Página 1 de 114 4.1 ZAPATAS AISLADAS CON TRABES DE LIGA Introducción En este capítulo se efectúa la interacción suelo estructura de una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga, considerando la rigidez de la estructura de cimentación. 4.2 Interacción suelo estructura de cimentación 4.2.1 Ecuación matricial de flexibilidades La figura 4.1 muestra una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga. Por conveniencia, se denotará a las zapatas de los extremos con las letras a y b; y a las zapatas intermedias con los números 1, 2, 3,…, n (Fig. 4.1 a). Pa P1 P2 Pi Pn Pb Wa a 1 2 (a) i n b Ra R1 2 Ri Rn Rb Pa P1 P2 Pi Pn Pb 1 2 i n R a0 Rb0 (b) yi L xi d1i d2i dii dni (c) Rbi R ai R' i=1 Fig. 4.1 Cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga; a) cimentación real, b) condición R = 0 y c) condición Ri = 1. Para la utilización del método de las fuerzas. con lo que se obtiene una estructura estáticamente determinada a la que se llama estructura primaria.. n. Se continua con este procedimiento hasta aplicar una carga unitaria Rn=1 en el punto n.2 Descomposición del desplazamiento vertical de una cimentación . se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: d11 R1 + d12 R2 + . En seguida se aplica a la estructura primaria una carga unitaria R2=1 en el punto 2 y se calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1.1 b)... R i = Re acción en la zapata i. también llamado de flexibilidades o método de las deflexiones compatibles. y se le llama condición R2=1.…. + d1n Rn = ∆1 − δ 1F d 21 R1 + d 22 R2 + . + d 2 n Rn = ∆ 2 − δ 2F (4 .. en cada uno de los puntos en donde se retiraron las zapatas intermedias (fig. Después a la estructura primaria se le aplica una fuerza unitaria R1=1 en el punto 1 y se calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1. n. δ iF = Desplazamiento relativo de la zapata i con respecto a las zapatas a y b. A la estructura primaria se aplican las cargas que actúan sobre la estructura de cimentación real. 4.… y Rn=1. se suprimirán las zapatas intermedias. 2.Página 2 de 11 La estructura de cimentación es hiperestática.. y se calculan los desplazamientos ∆i. por lo que para resolverla se utilizará el método de las fuerzas.... 2. a 1 A 1 A 2 A i n F i A n b F 1 2 F 2 i F n Fig.. a esta condición se le llama R1=1. R2=1. + d nn Rn = ∆ n − δ nF donde: d ji = Desplazamiento en el punto j para la condición Ri = 1.. Por compatibilidad de deformaciones para la condición R = 0 y las condiciones R1=1. ∆ i = Desplazamiento en el punto i para la condición R = 0.1) d n1 R1 + d n 2 R2 + . 4. ..4 relaciona las reacciones R1..1 se tiene: d11 R1 + d 12 R2 + . considerando la rigidez de la cimentación.. + d1n Rn = ∆ 1 + δ 1A − δ 1 d 21 R1 + d 22 R2 + .. d 2 n ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d n 2 .