Teoría de la Probabilidadwww.cbr.edu.mx Unidad IV. Teoría de la Probabilidad. La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia estadística porque una decisión cuyo fundamento se encuentra en la información contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada sin una adecuada comprensión de las leyes básicas de la probabilidad, y por lo cual será difícil utilizar la metodología estadística de manera efectiva. 4.1 Probabilidad. Es un numero real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleva a cabo. S A Resultados del EVENTO Resultados del EXPERIMENTO Ejemplos de Espacios Muestrales considerando los experimentos aleatorios siguientes: 1. Un dado es lanzado cinco veces consecutivas. 2. Una moneda es lanzada hasta que salen dos caras o dos cruces consecutivas. Ing Idalia G. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 26 P r e p a r a t o r i a R o y a l 3. Cuatro bolas son extraídas aleatoriamente y sin reemplazo de una urna que contiene ocho bolas blancas y seis azules. 1. Ing Idalia G.000 Es la probabilidad de muerte de un hombre de 40 años en un año cualquiera. 2. 60 de cada 100 000 morirán en un periodo de un año dado. resulta de n formas igualmente probables y mutuamente excluyentes y si nA de estos resultados tienen un atributo A la probabilidad de A es la proporción de nA con respecto a n.cbr. Entonces: 60 = 0.mx Ejemplo 4.1 ¿Cual es la probabilidad de obtener un as en una sola extracción de un mazo de 52 cartas?.Teoría de la Probabilidad www. Si un experimento que esta sujeto al azar. Determinamos que tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro Ejemplo 2. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran numero de intentos o. Mezcla la probabilidad de frecuencia relativa e intuición. creo que va a llover”.2. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 27 P r e p a r a t o r i a R o y a l . p ( A) = nA nA = = n N Resultados del evento Resultados del Experimento Probabilidad de Frecuencia Relativa Esta plantea: 1.0006 100. A: numero de ases = 4 : Resultados del Evento S: numero de cartas = 52: Resultados del Experimento p ( A) = 4 = 52 Resultados del evento Resultados del Espacio muestral Probabilidad Clásica. una compañía de seguros. La fracción de veces que un evento se presenta a la larga. por información anterior sabe que los hombres de 40 años. Basada en las creencias de las personas que efectúan estimaciones de probabilidad por ejemplo: “me duelen los huesos.edu. Probabilidad subjetiva o personal. Representa un juicio personal sobre un fenómeno impredecible. cuando las condiciones son estables. y sean oi los resultados básicos.mx Donde la notación indica que los resultados de todos los eventos es: p(S) = 1 4.cbr.Teoría de la Probabilidad www. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 28 Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B entonces: p(A∩B) = p(A)p(B = p(A)*p(B) A) p(A∩B) = p(A)*p(B) . enunciamos: Si A es un evento cualesquiera en el espacio muestral S entonces: Postulados Sea A un evento en S. Entonces denominando la “probabilidad de que A ocurra” como p(A). 3 Tipos de Eventos Regla Multiplicativa Eventos Independientes Dos eventos A y B son independientes si y solo si: p(B = p(B) A) y p(A = p(A) B) R o y a l P r e p a r a t o r i a Ing Idalia G.edu.2 Axiomas o Probabilísticos Sea S el espacio muestral de un experimento aleatorio oi los resultados básicos y A un evento o suceso. entonces: 4. . A2.mx Ejemplo 4. An ) = p ( A1 ) + p( A2 ) + .Teoría de la Probabilidad www. An es una partición del espacio muestral S entonces: p ( A1 ∪ A2 ∪ . + p ( An ) y si A1. la ocurrencia de uno impide la ocurrencia de otro: p(AUB) = p(A) + p(B) donde: A ∩B = φ p( A ∩ B ) = φ p ( A1 ∪ A2 ∪ .. + p ( An ) = p(S) =1 Ejemplo 4.3. An ) = p ( A1 ) + p( A2 ) + ... Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 29 .cbr.. es decir. . Si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno después del otro sin reemplazar el primero.2 Determine la probabilidad de sacar un as o un rey de un mazo de 52 cartas... ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosas? 5 4 20 1 * = = 20 19 20(19) 19 o bien: 15 C0 *5 C2 (1)(10) 1 = = 190 19 20 C2 Principio de Adición. de las cuales 5 están defectuosas..3..1 Suponga que tenemos una clase de fusibles que contiene 20 unidades.edu. Eventos Mutuamente Excluyentes Son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente.. p( A ∪ B ) = p( A) + p( B ) = 4 4 8 + = 52 52 52 S = 52 R o y a l P r e p a r a t o r i a A 4 B 4 Ing Idalia G. 29 1 0. El Gerente debe realizar la asignación al azar. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 30 P r e p a r a t o r i a R o y a l .3 Un Gerente tiene disponible un grupo de 8 empleados a los que les podría ser asignada la supervisión de un proyecto.3. que figuran en la tabla adjunta.03 Determinar: a) La probabilidad de que haya mas de tres componentes defectuosos en una remesa b) La probabilidad de que haya mas de un componente defectuoso en una remesa c) ¿Por qué la suma de las probabilidades de la Tabla suman uno? Ing Idalia G. Cuatro de los empleados son mujeres y cuatro son hombres.mx Ejercicios del Tema: Ejemplo 4.36 2 0. Sea A el suceso “el empleado elegido es un hombre” y sea B el suceso “el empleado elegido es uno de los dos hermanos”.10 Mas de 3 0. Ejemplo 4. Un estudio ha indicado las probabilidades. correspondientes a los componentes defectuosos de una Empresa.edu.3.Teoría de la Probabilidad www.22 3 0. Calcular: a) La probabilidad del suceso A b) La probabilidad del suceso B c) La probabilidad de seleccionar un hombre o una mujer d) La probabilidad de seleccionar primero un hombre y que sea uno de los dos hermanos. No de defectuosos Probabilidad 0 0. Dos de los hombres son hermanos. de manera que cada uno de los ocho empleados tiene la misma probabilidad de salir elegido.cbr.4 Una Compañía recibe un determinado componente en remesas de 100. Ing Idalia G.edu.5 Imagina que eres una de las siete candidatas a las que se les están haciendo una audición para dos papeles – la heroína y su mejor amiga. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 31 P r e p a r a t o r i a R o y a l . la tercera no importa.cbr. de una baraja ordinaria. S A B Excluye la intersección que al sumar los eventos se suman dos veces. la segunda un as negro y la tercera es mayor a tres pero menor a 7 Eventos no Excluyentes Son aquellos que tienen gran probabilidad de ocurrir simultáneamente.6 Se sacan tres cartas una tras otra. Donde: p( A ∪ B ) = p( A) + p( B ) − p( A ∩ B ) ya que sumamos dos veces p(A ∩ B) en p(A) + p(B) a menos que p(A ∩ B) = φ entonces serian eventos mutuamente excluyentes. sin reemplazo. Antes de las audiciones no sabes nada sobre las otras candidatas y supones que todas tienen las mismas probabilidades para cada uno de los dos papeles.3.mx Ejemplo 4.Teoría de la Probabilidad www.3. encuentre la probabilidad de : a) La primera extracción sea un as rojo. a) ¿Cuantas elecciones son posibles para el reparto de los dos papeles? b) ¿Cual es la probabilidad de ser elegida para interpretar el papel de la mejor amiga? Ejemplo 4.en una obra de teatro. c) La primera es un rey. las otras no importan b) La primera es un as rojo y la segunda es un 10 o un rey. a) La probabilidad de que un adulto de esta ciudad.9 Para matrimonios que viven en cierto suburbio la probabilidad de que el esposo vote es de 0.3. que ve el programa de televisión. la probabilidad de que su esposa vote es de 0. .edu. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 32 P r e p a r a t o r i a R o y a l Ejemplo 4.mx Ejemplo 4. 30 = 0.cbr.21. ¿Cual es la probabilidad de: a.15. Estudien contabilidad o estadística pero no ambas? p( C ∪ E ) − 2 p ( C ∩ E ) = 100 80 30 120 + − 2 = 0. 100 cursan contabilidad y 80 estadística.8 Un estudio de mercado en una ciudad indica que. b) La probabilidad de que un adulto de esta ciudad.3. que lee la publicación vea dicho programa de televisión.Teoría de la Probabilidad www.3. el 18 % de los adultos vieron un programa de televisión orientados a temas financieros y el 12 % leen una publicación orientada a esta temática y el 10 % realizan ambas actividades. lea la publicación mencionada. Estudien ambos cursos? p( C ∩ E ) = b.28 y la probabilidad de que ambos voten es de 0. c) La probabilidad de que el esposo vote dado que su esposa no vote.7 En un grupo de 300 estudiantes.50 300 300 300 300 c.4 = 300 300 300 300 Ejercicios del Tema: Ejemplo 4. Ing Idalia G. además 30 de estos estudian ambos cursos.3 100 Estudien contabilidad o estadística? p( C ∪ E ) = 100 80 30 150 + − = = 0. durante cualquier semana. Determinar: a) La probabilidad de que al menos un miembro del matrimonio vote b) La probabilidad de que la esposa vote. 12 Si cada artículo codificado en un catalogo comienza con tres letras distintas seguidas por cuatro dígitos distintos de cero. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 33 P r e p a r a t o r i a R o y a l Ejemplo 4.11 Determine la probabilidad de no obtener un as o un rey en la primera extracción de un mazo de 52 cartas.28 y la probabilidad de que sea una casa rodante con placas de Canadá es de 0.10 La probabilidad de que un vehículo que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá es 0.mx Ejemplo 4.09.Teoría de la Probabilidad www.edu.3. la probabilidad de que sea una casa rodante es 0.3. encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de estos artículos codificados que tenga: a) Como primera letra una vocal y el ultimo digito sea par b) Como primer letra una consonante y el ultimo digito es un 5 c) La primer letra no es consonante y el ultimo digito no es 5 . Eventos Complementarios Si A es un evento en el espacio muestral S y A’ es su complemento y son mutuamente excluyentes entonces: p( A ∪ A' ) = 1 = p( A) + p( A' ) = 1 donde: p( A' ) = 1 − p( A) Ejemplo 4.3. b) Un vehículo con placas de Canadá que entra a las Cavernas Luray sea una casa rodante c) Un vehículo que entra a las Cavernas Luray no tenga placas de Canadá o que no sea una casa rodante.cbr.12. Determinar la probabilidad de que: a) Una casa rodante que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá. p( B ) = 4 52 p( A ∪ B ) = 8 52 p( A ∪ B )' = 1 − p( A ∪ B ) = 1 − 8 44 = 52 52 Ing Idalia G. cbr.14 0. la ubicación probable de las PC en una casa son: UBICACION Recamara de adultos Recamara de niños Otra recamara Oficina o estudio otros PROBABILIDAD 0. cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento. b) De que no este en una recamara.13 De acuerdo con la Consumer Digest. Dos eventos A y B son dependientes.28 Determinar la probabilidad: a) De que una PC este en una recamara.mx Ejemplo 4.edu. c) De no este en una recamara de adultos d) De que este en un estudio o en la recamara de los niños.03 0.40 0.Teoría de la Probabilidad www. Probabilidad Condicional Eventos Dependientes.15 0. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 34 P r e p a r a t o r i a R o y a l . de igual manera : p( A ∩ B ) p( B ) p( BΙA) = p( A ∩ B ) p( A) donde p(A) > 0 Ing Idalia G.3. es decir: p( AΙB ) = siempre que p(B) > 0. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 35 P r e p a r a t o r i a R o y a l .83.75. la probabilidad de que llegue a tiempo es de 0.15 En una agencia automotriz la probabilidad de que aumenten los eventos de automóviles durante el próximo mes se estima en 40 %.edu. si las ventas de autos se ha incrementado en el mes. Las refacciones hayan aumentado. Cual es la probabilidad de: a.cbr. La probabilidad de que aumenten las ventas en refacciones es de 50 % y de que aumenten en ambas es del 10 %. si se informa que las ventas de refacciones han aumentado. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe estadística si aprueba filosofía? Ejemplo 4.14 La probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación aprobatoria en estadística es 0. b) Salió a tiempo dado que llego a tiempo. en filosofía 0. Las ventas de autos haya aumentado en el mes.84 y en ambas 0.3.78. Determinar la probabilidad de: a) Llegue a tiempo dado que salió a tiempo.mx Ejercicios del Tema: Ejemplo 4.63. Ejemplo 4. b.Teoría de la Probabilidad www. Ing Idalia G.82 .16 La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es de 0.3. y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.3. Bn mutuamente excluyentes y constituyen una partición del espacio muestral S donde: p(Bj) ≠ 0 para j=1.n.cbr. entonces: p( BΙA) = p( B j ) p ( AΙB j ) ∑ j =1 n p ( B j ) * p( AΙB j ) de donde: ∑B j =1 n j =1 ∑ p( B ) * p( AΙB ) j j j =1 n Probabilidad Total A B1 B2 A S La expresión anterior fue desarrollada por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761). ha