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3rd International Conference: Sciences of Electronic, Technologies of Information and Telecommunications March 27-31, 2005 – TUNISIASETIT 2005 Identification par la Méthode du Modèle des paramètres d’une machine à courant continu M. Zegrari, A. Badri et B. Oukarfi LATSI, Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia – BP 146, Maroc [email protected] [email protected] [email protected] Résumé: Le but de cette étude est de déterminer le modèle d’une machine à courant continu en vue d’élaborer une commande optimale et performante. Cette identification est basée sur la méthode du Modèle où l’on compare les réponses du moteur (objet) et du modèle à la même excitation. L’étude de la distance objet-modèle (ou fonction erreur) permet d’adapter les paramètres du modèle prédéterminé jusqu’à vérification du critère de validation du modèle. La procédure de l’identification a été conçue afin de répondre aux aspects spécifiques de la machine à courant continu en tenant compte des différents régimes dynamiques imposés par l’environnement, ainsi que des liens fonctionnels qui caractérisent son fonctionnement. Mots clés: Espace paramétrique, Identification, Iso-distance, Modèle, Programmation non-linéaire. 1 Introduction Les techniques de l’identification des systèmes ont fait l’objet de nombreuses études, les voies de recherche et de perfectionnement sont multiples et émanent de la diversité et la complexité des systèmes à identifier. Si les méthodes classiques d'identification, basées sur la théorie de l'estimation, sont directes et simples à mettre en œuvre, leurs performances demeurent insuffisantes pour des systèmes complexes et dont la structure présente une dynamique très variable (Adersa, 1991). L'emploi des méthodes non linéaires permet d'optimiser la phase de l'identification d'un système tout en tenant compte de la représentation globale de sa structure. La procédure de modélisation passe par les étapes suivantes : 2.1 Caractérisation Il s’agit d’établir une structure pour le modèle mathématique ; cette étape peut être plus ou moins complexe suivant que l’on cherche à s’orienter vers un modèle de connaissance ou de représentation. 2.2 Identification Elle traduit une identité de comportement entre le processus et le modèle, cette opération est réalisée par l’étude de la fonction erreur entre les réponses du processus et du modèle à un même type d’excitation. 2.3 Validation du modèle Quelle que soit la procédure d’identification, la fonction erreur ne sera en général pas nulle à cause des erreurs de caractérisation et des perturbations de mesure. Le modèle est validé si l’essai s’avère compatible avec la distance Objet-Modèle optimale prédéfinie. 2 Techniques de Modélisation La modélisation doit mettre en évidence deux concepts fondamentaux : - ETAT : qui fait intervenir l’ensemble des variables. Celles-ci étant des mesures effectuées sur le processus physique. - STRUCTURE : lien fonctionnel entre les variables, il est traduit par une représentation mathématique globale. les points O et M se trouvent confondus. Ces algorithmes ont la forme suivante : θm+1 = θm + λm dm (1) θm : vecteur paramètres après m itérations. on analyse la distance objet-modèle D(O. La minimisation de la distance D est régie par l’équation suivante : D(θm + λm dm ) ≤ D(θm + λ dm ) 3. 1997). Schéma synoptique de la méthode du Modèle.2 Elaboration de la méthode La méthode du Modèle est basée sur la comparaison des comportements du modèle et du système à identifier suite à une même excitation. dm : direction de recherche au cours de l’itération m+1. La procédure de l’identification consistera donc à la recherche du niveau minimum de D* au lieu de la distance d elle-même. 1989).3. 