5-2 - distribuição normal - parte 2

Z04 •A Istanstke aplicada f(x) média é: o+b 2 e a variânciaé: (b_O)2 12 b ,I i ~\ (a) Verifique que a área sob a curvaé 1. (b) Encontrea probabilidadede x cairentre 0)5 e 0,5. (c) Encontrea probabilidadede x cairentre 0,3 e 0,7. 66. Distribuiçãouniforme. Considereque a funçãodensidade uniforme f(x) = 0,1 para 10 :<:: x :<:: 20. A média dessa distribuição é 15 e o desviopadrãoé de aproximadamente2,89. (a) Desenhe um gráficoda distribuiçãoe mostre como a área sob a curvaé 1. (b) Encontrea probabilidadede x cairentre 12 e 15. (c) Encontrea probabilidadede x cairentre 13 e 18. m :'~:'~,'., O que você Iíistribuícões normais: encontrando probabilidades , . deve aprender • Como encontrar probabilidades para variáveisnormalmentedistribuídasusando uma tabela e usandotecnologia. Prebebilidede ~ dlstribukões normais g Probabilidade e distribui~ões normais Se uma variável aleatória x é normalmente distribuída, você pode encontrar a probabilidade de x cair em um dado intervalo ao calcular a área sob a curva normal para um dado intervalo. Para encontrar a área sob qualquer curva normal, você pode, primeiro, converter os limites superiores e inferiores do intervalo para z-escores. Depois, usar a distribuição normal padrão para encontrar a área. Por exemplo, considere uma curva normal com /1 = 500 e a = 100, como no gráfico superior à esquerda. O valor de x um desvio padrão acima da média é /1 + a = 500 + 100 = 600. Agora, considere a curva normal padrão no segundo gráfico à esquerda. O valor de z um desvio padrão acima da média é /1 + a = O + 1 = 1. Como um z-escore de 1 corresponde a um valor x de 600, e áreas não são mudadas com uma transformação para uma curva normal padrão, as áreas sombreadas no gráfico são iguais. Mesma {xemplo Incontrando 1 para distribuicões normais probebilidades -3 -2 -1 O 2 3 Uma pesquisa indica que as pessoas usam seus computadores por uma média de 2,4 anos antes de trocá-los por uma máquina nova. O desvio padrão é 0,5 anos. Um dono de computador é selecionado de forma aleatória. Encontre a probabilidade de que ele vá usar o computador por menos de 2 anos antes de trocá-lo. A variável x é normalmente distribuída. Solução O gráfico mostra uma curva normal com /1 = 2,4 e a = 0,5 e uma área sombreada para x menor que 2. O z-escore que corresponde a 2 anos é: z= X-/1 a = 2-2,4 0,5 =-0,80. --+-~+,--+---'--+--f--+,_X O I 2 3 4 5 A Tabela Normal Padrão mostra que P(z < -0,8) = 0,2119.A probabilidade de que o computador seja substituído em menos de 2 anos é 0,2119. Interpretação Portanto, 21,19% dos donos vão trocar o computador em menos de 2 anos. Idade do computador (em anos) {xemplo Incontrando Z para distribuições normais • Outra Dica de estudo probabilidades forma de escrever a resposta para o Exemplo-l-é P(x < 2) = 0.5) = 1 . 211 :3553337 a.75) = P(z < 0. d. uma pessoa gasta uma média de 45 minutos.7333. Encontre o z-escore que corresponde a 28 milhas por galão.) você norMalcdf(-10000.0.0401 = 0. Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado. Então. (b) Interpretação Então. Os z-escores que correspondem a 24 minutos e a 54 minutos são: z = 24-45 =-175 1 12 ' e Z2 = 54-45 =175 ' 12 . A área para x maior que 39 minutos está sombreada. Construa um gráfico.75) . Entre 24 e 54 minutos. Mais que 39 minutos. Encontre a área à direita do z-escore. Department uf ElIergl/. Resposta 1m p.P( z < -1. (a) O gráfico à direita mostra uma curva normal com f. (Adaptado de LI.7333) = 146. a probabilidade de que um consumidor fique na loja por um período entre 24 e 54 minutos é: P(24 10 20 30 40 50 60 70 80 Tempo (em minutos) < x < 54) = P( -1. (b) Interprete sua resposta se 200 pessoas entrarem na loja. você esperaria por 200 (0.7734 .L = 45 minutos e (J = 12 minutos. você pode usar uma TI-83/84 para encontrar a probabilidade uma vez que o limitesuperiorseja convertidopara um z-escore. 2. (a) Encontre a probabilidade.33% dos consumidores estarão na loja entre 24 e 54 minutos. c. Quantos compradores você esperaria que houvesse na loja para cada intervalo de tempo listado a seguir? 1. Escreva o resultado como uma sentença. Se 200 pessoas entrarem na loja. A40 No Exemplo1.S.P(z < -0. ------------------------ Solução 1.' CI"I .66 (ou cerca de 147) consumidores para estarem na loja entre 24 e 54 minutos. que essa pessoa fique na loja.Capítulo 5 Tente • lllstribuirães d~ prcbabllidades normais Z05 Um Ford Focus de transmissão manual percorre uma média de 24 milhas por galão (mpg) na cidade. 12 ' Então.5) que uma pessoa fique na loja por mais de 39 minutos é: 10 20 30 40 50 60 70 80 = 1 . Uma pessoa entra na loja.6915.0. 2.3085 = 0. 75) = 0. dirigindo com um desvio médio de 1. Tempo (em minutos) . Esse tempo gasto na loja é normalmente distribuído e representado pela variável x.45 = -O 5. para cada intervalo de tempo listado a seguir. (a) O gráfico à direita mostra uma curva normal com f. A área para x entre 24 e 54 minutos está sombreada. 