4_listas_Analise_combinatoria

1ª Lista de Exercícios Análise Combinatória 1) Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados?2) Com 5 alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7 alunos que podemos formar com no mínimo 2 alunos da M35? 3) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par? 4) Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias. 5) Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com dez volumes numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na estante de forma agrupada. De quantas maneiras distintas ele pode colocá-los na estante? 6) Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37? 7) Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? 8) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva? 9) Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente entre os 4 jogadores. Quantas são as possíveis distribuições das cartas? 10) Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à mesma face? 11) Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares? 12) Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática? 13) Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras de uma sala de aula? 4. serão escolhidos para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor Airton. De quantos modos podemos formar uma tripulação. de quantas maneiras distintas tal grupo pode ser montado? 2 . 4 alunos dos 23 da turma M-36. 3. De quantas maneiras distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa? 19) O “grande” professor Tonhão pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos. 6. Sabendo-se que houveram ao todo 66 apertos de mão. podemos formar com os algarismos 1. cada uma saudou as outras com um aperto de mão. 7. 2. Determinar k e p. O número de seus subconjuntos de p elementos é 136. 2 dos quais só remam do lado direito e 1 apenas do lado esquerdo. e o número de seus subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. se de cada lado devemos ter 4 tripulantes? (a ordem dos tripulantes em cada lado distingue as tripulações. 5. sem repetição. dos 27 da M36. 17) Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens. 8 e 9. como uma enorme honraria. incluindo sempre o algarismo 4? 15) Em uma reunião social haviam n pessoas.) 18) Na festa de formatura. determine o número de pessoas que estavam na reunião? 16) Um conjunto tem k elementos.14) Quantos números de três algarismos. Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres (as acha pouco inteligentes) e elas são em número de 17. C.2ª Lista de Exercícios Análise Combinatória 1) São dados 12 pontos em um plano. passando por todas as demais cidades? 6) Dados 10 pontos do espaço. se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total? 5) Designando-se por A. independentemente da parte a que pertença. B. vale 1 ponto. três são paulistas. três gaúchos e dois baianos. D. Sabendo que o número de anagramas que se obtém permutando as letras desta palavra é 210. dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. calcule n. compreendidos entre 11 e 1000? 2) Uma palavra tem 7 letras sendo que uma delas aparece n vezes e as outras comparecem sem repetição. cada uma com 5 questões. sendo que apenas 4 deles são coplanares. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova. sendo o critério de correção “certo ou errado”. qual será o número de maneiras possíveis para se ir de A até F. 5 sobre uma reta r e 2 sobre uma paralela s. De quantos modos poderá fazer a distribuição. sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e que a fila terá: a) os homens e as mulheres agrupados. quantos triângulos com a base sobre r podemos formar? 4) Uma prova consta de 3 partes. 3) Com 7 pontos distintos. Qual é o número de formas de se julgar consecutivamente os três paulistas? 8) Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três professores A. Qual é o mínimo 3 . quatro ao B e um livro ao professor C? 9) Um sistema de códigos é formado por sequências compostas pelos símbolos + e -. Cada questão. dando três livros ao professor A. e C. qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? 7) Num tribunal. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos? 2) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PARANAPIACABA? Quantos começam com P e terminam com A? Em quantos aparece a palavra PIABA? 3) De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila. E e F seis cidades. com todos os algarismos distintos. dois mineiros. b) homens e mulheres misturados c) homens e mulheres alternados 1) Qual é o total de números inteiros. Cada sequência contém n símbolos iguais a + e dois símbolos iguais a -. dez réus devem se julgados isoladamente num mesmo dia. B. Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a lado. Sabendo-se que os inseparáveis. de quantas formas distintas podemos selecionar o grupo felizardo? 14) Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( A. Dos oito entrevistadores do próximo programa: dois serão da Folha de São Paulo. as pessoas estejam dispostas em ordem crescente de altura? 