Potencial eléctrico.Energía potencial eléctrica. En el modelo de quark de las partículas fundamentales, el protón está compuesto de tres quarks: dos quarks “arriba”, cada uno de ellos con una carga de +2e/3, y un quark “abajo”, con una carga de –e/3. Supóngase -15 que los tres quarks están equidistantes entre sí. Considere que la distancia es de 1.32 X 10 m, y calcule a) la energía potencial de la interacción entre los dos quarks “arriba” y b) la energía potencial eléctrica de todo el sistema. a)LA energía potencial de la interacción entre los dos quarks arriba es dada por la ecuación 1. m = 9.08 X 10 -31 kg. 4. Las cargas mostradas en la figura están fijas en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero. b)Ahora solo debemos considerar la energía potencial del sistema, este es 2. Obtenga una expresión para el trabajo requerido por un agente externo para juntar cuatro cargas como se indica en la figura. Cada lado del cuadrado tiene una longitud a. Suponemos que la energía potencial es cero, así esto implica que: 1 2 por lo que x = 10 cm. 3 4 5. Como el trabajo es el negativo de la energía potencial, basta con deducir la energía potencial del sistema. Está energía potencial es: La figura es una representación idealizada de un núcleo de U (Z=92) el cual está a punto de fisionarse. Calcule a) la fuerza de repulsión que actúa sobre cada fragmento y b) la energía potencial eléctrica mutua de los dos fragmentos. Suponga que los fragmentos son iguales en tamaño y carga, esféricos, y que apenas 238 se tocan. El radio del núcleo de U, inicialmente esférico, es de 8 fm. Considere que el material del que están hechos los núcleos es de densidad constante. 238 Por lo tanto, el trabajo para traer del infinito estas cargas, es Potencial eléctrico Dos superficies conductoras planas y paralelas con un espaciamiento d=1 cm tienen una diferencia de potencial ∆V=10.3 kV. Un electrón es proyectado de una placa directamente hacia la segunda. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón si llega al reposo justo en la superficie de la segunda placa? No tome efectos relativistas. De la ecuación F=ma, como el cambio en la energía potencial es el negativo del trabajo y por la ecuación , tenemos 6. Diez años antes de que Einstein publicara su teoría de la relatividad, J.J. Thomson propuso que el electrón estaba constituido de pequeñas partes y que su masa se debía a la interacción eléctrica de las partes. 2 Además, sugirió que la energía era igual a mc . Haga un cálculo aproximado de la masa del electrón de la siguiente manera: suponga que el electrón está compuesto de tres partes idénticas las cuales se traen desde el infinito y se colocan en los vértices de un triangulo equilátero que tiene lados iguales al radio clásico del -15 2 electrón, 2.82 X 10 m. a) Halle la energía potencial eléctrica total de este arreglo. b) Divida entre c y compare su resultado con el de la masa aceptada para el electrón. El resultado mejora si se suponen más partes. a)La energía potencial total del sistema es: 3. recordemos la ecuación de movimiento anterior tenenemos: como la vf = 0, entonces al reemplazar ad en la expresión c)Al dividir la energía potencial entre c , obtenemos que la masa del electrón es 2 tenemos = 197 pJ. así 7. la cual es ∆U=41 fJ. el potencial en el punto A es =171 kV. Calcule a) el potencial eléctrico generado por el núcleo de un átomo de hidrógeno a la distancia promedio -11 de la órbita del electrón (r=5. Lo anterior se basa en el hecho de que el potencial no cambia. en lugar de la expresión newtoniana K=1/2 mv . r1=0. 10. por lo que: 13. b) en eV. hasta r2. m = 18 mg. 12. b)Como W=fd Tres cargas de 122 mC cada una están colocadas en las esquinas de un triangulo equilátero de 1. Tenemos lo siguiente: 11. tenemos además que el negativo de la energía potencial es igual al trabajo. ¿Cuál es la magnitud del cambio en la energía potencial eléctrica de un electrón que se mueva entre estos puntos? a) en J. De la ecuación . Si se abastece energía a razón de 831 W. En un relámpago la diferencia de potencial entre los puntos de la descarga es alrededor de 1 GV y la cantidad de carga transferida es de unos 30 C. d) ¿Cuánta energía se requiere para ionizar al átomo de hidrógeno? Exprese todo en eV. De un problema anterior sabemos