….2) δ i = Desplazamiento vertical de la zapata i. δ iA = Desplazamiento del punto i por asentamiento de las zapatas a y b..4 se le llama Ecuación Matricial de Flexibilidades (EMFLE) y se escribe en forma abreviada de la siguiente forma: [d ] R ji i = ∆ i + δ iA − δ i (4.. A la ecuación 4. Rn con los desplazamientos δ1. d nn ⎥ Rn ⎥ ⎦ ∆1 ∆2 = ∆n + δ 1A δ 2A − δ1 δ2 (4. δ F i = Desplazamiento del punto i por deflexión de la estructura de cimentación. R2. δ2.4) δ nA δn La ecuación matricial 4... + d 2 n Rn = ∆ 2 + δ 2A − δ 2 (4 .. como se muestra a continuación: ⎡d ⎢ 11 ⎢ ⎢d 21 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢d n1 ⎢ ⎣ d12 .3) d n1 R1 + d n 2 R2 + .5) donde: . 4..2) como: δ i = δ iA + δ iF donde: (4. (fig. d1n ⎤ R1 ⎥ ⎥ d 22 .Página 3 de 11 El desplazamiento vertical de la cimentación puede descomponerse.…. δn de la estructura de cimentación. Introduciendo la ecuación 4.2 en las ecuaciones 4. considerando estructura de cimentacion rígida.. + d nn Rn = ∆ n + δ nA − δ n El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse en forma matricial. δ an δ 12 .6) Rn Rb δn δb 4. . δn.1 a).3 Ecuación matricial de interacción suelo estructura Nótese que con las ecuaciones matriciales EMA y EMFLE se tienen 2n + 2 ecuaciones con 2n + 4 incógnitas. con lo que el sistema de ecuaciones puede resolverse y obtenerse Ra.2 Ecuación matricial de asentamientos A partir de la ecuación 2.. ⎣ ⎦ Ri = Vector de reacciones de contacto suelo cimentación. Rb y δa. δ 1n δ 22 .. a continuación se muestra la EMA: ⎡δ ⎢ aa ⎢ ⎢δ 1a ⎢ ⎢δ 2 a ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ ⎢ na ⎢ ⎢δ ba ⎣ δ a1 δ 11 δ 21 δ a 2 . 4. δ 2 n δ n1 δ b1 δ n 2 . ∆ i = Vector de deplazamiento para la condición R = 0. δ1.. R2. δb. δ bn ⎥ ⎥ δ 1b ⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ δ nb ⎥ ⎥ ⎥ δ bb ⎥ ⎦ δ ab ⎤ Ra R1 R2 = δa δ1 δ2 (4. δ nn δ b 2 .. por lo que las 2 ecuaciones restantes se obtienen con la sumatoria de momentos igual a cero en las zapatas a y b..….2.9 se obtiene la ecuación matricial de asentamientos (EMA). R1. δ2..Página 4 de 11 ⎤ ⎡ ⎢d ji ⎥ = Matriz de flexibilidades. A continuación se presenta un algoritmo para la solución de estos sistemas de ecuaciones. para la cimentación a base de zapatas aisladas unidas con trabe de liga. como se ilustra en la figura 4.2. Rn... δ iA = Vector desplazamiento por asentamiento de los apoyos a y b. δ i = Vector de desplazamientos verticales.. considerando estructura de cimentacion rígida..…. ..7) (4 .. + δ bn Rn + δ bb Rb De los renglones 1 a n de EMA se tiene: ⎡δ ⎢ 11 ⎢ ⎢δ 21 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢ ⎣ δ 12 . d1n ⎤ R1 ⎥ ⎥ d 22 ....8) δ b = δ ba Ra + δ b1 R1 + δ b 2 R2 + . δ nn ⎥ Rn ⎥ ⎦ δ1 δ2 = δn ⎡δ R + δ R 1b b ⎢ 1a a ⎢ ⎢δ 2 a Ra + δ 2b Rb −⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na Ra + δ nb Rb ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (4. δ 2 n ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ δ n 2 .4): δ1 δ2 = ∆1 ∆2 + ∆n δ 1A δ 2A δn δ nA ⎡d ⎢ 11 ⎢ ⎢d 21 −⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢d n1 ⎢ ⎣ d12 . mientras que la EMFLE posee n ecuaciones......9) Despejando | δ i| de la ecuación anterior: δ1 δ2 δn ⎡δ ⎢ 11 ⎢ ⎢δ 21 =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢ ⎣ δ 12 .11) ..10) Despejando el vector | δ i| de la ecuación (4...Página 5 de 11 La ecuación EMA tiene n + 2 ecuaciones.... δ nn ⎥ Rn ⎥ ⎦ ⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a +⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢ ⎣ δ 1b ⎤ ⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎥ Ra ⎥R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ⎥ ⎦ (4.. δ 1n ⎤ R1 ⎥ ⎥ δ 22 . + δ an Rn + δ ab Rb (4 . d nn ⎥ Rn ⎥ ⎦ (4. se debe reducir la ecuación EMA a un sistema de n ecuaciones: Del primer y último renglón de EMA se obtiene: δ a = δ aa Ra + δ a1 R1 + δ a 2 R2 + . d 2 n ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d n 2 .. δ 1n ⎤ R1 ⎥ ⎥ δ 22 . δ 2 n ⎥ R2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ δ n 2 ... por lo que para poder trabajar con estas ecuaciones simultáneamente.. .....11 tenemos: ⎡δ ⎢ 11 ⎢ ⎢δ 21 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢ ⎣ δ 12 ... d 1n ⎤ ⎤ R1 ⎥⎥ ⎥⎥ d 22 ..Página 6 de 11 Igualando las ecuaciones 4... d 1n ⎤ R1 ⎥ ⎥ d 22 ..10 y 4..13) δ nA A continuación se desarrollara cada uno de los siguientes términos: ⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢ ⎣ δ 1b ⎤ ⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎥ Ra ⎥R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ⎥ ⎦ δ 1A δ 2A y δ nA Termino: ⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢ ⎣ δ 1b ⎤ ⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎥ Ra ⎥R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ⎥ ⎦ (4.12) ⎡ ⎡δ ⎢ ⎢ 11 ⎢⎢ ⎢ ⎢δ 21 ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢δ n1 ⎢⎢ ⎣⎣ δ 12 .. d 2 n ⎥ R 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d n 2 .14) ... δ nn ⎥ R n ⎥ ⎦ ⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a +⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢ ⎣ δ 1b ⎤ ∆1 ⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ∆2 ⎥ Ra = ⎥R ⎥ b ⎥ δ nb ⎥ ∆n ⎥ ⎦ δ 1A δ 2A + δ nA ⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a +⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢ ⎣ ⎡d ⎢ 11 ⎢ ⎢d 21 −⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢d n1 ⎢ ⎣ d 12 . δ nn ⎥ ⎢d n1 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ d 12 . d nn ⎥ ⎥ R n ⎥⎥ ⎦⎦ δ 1b ⎤ ∆1 ⎥ ⎥ ∆2 δ 2b ⎥ ⎥ Ra = ⎥R ⎥ b ⎥ ∆n δ nb ⎥ ⎥ ⎦ δ 1A δ 2A + (4........ d 2 n ⎥ ⎥ R 2 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ d n 2 . δ 2 n ⎥ ⎢d 21 ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ n 2 .. δ 1n ⎤ ⎡d 11 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ 22 . d nn ⎥ R n ⎥ ⎦ (4. δ 2 n ⎥ R 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ δ n 2 . δ 1n ⎤ R1 ⎥ ⎥ δ 22 .. De la figura 4.20) .. 