3.Iso-distance qui est une surface de l’espace paramétrique Rk sur laquelle la distance d’état a une valeur fixe D*.M).M) .2 Méthode de Gauss-Newton On développe à présent au 2ème ordre l’expression de la distance D au voisinage de θ : D(θ+∂θ) = D(θ)+G(θ)T∂θ+ (1/2) + ½ ∂θTA(θ)∂θ (5) A(θ) : matrice hessien de θ Identification Minimisation du critère Figure 1. C'est une méthode très puissante puisqu'elle s'applique à des systèmes non linéaires par rapport aux paramètres recherchés (Landaui. L’analyse de la distance objet-modèle fait intervenir les éléments suivants : . Le schéma synoptique de cette méthode est donné sur la figure 1 : bruit y La minimisation du critère est obtenue par des algorithmes itératifs de programmation non-linéaire.Distance de structure qui traduit l’écart entre les paramètres (O. Convergence non-linéaire.λm G (θm) Critère (4) yM L’identification consiste à analyser la distance objetmodèle D(O. θ1 Le vecteur paramètres θ lors de l’itération (m+1) est donné par l’équation suivante : ε Système Entrée u Modèle + θm+1 = θm . . ce résultat étant impossible. Il est représenté dans un espace paramétrique Rk dont les vecteurs de base sont significatifs de k paramètres. λm : scalaire défini afin de minimiser D le long de dm :.1 Principe La caractérisation du modèle fait apparaître une structure dépendant d’un vecteur de paramètres θ. le modèle est représenté par un point modèle M dont les paramètres forment le vecteur θM (Richalet. 3.M) et étudier le voisinage du point objet O afin de déterminer la position du point minimum : c'est une identification locale par analyse des iso-distances. Si l’identification est parfaite.SETIT 2005 3 Méthode du Modèle 3.3. Rault & Pouliouen.M) afin de définir une topologie pour l’étude du voisinage du point objet O.Distance d'état qui est une fonction de l’écart entre les sorties (O.1 Méthode du gradient Au voisinage de θm la distance D développée au premier ordre s’écrit : D(θ + ∂θ) = D(θ) + G (θ)T ∂θ G représente le vecteur gradient de D. Cet algorithme explore la direction de la plus grande pente. Dans cet espace. le système est représenté par le point objet O dont les paramètres forment le vecteur θ0 . . L’illustration de cette procédure est représentée dans un espace paramétrique bidimensionnel à titre d’exemple sur la figure 2 : Ligne de la plus grande pente Point optimal (2) (3) θ2 θm d θm+1 θ2op θm+2 dm+1 Surfaces iso-D θ1op Figure 2. En pratique.3 Méthodes d’analyse 3. La direction de recherche varie à chaque itération en fonction du résultat de l'itération précédente. .4. Afin de favoriser la convergence de l’algorithme.4. Ω(t) : vitesse angulaire de rotation. En effet.é. e'(t) : force contre-électromotrice. La machine cc est un convertisseur autorégulateur en puissance.1 Equation électrique Le circuit équivalent de l'induit de la machine cc est donné sur la figure 3 : + i(t) R u(t) La variation des paramètres suit la loi généralisée : θm+1 = θm .I(p) + k. donc à flux constant. Circuit équivalent de l'induit R : résistance de l’enroulement induit. On peut également utiliser une méthode directe d’estimation telle que les moindres carrées.2. 1994) : 3. L’équation des tensions s’écrit : u ( t ) = R i( t ) + L di( t ) + e' ( t ) dt (8) Pour un fonctionnement stable.2 Equation mécanique L'équation de mouvement appliqué au système d’ensemble "moteur + charge mécanique" définit les limites de stabilité de l’entraînement : C m (t ) − C r (t ) = J dΩ ( t ) dt (12) Cm(t) : couple moteur appliqué par la machine.m. 1994).1 Phase d’initialisation L’estimation de la valeur initiale des paramètres peut être donnée par une connaissance à priori de la réalité physique du système (Najim & Muratet. i(t) : courant dans l’induit de la machine.2 Phase de minimisation On cherche à minimiser l’iso-distance à partir du point initial. dΩ/dt : accélération angulaire. 