que = 256 kV.57 J. El cambio de la energía potencial es: 15. q1=-5 μC y q2=+2 μC. ¿cuál sería su velocidad final? c) Si pudiera emplearse para fundir hielo. solo que esta vez la velocidad inicial es ceo. centrado en P. es igual. Un electrón es proyectado con una velocidad inicial de 3. b) la energía potencial eléctrica del átomo cuando el electrón está en este radio. ¿se convierte el trabajo externo en energía potencial electrostática o viceversa? Explique. o bien 14.72 m de lado. determine la velocidad real del electrón adquirida al caer a través de la diferencia de potencial calculada en a). ¿a qué distancia del protón es su velocidad instantáneamente igual al doble del valor inicial? Tomando el punto inicial del electrón con un potencial cero. 2 Suponga que una carga Q (positiva) tiene una posición fija en P. Sea q = 3. La diferencia de potencial eléctrico entre puntos de descarga durante una tormenta eléctrica en particular es de 1.5 mm. ¿Cuánto hielo fundiría a 0°C? a)De la ecuación . siendo la trayectoria igual a r 2 – r1. Luego se suelta la segunda partícula y es repelida por la primera. 9.29 X 10 m). centrado en P. a)¿A través de qué diferencia de potencial debe caer un electrón. b)Primero determinemos la energía potencial del electrón para esta diferencia de potencial. ¿cuántos días se necesitarían para mover a una de las cargas al punto medio de la línea que une a las otras dos? Tenemos que 831 W = 831 J/s.Potencial eléctrico. o bien 1. se mantiene inicialmente en reposo a una distancia r 1 de P. Exprese esta velocidad como una fracción apropiada de la velocidad de la luz.23 GeV. . Sabemos que existe una fuerza centrípeta que mantiene a la carga –q girar alrededor de la carga +Q. pues es una propiedad del sistema. al sustituir los valores tenemos: U = 30 GJ. Si el electrón está inicialmente a una gran distancia del protón. Determine su velocidad en el instante en que se encuentre a una distancia r2 de P. El potencial en el punto B. . Encuentre una expresión para el trabajo W que un agente externo debe realizar sobre la segunda partícula con objeto de aumentar el radio del circulo de movimiento. a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en la esquina B y en la esquina A? b) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover a una tercera carga q3=+3 μC desde B hasta A a lo largo de una diagonal del rectángulo? c) En este proceso. Esta fuerza es dada por F=mv/r1. para adquirir una velocidad v igual a la velocidad c de la luz? b) La mecánica newtoniana no funciona cuando v -> c. usando la expresión relativista correcta para la energía cinética. Por lo tanto. o bien. Como el trabajo es igual a la fuerza por la distancia. b)Tomamos los datos del problema anterior. 8. y tomando el potencial en esa distancia d en la cual la velocidad instantánea del electrón es un medio de su velocidad inicial.9mm y r2= 2. según la mecánica newtoniana.0. que tiene la misma carga q.23 GV. de ese modo. y c) la energía cinética del electrón. suponiendo que esté moviéndose en una órbita circular de este radio centrado en el núcleo. Una segunda partícula de masa m y carga (negativa) –q se mueve a velocidad constante en un círculo de radio r 1. En el rectángulo mostrado en la figura.44 X 10 m/s directamente hacia un protón que está esencialmente en reposo. 5 Una partícula de carga q se mantiene en una posición fija en un punto P y una segunda partícula de masa m. a) ¿Cuánta energía se libera? b) Si toda la energía liberada pudiera emplearse para acelerar un automóvil de 1200 kg desde el reposo. entonces tenemos: La energía potencial del sistema es =. los lados tienen una longitud de 5 cm y 15 cm. asi por el principio de la conservación de la energía tenemos que ∆U+∆K=0.1 μC. o 19.5 cm. véase el prob muestra 6. La partícula alfa toca apenas la superficie del núcleo cuando su velocidad invierte la dirección. esfera y r es la distancia desde el centro de la esfera. su potencial cambia típicamente en -1 V antes de completar una revolución.1 cm de diámetro a lo largo de cuyo eje se extiende -4 un alambre de 1. a) Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón. q = 6. entonces el campo eléctrico en esta posición es de E = 24 kV/m. Suponemos un campo uniforme dado por la ley de Gauss como Luego tenemos que /s Por lo tanto 