73. com um desvio padrão de 12 minutos naquela loja.6 mpg.L = 45 minutos e (J = 12 minutos. a probabilidade P(x > 39) = P(z > -0. O z-escore que corresponde a 39 minutos é: z = 39 . Um Focus 1 é selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade que percorra mais do que 28 metros por galão? Suponha que a quilometragem da gasolina seja normalmente distribuída.75 < z < 0.2119. b. - • v. 009.275 ou maior que isso? Se há 40 jogadores em IInTa escalação. Você seleciona aleatoriamente um homem dos Estados Unidos. Encontre o z. Construa um gráfico.0548 EXCEL A 8 C I I ~ORMDIST[175.290 Média de rebatidas Q/lantos por cento dos jogadores têm uma média de rebatidas de 0.215.o Excel e a T1-83/84.escore que corresponde a 60 minutos e 33 minutos. Você pode encontrar probabilidades normais usando o M1N1TAB.25) .3 (ou cerca de 138) pessoas que fiquem na loja por mais de 39 minutos. conforme mostra o gráfico a seguir. rebatidas de mais de 750 jogadores da Liga de Beisebol em um ano recente podem ser aproximadas pela distribuição normal.215.Z06 • btatística aplicada (b) Interpretação Se 200 pessoas entram na loja.25. d. A40 Liga de beisebol Outra forma de encontrar probabilidades normais é usar uma calculadora ou computador.269 e o _ desvio padrão é 0. com uma média de 215 miligramas por decilitro e um desvio padrão de 25 miligramas por decilitro. A média de rebatidas é 0. então você esperaria 200 (0.0000 x P[X<=x) 175. Tente você Qual é a probabilidade de que o consumidor no Exemplo 2 fique no supermercado entre 33 e 60 minutos? 2 a. você deve especificar a média e o desvio padrão da população.0000 0.6915) = 138. c. ter IInTO média de rebatidas de 0. Interprete sua resposta se 150 pessoas entrarem na loja. quando você esperatu.TRUE) ~ 2 10. b. Qual é a probabilidade de que o nível de colesterol dele seja menor que 175? Use uma ferramenta tecnológica para encontrar a probabilidade. o Excel e a T1-83/84 têm recursos que lhe permitem encontrar as probabilidades normais sem converter para z-escores.0547992894 . uma média de rebatidas é o número de batidas dividido pelo número de at-bats (usado para cálculos estatísticos no beisebol). [xemplo 3 Usando tecnoloqia para encontrar probabilidades normais Suponha que os níveis de colesterol dos homens nos Estados Unidos sejam normalmente distribuídos.054799 TI-83/84 normalcdf[0. 0. As médias de.250 0. Para cada um. Encontre a área acumulada para cada z-escore e subtraia a área menor da área maior. MINITAB Cumulative Distribution Fundon Normal with mean = 215. Retratando o mundo No beisebol.000 and standard deviation = 25.175.75 011 superior a isso? Solução O M1N1TAB. bem como o(s) valoríes) x que determina o intervalo.2.270 0. Quantas pessoas você esperaria que ficassem na loja entre 33 e 60 minutos? Resposta na p. a. 5. 4. Coloque os dados apropriados para obter a probabilidade. Rt'sposta lia p. Use uma ferramenta de tecnologia. Suponha que a variável x seja normalmente distribuída. Encontre a probabilidade de que um membro selecionado aleatoriamente esteja na área sombreada do gráfico. Pontuação em leitura crítica no SAT 200 <x < 450 . como uma sentença.8 -t-"""-----I---+-. suponha que um membro seja selecionado aleatoriamente de uma população representada pelo gráfico. probabilidades nor- [JI] {xercídos 8. P(85 < x < 95). Leia o guia de usuário da ferramenta c. Contruindo habilidades básicas e conceitos Probabilidades computacionais Nos exercícios de 1 a 6. P(x < 100). P(70 6. --F'------'--'--'--+---F-_x 200 670 800 3. Análise gráfica 9.6 -'""F---t-------'t-450 200 x 800 Pontuação (Fonte: Colíege Board Online.LL = 503 0'= 113 10. Pontuação <x < 80). Mulheres norte-americanas com idade entre 20-34: colesterol total 11-= 186 0'= Nos exercícios de 7 a 12.. de tecnologia que você está usando.) Mulheres norte-americanas com idade entre 55-64: colesterol total . A40 o Exemplo 3 mostra uma entre várias formas ·de encontrar mais usando o MINlTAB. Pontuação em matemática no SAT . o Excel e a TI-83/84. suponha que a variável aleatória x seja normalmente distribuída com média Jl = 86 e desvio padrão a = 5.Ll=518 O' = 115 < 80). Escreva o resultado b.:::::.) -T""''-----t----+----'''''i--x 95 200 239 340 Taxa total de colesterol (em mg/dL) . 1. P(x> 92). P(x 2.48%. Tente você do 3 Um homem dos Estados Unidos é escolhido aleatoriamente.+-x 75 200 239 300 Taxa total de colesterol (em mg/dL) (Adaptado de National Center for Health Statistics. 7.0548 ou 5. Qual é a probabilidade de que o nível de colesterol dele esteja entre 190 e 225. 35.Ll=219 O' = 41. você pode ver a probabilidade que o nível de colesterol homem escolhido seja menor que 175 é de aproximadamente 0.Capítulo 5 • Distribuições de probabilidades normais 107 A partir das telas. P(x> 75). Encontre a probabilidade indicada. Um beagle é escolhido aleatoriamente. use ferramentas tecnológicas para encontrar as probabilidades. (c) Distância de frenagern (em pés) 12. Toyota Camry: distância de frenagem em uma superfície molhada J-l = 149 16. Encontre a probabilidade de a pontuação do aluno no ACT ser maior que 32.) 