracción se divide por su inversa y da por resultado 16/25. La suma de los términos de la fracción será: A)10 B)19 C)8 D)7 E)6 12. Hallar: 1 1 1 1 ] 1 ¸ , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ + , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ − , _ ¸ ¸ − · 8 1 1 7 1 1 6 1 1 8 1 1 7 1 1 6 1 1 M A)12/5 B)18/5 C)5/2 D)21/10 E)16/5 13. Simplificar: 3 1 2 1 1 + + A) 7 3 1 B) 7 1 1 C) 7 1 2 D) 7 2 5 E) 5 1 1 14. Calcular: 8 1 1 1 1 1 1 M − + − · A)1/8 B)8 C)2 D)17/16 E)16/17 15. ¿Cuánto le falta a la siguiente expresión para ser igual a la unidad? 2 1 1 1 2 1 1 1 + + + 4 1 4 5 1 4 8 1 3 1 9 6 3 -5 6 3 7 4 2 7 4 -5 6 7 2 x 6 -5 x 4 ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” ARITMÉTICA A)1/11 B)8/11 C)1 D)10/11 E)3/11 16. Si los 3/4 de un número es 45. ¿A cuánto equivale el doble menos la mitad del mismo número? A)60 B)30 C)100 D)90 E)120 17. Dos tercios de los profesores de nuestro colegio son mujeres. Doce de los profesores son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes? A)70 B)120 C)60 D)56 E)90 18. ¿Cuánto le falta a 3/7 para ser igual a 3/5 de 13/21 de 5/4 de 7? A)4/9 B)3/21 C)7/9 D)4/21 E)11/9 19. Si: N = .... 7 1 7 2 7 1 7 2 7 1 5 4 3 2 + + + + + , es irreductible, determinar la suma de sus términos. A)12 B)24 C)21 D)19 E)16 20. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles existen que tengan por numerador un número impar y por denominador 49? A)24 B)21 C)48 D)45 E)28 21. Hallar “a” si se cumple: 5 1 1 1 2 1 1 ... a 1 a 1 a 1 os min tér Infinitos 3 2 + + + · + + + Donde “a” es un número racional. A)23/17 B)40/23 C)17/40 D)17/23 E)40/17 22. Hallar: “a + b” si: .... 9696 , 0 3 b 11 a · + A)7 B)8 C)9 D)6 E)11 23. A un alambre de 76 cm., se le aplica dos cortes resultando cada trozo una vez y media más pequeña que el anterior. Hallar la longitud del último trozo. A)40m B)30m C)16m D)24m E)36m 24. Dos tercios de los profesores de un colegio de mujeres, 12 de los profesores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes? A)80 B)90 C)60 D)70 E)50 25. Silvia tiene cierto número de gallinas, al ser víctima de un robo, pierde 2/9 del total menos 5. Al comprar 37 gallinas se percata que el número inicial de gallinas queda incrementado en 1/6. ¿Cuántas gallinas le robaron? A)12 B)15 C)16 D)19 E)21 26. Si gastara los 2/5 de lo que tengo y diera una limosna de s/.36, me quedarían los 3/7 de lo que tengo. ¿Cuánto tengo? A) s/.260 B) s/.72 C) s/.63 D) s/.420 E) s/.210 27. Una aldeana lleva al mercado una cesta de huevos y vende los 2/9 menos 5; si se añadiera 37 huevos a los que le quedan tendría en la cesta 1/6 más que al principio. ¿Cuántos huevos tenía en la cesta? A)250 B)96 C)108 D)120 E)130 28. Si se cumple que: ) 1 n ( n , 0 ab 5 + · . Calcule (a + b + n) A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 29. Si se cumple que: ) 4 a )( 1 a ( , 0 bb a − − · además: xy ....... 0 ab 2 · Calcule: (x + y) A)11 B)12 C)13 D)14 E)15 30. Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que le falta recorrer; ¿cuántas horas habrá empleado si todo el viaje lo hará en 12 horas? A)9 B)7 C)5 D)4 E)2 31. Cuántas fracciones hay que sean menores a 7/12 y mayores a 1/4 cuyos denominadores son iguales a 144 A)46 B)50 C)60 D)48 E)47 32. ¿Cuántas fracciones de numeradores primos que esté comprendidos entre: 11/13 y 5/7 existen, sabiendo además que sus denominadores son 91? A)2 B)4 C)3 D)5 E)7 33. Indique el número de fracciones propias con denominador 37 que son menores a 2/3. A)25 B)27 C)23 D)24 E)37 34. Una persona gasta 1/3 de lo que tiene y gana 1/3 de lo que queda. Si ha perdido en total 12 soles. ¿Cuánto tuvo al inicio? A)190 B)102 C)224 D)108 E)116 35. Una pelota en cada rebote se eleva 1/5 de la altura de la cuál cayó, si se deja caer de una altura de 24m, entonces la longitud de la trayectoria descrita por la pelota hasta quedar en reposo es: A)56 B)24 C)12 D)82 E)36 36. Cuántas fracciones propias de la forma m a existen tales que: ....... m b m a m b m a 1 m 1 a 4 3 2 + + + + · + + Y además: a + b + m = 37; a, b, m ∈Z + A)15 B)16 C)17 D)18 E)19 RAZONES Y PROPORCIONES 5 ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” ARITMÉTICA Serie de Razones Geométricas Equivalentes. Se forma al igualar 3 o más razones geométricas. Así: K b a .... 