sido clave en el desarrollo de la inferencia estadística bayesiana en la que se emplea la interpretación subjetiva de la probabilidad. Sin embargo.Teoría de la Probabilidad www..17 Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre fumar y el cáncer pulmonar. A primera vista no es mas que una aplicación de las probabilidades condicionales.. Ejercicios del Tema: Ejemplo 4. Sean los eventos B1.. En un centro medico el 90 % de fumadores tenia cáncer pulmonar.2. B2. Tenga cáncer pulmonar? b. Con cáncer pulmonar sea fumador? c. ¿Cual es la probabilidad de que un paciente: a..mx Teorema de Bayes. Si la proporción de fumadores es 0. Con cáncer pulmonar no sea fumador? R o y a l Ing Idalia G.3. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 36 P r e p a r a t o r i a .3.45.. . mientras que el 5 % de los no fumadores lo padecían.edu. Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de 3 distintos microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un circuito no defectuoso provenga del proveedor tres? Ejemplo 4. la probabilidad de que un cliente compre latex es 0. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 37 P r e p a r a t o r i a R o y a l .20 Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pinturas de latex y semi esmaltada. ¿Cual es la probabilidad de que este defectuoso? Ejemplo 4. Pero 30 % de los compradores de pintura semiesmaltada compran rodillos. Ahora suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado.18. 45 % y 25 % de los productos respectivamente.mx Ejemplo 4.3. 3% y 2% de los productos ensamblados por cada maquina.3.Teoría de la Probabilidad www. Se sabe de la experiencia pasada que 2 %. ¿Cuál es la probabilidad de que un circuito este defectuoso? c.edu. Si un circuito no esta defectuoso. a. y B3. Con base en las ventas de largo plazo. 60 % también compran rodillos. 10% y 12 %.3. de los que compran pintura de latex.19 En cierta planta de montaje. Un comprador que se selecciona al azar compra un rodillo y una lata de pintura. tres maquinas B 1. El porcentaje de circuitos defectuosos para cada embarque del proveedor es 5 %. montan 30 %. El 50 % del total se compra al proveedor uno mientras que al dos y al tres se le compra el 25 % respectivamente.75. ¿Cual es la probabilidad de que la pintura sea de latex? Ing Idalia G.cbr. B2. respectivamente tienen defectos. ¿cual es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor 2? b. edu. Sea mujer dado que trabaja en administración f.21 Los empleados de una gran compañía se encuentran separados como se muestra en la siguiente tabla: Departamento Administración Producción Mercadotecnia Total Hombres 20 60 100 180 Mujeres 30 140 50 220 Total 50 200 150 400 Determine la probabilidad de que al ser seleccionado aleatoriamente: a. Sea hombre dado que trabaja en mercadotecnia g. Trabaje en mercadotecnia d.cbr. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 38 P r e p a r a t o r i a R o y a l . Sea hombre y trabaje en producción c.3. Sea hombre b. Sea de producción dado que es mujer. Ejercicios del Tema: Ejemplo 4.mx Tablas de Probabilidad Conjunta. Trabaje en administración y sea mujer e.Teoría de la Probabilidad www. todos los eventos posibles para una segunda variable se enumeran como encabezamiento de filas y el valor incluido en cada casilla resultante es la probabilidad de cada ocurrencia conjunta. En estas se enumeran todos los eventos posibles para una variable como encabezamiento de columnas. Ing Idalia G. Una melodía de rock o ranchera sea un éxito c. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 39 P r e p a r a t o r i a R o y a l . Una melodía romántica sea un éxito entre los jóvenes d. Una melodía ranchera sea un éxito dado que fue lanzada en una estación para jóvenes. Una melodía de rock sea un fracaso en mayores de 30 años e. Una melodía romántica sea un evento b. Ing Idalia G.edu.cbr.3.mx Ejemplo 4.Teoría de la Probabilidad www.22 En una investigación de mercado efectuada en un Centro Comercial se recopiló la siguiente información: Edad > 30 ≤ 30 Género Ranchero 28 25 Género Romántico 58 45 Rock en Español 23 40 Determine la probabilidad: a. a b c d e ¿Cual de las siguientes afirmaciones no es correcta? a) La probabilidad de