Re p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Neste capítulo, você aprenderá a calcular algumas medidas de dispersão e poderá resolver problemas como este, em que é necessário avaliar a regularidade de um conjunto de dados. Além da teoria A tabela abaixo mostra a produção de grãos em dois mu- nicípios, A e B, com as mesmas áreas cultivadas. Produção de grãos (tonelada) Município A Município B Feijão 54 50 Soja 171 170 Arroz 75 80 Em qual dos dois municípios a distribuição da produção desses três tipos de grão foi menos dispersa? 1 CAPÍTULO Estatística: medidas de dispersão F E R N A N D O B U E N O / G E T T Y I M A G E S Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão 8 Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 8 9/14/09 8:22:50 AM 9 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Revisão 1 No volume 1 desta coleção, tivemos uma introdução à Estatística. Estudamos as tabelas de distribuição de frequências, alguns tipos de gráfico e as medidas de posição. Para dar continuida- de ao estudo, faremos uma revisão desses assuntos. Universo estatístico e amostra Na coleta de dados sobre certo assunto, chama-se universo estatístico ou população estatís- tica o conjunto formado por todos os elementos que oferecerão informações sobre o assunto em questão. Qualquer subconjunto do universo estatístico é chamado de amostra desse universo. Em relação ao estudo que se pretende fazer, uma amostra é representativa do universo estatístico quando a tendência apresentada por ela pode ser estendida a todo o universo. Exemplos a) Em uma pesquisa sobre a audiência dos canais de televisão da cidade de Campinas, o universo estatístico (ou população estatística) é o conjunto de todos os telespectadores dessa cidade. Uma das amostras desse universo seria o conjunto dos espectadores com mais de 20 anos de idade. b) Para uma pesquisa de preços do quilograma do pão francês na cidade de Porto Alegre, o universo estatístico (ou população estatística) é o conjunto dos preços em todos os estabelecimentos que comercializam esse produto nessa cidade. Uma das amostras desse universo seria o conjunto dos preços do pão francês nos supermercados dessa cidade. Rol Chama-se rol toda sequência (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) de dados numéricos tal que cada termo, a partir do segundo: • é maior ou igual a seu antecessor; ou • é menor ou igual a seu antecessor. Exemplo As alturas, em metro, dos cinco jogadores titulares de uma equipe de basquetebol são: 2,10; 2,15; 2,00; 2,05 e 2,05. Apresentando essas medidas em rol, temos: (2,00; 2,05; 2,05; 2,10; 2,15) ou (2,15; 2,10; 2,05; 2,05; 2,00) Tabelas e gráficos Para representar uma amostra de números em uma tabela ou em um gráfico, é usual distribuir os elementos da amostra em classes. O número de elementos da amostra que pertencem a determinada classe é chamado de frequência absoluta (F ) dessa classe. A frequência total (F t ) de uma amostra é a soma das frequências absolutas das clas- ses, ou seja, é o número de elementos da amostra. A razão entre a frequência absoluta (F ) de uma classe e a frequência total (F t ) da amos- tra é chamada de frequência relativa (F r ) dessa classe, isto é, F F F r t . 5 Cada classe pode ser representada por um único número (classe unitária) ou por um interva- lo real limitado (intervalo de classe), conforme veremos a seguir. F E R N A N D O B U E N O / S U D / O T H E R I M A G E S R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 1 CAPÍTULO Estatística: medidas de dispersão Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 9 9/14/09 8:23:01 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Rol R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . universo seria o conjunto dos preços do pão francês nos supermercados dessa cidade. Rol Chama-se a partir do segundo: universo seria o conjunto dos preços do pão francês nos supermercados dessa cidade. Chama-se a partir do segundo: universo seria o conjunto dos preços do pão francês nos supermercados dessa cidade. rol toda sequência ( a partir do segundo: universo seria o conjunto dos preços do pão francês nos supermercados dessa cidade. toda sequência ( a 2 , a 3 , ..., a n ) de dados numéricos tal que cada termo, ) de dados numéricos tal que cada termo, universo seria o conjunto dos preços do pão francês nos supermercados dessa cidade. ) de dados numéricos tal que cada termo, ) de dados numéricos tal que cada termo, 10 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Distribuição em classes unitárias Um estudo com uma amostra de 200 alunos do 2‚ ano do ensino médio em escolas públicas de uma cidade revelou que suas idades variam de acordo com a tabela: Classe (idade) Frequência absoluta (F) (número de alunos) Frequência relativa (F r ) F F F r t FF 5 15 18 9% 16 44 22% 17 52 26% 18 48 24% 19 38 19% F t 5 200 Observe que cada classe é representada por um único número, isto é, a amostra foi separada em classes unitárias. As frequências relativas são obtidas pela divisão de F por F t ; a frequência relativa da idade 19 anos, por exemplo, é: 38 200 0 19 19 , % 5 5 Os dados dessa tabela podem ser apresentados graficamente em diversas formas. Observe a seguir. • Gráfico de linha Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a linha oferecem informações sobre os dados da amostra. 52 48 44 38 18 0 15 16 17 18 19 F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e a l u n o s ) Classe (idade) Idade dos alunos do 2‚ ano do ensino médio nas escolas públicas • Gráfico de barras verticais Nesse tipo de gráfico, as frequências são indicadas no eixo vertical. 52 48 44 38 18 15 16 17 18 19 F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e a l u n o s ) Classe (idade) Idade dos alunos do 2‚ ano do ensino médio nas escolas públicas A tabela que descreve as classes com as res- pectivas frequências é chamada de tabela de distribuição de fre quência. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 10 9/14/09 8:23:06 AM F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e a l u n o s ) 52 48 44 38 ano do ensino médio nas escolas públicas R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 11 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . • Gráfico de barras horizontais Nesse tipo de gráfico, as frequências são indicadas no eixo horizontal. 52 48 44 38 18 15 16 17 18 19 Frequência (número de alunos) C l a s s e ( i d a d e ) Idade dos alunos do 2‚ ano do ensino médio nas escolas públicas • Gráfico de setores Para a construção desse tipo de gráfico, dividimos um círculo em setores de modo que os ângulos centrais tenham medidas proporcionais às frequências das classes. Assim: A medida , em grau, do ângulo central que corresponde à classe de frequência F é dada por: 5 5 360° F F t FF Por exemplo, à classe dos 17 anos cor- responde o setor circular cujo ângulo central mede 360 200 52 93 6 ° ° , . 5 19 anos 15 anos 16 anos 17 anos 18 anos 68,4° 32,4° 79,2° 93,6° 86,4° Idade dos alunos do 2‚ ano do ensino médio nas escolas públicas 19 anos 15 anos 16 anos 17 anos 18 anos 24% 19% 9% 22% 26% Idade dos alunos do 2‚ ano do ensino médio nas escolas públicas No gráfico de setores, em vez de apre- sentar a medida em grau de cada arco de setor, é usual apresentar a frequên- cia relativa da classe correspondente a esse setor. O gráfico desse exemplo poderia, então, ser apresentado sob a forma: Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 11 9/14/09 8:23:11 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . é dada por: é dada por: 5 360° F t FF Idade dos alunos do 2 Idade dos alunos do 2‚‚‚ ano do ensino ano do ensino 12 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Resolva as questões 1 a 4 do roteiro de estudos e as questões complementares 8 a 17. Questões propostas 1 Uma pequena indústria fabrica móveis para escri- tório. A produção de mesas dessa indústria nos seis primeiros dias de fevereiro é descrita por esta tabe- la de distribuição de frequências: Classe (dia) Frequência (número de mesas) 1 16 2 14 3 12 4 13 5 10 6 15 F t 5 80 a) Calcule a frequência relativa de cada classe dessa distribuição. b) Construa os gráficos de linha, de barras verticais e de setores correspondentes a essa distribuição. (Nota: No gráfico de setores, indique as medidas em grau dos arcos.) 2 O gráfico abaixo descreve o número de acidentes ocorridos em uma estrada nos sete primeiros dias de fevereiro. 0 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 8 F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e a c i d e n t e s ) Classe (dia) a) Quantos acidentes ocorreram nesses sete dias nessa estrada? b) Construa o gráfico de barras horizontais e o gráfico de setores correspondentes a esse gráfico de linha. (Nota: No gráfico de setores, indique nos arcos as frequências relativas das classes.) 3 O gráfico abaixo corresponde à distribuição de frequên- cias dos refrigeradores fabricados por uma indústria, segundo a capacidade em litro, em certo período. 130 110 100 90 85 0 320 340 380 400 420 460 F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e r e f r i g e r a d o r e s ) Classe (capacidade em litro) a) Quantos refrigeradores foram fabricados por essa indústria nesse período? b) Construa o gráfico de linha correspondente a essa distribuição. c) Selecionando um desses refrigeradores ao acaso, qual é a probabilidade de escolher um com 400 L de capacidade? 4 O gráfico de setores abaixo representa a distribui- ção dos conteúdos, em litro, de uma amostra de 40 garrafas de água mineral. 1,00 L 0,96 L 0,95 L 0,97 L 1,03 L 63° 54° 63° 81° 99° a) Quantas garrafas correspondem à classe 1,03 L? b) Quantas garrafas contêm menos de 1 L? c) Refaça o gráfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequências relativas das classes. d) Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Sabendo que essa garrafa contém menos de 1 L, qual é a probabilidade de ela conter 0,95 L? 5 O gráfico abaixo representa a distribuição da pro- dução diária de 20.000 litros de óleo comestível por certa indústria. óleo de arroz óleo de girassol óleo de soja óleo de milho 8% 19% 63% 10% a) Quantos litros de óleo de soja são produzidos por essa indústria diariamente? b) Refaça o gráfico em seu caderno substituindo as frequências relativas das classes pelas medidas em grau dos arcos correspondentes. 1. a) Classe 1 2 3 4 5 6 Frequência relativa 20% 17,5% 15% 16,25% 12,5% 18,75% Ver resolução no Guia do mestre. 40 acidentes Ver resolução no Guia do mestre. 625 refrigerantes Ver resolução no Guia do mestre. 13,6% 6 garrafas 27 garrafas Ver resolução no Guia do mestre. 11 27 12.600 L Ver resolução no Guia do mestre. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 12 9/14/09 8:23:17 AM F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e a c i d e n t e s ) 0 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 Classe b) c) Refaça o gráfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequências relativas das classes. d) Quantas garrafas correspondem à classe 1,03 L? Quantas garrafas contêm menos de 1 L? Refaça o gráfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequências relativas das classes. Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Ver resolução no Ver resolução no Quantas garrafas contêm menos de 1 L? Refaça o gráfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequências relativas das Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Ver resolução no Ver resolução no Guia do mestre Guia do mestre Quantas garrafas contêm menos de 1 L? Refaça o gráfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequências relativas das Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. Guia do mestre Guia do mestre.. Refaça o gráfico em seu caderno substituindo as medidas em grau pelas frequências relativas das Uma pessoa retirou uma garrafa dessa amostra. 27 garrafas 27 garrafas R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 13 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . P E T E R D A Z E L E Y / G E T T Y I M A G E S Distribuição em intervalos de classes (dados agrupados) Para avaliar o consumo de água em um bairro, considerou-se uma amostra de 25 residências, cujos consumos em certo mês, em metro cúbico, foram: 30,0 45,6 15,2 21,8 16,4 22,8 44,9 37,2 26,7 32,1 38,1 32,1 30,6 6,00 17,6 6,1 14,5 42,6 33,0 34,1 10,2 41,6 19,2 29,3 9,1 Como na situação da página 10, representaremos esses dados em uma tabela de distribuição de frequências. Agora, porém, não organizaremos esses dados em classes unitárias, mas faremos agrupamentos em intervalos reais. Para isso, separamos os elementos da amostra em róis disjuntos (sem elementos em comum). Por exemplo, os intervalos: (I) 6,0; 6,1; 9,1; 10,2 (IV) 30,0; 30,6; 32,1; 32,1; 33,0; 34,1; 37,2 (II) 14,5; 15,2; 16,4; 17,6; 19,2; 21,8 (V) 38,1; 41,6; 42,6; 44,9; 45,6 (III) 22,8; 26,7; 29,3 Para cada um desses róis, adota-se como classe um intervalo real limitado que contenha o rol. As classes adotadas devem ser disjuntas (sem elementos em comum). Podem ser adotados como classes, por exemplo, os intervalos: • [6, 14[, que contém o rol (I); • [14, 22[, que contém o rol (II); • [22, 30[, que contém o rol (III); • [30, 38[, que contém o rol (IV); • [38, 46], que contém o rol (V). A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, é chamada de amplitude da classe. Por exemplo, a amplitude da classe [6, 14[ é dada por 14 2 6, ou seja, 8. Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuição de frequências: Classe (consumo em metro cúbico) Frequência absoluta (F ) Frequência relativa (F r ) [6, 14[ 4 16% [14, 22[ 6 24% [22, 30[ 3 12% [30, 38[ 7 28% [38, 46] 5 20% F t 5 25 É importante ressaltar que: • Poderiam ter sido escolhidos outros intervalos para representar as classes. • Os extremos de uma classe não precisam ser, necessariamente, elementos da amostra, mas, se forem, devemos tomar o cuidado de não permitir que um mesmo elemento da amostra pertença a duas classes simultaneamente. Por isso, nesse exemplo, foram escolhidos inter- valos fechados à esquerda e abertos à direita, com exceção do último intervalo, que é fe- chado nos dois extremos. • Embora não seja obrigatório, é conveniente que, em duas classes consecutivas, o extremo à direita (aberto) da primeira classe coincida com o extremo à esquerda (fechado) da se- gunda, conforme procedemos nesse exemplo. • A amplitude da amostra é a diferença entre o maior número e o menor número da amostra, nessa ordem. Dividindo essa amplitude pelo número de intervalos em que queremos sepa- rar a amostra, obtemos uma possível amplitude para cada classe. Nesse exemplo, a ampli- tude da amostra, em metro cúbico, é 45,6 2 6,0 5 39,6, que dividida por 5 resulta em 7,92, uma possível amplitude para os intervalos de classe; arredondamos, porém, para 8 a amplitude das classes, o que é permitido. Nesse caso, as cinco classes em que foi separada a amostra têm mesma amplitu- de, mas não é neces- sário que isso ocorra, a separação poderia ter sido feita em clas- ses de amplitudes di- ferentes. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 13 9/14/09 8:23:23 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . amplitude R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . • [38, A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, é chamada de amplitude Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuição de frequências: 46], que A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, é chamada de da classe. Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuição de frequências: (consumo em metro cúbico) A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, é chamada de classe. Por Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuição de frequências: Classe (consumo em metro cúbico) A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, é chamada de exemplo, a amplitude da classe Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuição de frequências: (consumo em metro cúbico) Frequência absoluta (F ) A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, é chamada de classe [6, 14[ é Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuição de frequências: Frequência absoluta Frequência relativa A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, é chamada de dada por 14 2 Desse modo, temos a seguinte tabela de distribuição de frequências: Frequência relativa (F ) A diferença entre o maior e o menor extremo de uma classe, nessa ordem, é chamada de 6, ou seja, 8. Nesse caso, as cinco classes em que foi Nesse caso, as cinco classes em que foi separada a amostra têm mesma amplitu- de, mas não é neces- 14 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Histograma Quando as classes são intervalos reais, a representação da distribuição de frequências em um sistema de eixos é feita por um tipo de gráfico chamado histograma. A tabela da situação an- terior corresponde ao seguinte histograma: 6 14 22 30 38 46 0 1 2 3 4 5 6 7 Frequência (número de residências) Classe (consumo em metro cúbico) Nota: Os histogramas podem ser construídos com classes de amplitudes diferentes, mas a altura de cada retângulo não representará a frequência da classe; por isso é usual adotar a mesma amplitude para todas as classes. Se no histograma forem adotadas amplitudes diferentes para os intervalos de classe, as áreas dos retângulos devem ser proporcionais às frequências. Isto é, se uma classe tiver amplitude , a altura do retângulo correspondente deverá ser kF , em que F é a frequência absoluta da classe e k é uma constante real positiva. Adotando-se k 5 1, a área do retângulo representará a frequência da classe: . 1F F 5 Para detalhar essas informações, vamos separar a amostra do exemplo anterior em classes de amplitudes diferentes, conforme a tabela: Classe (consumo em metro cúbico) Frequência absoluta (F) Amplitude da classe [6, 16[ 6 10 [16, 20[ 3 4 [20, 35[ 10 15 [35, 41[ 2 6 [41, 46] 4 5 Como as amplitudes são diferentes, as áreas dos retângulos, no histograma, devem ser proporcio- nais às frequências das respectivas classes. Por isso, adotamos como altura de cada retângulo o número kF , em que F e são a frequência e a amplitude da classe correspondente ao retângulo, respectivamente, e k é um número real positivo qualquer. Se quisermos trabalhar apenas com nú- meros inteiros, podemos escolher como valor de k um múltiplo comum às amplitudes das classes, por exemplo k 5 60. Assim, teremos como alturas dos retângulos correspondentes às classes [6, 16[, [16, 20[, [20, 35[, [35, 41[ e [41, 46] os números 60 6 10 36 , 5 60 3 4 45 , 5 60 10 15 40 , 5 60 2 6 20 5 e 60 4 5 48 5 respectivamente. Construímos então o seguinte histograma: 6 16 20 35 41 46 20 36 40 45 48 F 60F � Esse tipo de gráfico é pouco usado devido à complexidade de sua construção. Neste livro, adotaremos sempre, para a construção de histogramas, classes de mesma amplitude. A diferença entre o histograma e o grá- fico de barras é que cada retângulo do histograma descreve a frequência dos da- dos agrupados em um intervalo real; no gráfico de barras, ca- da barra des creve a fre quência de uma classe unitária (um único número). Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 14 9/14/09 8:23:31 AM Classe (consumo em metro cúbico) [6, 16[ [16, 20[ [20, 35[ [35, 41[ Frequência absoluta 6 2 15 10 4 15 6 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 15 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Questões propostas 6 O coordenador pedagógico de um colégio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino médio para o estudo em casa das disciplinas escolares. Os resultados dessa pesquisa são apresentados na seguinte tabela de distribuição de frequências: Classe (tempo em minuto) Frequência (número de alunos) [0, 45[ 122 [45, 90[ 195 [90, 135[ 233 [135, 180[ 153 [180, 225[ 77 [225, 270] 20 a) Construa o histograma correspondente a essa distribuição de frequências. b) Qual é o percentual de alunos dessa amostra que estudam em casa menos de 3 horas por dia? c) Construindo um gráfico de setores para essa distribuição, quantos graus deverá medir o arco correspondente à classe dos alunos que estudam em casa mais tempo por dia? 7 O número de batimentos cardíacos por minuto após um teste de esforço com 24 atletas foram: 140 148 150 146 160 160 158 152 152 164 139 164 138 136 145 153 120 142 159 152 165 140 165 160 Construa o histograma correspondente a essa amos- tra adotando as seguintes classes: Classe (batimentos/minuto) [120, 132[ [132, 144[ [144, 156[ [156, 168] 8 Uma seguradora fez um estudo sobre a idade de 25 pessoas, entre seus clientes, que possuem seguro de vida. As idades, em anos, das pessoas dessa amostra são: 60 69 28 46 35 58 56 36 42 82 35 42 75 45 50 43 61 82 62 60 70 43 39 70 52 a) Qual é a amplitude dessa amostra? b) Construa uma tabela de distribuição de fre- quên cias dessa amostra com 6 classes de mesma am pli tude. c) Construa o histograma correspondente à tabela feita no item b. Questão resolvida R.1 Na última safra, as colheitas de café, em tonela- da, de vinte regiões produtoras foram: 270 380 283 402 385 302 290 250 310 265 410 280 295 283 356 390 300 330 250 304 Construir uma tabela de distribuição de frequên- cias dessa amostra, com 6 classes de mesma am- plitude, e o respectivo histograma. Resolução A amplitude da amostra, em tonelada, é: 410 2 250 5 160. Dividindo por 6 essa amplitude, obtemos uma possível amplitude para os intervalos de classe: 160 6 26 666 , ... 5 Lembrando que os ex- tremos de um intervalo de classe não precisam, ne- cessariamente, pertencer à amostra, podemos arre- dondar para 27 a amplitude de cada classe. Adotando como extremo inferior da primeira classe o valor 250, temos a distribuição a seguir. Classe (produção em tonelada) Frequência Frequência relativa [250, 277[ 4 20% [277, 304[ 7 35% [304, 331[ 3 15% [331, 358[ 1 5% [358, 385[ 1 5% [385, 412] 4 20% F t 5 20 O histograma correspondente a essa distribuição é: 2 5 0 2 7 7 3 0 4 3 3 1 3 5 8 4 1 2 3 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 Frequência (número de regiões) Classe (produção em tonelada) Ver resolução no Guia do mestre. 87,875% 8. b) Classes Classes Frequência Frequência [28,37[ [28,37[ 44 [37,46[ [37,46[ 66 [46,55[ [46,55[ 33 [55,64[ [55,64[ 66 [64,73[ [64,73[ 33 [73,82] [73,82] 33 FFtt FFFF 55 25 25 9º Ver resolução no Guia do mestre. 54 Ver resolução no Guia do mestre. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 15 9/14/09 8:23:33 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas 6 O coordenador pedagógico de um colégio fez uma O coordenador pedagógico de um colégio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino médio para o estudo em Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas O coordenador pedagógico de um colégio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino médio para o estudo em Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas O coordenador pedagógico de um colégio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino médio para o estudo em Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas Questões propostas O coordenador pedagógico de um colégio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino médio para o estudo em O coordenador pedagógico de um colégio fez uma pesquisa sobre o tempo despendido diariamente pelos alunos do ensino médio para o estudo em 138 136 145 153 120 142 159 152 165 140 165 160 138 136 145 153 120 142 159 152 165 140 165 160 138 136 145 153 120 142 159 152 165 140 165 160 138 136 145 153 120 142 159 152 165 140 165 160 16 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . A F L O S P O R T S / O T H E R I M A G E S Resolva a questão 5 do roteiro de estudos e as questões complementares 18 a 22. 9 Um técnico de atletismo mediu os tempos, em segundo, obtidos por 20 atletas para completar 100 metros rasos. Esses tempos foram: 11,26 11,22 10,72 11,03 11,28 10,95 10,39 11,09 10,45 10,83 10,58 10,79 10,85 11,38 11,39 10,45 10,73 10,78 11,22 11,30 a) Calcule a amplitude dessa amostra. b) Construa uma tabela de distribuição de frequên- cias dessa amostra com 5 classes de mesma ampli tude. c) Construa o histograma correspondente à tabela feita no item b. 10 O gráfico de barras a seguir representa a distribui- ção de frequências das idades das mulheres chefes de família de uma comunidade. 50 46 43 38 34 32 28 24 16 11 0 18 19 22 23 24 26 30 34 36 40 46 F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e m u l h e r e s ) Classe (idade) a) Construa uma tabela de distribuição de frequên- cias dessa amostra, separando as idades em qua- tro classes de mesma amplitude. b) Construa o histograma correspondente à tabela do item a. Medidas de posição As medidas de posição associadas a uma amostra de números orientam quanto à localização dos elementos da amostra quando esta é disposta em rol. Algumas dessas medidas são: a média aritmética, a mediana e a moda. Média aritmética A tabela abaixo mostra o número de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo- nato de futebol. Dividindo o total de gols pelo número de jogos dessa rodada, obtemos o número médio de gols marcados por jogo, isto é: 4 2 0 1 5 3 6 15 6 2 5 , 1 1 1 1 1 5 5 Assim, dizemos que nessa rodada ocorreram, em média, 2,5 gols por jogo. O número 2,5 é chamado de média aritmética dos números 4, 2, 0, 1, 5 e 3. A média aritmética dos n números x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , indicada por xy, é dada por: xy 5 x x x x n n 1 2 3 ... 1 1 1 1 Usando o símbolo de somatório, a média aritmética xy entre os n números x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n é: xy 5 x n i i n 5 1 ∑ Jogo I II III IV V VI Número de gols 4 2 0 1 5 3 1,00 9. b) Classes Frequência [10,39; 10,59[ 4 [10,59; 10,79[ 3 [10,79; 10,99[ 4 [10,99; 11,19[ 2 [11,19; 11,39] 7 Ft 5 20 Ver resolução no Guia do mestre. Ver resolução no Guia do mestre. Classes Frequência [18, 25[ 111 [25, 32[ 84 [32, 39[ 93 [39, 46] 72 Ft 5 360 10. a) Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 16 9/14/09 8:23:40 AM Classes Frequência Classes Frequência [18, [18, 25[ 25[ 10. a) 10. a) [25, [25, 32[ 32[ [32, [32, 39[ 39[ [39, [39, 46] 46] G E S Classes Frequência Classes Frequência 111 111 84 84 93 93 72 72 FFtt FFFF 55 360 360 Classes Frequência Classes Frequência 360 360 aritmética Média aritmética nato de futebol. Média aritmética A tabela abaixo mostra o número de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo nato de futebol. A tabela abaixo mostra o número de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo A tabela abaixo mostra o número de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo A tabela abaixo mostra o número de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo A tabela abaixo mostra o número de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo A tabela abaixo mostra o número de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo- R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 17 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Exemplos a) A média aritmética dos números 48 e 54 é: xyy 5 48 54 2 51 1 5 b) A média aritmética dos números 7, 10, 11 e 18 é: xyy 5 7 10 11 18 4 1 1 1 5 11,5 Média aritmética ponderada A tabela abaixo mostra o número de gols marcados nos jogos de uma rodada de um campeo- nato de futebol. Jogo I II III IV V VI VII VIII IX X Número de gols 1 4 4 0 4 0 1 4 1 4 Dividindo o total de gols pelo número de jogos dessa rodada, obtemos o número médio de gols marcados por jogo. Observando que os números 1, 4 e 0 aparecem 3, 5 e 2 vezes, respecti- vamente, na segunda linha da tabela, temos que o número médio de gols é dado por: 3 5 2 , 1 4 0 10 2 3 1 1 5 Assim, dizemos que nessa rodada ocorreram, em média, 2,3 gols por jogo. O número 2,3 é chamado de média aritmética ponderada dos números 1, 4 e 0, com pesos (fatores de pon- deração) 3, 5 e 2, respectivamente. A média aritmética ponderada dos n números x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , com pesos p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n , respectivamente, é o número xy tal que: xy 5 x p x p x p x p p p p n n 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ... 