MCCVT UNIDAD 1 CombinacionesCOMBINACIONES EJEMPLOS. ------------------------------------------------------------------- 1. En una bolsa de dulces hay 15 golosinas diferentes. Un niño pequeño mete la mano y saca 2 golosinas, que es lo más que puede sostener. ¿De cuántas formas distintas puede sacar 2 golosinas? Solución: El niño sólo puede sacar 2 golosinas a la vez. Si las golosinas las denominamos A, B, C etc., da lo mismo que saque las golosinas A y B o B y A por lo que no importa el orden de las golosinas y por lo tanto es una combinación. n! C(n,r) = (n-r)!r! 15! 15! C(15,2) = = =105 (15-2)!2! 13!2! C(15,2) = 105 --------------------------------------------------------------- 2. Una próxima quinceañera está preparando uno de los bailes que presentará en su fiesta. El coreógrafo le ha dicho que solo seis de sus veinte chambelanes pueden participar en ese número. ¿Cuántas posibilidades de diferentes grupos de chambelanes tiene para montarlo? Todos los chambelanes bailan lo mismo. Solución: Si cada chambelán lo designamos como A, B, C etc., no importa el orden de los chambelanes en los grupos de chambelanes por lo que es una combinación. Adaptación de Eric Paredes V. Página 1 r)= (n-r)!r! 20! 20! C(20. Un grupo de amigos fueron a un parque de diversiones. B.MCCVT UNIDAD 1 Combinaciones n! C(n.6) =38. si deciden ir a aquellos en los que todavía no han estado? Solución: Ya que sólo pueden escoger 3 juegos de los ocho juegos posibles y si designamos a los juegos por A.3) = 56 ------------------------------------------------------------------- Adaptación de Eric Paredes V Página 2 .r)= (n-r)!r! 8! 8! C(8. C etc. y que había aún ocho a los que no se habían subido.760 ------------------------------------------------------------------- 3. n! C(n.6) = = =38.3)= = = 56 (8-3)!3! 5!3! C(8.760 (20-6)!6! 14!6! C(20. Al final de la tarde se dieron cuenta de que sólo les quedaba dinero para tres de los juegos. ¿Cuántas alternativas hay para subir a tres juegos.. no importa el orden de los juegos en los 3 juegos faltantes por lo que es una combinación. 5) =3.5) = = = 3.003 Adaptación de Eric Paredes V Página 3 . Una persona quiere adoptar tres de los nueve perritos. ¿De cuántas maneras puede elegir cinco blusas para el viaje. Es una combinación.r) = (n-r)!r! 9! 9! C(9.003 (15-5)!5! 10!5! C(15. ¿De cuántas formas puede elegir? Solución: Ya que solo se tienen 3 opciones de selección de 9 cachorros no importa el orden de cada grupo de 3 cachorros de opción. En un albergue de animales abandonados tienen una camada de 9 cachorros para adopción. Una amiga de Sonia saldrá de la ciudad por cinco días y está haciendo su maleta para el viaje.3) = = = 84 (9-3)!3! 6!3! C(9. n! C(n. si en su guardarropa hay 15? Solución: Ya que debe elegir un conjunto de 5 blusas de un total de 15 no es importante el orden de las blusas en el conjunto de 5 blusas.3) = 84 -------------------------------------------------------------------- 5.r) = (n-r)!r! 15! 15! C(15.MCCVT UNIDAD 1 Combinaciones 4. n! C(n. determina la cantidad de dulces que tiene la bolsa.4) = = 35 y vemos que no es igual a 126 (7 .4)!4! Intentemos con n = 8 y veamos: 8! C(8.4) = = 126 y vemos que coincide. r) = número de combinaciones si sustituimos tenemos: C(n.4)!4! Por lo tanto el número de dulces que tiene la bolsa es de 9 dulces diferentes.Un niño mete la mano a una bolsa que tiene un número desconocido de dulces diferentes. (9 . Si se sabe que existen 126 formas o combinaciones de sacar 4 dulces diferentes de la bolsa. sin embargo podemos hacer algunas pruebas de diferentes valores n para obtener en la combinación el valor de 126.4)!4! Intentemos con n = 9 y tenemos. 