19. Um atleta é selecionado aleatoriamente.) (a) (b) ---i-""'=---------+----="i-~x 122 141 15\ Toyota Camry: distância de frenagem em uma superfície seca J-l = 137 a= 4. Beagles O peso de beagles adultos machos é normalmente distribuído.' ACT. Fisheries Statistics and Economics Oivision. Encontre a probabilidade de a pontuação do aluno no ACT estar entre 20 e 29.76 Encontre a probabilidade de a pontuação do aluno no ACT ser menor que 17. Encontre a probabilidade de o peso do beagle ser maior que 27 libras. Um aluno com uma nota média de 3.50 a 4. Encontre a probabilidade de o aluno usar o laboratório entre 5 e 7 horas por semana.00 que fez o ACT durante esse tempo é selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de o comprimento maior que 15 polegadas.6 polegadas e um desvio padrão de 3. (Adaptado de National Center for Health Statistics. Uso do computador Uma pesquisa foi conduzida para medir o número de horas que adultos nos Estados Unidos passam em frente ao computador todas as semanas. Contas de consumo As contas de consumo mensais em uma cidade são normalmente distribuídas com uma média de $ 100 e um desvio padrão de $ 12.0 polegadas.50 a 4. Um homem que participou do estudo é selecionado aleatoriamente.3. Encontre a probabilidade de esse participante passar entre 5. Encontre a probabilidade de o peso do beagle estar entre 23 e 25 libras. Encontre a probabilidade de esse participante passar mais de 10 horas por semana em frente ao computador. (Adaptado de National Marine Fishenes Sevice. com uma média de 24. Se for conveniente. (a) (b) (c) Encontre a probabilidade de o aluno usar o laboratório por menos de 4 horas por semana.5 horas por semana em frente ao computador. a pontuação de alunos do ensino médio nos exames ACT que tinham uma nota média 20. De 20 a 29 anos. (Fonte. Na pesquisa. o número de horas era normalmente distribuído. com uma média de 6. Encontre a probabilidade de o comprimento entre 7 e 15 polegadas.2 horas e um desvio padrão de 0. com uma média de 7 horas e um desvio padrão de 1 hora. com uma média de 20 minutos e um desvio padrão de 5 minutos. encontre as probabilidades indicadas. com uma média de 10 polegadas e um desvio padrão de 2 polegadas.2 e um desvio padrão de 4. com uma média de 69. Agenda de um ginásio de esportes O tempo que um atleta usa uma starclimber (equipamento de ginástica) é normalmente distribuído. (a) (b) (c) Encontre a probabilidade de a conta de consumo ser menor que $ 70.9 hora.5 e 9. Um participante da pesquisa é escolhido aleatoriamente. os homens foram agrupados por idade. Encontre a probabilidade de a altura dele estar entre 66 e 72 polegadas.lnc. • [statística aplicada de 3. (a) (b) (c) Encontre a probabilidade de o comprimento menor que 7 polegadas.) 18. Na pesquisa. a = 5. (a) (b) (c) Encontre a probabilidade de o peso do beagle ser menor que 23 libras. Pontuação no ACT Em um ano recente. 14. (a) (b) (c) Encontre a probabilidade de esse participante passar menos que 5 horas por semana em frente ao computador.Z08 11. Encontrando probabilidades Nos exercícios de 13 a 20. as alturas foram normalmente distribuídas. $ 90 e $ 120. Uma corvina é aleatoriamente escolhida. Agenda do laboratório de computadores O tempo que um aluno usa o laboratório de computadores todas as semanas é normalmente distribuído. Altura de homens Uma pesquisa foi conduzi da para medir a altura de homens norte-americanos. Encontre a probabilidade de a conta de consumo estar entre (a) (b) (c) Encontre a probabilidade de a altura dele ser menor que 66 polegadas.00 era normalmente distribuída. Encontre a probabilidade de a altura dele ser maior que 72 polegadas.18 _i-"""=-----+----+-----=-r-_x 133 140 149 165 Distância de frenagem (em pés) Usando e interpretando conceitos 17. . Comprimento de peixes O comprimento das corvinas é normalmente distribuído. Encontre a probabilidade de a conta de consumo ser maior que $ 140. Um aluno é selecionado aleatoriamente. 13. Encontre a probabilidade de o aluno usar o laboratório por mais de 8 horas por semana. com uma média de 25 libras e um desvio padrão de 3 libras. Uma conta de consumo é escolhida aleatoriamente. do peixe ser do peixe estar do peixe ser 15. 8 libras por pessoa. com uma média de 2. 1 libras de amendoim 7 Seria incomum se uma pessoa consumisse menos que 3. Encontre a probabilidade de um atleta usar a entre 20 e 28 minutos. por volta de quantas você espera serem maiores que 5507 22. (a) (b) Qual porcentagem de adultos passa mais de 4 horas por semana nos computadores em casa? Se 35 adultos dos Estados Unidos são selecionados aleatoriamente. . Colesterol Use a distribuição normal dos níveis totais de colesterol em mulheres do Exercício 10.odesvio padrão é de $ 12. e jl ± 3a. cerca de quantos você espera que respondam passar menos de 5 horas por semana em frente ao computador em casa? 28. uma tabela de controle pode ser usada para detectar processos que possivelmente estejam fora de controle conforme o que segue: (1) (2) (3) Um ponto está situado a mais de três desvios padrão da média. Uma ferramenta usada em CEP é a tabela de controle. cerca de quantos você espera que sejam menores que 8 polegadas? 