3. Cr(t) : couple résistant appliqué par la charge. soit : ∂θ = .2 Mise en équation Le comportement électrique et mécanique de la machine cc est décrit par les équations suivantes : L’équation électrique globale peut alors se mettre sous la forme suivante : u ( t ) = R i( t ) + L di( t ) + k Ω( t ) dt (10) Soit en variable de Laplace : U(p) = (R + Lp). J : moment d’inertie des parties tournantes.Ω(t) = k. pour cela on utilise la méthode du 1er ordre caractérisée par sa rapidité et sa forte pente. On établit deux modèles échantillonnés de la machine (Charbanou. La réversibilité de fonctionnement entraîne également des états transitoires qui affectent son fonctionnement.Modèle mécanique : pour le contrôle de la vitesse de rotation de la machine. 1998): .4 Choix de la méthode Ce choix inclut les phases suivantes (Flaux. . La f. – (7) e'(t) M L Figure 3. 4.c. elle est sujette aux phénomènes de commutation provoqués par la rotation de l’arbre de la machine. la commande est effectuée à couple moteur constant. De ce fait. 3. la variation de la tension d’alimentation ainsi que les à-coups du couple de charge mécanique entraînent une variation brusque du courant dans l’induit et de la vitesse de rotation. u(t) : tension aux bornes de l'induit .3 Recherche au voisinage du minimum L’étape précédente permet d’aboutir à un point de l’espace paramétrique où la distance est relativement faible.SETIT 2005 La variation de D est maximale lorsque la dérivée de ∂D = D(θ+∂θ) – D(θ) par rapport à θ est nulle.Modèle électrique : pour le contrôle du courant induit et du couple moteur dans la machine. L : inductance de fuite de l’induit.φ. en plus du phénomène de la réaction magnétique de l’induit (Seguier & Notelet.1 Mise en œuvre La machine à courant continu est l’un des convertisseurs électromécaniques les plus complexes.A(θ)-1 G(θ) (6) 4. 1987).Ω(t) (9) 4 Procédure de l’identification 4.λm A(θm)-1 G(θm) 3. on effectue une recherche au voisinage du minimum par le biais de la méthode de Gauss-Newton.2.Ω(p) (11) 4. développée par la machine s’écrit : e'(t) = ke.4. I ch = k E k² = .i( t ) = = k. au transfert de données en plus des fonctions de contrôle et de protection.p + f + k² R ch k² ) R ch (19) k ² + (Lp + R ).p) .Ω(t) ≈ f.i( t ) Ω( t ) Ω( t ) (13) Cette fonction peut être mise sous la forme : Le couple résistant dépend de la charge mécanique entraînée et de la nature du frottement : Cr(t) = Cch(t) + Cf(t) (14) TE (p) = A (1 + τ m . 1998). 1998).3. Modèle électrique Il est régi par la fonction de transfert TE(p). la machine fonctionne alors en moteur (quadrant 1) avec freinage par récupération (quadrant 4).Ω(p) = kI(p) − f .Des capteurs pour la mesure du couple moteur et de la vitesse de rotation sur l’arbre de la machine.3 Identification de la machine k² Ω( p) R ch (18) Les équations [11] et [18] permettent de décrire les fonctions de transfert des modèles électrique et mécanique : 4. débitant un courant Ich à travers une résistance de charge Rch.Ω(p) − 4.p) (1 + τ e . .Un moteur cc lié mécaniquement à une génératrice à courant continu associée au même arbre.2 Modèle mécanique Il est caractérisé par la fonction de transfert TM(p) où l’on élabore la loi de variation de la vitesse Ω(p) en fonction de la commande U(p) : TM (p) = Ω( p ) U(p) (21) Dans les essais.Ω(t) (15) 4. .Un hacheur série non réversible commandé.p ² (22) C ch ( t ) = k. . (1 + τ em . Le couple résistant est proportionnel au courant Ich : Cette fonction peut être mise sous la forme : TM (p) = Km 1 + (Tcm + µ.p) (20) Le couple de frottement Cf(t) relatif aux essais usuels varie linéairement avec la vitesse (Taghezout.Un calculateur permettant le traitement et l'analyse des différentes mesures. Il assure les fonctions liées à l’identification. .(Jp + f + C m (t) = Pm ( t ) e' ( t ). Le dispositif expérimental est représenté sur la figure 5. on peut utiliser un hacheur réversible en courant. L'équation mécanique globale peut alors se mettre sous la forme : J dΩ( t ) k² = k.p + Tc Tm . . . ce couple est directement proportionnel au courant induit I : I( p ) = U ( p) J. traction). le courant fourni est facile à lisser et cette structure présente un facteur de puissance acceptable. TE (p) = Le couple moteur est généré par la puissance électromagnétique transmise au rotor de la machine (Braun.