4 b 4 a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a n n · · · · · · Donde: a1.a2.a3...an ⇒ Antecedentes b1.b2.b3...bn ⇒consecuentes K = Constante o Valor de Razón. Propiedades. 1. En toda serie de razones cada antecedente es igual a su consecuente multiplicado por el valor de la razón. Es decir: A1 = b1 x K A2 = b2 x K A3 = b3 x K an = bn x K 2. En toda serie de razones la suma de antecedentes entre la suma de consecuentes es igual al valor de la razón. Es decir: K b ... b b b a ...... a a a n 3 2 1 n 3 2 1 · + + + + + + + + También: m m n m 3 m 2 m 1 m n m 3 m 2 m 1 K b ... b b b a ... a a a · + + + + + + + 3. El producto de antecedentes entre el producto de consecuentes es igual al valor de la razón elevada a un exponente igual al número de razones que se multipliquen. Es decir: n n 3 2 1 n 3 2 1 K b ... b b b a ... a a a · × × × × × × × × Serie de Razones Geométricas Continuas. K f e e d d c c b b a · · · · · NOTA: Cumple las mismas propiedades anteriores. PROMEDIOS Se denomina promedio o cantidad media a una representación de otras varias cantidades. Dicho promedio debe estar comprendido entre la menor y mayor cantidad. Sean las cantidades: a1, a2, a3, a4, ... ,an Donde: a1 = Es la cantidad menor. an = Es la cantidad mayor. ⇒ a1 < P < an CLASES DE PROMEDIOS: a. Promedio Aritmético o Media Aritmética (M.A) b. Promedio Geométrico o Media Geométrica (M.G.) c. Promedio Armónico o Media Armónica (M.H.) Para 2 Cantidades Para 3 cantidades Para “n” cantidades MA 2 a a 2 1 + 3 a a a 3 2 1 + + n a ... a a a n 3 2 1 + + + + MG 2 1 a a × 3 3 2 1 a a a × × n n 3 2 1 a ... a a a × × × × MH 2 1 2 1 a a a a 2 × × × 3 2 3 1 2 1 3 2 1 a a a a a a a a a 3 + + × × n 3 2 1 a 1 ... a 1 a 1 a 1 n + + + + Propiedades: 1. Sean varios números, se calcula la MA, MG y MH de dichos números; siempre: MA > MG > MH 2. En función de 2 cantidades se cumple que: MG = . H . M . A . M × 3. La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica y la media dada por: MA – MG = .) G . M . A . M ( 4 ) B A ( 2 + − EJERCICIOS PROPUESTOS 1. La R. A. de 2 números es 156 si la R. G. De dichos números es 11/7 Calcular su suma. A)702 B)694 C)681 D)519 E)N.A. 2. La suma de dos números es un cubo perfecto comprendido entre 100 y 200. Si la R.G. de los mismos números es 12/3 entonces su razón aritmética es: A)60 B)70 C)65 D)75 E)85 3. El valor de la cuarta proporcionalidad de 4, 7 y 12 es: A)20 B)21 C)22 D)23 E)18 4. Calcular el valor de la media diferencial de 15 y 9. A)8 B)16 C)10 D)11 E)12 5. La R.G. de dos números que suman 75 se invierte al restarle 25 al mayor y sumarle 25 al menor. 6 ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” ARITMÉTICA A)3 B)2 C)4 D)5 E)N.A. 6. Calcular la suma de los 4 términos de una P.G. contínua, el producto de sus 4 términos es igual a la octava potencia del primer término. Si la suma de los 4 términos es 48, hallar el cuarto término. A)8 B)12 C)15 D)27 E)N.A. 7. En un evento deportivo se observa que por cada 3 varones hay 4 mujeres. Si en total han participado 98 deportistas, ¿Cuántos son varones? A)92 B)94 C)95 D)98 E)100 8. Actualmente las edades de dos personas están en la relación de 8 a 11 y dentro de 10 años estarán en la relación de 7 a 9, hace 4 años en que relación estaban. A) 5 a 3 B) 10 a 7 C) 9 a 6 D) 12 a 7 E) 12 a 5 9. Eva es el doble que Ana y está el triple de eficiente que Rosa. Si juntas confeccionan 240 polos en 15 días. ¿Cuántos polos confecciona Ana en 15 días? A)22 B)24 C)26 D)28 E)30 10. En una reunión la relación entre el número de varones y damas es de 7 a 4. Si el número de damas es excedido por el número de varones en 36. ¿Cuántas personas hay en la reunión? A)100 B)112 C)120 D)132 E)140 11. La relación de dos edades A y B es de 5 a 4, la relación de B a otra C es de 3 a 7. Si la suma de las tres edades es 165. Hallar la diferencia entre la edad mayor y la menor. A)48 B)50 C)52 D)60 E)64 12. Si: K f e d c b a · · · , hallar: ef cd ab e c a 2 2 2 + + + + A) K 1 B)K 2 C) 2 K D)K E)1 13. En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad. A)2 B)3 C)5 D)4 E)16 14. Si: d d 2 c f f 2 