26. Cada tabela tem linhas horizontais desenhadas na média u. Quando medidas individuais de uma variável x são normalmente distribuídas. para os quais a média é 186 miligramas por decilitro e o desvio padrão é de 35. Amendoins Suponha que o consumo anual de amendoins seja normalmente distribuído. 21. Beagles Use a distribuição normal dos pesos de beagles do Exercício 16 para os quais a média é 25 libras e o desvio padrão é de 3 libras.6 miligramas por decilitro de sangue. Explique. para o qual a média é 7 horas e o desvio padrão é de 1 hora. Qual é a porcentagem de pessoas de consomem. Encontre a probabilidade de um atleta usar a por mais de 30 minutos. Em CEP. para os quais a média é 219 miligramas por decilitro e o desvio padrão é de 41. Pontuação em matemática no SAT Use a distribuição normal das pontuações em matemática no SAT do Exercício 8. com idade entre 55 e 64 são selecionadas aleatoriamente. cerca de quantos você espera que pesem menos que 22 libras? Usando distribuições normais 27. Comprimento de peixes Use a distribuição normal dos comprimentos de peixes do Exercício 14 para as quais a média é 10 polegadas e o desvio padrão é de 2 polegadas. como produção de uma peça de motor. cerca de quantas você espera que sejam menores que $ 90? 29.000 pontuações verbais do SAT são escolhidas aleatoriamente. Nos exercícios de 21 a 30. são selecionadas aleatoriamente. responda as questões sobre as distribuições normais especificadas. Vida útil de baterias A vida útil de uma bateria é normalmente distribuída. por volta de quantas você espera que sejam maiores que 6007 23. Contas de consumo Use a distribuição normal das contas de consumo do Exercício 18 para a qual a média é $ 100 e .065 horas? Seria incomum se uma bateria tivesse uma expectativa de vida maior que 2.065 horas? Explique seu raciocínio. • Distribuicões de probãbilidãdes ncrmeis Z09 stairclimber stairclimber stairclimber (a) (b) Qual porcentagem de beagles tem um peso maior que 30 libras? Se 50 beagles são selecionados aleatoriamente.1 libras de amendoim por ano? Explique seu raciocínio.(ãpítulo 5 (a) (b) (c) Encontre a probabilidade de um atleta usar a por menos de 17 minutos. (a) (b) Qual porcentagem de mulheres tem um nível total de colesterol menor que 239 miligramas por decilitro de sangue? Se 200 mulheres norte-americanas. Há nove pontos consecutivos que caem em um lado da média.9 libras por pessoa e um desvio padrão de 1. Qual é a porcentagem de baterias que têm uma vida útil maior que 2. (a) (b) Qual porcentagem de peixes são maiores que 11 polegadas? Se 200 peixes são selecionados aleatoriamente.000 horas e um desvio padrão de 30 horas. uma tabela de controle é apresentada.8 miligramas por decilitro. (a) (b) Qual é a porcentagem de contas de consumo que são maiores que $ 1257 Se 300 contas de consumo são seleciona das aleatoriamente. Nos exercícios de 31 a 34. Colesterol Use a distribuição normal dos níveis totais de colesterol em mulheres do Exercício 9. com idade entre 20 e 34. cerca de quantas você espera que tenham um nível de colesterol total maior que 240 miligramas por decilitro de sangue? Ixpandindo conceitos Tabelas de controle Controle Estatístico de Processos (CEP) é o uso da estatística para monitorar e melhorar a qualidade de um processo. 30. com uma média de 5. (a) (b) Qual porcentagem de mulheres tem um nível total de colesterol menor que 200 miligramas por decilitro de sangue? Se 250 mulheres norte-americanas. anualmente. Determine se o processo apresentado está sob controle ou fora de controle.informações sobre o processo são reunidas para determinar se um processo atende todas as condições necessárias.500 pontuações em matemática no SAT são selecionadas aleatoriamente. (a) (b) Qual é a porcentagem das pontuações em matemática no SAT que são menores que SOa? Se 1. (a) (b) Qual é a porcentagem das pontuações verbais do SAT que são menores que 60a? Se 1. em jl ± 2a. 24. cerca de quantas você espera que tenham um nível de colesterol total maior que 200 miligramas por decilitro de sangue? 25. Uso de computador Use a distribuição normal do uso de computadores do Exercício 17. cuja média é 518 e o desvio padrão é 115. menos que 3. No mínimo dois dos três pontos consecutivos estão situados a mais de dois desvios padrão da média. Pontuação em leitura crítica no SAT Use a distribuição normal das pontuações de leitura crítica no SAT do Exercício 7 para as quais a média é 503 e o desvio padrão é 113. e se lhe fosse dado uma probabilidade e você quisesse encontrar o valor? Por exemplo.1 litro. o que você m Distribui~ões normais: encontrando valores Incentrando I -escores -+ Transformando um I -esrore em um valor x-+ Incontrande um dado de valor específico para uma dada probabilidade El {ncontrando z-escores Na Seção 5.D o 1. Mas. Um prego foi desenvolvido para ter um comprimento de 4 pole- gadas. O desvio padrão do processo é de 0. " ~ 2 1 E :':' . Encontre I à área acumulada de 0. O desvio padrão do processo é de 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 Número de observações Número de observações 32.J . como pode ser observado no exemplo a seguir. Engregagem 33.0 o " "" e " '" 0.75% da área de distribuição . ou uma pesquisa médica pode querer saber os valores de corte para selecionar os 90% de pacientes intermediários por idade.210 • tstatística aplicada 31. você vai aprender como encontrar um valor. um I-escore. O desvio padrão do processo é de 0.50 4.. Uma engrenagem foi desenvolvida para ter um diâmetro de 3 polegadas. O desvio padrão do processo é de 0.