04.Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 1.- El fabricante de cierto tipo de compresor ha encontrado que la vida útil de un compresor, en años, se puede modelar con la siguiente función de densidad: 1.1) 1.2) Si un cliente compró un compresor y ha estado funcionando por lo menos 6 meses ¿Cuál es la probabilidad que falle antes de 18 meses? Cada compresor tiene un costo de 20 u.m. y se vende en 32 u.m. y el fabricante da ciertas garantías. Si el compresor falla antes de 3 meses se devuelve el importe de lo pagado. Si falla entre 3 meses y 6 meses, se compromete a asumir el costo de mano de obra de la reparación que tiene un valor de 5 u.m. ¿Cuál es la utilidad esperada por compresor? 1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación: “Vida útil de un compresor, en años” 1.1) Solución: Procedemos a calcular la siguiente probabilidad condicional: Respuesta: Si el cliente compra un compresor, el que ha funcionado por lo menos seis meses, la probabilidad de que este falle antes de los dieciocho meses es 0,6274. 1.2) Solución: Lo que se debe hacer en este ítem es definir la siguiente variable: “Utilidad de un compresor, en u.m.” En seguida, calculamos las respectivas probabilidades: Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 6 desviación estándar y el porcentaje de variabilidad del tiempo de activación. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Luego. ¿Qué porcentaje supera a su tiempo esperado? 2. para así poder calcular la utilidad esperada: Respuesta: Según las condiciones que posee la utilidad de los compresores. 2..m. y los lentos en 3500 u.7) El costo de producción de un sensor es de 2000 u.5) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 10 sensores elegidos al azar.1) Calcular el valor de k para que sea función de densidad. partimos con que para que densidad.m. Los sensores definidos como rápidos se venden en 5000 u. basándonos en esta propiedad.6) Determinar la probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar el cuatro sensor rápido.m.2 segundos y lento si su tiempo de activación es superior a 1 segundo. como mínimo 3 sean lentos? 2. para que sea una función de Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 7 .m. se debe cumplir lo siguiente: sea función de Por lo tanto. si los restantes se venden en 4000 u.348 u. la utilidad esperada es 8. 2.04.El tiempo de activación de los sensores fabricados por una empresa es una variable aleatoria con función de densidad: Un sensor se dice rápido si su tiempo de activación es inferior a 0. aplicando la formula de esperanza. 2. Se pide: 2.4) De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 segundo. Determine la utilidad esperada en la venta de un sensor. son dos segundos. tenemos: Respuesta: El valor que debe tomar densidad.2) Obtener la función de distribución 2. 2.m.1) Solución: Para calcular el valor de k. 2.3) Determinar: La esperanza. 2) Solución: Para obtener la función de distribución. aplicaremos la fórmula que se muestra a continuación: Finalmente.3) Solución Respuesta: Tiempo promedio o esperado de activación = 0. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 2. que expresa la función de distribución de la siguiente manera: 2.4249 segundos Porcentaje de variabilidad = 50.833 segundos Desviación estándar = 0.04.8099% Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 8 . Respuesta: De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 segundo.5) Solución: Definimos la siguiente variable: “Número de sensores lentos en una muestra de diez sensores elegidos al azar” Luego. 2. el porcentaje que supera a su tiempo esperado. como sigue: Finalmente. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 2. es igual a 0. para así obtener el porcentaje solicitado. por lo que queda expresada de la siguiente forma: En seguida. en una muestra de 15 sensores” Notemos que estamos en presencia de una distribución Pascal o Binomial negativa.6) Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular la probabilidad de encontrar un sensor rápido. o sea que su tiempo de activación sea superior a un segundo. la probabilidad de que sean como mínimo tres lentos. calculamos la probabilidad pedida: Respuesta: La probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar el cuarto sensor rápido. para calcular lo requerido: Luego.04. calculamos la probabilidad pedida: Respuesta: Al elegir al azar entre diez sensores. 