7mm. Luego el cambio de energía potencial del sistema es ∆U = 156 MJ.9 Giga electrones en exceso. Estos granos están en una región que contiene un gas ionizado diluido.17 m de distancia en dirección diametralmente opuesta. se mantiene en equilibrio entre dos placas con una separación entre ellas de 1.9 kV 18. considerando que V=0 cuando r=0. Repita si los puntos A y B se localizan como en la figura b. 17. b) La energía real de la partícula alfa usada en el experimento de Rutherford y sus colaboradores y que condujo al descubrimiento del concepto del núcleo atómico era de 5 MeV. (Vea prob 36. cuando r<R. Si se supone que el vehículo es una esfera de 10 m de radio. El potencial debido a una carga puntual La energía potencial final es: 21. donde q es la carga total en la 26. a) Calcule K. Dos placas conductoras paralelas y grandes están separadas por 12 cm y portan cargas iguales pero -15 opuestas. ¿Cuál es la separación entre las superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren en 48 V? el campo de la lámina es E = 6. . Determine la velocidad de la partícula en esta distancia de aproximación más cercana. que ∆V = 2. ¿Cuántos electrones en exceso ha capturado? El potencial de una caga puntual es bien. además K = -U. 20. calcule aproximadamente la cantidad de carga que recoge. o bien. Calcule la velocidad de escape de un electrón de la superficie de una esfera cargada uniformemente de 1. y el punto B. tenemos con el campo dado por a). 2 22. carga q>0.Potencial eléctrico. La mayor parte del material que forma los anillos de Saturno tiene la forma de diminutas partículas de polvo que tienen radio del orden de 1μm.9 kV. así al despejar q de esta expresión tenemos que q = . Luego tenemos que el sistema recibe energía a razón de 831 J/s.9 X 10 N. por otro lado si solo la fuerza eléctrico -22 El potencial de la esfera en la superficie es de interactúa. Una carga puntual tiene q=1. Una partícula alfa (que consta de dos protones y dos neutrones) tiene una energía cinética K en los puntos alejados del núcleo y está viajando directamente hacia él. 29) 25. por lo tanto. .8 kV/m. que contiene una densidad uniforme de carga. Considérese el punto A. El campo eléctrico dentro de una esfera no conductora de radio R.34 X 10 cm de diámetro. Calcule la diferencia de potencial entre las placas. así al despejar q de esta expresión tenemos que q = .76 X 10 C de carga total. a) Halle la diferencia de potencial VA-VB. Suponga que la partícula no alcanza la superficie del núcleo. determine el campo eléctrico en la superficie de a) el alambre y b) el cilindro. Desprecie las fuerzas gravitatorias. q = 27 813 electrones en exceso.06 m de distancia. Si se aplican 855 V entre ellos.1 De nuevo el potencial de una carga puntual es de nC. ¿cuán cerca del centro del núcleo está la partícula cuando llega instantáneamente al reposo? b) Con una puntería imperfecta en particular. como en la figura a. 5 El potencial es el mismo en la figura b). entonces Luego tenemos que 2 X 10 -22 . que se supone tiene una posición fija en nuestro marco de referencia. tenemos que el potencial eléctrico es de ∆V = 2. cap. un campo eléctrico de 1. Cuando un vehículo espacial se mueve a través del gas ionizado diluido de la ionosfera de la Tierra. y energía cinética inicial K es proyectada desde el infinito hacia un núcleo pesado de carga Q. así que tenemos.22 -15 cm de radio y 1. b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? a)Como E=F/q.4.12 μC/m . Un conductor de Geiger tiene un cilindro metálico de 2. ∆U = e(V) = 2 X 10 J = mv /2 => 2 J. ¿Qué punto está al potencial más elevado? c) Demuestre que el potencial a una distancia r del centro.92 X 10 N/C. En el experimento de Millikan de la gota de aceite. está dado por potencial se considera en r=∞. . b)De la ecuación ∆V = Ed. Una lámina infinita de carga tiene una densidad de carga σ=0. la máxima aproximación de la partícula al núcleo es el doble de la distancia determinada en a). Un núcleo de oro contiene una carga positiva igual a la de 79 protones y tiene un radio de 7 fm.16 μC. ¿por qué este resultado es diferente del de a)? . a) Encuentre el potencial V® dentro de la esfera. está dirigido radialmente y tiene una magnitud de .45 X 10 -14 C. y capturan electrones en exceso. . que está a 2. 