<. • Como transformar um z-esrore em um valor x.~ 1.f----------2 4 6 8 10 12 " E o U o. à sua direita..9975 Número de observações deve ~prender • Como encontrar umz-escore dada a área sob a curva normal. Uma máquina de distribuição de água foi desenvolvida para encher garrafas com um litrode líquido.12 polegada.00 i .0000 --t--='---~-/---c~-/="'--.0025 4. Pregos i@ v ee CJ) 34.5 v o :'2 12345678910 " E .0050 55.§ '§ f-------------- E $3 4. foi dada uma variável aleatória x normalmente distribuída e você encontrou a probabilidade que x pudesse estar em um dado intervalo ao calcular a área sob a curva normal para um dado intervalo. {xemplo Incontrando 1. Peça de motor P ô) 55.001 milímetro. uma universidade pode querer saber qual é a pontuação mais baixa que um aluno pode tirar em uma prova seletiva e ainda estar no topo 10%.~--------+- '" . Nesta seção.3632. Encontre 2.§ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 55 . • Como encontrar o valor de um dado específico de uma distribuição normal dada a probabilidade. Distribuição de líquido ~ 4 ~ E ~ E CJ) r------. dada uma área o z-escore que corresponda o z-escore que tenha 10.5 Õ Q. dada uma área sob uma curva normal (ou uma probabilidade).2 polegada. . Uma peça de motor foi desenvolvida para ter um diâmetro-de-55 milímetros.75 o Número de observações " e 54.2. E 3..25 " Õ ~ c Q. 3669 0.0002 0.3897 0. 1. Pso 3.3859 0.3632 na Tabela Normal Padrão. como você pode verificar na dica de estudo ao lado. 3.16% da área de distribuição à direita.9066 0. Ps 2. @ 0.8849 0.9082 004 0.8665 0.8944 0.2912 0. Dica de estudo . Determine a área acumulada. o z-escore é 1.9032 0.8925.5040 0. .4 0.00 0.5 0.0003 0. Para esta área.0003 0.3336 0.3632 ao localizar 0.5199 0.2 e o valor da coluna é 0.- Dica de estudo Aqui temos instruções para encontrar o z-escore que corresponda à área dada em uma TI-83/84.8554 0. A40 Na Seção 2.5000 0. Para encontrar um z-escore que corresponda a um percentil.3156 0. P90 Na maioria dos casos..8962 0. Então.0 11 1. o valor da fileira é 1.3121 0.3520 0.2981 0.9115 0.8531 0. Para encontrar o z-escore que corresponda à P s' encontre o z-escore que corresponda a uma área de 0.24. _----_ . Encontre o z-escore para o qual 95% da área de distribuição esteja entre 1 2..07 0. Então.5120 0.3 0.0003 0. na parte 1 do Exemplo 2.06 0. z -. -z e z.2946 0..3707 0.8925 0. o 1.05 0.8869 0. b.8438 0. Os valores no início da fileira correspondente e no topo da coluna correspondente dão o z-escore.5.8888 0.4 0.04. Solução 1.9099 0.645.4013 0.3632 0.06 0.3974 005 0. então 83% dos valores dos dados estão abaixo de x e 17% dos valores dos dados estão acima de x.8485 0. Por exemplo. o z-escore é -0.2810 0. Encontre o z-escore que corresponda a uma área de 0.8413 0.. {xemplo Z Encontrando um l-escore dado um percentil Encontre o z-escore que corresponda a cada percentil.8643 0.3300 0.3936 0. a área acumulada é 1.8508 0.3 e o valor da coluna é 0.pasta lia p.2877 0.8925 na Tabela Normal Padrão. o valor da fileira é -0.8925 ao localizar 0.8770 0.35.3594 0. Re:.03 0.3228 0.05 (ver figura) ao localizar 0..02 0. a área dada não será encontrada na tabela.0003 0. Para essa área.04 0..(ãpítulo 5 • Distribuições de probãbilidãdes normais 211 Solução 1.3483 0.2843 0.8907 0. você Encontre o z-escore que tenha 96.24 a.0003 0. o z-escore entre -1.64 e -1.5160 0. Como a área à direita é 0. Lembre-se que um valor x representa o 83º ponto porcentual. você aprendeu que os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes iguais. 'Tenw 1.65 é -1.5080 0.05. c. você pode usar a Tabela Normal Padrão.2 I ENTER I 2.01 0.8708 0. z 0.5239 0.8729 0.9049 0.08 0.3192 0.4090 I 2nd ImSTR 3: invNorm( Entre com a área acumulada. Encontre o z-escore que corresponda a uma área de 0.8749 0. . use o z-escore no meio entre os z-escores correspondentes.4052 0.9131 o @ Você também pode usar um computador ou calculadora para encontrar os z-escores que correspondam às áreas acumuladas dadas.3557 0.2776 0.1075.0 1.3264 0. Se a área dada estiver no meio de duas entradas.0.8461 0.09 0. então use a entrada mais próxima a ela.1075 = 0. Localize a área na Tabela Normal Padrão.8686 0. Encontre o z-escore que corresponda à área.0003 0.05 na Tabela Normal Padrão.03 0. o z-escore que corresponde a uma área de 0.65) e 0.9 na Tabela Normal Padrão. use a fórmula: x = p. com uma média de 67 milhas por hora. Se você resolver essa fórmula para x.5000.05 é -1.28. então o z-escore que corresponde a uma área de 0. você pode usar a fórmula: Essa fórmula dá z em termos de x. Como 0. -1.