APLICACIONES DE LA DERIVADAEn los ejercicios 1 – 24. Determine los máximos y/o mínimos en las siguientes funciones. 1. y 2 x 3 6 x 1 2. y x 3 x 2 5 x 3. y x 4 2x 3 4. y 3 x 4 2 x 3 5. y x 3 5 x 2 3x 4 1 2 x 12 x 1 2 6. y 2 x 3 7. y 1 4 1 3 x x x 2 1 4 3 8. y 3 x 4 4 x 3 6 x 2 4 9. y 3 x 5 5 x 4 10. y 1 4 x x3 4 11. y x 2 x 4 2 12. f ( x ) x2 1 x 13. f ( x) x 9 x 14. f ( x) x2 x 1 15. f ( x) 2x x 2 1 16. y 3 x 17. y x 1 3 18. y 3x 19. y 3 x 2 3 2x 4 3 2x 4 3 1 3 4x x 20. y x 2 1 21. y x 5 5 2 3 22. f ( x) x2 3 x 1 23. f ( x) x2 4 x2 4 P 9 3 . 29. Después demuestre que el origen está situado en una perpendicular a la recta en P. Sol. La cerca tiene un costo de $ 15 por metro. Dado un cilindro circular recto. Sol. Determinar el cilindro de volumen máximo. ¿Cómo debe usarse la cerca para que el área encerrada se lo más grande posible? Sol. Sol. ¿Cuál es el área del máximo rectángulo que puede inscribirse en un círculo de radio a? 30. 30 2 . Un folleto impreso ha de contener 48 pulgadas cuadradas de espacio impreso con márgenes de 3 pulgadas en la parte superior e inferior y márgenes laterales de 1 pulgada. Deberá tener una base cuadrada con cuatro lados verticales. 5 5 36. Determine dos números positivos cuya suma sea 75. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular de área 900 m 2 . ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del terreno de modo que se minimice el costo del cercado? ¿Cómo cambia su respuesta si el costo del cercado sube a $ 20? 34. Encuentre dos números cuya suma sea 40 y suyo producto sea máximo. Msc. todos fabricados con concreto. Sol. el que tiene perímetro más pequeño es el cuadrado de lado igual a 10 cm. William A. 4 R 3 3 3 32. 5 y 5 27. ¿Cuál es el área del máximo rectángulo que puede inscribirse en un semicírculo de radio a? Sol. Se dispone de 320 m de cerca para encerrar un campo rectangular. Repita el ejercicio 33 en el caso de que uno de los lados del terreno es común a una cerca ya existente y sólo es necesario cercar tres lados. Sol. y una tapa superior de acero. Se construirá una cisterna con capacidad de 324 pies cúbicos de agua. Demuestre que entre todos los rectángulos de superficie igual a 100 cm 2 . inscrito en una esfera dada. 20 y 20 26. a 2 33.Aplicaciones de la Derivada 24. 2 . determinar el cono circunscrito de volumen mínimo. 50 y 25 28. V Sol. Determine dos números cuya suma sea 10 y tales que su producto sea máximo. y 1 5 5 3 x x 4x 1 5 3 25. Obtenga la distancia más corta desde el origen a la recta 3 x y 6 y determine el punto P de dicha recta que está más cerca del origen. 80 80 m 37. tales que el producto de uno por el cuadrado del otro sea máximo. 15 2 35. ¿Qué dimensiones del folleto consumirán la mínima cantidad de papel? 38. 31. Santy R. Una empresa dispone de $ 3000 para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río usando a éste como un lado del área cercada. Repita el ejercicio 38 si la forma de la cisterna es un cilindro con base y tapa circulares. Tiene que tener en un lado del edificio 40 m de ancho Msc. Sol. 3 . Una caja abierta ha de hacerse con un pedazo de cartón cuadrado de 18 18 cm recortando un pequeño cuadrado de cada esquina y luego doblando las aletas para formar los lados. Será rectangular. El costo de la cerca paralela al río es de $ 5 por metro instalado y el de la cerca para los otros dos lados restantes es de $ 3 por metro instalado. 200 m 46. altura: 9 pies 39. 12 12 3 cm las dimensiones de la caja que tiene el volumen máximo? 42. Encuentre las dimensiones del área máxima cercada. Una compañía está buscando un terreno rectangular en el cual pueda construir un almacén nuevo. los derechos de pedido son de $ 10 por despacho y el costo de almacenamiento de una botella durante un año es de 40 centavos. ancho: 6 pies. ancho: 250 m 43. determine las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo total de construcción. tendrá un área de 5000 m 2 y estará cercada por los tres lados no adyacentes a la carretera. Largo: 6 pies. 2 2 de la caja de volumen máximo que puede construirse con $ 48? 