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 p n Usando o símbolo de somatório, a média aritmética ponderada xy dos n números x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n é: xy 5 x p p i i i n i i n 5 5 1 ∑ ∑ 1 Exemplo A média aritmética dos números 2, 6, 8 e 10, com fatores de ponderação 5, 4, 2 e 1, respec- tivamente, é: xy 5 5 2 4 6 2 8 1 10 5 4 2 1 1 1 1 1 1 1 55 Questão resolvida R.2 A tabela mostra a distribuição de frequências das áreas construídas, em metro quadrado, das 10 residências de um condomínio: Classe (área em metro quadrado) [250, 276[ [276, 302[ [302, 328[ [328, 354] Frequência (número de residências) 3 3 2 2 F t 5 10 Calcular a área média (média aritmética) de cada residência desse condomínio. Resolução Quando os dados de uma amostra estão agrupados em intervalos reais, como nesse caso, para calcular a média aritmé- tica, tomamos o ponto médio x M de cada classe e calculamos a média aritmética ponderada entre os valores x M , atribuin- do a cada um o peso igual à frequência da respectiva classe. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 17 9/14/09 8:23:45 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . , p 2 , Usando o símbolo de somatório, a média aritmética ponderada , ..., Usando o símbolo de somatório, a média aritmética ponderada é: , respectivamente, é o número Usando o símbolo de somatório, a média aritmética ponderada , respectivamente, é o número x tal que: x p p 2 2 2 2 3 3 x p x p 1 2 p p p p 3 2 2 2 2 1 2 1 2 p p p p p p p p 1 1 2 2 2 2 1 1 p p p p 1 2 1 2 p p p p p p p p 1 1 , respectivamente, é o número 5 x p p p 1 1 x p x p 1 2 p p p p p p p p p p p p 1 1 1 1 p p p p p p p p p p p p Usando o símbolo de somatório, a média aritmética ponderada x p n n x p x p ... 1 1 ... ... p Usando o símbolo de somatório, a média aritmética ponderada y dos n números números 18 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Moda Em uma amostra cujas frequências dos elementos não são todas iguais, todo elemento de maior frequência é chamado de moda, que se indica por Mo. Exemplos a) Na amostra 5, 9, 12 e 6, 4, 12 e 8, temos a moda Mo 5 12. b) Na amostra 1, 6, 2, 5, 9, 6, 9 e 4, temos duas modas (amostra bimodal): Mo 5 6 e Mo’ 5 9. c) A amostra 2, 7, 4, 9, 3, 0, 15 e 18 não tem moda, pois todos os elementos apresentam-se com a mesma frequência. Mediana Um dos indicadores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um país é a renda per capita, que é o quociente de toda a renda do país, em determinado período, pelo número de habitantes, ou seja, é a média aritmética entre os rendimentos de todos os habitantes do país. Outros índices também são levados em consideração no cálculo do IDH, pois a média aritmética pode dar uma ideia falsa da riqueza de um povo, já que essa média não mede as disparidades na distribuição da renda nacional. J U A N P R A T G I N E S T Ó S / S A M B A P H O T O Classe (área em metro quadrado) [250, 276[ [276, 302[ [302, 328[ [328, 354] Ponto médio (x M ) 250 276 2 263 1 5 276 302 2 289 1 5 302 328 2 315 1 5 328 354 2 341 1 5 Frequência (número de residências) 3 3 2 2 F t 5 10 Calculando a média aritmética ponderada x y dos números 263, 289, 315 e 341, com pesos respectivamente iguais a 3, 3, 2 e 2, temos: x y 5 3 263 3 289 2 315 2 341 3 3 3 3 3 3 263 263 22 315 315 1 1 33 289 289 3333 1 3 3 3 3 1 1 11 5 , 2 2 1 1 1 1 296 8 Logo, a área média de cada residência desse condomínio é 296,80 m 2 . Percebemos, então, que é necessário mais de um parâmetro para avaliar a distribuição dos va- lores numéricos de uma amostra. Juntamente com a média aritmética e a moda, outro índice que ajuda a descrever a distribuição dos números em uma amostra é a mediana, definida a seguir. Apesar dos contrastes sociais, o Brasil entrou, pela primeira vez, para o grupo de países com elevado IDH, segundo o Relatório de Desenvolvimento Humano 2007/2008 do Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (PNUD). É importante notar que amostras não numéricas também podem ter moda. Suponha por exem- plo que, na gôndola de um supermerca- do, haja 10 sabonetes da marca A, 15 da marca B e 18 da mar- ca C. Considerando a amostra das marcas representada por es- ses sabonetes, a mar- ca de maior fre quên- cia nessa amostra é C; logo, a marca C é a moda dessa amostra. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 18 9/14/09 8:23:55 AM amostra das marcas representada por es- ses sabonetes, a mar- ca de maior fre quên- cia nessa amostra é C; logo, a marca C é a moda dessa amostra. amostra das marcas representada por es- ses sabonetes, a mar- ca de maior fre quên- cia nessa amostra é C; logo, a marca C é a moda dessa amostra das marcas representada por es- ses sabonetes, a mar- ca de maior fre quên- cia nessa amostra é C; logo, a marca C é a moda dessa capita com a mesma frequência. Mediana Um dos indicadores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um país é a renda , que é o quociente de toda a renda do país, em determinado período, pelo número de Um dos indicadores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um país é a renda , que é o quociente de toda a renda do país, em determinado período, pelo número de c) A amostra 2, 7, 4, 9, 3, 0, 15 e 18 não tem moda, pois todos os elementos apresentam-se Um dos indicadores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um país é a renda , que é o quociente de toda a renda do país, em determinado período, pelo número de Um dos indicadores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um país é a renda , que é o quociente de toda a renda do país, em determinado período, pelo número de Um dos indicadores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um país é a renda , que é o quociente de toda a renda do país, em determinado período, pelo número de Um dos indicadores do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de um país é a renda per , que é o quociente de toda a renda do país, em determinado período, pelo número de R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 19 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Questão resolvida Considere n números dispostos em rol: x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n • Sendo n ímpar, chama-se mediana, indicada por Md, o termo central do rol, isto é, o termo x i com: i n 5 11 2 • Sendo n par, chama-se mediana (Md) a média aritmética entre os termos centrais desse rol, isto é, a média aritmética entre os termos x i e x i 1 1 com: i n 5 2 Exemplos a) Considere o rol com número ímpar de termos: ▲ 1, 5, 9, 14, 15, 19, 25 termo central A mediana é o termo central 14, isto é, Md 5 14. b) Considere o rol com número par de termos: ▲▲ termos centrais 10, 12, 15, 19, 22, 29, 38, 45 A mediana é a média aritmética entre os termos centrais, 19 e 22, isto é: Md , 5 1 5 19 22 2 20 5 R.3 Dois países, A e B, de 100 milhões de habitantes cada um, têm a mesma renda per capita mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuição de renda entre os habi- tantes desses países. País A País B Renda mensal por pessoa (em real) Número de habitantes (em milhão) Renda mensal por pessoa (em real) Número de habitantes (em milhão) 400,00 90 1.500,00 60 16.400,00 10 2.750,00 40 Calcular: a) a renda per capita mensal de cada país; b) a mediana das rendas mensais dos habitantes de cada país; c) a moda das rendas mensais dos habitantes de cada país. Resolução a) Indicando por x y A e x y B as rendas per capita mensais dos países A e B, respectivamen- te, temos: x y A 5 90 000 000 400 10 000 000 16 400 100 0 . . 000 000 . . 000 000 . . 10 10 000 000 000 000 400 400 1 00 00 000 2 000 . . 5 e x y B 5 60 000 000 1 500 40 000 000 2 750 100 . . 000 000 . 500 500 . 40 40 . 000 000 . 22 . 40 40 000 000 000 000 11 500 500 1 000 00 000 2 000 . . 5 Note que, apesar de os dois países terem a mesma renda per capita mensal (R$ 2.000,00), no país A a riqueza está concentrada em apenas 10% da população, enquanto no país B há uma distribuição de renda mais equitativa. b) Representando em rol os rendimentos mensais dos habitantes, temos: País A: 400, 400, 400, ..., 400, 400, ..., 400, 16.400, 16.400, ..., 16.400 ▲▲ termos centrais Para determinar a mediana em uma amostra de números diferentes, a amos- tra pode ser coloca- da em rol do núme- ro menor para o maior, ou do maior para o menor. Nos dois róis a mediana é a mesma. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 19 9/14/09 8:24:00 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida R.3 Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Dois países, A capita Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Dois países, A mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuição de renda entre os habi- Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida Questão resolvida e B, de 100 milhões de habitantes cada um, têm a mesma renda mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuição de renda entre os habi- e B, de 100 milhões de habitantes cada um, têm a mesma renda mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuição de renda entre os habi- e B, de 100 milhões de habitantes cada um, têm a mesma renda mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuição de renda entre os habi- e B, de 100 milhões de habitantes cada um, têm a mesma renda per mensal. As tabelas abaixo descrevem a distribuição de renda entre os habi- 20 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Resolva as questões 6 e 7 do roteiro de estudos e as questões complementares 1, 2, 23 a 48. Questões propostas 11 Calcule a média aritmética dos números: a) 5, 18, 2, 25, 3 e 10 b) 3,66; 3,64; 3,72; 3,74 e 3,74 12 Calcule a média aritmética ponderada dos números: a) 5, 4, 8, 6 e 2, com fatores de ponderação iguais a 2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente. b) 4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e 2,2 respectivamente. 13 Os 735 elementos de uma amostra de números foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a: a) 366ª posição d) 368ª posição b) 367ª posição e) 370ª posição c) 369ª posição 14 As 8 garrafas de refrigerante de uma amostra apre- sentaram os seguintes conteúdos, em litro: 0,95 0,90 1,05 0,95 1,10 0,90 1,10 1,05 Calcule, nessa amostra, o conteúdo médio por litro. 15 (UFMG) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Matemática valendo 100 pontos. A nota média da turma foi de 70 pontos, e apenas 15 dos alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, é correto afirmar que o valor de M é: a) 53 b) 50 c) 51 d) 52 16 (Mackenzie-SP) A média aritmética de n números positivos é 7. Retirando-se do conjunto desses nú- meros o número 5, a média aritmética dos números que restam passa a ser 8. O valor de n é: a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 9 17 O gráfico abaixo descreve a distribuição, segundo o preço de venda, dos veículos de uma concessioná- ria em um feirão de automóveis. 16 12 8 6 0 10 55.000 42.000 36.000 34.000 30.000 Frequência (número de automóveis) C l a s s e ( p r e ç o d e v e n d a e m r e a l ) a) Qual foi o preço médio por veículo vendido nessa feira por essa concessionária? b) Considerando a amostra dos preços de todos os veículos vendidos por essa concessionária no feirão, determine a moda e a mediana. 18 (FGV) Quatro amigos calcularam a média e a mediana de suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 1,70 m respectivamente. A média entre as al- turas do mais alto e do mais baixo, em metro, é igual a: a) 1,70 c) 1,72 e) 1,74 b) 1,71 d) 1,73 19 Para avaliação do nível de gordura abdominal, fo- ram medidas as cinturas de 13 pessoas adultas. Os resultados obtidos, em centímetro, foram: 92 86 95 78 86 89 91 80 78 89 86 75 78 Determine a moda e a mediana dessa amostra. País B: 1.500, 1.500, 1.500, ..., 1.500, 1.500, ..., 1.500, 2.750, 2.750, ..., 2.750 ▲▲ termos centrais Assim, as medianas das rendas mensais dos habitantes dos países A e B são, res- pectivamente, R$ 400,00 e R$ 1.500,00. c) No país A a renda mais frequente é R$ 400,00, e no país B a renda mais frequente é R$ 1.500,00. Assim, as modas das rendas dos países A e B são R$ 400,00 e R$ 1.500,00 respectivamente. Note que as rendas per capita, as medianas e as modas permitem a comparação da riqueza dos países e da riqueza individual de seus habitantes. Os dois países são igualmente ricos, mas, como a mediana no país A é menor que no país B, concluímos que a distribuição de renda em B é mais equitativa. Além disso, a moda revela que a maioria das rendas no país B é superior à maioria das rendas no país A. 10,5 3,7 4,17 3,93 X 1,0 L X X R$ 37.961,54 Mo 5 R$ 36.000,00; Md 5 R$ 36.000,00 X Há duas modas: 78 e 86; Md 5 86. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 20 9/14/09 8:24:03 AM 13 2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente. b) 4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e 2,2 respectivamente. Os 735 elementos de uma amostra de números foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a: a) 366 2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente. 4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e 2,2 respectivamente. Os 735 elementos de uma amostra de números foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a: posição 2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente. 4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e 2,2 respectivamente. Os 735 elementos de uma amostra de números foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a: 2, 3, 1, 2 e 4 respectivamente. 4,2; 3,8; 3,2 e 5,1, com pesos iguais a 2,5; 2; 4,1 e Os 735 elementos de uma amostra de números foram colocados em rol. A mediana, nesse rol, ocupa a: ª posição ªª C l a s s e 55.000 42.000 36.000 34.000 30.000 ( p r e ç o d e v e n d a e m r e a l ) R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 21 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Questão resolvida R.4 Certa ação da Bolsa de Valores teve 44% de valorização em um ano e 21% de valorização no ano seguinte. Qual foi a taxa equivalente anual de valorização dessa ação nesse período? Resolução Para facilitar os cálculos, podemos atribuir o índice 100 ao preço da ação no início do primei- ro ano. Assim, a evolução do índice, proporcionalmente ao preço da ação, pode ser descrito pela tabela: Índice inicial 100 Índice ao final do 1º ano 144 Índice ao final do 2º ano 174,24 Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% é a taxa constante t que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Então, temos: 100 (1 1 t)(1 1 t) 5 174,24 ⇒ (1 1 t) 2 5 1,7424 1 1 t 5 1 7424 , ⇒ 1 1 t 5 1,32 ∴ t 5 0,32 5 32% Logo, a taxa equivalente anual de valorização dessa ação foi de 32%. Observe que (1 1 t) é a média geométrica entre (1 1 0,44) e (1 1 0,21): 1 1 t 5 1 44 1 21 1 7424 1 32 , 1 4 1 44 1 4 1, 4 1 4 1 , 7424 7424 , 1 3 1 3 4 1 4 1 5 5 5 5 11 7424 7424 Complementos do estudo de médias Neste tópico, analisaremos dois outros tipos de média. Acompanhe. Média geométrica A média geométrica de n números não negativos, x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , é o número G tal que: G x x x x n n ... 5 1 2 3 Exemplos a) A média geométrica entre 2 e 8 é G , 5 2 8 ou seja, G 5 4. b) A média geométrica entre 12, 30 e 75 é G . , 5 5 12 30 75 27 000 3 3 ou seja, G 5 30. c) A média geométrica entre 1, 8, 2 e 81 é G . , 5 5 1 2 8 81 1 296 4 4 ou seja, G 5 6. Média harmônica A média harmônica de n números, x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , todos diferentes de zero, é o número H, tal que: H x x x x n n x n ... 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 ... 1 1 1 2 3 x x x n 1 1 1 Exemplo A média harmônica dos números 6, 8, 12 e 24 é o número H dado por: H 5 1 1 1 5 1 1 4 1 6 1 8 1 12 1 24 4 4 24 3 24 22 24 1 24 4 10 24 96 10 9 6 , 1 5 5 5 ⇒ H Essa conclusão po de ser gene- ralizada da se- guinte ma neira: Se t 1 , t 2 , t 3 , ..., t n são taxas per- centuais aplica- das a um capital, sucessivamente em n períodos de tempo, então a taxa equiva- lente t por pe- ríodo de tempo é tal que 1 1 t é a média geo- métrica entre 1 1 t 1 , 1 1 t 2 , 1 1 t 3 , ..., 1 1 t n . Note que a média harmônica é o inver- so da média aritmé- tica dos inversos dos números x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n . Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 21 9/14/09 8:24:11 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% é a taxa constante o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Então, temos: Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% é a taxa constante o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Então, temos: Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% é a taxa t que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, tt o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Então, temos: Índice ao final do 1 ano Índice ao final do 2ºº ano Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% é a taxa que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Então, temos: Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% é a taxa que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Então, temos: Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% é a taxa que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, o mesmo montante produzido pela taxa bienal 74,24%. Então, temos: Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Assim, a taxa anual equivalente a 74,24% é a taxa que, aplicada ao montante ao final de cada ano, reproduz, ao final dos dois anos, centuais aplica- das a um capital, centuais aplica- das a um capital, sucessivamente n períodos nn de tempo, então 22 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Resolva a questão 8 do roteiro de estudos e as questões complementares 3 a 5, 49 e 56 a 58. Questões propostas 20 Calcule a média geométrica dos números de cada item. a) 4 e 9 b) 2, 5 e 100 21 Calcule a média harmônica dos números de cada item. a) 2 e 4 b) 3, 4 e 6 22 No triângulo retângulo ABC abaixo, a altura relati- va à hipotenusa mede h e as projeções ortogonais dos catetos tAB e tAC sobre a hipotenusa medem m e n respectivamente. B m H n C h A Através da semelhança dos triângulos que com- põem a figura, prove que h é a média geométrica de m e n. 23 Uma aplicação financeira rendeu juros de 40% no primeiro ano, 60% no segundo ano e 22,5% no ter- ceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses ren- dimentos. 24 Um motociclista foi da cidade A à cidade B à velo- cidade média de 60 km/h. Depois, da cidade B para a cidade C, ele diminuiu a velocidade média para 45 km/h e, finalmente, da cidade C para a D, desen- volveu velocidade média de 36 km/h. Sabendo que as distâncias AB, BC e CD são iguais, calcule a velo- cidade média do motociclista ao longo de todo o percurso. Medidas de dispersão 2 De janeiro a maio, dois fundos de investimentos, A e B, tiveram a mesma rentabilidade média mensal, conforme mostra a tabela: Rentabilidade, em real, para cada R$ 1.000,00 aplicados Mês janeiro fevereiro março abril maio Fundo A 10 11 6 10 8 média 5 9 Fundo B 7 12 8 11 7 média 5 9 Um investidor pretende aplicar seu dinheiro em um desses fundos. Por ter um perfil conser- vador, esse investidor quer aplicar no fundo que teve o desempenho mais regular no período considerado na tabela. Como proceder, matematicamente, para determinar qual é o fundo de desempenho mais regular? Questão resolvida R.5 Um motorista viaja da cidade A para a cidade B, à velocidade média de 60 km/h. Na viagem de volta, de B para A, pelo mesmo caminho, o motorista via- ja à velocidade média de 100 km/h. Determinar a velocidade média de toda a viagem, de ida e volta. Resolução Sendo d a distância, em quilômetro, entre as cida- des A e B, temos: • O tempo t 1 , em hora, gasto na ida foi: t d 1 60 5 • O tempo t 2 , em hora, gasto na volta foi: t d 2 100 5 A velocidade média v m é definida como v s t m , 5 em que s indica a distância percorrida no tempo t. Logo, temos: v d d d v m m d d d d 5 1 5 1 5 2 60 100 2 1 m m m m 60 1 m m m m 100 75 ⇒ kmm/ km km h Note que v m é a média harmônica entre as velo- cidades 60 km/h e 100 km/h, isto é: v m 5 1 2 1 60 1 100 km/h 6 10 4 8 3 m h 5 h n ⇒ h 2 5 m n ∴∴hh 55 m n m n m n m n m n m n Logo h é a média geométrica de m e n. 40% 45 km/h Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 22 9/14/09 8:24:20 AM 22 No triângulo retângulo item. a) 2 e 4 No triângulo retângulo va à hipotenusa mede dos catetos n respectivamente. No triângulo retângulo va à hipotenusa mede dos catetos tAB respectivamente. 88 33 No triângulo retângulo va à hipotenusa mede e tAC respectivamente. 3, 4 e 6 abaixo, a altura relati- e as projeções ortogonais sobre a hipotenusa medem m 44 dimentos. 24 Um motociclista foi da cidade A à cidade B à velo- Um motociclista foi da cidade A à cidade B à velo- cidade média de 60 km/h. Depois, da cidade B primeiro ano, 60% no segundo ano e 22,5% no ter- ceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses ren- dimentos. Um motociclista foi da cidade A à cidade B à velo- cidade média de 60 km/h. Depois, da cidade B 40% 40% ceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses ren- Um motociclista foi da cidade A à cidade B à velo- cidade média de 60 km/h. Depois, da cidade B ceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses ren- Um motociclista foi da cidade A à cidade B à velo- cidade média de 60 km/h. Depois, da cidade B ceiro. Calcule a taxa equivalente anual desses ren- Um motociclista foi da cidade A à cidade B à velo- cidade média de 60 km/h. Depois, da cidade B R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 23 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . A comparação entre os desempenhos desses dois fundos de investimento pode ser feita por medidas estatísticas que indicam o quanto os elementos de uma amostra de números estão afas- tados da média aritmética. Essas medidas são conhecidas como: desvio absoluto médio, vari- ância e desvio padrão. Calculando uma dessas medidas em cada uma de duas amostras de um mesmo universo estatístico, será considerada menos dispersa a amostra que apresentar a menor medida. No caso dos fundos A e B, a amostra de rentabilidade menos dispersa em relação à mé- dia aritmética corresponde ao desempenho mais regular. Desvio absoluto médio No fundo de investimento A, a média mensal dos rendimentos nos cinco meses considerados na tabela anterior foi 9 reais, e esses rendimentos foram 10, 11, 6, 10 e 8 reais, de janeiro a maio respectivamente. Para determinar o quanto cada rendimento está afastado da média aritmética, basta calcular a diferença entre o rendimento e a média aritmética, nessa ordem; essa diferença é chamada de desvio do rendimento. Esses desvios são: 10 2 9 5 1 (no mês de janeiro, o rendimento foi 1 real acima da média) 11 2 9 5 2 (no mês de fevereiro, o rendimento foi 2 reais acima da média) 6 2 9 5 23 (no mês de março, o rendimento foi 3 reais abaixo da média) 10 2 9 5 1 (no mês de abril, o rendimento foi 1 real acima da média) 8 2 9 5 21 (no mês de maio, o rendimento foi 1 real abaixo da média) O módulo de cada um desses desvios é chamado de desvio absoluto do rendimento cor- respondente. No caso, temos os seguintes desvios absolutos: • do rendimento de janeiro: |10 2 9| 5 |1| 5 1 • do rendimento de fevereiro: |11 2 9| 5 |2| 5 2 • do rendimento de março: |6 2 9| 5 |23| 5 3 • do rendimento de abril: |10 2 9| 5 |1| 5 1 • do rendimento de maio: |8 2 9| 5 |21| 5 1 A média aritmética entre esses desvios absolutos é chamada de desvio absoluto médio, que se indica por Dam. Indicando o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo A por Dam A , temos: Dam A 5 1 1 2 1 1 2 5 1 1 2 3 1 1 5 1 22 3 1 1 5 1 6 , 1 1 1 5 Analogamente, calculamos o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo B, Dam B : Dam B 5 2 1 2 1 2 1 2 7 9 12 9 8 9 11 9 7 9 5 2 3 1 2 2 5 2 1 2 5 1 1 1 1 5 Como o nome sugere, o desvio absoluto médio fornece o afastamento médio dos elementos da amostra em relação à média aritmética. Assim, verificamos que, no período de janeiro a maio, os rendimentos do fundo A estiveram, em média, 1,6 real acima ou abaixo da média aritmética, e os rendimentos do fundo B estiveram, em média, 2 reais acima ou abaixo da média aritmética. Como Dam A , Dam B , concluímos que o fundo A teve desempenho mais regular que o do fundo B. Por isso, o investidor conservador deve optar pelo fundo A. Generalizando esses procedimentos para uma amostra numérica qualquer, definimos: Sendo xy a média aritmética de uma amostra de números x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , chama-se desvio absoluto médio, indicado por Dam, o número: Dam x x x x x x ... 5 2 1 2 1 1 1 2 3 − 11 2 x x n n Usando o símbolo de somatório: Dam x x n i i n 5 2 5 1 ∑ A medida da disper- são dos números de uma amostra, em relação à média arit- mética desses nú- meros, não pode ser calculada pelo desvio médio (média arit- mética entre os des- vios), porque este é sempre igual a zero. Por isso é que se ado- ta o módulo de cada desvio. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 23 9/14/09 8:24:24 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . que se indica por R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . A por • do • do A média aritmética entre esses desvios absolutos é chamada de que se indica por A por Dam rendimento rendimento A média aritmética entre esses desvios absolutos é chamada de que se indica por , temos: rendimento de rendimento de A média aritmética entre esses desvios absolutos é chamada de Dam. Indicando o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo , temos: |10 9| 1 2 9| 5 1| 5 1 A média aritmética entre esses desvios absolutos é chamada de . Indicando o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo 1 21 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 2 1 A média aritmética entre esses desvios absolutos é chamada de . Indicando o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo 12 3 222 3 2 3 desvio absoluto médio . Indicando o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo 1 1 desvio absoluto médio, . Indicando o desvio absoluto médio da amostra de rendimentos do fundo 24 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Variância Outra medida que indica o afastamento dos elementos de uma amostra de números em rela- ção à média é a variância, que se representa por 2 . Define-se variância como a média aritmética entre os quadrados dos desvios dos ele- mentos da amostra, isto é: 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 .. x x x x x x ( ) ( ) ( ) .. 1 2 x x n n ( ) 2 Usando o símbolo de somatório: 5 2 5 2 2 1 ( ) x x n i i n ∑ Note, portanto, que a variância não expressa o desvio absoluto médio, mas sim a média entre os quadrados dos desvios. Indicando, respectivamente, por A 2 e B 2 as variâncias das amostras de rendimentos dos fundos A e B descritos na tabela da página 22, temos: 5 2 1 2 1 2 1 A 2 2 2 2 10 9 11 9 6 9 1 ( ) ( ) ( ) ( 00 9 8 9 5 1 2 3 1 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) 2 1 2 5 5 1 1 2 1 22 2 1 5 16 5 3 2 ( ) , 1 2 5 5 e 5 2 1 2 1 2 1 B 2 2 2 2 7 12 9 8 9 11 ( ) ( ) ( ) ( 9 ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 5 5 2 1 1 2 1 9 7 9 5 2 3 1 2 2 2 2 2 ( ) , 2 2 5 22 5 4 4 2 2 1 2 5 5 Como , A B 2 2 , concluímos que o fundo de investimentos A teve, no período de janeiro a maio, desempenho mais regular que o do fundo B. Desvio padrão Na interpretação da variância, pode surgir alguma dificuldade em relação à unidade de me- dida dos elementos da amostra. Por exemplo, quando os elementos da amostra representam capacidades em litro (L), a variância representa um resultado em L 2 . Como essa unidade não tem significado físico, não é conveniente utilizar a variância nesse caso. Por causa de dificuldades como essa, definimos: O desvio padrão, representado por , é a raiz quadrada da variância. Indicando, respectivamente, por A e B os desvios padrão das amostras de rendimentos dos fundos A e B descritos na tabela citada, temos: 5 5 A B , , , , 3 2 1 79 4 4 2 10 e Como A , B , concluímos que o fundo de investimentos A teve, no período de janeiro a maio, desempenho mais regular que o do fundo B. é a letra grega sigma. Não esqueça que a comparação da dis- persão de duas amos- tras de números pode ser feita por qualquer um dos índices: des- vio absoluto médio, variância ou desvio pa drão. Note que as três medidas condu- ziram à mesma con- clusão. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 24 9/14/09 8:24:30 AM e 5 1 2 2 2 7 1 22 11 2 2 2 2 1111 5 5 7 1 7 1 ) 7 1 7 1 9 7 1 7 1 ( ) 5 ( ) ( ) 1 2 2 3 ( ) ( ) 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 9 8 9 22 11 2 2 2 2 ( 2 2 2 2 7 1 7 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 8 9 2 9 8 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 8 9 2 9 8 9 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 9 8 9 2 9 8 9 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ( 2 2 2 2 (( (( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (( ((( (( 1 2 2 9 8 9 22 11 ) 2 9 8 9 2 9 8 9 ( 2 5 ) 2 2 22 2 2 )) 2 2 2 2 5 5 ) ( ) 1 2 9 7 )) ( ( 11 )) 2 2 ( ( ) ) 9 7 9 7 ( ( ( ( 1111 )) )) 5 2 2 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 25 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Questões propostas 25 Considerando a amostra de números 1, 3, 5, 9 e 6, calcule: a) o desvio de cada elemento dessa amostra; b) a soma dos desvios desses elementos. 26 Considerando a amostra de números 2, 8, 6, 5, 0 e 9, calcule: a) o módulo do desvio de cada elemento dessa amostra; b) a média aritmética entre os módulos dos desvios desses elementos. (Nota: Como vimos, essa média é chamada de desvio absoluto médio.) 27 Considerando a amostra de números; 14, 12, 8 e 2, calcule: a) o quadrado do desvio de cada elemento dessa amostra; b) a média aritmética dos quadrados dos desvios desses elementos. (Nota: Como vimos, essa média é chamada de variância.) 28 Qual é o desvio padrão da amostra de números da questão anterior? 29 Para fiscalizar as queimadas provocadas por agri- cultores, os técnicos do Núcleo de Monitoramento Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrículas e estudam em cada uma delas os pon- tos de queimada na região correspondente. nenhum 1-57 ponto(s) 59-117 pontos 121-318 pontos 334-1.763 pontos 690 km Disponível em: www.queimadas.cnpm.embrapa.br Acesso em: 2 mar. 2009 Esta tabela mostra a distribuição de pontos de quei- mada detectados em 5 quadrículas: Quadrícula Número de pontos de queimada Q 1 1.058 Q 2 446 Q 3 936 Q 4 1.568 Q 5 672 a) Calcule o número médio de pontos de queimada por quadrícula dessa distribuição. b) Calcule o desvio absoluto médio dessa distribuição. c) Se fosse incluída nessa distribuição mais uma quadrícula, com 936 pontos de queimada, o desvio absoluto médio da nova distribuição seria maior, menor ou igual ao desvio absoluto médio calculado no item b? 30 Em uma fábrica de rolamentos, duas máquinas, A e B, fabricam esferas de aço, projetadas para ter 10 mm de diâmetro. Uma amostra de 4 esferas de cada máquina foi analisada para verificar se os ine- vitáveis erros de medida, produzidos no processo de fabricação, são aceitáveis. A tabela abaixo mos- tra as medidas, em milímetro, do diâmetro das es- feras dessa amostra. Máquina Diâmetro das esferas (em milímetro) Diâmetro médio ( x y ) (em milímetro) A 10,6 9,6 10,0 9,4 9,9 B 10,2 10,6 9,6 9,2 9,9 Qual das duas máquinas apresentou, nessa amos- tra, maior dispersão de medidas em relação ao diâ- metro médio? 31 Gustavo e Lucas tiveram a mesma média no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo. Gustavo Ferreira Disciplina Nota Biologia 7,0 História 7,5 Geografia 8,0 Português 7,0 Inglês 6,0 Matemática 7,0 Física 6,5 Química 7,0 Lucas de Oliveira Guimarães Disciplina Nota Biologia 7,0 História 6,5 Geografia 8,0 Português 6,5 Inglês 7,5 Matemática 7,5 Física 6,0 Química 7,0 23,8; 21,8; 0,2; 4,2 e 1,2. 0 3, 3, 1, 0, 5 e 4 2,7 25, 9, 1 e 49 21 4,58 936 301,6 O desvio absoluto médio será menor. A máquina B. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 25 9/14/09 8:24:37 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em tos de queimada na região correspondente. cultores, os técnicos do Núcleo de Monitoramento Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrículas e estudam em cada uma delas os pon- tos de queimada na região correspondente. cultores, os técnicos do Núcleo de Monitoramento Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrículas e estudam em cada uma delas os pon- tos de queimada na região correspondente. Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrículas e estudam em cada uma delas os pon- tos de queimada na região correspondente. Ambiental (NMA) dividem o mapa do Brasil em quadrículas e estudam em cada uma delas os pon- tos de queimada na região correspondente. 31 Qual das duas máquinas apresentou, nessa amos- tra, maior dispersão de medidas em relação ao diâ- metro médio? Gustavo e Lucas tiveram a mesma média no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo. Gustavo e Lucas tiveram a mesma média no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo. A máquina B. A máquina B. Gustavo e Lucas tiveram a mesma média no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo. Gustavo e Lucas tiveram a mesma média no vestibular, conforme pode ser constatado nos boletins abaixo. 26 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Resolva as questões 9 a 15 do roteiro de estudos e as questões complementares 6, 7, 50 a 55, 59 e 60. Como eles disputavam a última vaga, foi adotado como critério de desempate a variância do conjun- to de notas em todas as disciplinas: o candidato com desempenho mais regular teve direito à vaga. (Entende-se por desempenho mais regular aquele em que as notas apresentaram menor dispersão em relação à média aritmética.) a) Calcule a média aritmética do conjunto de notas de cada candidato. b) Calcule a variância do conjunto de notas de cada candidato. c) Qual dos candidatos teve o desempenho mais regular? Por quê? 32 Para preencher uma vaga de gerente de produção, o departamento de recursos humanos de uma em- presa realizou testes com vários candidatos, dos quais selecionou os dois que apresentaram melhor desempenho: Leonor e Felipe. A tabela a seguir mostra o desempenho desses dois candidatos nas provas a que se submeteram. Candidato Assunto Leonor Felipe Conhecimentos de informática 8,5 9,5 Língua portuguesa 9,5 9,0 Língua inglesa 8,0 8,5 Matemática 7,0 8,0 Conhecimentos de economia 7,0 5,0 média 5 8 média 5 8 a) Calcule o desvio padrão do conjunto de notas de cada candidato. b) Sabendo que a vaga será dada ao candidato com desempenho mais regular, qual dos dois tem o direito à vaga? Por quê? 8 O que é média geométrica e média harmônica? 9 Em uma amostra de números, o que é o desvio de um elemento em relação à média aritmética? 10 Por que não se aplica o desvio médio no estudo da dispersão de uma amostra de números? 11 Qual é a definição de desvio absoluto? 12 O que é desvio absoluto médio? 13 Qual é a definição de variância? 14 O que é desvio padrão? 15 Na comparação da dispersão de duas amostras de números, qual das medidas podemos aplicar: desvio absoluto médio, variância ou desvio padrão? 1 Descreva uma situação do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatístico e de amostra. 2 Qual é a definição de rol? 3 O que é uma tabela de distribuição de frequências? 4 Como se calcula a frequência relativa de uma classe em uma tabela de distribuição de frequências? 5 Qual é a diferença entre gráfico de barras e histo- grama? 6 O que é média aritmética e média aritmética pon- derada? 7 O que é moda e mediana? Roteiro de estudos Questões complementares Questões técnicas 1 Se uma amostra é formada por 45 números, então se pode afirmar que a mediana: a) pertence à amostra. b) não pertence à amostra. c) pode pertencer ou não à amostra. d) é um número maior que 45 2 . e) é um número inteiro. 2 Se uma amostra é formada por 50 números, então se pode afirmar que a mediana: a) pertence à amostra. b) não pertence à amostra. c) pode pertencer ou não à amostra. d) é um número maior que 25. e) é um número fracionário. 3 Calcule a média geométrica de 5, 8, 162 e 125. 7,0 Gustavo: 0,3125; Lucas: 0,375 Gustavo teve o desempenho mais regular, pois a dispersão de seu conjunto de notas foi menor. Leonor: 0,9486; Felipe: 1,58 Leonor teve o desempenho mais regular, pois a dispersão de seu conjunto de notas foi menor. Resposta pessoal. Ver “Rol”, na página 9. É uma tabela em que são descritas as classes, em que foi separada a amostra e suas respectivas frequências. Ver “Tabelas e gráficos”, na página 9. No histograma são apresentadas as frequências de dados agrupados em intervalos reais, enquanto no gráfico de barras são apresentadas frequências de classes unitárias. Ver “Média aritmética”, na página 16 e “Média aritmética ponderada”, na página 17. Ver “Moda” e “Mediana”, nas páginas 18 e 19. Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. Desvio de um elemento x i de uma amostra de números, em re- lação à média aritmética x _ , é a diferença x i 2 x _ . Porque a soma dos desvios é sempre zero e, portanto, a média aritmética dos desvios também é sempre zero. Ver “Desvio absoluto médio”, na página 23. Ver “Desvio absoluto médio”, na página 23. Ver “Variância”, na página 24. Ver “Desvio padrão”, na página 24. A comparação da dispersão de duas amostras de números pode ser feita por qualquer um dos índices: desvio absoluto médio, variância ou desvio padrão. Adotando um desses índices para a comparação da dispersão de duas amostras, a que tiver o menor índice é a menos dispersa. X X 30 Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 26 9/14/09 8:24:41 AM 1 Descreva uma situação do cotidiano em que estejam Descreva uma situação do cotidiano em que estejam 2 Qual é a definição de rol? Qual é a definição de rol? Descreva uma situação do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatístico e de amostra. Qual é a definição de rol? Descreva uma situação do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatístico e de Qual é a definição de rol? Resposta pessoal. Resposta pessoal. Descreva uma situação do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatístico e de Qual é a definição de rol? Resposta pessoal. Resposta pessoal. Descreva uma situação do cotidiano em que estejam presentes os conceitos de universo estatístico e de Ver “Rol”, na página 9. Ver “Rol”, na página 9. 9 Em uma amostra de números, o que é o desvio de um Em uma amostra de números, o que é o desvio de um elemento em relação à média aritmética? 10 Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da 9 10 O que é média geométrica e média harmônica? Em uma amostra de números, o que é o desvio de um elemento em relação à média aritmética? Por que não se aplica o desvio médio no estudo da dispersão de uma amostra de números? Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. Desvio de um elemento Desvio de um elemento elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? Desvio de um elemento Desvio de um elemento elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? lação à média aritmética lação à média aritmética Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Em uma amostra de números, o que é o desvio de um elemento em relação à média aritmética? Por que não se aplica o desvio médio no estudo da dispersão de uma amostra de números? Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. Desvio de um elemento Desvio de um elemento elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? xx ii de uma amostra de números, em re- de uma amostra de números, em re- elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? iiii lação à média aritmética lação à média aritmética Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da xx, é a diferença , é a diferença Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da , é a diferença , é a diferença Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Em uma amostra de números, o que é o desvio de um elemento em relação à média aritmética? Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. de uma amostra de números, em re- de uma amostra de números, em re- elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? elemento em relação à média aritmética? , é a diferença , é a diferença Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da xx Em uma amostra de números, o que é o desvio de um Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Por que não se aplica o desvio médio no estudo da Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. Ver “Média geométrica” e “Média harmônica”, na página 21. de uma amostra de números, em re- de uma amostra de números, em re- R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 27 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 4 Calcule a média harmônica de 2, 4, 6 e 8. 5 (UFG-GO) Dados os números reais positivos a e b, sua média harmônica h é definida como o inverso da média aritmética dos inversos de a e de b. Considerando essa definição, classifique como verda- deira (V) ou falsa (F) cada afirmação abaixo. a) Se a 5 7 e b 5 5, então h . . 35 b) Se b é o dobro de a, então a média harmônica entre a e b é 4 3 a . c) Se os números positivos a, b, c, nessa ordem, formam uma progressão aritmética, então 1 b é a média harmônica entre 1 a e 1 c . d) A média harmônica entre dois números positivos e distintos é menor que a média aritmética desses números. 6 Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação a seguir. a) Se o desvio padrão de uma amostra de números é maior que 1, a variância dessa amostra também é maior que 1. b) Se o desvio absoluto médio de uma amostra de números é 0,5, o desvio de qualquer elemento dessa amostra é, no máximo, 0,5. c) O desvio padrão de uma amostra de números é sempre maior que a variância dessa amostra. d) A variância de uma amostra de números pode ser menor que o desvio absoluto médio dessa amostra. e) Se A e B são duas amostras de números com a mesma média aritmética e o desvio absoluto médio de A é menor que o de B, então os valores de A estão, em média, mais distantes da média aritmética do que em B. 7 De todos os desvios absolutos dos elementos de uma amostra de números, o maior é 5. Se x é um dos ele- mentos dessa amostra e a média aritmética desses elementos é 3, então podemos afirmar que: a) 22 < x < 8 c) x > 4 e) x , 2 b) 0 < x < 5 d) x . 4 Questões contextualizadas 8 Em certo período, uma confecção produziu apenas camisas de numeração 38, 39, 40, 41 e 42. A tabela de distribuição de frequências dessa produção é: Classe (numeração das camisas) Frequência (quantidade de camisas) 38 85 39 90 40 110 41 70 42 45 F t 5 400 Construa os gráficos de linha, de barras horizontais e de setores correspondentes a essa distribuição. [No gráfico de setores, indique as frequências relativas (F r ) das classes.] 9 A distribuição da produção de café em cinco estados brasileiros, A, B, C, D e E, em certo ano, é descrita pelo gráfico: 8 10 14 16 24 A B C D E P r o d u ç ã o ( m i l h ã o d e s a c a s ) Estado Construa o gráfico de setores correspondente a essa dis- tribuição, indicando as medidas em grau nos arcos. 10 Uma rede de lojas tem 5 unidades, A, B, C, D e E. O gráfico abaixo descreve o faturamento dessas unidades na semana passada. 100 125 138 162 175 E D C B A Faturamento (milhar de reais) L o j a a) Qual foi o faturamento dessa rede de lojas na semana passada? b) O faturamento da unidade E representou que percen tual do faturamento de toda a rede na semana passada? 11 (Saresp) O gráfico abaixo mostra como variou a tem- peratura de uma cidade durante certo dia. T e m p e r a t u r a ( ° C ) 30 20 15 10 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112131415 161718192021222324 5 0 Hora do dia 3,84 F V V V V F F F V X Ver resolução no Guia do mestre. Ver resolução no Guia do mestre. 700 mil reais 25% Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 27 9/14/09 8:24:50 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . c) d) números é 0,5, o desvio de qualquer elemento dessa amostra é, no máximo, 0,5. O desvio padrão de uma amostra de números é sempre maior que a variância dessa amostra. A variância de uma amostra de números pode ser menor que o desvio absoluto médio dessa amostra. números é 0,5, o desvio de qualquer elemento dessa amostra é, no máximo, 0,5. O desvio padrão de uma amostra de números é sempre maior que a variância dessa amostra. A variância de uma amostra de números pode ser menor que o desvio absoluto médio dessa amostra. números é 0,5, o desvio de qualquer elemento dessa amostra é, no máximo, 0,5. O desvio padrão de uma amostra de números é sempre maior que a variância dessa amostra. A variância de uma amostra de números pode ser menor que o desvio absoluto médio dessa amostra. FF O desvio padrão de uma amostra de números é A variância de uma amostra de números pode ser menor que o desvio absoluto médio dessa amostra. FF VV E D C L o j a 28 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Pode-se afirmar que: a) A temperatura máxima foi atingida ao meio-dia. b) A temperatura mínima ocorreu por volta das 4 horas da manhã. c) No período de 0 a 12 horas a temperatura foi crescente. d) No período de 12 a 24 horas a temperatura foi decrescente. 12 Uma amostra de 16 pacotes de café apresentou as seguintes massas em grama: 490 490 500 490 510 495 495 490 505 505 490 510 510 500 510 505 a) Separando esses dados em classes unitárias, construa a correspondente tabela de distribuição de fre- quências e de frequências relativas. b) Construa os gráficos de linha, de barras verticais e de setores correspondentes a essa distribuição. (No gráfico de setores, indique as medidas em grau dos arcos.) 13 Um medicamento é comercializado em caixas com comprimidos de 5, 10, 20, 40 ou 80 mg. O laboratório fabricante recebeu um pedido desse medicamento segundo a distribuição: 1.300 1.000 900 800 5 10 20 40 80 F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e c a i x a s ) Classe (mg) a) Construa a tabela de distribuição de frequências e de frequências relativas correspondente a esse gráfico. b) Escolhendo ao acaso uma caixa de comprimidos dessa amostra, qual é a probabilidade de obter comprimidos com 20 mg ou mais? 14 (Enem-MEC) C h i n a 276 1º 2º 3º 4º 5º 15º 82 80 75 55 33 E U A A r g e n t i n a T u r q u i a M é x i c o B r a s i l P r o d u ç ã o d e m e l ( e m m i l h a r d e t o n e l a d a s ) Posição dos países de acordo com a produção em 2005 Fonte: Globo Rural, jun. 2007. Seria título adequado para a matéria jornalística em que o gráfico anterior foi apresentado: a) Apicultura: Brasil ocupa a 33ª posição no ranking mundial de produção de mel — as abelhas estão desaparecendo no país b) O milagre do mel: a apicultura se expande e coloca o País entre os seis primeiros no ranking mundial de produção c) Pescadores de mel: Brasil explora regiões de mangue para produção de mel e ultrapassa a Argentina no ranking mundial d) Sabor bem brasileiro: Brasil inunda o mercado mundial com a produção de 15 mil toneladas de mel em 2005 e) Sabor de mel: China é o gigante na produção de mel no mundo e o Brasil está em 15º lugar no ranking 15 (Enem-MEC) I II III IV V 1,24 0,94 0,93 1,53 1,83 Consumo de energia (kWh) I II III IV V 325,80 109,31 Consumo de água (L) 99,35 76,38 215,80 Figura II Fonte: Associação Brasileira de Defesa do Consumidor (com adaptações). Figura I As figuras acima apresentam dados referentes aos con- sumos de energia elétrica e de água relativos a cinco má- quinas industriais de lavar roupa comercializadas no Brasil. A máquina ideal, quanto a rendimento econômi- co e ambiental, é aquela que gasta, simultaneamente, menos energia e água. Com base nessas informações, conclui-se que, no conjunto pesquisado: a) uma máquina de lavar roupa, quanto mais eco- nomiza água, mais consome energia elétrica. b) a quantidade de energia elétrica consumida por uma máquina de lavar roupa é inversamente proporcional à quantidade de água consumida por ela. c) a máquina I é ideal, de acordo com a definição apresentada. d) a máquina que menos consome energia elétrica não é a que consome menos água. e) a máquina que mais consome energia elétrica não é a que consome mais água. X 12. a) Classe (gra- ma) Frequência (n‚ de pa- cotes) Frequên- cia relativa 490 5 31,25% 495 2 12,5% 500 2 12,5% 505 3 18,75% 510 4 25% F t 5 16 Ver resolução no Guia do mestre. 13. a) Classe (mg) Frequência (n‚ de caixas) Frequência relativa 5 900 18% 10 1.000 20% 20 800 16% 40 1.300 26% 80 1.000 20% F t 5 5.000 31 50 X X Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 28 9/14/09 8:24:54 AM F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e c a i x a s ) 1.300 1.000 900 800 109,31 Consumo de água (L) Consumo de água (L) 215,80 325,80 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 29 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 16 (Enem-MEC) O gráfico abaixo, elaborado com base em dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. 461 239 1 9 8 3 1 9 8 7 1 9 9 1 1 9 9 5 1 9 9 9 2 0 0 3 2 0 0 7 N ú m e r o d e e s p é c i e s a m e a ç a d a s d e e x t i n ç ã o Ano Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de cres- cimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a: a) 465 c) 498 e) 699 b) 493 d) 538 17 A distribuição dos 500 candidatos aprovados em um vestibular para as faculdades de Medicina, Engenharia, Psicologia, Economia, Agronomia e Arquitetura de uma universidade é representada pelo gráfico a seguir, em que x é a medida em grau do arco correspondente à classe de Medicina. Psicologia 57,6° Engenharia 72° Agronomia 61,2° Arquitetura 50,4° Medicina x Economia 72° Quantos alunos foram aprovados na faculdade de Medicina? 18 Um estudo sobre o tempo de uso dos automóveis utiliza- dos como táxi em uma pequena cidade pode ser resumido pela seguinte tabela de distribuição de frequências: Classe (anos de uso) Frequência (número de táxis) [0, 2[ 12 [2, 4[ 25 [4, 6[ 38 [6, 8[ 22 [8, 10] 13 a) Construa o histograma correspondente a essa distribuição. b) Tomando um táxi ao acaso nessa cidade, qual é a probabilidade de esse veículo ter menos de 6 anos de uso? c) Uma pessoa tomou um táxi ao acaso nessa cidade. Sabendo que esse táxi tem menos de 6 anos de uso, qual é a probabilidade de ele ter 4 anos ou mais? 19 No final de um dia, as multas por excesso de velocidade aplicadas em uma estrada podem ser descritas pela seguinte tabela de distribuição de frequências: Classe (velocidade em km/h) Frequência (número de multas) [80, 90[ 18 [90, 100[ 12 [100, 110[ 10 [110, 120[ 8 [120, 130] 2 a) Construa o histograma correspondente a essa tabela. b) Escolhido um desses motoristas ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter sido multado por estar a uma velocidade x, em km/h, com 90 < x , 120? (Nota: Considere que cada motorista autuado te- nha recebido uma única multa.) 20 Para a comparação de 16 tipos diferentes de fertili- zante, um agrônomo plantou 16 sementes de uma mesma planta, aplicando todos os fertilizantes, um em cada planta. Após certo período de tempo, o agrônomo mediu a altura da planta nascida, obtendo as seguintes medidas em centímetro: 4,2 4,0 3,9 3,6 3,5 4,3 4,6 4,2 5,0 5,2 5,7 5,0 3,9 3,8 4,4 4,3 a) Calcule a amplitude dessa amostra. b) Construa uma tabela de distribuição de frequências dessa amostra com 5 classes de mesma amplitude. c) Construa o histograma correspondente à tabela obtida no item b. 21 A lei 11.705 de 19 de junho de 2008, que ficou conhe- cida como “lei seca”, prevê severas punições para quem dirigir sob a influência de álcool ou de qualquer outra substância psicoativa que determine dependência. Antes da promulgação dessa lei, um motorista só era considerado embriagado se a concentração de álcool em seu sangue fosse maior ou igual a 0,6 g/L. Bafômetro, ou etilômetro, usado para medir a concentração de álcool no sangue. 6 7 P H O T O / A L A M Y / O T H E R I M A G E S X 65 alunos Ver resolução no Guia do mestre. 15 22 38 75 Ver resolução no Guia do mestre. 3 5 ou 60% 2,2 20. b) Classe (cm) Frequência (n‚ de plantas) [3,5; 3,94[ 5 [3,94; 4,38[ 5 [4,38; 4,82[ 2 [4,82; 5,26[ 3 [5,26; 5,70] 1 Ft 5 16 Ver resolução no Guia do mestre. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 29 9/14/09 8:25:04 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Agro Arquitetura nomia 61,2° Arquitetura 50,4° Medicina x Economia 72° x [3,94; [3,94; [3,94; [3,94; [4,38; [4,38; [4,38; [4,38; 4,82[ 4,82[ [4,82; [4,82; [4,82; [4,82; 5,26[ 5,26[ [5,26; [5,26; [5,26; [5,26; 5,70] 5,70] a) Calcule a amplitude dessa amostra. de plantas) de plantas) 55 22 FFtt FFFF 16 16 5,0 5,2 3,9 3,8 Calcule a amplitude dessa amostra. 