+za. A área mais próxima a 0. a x-p. 1. Localize a área na Tabela Normal Padrão. um z-~s(Or~ para um valor x Veja que para transformar um valor x para um z-escore. p.05 está na metade do caminho entre as duas áreas na tabela.64). e um desvio padrão de 4 milhas por . Fórmula pnm: em termos de x.645.5 (ver figura) ao localizar 0. Troque os lados. + Zo: {xemplo ~. Então. lVlultiplique cada lado de (J. (Veja a dica de estudo anterior) Resposta na V A40 c.9 na tabela é 0. PJO 2. b. Se necessário.9 (ver figura) ao localizar 0. você chega uma nova fórmula que dá x em termos de z.0495 (z = -1. Iransforme um r-escore em um valor x Para transformar um z-escore padrão em um dado de valor x em uma dada população.8997.65.+za=x x= p. Para encontrar o z-escore que corresponda a P 90' encontre o z-escore que corresponde a uma área de 0.00. 3. Tente você L o Encontre o z-escore que corresponda a cada percentil. Se a área não está na tabela. Escreva o percentil como uma área.5 na tabela é 0. Incontrando um valor x que corresponda a um z -escore _ As velocidades de veículos ao longo de uma autoestrada são normalmente distribuídas.212 • tstãtísti(~ ~pli(~d~ As áreas mais próximas a 0. desenhe um gráfico da área para visualizar o problema. A área mais próxima a 0.9 é 1. Adicione I' para cada lado.645 o 2. Para encontrar o z-escore que corresponda a Pso' encontre o z-escore que corresponde a uma área de 0.5 na Tabela Normal Padrão.P99 a. P20 2 3.5 é 0. g Transformando z=--.0505 (z = -1. x-p.05 na tabela são 0. Identifique o z-escore que corresponde à área. use a área mais próxima. use o z-escore que esteja na metade entre -1. então o z-escore que corresponde a uma área de 0. z=-a za=x-p.64 e -1. -2. 57. A partir da . Qual é a menor pontuação que você pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego? • Aqui estão as instruções 12ndll DISTR 3: invNorm( Dica de estudo para encontrar um valor específico de x para urna dada probabilidade em urna TI-83/84. você deve ter pontuação dentro dos 5% primeiros. como no Exemplo 4. Para encontrar a pontuação que representa o 952 percentil.75.95. Interprete os resultados.5) 85. Tente De acordo com a Associação Médica Americana. você deve antes encontrar o z-escore que corresponda à área acumulada de 0. b. Solução O valor x que corresponde a cada pontuação padrão é calculado usando a fórmula x = J. Encontre as velocidades x que correspondam Interprete seus resultados.33)(4) = 57. Horas Entre quais dois valores o centro 90% dos dados está situado? ) I \. Horas que os médicos passam cuidando dos pacientes você 3 As contas de consumo mensais em uma cidade são distribuídas normalmente. a média específica e o desvio padrão específico separados por vírgulas. Essas horas podem ser aproximadas por uma distribuição normal.L a.84 milhas por hora x = 67 + (-2. A40 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 x I I o {ncontrando um dado d~ valor ~sp~cífico para uma dada probabilidad~ Você também pode usar a distribuição normal para encontrar um dado de valor específico (valor x) para uma dada probabilidade.- ----- {xemplo 4 Incontrande um dado de valor específico As pontuações para um teste de serviço civil são normalmente distribuídas.29 e -1. com uma média de $ 70 e um desvio padrão de $ 8. Para ser adequado ao emprego de serviço civil.95. c. Encontre os valores x que correspondam aos z-escores de -0.68 milhas por hora x = 67 + 0(4) = 67 milhas por hora z =-2.8 horas.645 --_o . 4.96.82. a média numérica das horas que todos os médicos passam cuidando dos pacientes por semana é de aproximadamente 52.5.68 está abaixo da média e 67 é igual à média.33 e O.75. z = 1.96(4) = 74.69154857 Uma pontuação no exame nos 5% primeiros é qualquer pontuação acima do 95º percentil. Identifique e O' da distribuição normal não padrão. O que você pode concluir? J. Solução Examine as pontuações dos 5% primeiros que correspondem à região sombreada a seguir: I Coloque os valores para a área sob a distribuição normal.L + zrr.Capítulo 5 • Distribuições de probabilidades normais ZB hora. 5% I ENTER I invNorM(. aos z-escores de 1.84 milhas por hora está acima da média. Transforme cada z-escore para um valor x.96: x = 67 + 1. Resposta lia p.33: z= O: Interpretação Você pode ver que 74. Suponha que o desvio padrão seja de 3 horas. com uma média de 75 e um desvio padrão de 6.6 x (pontuação no exame) o -------11---+-1 75 1. 