4 pies 3 41. ¿Cuántas botellas debe pedir el propietario en cada despacho para reducir al mínimo sus costos? ¿Con qué frecuencia debe pedir el vino? 45. 5 2 8 5 2 8 2 pu lg 44. 40. William A. Los lados de la caja costarán $ 3 por pie cuadrado y la base costará $ 4 por pie cuadrado. Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular que contiene 25 pu lg 2 de impresión rodeada por márgenes de 2 pu lg a cada lado y 4 pu lg en las partes superior e inferior. ¿Cuáles son Sol. Santy R. Cada año el propietario de un restaurante espera vender 800 botellas de cierto vino. El vino se consume a una rata uniforme durante todo el año y cada despacho llega apenas se ha terminado de usar el despacho anterior. Largo: 300 m. ¿Cuál es la menor cantidad de cerca necesaria para el trabajo? Sol. Sol. El costo del vino es de 85 centavos por botella.Aplicaciones de la Derivada Si la unidad de área de acero cuesta el doble que la correspondiente al concreto. ¿Cuáles son las dimensiones del pedazo de papel más pequeño que puede usarse para hacer el cartel? Sol. Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada. El departamento de carreteras planea construir un área de descanso para choferes al lado de una carretera principal. ¿Cuáles son las dimensiones Sol. El área del almacén debe ser de 6400 m 2 . Sobre la orilla 1800 m. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total? Sol. p 10 en gramos) 0 p 100 . la producción media por árbol será de 400 naranjas. William A. habrá dos Msc. de una rata en un período fue de: Encuentre: a) el aumento de peso máximo y b) el 9 Sol.Aplicaciones de la Derivada para la zona de carga y al frente 10 m de ancho para estacionamiento. 20 pisos 50. b) 51 11 aumento de peso mínimo. 51. La severidad R de la reacción del cuerpo humano a una dosis inicial d de un medicamento está 2 dada por: R d d C d . sobre el río 1500 m 49. g 52. 4 . Se requiere tender en forma aérea un cable desde una central eléctrica situada a la orilla de un río de ancho 900 m. Un cultivador de frutas cítricas estima que si se plantan 60 naranjos. Demuestre que R tiene una razón de cambio máxima cuando d C . por cada $ 10 mensuales de incremento. Encuentre el precio que maximiza el ingreso. Se estima que el costo de construcción de un edificio de oficinas que tiene n pisos está dado por la función: C (n) 2n 2 500n 800 miles de dólares. El costo de tender el cable sobre el río es de $ 5 por m y a lo largo de la orilla es de $ 4 por m. 10000 m 2 47. 80 48. Sin embargo. la cual disminuirá en promedio 4 naranjas para cada árbol adicional que se plante en la misma área. Al variar el porcentaje p de levadura en la mezcla con proteína. hasta una fábrica que dista 3000 m río abajo en la otra orilla. a) 110 g. 2 53. ¿Cuál es el área mínima de terreno que la compañía debe buscar? Sol. Cada departamento puede rentarse en $ 400 por mes. ¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable? Sol. La proteína consistió en levadura y harina de semillas de algodón. Un grupo de biólogos estudiaron los efectos nutritivos en ratas a las que se les administró una dieta que contenía un 10 % de proteína. mientras que si lo vende a $ 7 el número promedio de clientes bajará a 100. Santy R. Una empresa de bienes raíces posee 100 departamentos tipo jardín. el grupo encontró que el aumento f de peso p 160 p (promedio 900 . Un restaurante especializado en carnes determina que al precio de $ 5 por platillo de carne tendrán en promedio 200 clientes por noche. donde la constante C denota la cantidad máxima de 2 3 medicamento que puede administrarse. ¿Cuántos pisos debería tener el edificio para minimizar el costo medio por piso? Sol. 57. las cuatro aristas se doblan para formar una caja de profundidad x. $ 17. ¿Cuál es el volumen máximo? Sol. y 12 cm 62. Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva: y x 3 3 x 2 5 x cuya pendiente sea Sol. h = 2 pies 58. Para que la caja requiera de una cantidad mínima de material. William A. Se corta un cuadrado de tamaño x de cada esquina de una cartulina rectangular que mide 12 18 pulgadas y las cuatro aristas se doblan para formar una caja de profundidad x. Demuestre que si se usa la cantidad mínima de material. que debe tener un volumen de 32 pies cúbicos. Encuentre los valores de x y y que minimizan el área de la cartulina original. x 2 cm . ¿Qué renta por departamento maximizará el ingreso mensual? 54. Sol. Una empresa de cable de televisión tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno $ 18 mensuales.50 menos en la renta mensual. 61. doblando luego hacia arriba los lados. requiriéndose aceras de 22 m tanto en el frente como atrás y andadores libres de 15 m en los laterales. Una compañía forestal planea desmontar cierta área de pinos después de cierto número de años. Obtenga las dimensiones del terreno con la menor área posible que sirva para este propósito. Un fabricante de recipientes está diseñando una caja sin tapa y con base cuadrada. con x entre 35 y 80. x = 50 Msc. l = 2 pulgadas.Aplicaciones de la Derivada departamentos vacíos. Encuentre el valor de x que da la caja de volumen máximo.5 x . l = 4 pies. entonces el radio y la altura serán iguales a 3 K . 5 . Se corta un cuadrado de tamaño x de cada esquina de una cartulina cuadrada de tamaño y y . a = 4 pies. sin posibilidad de rentarlos de nuevo. Encuentre la longitud del lado del lado del cuadrado que debe recortarse para que el volumen de la caja sea máximo. ancho 60 m 55. Santy R. El número promedio de pies que se obtienen por árbol en un período dado de tiempo se sabe que es igual a: 50 0. Se va a construir un edificio de un piso con una planta rectangular de 1320 m 2 . 2 x y 1 0 mínima. Largo 88 m. ¿Cuál será la renta que maximice el ingreso y cuál será este ingreso? Sol. $ 86700 56. en donde x es el número de árboles por acre. ¿Qué densidad de árboles debe conservarse a fin de maximizar la cantidad de madera por acre? Sol. Una lata cilíndrica sin tapa debe tener un volumen K. puede conseguir 150 suscriptores más por cada $ 0.V = 128 pulgadas cúbicas 59. 60. ¿qué dimensiones debe tener la caja? Sol. Una caja sin tapa va a fabricarse cortando cuadrados iguales de cada esquina de una lámina cuadrada de 12 pulgadas de lado. Sol. Se requiere que la caja tenga un volumen de 128 cm 3 . 27 pies. Sol. Si el perímetro de la ventana gótica debe ser de 32 pies. William A. La utilidad con A es de $ 2000 por tonelada y con B es de 5 x $ 1000 por tonelada. (Suponga que el grano se guarda únicamente en la parte cilíndrica y no en el techo). El ancho del río es de 1 Km. 3 67. La línea telefónica seguirá la orilla del río a partir de A una distancia x (en Km) y luego cruzará diagonalmente el río en línea recta directamente hasta B. h = 37. con: y 24 6 x . Determine el valor de x que minimiza el costo total. y B está situada 2 Km río abajo de A.07 pies 65. El granero debe ser capaz de contener 10000 pies 3 de grano. Para hacer el ofrecimiento económicamente factible. Santy R. Tiene un costo de $ 15 por Km tender una línea sobre tierra y de $ 30 por Km abajo del agua. r = 9. 32 pies 4 64. 