Universidad Católica Santo Toribio de MogrovejoDedicatoria Dedicamos este trabajo a Dios por el inmenso amor y la misericordia infinita que nos tiene. Así mismo dedico esta investigación a quienes con su apoyo y amor incondicional nos inculcan el deseo a salir adelante. 1 tanto en la recopilación de fuentes y asesoramientos.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo Agradecimiento A nuestros padres. 2 . quiénes son el motivo y la fuerza para seguir adelante y de esta manera poder alcanzar nuestras metas. Agradecemos colaboraron a las con personas que nuestra investigación. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE 3. FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN VIGAS 5.1 VIGA EN VOLADIZO 2.3 VIGAS CON VOLADIZO 2.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo SUMARIO FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS RESUMEN INTRODUCCION CAPITULO I: I. CRITERIOS DE SIGNOS CAPITULO II: II. GENERALIDADES 1. DEFINICION DE MOMENTO FLECTOR 7. TIPOS DE VIGAS 2. DEFINICION DE VIGA 2. EJEMPLO DE APLICACIÓN CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA 3 . ECUACIONES DE DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO CAPITULO III: III.5 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 3. DEFINICION 2. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR 1. DEFINICION DE ESFUERZO CORTANTE 8. MOMENTO RESISTENTE 6.4 VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS 2. TIPOS DE CARGAS 4.2 VIGA SIMPLEMENTE APOYADAS 2. DIAGRAMA DEL ESFUERZO CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR 4. el esfuerzo cortante es nulo o cambia de signo pasando por un mínimo Para simplificar el estudio de las vigas es conveniente representar de modo gráfico la variación del momento flector y de la fuerza cortante a lo largo de la viga obteniéndose el diagrama de fuerza cortante Q de una viga es una línea. para la que el momento flector es máximo.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo RESUMEN La fuerza cortante es aquella sección de una viga. cutas abscisas representan distancias a lo largo de la viga y cuyas ordenadas indican fuerzas cortantes verticales en las distintas secciones de la misma. En ambos diagramas se toman valores positivos sobre el eje de referencia y negativos por debajo 4 . El diagrama de momento flector M de una viga es una línea o curva cuyas abscisas representas distancias a lo largo de la viga y cuyas coordenadas indican los momentos flectores en las correspondientes secciones. El estudio de la flexión es más complejo debido a que los efectos de las fuerzas aplicadas son variables de una a otra sección de la viga. Estos efectos son de dos tipos claramente diferenciados.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo INTRODUCCION Un problema fundamental de la resistencia de materiales es la determinación de las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un elemento o a una estructura. la fuerza cortante y el momento flexionante. 5 . al que a menudo se le llama simplemente momento. Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo CAPITULO I I. DEFINICION DE VIGA Una barra sometida a fuerzas o pares situados en un plano que contiene a su eje longitudinal se llama viga. GENERALIDADES: 1. flexión uniformemente Flexión de una viga simplemente apoyada. Viga simplemente a apoyada. por solicitada sobrecarga distribuida. Se supone que las fuerzas actúan perpendicularmente dicho eje longitudinal. 6 . 3 VIGAS CON VOLADIZO: Una viga apoyada libremente en dos puntos y que tiene un o los dos extremos que continúan más allá de esos puntos se llama viga con voladizos. 2. las simplemente apoyadas y las con voladizos extremos son tales. que se pueden determinar las reacciones en los apoyos utilizando las ecuaciones del equilibrio estático. Este término implica que los apoyos extremos son capaces de ejercer sobre la barra solamente fuerzas y no momentos. Más abajo se representa. los voladizos. no existe impedimento al giro de los extremos de la barra en los apoyos cuando flecha bajo las cargas. se llama viga en voladizo. dos vigas simplemente apoyadas.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo 2.1 VIGA EN VOLADIZO: Si la viga está sujeta solamente en un extremo. Por tanto. Se dice que son vigas estáticamente determinadas. Los valores de estas reacciones son independientes de las deformaciones de la viga. de tal manera que su eje no pueda girar en ese punto. TIPOS DE VIGAS 2. 2. 7 .4 Todas VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS: las vigas consideradas antes.2 VIGA SIMPLEMENTE APOYADAS: Una viga que está apoyada libremente en los de extremos se llama viga simplemente apoyada. 