38. (Adaptado de Natiouu! Center fel!" Hrnltli Slatislic5. z = 1. você antes deve achar o z-escore que corresponde à área acumulada de 0. (6. Qual é a maior distância de frenagem em uma superfície seca que um desses Honda Accord poderiam ter e ainda estarem no 1% do topo? (Adaptada de C01151/11ler Reports.6 miligramas por decilitro. .51 pés. 210 x (nível total de colesterol.) Solução Níveis totais de colesterol no 1% mais baixo correspondem a seguir.65. você tem: x=J-l+za =75+1.9505 (z = 1. Encontre x usando a equação x d.210. A partir da Tabela Normal . -2. a distância de frenagem média era 4 142 pés e o desvio padrão era 6. c. b. Usando a equação x = J-l + zo.95 são 0.ZI4 • Tabela Normal Padrão.645.65).645 ~85.64) e 0.2029719 Níveis totais de colesterol em homens entre 35 e 44 anos Usando uma TI-83/84. use o z-escore que está na metade entre 1. Para encontrar o nível que representa o primeiro percentil. Resposta na 1'. Como 0. {xemplo 5 Encontrando um dado dp valor específlco Em uma amostra escolhida aleatoriamente de 1. ~11.33 o *--+-----11-------.69. As distâncias de frenagem de uma amostra de Hondas Accord são normalmente distribuídas. você pode encontrar o nível de colesterolmais alto automaticamente. a média do nível de colesterol total era de 210 miligramas por decilitro com um desvio padrão de 38.01. você pode verificar que as áreas mais próximas a 0.6) 120. Desenhe um gráfico. Encontre o nível total de colesterol mais alto que um homem nesta faixa etária pode ter no 1% mais baixo. Encontre o z-eSC01'eque corresponda à área dada.169 de homens com idade entre 35 e 44 anos. Em uma superfície seca. Interprete o resultado. em mgldL) Um nível de colesterol total no menor 1% é qualquer nível abaixo do primeiro percentil.9495 (z = 1. a região sombreada in'A·~orl')(.64 e 1.440 = J-l + zc.5) Interpretação A menor pontuação que você pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego é 86. Suponha que os níveis totais de colesterol sejam normalmente distribuídos.95 está na metade entre as duas áreas na tabela. Isto é.) Tente você a. Então. 13. b. P20. 0.01 é 0. 18.6) . Desenhe um gráfico.7580.6331. use ferramentas tecnológicas para encontrar o(s) z-escore(s).0099. r. 1. 26. O espaço de tempo que um funcionário trabalhou em uma corporação é no rmalmente distribuído.33. 0. Se a área não estiver na tabela. 0..94.01. Usando a equação x = p. 6. Em um corte da empresa.0918. 4. com uma média de 11.7995. 10.9916. r. o z-escore que corresponde a uma área de 0.. você pode encontrar que a área mais próxima a 0. + za.0080. Área = 0. Encontre x usando a equação x d. Se conveniente. P7S' 22.33)(38.1 5 anos. P1S' 15. 0. Se for conveniente.01 é z = -2. Se a área estiver na metade entre duas entradas. Interprete o resultado. 8. Encontre o z-escore que corresponda c. 0. encontre o(s) z-escore(s) indicado(s) no gráfico.85. 7. P6S' Análise gráfica Nos exercícios de 25 a 30. p. P2S' 20. P90. use uma ferramenta tecnológica para encontrar o z-escore. você tem: x= p. 0. Resposta i11l à área dada. 23. P1· 14. + za. 5. Interpretação O valor que separa o 1% mais baixo dos níveis totais de colesterol de homens com idade entre 35 e 44 anos dos 99% mais altos é de aproximadamente 120.::::120. use a Tabela Normal Padrão para encontrar o z-escore que corresponda ao percentil ou área acumulada dada. use o número mais próximo àquela área. use o z-escore que esteja entre os escores correspondentes.06. os 10% menores em termos de tempo de casa são cortados. 2.4364.. 0. 17. 12.05. 11. A41 = p. P67. 0.5987 r. 0. 9. 21. 19. 16. o 'z =? . Qual é o espaço de tempo máximo que um funcionário pode ter trabalhado e ainda assim ser cortado? Tente você a. 0. 0.Cõpítulo 5 • Distribuições de probõbilidõdes normõis 215 Padrão. 3.2090. 0.+za = 210+( -2.2 anos e um desvio padrão de 2. P3S' 24. Ixercícios Construindo habilidades básicas e conceitos Nos exercícios de 1 a 24. 25. 71 polegadas. Encontre o l-escore para o qual 12% da área de distribuição esteja entre -I e I.9% da área de distribuição à que tenha 78. Altura das mulheres Em uma pesquisa entre mulheres dos Estados Unidos (idade entre 20 e 29 anos). como pode ser visto no gráfico. z=? (a) (b) Qual utilização anual de maçãs percentil? Qual utilização anual de maçãs quartil? per capita per capita representa o 10º '-'-representa o 3º Utilização anual de maçãs per capita nos EUA z =? 30.) Qual é o menor tempo de espera por um coração que ainda assim colocaria um paciente dentro dos maiores 30% em tempo de espera? Qual é o maior tempo de espera por um coração que ainda colocaria um paciente nos últimos 10% de tempo de espera? (b) .9% da área de distribuição à que tenha 78. 37. a altura média era de 69. o 42. como pode ser visto no gráfico. (Adaptado de us Depcnment af Agriculture. • Istatísti« õplicõdõ polegadas com um desvio padrão de 2. 36. (Adaptada de Orgon Procurement ono Ircnsplont Netwark. o ~ 5 9 \3 17 2\ 25 29 x Utilização (em libras) z=? 31.216 27. (f\daptodo de Noúonoí Center for Heolth Stotístícs. Encontre o direita. como pode ser visto no gráfico. 5 11 14 17 20 Utilização (em libras) Usando e interpretando conceitos Usando distribuições normais Nos exercícios de 39 a 44.0 polegadas. 34.) o 29. 39. Encontre o l-escore para o qual 80% da área de distribuição esteja entre -I e I. encontre o l-escore indicado.) Nos exercícios de 31 a 38. (a) (b) Qual altura representa o 90º percentil? Qual altura representa o primeiro quartil? 