2.00059 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 9 . es igual a 18.056%. lo que está dado por: Sea: “Número de sensores examinados hasta encontrar el cuarto sensor rápido.4) Solución: Definimos la probabilidad condicional. como se muestra a continuación: En seguida.7008. corresponde a 0. lo multiplicamos por cien. calculamos la probabilidad de que salga un sensor lento. definimos la variable que se distribuye de forma binomial. calculamos la probabilidad de que sean atendidos en el mesón en menos de 7 minutos: Después. se distribuye exponencial con media 5 minutos. elegidos al azar. definimos la siguiente notación.7) Solución: Sabemos que la utilidad está definida por la siguiente expresión: Calculamos las respectivas probabilidades: Quedando distribuido de la siguiente forma: Finalmente. el tiempo ( ) necesario para atender los pasajeros sin boleto en el mesón. Suponga que los tiempos de atención entre un pasajero y otro son independientes.04. los registros muestren que por lo menos 14 pasajeros fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos?. de la siguiente forma: Distribución Exponencial: 3. y su respectiva distribución: “Número de pasajeros sin boleto que fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 pasajeros atendidos.En una Aerolínea. calculamos la utilidad esperada. entre 15 pasajeros elegidos al azar” Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 10 . 3) Solución: Sea: “Tiempo necesario para atender los pasajeros sin boleto en el mesón” Ya que esta variable está distribuida exponencialmente. Se registra con un “contador” los minutos dedicados a la atención de cada pasajero. tenemos que: Por lo tanto. queda expresado de la siguiente manera la distribución: Luego.. 6 micrómetros. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Finalmente. la probabilidad que nos pide el ejercicio es: Respuesta: La probabilidad de que un camión llegue a la construcción como máximo. corresponde a 0. Distribución Normal 5. es una variable aleatoria distribuida uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos..65. Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 11 . Se sabe que el 2.El espesor de la película fotoprotectora en un proceso de fabricación de semiconductores se distribuye normal con media µ y varianza . 5.. Distribución Uniforme 4. la probabilidad de que los registros muestren que por lo menos 14 pasajeros fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos. corresponde a 0. lo que se ve como sigue: Además. Se considera que los semiconductores tienen una película fotoprotectora de espesor óptimo si fluctúa entre 9 y 13 micrómetros.0845. que van a la construcción de una carretera. 4) Solución: Utilizaremos la siguiente notación: “Cantidad de tiempo que demora el camión en llegar a la construcción. sabemos que la esperanza de la distribución esta dado por: En seguida.04.28% de la películas fotoprotectoras tienen un espesor superior a 13. Determine la probabilidad de que un camión llegue a la construcción como máximo. en minutos” La que se distribuye uniformemente. tres minutos después del tiempo esperado.La duración del trayecto de camiones mezcladores y transportadores de concreto. determinamos la probabilidad requerida: Respuesta: Entre 15 pasajeros atendidos elegidos al azar. tres minutos después del tiempo esperado.4 micrómetros y el mismo porcentaje inferior a 8.1) Determine los valores de la media y de la varianza del espesor de la película. que son y . Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO 5. lo que está dado por: Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 12 . son 11 micrómetros y 1. es: En seguida.44 (micrómetros)2. respectivamente. Respuesta: Los valores de la media y de la varianza del espesor de la película.1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación: “Espesor de la película fotoprotectora de semiconductores” Luego. considerando las ecuaciones ecuaciones obtenemos los valores de e e . ocupamos la información que nos brinda el ejercicio para obtener las ecuaciones correspondientes: Después. la información que nos entrega el problema. 5. las que por medio de un sistema de .2) Se realiza un control de calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que revisar a lo más tres semiconductores hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo? 5.04.2) Solución: Lo primero es calcular la probabilidad de que el Espesor sea Óptimo. 