12) Com os dígitos 1. dois da Veja e dois de O Canal. sendo p homens de alturas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes. de modo que o 1 sempre preceda o 5. Os entrevistadores sentam-se em volta de uma grande roda e o entrevistado senta-se no centro da roda em uma cadeira giratória. Francisco e Vinícius só viajam juntos. uma sensacional viagem para conhecer o Presidio de Neves. chamado “Roda Viva”. tanto no grupo dos homens como no das mulheres. 4 e 5 desejamos formar números com cinco algarismos não repetidos. D e E) em mesa circular.valor de n de modo que cada uma das 26 letras do alfabeto e cada um dos dez algarismos do nosso sistema decimal sejam representados por uma dessas sequências? 10) Na TV Minas há um programa de entrevistas. 2. B. será oferecida. 3. quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa? 4 . quantas disposições serão possíveis? 11) De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila (p+q) pessoas. a 5 dos 29 alunos da turma M31. Qual é a quantidade de números assim constituídos? 13) Como prêmio pelo “excelente comportamento” nas aulas. C. Sabendo-se que os jornalistas serão dispostos em torno da roda de modo que colegas de trabalho permaneçam juntos. de modo que. Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem dois elevadores de serviço e um elevador social. vão disputar um campeonato. de 4 algarismos distintos. Suponha que na classificação final não existam empates. Calcule quantos múltiplos de 3. Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. o Juliano e a Ana Carolina são super pontuais eles não podem. Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos será um número divisível por 3). quando o mesmo é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. um baterista e um back vocal. Na primeira. apostou que A não seria campeão. L.Felipe nunca irão sentar lado a lado à mesa.4. Antônio. de quatro algarismos distintos.3. Calcule quantos múltiplos de seis. 8. de tal forma que Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o L. Como o Jonas. entre os quais estão A e B.4. De quantas maneiras distintas podem se sentar? 6. na segunda. 5 . Determine o valor de x. seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. 2. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final. De quantas maneiras distintas será possível formar a banda? 7. Determine o número de maneiras possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que contêm pelo menos uma de cada cor.3ª Lista de Exercícios Análise Combinatória 1. um vocalista. Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas.3. Usando-se os algarismos 1.6 e 9 (Um número é divisível por 6.6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3). estarem juntos. os três. 3.3. Seis times de futebol. De quantas maneiras distintas podem fazer isto? 5.7 e 9. 4 brancas e 3 vermelhas. apostou que B não seria o último colocado.5. A banda será formada por um guitarrista. O síndico do condomínio resolveu por questão de economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores de serviço ligados tendo um elevador de serviço de cada torre. existem x números de 4 algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. podem ser formados com 2.Felipe. podem ser formados com 2. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas? 4. Dos 33 alunos da M37. Camila e Milena só irão se forem juntos. Para fazer uma prova os alunos Michael. em cada corrida. Rafael e Max ( os três mosqueteiros). B.9. sendo que pelo menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade. De quantas maneiras distintas podemos montar o grupo que irá viajar? 16. de quantas maneiras todos podem posicionar. 6 . vice diretor e orientador pedagógico. se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa? 12. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever. de cores distintas. de tal forma que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. devem ser escolhidos três para os cargos de diretor. D. Ela dispõe de 4 carros. Seis pessoas A. De quantas maneiras a escolha pode ser feita? 11. ficam em pé uma ao lado da outra. Numa excursão irão cinco adolescentes. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades. 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. 14. De quantas maneiras podem posicionar-se para tirar a foto? 13. 10. sendo um único brasileiro. Gustavo. C. E e F. pelo menos um piloto ou um carro brasileiro. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra. Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. só vão tirar a foto se forem juntos. Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois algarismos repetidos. Dos 35 alunos da M32. De quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor? 17.todos com a mesma camisa. 15. dois guias e os gêmeos do programa O+(idênticos e lindos). Hudson. No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas. Os inseparáveis Luiz Eduardo. para uma fotografia. determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem. Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas pode-se iluminar o hall? 19. Tiago. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar? 18. De quantos modos pode-se ilumina-la. Entre os 20 professores de uma escola. Aléxis e Ana Paula resolveram sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do Hudson e o Michael deve ficar entre o Gustavo e o Tiago. Devido ao racionamento pretende-se consumir 60W. 4 de 20W e 3 de 40W. dos quais somente um foi fabricado no Brasil. determine o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros. Dentre eles o Marco e a Lívia só irão se forem juntos. além do diretor. formando um cilindro. 25. cuja altura depende dos blocos utilizados. Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três vão ser reprovados. lado a lado. Determine quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança pode formar. a criança costuma empilhar alguns desses blocos. quatro têm altura igual a 20 cm e os outros três têm altura igual a 10 cm.20. porém alguns alunos colocaram condições: · · Rômulo e Cotinho não entram juntos Mac Fly e Erika só entram juntos Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos da M36? 24. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas. Quantas serão as maneiras que poderemos dispolos. Uma criança possui sete blocos cilíndricos. Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar. Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. Para organizar a entrega do diploma. 21. de quantas maneiras seria possível compor a mesa. 7 . Ao brincar. e vice e versa. Com os doze atletas de um time de Volley. Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados. a comissão resolveu montar uma fila aleatória para a entrada dos alunos. a vice-diretora terá três duplas de um lado e quatro de outro. Como os alunos de mesma turma devem estar juntos. De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo que tanto os homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os homens obedessesem esta ordem? 26. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas. cujas bases circulares têm o mesmo raio. A Talita só ira se a Aline for. de quantas maneiras distintas podemos colocar na quadra seis jogadores. e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do outro. assim a Cyntia passará se a Ludmila passar. todos os representates de turma e seu vice. desconsiderando as posições geradas por rodízio? 23. a vice e o professor paraninfo. todos de cores diferentes. Desses blocos. na formatura. 22. 4. Determinar quantos são os números de três algarismos. de quantos modos diferentes podemos formar uma banca com 3 membros em que figure sempre um determinado professor? 9. a) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas. cujos algarismos das centenas pertencem a {1. a escola ( C) e um possível caminho que João percorre para. 3. Com 8 professores. para ir de sua casa à escola.4ª Lista de Exercícios Análise Combinatória 1. Uma urna tem 5 bolas numeradas. assim. passando pela casa de Maria. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer. de Maria (B). caminhando somente para o Norte ou Leste. chegar à escola. passando pela casa de Maria? C Norte B Leste A 5. Dados os conjuntos {1. 4. 7. 8}. Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. 5. 9} e { 2. 3. Qual o número de comissões distintas que podem. de quantos modos podemos escolher quatro números cujo produto seja positivo? 8 . Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem juntas? 6. 7. 9}. 5. Dentre 6 números positivos e 6 números negativos. 6. A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João (A). com reposição? c) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas simultaneamente? 7. 4} e os demais algarismos a {0. 8. Quantos números de 4 algarismos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7? 8. 3. 2. ser formadas? 2. apresentando 3 números ímpares e 2 pares. múltiplos de 5. calcule o número de conjuntos com elementos distintos que se pode formar. 6. sem reposição? b) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas. se cada comissão deve ter.10. qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares? 11. Dados 10 pontos do espaço. 4 dos quais nunca são coplanares. 3 engenheiros? 9 . Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. no mínimo. De quantos modos podemos formar uma comissão com 6 membros. 5 2. 1. 2 ( PC 5 . A31.PC 6 + C 29.3! 13.8) 4 . C8 . p = 2.13 . C10. k = 17 19.i åC i =1 6 12. 648 7.3 + C 27. a) 6!. 48 10.13 .C 5 .C 5 . 20 9.C1. 192 16.4!. 30 9.4 10 . 325 5. C10 .1 14.1 3. 4 + C 32.2 .4!. 4 8.3n 2 1.3 . 12 Lista 3.3 . 100 13. 230356 Lista 2.C 4 . 7!. 212520 14. a) 35 b) 4. 60 17.13 12. C12 .1 9. 90ª. a) 8! 13! 11! b) c) . C 52.GABARITO Lista 1.PC 4 .3 impossível 4. 12 18.6 . 4! 11. 6840 2. 504 6.9 2!6! 5! 4! 3. 505 11. C 27 .3 . 1500 10.8.2 b) 10!-6!. 5760 16.4! 8. 140 11. n 2 .3 . (10. 100 7. 2450 2. 13502 15.C 39.13 . 9 5.4) 8.C 6.2 c) 5.C 26.9. 2030 6. 72 4.C13.4 . 3. ( p + q )! p!q! 6. 10. C 29. 144 6 . 2 33 . 728 7.3 C10. 168 17.3 . 7 15.3 + 1 12. 1.1 . a) 20! .20! b) 20! . 0 + C 4. 63 24. 252 17.3 .13. 840.4 10!. C12. 4 ( PC 6 .C 3. 6 . 36 20. 90 22.2 6 19. 3.7! 16.PC 5 .2) 26.C 3.1 .10! 14.2 10!. C 4. 2580480 23. C 21. 14 11 .10! 15. 6 + C 33. 4 18.1 21.PC 6 25. C 33. 6 . 30.PC 6 + C 21. 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