41. (Adaptado de National Center for Hedth Stotistic5.6 polegadas com um desvio padrão de 3. Encontre o esquerda. 38. Laranjas A utilização anual de laranjas (em libras) per capita nos Estados Unidos pode ser aproximada por uma distribuição normal. 33. a altura média era 64. responda às questões sobre a distribuição normal especificada. Encontre o l-escore para o qual 5% da área de distribuição esteja entre -I e I. Encontre o l-escore para o qual 99% da área de distribuição esteja entre -z e I. Encontre o esquerda. Encontre o direita. Maçãs A utilização anual de maçãs (em libras) per capita nos Estados Unidos pode ser aproximada por uma distribuição normal.) 28.) (a) (b) Qual altura representa o 95º percentil? Qual altura representa o primeiro quartil? 40.1 43. 32. Tempo espera chigan do por (a) de espera para transplante de coração O tempo de (em dias) por um transplante de coração em Ohio e Mipara pacientes com tipo sanguíneo N pode ser aproximauma distribuição normal. Altura dos homens Em uma pesquisa entre homens dos Estados Unidos (idade entre 20 e 29 anos).5% da área de distribuição à (a) (b) Qual utilização anual de laranjas percentil? per capita capita representa o 5º representa o ter- Qual utilização anual de laranjas per ceiro quarnl? Utilização anual de laranjas per capita nos EUA 35. (4daptodo de US Deportment af Agricuiture.5% da área de distribuição à que tenha 11. l-escore l-escore l-escore l-escore que tenha 11. Máquina de vendas Uma máquina de venda automática distribui café em um copo de 8 onças. Como você pode verificar no gráfico a seguir.36 onça. As notas serão dadas de acordo com as seguintes regras: • As 10% mais altas recebem A. • Os 40% medianos recebem C. um C e um D.) (a) Qual é o menor valor de consumo de sorvete anual per copito que ainda assim pode ser enquadrado dentro dos 25% de maior consumo? Qual é o maior valor de consumo de sorvete anual per Redigindo uma garantia Você vende uma marca de pneus de automóveis que tem uma expectativa de vida que é normalmente distribuída. Caixas de cereais Os pesos do conteúdo de uma caixa de cereais são normalmente distribuídos com um peso médio de 20 onças e um desvio padrão de 0. (Adaptado de US Depottment oi Agricu!ture.5% níveis mais altos são muito pesados e devem ser embalados novamente. . Para um dado período de gestação. Como você poderia honrar sua garantia se você está disposto a trocar 10% dos pneus que vende? 48. conceitos . os pesos dos bebês ao nascerem podem ser aproximados por uma distribuição normal. Caixas nos 5% mais baixos não atendem às condições mínimas de peso e devem ser embaladas novamente. Qual quantidade você deveria marcar como a quantidade média de café a ser distribuído? Istudo de caso Pesos de bebês nascidos nos Estados Unidos O National Center for Health Statistics (NCHS) mantém registros de muitos aspectos relacionados à saúde das pessoas. os pontos para o exame final são normalmente distribuídos com uma média de 72 e um desvio padrão de 9. • Os próximos 20% recebem D. As médias e os desvios padrão dos pesos dos bebês no nascimento para vários períodos de gestação são dados a seguir.Capítulo 5 • Distribuições deprobabilidades normais 217 Tempo de espera por um coração fi. A quantidade de café no copo é normalmente distribuída com um desvio padrão de 0. = 127 dias (T máximo que um saco de cenoura baby pode pesar sem precisar ser reembalado? = 23. O peso que um bebê tem ao nascer é relacionado ao seu período de gestação (período entre a concepção e o nascimento).000 milhas e um desvio padrão de 2. Você pode deixar o café transbordar 1% das vezes. • Os próximos 20% recebem B. Encontre a menor nota que determinaria um A. Um dos vários objetivos do NCHS é reduzir a porcentagem de bebês nascidos com subpeso. um B. Sacos de cenoura baby Os pesos de sacos de cenouras baby são normalmente distribuídas com uma média de 32 onças e um desvio padrão de 0. como pode ser visto no gráfico. Você quer dar uma garantia de troca de pneus grátis que não durem muito.5 dias Ixpandindo 47. Sorvete O consumo anual de sorvete (em libras) per capita nos Estados Unidos pode ser aproximado por uma distribuição normal.07 onça.03 onça.500 milhas. Sacos nos 4. inclusive o peso de todos os bebês nascidos nos Estados Unidos. 60 ll4 l4l I X 195 Dias 44. com uma vida média de 30. o problema de subpeso aumentou de 1990 para 2004. Qual é o peso mínimo exigido para uma caixa de cereais 7 46. (b) capi- to que ainda assim pode ser enquadrado nos menores 15% de consumo? Consumo anual per capita de sorvete nos EUA Notas de exame final 40% 8 lO l2 l4 l6 l8 20 22 Consumo (em libras) 45. • E os últimos 10% recebem F. Qual é o D C B A Pontos feitos no exame final 49. Notas de estatísticas Em uma grande seção de uma sala de estatística. Documents Similar To 5-2 - distribuição normal - parte 2Skip carouselcarousel previouscarousel next92506525 Plano Aula de Filosofia 2012Estatística Aplicada [4ª Ed. 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