4.16) ψi = xi L y ξi = i L (4.3 Sistema equivalente para la obtención de las reacciones Ra y Rb.17) (4....ψ n ⎤ ξ 2 ....Página 7 de 11 a 1 2 i n b R a0 R b0 Ra R1 R2 Ri Rn Rb Fig.19) Rn (4.15 y 4..3 se obtiene: Ra = Ra 0 − (ψ 1 R1 + ψ 2 R2 + . + ξ n Rn ) donde: (4. + ψ n Rn ) Rb = Rb 0 − (ξ1 R1 + ξ 2 R2 + . ξ n ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ R2 (4.16 en la ecuación 4.14 tenemos: ⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ na ⎢ ⎣ Termino: ⎡δ A ⎢ 1 ⎢ A ⎢δ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢δ nA ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ δ 1b ⎤ ⎡δ ⎥ ⎢ 1a ⎥ ⎢ δ 2b ⎥ ⎢δ 2 a Ra ⎢ ⎥ ⎥R =⎢ ⎥ b ⎢ ⎥ ⎢ ⎢δ na δ nb ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ δ 1b ⎤ ⎡δ ⎥ ⎢ 1a ⎥ ⎢ δ 2b ⎥ ⎢δ 2 a Ra 0 ⎢ ⎥ ⎥R −⎢ ⎥ b0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢δ na δ nb ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ δ 1b ⎤ ⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎡ ψ ⎥⎢ 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ξ1 ⎣ ⎥ δ nb ⎥ ⎥ ⎦ R1 ψ 2 .18) Sustituyendo las ecuaciones 4.15) (4. δ an δ b 2 .2 en la ecuación 4.22) Sustituyendo las ecuaciones 4.... δ bn δ ab ⎤ δ bb ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ R2 (4.7 y 4.21) δ 1A δ 2A δ nA ⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎢ψ 2 =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢ ⎣ ξ1 ⎤ ⎥ ⎥ ξ2 ⎥ ⎥δa ⎥δ ⎥ b ⎥ ξn ⎥ ⎥ ⎦ (4.Página 8 de 11 Sustituyendo la ecuación 4.20 obtenemos: δ 1A δ A 2 δ nA ⎡ψ 1δ a + ξ1δ b ⎤ ⎢ψ δ + ξ δ ⎥ 2 b⎥ ⎢ 2 a ⎥ =⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ψ nδ a + ξ nδ b ⎥ ⎣ ⎦ (4.8 en la ecuación 4..23) Rn Rb .22: Ra ⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎢ψ 2 =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢ ⎣ δ 1A δ 2A ξ1 ⎤ δ nA ⎥ ⎥ ξ2 ⎥⎡ δ ⎥ ⎢ aa ⎥⎢ ⎥ ⎢δ ba ⎣ ⎥ ξn ⎥ ⎥ ⎦ R1 δ a1 δ b1 δ a 2 . . δ bn ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ R2 (4. ξ n ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ R2 + Rn R1 ⎡δ a1 +⎢ ⎢ ⎢δ b 1 ⎣ δ a 2 . a1n ⎤ ⎤ R1 ⎥⎥ ⎥⎥ a 22 .25) Rn Sustituyendo las ecuaciones 4.δ nn ⎥ ⎢d n1 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ d12 .25 en la ecuación 4.... d1n ⎤ ⎡a11 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ d 22 . δ an ⎤ δ b 2 ..19 y 4..15 y 4.16 en la ecuación 4.δ 2 n ⎥ ⎢d 21 ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ n 2 . δ bn ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ R2 Rn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (4.26) ∆n bn ... ψ n ⎤ ξ 2 ..... d nn ⎥ ⎢a n1 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ a12 . ann ⎥ ⎥ Rn ⎥⎥ ⎦⎦ b1 b2 = + ∆1 ∆2 (4.. a 2n ⎥ ⎥ R2 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ a n 2 .......... δ an ⎤ δ b 2 ..24) Sustituyendo las ecuaciones 4.......Página 9 de 11 δ 1A δ A 2 δ nA ⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎢ψ 2 =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢ ⎣ ξ1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ξ 2 ⎥ ⎢ ⎡δ aa ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎣δ ba ξn ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣ R1 ⎡δ ⎥R a1 ⎥ a +⎢ ⎥ R b ⎢δ ⎢ b1 ⎣ δ bb ⎥ ⎦ δ ab ⎤ δ a 2 ...