Ω( t ) dt R ch (17) Soit en variable de Laplace : J p.Tc ). A flux constant.3.Une bobine pour le lissage du courant dans l’induit. Pour des applications ou la récupération d’énergie est possible (levage. celle-ci met en évidence la loi de la commande agissant sur le courant induit I : . Il comprend : .i( t ) − f .Ω( t ) R ch R ch (16) 5 Expérimentation L’alimentation du moteur est assurée par un pont redresseur suivi d’un hacheur.Des modules de mesure des différentes grandeurs électriques et mécaniques . .Un dispositif d'acquisition de données .1.SETIT 2005 Le point d’équilibre de l’entraînement correspond à : Cm(t) = Cr(t) ⇔ Ω = Cte. Cette application correspond à un frottement de type sec : Cf(t) = C0 + f. la charge mécanique est représentée par une génératrice à courant continu.Ω( t ) − .Un pont redresseur double triphasé à diodes PD3. ).SETIT 2005 Redresseur Source triphasée vAN N vBN vCN D4 Commande Carte d'acquisition Hacheur Machine CC L I U T D1 D2 D3 E D C M Ω D5 D6 MOD.MEC PM. Excitation SBPA. perturbations de la tension.1 Signal d'excitation Un modèle n’est réellement valable que si la machine est soumise aux différentes contraintes dynamiques imposées par son service (démarrage. Il s’agit d’une Séquence Binaire PseudoAléatoire (SBPA). accélération. à-coups de charge. etc. Le signal d’excitation est une succession d’impulsions modulées en largeur et pratiquées sur un grand horizon de temps. Les phases de convergence présentées sur la figure 6 montre l’évolution de la recherche du niveau minimum de l’iso-distance. On choisit l’entrée la plus "sensibilisante" afin d’exciter la machine dans le maximum de sa bande de fréquence (Zegrari & Badri. Amplitude (V) +5 0 -5 0 5 10 15 Temps discret (T) 20 L'analyse de l’écart Objet-Modèle permet une identification aisée des paramètres de la machine. Schéma du dispositif expérimental 5. I MOD. . 6 – Résultats expérimentaux Figure 6. U. N. Figure 4. Excitation : Modèle – Mesure Réponse : Modèle convergent: Modèle Fig. 2004). 5. Résultat de l’identification.2 Relevés graphiques Après le démarrage et une fois la vitesse de consigne atteinte.ELE PE. illustrée sur la figure 4. Ω Calculateur Figure 5. on applique un couple de charge pour étudier le comportement dynamique du système. M. Revue de l'evied. 1998. D.Optique et Traitement d’information.FST Fès. J. 1991. J. D. Landaui : Identification et commande des systèmes. Zegrari et A. Taghezout : Simulation de systèmes hétérogènes. . Références J. M. 2004. Thèse de Doctorat 1998. 1994. Seguier et F. laquelle permet la récupération de la puissance lors du fonctionnement en quatre quadrants. Adersa :Pratique de l'identification. Dans la même voie de recherche. 1998. 1997. Najim et G. G. 1989. Rault et Pouliouen : Identification des processus par la méthode du Modèle . A. La modélisation de ces dispositifs tient compte également de la réversibilité de la machine cc. Badri : Identification des systèmes par la méthode du Modèle . Charbanou : Commande intelligente d’un moteur cc.SETIT 2005 Conclusion La méthode présentée dans cette étude met en évidence les techniques de programmation nonlinéaire dont la représentation répond parfaitement aux structures des systèmes complexes telles que les machines électriques. Richalet. F. K. 1987. 1994. la méthode du Modèle peut également être utilisée pour la modélisation de la machine asynchrone et développer ainsi une stratégie performante de commande sans capteur. Muratet : Optimisation et commande en génie de procédés . A. Notelet : Electrotechnique industrielle. Braun : Développement pour la conception d’ASIC de commande des machines électriques. Flaux : Régulation industrielle.