24. Si el potencial eléctrico en la superficie de un grano es de -400V. Tenemos que la diferencia de potencial debida a una carga puntual es: 23. Un electrón situado a medio camino entre las dos placas experimenta una fuerza de 3. a)Si la puntería es perfecta. ¿A qué conclusión llega usted?. Por lo tanto el tiempo necesario para cambiar la configuración del sistema es: Cálculo del potencial a partir del campo 16. ¿Cuál es la diferencia de potencial eléctrico entre un punto en la superficie y el centro de la esfera? Si q es positiva. De la ecuación ∆V = Ed. que está a 1.1. donde el cero de Una partícula de masa m. Si este campo fuese el mismo en toda la superficie. tomamos el cambio de energía cinética igual al cambio de la energía potencial en los puntos dados. entonces ambas cargas estarán a una distancia d la una de la otra. a) cuando V=0 y b) cuando E=0. ¿cuál sería el potencial eléctrico de un punto en la superficie? Tenemos lo siguiente. c) ¿Es también un círculo la equipotencial V=5V? Como la diferencia de potencial en un punto sobre el eje x que interseque con el círculo es cero tenemos: 33. para un campo eléctrico uniforme. así: Pero tomamos r2 = x+d/2. a) ¿cuál es el radio de la gota? b) Si dos de tales gotas de la misma carga y radio se combinan para formar una sola gota esférica ¿Cuál es el potencial en la superficie de la nueva gota así formada? Tratamos a la gota como una carga puntual con toda su carga contenida en su centro. y además la carga de la molécula es de 10e. a)Para la figura. 28. tenemos que la velocidad a la distancia pedida es v. Por otro lado en punto donde el campo sea cero se localiza entre ambas cargas. Halle a) la ubicación xe del centro del círculo y b) el radio R del círculo. cuando V=0. y además este sitio debe estar más cercano a la carga q. Si q=0 el potencial también será cero y esto concuerda con nuestra expresión hallada.34 X 10 Cm. . Luego por el principio de la conservación de la energía tenemos – Ki + Uf = 0 => Uf = Ki.Potencial eléctrico. pues aquí las flechas de campo son opuestas. y r1 = x-d/2. ubique los puntos. se debe cumplir que q + q = qi = qf. Con ∆V el potencial debido a la carga puntual Q y r la distancia en la cual la partícula q llega al reposo.VB b) ¿se reduce su resultado a la respuesta esperada cuando d=0? ¿Cuándo a=0? ¿Cuándo q=0? Primero calculamos el potencial en los puntos A y en B. Supóngase que la carga negativa de una moneda de cobre de un centavo fuese retirada y se llevara a una distancia lejos de la Tierra – quizá a una galaxia distante – y que la carga positiva estuviese distribuida uniformemente sobre la superficie de la Tierra. recuerde también que d=p/q. si los hay. la diferencia de potencial se hace infinita y no existe cuando a=0. la diferencia de potencial es cero. Así: 32. Por nuestra relación conforme a -> 0. pero al inicio U=0. por lo que el radio final de la doble gota será Por la conservación de la carga. así 31. en donde D es la unidad de debye con un valor -39 de 3. así que La molécula de amoniaco NH3 tiene un momento dipolar eléctrico permanente igual a 1. Consideré únicamente los puntos sobre el eje. encuentre una expresión de VA.Así que: Una gota esférica de agua con una carga de 32 pC tiene un potencial de 512 V en su superficie. Como la partícula q llega al reposo entonces su energía cinética es cero y su energía potencial final es diferente de pero contrario a su energía potencial inicial que es cero. Potencial debido a un conjunto de cargas puntuales Una carga puntual q1=+6e está fija en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. 27. Finamente de la ecuación del potencial de una carga puntual tenemos que: Con este resultado si d=0. Si a=0. como se muestra en la figura. Por lo tanto la distancia es: Para una distancia del doble de la anterior.. y tomamos como punto de referencia el punto en su superficie. y=0. y su masa será del doble. uniformemente en la superficie de la tierra tenemos que el campo es dado por A menudo se observa un campo eléctrico de aproximadamente 100 V/m cerca de la superficie de la Tierra. asi por la ecuación del potencial de una carga puntual tenemos que: al despejar r. tenemos que el voltaje del dipolo es: 30. 