7! C(7. Solución: Dado que C (n. 4) = 126. ----------------------------------------------------------------- Adaptación de Eric Paredes V Página 4 .r) = = C (n. 9! C(9.4) = = 126 (n-r)!r! (n-4)!4! Como podemos ver no se puede despejar n en la forma tradicional.MCCVT UNIDAD 1 Combinaciones ------------------------------------------------------------------------------- 6. n! n! C(n. Intentemos con n = 7 y tendremos. El niño saca cuatro dulces que son los que le caben en su mano.4) = = 70 y vemos que no es igual a 126. (8 .. Solución: En este caso tenemos 3 tipos de comités. Los 3 alumnos de 7 del último año pueden seleccionarse de C(7.. Determine el número de comités que se pueden formar de tal manera que tengan exactamente 3 alumnos del último año. dado que tenemos la afirmación de “por lo menos 3 alumnos del último año”. Solución: Los comités deben tener 5 alumnos en total.Se va a seleccionar un comité de 5 alumnos de entre 7 alumnos del último año y 6 del penúltimo año. Si C(7. Adaptación de Eric Paredes V Página 5 .3) formas y los 2 alumnos de 6 del penúltimo año pueden seleccionarse de C(6. Ahora bien. i). De los cuales 3 deben ser del último año y por lo tanto 2 deben ser del penúltimo año.3) x C(6. el número de comités de 5 alumnos conformados de 3 alumnos del último año y 2 del penúltimo año es igual al siguiente producto C (7.. ii).. 35 x15 = 525 comités se pueden formar de esa manera. Ya se calculó en el ejemplo anterior.2) formas..MCCVT UNIDAD 1 Combinaciones 7.Comités con 4 alumnos del último año y 1 alumno del penúltimo año. Determine el número de comités que se pueden formar de tal manera que tengan al menos o por lo menos 3 alumnos del último año. ---------------------------------------------------------------------- 8.Comités que tienen exactamente 3 alumnos del último año y 2 alumnos del penúltimo año.2) formas.3) = 35 y C(6.2) = 15 entonces.Se va a seleccionar un comité de 5 alumnos de entre 7 alumnos del último año y 6 del penúltimo año. Para los comités del tipo (iii) tenemos que el número de comités es igual a: C(7. pero el tiempo sólo le permite poner cinco. explica como obtuvo dicho resultado y la manera de calcularlo.Comités con 5 alumnos del último año y ninguno del penúltimo año. ----------------------------------------------------------- NOTA IMPORTANTE: Adaptación de Eric Paredes V Página 6 . Para los comités del tipo (i) ya calculamos ese número en el ejemplo anterior. Sí en lugar de cuatro pusiera 6 bailes.Numero de maneras para 6 bailes: Se tendría la combinación C(9.. ----------------------------------------------------------------------- 9).MCCVT UNIDAD 1 Combinaciones iii). Desea poner 9.0) = 21 En total la cantidad de comités que cumplen con la condición de “por lo menos 3 alumnos del último año” es igual a la suma de: 525 + 210 + 21 = 756.. Solución: a).4) x C(6.5) x C(6. La solución del problema es una combinación del tipo C(9..Explicación: La quinceañera debe elegir de 9 bailes que ya tiene preparados pero solo puede elegir 5 de ellos. b).. de tal manera que habría 126 maneras de elegir sus coreografías.5) = 126 combinaciones de coreografías.Una quinceañera del DF está preparando los bailes que presentará en su fiesta. ¿De cuantas maneras podría elegir sus coreografías.1) = 210. Para los comités del tipo (ii) tenemos que el número de comités es igual a: C(7.6) = 84 de coreografías. En una combinación NO importa el orden de los elementos de la misma. La diferencia que existe entre una permutación y una combinación es que si se cambia el orden de los elementos en una permutación se tiene otra permutación pero se trata de la misma combinación. Adaptación de Eric Paredes V Página 7 .MCCVT UNIDAD 1 Combinaciones En una permutación importa el orden de los elementos de la misma.