ocurrencia de un evento “a”. e) Ninguna Ing Idalia G. a b c d e La probabilidad de que dos eventos estadísticamente independientes se presenten de manera consecutiva es igual a: a) La suma de sus probabilidades. c) Al producto de ocurrencia del primero. d) a) y c).edu. a b c d e ¿Cual de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) La probabilidad de ocurrencia de un evento nunca excede a uno. e) Ninguno. e) a) y c) pero no b) 5. pero no c) 2. c) Sus representaciones en el rectángulo no se traslaparan d) Todas las anteriores e) a) y b). es igual a los resultados del evento “a” entre los resultados del espacio muestral “s”. 4. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 40 P r e p a r a t o r i a R o y a l . b) La suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su conjunción.93 c) La probabilidad de ocurrencia al extraer una pelota amarilla de un total de 4 azules y 5 amarillas es 5/ 9 d) Todas las anteriores. b) La probabilidad se define como: resultados del evento entre resultados del espacio muestral. pero no b) Ninguna 3. c) Los eventos no excluyentes al ser representados en un diagrama de Venn tienen un área en la que no se traslapan.Teoría de la Probabilidad www. se dice que ambos eventos son: a) Dependientes b) Independientes c) Mutuamente excluyentes d) Todas las anteriores. d) Todas las anteriores. A B C D E SI SE DIBUJARA UN DIAGRAMA DE VENN PARA LOS EVENTOS A Y B.mx REPASO DEL CAPITULO Marque con un circulo la respuesta correcta.cbr. QUE SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. a b c d e Si un evento no se ve afectado por el resultado de otro evento. QUE COSA DE LO SIGUIENTE NO SERÍA SIEMPRE VERDADERO PARA A Y B: a) Sus representaciones en el rectángulo se traslaparan b) Sus representaciones en el rectángulo no tendrán áreas iguales. recuerde que solo una es verdadera 1. por la ocurrencia del segundo. b) La probabilidad de ocurrencia de un evento del espacio muestral “S” cuando mucho es igual a 0. 50 (0.60 ) = 0.42 )( 0. p ( LΙJ ) = (0.60 ) Ing Idalia G. RESPUESTAS: a) b) p( H ) = 130 = 0.cbr. si la probabilidad de que un jugador sufra una lesión en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de 42 %.52 250 44 / 250 p( MΙPA ) = = 0. determine la probabilidad de que: a.423 104 / 250 2. dado que es su primera aprehensión.60 ) = 0. Que sea mujer.4 2 0. Un jugador elegido aleatoriamente sufra una lesión en la rodilla.40 PASTO NATURAL 0.40 ) + (0. si juega en este tipo de pasto. Un terapeuta físico sabe que el equipo de fútbol jugara 40 % de sus juegos con pasto artificial en la presente temporada.mx Ejercicios propuestos 1. también sabe que las posibilidades de que un jugador de fútbol sufra una lesión en la rodilla son 50 % mas altas.Teoría de la Probabilidad www.28 )( 0. pero debido al aumento de las condiciones de seguridad de la tienda. Una tienda de autoservicio ha sido victima de muchos ladrones durante el mes pasado.28 )( 0. b.2 8 a) Si el 42 %= 150% entonces el 100% es el 28 %.40 ) + (0. se ha podido aprehender a 250 ladrones. Que sea hombre b. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 41 .28 )( 0. Un jugador elegido aleatoriamente con lesión en la rodilla haya sufrido esta mientras jugaba en un campo con pasto natural RESPUESTAS: 0. determine la probabilidad de: a. los datos fueron: Sexo Hombre Mujer Total Primera Aprehensión 60 44 104 Reincidente 70 76 146 Suponiendo que un infractor aprehendido es escogido al azar.edu. se registro el sexo de cada infractor y si este era su primer robo o si ya había sido sorprendido con anterioridad.336 R o y a l P r e p a r a t o r i a PASTO ARTIFICIAL 0.60 b) p ( PN ΙL) = (0.42 )( 0. 96. es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico.82.9 6 NO DIS=0.58 .0 4 CARRO 2 RESPUESTAS: a) p(NO DIS)=(0. determine la probabilidad de: a.0 4 DIS=0. la probabilidad de que un carro especifico este disponible cuando se le necesite es 0.Teoría de la Probabilidad www. Que al menos uno este disponible cuando se le necesite. el 30% estudia francés y el 10% ambas materias. H 35 = 0. Para obtener licencia para conducir. si se selecciona aleatoriamente a uno de estos estudiantes determine la probabilidad de: a.cbr.04)=0.0016 b) NO DIS=0. Se sabe que la prob. Si se elige un estudiante al azar. 54 estudiaron matemáticas.12 100 p( M ∩ H ) = En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras.9984 4. 