4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Serie de Taylor

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZULMATERIA: CALCULO INTEGRAL CATEDRÁTICO: ING. MARIA CONCEPCIÓN LARA GOMEZ CARRERA: ING. PETROLERA SEMESTRE: 2 GRUPO: 4. TRABAJ O UNIDAD 4.7: CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR INTEGRANTES: ARENAS GONZÁLEZ KARLA JUDITH. GONZÁLEZ HERNÁNDEZ JOSÉ EDUARDO MACARIO CERVANTES CECILIA CERRO AZUL, VERACRUZ En matemáticas una serie de taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida como un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma: • Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n- ésima derivada de f en el punto a. • Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. • Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. • Esta representación tiene tres ventajas importantes: • · La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. • · Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. • · Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. • Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. • En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación. • Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomiocuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que: • O en forma compacta: • Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación: • donde a y x, pertenecen a los números reales, n a los enteros y E es un número real entre a y x: • Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral. EJEMPLOS