29. lo cual es cierto pues en este punto A=B y tiene una carga – q y otra +q a la misma distancia. Un punto donde V=0 sería donde se tendría que tener en el infinito o bien a una distancia lo suficientemente lejos de ambas cargas. tomando d igual al radio terrestre. en un círculo centrado en el eje X.} De la figura.6 nm. Calcule el potencial eléctrico debido a una molécula de amoniaco en un punto alejado a 52 mm a lo largo del eje del dipolo. Luego la diferencia de potencial es La densidad de la gota es la misma que al inicio. tomando el campo eléctrico distribuido . y una segunda carga puntual q2=-10e está fija en x=9. ¿En cuánto cambiara el potencial eléctrico en la superficie de la Tierra? . pero tomemos q=σA.47 D. El lugar geométrico de todos los puntos en el plano XY. Por lo tanto la carga de la gota doble es 64 pC. así que En un punto arbitrario el potencial es dado por En la figura. hasta una posición final. ¿Cuánto trabajo debe realizarse? c)¿Cuál es la energía potencial U de la configuración cuando la tercera carga está en su lugar? donde V0 es el potencial en la superficie de la lámina. a)¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto C? b) Luego se lleva a una tercera carga Q=+1. Considere el elemento dq. sobre la lámina. pero el segundo termino tiende a cero pues r>>d.91 μC lentamente desde el infinito hasta C. en donde r es la distancia desde el centro del anillo a cualquier punto sobre él. demuestre que V(r) para los puntos en el eje hirizontal. Por lo tanto el trabajo será: 35.48 m de radio que se encuentra en el plano YZ con su centro en el origen.07 m. a) ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico de la lámina cuando una pequeña carga de prueba positiva q0 se lleva desde una posición inicial. . Tenemos: 2 2 . así como .93 pC está ubicada sobre el eje x en x=3. Finalmente el diámetro del circulo es de 18 nm y por lo tanto el radio es de 9nm. como se muestra en la figura 34.2 nm. Luego nos interesa integrar desde r=a hasta r=b y al sustituir el valor de dq=σA. por lo tanto.Potencial eléctrico. con R el radio del anillo. ubicada a una distancia perpendicular z de la lámina? b) Use el resultado de a) para demostrar que el potencial eléctrico de una lámina infinita de carga puede escribirse como 34. El potencial de un anillo con carga. así que solo consideraremos el primer término. suponiendo que r>>d. Ahora tomemos como punto de referencia un puto sobre el eje –x donde V=0. Con x la distancia del origen al intersección del eje –x con el circulo V=0. de canto. el potencial dV debido a este elemento esta dado por la ecuación . Tenemos la siguiente ecuación El potencial eléctrico en el punto C. por superposición 38. Una partícula que tiene una carga de -5.96 cm.8 – 9nm) = -5. donde r = 2 -1/2 d. 36. Demuestre que el potencial en el centro del anillo está dado por Como r>>d el termino se puede reescribir como o bien. es Además por la ley de Gauss sabemos que el campo debido a la lamina infinita de carga es E=σ/2ϵ0.13 μC están fijas en el espacio separadas por una distancia d=1. Para la configuración de la figura. por lo tanto el trabajo de pasar a la carga de prueba de la distancia x al origen será:328 Calculemos el campo debido a un dipolo y la carga aislada q.12 nC está distribuida uniformemente alrededor de un anillo de 1. de radio 3 interna a y radio externo b. además el punto xc está en una distancia del origen de (3. Una carga eléctrica de -9. en el punto P. una lámina “infinita” de densidad de carga σ. así. La figura muestra. El potencial eléctrico de las distribuciones continuas de carga. con A el área del anillo igual a π(b -a ). La carga se distribuye de modo que la densidad de carga está dada por σ = k/r . Dos cargas q=+2. no conductor. Una cantidad total de carga positiva Q es distribuida en un anillo circular plano. aquí. está dado por 37. Calcule el trabajo realizado por un agente externo para mover la carga puntual hasta el origen. El cambio de El potencial a una distancia x perpendicular al centro del anillo es energía potencial eléctrica de la carga q0 al pasar del punto x al origen es el negativo del trabajo. con x1 la distancia del origen a la carga q1. así que VB – VA = 2. Al moverse desde A hasta B a lo largo de una línea de un campo eléctrico. de carga por unidad de longitud –λ.94 X -19 10 J sobre un electrón en el campo ilustrado en la figura. 