6.1) De los cables que tienen una resistencia superior a 34 (ohmios) ¿Qué proporción de cables se consideran defectuosos? 6. calculamos la probabilidad que nos solicita el problema: Respuesta: La probabilidad de que se tengan que revisar a lo más tres semiconductores hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo. lo que se expresa de la siguiente manera: Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 13 . es 0.2) Se eligen al azar y en forma independiente 10 cables.1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación. 6. calculamos la probabilidad condicional que nos pide el ejercicio: Respuesta: De los que tienen una resistencia superior a 34 ohmios. definimos la notación y la distribución de esta: “Número de semiconductores revisados hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo”.64 (ohmios) 2. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Posteriormente. la proporción de cables que se consideran defectuosos. Finalmente. ¿Cuál es la probabilidad que más de 2 cables resulten defectuosos? 6.2) Solución: Definimos la variable: Número de cables defectuosos en la muestra” La que tiene una distribución binomial. la que distribuye normalmente: “Resistencia de un cable eléctrico de alta tensión” Posteriormente.04.. Un cable se considera defectuoso si su resistencia es inferior a 35 (ohmios).1001 6.La resistencia de un cable eléctrico de alta tensión se considera una variable aleatoria con distribución normal con una media de 36 (ohmios) y una varianza de 0. 1) Solución: Definimos las siguientes notaciones a utilizar: “Petición de conexión que se realiza en el sistema multiusuario que se identifica como . Las peticiones de conexión que se realizan a estos equipos se reparten de forma que. se dice que la petición es fallida. de la siguiente manera: Respuesta: Al elegir 10 cables de forma aleatoria e independientemente. y . se distribuye uniforme entre 4 seg. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Determinamos la probabilidad requerida. procedemos a calculas las respectivas probabilidades de que la respuesta de una petición de conexión supere los 7 segundos. . el 60% se efectúan sobre . ” “Tiempo de respuesta de conexión a las peticiones de conexión en el sistema multiusuario que se identifica como . el 30% sobre el 10% sobre . tiene la siguiente distribución de probabilidad: Si el tiempo de respuesta de una petición de conexión supera los 7 segundos. según sus distribuciones: En seguida.1) Calcule la probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida. que se identificarán como . 7. y en otro caso se considera petición atendida. se segundos.En la red informática de una empresa hay 3 sistemas multiusuario. como se muestra a continuación: Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 14 . y 8 seg. sea fallida.0814 7. Los tiempos de respuestas a estas peticiones son variables aleatorias. determine la probabilidad de que resulten al menos cuatro peticiones de las que se consideran atendidas. en segundos.2) En 5 peticiones de conexión al sistema S1. corresponde a 0. los tiempos de respuesta se expresan de la siguiente manera. exponemos la información probabilística que nos brinda el ejercicio: Luego. expresadas en segundos. " Además. se distribuye exponencialmente en media 5 seg. tal que: i) El tiempo ( ) de respuesta de ii) El tiempo ( ) de respuesta de iii) El tiempo ( ) de respuesta de . por lo tanto.04. 7. en segundos. la probabilidad que más de dos cables resulten defectuosos. seleccionadas aleatoriamente y de forma independiente entre sí.. 7. . como se expresa en seguida: Por último. es igual a 0. entre 5 peticiones de conexión al sistema ” Además. notemos que la variable tiene una distribución binomial. podemos determinar la probabilidad de que la petición de conexión sea considerada atendida. nos dirigimos a determinar la probabilidad requerida por el ejercicio: Respuesta: Entre 5 peticiones de conexión al sistema . corresponde a 0. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Finalmente: Respuesta: La probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida.2) Solución: Sea: “Número de peticiones que fueron consideradas atendidas. seleccionadas al azar e independiente entre sí.63998 Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 15 . la probabilidad de que resulten al menos cuatro peticiones de las que se consideran atendidas. de la siguiente forma: Por otro lado.24296 7.04.