Departamento de Ciencias Calculo 1_IngenieríaSOLUCIÓN SESIÓN 14 Optimización aplicada a la Ingeniería y Gestión Empresarial 1. Tres fábricas están situados en los vértices de un triángulo isósceles. Las fábricas B y C que distan entre si de 16 Km están situados en la base, mientras que la fábrica A dista 10 Km de la base del triángulo. ¿A qué distancia de A, a lo largo de la altura, se debe colocar una instalación de bombeo de agua de manera que se emplee la menor longitud de cañerías para abastecer de agua las tres fábricas? Solución: Sea 𝑥 la distancia buscada desde A, hasta M. Hagamos un gráfico del problema, A 𝑥 √64 + (10 − 𝑥)2 M √64 + (10 − 𝑥)2 10 − 𝑥 B C 8 N 8 Usando el teorema de Pitágoras se encuentra la hipotenusa del triángulo rectángulo 𝐵𝑀𝑁, esto es, √64 + (10 − 𝑥)2 . Además como el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles, es decir el ángulo 𝐵es igual al ángulo 𝐶, además 𝐴𝑁, es altura, lo cual cae perpendicularmente al lado 𝐵𝐶, de esto se tiene que el triángulo 𝐵𝐴𝑁 es congruente con el triángulo 𝐶𝐴𝑁. Por tanto N es punto medio del lado 𝐵𝐶. Sea 𝐿 la longitud de las cañerías, para abastecer de agua a las tres fábricas, 𝐿 = 𝐴𝑀 + 𝐵𝑀 + 𝐶𝑀 El objetivo es minimizar 𝐿 𝐿 = 𝑥 + 2√64 + (10 − 𝑥)2 Derivando 𝐿, tenemos 2(10 − 𝑥) 𝐿′ = 1 − √64 + (10 − 𝑥)2 Igualamos a cero para optimizar: 2(10 − 𝑥) 2(10 − 𝑥) 1− =0 → 1= → √64 + (10 − 𝑥)2 = 2(10 − 𝑥) √64 + (10 − 𝑥)2 √64 + (10 − 𝑥)2 Podemos elevar al cuadrado a ambos lados de la igualdad, pues 10 − 𝑥 > 0, representa longitud (ver gráfico), entonces: 64 + (10 − 𝑥)2 = 4(10 − 𝑥)2 → 64 = 3(10 − 𝑥)2 llevando la gráfica en un sistema de coordenadas. vamos a asumir que el radio de la base es 𝑥 . luego reemplazamos en la primera derivada y analizamos en la recta real: . a) Calcular las dimensiones del cilindro.10) y (4. usamos el criterio de la primera derivada.4 3 Para asegurar que nos genera un mínimo.4 6 El cambio de menos a más garantiza que el valor para 𝑥 = 5.0) El par ordenado (𝑥. b) Calcular el volumen del cilindro. para esto usamos puntos cercanos al 5. + 5 5.5. estos serán 5 y 6. 𝒚) (4. Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 64 64 64 → = (10 − 𝑥)2 → ± √ = 10 − 𝑥 → 𝑥 = 10 ± √ 3 3 3 64 El valor que nos interesa es 𝑥 = 10 − √ → 𝑥 ≈ 5. Se dispone de un trozo de madera que tiene la forma de un tronco de cono circular recto de 10 cm de altura. es decir: 𝑦 = −4(𝑥 − 4. y se desea cortar un sólido cilíndrico del mayor volumen posible. 𝑦) satisface la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2.5. respectivamente. 