44. La diferencia de potencial de C y A es la misma que anteriormente pues C esta al mismo potencial que el punto B. 42. Dos cargas lineales y paralelas al eje z.) Por otro lado como Q= Superficies equipotenciales 39. 41. realizó un trabajo de 3. .5 m.94 X 10 J. Las líneas de carga. De los intervalos mostrados. (SUG: Considere el comportamiento cerca de cada carga puntual y a distancias grandes del par de cargas. así que al despejar r de la ecuación anterior y al sustituir los valores tenemos que el radio de la superficie equipotencial de 30 V es de r = 4. de carga por unidad de longitud +λ.46 V.5 X 10 C. c)Grafique Ex contra x. está a una distancia a a la derecha de este eje. ¿Cuáles son las diferencias en el potencial eléctrico a) VB – VA . Una. 40. y c) VC – VB? y al moverse el electrón de A a B. Y por lo tanto la diferencia de potencial entre el punto B y C es cero. Supóngase que el potencial eléctrico varía a lo largo del eje x como se muestra en la figura.Potencial eléctrico. a una distancia r de la carga el potencial es . este realiza un trabajo de 3. a)¿Cuál es el radio de una superficie equipotencial que tenga un potencial de 30 V? b) Estarán uniformemente espaciadas las superficies cuyos potenciales difieren en una cantidad constante (digamos. 1 V)? Como las superficies equipotenciales de una carga puntual son esferas concéntricas. 43. entonces la diferencia de potencial del punto B a A. La otra. Considérese una carga puntual con q -8 = 1. determine los intervalos en los que Ex tiene a) su máximo valor absoluto y b) el mínimo. Dibuje algunas líneas de fuerza y las intersecciones de algunas superficies equipotenciales con el plano de la figura.) Dibuje algunas de las superficies equipotenciales. paralelas y largas tienen las densidades lineales de carga relativas mostradas en la figura. es W/q0. b) VC – VA . En la figura trace cuantitativamente a) las líneas de fuerza y b) las intersecciones de las superficies equipotenciales con el plano de la figura. está a una distancia a a la izquierda de este eje (las líneas y el eje z están en el mismo plano. -19 Como Cálculo del campo a partir del potencial. a) Si se considera que el potencial electrostático en el infinito sea cero. así tomamos el valor de r en la ecuación para V como r = (x + y + z ) . Si los componentes que no aparecen en las derivadas parciales son cero. tenemos: Sabemos que Dos placas metálicas paralelas y grandes están separadas por 1. 2 está dado por V = 1530 x . y que ahora está en desuso. así que el componente y . a lo largo del eje y. entonces se tendrá: 49. por lo que tenemos que . encuentre V en el punto P sobre el eje y. 47. De la ecuación encuentre una expresión para E en los puntos axiales de un anillo cargado uniformemente. así que: => el ángulo es cero pues las equipotenciales son perpendiculares a las líneas del campo. La placa negativa hace tierra y se considera que su potencial es cero. 46. está en metros. c)El campo en esta posición por la ley de Gauss es igual que en secciones anteriores. el potencial es igual a la mitad del valor en el extremo izquierdo de la varilla? Tenemos que Tenemos que r = (x + y ) de x=0. por lo tanto . . b) Use el resultado de a) para calcular la componente del campo eléctrico en P en la dirección y (a lo largo de la línea). b) Determine la componente vertical E y del campo eléctrico en P a partir del resultado de la parte a) y también por el cálculo directo. 51. ¿cuál es el campo eléctrico es esta región? Como ∆V = ∆U/q0 = -W/q0 = Fd/q0= Ed => E = V / d. Tenemos que el potencial de un disco cargado en un punto x perpendicular a su centro es Luego como E cosθ=-dV/dy Por simetría el único componente del campo eléctrico es en la dirección z.52 V. Calcule el gradiente radial del potencial. Supongamos que la línea se comporta como una carga puntual en el punto P. E = 5. usando el resultado de la parte a)? d) ¿A que distancia de la varilla. En el problema 49 del cap 29. Si el potencial en medio de las placas es de +5. como . 45.52V / 0. 