δ 1n ⎤ ⎡d11 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δ 22 ... d 2n ⎥ ⎢a 21 ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ d n 2 ....13 y reordenando términos resulta lo siguiente: ⎡⎡δ ⎢⎢ 11 ⎢⎢ ⎢⎢δ 21 ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢δ n1 ⎢⎢ ⎣⎣ donde: δ 12 ..24 resulta: δ 1A δ 2A δ nA ⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎢ψ 2 =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢ ⎣ ξ1 ⎤ ⎡ ⎥⎢ ξ 2 ⎥ ⎢ ⎡δ aa ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎣δ ba ξn ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎥⎢ ⎡δ ⎥R ⎢ aa ⎥ a0 − ⎢ ⎥ Rb 0 ⎢ ⎢δ ba δ bb ⎥ ⎦ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ R1 δ ab ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ξ ⎣ δ bb ⎥ ⎢ 1 ⎦ δ ab ⎤ ⎡ ⎥ ψ1 ψ 2 ... ...26 se le llama “Ecuación Matricial de Interacción Suelo Estructura” (EMISE).. y puede simplificarse de la siguiente forma: ⎡ ⎤ δ ji + d ji + a ji ⎥ Ri = bi + ∆i ⎢ ⎣ ⎦ La ecuación anterior puede escribirse de la siguiente manera: [ ] [ ] [ ] (4.ψ n ⎢ ⎥− ⎥ ⎢ ξ 2 . a1n ⎤ ⎡ψ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a22 .29) ⎤ ⎡ ⎢ M ji ⎥ Ri = Vi ⎦ ⎣ (4.30) .....28) δ nb A la ecuación 4.27) b1 b2 bn ⎡ ⎡ψ ⎢⎢ 1 ⎢⎢ ⎢ ⎢ψ 2 ⎢ = ⎢⎢ ⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢ψ n ⎢⎢ ⎣⎣ ξ1 ⎤ ⎥ ⎥ ξ 2 ⎥ ⎡ δ aa ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ δ ba ξn⎥ ⎥ ⎦ δ ab δ bb ⎡δ ⎢ 1a ⎤ ⎢δ ⎥ ⎢ 2a ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ ⎢ δ na ⎢ ⎣ δ 1b ⎤ ⎤ ⎥⎥ δ 2b ⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ Ra0 ⎥⎥ R ⎥ ⎥ b0 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎦ (4. ψ n ⎤ ⎥ ⎥ ξ 2 .δ an ⎤ δ 1b ⎤ ⎥ ⎥ δ 2b ⎥ ⎡ ψ ⎥⎢ 1 ⎥⎢ ⎥ ⎢ξ 1 ⎣ ⎥ δ nb ⎥ ⎥ ⎦ .........Página 10 de 11 ⎡a ⎢ 11 ⎢ ⎢a21 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢an1 ⎢ ⎣ a12 .ξ n ⎥ ⎢ ⎦ ⎢ ⎢ψ n ⎢ ⎣ ξ1 ⎤ ⎥ ⎥ ξ2 ⎥ ⎡ δ ⎥ ⎢ a1 ⎥⎢ ⎥ ⎢δ b1 ⎣ ⎥ ξn ⎥ ⎥ ⎦ ⎥− ⎥ δ b2 .. ann ⎥ ⎢ψ n ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎡δ ⎢ 1a ⎢ ⎢δ 2 a − ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ δ na ⎢ ⎣ ξ1 ⎤ ⎥ ⎥ ξ 2 ⎥ ⎡δ aa ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣δ ba ξn ⎥ ⎥ ⎦ ⎥⎢ ⎥ ⎢ξ ⎣ δ bb ⎥ ⎢ 1 ⎦ δ ab ⎤ ⎡ ⎥ ψ1 ⎡ψ ⎢ 1 ⎢ ⎤ ⎢ψ 2 ψ 2 .δ bn ⎥ ⎦ δ a2 .. ξ n ⎥ ⎦ ψ 2 (4. a2n ⎥ ⎢ψ 2 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ an2 . δ2. . y de la ecuación matricial de asentamientos EMA se obtienen los desplazamientos δa. δn y δb. Rn. R2.33 se obtienen las reacciones R1. Por sumatoria de momentos en las zapatas b y a se obtienen Ra y Rb.31) (4. respectivamente.Página 11 de 11 donde: ⎡ ⎤ ⎢ M ji ⎥ = δ ji + d ji + a ji ⎣ ⎦ Vi = bi + ∆ i [ ] [ ] [ ] (4.33) [M ] ji −1 = Matriz inversa de M ji [ ] Con la ecuación matricial 4. …. δ1. ….32) Entonces: Ri = M ji donde: [ ] −1 Vi (4.