FatelaPREUNIVERSITARIOS Matemática: Guía Nº 4 “GEOMETRÍA” ÁNGULOS : Un ángulo es un sector o región de plano limitado por dos semirrectas que parten desde un mismo punto llamado vértice. Semirecta Ángulo Semirecta Vértice Según su amplitud los ángulos se clasifican en: 0° 〈 α 〈 90° α = 0° Nulo Agudo α = 90° Recto 90 〈 α 〈 180 ° Obtuso α = 180° Llano Convexos 180 〈 α 〈 360 ° Cóncavo α = 360° Pleno Ángulos Opuestos por el Vértice : α β Son de igual amplitud α=β MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 1 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS Complementarios β α Suplementarios α + β = 180º β α α + β = 90º β α Consecutivos β α Adyacentes, α + β = 180º Ángulos entre paralelas Correspondientes β α α= β Alternos Internos α = β α β Conjugados α + β = 180º β Internos α α α + β = 180º β Externos α = β β α Externos MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 2 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS TRIÁNGULOS Según sus lados se clasifican en: Equilátero Isósceles Escaleno Según sus ángulos interiores se clasifican en: hipotenusa cateto cateto Acutángulo Todos sus ángulos son agudos Rectángulo Un ángulo interior recto Obtusángulo Un ángulo interior obtuso Suma de los Angulos Interiores de un Triángulo: En el vértice B : α' + β + γ’ = 180º B α’ β α A γ C α’ = α y γ’ = γ (por ser Alternos Internos entre paralelas) γ’ α + β + γ = 180º La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º En todo triángulo equilátero, además de ser iguales sus tres lados también son iguales sus tres ángulos interiores y por lo tanto igual a 60º cada uno. En todo triángulo isósceles se cumple: MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 3 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS 1) Tiene dos lados iguales y uno desigual. 2) Tiene dos ángulos interiores iguales y uno desigual. 3) La altura correspondiente a la base desigual, divide en dos partes iguales a dicha base. 4) Esta altura es también bisectriz del ángulo desigual, o sea que divide en dos partes iguales a dicho ángulo. α α α 2 2 b/2 b/2 b En los triángulos rectángulos se aplica el Teorema de Pitágoras, que dice : “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Se llaman catetos a los lados que forman el ángulo recto, y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. La hipotenusa es siempre el lado de mayor longitud a2 = b2 + c2 cateto b a hipotenusa cateto c En los triángulos oblicuángulos, que son triángulos cualquiera (no rectángulos) se puede aplicar los teoremas del seno y coseno. Para que estos Teoremas tengan validez y sean fáciles de recordar, debe llamarse “α” al ángulo opuesto al lado “a”, “β” al ángulo opuesto al lado “b” y “γ” al ángulo opuesto al lado “c”. Teorema del Coseno b α γ a β c Teorema del Seno sen α sen β sen γ = = a b c a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c. cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c. cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b. cos γ MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 4 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS PERÍMETROS Y SUPERFICIES DE FIGURAS PLANAS FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE P=l+l+l+l CUADRADO l P=4.l Sup = l . l Sup = l2 RECTÁNGULO b L TRIÁNGULO h b l h P = b +h +b +h Sup = b . h P = 2.b + 2.h P=b+L+l Sup = b.h 2 TRIÁNGULO ISÓSCELES l h b l l P=l+l+b Sup = P = 2.l + b b.h 2 TRIÁNGULO RECTÁNGULO h b P=b+h+l Sup = b.h 2 PARALELOGRAMO h b l P=b+l+b+l Sup = b . h P = 2.b + 2.l MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 5 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE d P=l+l+l+l ROMBO D l Sup = P=4.l D.d 2 d l ROMBOIDE D L L l P = l + l +L +L Sup = P = 2.l + 2.L D.d 2 b TRAPECIO l h B L P = B + b + L + l Sup = (B + b ) 2 .h TRAPECIO ISÓSCELES b l h B l P=B+b+l+l Sup = P = B + b + 2.l (B + b ) .h 2 b TRAPECIO RECTÁNGULO P=B+b+h+l h B l Sup = (B + b ) .h 2 MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 6 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE Sup = π . R2 R CÍRCULO P=π.D P=2.π .R D Sup = π . 2 2 D l POLÍGONO REGULAR de “n” lados Sup = π . D2 4 Sup = P=n.l Ap n . l . Ap 2 P. Ap Sup = 2 SUPERFICIE Y VOLUMEN DE CUERPOS CUERPO SUPERFICIE Lateral y total VOLUMEN Sup lat= 4 . a2 CUBO a a a Sup tot = 6 . a 2 Vol = a3 Sup lat.= 2.a.c + 2.b.c Paralelepípedo a c b St = 2ab + 2bc + 2ac Vol = a.b.c MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 7 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS CUERPO SUPERFICIE Lateral y total VOLUMEN PRISMA RECTO h V = Sup Base . h R Sl = 2π.R.h h CILINDRO h R 2π.R h R St = 2π.R.h+2π.R2 St = 2π.R(h+R) Slat = π.R.g g Vol =π. R2. h h CONO g R 2π.R St = π.R.g +π.R2 1 Vol = π .R 2 .h 3 R St = π. π.R.(g+R) ESFERA R Sup = 4.π.R2 4 Vol = π .R 3 3 PIRÁMIDE h 1 Vol = Sup( base ) .h 3 MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 8 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO : RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS Rectas Oblicuas R1 R2 Rectas Perpendiculares R1 R2 Paralelas Disjuntas R1 R2 Paralelas Coincidentes R1 ≡ R2 MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 9 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS Trabajo Práctico Nº 4: “Cálculos Geométricos” 4.1) Calcular el valor exacto (usando números irracionales cuando corresponda) del perímetro y el área de las siguientes figuras planas. a) 6m b) 3. 2 cm 2m 2. 8 cm d) c) 12 cm 2. 3 m 3 cm 27 cm e) f) 3 5m 2. 5 m 3. 2 cm 2. 2 cm g) 5m h) 18 m 8m 3 cm 9 cm 50 m 8 cm MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 10 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS 4.2) Calcular las dimensiones (radio y altura) de un cilindro de 500 cm3, cuya altura es el doble del diámetro. 4.3) ¿Cuál es el radio (en cm) de una esfera cuya capacidad es de 6 800 cm3? 4.4) Se dispone de una pieza metálica de forma cilíndrica con 5 cm de radio y 12 cm de altura. Si dicha pieza se funde para formar una esfera: ¿Cuál será el radio de la esfera que podrá formarse con ese material, si no se pierde nada del mismo? 4.5) ¿Cuál es la superficie de una esfera de 12 cm de diámetro? 4.6) ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuya altura es el triple del radio y cuya superficie lateral es de 120 cm2? 4.7) Calcular la superficie de un triángulo isósceles rectángulo cuyo perímetro es igual a 48 m. 4.8) Calcular el volumen de un cono cuya base circular tiene un área de 25 cm2 y cuya altura es cinco veces su diámetro. 4.9) Calcular el volumen de un cilindro cuyo radio es la mitad de la altura, si se sabe que su superficie lateral es de 55 cm2. 4.10) Calcular la generatriz de un cono de 630 cm3 si la razón entre el radio y la altura es 2 : 3. 4.11) ¿Cuál es el volumen de una esfera que tiene una superficie total de 45 cm2? 4.12) ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya superficie total es de 54 cm2? 4.13) Se dispone de un prisma recto con un volumen de 125 cm3. Si la base este prisma es un trapecio cuyas bases miden 8 y 12 cm con una altura de 4 cm: ¿Cuál es la altura del prisma? 4.14) Calcular la superficie de un triángulo isósceles cuya base desigual mide 8 m si su perímetro es de 18 m. 4.15) Calcular la superficie de un octógono regular cuyo perímetro es de 32 cm? MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 11 -12 Fatela PREUNIVERSITARIOS Resultados del Trabajo Práctico N° 4: "Cálculos Geométricos" 4.1) a) P = 4 10 m b) P = 14 2 cm c) P =4 3π m ≅ 21,77m d) P = 3 + 7 3 cm e) P = 8 2 cm S = 6 m2 S = 24 cm2 S = 12 π m2 ≈ 37,70 m2 S= ( ) 15 3 cm2 2 S = 4 2 cm2 S = 30 m2 S = 36 cm2 S = 16 m2 ( ) g) P = (10 + 4 13 ) cm h) P = ( 8 2 + 2 10 ) m f) P = 10 + 6 5 m 4.2) r = 3,41 cm 4.3) r = 11,75 cm 4.4) r = 6,08 cm 4.5) r = 452,39 cm2 4.6) Vol = 151,39 cm3 4.7) Sup = 98,83 m2 4.8) Vol = 235,08 cm3 4.9) Vol = 57,53 cm3 4.10) g = 13,29 cm 4.11) Vol = 28,39 cm3 4.12) Vol = 27 cm3 4.13) h = 3,125 cm 4.14) Sup = 12 m2 4.15) Sup = 77,25 cm2 h = 13,66 cm MATEMÁTICA- GEOMETRÍA- 12 -12