48. en la superficie de un núcleo de oro. c)¿Por qué no puede determinarse Ez. como se muestra en la figura. existe una distribución de carga por unidad de longitud dada por λ = kx. donde x va y como . anterior: Por otro lado.28 cm. la componente horizontal del campo eléctrico en P. en V/m. si suponemos que E es perpendicular a las equipotenciales. trata del cálculo de Rutherford del campo eléctrico. quién dio una distancia r del centro de un átomo. entonces derivando la ec. así que el potencial debido a la línea de carga en el punto P es . la distancia desde una de los placas.48 cm y contienen cargas iguales pero opuestas sobre sus superficies enfrentadas. pero q=λL. c) Determine la componente del campo eléctrico en P en una dirección perpendicular a la línea recta. hasta x=L. de longitud L. El potencial eléctrico V en el espacio entre las placas cierto de tubo al vacío. a)Demuestre cómo la expresión para el campo eléctrico dada en el problema 49 del cápitulo 29 se deduce de esta expresión para V. z). así que el potencial es: 50.74 cm = 746 V/m.Potencial eléctrico. donde V está en volts si x. Una carga por unidad de longitud λ está distribuida uniformemente a lo largo de un segmento de línea recta de longitud L. Rutherford dio también el potencial eléctrico como . a) Determine el potencial (eligiendo que sea cero en el infinito) en un punto P a una distancia y de un extremo del segmento cargado y en línea con él. donde k es una constante. Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico en x = 1. Luego tendremos: En una varilla. Por lo tanto tenemos: 2 2 1/2 y dq = λdx=kxdx. b)¿Por qué esta expresión para V no tiende a cero cuando r->∞ ? 2 2 2 1/2 Tomamos el vector de posición r=(x. que se encuentra a lo largo del eje x con uno de sus extremos en el origen (x=0). y. ya sea que atraviese o no a la esfera. que tiene un radio de 13 cm y una carga de -6. En los lo cual nos da Luego por la conservación de la carga q1 + q2 = -6. y q1 = 2q/3. al calcular la fracción de los electrones en exceso inicialmente presentes en la esfera que permanecen después de que la esfera ha sido “aterrizada”. Una esfera metálica. . q2 = 38 nC y q1 = 18. lo cual nos da lo cual nos da . ¿A qué potencial elevaría dicha carga a una esfera conductora aislada de 16 cm de radio? . con r la distancia del origen de la esfera al punto de observación. . Dos esferas conductoras una de 5. Un cascaron esférico de paredes delgadas. Como σ=q/A. Como los potenciales son iguales de las dos esferas. 55. Luego al resolver tenemos: q2 = q/3. V1 = V2. y así V=r σ/ϵ0 con r=0 hasta 1 y σ = q/4πr .2 nC es puesta en contacto eléctrico con la Tierra.2 cm de radio. así que el potencial será de V = 843V. c) desde un punto a otro dentro de la esfera. con y=0. Por lo tanto el potencial será. a) ¿Cómo se relacionan los potenciales finales V1 y V2 de las esferas? b) Halle las cargas finales q1 y q2 sobre las esferas en términos de q. . Se conectan ahora las esferas con un alambre delgado y largo. del campo será: El campo viene dado por . El potencial es el mismo es decir. tomando el ángulo como 0° y ds como dr componente radial. son: 58. Y resolviendo para obtener la carga final de la esfera q1. Si la tierra tuviera una carga neta equivalente a 1 e/m de área superficial (una hipótesis muy alejada de la realidad) a) ¿ Cuál sería el potencial de la tierra? b) ¿Cuál sería el campo eléctrico debido a la tierra justo por arriba de su superficie? 59. efectivamente.6 nC y están muy lejos una de la otra. debe tener el mismo potencial en todo punto interior del conductor. Considérense dos esferas conductoras separadas por una gran distancia. Así tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. contienen cada una una carga de 28. Para los puntos dentro del cascaron el campo eléctrico es cero y para los puntos fuera o en la superficie del conductor el campo es dado por la ecuación .6 nC) = 56. V = 115 mV. teniendo. al despejar q se tiene que q = 3. Una carga de 15 nC puede producirse por simple frotamiento.48 Además por la conservación de la carga tenemos. Para los puntos dentro del conductor tenemos que el potencial es dado por puntos fuera del conductor el potencial es dado por .2 X 10 C = 137 ne. y por la ecuación origen. contiene una carga de 3 μC. Demuestre que.Potencial eléctrico. b) desde un punto a otro sobre la superficie. delgado y conductor que se carga uniformemente a una densidad 3 σ(C/m ) constante de carga. Por lo tanto.2 nC = 378 Te. de donde R2 = 2R1. igual al campo debido a un conductor en su superficie. ¿Cuánto trabajo implicaría mover una pequeña carga de prueba positiva q0 a) desde la superficie de la esfera al interior. Si posteriormente las esferas se conectan por medio de un alambre conductor.2 cm de radio cuyo potencial es de 215 V. . σ = 12. a través de un pequeño orificio. 