4,6 5,7 4,4 Calcule a amplitude dessa amostra. 4,2 5,0 4,3 Calcule a amplitude dessa amostra. 2,2 2,2 30 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . A situação a seguir, que pode parecer absurda após a lei seca, era muito comum em nossas estradas. Durante as festas de fim de ano, foram medidas, em um posto de fiscalização, as concentrações de álcool no sangue de 30 motoristas. Essas concentrações, em grama por litro, foram: 0,5 0,4 0,9 0,0 0,3 1,0 0,7 0,0 0,8 0,2 0,0 0,9 0,6 0,3 1,1 0,5 0,8 0,2 0,8 0,2 0,9 0,6 0,2 0,8 0,9 0,6 0,4 0,9 1,2 0,9 a) Calcule a amplitude dessa amostra. b) Construa uma tabela de distribuição de frequências dessa amostra com 5 classes de mesma amplitude. c) Construa o histograma correspondente à tabela obtida no item b. 22 O gráfico de setores abaixo mostra a distribuição das notas de 500 alunos em uma prova de redação. nota 9 3% nota 10 3% nota 0 3% nota 1 5% nota 2 6% nota 3 10% nota 4 18% nota 5 21% nota 6 20% nota 7 7% nota 8 4% a) Construa uma tabela de distribuição de frequências dessa amostra, separando as notas em 4 classes de mesma amplitude. b) Construa o histograma correspondente à tabela do item a. 23 A tabela abaixo apresenta alguns dados referentes a três municípios brasileiros, A, B e C, no ano de 2009. Municípios brasileiros (2009) Município População total População urbana População rural Área (km 2 ) A 28.559 18.057 10.502 230 B 38.224 26.432 11.792 460 C 68.448 42.625 25.823 810 Em relação a essa tabela, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações: a) A área média por município é 500 km 2 . b) Em 2009, a densidade demográfica do município A era maior que a densidade demográfica do muni- cípio B. c) Em 2009, a população média rural por município era de 15.889 habitantes. d) Em 2009, a população média urbana por município representava menos de 60% da população média total por município. 24 (UFPB) Se as 4 notas bimestrais de um aluno estão em uma progressão aritmética de razão 2 e a média aritmética dessas notas é 7,0, então se pode afirmar que a soma das duas primeiras notas é: a) 10,5 b) 10,0 c) 9,5 d) 9,0 e) 8,5 25 (FGV) Um investidor aplicou seu patrimônio em 5 ações por 1 ano. A taxa média de rentabilidade por ação (média aritmética) foi de 12% ao ano. A ação mais lucrativa rendeu 25% ao ano. Se essa ação for eliminada, a taxa média de rentabilidade das 4 ações restantes será igual a: a) 8,75% ao ano d) 9,5% ao ano b) 9% ao ano e) 9,75% ao ano c) 9,25% ao ano 26 (UFMA) A média aritmética de um conjunto de 15 números é 12. Se os números 10, 16, 25 e 30 forem retirados do conjunto, a média aritmética dos números restantes será: a) 15 b) 12 c) 8 d) 7 e) 9 27 (Fuvest-SP) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: a) 16 b) 20 c) 50 d) 70 e) 100 28 (UFC-CE) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma, formada por 25 meninas e 5 meninos, é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: a) 6,5 b) 7,2 c) 7,4 d) 7,8 e) 8,0 29 (UFV-MG) Após a revisão de provas de uma turma de 25 alunos, um único aluno teve sua nota alterada, pas- sando a ser 80 pontos. Com isso, o professor verificou que a média aritmética das notas da turma aumentou em 1 ponto. Determine a nota desse aluno antes da revisão. 30 (UFMS) 6 6,3 2,3 7 4 3 2 5 1 9 5 0 1 9 6 0 1 9 7 0 1 9 8 0 1 9 9 0 2 0 0 0 2 0 1 0 2 0 2 0 1 0 Filhos por mulher no Brasil Fonte: IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). De acordo com os dados sobre o Brasil, disponibiliza- dos pelo quadro, é correto afirmar que: (001) entre 1950 e 1960, a média de filhos por mulher manteve-se estável. (002) em meados da década de 1980, as mulheres já tinham, em média, menos de 3 filhos. 1,2 g/L 21. b) Classe (g/L) [0; 0,24[ [0,24; 0,48[ [0,48; 0,72[ [0,72; 0,96[ [0,96; 1,2] Frequência (n‚ de motoristas) 7 4 6 10 3 F t 5 30 Ver resolução no Guia do mestre. Ver resolução no Guia do mestre. V V F F X X X X X 55 Classe (notas) Frequência (n‚ de alunos) [0; 2,5[ 70 [2,5; 5,0[ 140 [5,0; 7,5[ 240 [7,5; 10,0] 50 F t 5 500 22. a) Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 30 9/14/09 8:25:08 AM nota 6 20% nota 4 18% a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: a) 29 A média aritmética das notas dos alunos de uma turma, formada por 25 meninas e 5 meninos, é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: a) 6,5 b) 7,2 (UFV MG) Após a revisão de provas de uma turma de uma turma, formada por 25 meninas e 5 meninos, é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: c) 7,4 Após a revisão de provas de uma turma de uma turma, formada por 25 meninas e 5 meninos, é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: d) Após a revisão de provas de uma turma de uma turma, formada por 25 meninas e 5 meninos, é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: e) Após a revisão de provas de uma turma de R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 31 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . (004) as projeções futuras indicam que, daqui a 16 anos, cada mulher terá apenas um filho. (008) a queda mais drástica da fertilidade ocorreu no período entre 1960 e 1980. (016) em meio século (1950-2000), a média de filhos por mulher diminuiu 50%. • Qual é a soma dos números que antecedem as alternativas corretas? 31 Na tentativa de controlar a pesca predatória, o Ibama fiscaliza barcos pesqueiros dos rios do Pantanal. Se um exemplar com menos de 2,8 kg, de determinada espécie de peixe, for encontrado em um barco, o pescador é mul- tado e corre o risco de perder sua licença de pesca. Em uma dessas inspeções, foram encontrados a bor- do de um barco pesqueiro 10 exemplares dessa espé- cie de peixe. Os fiscais puseram os 10 peixes, simulta- neamente, em uma balança, registrando 28 kg de pescado; a seguir retiraram 9 exemplares da balança, constatando que o peixe que restou sobre a balança pesou 3,2 kg. Com isso, concluíram que o pescador era um infrator e, portanto, multaram-no. O pesca- dor era mesmo um infrator? Justifique sua resposta. 32 Um ciclista fez uma viagem de 145 km em 7 h. O gráfico abaixo descreve a distância, em quilômetro, percorrida pelo ciclista, em função do tempo, em hora. Tempo (h) Distância (km) 145 100 0 4 7 a) Calcule a velocidade escalar média desse ciclista nos primeiros 100 quilômetros. b) Calcule a velocidade escalar média desse ciclista nas três últimas horas de viagem. c) Calcule a velocidade escalar média desse ciclista ao longo de todo o percurso. 33 (Uerj) A posição de um automóvel em viagem entre duas cidades foi registrada em função do tempo. O gráfico a seguir resume as observações realizadas do início ao fim da viagem. Tempo (h) Posição (km) 120 100 50 0 1,0 1,8 3,0 a) Indique durante quanto tempo o automóvel per- maneceu parado. b) Calcule a velocidade escalar média do automóvel nessa viagem. 34 (UFG-GO) Para dar uma volta completa numa pista de corrida, dois atletas gastam, respectivamente, 2 minutos e 2,5 minutos. Se o corredor mais veloz corre à velocidade média de 5 m/s, a velocidade média desen- volvida pelo outro atleta é, em metro por segundo: a) 3,5 d) 4,5 b) 3,7 e) 4,7 c) 4,0 35 Uma partícula gira em movimento circular, completan- do 6 voltas a cada 4 minutos. Calcule a velocidade an- gular média dessa partícula em radiano por minuto. 36 (UFMT) A tabela abaixo apresenta as notas obtidas por três candidatos (A, B e C) nas disciplinas de Português, Matemática e Conhecimentos Gerais, num determinado concurso. Admita que o critério para a classificação dos candidatos seja o da média aritmética ponderada e que os pesos das disciplinas sejam, respectivamente, 5, 3 e 2. Candidato Português Matemática Conhecimentos Gerais A 3,0 6,0 5,0 B 4,0 5,0 8,0 C 5,0 x 7,0 Por essas informações, é correto afirmar que o valor mínimo de x, x Z, para que o candidato C seja o primeiro colocado é: a) 5,0 d) 7,0 b) 4,0 e) 3,0 c) 6,0 37 (PUC-PR) Em um grupo de pessoas, 70% não têm curso superior e 30% têm. O salário dos que não têm curso superior é R$ 500,00, e o salário dos que têm é R$ 1.500,00. O salário médio das pessoas do grupo é: a) R$ 800,00 d) R$ 1.000,00 b) R$ 866,00 e) R$ 1.200,00 c) R$ 900,00 38 (UFRN) Uma prova foi aplicada em duas turmas dis- tintas. Na primeira, com 30 alunos, a média aritmética das notas foi 6,40. Na segunda, com 50 alunos, foi 5,20. A média aritmética das notas dos 80 alunos foi: a) 5,65 c) 5,75 b) 5,70 d) 5,80 39 (UFG-GO) A média aritmética das notas dos alunos em uma disciplina é 5,5. Sabe-se que 60% dos alunos obtiveram nota de 5,5 a 10 e que a média das notas desse grupo de alunos é 6,5. Nesse caso, considerando o grupo de alunos que tiveram notas inferiores a 5,5, a média de suas notas foi: a) 2,5 d) 4,0 b) 3,0 e) 4,5 c) 3,5 11 Como a média dos 9 peixes é 2,76 kg, tem-se que ou os 9 peixes têm 2,76 kg cada ou algum deles têm menos de 2,76 kg e, portanto, o pescador é infrator. 25 km/h 15 km/h 20,71 km/h 48 minutos 40 km/h X 3p rad/min X X X X Classe (notas) Frequência (n‚ de alunos) [0; 2,5[ 70 [2,5; 5,0[ 140 [5,0; 7,5[ 240 [7,5; 10,0] 50 F t 5 500 22. a) Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 31 9/14/09 8:25:11 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Distância (km) Distância (km) 14 10 B 4,0 5,0 C 5,0 Por essas informações, é correto afirmar que o valor mínimo de primeiro colocado é: a) 5,0 XX Por essas informações, é correto afirmar que o valor mínimo de x, x Z, para que o candidato C seja o primeiro colocado é: Por essas informações, é correto afirmar que o valor , para que o candidato C seja o d) 7,0 Por essas informações, é correto afirmar que o valor , para que o candidato C seja o Por essas informações, é correto afirmar que o valor , para que o candidato C seja o 32 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 40 O gráfico de linha a seguir descreve as temperaturas médias, em grau Celsius, obtidas no mês de maio de 2009 em determinada região. 15,5 20,0 22,5 30,0 0 5 6 9 11 Temperatura (°C) Número de dias Assinale a alternativa que apresenta a melhor aproxi- mação para a temperatura média diária nessa região em maio de 2009. a) 23,9 °C c) 18,9 °C e) 19,1 °C b) 22,5 °C d) 20,7 °C 41 As alturas, em centímetros, dos 25 jogadores de fute- bol que pertencem a um clube apresentam a seguinte distribuição: Classe (altura em centímetro) Frequência (número de jogadores) [164, 174[ 4 [174, 184[ 10 [184, 194[ 8 [194, 204] 3 Calcule a altura média desses jogadores. 42 Um teste de durabilidade com uma amostra de baterias de automóvel apresentou a seguinte distribuição: 2 4 6 8 10 0 10 40 50 78 72 Frequência (número de baterias) Classe (durabilidade em mês) Qual foi o tempo médio de duração por bateria dessa amostra? 43 Com o objetivo de melhorar o atendimento em um hospital público, foram registrados os tempos de es- pera dos pacientes em determinado dia. O resultado apresentou a distribuição a seguir. 50 100 150 200 250 0 40 24 20 18 Frequência (número de pacientes) Classe (tempo de espera em minuto) a) Qual é a amplitude dessa amostra se os valores 0 min e 250 min pertencem a ela? b) Qual é a amplitude da classe de maior frequência? c) Qual é o tempo médio de espera por paciente nessa amostra? 44 O comprador de uma grande rede de supermercados tem à sua disposição relatórios sobre as vendas dos produtos comercializados nas diversas lojas. Um des- ses relatórios apresenta o gráfico abaixo, que descreve a distribuição das marcas de leite longa-vida A, B, C, D, E e F, vendidas em determinada semana. 5% 10% 15% 20% 25% 25% F A B C D E Considerando a amostra das marcas de todos os li- tros de leite vendidos nessa semana, qual é a moda dessa amostra? 45 Os 12 pacotes de arroz de uma amostra apresentaram as seguintes massas, em quilograma: 5,01 5,00 5,02 4,97 4,93 4,94 4,95 5,01 5,02 4,98 4,90 5,02 Determine a moda e a mediana dessa amostra. 46 As idades, em ano, de 9 pessoas de um grupo são: 5 14 7 k 1 7 8 k 2k 2 5 k 1 7 5 Sabendo que a média aritmética dessas idades é igual a k, determine a moda e a mediana dessa amostra. 47 Uma pesquisa feita com 250 universitários sobre o número de livros que cada um leu em certo ano apre- sentou a seguinte distribuição: 10% 14% 20% 22% 34% 4 livros 5 livros 1 livro 2 livros 3 livros X 183 cm 4,104 meses 250 min 50 123,3 minutos As modas são as marcas A e B, cada uma com 25% de frequência relativa. Mo 5 5,02; Md 5 4,99 Mo 5 19; Md 5 12 Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 32 9/14/09 8:25:18 AM (altura em centímetro) Classe (altura em centímetro) [164, 174[ [174, 184[ [184, 194[ Classe (altura em centímetro) [164, 174[ [174, 184[ [184, 194[ Frequência (número de jogadores) 4 10 8 15 Considerando a amostra das marcas de todos os li- tros de leite vendidos nessa semana, qual é a moda 20% C Considerando a amostra das marcas de todos os li- tros de leite vendidos nessa semana, qual é a moda 25% Considerando a amostra das marcas de todos os li- tros de leite vendidos nessa semana, qual é a moda Considerando a amostra das marcas de todos os li- tros de leite vendidos nessa semana, qual é a moda R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 33 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . a) Qual é a média do número de livros lidos nesse ano por pessoa entrevistada nessa pesquisa? b) Considerando a amostra dos números de livros lidos por todas as pessoas entrevistadas, qual é a moda e a mediana dessa amostra? 