e b b 2 a + · + · + ; además: (b + d + f) (a + e + c) = 3249 Calcular: d c a b e f A × + × + × · A)25 B)20 C)57 D)63 E)72 15. Hallar: a + b + c + n Si: 16 c c b b 2 n a a 3 · · · · A)15 B)20 C)25 D)30 E)35 16. En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes 5 d 4 c 3 b 2 a · · · ; se cumple que: a . b . c . d = 1920; hallar: a + b + c + d A)25 B)33 C)28 D)42 E)21 17. Si: p d p c n b m a · · · , la suma de los antecedentes es 48 y la suma de los consecuentes es 3. Hallar el valor de: p . d p . c n . b m . a + + + A)8 B)10 C)12 D)14 E)16 18. Si: K d c b a · · ; a + c = 4 y además: 20 cd ab · + hallar “K” A) 25 1 B)25 C) 3 1 D) 4 1 E)4 19. Si: c C b B a A · · y además: 16 c b a c b a C B A C B A 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 · + + + + × + + + + Hallar: abc ABC A)16 B)32 C)48 D)64 E)8 20. En un corral la relación entre el número de pollos y el número de gallinas es como 5 es a 3. Si se mueren 1/3 del número de aves del cual 2/3 eran pollos y el resto gallinas. ¿Cuál será la nueva relación entre el número de pollos y gallinas que quedan? A)29/19 B)29 C)19 D)3/2 E)4/3 21. En una proporción geométrica de razónes 7/8, la suma de los términos es 585 y la diferencia de los consecuentes es 56. hallar el mayor de los antecedentes. A)157 B)161 C)134 D)176 E)167 22. En una proporción geométrica cuya razón es 3/5, se sabe que: El producto de los antecedentes es 216 y la suma de los consecuentes es 50. Entonces la diferencia es: A)4 B)6 C)8 D)10 E)15 23. Si en una proporción geométrica continua, la media geométrica (media proporcional es 24 y la razón es 2/3. ¿Cuánto es la diferencia de los extremos? A)18 B)20 C)24 D)16 E)12 24. La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 104. Hallar la media proporcional si la razón es 2/3. A)42 B)45 C)48 D)52 E)56 34. Si: E 4 L E A L M A 972 M · · · · Hallar: M + A + L + E 7 ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “DISCOVERY” ARITMÉTICA A)480 B)380 C)420 D)450 E)370 35. Dado: ; c b b a · además A 2 + 2b 2 + C 2 = 576; Hallar (a + c) A)23 B)20 C)34 D)28 E)36 36. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 9. si la diferencia de sus extremos es 3. Halla el producto de los 4 términos. A)16 B)90 C)8 D)81 E)455 37. Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una misma cantidad se obtiene 20, 28, 32 y 44. Halle la suma de los términos de dicha proporción. A)140 B)130 C)160 D)150 E)180 38. A una fiesta concurren 400 personas entre hombres y mujeres asistiendo 3 hombres para cada 2 mujeres, luego de horas, por cada 2 hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? A)40 B)180 C)80 D)90 E)60 39. La radio de la luna es los 3/11 del radio terrestre y el diámetro del sol es igual a 108 diámetros terrestres. ¿Cuál es la razón geométrica entre los radios de la luna y el sol? A) 108 1 B) 396 1 C) 108 5 D) 108 7 E) 396 7 40. Si se cumple es: f e d c b a · · Además: 4 f d . b e c . a 2 2 · + + ; donde el producto de los antecedentes es 576. Hallar el producto de los consecuentes. A)36 B)32 C)128 D)72 E)81 41. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es a la diferencia de sus extremos como 3 es a 1. ¿Cuál es la razón geométrica del extremo mayor al extremo menor? A)1 B)1/2 C)5 D)4 E)6 42. En una proporción aritmética la suma de los extremos es igual a 24 si los términos medios se diferencian en 2 unidades el menor de estos medios es: A)10 B)13 C)11 D)12 E)14 43. En una proporción aritmética continua, la media diferencial es igual a 20 si la razón aritmética de los extremos es 10, Hallar el producto de los extremos. A) 475 B) 216 C) 258 D) 240 E) 360 44. Si: 5 8 b a b a · − + ; Determinar el valor de: 2 2 2 2 b a b 3 a E + − · A) 89 71 B) 43 40 C) 51 50 D) 20 19 E) 71 89 45. En una proporción aritmética continua, el primer antecedente excede al segundo consecuente en 4. Indique el término medio si el producto si el producto de los términos diferentes es 960, siendo los términos cantidades enteras. A)9 B)7 C)11 D)10 E)13 46. Calcular la razón de una serie de razones iguales, donde la suma de cuadrados de los antecedentes es 112 y de los consecuentes es 28. A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 8