1 y 2. este proceso descarga a la esfera. Dibuje a) la magnitud del campo eléctrico E y b) el potencial V contra la distancia r desde el centro del cascaron. 54. Luego resolviendo para las cargas tenemos. Finalmente el potencial es.4 nC. los potenciales iguales de las dos esferas. entonces 53. 2 De la ecuación Un conductor aislado.4 nC/m .4 nC. y con E=σ/ϵ0. . Si todo el conjunto se encuentra a algún potencial elevado V. La esfera más pequeña tiene inicialmente una carga positiva q y la más grande está inicialmente sin carga. El valor del potencial en el extremo izquierdo de la varilla es. el doble del diámetro que el de la primera. Como el potencial esta dado por la ecuación Y el valor medio de este potencial es . de 20 cm de radio exterior. que q1 + q2 = 2(28. Como al inicio se encuentran al mismo potencial la esfera y la Tierra entonces tenemos 57. Encuentre a) la carga y b) la densidad de carga sobre la superficie de una esfera conductora 15. como todos los puntos están a la misma distancia del Considérese un cascaron esférico aislado. = 0. independientemente de la trayectoria. y d) desde cualquier punto P fuera de la esfera sobre cualquier trayectoria. encuentre a) la carga final sobre cada esfera y b) el potencial de cada una de ellas. así que y por otro lado por la ley de conservación de la carga. Considere que la Tierra sea un conductor esférico de 6370 km de radio y que inicialmente esté descargada. q1 + q2 = q.6 nC. conductor. la segunda. de regreso a P? e) Para las condiciones dadas. ¿importa o no que la esfera sea conductora? 2 Tenemos que σ = q / A. -26 tenemos q1 = 2. luego igualando con el potencial en un punto y tenemos: 56. sale r de la integral y así. EL componente z no puede determinarse de a) por que no está ésta variable en la ecuación.88 cm de radio y la otra de 12. donde se 2 52. Use un razonamiento físico más que matemático. Una esfera metálica cargada de 16. El recubrimiento de 8 níquel tiene una actividad de 10 mCi (= 10mCuries = 3. El objeto metálico de la figura es un perfil de revolución alrededor del eje horizontal. Como W = Fd. a) Halle el potencial eléctrico en la superficie esférica. Si el objeto está cargado negativamente. cada uno con una carga de –e. no conductor. Como la fuerza eléctrica es conservativa entonces no importa la trayectoria y el potencial sigue siendo cero. Una esfera de cobre cuyo radio es de 1. No importa que la esfera sea o no conductora pues por el teorema de los cascarones se tiene el resultado así como por la ley de Gauss para conductores. y aislada de su entorno. con F la fuerza eléctrica. 61.08 cm tiene un recubrimiento superficial muy delgado de níquel.Potencial eléctrico. emitiendo cada átomo un electrón conforme se desintegra. La mitad de estos electrones entran a la esfera de cobre. La otra mitad de los electrones se escapa. pero al estar dentro no recibe fuerza alguna por los teoremas de los cascarones. La esfera está colgada de un hilo largo.2 cm de radio tiene una carga nta de 31. 62. dibuje algunas equipotenciales y líneas de fuerza. b)¿A qué distancia de la superficie de la esfera ha decrecido el potencial en 550 V? Dos esferas conductoras idénticas de 15 cm de radio están separadas por una distancia de 10 m. siendo 60.5 nC. depositando cada uno de ellos 100keV de energía. Todos los puntos dentro o fuera de la esfera tienen el mismo potencial entonces al moverla de un sitio a otro dentro del conductor o de un punto a otro en la superficie. 63. Por lo tanto el trabajo es cero. ¿Cuánto tiempo le tomará al potencial de la esfera aumentar en 1000V? . el potencial es constante y asi el trabajo será cero pues W = -∆U = ∆V q0 = 0q0. ¿Cuál es la carga sobre cada esfera se el potencial de una es de +1500 V y el de la otra es de -1500 V? ¿Qué suposiciones ha hecho usted? Como el sistema esta bajo la misma magnitud de potencial entonces al ser también los radios y de las carga iguales entonces las cargas deben ser iguales pero opuestas.7 X10 decaimientos radiactivos por segundo). Algunos de los átomos de níquel son radioactivos.