2. Las bases del tronco tienen como diámetros 4 y 9 cm.10) (𝒙. por lo tanto la instalación de bombeo se debe colocar a 5.4 genera un mínimo.4. y la altura es 𝑦 (2.5) → 𝑦 = −4𝑥 + 18 Reemplazando en la fórmula del volumen del cilindro: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ: 2 (−4𝑥 𝑉 = 𝜋𝑥 + 18) ⟹ 𝑉 = 𝜋(−4𝑥 3 + 18𝑥 2 ) .4 𝑘𝑚 del vértice 𝐴. Solución: Sea el cilindro de color negro y líneas punteadas el cilindro buscado.0). ¿A qué altura deberá estar el farol para que ilumine. Un farol debe ser colgado exactamente encima del centro de una plazuela circular de radio R. el criterio de la segunda derivada dice. La iluminación de la plazuela es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e IP a la distancia entre el foco luminoso y donde se quiere iluminar. además 𝐴 y 𝐵 son inversamente proporcionales sí 𝐴. lo mejor posible. . que 𝑥 = 3 genera el volumen máximo Hallamos la altura: 𝑦 = −4(3) + 18 = 6 𝑥=3 Entonces las dimensiones son { 𝑦=6 b) El volumen máximo es 𝑉 = 𝜋(3)2 (6) = 54𝜋 𝑐𝑚3 3. se tiene: 𝜋(−24(3) + 36) = −36𝜋 < 0 Al obtenerse un valor negativo. una senda que rodea la plazuela? Solución: Consideremos las siguientes variables y el grafico siguiente: 𝜃 : Ángulo de incidencia 𝑥 : Altura que debe ser ubicado el farol ̅̅̅̅ 𝐴𝐵: Distancia entre el farol y donde se quiere iluminar 𝐼 : Iluminación de la plazuela A 𝜃 √𝑅 2 + 𝑥 2 𝑥 B 𝑅 O 𝐴 Recuerda: dos magnitudes 𝐴 y 𝐵 son directamente proporcionales si 𝐵 = 𝑘. derivamos la función objetivo(volumen del cilindro) y luego igualamos a cero: 𝑉′ = 𝜋(−12𝑥 2 + 36𝑥) 𝜋(−12𝑥 2 + 36𝑥) = 0 → −12𝑥(𝑥 − 3) = 0 → 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 3 De estos valores el valor que sirve es 𝑥 = 3. Para esto usamos el criterio de la segunda derivada: 𝑉′′ = 𝜋(−24𝑥 + 36) Reemplazando en la segunda derivada el valor de 𝑥 = 3. Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería a) Para hallar las dimensiones del cilindro. ahora veamos si genera el volumen máximo. 𝐵 = 𝑘 . Hallar el volumen máximo de un cono circular recto inscrito en una esfera de radio “R”. se √𝑅2 +𝑥2 tiene: 𝐾𝑥 𝐼= 𝑅2 + 𝑥2 La que viene a ser nuestra función objetivo. así: . Luego procedemos a derivar: (𝐾𝑥)′ (𝑅 2 + 𝑥 2 ) − (𝐾𝑋)(𝑅 2 + 𝑥 2 )′ 𝐼= (𝑅 2 + 𝑥 2 )2 𝐾(𝑅 2 − 𝑥 2 ) 𝐼′ = (𝑅 2 + 𝑥 2 )2 Al igualar a cero la derivada no queda otra opción que 𝑥 = 𝑅 Entonces la altura que se debe ubicar el faro es la misma medida que el radio de la plazuela 4. se tiene: cos 𝜃 = . reemplazando en la ecuación anterior. sacamos la relación entre el radio y la altura del cono mediante Pitágoras. Solución: Consideremos las siguientes variables y el grafico siguiente: 𝑟 : Radio del cono ℎ : Altura del cono 𝑅 𝑅 ℎ−𝑅 𝑟 Del triángulo rectángulo formado. √𝑅2 + 𝑥2 = 𝐾 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐾𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐼= √𝑅2 + 𝑥 2 𝑥 Observando el triángulo AOB. Entonces: 𝐼 . Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería De acuerdo al enunciado: La iluminación de la plazuela es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e IP a la distancia entre el foco luminoso y donde se quiere iluminar. se tiene: 𝑉 = = 3 3 Se deriva y se iguala a cero para obtener la altura que genera el volumen máximo. el volumen del cono es 𝑉= 3 𝜋(2ℎ𝑅−ℎ2 )ℎ 𝜋(2ℎ2 𝑅−ℎ3 ) Reemplazando 𝑟 2 . Entonces el área total es: –y Área total = Área del Semicírculo + Área del rectángulo x 2 x 2 16 ( 2)x x 2 A(x) 2xy 2x 16x 2x 2 2 2 2 2 Derivando e igualando a cero se tiene: . Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería (ℎ − 𝑅)2 + 𝑟 2 = 𝑅 2 → 𝑟 2 = 𝑅 2 − (ℎ − 𝑅)2 → 𝑟 2 = 2ℎ𝑅 − ℎ2 𝜋𝑟 2 ℎ Ahora veamos la función objetivo. así: 𝜋(4ℎ𝑅 − 3ℎ2 ) 𝑉′ = 3 4𝑅 Si igualamos a cero esta derivada obtenemos dos valores para la altura. Solución: Se construye el gráfico según el enunciado en un plano cartesiano: Y Perímetro: 16 16 = longitud de la semicircunferencia + los tres lados del rectángulo. el valor que genera el volumen máximo es ℎ = . Una ventana Normanda se construye juntando un semicírculo a la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. Encontrar las dimensiones y el área de dicha ventana si su perímetro total es de 16 m y su área debe ser máxima. ℎ = 0 ∨ ℎ = 3 4𝑅 De los dos. 0 x X 16= x + 2x + 2y Qué pase la máxima luz significa que el área de la ventana debe ser máximo. 3 Para hallar el volumen máximo reemplazamos en la función objetivo: 4𝑅 𝜋 (2(4𝑅/3)2 𝑅 − ( 3 )3 ) 𝑉= 3 32𝜋𝑅 3 Obteniendo 𝑉 = 81 5. 4 Base del rectángulo: 32 2x 4 Altura del rectángulo: 16 16 ( 2) 16 ( 2)x ( 4) 16( 4) 16( 2) 16 y 2 2 2( 4) ( 4) Altura de la ventana: 32 yx 4 Área de la ventana: 2 16 2 16 A 16 16 4 2 16 128 m2 4 4 4 2 4 6. 16 A ''(x) 4 0 A Es valor máximo de la función área. Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 16 A '(x) 16 x 4x 0 x 4 Use el criterio de la segunda derivada. ¿Qué cantidad de alambre debe utilizarse en cada uno de los siguientes casos. Se utilizarán 20 m de alambre para cercar dos terrenos de diferentes formas. b) Hexágono regular y círculo. para que el área total encerrada sea máxima? a) Triángulo equilátero y cuadrado. 4 Por lo tanto. Solución: a) Triángulo equilátero y cuadrado. 𝑎 𝑎 𝒍 𝑎 𝒍 . las dimensiones de la venta son: Radio del círculo: 16 x . Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería Perímetro del triángulo =3𝑎 Perímetro del cuadrado = 4𝑙 20−4𝑙 Luego: 3𝑎 + 4𝑙 = 20 → 𝑎 = 3 𝑎 2 √3 La función objetivo es el área: 𝐴= + 𝑙2 4 Reemplazando se tiene: (20 − 4𝑙)2 √3 𝐴= + 𝑙2 36 Derivando la función objetivo se tiene: −2(20 − 4𝑙)√3 𝐴′ = + 2𝑙 9 Igualando la derivada a cero. se tiene: 20√3 𝑙= 9 + 4√3 180−80√3 Reemplazamos para hallar el valor de 𝑎 = 11 Para que el área sea máxima. se tiene: 2(20 − 4𝑙)√3 2𝑙 = → 9𝑙 = 20√3 − 4√3𝑙 → (9 + 4√3)𝑙 = 20√3 9 Despejando el lado del cuadrado. se debe tomar: 540−240√3 Para el triángulo = metros de alambre 11 80√3 Para el cuadrado = metros de alambre 9+4√3 b) Hexágono regular y círculo. 