6 . Calcular las dimensiones de la viga más rígida que puede cortarse de una troza cilíndrica Sol. El techo semiesférico cuesta el doble por unidad de área que la parte cilíndrica. ¿Cuántas toneladas de A deben producirse por día para maximizar la utilidad? Conteste la misma pregunta si la utilidad con A es de P por tonelada y con B es de tonelada.25 por cada persona adicional de las primeras 30. Se desea construir una línea telefónica entre dos torres A y B situadas en orillas opuestas de un río. 5 P por 2 3 toneladas 68. Sol. IES considera que por lo menos 30 personas deben inscribirse y cubrir un costo de $ 50 cada una.Aplicaciones de la Derivada 63. r r de radio r. ¿Cuántas personas deben inscribirse para que el ingreso de IES sea máximo? Suponga que el número máximo de asistentes se limita a 40 personas. La empresa Imperial Educational Services (IES) está considerando ofrecer un seminario sobre asignación de recursos a directivos de la Acme Corporation. La IES acepta reducir la cuota en $ 1. Msc. determine cuál debe ser el radio del semicírculo y la altura del rectángulo para que pase la mayor cantidad de luz por la ventana. Se va a construir un granero con la forma de un cilindro vertical con un techo semiesférico. ¿Qué dimensiones debe tener el granero para minimizar el costo total? Sol. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de la anchura por el cubo del espesor. Sol. Una ventana gótica consta de un semicírculo montado en un rectángulo. 35 personas 66. Una empresa fabrica diariamente x toneladas del producto químico A x 4 y y toneladas del producto químico B. William A. x 50 5 minimiza el costo total del oleoducto. Santy R. se encuentra experimentalmente en un caso que el contenido de oxígeno es: y t 3 30 t 2 6000 . Una compañía de petróleo requiere un oleoducto de una torre de perforación situada mar adentro a una refinería que se construye en la costa cercana. se sigue que x y y están relacionados por la ecuación: 2 x 2 y 2 25 . Si t denota el tiempo en días después que se deposita el desperdicio. Caballero = 2341 pares. Encuentre la máxima proporción de población que llega a infectarse. respectivamente. (t está medido en meses. A partir de la refinería. y máx 6000 en t 0 . la proporción de población infectada después de un tiempo t es igual a: t2 5 1 t 2 2 . 71. Dentro de este rango ¿a qué edad es el tiempo mínimo de reacción? 74. Msc. Si produce x y y miles de pares por semana. se encontró que el tiempo total requerido para reaccionar a la crisis variaba con la edad x del piloto de acuerdo a la función: R x 0.Aplicaciones de la Derivada 69.9 Km 72. y la epidemia empieza en t = 0). 2 42. Obtenga la pendiente de la recta tangente en cada uno de los puntos de la gráfica: y x 4 x 3 3x 2 donde la intensidad de variación de la pendiente es cero. Determine cuántos pares de cada uno deberá producir a fin de maximizar sus utilidades semanales. 04 1700 80 x x 2 sobre un rango de edad 30 x 55 . El costo por Km de oleoducto bajo el agua es de tres veces el correspondiente a la sección sobre tierra. Encuentre los valores máximo y mínimo de y durante los primeros 25 días siguientes al vaciado del desperdicio. Al depositarse en un lago. La utilidad del fabricante es de $ 10 por cada par de zapatos para caballero y de $ 8 por cada par de zapatos para dama. En una prueba realizada a pilotos aviadores sobre la velocidad de reacción en una crisis simulada. los desperdicios orgánicos disminuyen el contenido de oxígeno del agua. así como el tiempo en el cual la proporción de individuos infectados crece más rápidamente. Sol. el oleoducto recorrerá una distancia x a lo largo de la costa. En el transcurso de una epidemia. Un fabricante de calzado puede destinar su planta a producir zapatos para caballero o para dama. Encuentre el valor de x que Sol. La distancia de la torre de perforación al punto más cercano P sobre la costa es de 20 Km y la distancia a lo largo de la costa de P a la refinería es de 50 Km. Dama = 3746 pares 7 . Sol. después seguirá una línea recta hasta la torre de perforación. y mín 2000 en t 20 73. con 0 t 25 . 70.