65 5 10 20 RESPUESTAS: p ( NA ∩NF ) = 0.04 )( 0. de que apruebe el examen para obtener licencia? RESPUESTAS: 7. ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra? RESPUESTAS: 2 3 6 p( B ∩ N ) = = = 0.68 + 0.68.72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0.04 ) = 0. Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de manera independiente.mx 3. El estudiante no curso alguna de estas asignaturas RESPUESTAS: 19 35 34 a) b) 12 M 5. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 42 P r e p a r a t o r i a En un conjunto de estudiantes el 15% estudia alemán. Si se elige un alumno al azar. la de que apruebe la parte práctica es 0.72 − p (T ∩P ) p (T ∩P ) = 0.edu.65 A F Ing Idalia G.9 6 NO DIS=0.04) (0. DIS=0. 69 historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Que ninguno este disponible cuando se le necesite b.9 6 DIS=0.0 4 CARRO 1 p (≥1) =1 − (0.35 100 12 p ( NM ∩ NH ) = = 0. En una clase de 100 estudiantes de preparatoria.3 5 4 20 6. El estudiante curso matemáticas e historia b. ¿cuál es la prob.82 = 0. que un alumno apruebe la parte teórica es 0. calcule la probabilidad de que no estudie francés ni alemán R o y a l p (T ∪P ) = p (T ) + p ( P ) − p (T ∩P ) 0. 20 NO 0. puede hacerlo por las calles A.edu.6 y p(C)=0. 0.25 CALLE B 0.4 6 5 30 b) 2 1 p( N ∩ N ) 6 5 1 p ( NΙN ) = = = = 0.204 (0.52 Ing Idalia G.mx 8.25 )( 0.25.Teoría de la Probabilidad www.20 p( N ) 5 2 6 4 3 12 p ( B ∩ B ) = = = 0. Calcular la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa Universidad resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario.60 CALLE C 0. sucesivamente y sin reemplazo.6 p (C ΙAL ) = (0. ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas? Si la segunda bola ha resultado ser negra.4 6 5 30 c) 0. b.cbr. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar.4) = 0. En un estudio realizado en cierta Universidad se ha determinado que un 20% de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utilizan los transportes públicos también hacen uso del comedor universitario.80 SI 0.4.80 )( 0. ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? ¿Cual es la probabilidad de que ambas sean blancas? RESPUESTAS: a) 4 3 12 p ( B ∩ B ) = = = 0. c.5 0. a.4) +(0.65 COM 0.25 )( 0.15 )( 0. B o C.6. p (B)=0.15 respectivamente. . al huir de un policía.49 ) d) CALLE A 0. al extraer dos bolas a. con probabilidades p(A)=0. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 43 P r e p a r a t o r i a R o y a l 10. si huye por la calle B es 0. Un ladrón.65 ) = 0.4 0. Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrón Si el ladrón ha sido alcanzado. ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A? RESPUESTAS: c) b.6)( 0. A p (CA ΙA) = (0.5 y si huye por la calle C es 0.15 9. La probabilidad de ser alcanzado por la calle es 0.25 NO COM RESPUESTAS: p ( SI ∩COM ) = (0.5) +(0. cbr. RESPUESTAS: a) p(PA)=0.edu.12 0. en la tabla que se muestra a continuación aparecen las proporciones correspondientes a cada uno de los ocho grupos resultantes: Problemas adicionales sobresalient e 0. que haya realizado problemas adicionales.02 0.13 Nota esperada notable 0. no haya realizado problemas adicionales.375 p ( PA ) 0.32 b) p(NS)=0.mx 11.68 p ( NS ΙPA ) = Ing Idalia G. espere una nota aprobatoria.Teoría de la Probabilidad www.32 p ( NA ∩ NPA ) 0.21 aprobado 0. Reyna de la Rosa Probabilidad pagina 44 P r e p a r a t o r i a R o y a l .08 Si no a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya tratado de resolver problemas adicionales b) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar espere una nota sobresaliente c) Calculara la probabilidad de que un estudiante elegido al azar.12 0.25 c) d) p ( NS ∩ PA ) 0. Se le pregunto a los estudiantes de una clase de Estadística cuales eran las notas que esperaban obtener en el curso y si habían o no tratado de resolver problemas a parte de los asignados por el profesor.382 p ( NPA ) 0.12 = = 0. espere una nota sobresaliente. d) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar.06 0.26 reprobado 0.26 p ( NA ΙNPA ) = = = 0.