𝒓 . ¿Qué relación debe existir entre la altura del tanque y el radio de la base para que la construcción del tanque resulte lo más económica posible? Solución: . Se quiere construir un tanque en forma de cilindro circular recto abierto por la parte superior y con una capacidad de 300 m3. luego reemplazamos este valor para obtener 𝑎 = (6+√3𝜋) 3(𝜋+2√3) Para que el área sea máxima. se debe tomar: 40√3 Para el hexágono = metros de alambre (𝜋+2√3) 20𝜋 √3 Para el círculo = metros de alambre (6+√3𝜋) 7. se tiene: 𝜋(10 − 𝜋𝑟)√3 2𝜋𝑟 = → 6𝑟 = 10√3 − √3𝜋𝑟 → (6 + √3𝜋)𝑟 = 10√3 3 De donde despejando el radio se tiene: 10√3 20√3 𝑟= . Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería Perímetro del hexágono =6𝑎 Perímetro del círculo = 2𝜋𝑟 10−𝜋𝑟 Luego 6𝑎 + 2𝜋𝑟 = 20 → 3𝑎 + 𝜋𝑟 = 10 → 𝑎 = 3 3𝑎2 √3 La función objetivo es el área: 𝐴= + 𝜋𝑟 2 2 Reemplazando se tiene: (10 − 𝜋𝑟)2 √3 𝐴= + 𝜋𝑟 2 6 Derivando la función objetivo se obtiene: −𝜋(10 − 𝜋𝑟)√3 𝐴′ = + 2𝜋𝑟 3 Igualando la derivada a cero. Si el material a usarse para la base (por m2) cuesta el doble que la pared lateral. b) Para hallar el costo. 2 Luego obtenemos el costo total de fabricación de la lata: 𝐶(𝑟) = 2𝑝𝜋𝑟 2 + 𝑝𝜋𝑟ℎ Componiendo con “ h ”: 300 𝐶(𝑟) = 2𝑝𝜋𝑟 2 + 𝑝𝜋𝑟 (𝜋𝑟 2 ) 300𝑝 𝐶(𝑟) = 2𝑝𝜋𝑟 2 + con 𝑟 > 0 𝑟 La función costo. tenemos que conocer la cantidad de metros cuadrados para la base y para la parte lateral: 𝐴1 = 𝜋𝑟 2 → 𝐶1 = 2𝑝𝜋𝑟 2 𝑢𝑚 𝐴2 = 2𝜋𝑟ℎ → 𝐶2 = 𝑝𝜋𝑟ℎ 𝑢𝑚 El costo del material de la base ("𝑝" 𝑢𝑚) p cuesta el doble que la cara lateral ( 𝑢𝑚). por información del problema el volumen es de 300 metros cúbicos. la altura debe ser el cuádruple del radio.Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería a) Según el gráfico el radio de la base es r y la altura del cilindro es h . es la función que deseamos optimizar y para esto la derivada debe anularse: 300𝑝 𝐶 ′ = 4𝑝𝜋𝑟 − 𝑟2 Igualando a cero. se tiene: 300𝑝 300 300 4𝑝𝜋𝑟 − 2 = 0 → 4𝜋𝑟 = 2 → 4𝑟 = 2 → 4𝑟 = ℎ 𝑟 𝑟 𝜋𝑟 En donde podemos observar que para optimizar el costo. además el volumen del cilindro es V r 2h . . entonces reemplazando en la fórmula se tiene: 300 r 2 h 300 ⟹ h r 2 De donde se obtiene la altura como función del radio. calcular R2 cuando la potencia es máxima. La ecuación del movimiento es h (t ) 16t 2 96t . Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba. donde la altura “h” está dada en metros y el tiempo “t” en segundos. desde lo alto de un edificio de 112 m de altura. observamos que se vuelve cero cuando: 𝑅2 = ±𝑅1 . a) Calcular la velocidad instantánea de la pelota luego de transcurrir 2 segundos. b) Calcular la altura máxima y el tiempo en que la alcanza. 9. la altura máxima es de 256 𝑚 c) Para que la pelota toque el suelo. . la altura total debe ser cero. para conocer la velocidad en cualquier instante ℎ′ (𝑡) = −32𝑡 + 96 Ahora reemplazamos el tiempo: ℎ′ (2) = −32(2) + 96 = 32 𝑚/𝑠 b) Para calcular la altura máxima. igualamos la derivada a cero: −32𝑡 + 96 = 0 → 𝑡 = 3 𝑠 Con esto sabemos que cuando pasa 3 segundos se obtiene la altura máxima que es de: ℎ(3) = −16(3)2 + 96(3) = 144 𝑚 Si sumamos a esto la altura del edificio. Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 8. donde “v” es el voltaje. Si el voltaje y R1 se R1 R2 2 mantienen constantes. c) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo? Solución: a) Primeramente derivamos. La potencia eléctrica P (en watts) de un circuito de corriente directa con dos resistores R1 y R2 conectados en paralelo es P (t ) v R1 R2 . es decir: 𝑣𝑅1 (𝑅1 + 𝑅2 )2 − 2𝑣𝑅1 𝑅2 (𝑅1 + 𝑅2 ) 𝑣𝑅1 (𝑅1 + 𝑅2 )(𝑅1 − 𝑅2 ) 𝑃′ (𝑡) = = (𝑅1 + 𝑅2 )4 (𝑅1 + 𝑅2 )4 Igualando a cero esta derivada. pero el valor que nos interesa es 𝑅2 = 𝑅1 Por lo tanto la resistencia es máxima cuando las dos resistencias son iguales. Solución: Para obtener 𝑅2 que genere la potencia máxima debemos derivar la función potencia y luego igualar a cero. es decir: −16𝑡 2 + 96𝑡 + 112 = 0 → −16(𝑡 + 1)(𝑡 − 7) = 0 → 𝑡 = 7 𝑠 Significa que la pelota toca el suelo después de 7 segundos. aplicando Pitágoras tenemos: 𝑑1 = √𝑥 2 + 4 En el triángulo PNB. A B 𝑑1 2 𝑑2 1 M| |P |N x 4 x Solución: En el triángulo AMP. se tiene el mínimo número de asociados? . se tiene √𝑥 2 +4 = √(4−𝑥)2 +1 Se puede elevar al cuadrado a ambos lados debido a que 0 < 𝑥 < 4 . entre el 1989 y 2003. Se sabe que “t” años después de la fundación el total de asociados a la asociación está dado por f (t ) 100 2t 3 45t 2 264t . Optimización aplicada a la Gestión 11. La asociación Nacional de Consumidores ha sido fundada en el año 1989. Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 10. a) ¿Cuándo. Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales. descartando el valor de 8 pues 0 < 𝑥 < 4. aplicando Pitágoras tenemos: 𝑑2 = √(4 − 𝑥)2 + 1. luego se tiene: 𝑥2 (4 − 𝑥)2 = → 𝑥 2 ((4 − 𝑥)2 + 1) = (4 − 𝑥)2 (𝑥 2 + 4) 𝑥 2 + 4 (4 − 𝑥)2 + 1 𝑥 2 = 4(4 − 𝑥)2 → 3𝑥 2 − 32𝑥 + 64 = 0 → (3𝑥 − 8)(𝑥 − 8) = 0 3 De donde se tiene dos valores: 𝑥 = 8 ∨ 𝑥 = 8 . 3 Esto quiere decir que el punto de reflexión debe estar a 8 unidades de la base de A. se tiene el máximo número de asociados? b) ¿Cuándo. La luz se refleja en un espejo para ir desde el punto A hasta B. 0 < 𝑥 < 4 Por lo tanto la distancia recorrida es 𝑑 = √𝑥 2 + 4 + √(4 − 𝑥)2 + 1 Primeramente se deriva y luego se iguala a cero: 𝑥 (4 − 𝑥) 𝑑′ = − √𝑥 2 + 4 √(4 − 𝑥)2 + 1 𝑥 (4−𝑥) Luego igualando a cero. Hallar el punto de reflexión en el espejo que minimiza la distancia recorrida. entre el 1989 y 2003. Solución: a) En primer lugar hallamos la función ingreso promedio y la función ingreso marginal 𝐼 128 𝐼(𝑞) = 𝑞 = −2𝑞 + 68 − 𝑞 . El ingreso total (soles) proveniente de la venta de “q” unidades de un artículo está dado por el modelo funcional I (q) 2q 2 68q 128 . se tiene: 128 128 −2𝑞 + 68 − = −4𝑞 + 68 → 2𝑞 = → 𝑞 2 = 64 → 𝑞 = 8 𝑞 𝑞 El ingreso promedio es igual al ingreso marginal cuando se vende 8 unidades b) Para obtener el ingreso máximo. que vienen a ser los puntos críticos. cuando 𝑡 = 4 representa el año 1993. para ver los máximos y mínimos usamos el criterio de la segunda derivada. en primer lugar debemos derivar la función objetivo: 𝑓´(𝑡) = 100(6𝑡 2 − 90𝑡 + 264) Luego se iguala a cero para obtener los extremos relativos: 100(6𝑡 2 − 90𝑡 + 264) = 0 → 600(𝑡 − 4)(𝑡 − 11) = 0 De donde se tiene dos valores: 𝑡 = 4 ∨ 𝑡 = 11. esto significa que 𝑡 = 4 genera un máximo 𝑓 ′′ (11) = 600(2(11) − 15) = 4200 > 0 Al original un valor positivo en la segunda derivada. Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería Solución: Para hallar los máximos y mínimos. 12. es decir en el año 2000 se tiene el mínimo número de asociados. 𝑞 > 0 Ingreso marginal Igualando estas funciones. para esto derivamos nuevamente la función: 𝑓′′(𝑡) = 100(12𝑡 − 90) = 600(2𝑡 − 15) Reemplazamos cada uno de los puntos críticos 𝑓 ′′ (4) = 600(2(4) − 15) = −4200 < 0 Al originar un valor negativo en la segunda derivada. 𝑞 > 0 Ingreso promedio 𝐼 ′ (𝑞) = −4𝑞 + 68 . b) Entonces 𝑡 = 11 representa el año 2000. igualamos a cero el ingreso marginal: . esto significa que 𝑡 = 11 genera un mínimo a) Como 1989 representa que la variable 𝑡 = 0 . a) ¿En qué nivel de ventas el ingreso promedio es igual al ingreso marginal? b) Calcular el ingreso máximo. es decir en el año 1993 se tiene el máximo número de asociados. ¿Cuántas unidades producen una utilidad máxima? Solución: En primer lugar debemos encontrar la función objetivo. Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería −4𝑞 + 68 = 0 → 𝑞 = 17 Para ver si genera el ingreso máximo. 𝐼: ingreso total. por lo tanto el ingreso máximo es: 𝐼(17) = −2(17)2 + 68(17) − 128 = 450 Es decir el ingreso máximo es de 450 soles 13. es decir la utilidad. donde “P” es el precio (soles) y “q” es la demanda de artículos. 𝑞 ≥ 100 √𝑞−100 √𝑞−100 Luego 𝑈 = (6 − 5 )𝑞 − (2𝑞 + 100) = (4 − 5 )𝑞 − 100. 𝑥 ≥ 0 Entonces la ecuación queda: 40𝑥 − 2𝑥 2 = 𝑥 2 + 100 → 3𝑥 2 − 40𝑥 + 100 = 0 → (3𝑥 − 10)(𝑥 − 10) = 0 10 →𝑥= ∨ 𝑥 = 10 3 Si tenemos 𝑥 = √𝑞 − 100 → 𝑞 = 𝑥 2 + 100 1000 Reemplazando los dos valores. sea 𝑥 = √𝑞 − 100. 𝑞 ≥ 100 En segundo lugar derivamos la función e igualamos a cero para conocer los puntos óptimos: 1 √𝑞 − 100 𝑈 ′ = (− ) 𝑞 + (4 − ) 10√𝑞 − 100 5 1 √𝑞 − 100 20 − √𝑞 − 100 𝑞 (− ) 𝑞 + (4 − )=0→ = 10√𝑞 − 100 5 5 10√𝑞 − 100 𝑞 Luego 20 − √𝑞 − 100 = → 40√𝑞 − 100 − 2(𝑞 − 100) = 𝑞 2√𝑞−100 Para resolver esta ecuación aplicamos un cambio de variable. se tiene: 𝑞 = 9 ∨ 𝑞 = 200 . 𝐶: costo total √𝑞 − 100 𝐼 = 𝑝𝑞 = (6 − )𝑞 . para esto recordar que: 𝑈 = 𝐼 − 𝐶. En una empresa Monopolística. El 5 costo total de la producción de artículos es C (q) 2q 100 . usamos el criterio de la segunda derivada: 𝐼 ′ ′(𝑞) = −4 < 0 Al ser negativo el valor obtenido de 17 unidades es la cantidad que genera el ingreso máximo. la ecuación de la demanda de cierto artículo es 1 P (q) 6 q 100 . 𝑞 ≥ 100 5 𝐶 = 2𝑞 + 100 . se debe derivar la función objetivo y luego igualar a cero: 1 400 𝐶̅ ′ (𝑞) = − 2 4 𝑞 Luego igualamos a cero: 1 400 = 2 → 𝑞 2 = 1600 → 𝑞 = 40 4 𝑞 Para ver si minimiza la función. Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería Para ver los máximos y mínimos usamos el criterio de la primera derivada y de acuerdo al signo lo ubicamos en la recta real: . es decir: 800 𝐶̅ ′′ (40) = >0 (40)3 Al obtenerse una cantidad positiva. significa que 𝑞 = 40 genera un mínimo. q2 14. usamos el criterio de la segunda derivada. la producción que minimiza el costo promedio es 40 unidades . 𝑞>0 𝑞 4 𝑞 Ahora para obtener los puntos críticos. Solución: En primer lugar debemos encontrar la función objetivo. Determine para que nivel de producción se minimizará el costo promedio y cual su valor mínimo. el criterio de la primera derivada dice que si alrededor del punto crítico hay un cambio de más (creciente) a menos (decreciente). + - 1000 200 9 Los signos han sido puestos de acuerdo al valor numérico que sale al reemplazar puntos bien cercanos a los puntos críticos en la derivada. donde C es el costo total de 4 producir q unidades. Por lo tanto. La función de costo total está dada por C 3q 400 . Es decir el número de unidades que deben ser producidas y vendidas para obtener la utilidad máxima es 200 unidades. este punto crítico genera un máximo. es decir la función costo promedio: 𝐶 𝑞 400 𝐶̅ (𝑞) = = + 3 + . para esto derivamos nuevamente la función y reemplazamos el punto crítico. usamos el criterio de la segunda derivada: 𝐼 ′′ (𝑝) = 4𝑒−0. se obtiene el ingreso máximo cuando el precio es 50. encuentre el valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo. la función de demanda es q 10000e0. Determine el valor de t para que el 3 número de beneficiarios sea máximo.02𝑝 = 200𝑝𝑒−0. Solución: Para encontrar los extremos relativos de esta función. 0 ≤ 𝑡 ≤ 12 Igualamos a cero: 𝑡 2 − 12𝑡 + 32 = 0 → (𝑡 − 4)(𝑡 − 8) = 0 → 𝑡 = 4 ∨ 𝑡 = 8 Para conocer el máximo y el mínimo usamos el criterio de la segunda derivada: ′ 𝑛′ = 2𝑡 − 12 Reemplazamos los puntos críticos: ′ 𝑛′ (4) = 2(4) − 12 = −4 < 0 entonces 𝑡 = 4 genera un máximo ′ 𝑛′ (8) = 2(8) − 12 = 4 < 0 entonces 𝑡 = 8 genera un mínimo Es decir para que la cantidad de Beneficiarios sea máxima debe pasar 4 años. Solución: En primer lugar debemos encontrar la función objetivo. Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicios de salud. 𝑝>0 Ahora derivamos e igualamos a cero para obtener los puntos críticos 𝐼 ′ = 10000𝑒−0. Es decir. se tiene: 𝐼 ′′ (50) = 4𝑒−0. Para el producto de un monopolista.02𝑝 Luego.02𝑝 → 𝑝 = 50 Para ver si genera un máximo. .02𝑝 (50 − 100) = −200𝑒−0. donde n 6t 2 32t . 0 t 12 .02𝑝 (𝑝 − 100) Reemplazando el punto crítico.02 p . Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería 15. entonces al cabo de t años. igualamos a cero: 10000𝑒−0.02𝑝 < 0 Lo cual significa que 𝑝 = 50. se debe derivar y luego igualar a cero: 𝑛′ = 𝑡 2 − 12𝑡 + 32. genera un máximo. es decir la función Ingreso: 𝐼 = 𝑝𝑞 = 𝑝(10000𝑒−0. 16.02𝑝 − 200𝑝𝑒−0.02𝑝 ). n miles de personas adultas recibirían t3 beneficios directos.