2. u na viga empotrada rígidamente en los dos extremos y una viga que se extiende sobre tres o más apoyos son ejemplos de vigas indeterminadas. Una viga puede estar cardada también por un par aplicado a ella. En general. Para determinar su magnitud en cada sección es necesario conocer la fuerza y el momento resultantes que actúan en dicha sección. Magnitud del par se suele expresar en kg-cm. como se muestra a continuación. 4. hay que suplementar estas ecuaciones con otras basadas en las deformaciones de la viga.5 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS: Si el número de reacciones que se ejercen sobre la viga excede del número de ecuaciones del equilibrio estático.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo 2. FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN VIGAS: Cuando una viga está cargada con ucrz. que pueden hallarse aplicando las ecuaciones del equilibrio estático. se cargas la uniformemente repartidas. La.is y pares. TIPOS DE CARGAS: Las cargas comúnmente aplicadas a una viga pueden consistir en fuerzas aisladas (aplicadas en en un caso punto). 3. se dice que esta es estáticamente indeterminada. 8 . cuyo expresa magnitud por cierto número de kilogramos por metro de longitud de viga. existen tensiones normales y cortantes. Una viga en voladizo que está apoyada en el extremo. En este caso. en la barra se producen tensiones internas. o cargas variables uniformemente. el momento resistente es calculable a partir de la forma y dimensiones de dicha sección transversal. En general. 9 .Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo 5. Se designa variadamente como T. Para determinar su magnitud en cada sección es necesario conocer la fuerza y el momento resultantes que actúan en dicha sección. CRITERIOS DE SIGNOS: El criterio habitual de signos para el esfuerzo cortante y el momento flector aparece en los esquemas siguientes.is y pares. de corte. 6. en la barra se producen tensiones internas. 8. de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. MOMENTO RESISTENTE: El momento resistente o momento polar es una magnitud geométrica que caracteriza resistencia de un prisma mecánico sometido a flexión. V o Q. existen tensiones normales y cortantes. DEFINICION DE MOMENTO FLECTOR: Cuando una viga está cargada con ucrz. De hecho. DEFINICION DE ESFUERZO CORTANTE: El esfuerzo cortante. 7. que pueden hallarse aplicando las ecuaciones del equilibrio estático. y representa la relación entre las tensiones máximas sobre dicha sección transversal y el esfuerzo de flexión aplicado sobre dicha sección. se dice que produce un momento flector positivo. como se indica en esquema inferior izquierdo. momentos negativos. 10 .Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo Así. Una fuerza que tiende a cortar la parte izquierda de la viga hacia arriba respecto a la parte derecha. u n a fuerza que tiende a flechar la viga de modo que la concavidad esté hacia arriba. Un método más sencillo para determinar el signo algebraico del momento flector en una sección cualquiera es considerar que las fuerzas exteriores dirigidas hacia arriba producen momentos flectores positivos y las dirigidas hacia abajo. como se representa en el esquema superior izquierdo. se dice que produce un esfuerzo cortante positivo. Es una solicitación típica en vigas y pilares y también en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE: El esfuerzo cortante. se llama momento flector en A y se representa por la ecuación: R1x – P1(x-a) – P2(X-B). FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR 1. La suma algebraica de todas las fuerzas verticales situadas a un lado. V o Q. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción un momento (torque) o también de fuerzas puntuales o distribuidas 11 . de corte. Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo CAPITULO II II. Se designa variadamente como T. respecto a un eje que pasa por la sección A. por ejemplo el izquierdo de la sección A se llama esfuerzo cortante en esa sección: R1-P1-P2 2. DEFINICION: La suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores situadas a un lado de la sección A. 12 . El momento flector así definido. donde "x" representa la longitud a lo largo del eje. como la pieza continúa en su lugar. Así mismo las cargas estarán completadas en secciones y divididas por tramos de secciones. por lo que existen reacciones que impiden el desplazamiento. Método de las secciones: El primer método que se usa para la construcción de diagramas de momentos es el método de secciones. carga distribuida y momento hasta donde se realizó el corte. Se debe contar cada fuerza. el cual consiste en realizar cortes imaginarios a lo largo de un elemento y aplicar las ecuaciones del equilibrio. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas. Supóngase que se realiza un corte imaginario sobre una viga. En el método de secciones es necesario realizar un corte por cada factor que cambie la distribución del diagrama de momentos. el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. cargas distribuidas y momentos. coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. DIAGRAMA DEL ESFUERZO CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR: Diagrama de momento flector Para elementos lineales el momento flector Mf(x) se define como una función a lo largo del eje transversal del mismo. es posible realizar una suma de momentos en el punto en el que se realizó el "corte". se puede considerar que se encuentra empotrado a la otra parte de la viga. En el caso del momento.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo 3. dadas las condiciones de equilibrio. mientras que una viga en voladizo esta fija o empotrada en un extremo y libre en el otro. la ecuación de momento aumenta un término por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza. 13 . carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones que se "activen" cuando se llega a cierta posición (donde antes se colocaba el corte). que tienen un área de sección transversal constante. En el caso de que un elemento estuviera sometido a varias fuerzas. Si se observa con cuidado. rectas. ECUACIONES DE DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO: Las vigas son miembros estructurales diseñados para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes. cargas y momentos la cantidad de cortes que serían necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. se clasifican con respecto a cómo están soportadas. las vigas son barras largas. En general. Estas funciones se definen como sigue: 4. Por ejemplo. que sirve para construir una función continua a tramos. una viga soportada mediante un rodillo en el otro extremo.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo Método de los tramos: Otro método usado para la construcción de diagramas de momentos son las funciones discontinuas. A menudo. El diseño real de una viga requiere un conocimiento detallado de la variación de la fuerza cortante interna V y del momento flexionante M que actúan en cada punto a lo largo del eje de la viga. Las variantes de V y M como funciones de la posición X a los largo del eje de la viga pueden obtenerse usando el método de las secciones. en la mayoría de los casos. la resistencia de la viga a la fuerza cortante. Sin embargo es necesario seccionar la viga a una distancia arbitraria X de un extremo en vez de hacerlo en un punto específico. esas funciones deben ser determinadas para cada segmento de la viga localizado entre dos cualesquiera discontinuidades de la carga. 14 . Debido a esto. En el ejemplo. La fuerza normal interna no será considerada en el siguiente análisis por dos razones. o sus pendientes serán discontinuas en puntos donde una carga distribuida cambia o donde son aplicadas fuerzas o momentos de par concentrados. por tanto. Para fines de diseño. las secciones localizadas en X1. X2. X3 tendrán que usarse para describir la variación de V y M en toda la longitud de la viga en la figura. podemos aplicar la teoría de la mecánica de materiales y un apropiado código de diseño para determinar el área de la sección transversal requerida de una viga. a las representaciones graficas de V y M como funciones de X se les llama. Si los resultados se grafican. es más importante que su capacidad de resistir una fuerza normal. diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento flexionante.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo Después de completar este análisis por fuerza y momento flexionante. producen solo una fuerza cortante y un momento flexionante internos. las cargas aplicadas a una viga actúan perpendicularmente al eje de la viga y. respectivamente. y particularmente a la flexión. las funciones de fuerza cortante y de momento flexionante serán discontinuas. En general. Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo Determinar las ecuaciones y diagramas del esfuerzo cortante y del momento flector de la viga apoyada de la figura.Obtención de las reacciones 15 . sometida a una carga uniforme “q” y una carga puntual “P”. tal y como se indica: . Determinación de las fuerzas de sección 16 .Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo . Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo Diagrama de esfuerzos cortantes Diagrama de momentos flectores Deformada de la viga 17 . 58kn + R1 + 647.Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo Capítulo III: Ejemplo aplicada en la realidad: Datos: Puente: 105Ton x 103kg = 105x103 kg x 9.17 kn 18 .58 KN Reacciones: ∑MR1= 1030.81N = 1030050N = 1030.05 KN Camión: 18 Ton x 103 kg = 18x103 kg x 9.81 N = 176580N = 176.05kn – 176.45 kn = 0 R1 = 559.05kn (15m) + 176.58kn (22.5m) – R2 (30m) = 0 R2 = 647.46 kn ∑MFy= -1030. Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo 19 .
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