48 Após a correção das provas de todas as classes da 2ª série do ensino médio, um professor construiu o seguinte gráfico de barras: 90 80 10 30 40 0 4 5 6 8 9 F r e q u ê n c i a ( n ú m e r o d e a l u n o s ) Classe (nota) Em relação à média aritmética x y , à mediana Md e à moda Mo dessa distribuição, pode-se afirmar que: a) Md 5 Mo 5 x y d) Md , Mo e x y . Mo b) Md 5 Mo e x y . Md e) Md . Mo e x y . Md c) Md 5 Mo e x y , Md 49 (UFMS) Em uma viagem de automóvel, metade da distância foi percorrida com rendimento de 11 km/L de combustível, e a outra metade, com rendi- mento de 9 km/L. O rendimento, em quilômetro por litro, da viagem foi de: a) 9,8 b) 10 c) 10,1 d) 9,9 e) 10,2 50 A equipe de edição de uma produtora selecionou as 50 principais cenas para a montagem de um filme. Como essas cenas totalizam 160 minutos de filmagem e o filme deve ter 120 minutos de duração, devem ser feitos alguns cortes. Após um estudo, a equipe concluiu que é possível manter todas as cenas selecionadas, efetuando cortes, sem perder o essencial de cada uma. Os cálculos mostraram que os 40 minutos de cortes devem ser distribuídos em partes proporcionais aos tempos das cenas selecionadas. A tabela a seguir mostra o número de cenas selecionadas e o tempo de duração de cada uma, antes dos cortes. Número de cenas Tempo de duração de cada cena antes do corte (min) 18 3 11 4 5 6 16 2 O desvio médio absoluto dos tempos dos cortes será de: a) 0,324 min c) 0,520 min e) 0,460 min b) 0,228 min d) 0,380 min 51 Uma revista avaliou o consumo de combustível de dois modelos de automóvel, A e B. Para isso, cada um dos veículos percorreu um mesmo trecho de estrada três vezes: a primeira vez à velocidade v 1 ; a segunda à velo- cidade v 2 ; e a terceira à velocidade v 3 . O desempenho dos dois modelos é mostrado na tabela a seguir. Velocidade Consumo do automóvel A (km/L) Consumo do automóvel B (km/L) v 1 10,3 10,8 v 2 12,7 11,6 v 3 11,2 11,8 a) Calcule o consumo médio de cada modelo, isto é, a média aritmética das medidas de consumo de cada um. b) Calcule a variância do conjunto de medidas de con- sumo de cada modelo. c) O automóvel cujo conjunto de medidas de consumo teve menor dispersão em relação à média aritmética é considerado o que possui melhor desempenho. Qual dos automóveis teve o melhor desempenho? 52 (Fuvest-SP) A distribuição dos salários em uma em- presa é dada na seguinte tabela: Salário (R$) Número de funcionários 500,00 10 1.000,00 5 1.500,00 1 2.000,00 10 5.000,00 4 10.500,00 1 a) Qual é a média dos salários nessa empresa? b) Suponha que sejam contratados dois novos fun- cionários, com salário de R$ 2.000,00 cada um. A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? 53 A tabela a seguir mostra a produção de grãos em dois municípios, A e B, com a mesma área cultivada. Produção de grãos (tonelada) Município A Município B Feijão 54 50 Soja 171 170 Arroz 75 80 a) Calcule o desvio padrão da distribuição da produção em cada município. (Nota: Deixe o resultado indicado, sem aproximar a raiz quadrada.) b) Em qual dos dois municípios a distribuição da produ- ção dos três tipos de grão foi menos dispersa? Justifique sua resposta. 54 (FGV) O gráfico a seguir indica as massas dos objetos de uma amostra. 3 2 1 0 3 4 6 N ú m e r o d e o b j e t o s Massa (kg) Mo 5 1; Md 5 2 2,44 X X X Os veículos A e B tiveram a mesma média de consumo: 11,4 km/L. O automóvel B. A variância de A foi 0,98, e a de B foi 1,9. R$ 2.000,00 Menor No município A, onde o valor do desvio padrão foi menor. A B . ; . 5 5 2 594 2 600 Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 33 9/14/09 8:25:22 AM R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . mento de 9 km/L. O rendimento, em quilômetro por litro, da viagem foi de: a) 50 A equipe de edição de uma produtora selecionou as 50 principais cenas para a montagem de um filme. Como da distância foi percorrida com rendimento de 11 km/L de combustível, e a outra metade, com rendi- mento de 9 km/L. O rendimento, em quilômetro por litro, da viagem foi de: 9,8 A equipe de edição de uma produtora selecionou as 50 principais cenas para a montagem de um filme. Como da distância foi percorrida com rendimento de 11 km/L de combustível, e a outra metade, com rendi- mento de 9 km/L. O rendimento, em quilômetro por litro, da viagem foi de: b) A equipe de edição de uma produtora selecionou as 50 principais cenas para a montagem de um filme. Como 11 km/L de combustível, e a outra metade, com rendi- mento de 9 km/L. O rendimento, em quilômetro por 10,1 d) 9,9 e) A equipe de edição de uma produtora selecionou as 50 principais cenas para a montagem de um filme. Como XX mento de 9 km/L. O rendimento, em quilômetro por 10,2 A equipe de edição de uma produtora selecionou as 50 principais cenas para a montagem de um filme. Como Suponha que sejam contratados dois novos fun- cionários, com salário de R$ 2.000,00 cada um. A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? 53 A tabela a seguir mostra a produção de grãos em dois municípios, A e B, com a mesma área cultivada. variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? A tabela a seguir mostra a produção de grãos em dois municípios, A e B, com a mesma área cultivada. variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? A tabela a seguir mostra a produção de grãos em dois municípios, A e B, com a mesma área cultivada. variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? A tabela a seguir mostra a produção de grãos em dois municípios, A e B, com a mesma área cultivada. Menor Menor variância da nova distribuição de salários ficará A tabela a seguir mostra a produção de grãos em dois 34 Capítulo 1 Estatística: medidas de dispersão R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Acrescentando-se à amostra n objetos, com massa de 4 kg cada, a média não se altera, mas o desvio padrão se reduz à metade do que era. Assim, é correto afir- mar que n é igual a: a) 18 b) 15 c) 12 d) 9 e) 8 55 (Unb-DF) Em um experimento realizado com 6 pa- cientes, cada um deles recebeu, em momentos dife- rentes, um implante de coração artificial. Quando da conclusão do estudo, só o último a receber o implante continuava vivo. Os tempos, em mês, de sobrevivência após o implante, para os 5 primeiros pacientes, são mostrados na tabela abaixo. O 6º paciente recebeu o implante dois meses antes da conclusão do estudo, de forma que só é conhecido que seu tempo de sobrevi- vência x satisfará à desigualdade x . 2. Paciente Tempo de sobrevivência (mês) 1 1 2 1 3 3 4 5 5 5 6 x O desvio padrão s para um conjunto de observações {x 1 , x 2 , …, x n } é definido pela fórmula: s x x n i n 5 2 5 1 2 1 ( ) ∑ em que x y é a média aritmética das n observações. Com base no texto, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a seguir. a) Os 5 primeiros pacientes a receber o implante sobreviveram, em média, 3 meses após o implante. b) O desvio padrão dos tempos de sobrevivência dos 5 primeiros pacientes a receber o implante foi de 2 meses. c) O tempo médio de sobrevivência dos 6 pacientes é uma função crescente de x. d) Qualquer que seja o tempo x . 2 que o 6º paciente sobreviva ao implante, o desvio padrão dos tempos de sobrevivência será maior que o desvio padrão dos tempos dos 5 primeiros pacientes. Questões-desafio 56 Prove que a média geométrica de dois números não negativos é menor ou igual à média aritmética desses números. 57 Usando a propriedade provada na questão anterior, calcule a área máxima que pode ter um retângulo de 24 cm de perímetro. 58 Prove que a média harmônica de dois números positivos é menor ou igual à média geométrica desses números. 59 Prove que a soma dos desvios de todos os elementos de uma amostra de n números, com n > 2, é igual a zero. 60 Em duas empresas concorrentes, A e B, com o mesmo número de funcionários, fez-se um estudo sobre a distribuição de renda salarial entre os trabalhadores. A tabela abaixo descreve a distribuição salarial em cada uma dessas empresas. Classes salariais (R$) Número de funcionários da empresa A Número de funcionários da empresa B [0, 1.000[ 30 25 [1.000, 2.000[ 20 20 [2.000, 3.000[ 20 20 [3.000, 4.000[ 15 35 [4.000, 5.000] 15 0 Em qual dessas empresas há melhor distribuição de renda salarial? Justifique sua resposta. (Nota: Entende-se por melhor distribuição de renda aquela menos dispersa.) R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . X V F F V Ver resolução no Guia do mestre. 36 cm 2 Ver resolução no Guia do mestre. Ver resolução no Guia do mestre. A empresa B tem melhor distribuição salarial. Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 34 9/14/09 8:25:26 AM em que Com base no texto, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a seguir. x y é a média aritmética das Com base no texto, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a seguir. s 5 é a média aritmética das Com base no texto, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a seguir. x x 2 ) é a média aritmética das n observações. Com base no texto, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações a seguir. Classes salariais (R$) [0, 1.000[ [1.000, 2.000[ [2.000, 3.000[ da empresa 30 20 20 da empresa da empresa B 25 20 20 R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . Matemática sem fronteiras Índices de preços Índices de preços são números que agregam e representam os preços de determinada cesta de produtos. Sua variação mede, portanto, a variação média dos preços dos produtos da cesta. Podem-se referir a, por exemplo, preços ao consumidor, preços ao produtor, custos de produção ou preços de exportação e importação. Disponível em: www.bcb.gov.br Acesso em: 23 fev. 2009 Se observarmos a variação de um índice de preços entre dois períodos consecutivos de tem- po, poderemos concluir se estamos pagando mais, ou menos, pela nossa “cesta de consumo” (produtos e serviços que usualmente consumimos). Isso permite avaliar, por exemplo, se o reajus- te do nosso salário está compatível com a variação do índice de preços. Entre os diferentes índices de preços calculados no Brasil, está o Índice de Preços ao Consumidor (IPC). Considerando determinada faixa de renda, o IPC é a média aritmética ponderada das varia- ções de preços dos itens da cesta, de modo que o peso de cada item seja igual à fração que a des- pesa nesse item representa da despesa total. Para exemplificar, vamos estudar o IPC em três anos consecutivos, A, B e C, admitindo, simplificadamente, que a “cesta de consumo” tenha ape- nas dois itens: arroz e feijão. Adotando o ano A como referência, vamos atribuir-lhe o índice de referência 100 (poderia ser qualquer outro valor positivo). Assim: • o índice parcial de cada item da cesta varia proporcionalmente ao preço do item; e • o peso atribuído a cada item corresponde à razão entre o valor gasto com esse item e a despesa total. Suponha que a variação de preços tenha ocorrido conforme a tabela: Ano Arroz Feijão Despesa total (R$) IPC Preço por kg (R$) Índice parcial Consumo (kg) Despesa parcial (R$) Peso Preço por kg (R$) Índice parcial Consumo (kg) Despesa parcial (R$) Peso A 2 100 8 16 16 40 4 100 6 24 24 40 40 100 B 2 100 8 16 16 52 6 150 6 36 36 52 52 134,62 C 4 200 6 24 24 72 8 200 6 48 48 72 72 200 O IPC em cada ano é a média aritmética ponderada entre os índices parciais com os respecti- vos pesos; por exemplo, no ano B o índice é: 100 16 52 150 36 52 16 52 36 52 1 600 5 . 150 150 1 1 5 22 5 400 52 1 7 000 52 134 62 . . , 1 5 Nesse caso, o IPC mostra que o gasto com arroz e feijão aumentou 34,62% do ano A para o ano B. Para calcular o IPC, são consideradas duas faixas de renda: famílias com rendas de 1 a 2,5 salários mínimos e de 1 a 33 salários mínimos. Além disso, são consideradas diversas despesas: alimentação; habita ção; vestuário; saúde e cuidados pessoais; educação, leitura e re creação; transpor tes; e despesas diversas. I A R A V E N A N Z I / K I N O R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . 35 Estatística: medidas de dispersão Capítulo 1 Mat_Paiva_v3_C01(008a035).indd 35 9/14/09 8:25:37 AM positivo). Assim: R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a . A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6 1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 . positivo). Assim: o índice parcial de cada item da cesta varia proporcionalmente ao preço do item; e o peso atribuído a cada item corresponde à razão entre o valor gasto com esse item e a despesa total. Suponha que a variação de preços tenha ocorrido conforme a tabela: positivo). Assim: o índice parcial de cada item da cesta varia proporcionalmente ao preço do item; e o peso atribuído a cada item corresponde à razão entre o valor gasto com esse item e a despesa total. Suponha que a variação de preços tenha ocorrido conforme a tabela: o índice parcial de cada item da cesta varia proporcionalmente ao preço do item; e o peso atribuído a cada item corresponde à razão entre o valor gasto com esse item e a despesa total. Suponha que a variação de preços tenha ocorrido conforme a tabela: o índice parcial de cada item da cesta varia proporcionalmente ao o peso atribuído a cada item corresponde à razão entre o valor gasto com esse item e a despesa total. Suponha que a variação de preços tenha ocorrido conforme a tabela: o peso atribuído a cada item corresponde à razão entre o valor gasto Suponha que a variação de preços tenha ocorrido conforme a tabela: o peso atribuído a cada item corresponde à razão entre o valor gasto Suponha que a variação de preços tenha ocorrido conforme a tabela: