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Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco DocenteCEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón Semana: Tema :Razonamiento Logico 1 CURSO : RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En nuestra vida cotidiana encontramos 1.2 PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN DE situaciones que nos hacen reflexionar y tomar TIEMPOS decisiones a partir de datos establecidos. Se puede comprobar que el razonamiento puede 77 ser simple mientras tengamos los datos bien claros, es por eso que enfocamos en buscar un Para resolver este tipo de problemas, razonamiento directo (sin formulas o modelos aplicaremos un método práctico para establecidos) el cual nos ayudará a plantear reemplazar por un equivalente numérico. problemas sobre: Ejercicios con cerillas, problemas sobre relación de tiempos, relación Ejemplo: de parentesco, situaciones diversas, problemas Si hoy es jueves. ¿Qué día es el ayer de sobre mentiras y verdades, problemas sobre pasado mañana de mañana de mañana de calendarios, orden de información, test de anteayer? decisiones y problemas sobre trasvases. Resolución: Es una habilidad específica para analizar Del enunciado: proposiciones o situaciones complejas, ¿Qué día es el ayer de pasado mañana entender las relaciones entre los hechos y -1 +2 de encontrar las causas que los produjeron, prever mañana de mañana de anteayer? consecuencias y así poder resolver el problema +1 +1 -2 de una manera coherente, tal como lo haces en Entonces: Piden: -1 + 2 + 1 + 1 - 2 \ < > +1; los juegos de estrategia. Es el razonamiento no verbal, el que se capta a través de la observación de la realidad. En este < > mañana \ < > viernes tipo de razonamiento está la tendencia a la 1.3 RELACIÓN DE PARENTESCOS utilización de pautas (secuencias), clasificaciones, dibujos o esquemas en el Muchos problemas de lógica recreativa nos estudio del funcionamiento, comportamiento y presentan situaciones de relaciones comprensión de algo; a diferencia del lenguaje familiares (parentescos) en los cuales, por hablado, o escrito, o discutido, etc. lo general, se aprecian enunciados de difícil comprensión por lo “enredado” de su texto; 1.1 EJERCICIOS CON CERILLAS por este motivo se requiere de una atención El ingenio es la predisposición para resolver adecuada para llevar a cabo el proceso algo en el mínimo tiempo y con el mínimo lógico-deductivo que nos conduzca a la esfuerzo; es solucionar algo sobre la base de solución. la creatividad. Debemos tener presente, al momento de Ejemplo: realizar la resolución, que cada uno de los Por lo menos cuántos palitos debes mover para integrantes de la familia puede desempeñar que la igualdad se cumpla: en un mismo problema papeles diferentes; así por ejemplo, una persona puede ser al mismo tiempo, y según se indique: padre, hijo, hermano, cuñado, esposo, abuelo etc. Resolución: Y además encontrar el menor numero de Es suficiente mover un solo palito así: personas posibles. Árbol Familiar Es decir 1 + 1 = 4 – 2. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO  Tatarabuelo Bisabuelo El objetivo de este tipo de situaciones es Abuelo Padre descifrar acertijos sobre verdades y  Hijo mentiras a los personajes que siempre  Nieto formulan o dicen enunciados  Bisnieto verdaderos, en asumir una posible  Tataranieto solución correcta y Además: Suegro Suegra Suegro Suegra 88 teniendo sus contrarios, los culpables o mentirosos. Yerno= Esposo Esposa =Nuera Ejemplo: Hijo Cuatro hermanas son interrogados por su madre, pues una de ellas usó sus joyas en Ejemplo: una fiesta sin su permiso a lo que Una familia está compuesta: 2 esposos, 3 contestaron: hijas, 3 hermanas y cada hermana tiene un Janina : Luzmila fue. hermano. ¿Cuál es la cantidad de personas Luzmila: Maritza fue. que puede integrar esta familia? Maritza: yo no fui. Resolución: Susana: yo no fui. Construyendo el diagrama Si 3 de ellas mienten, respectivo obtenemos: ¿Quién es la culpable? Cristel Raúl Resolución: Identificamos dos proposiciones Karol Kevin contradictorias: Emilia Lizbeth (Eshermanode:(Cristel, · Luzmila: Maritza fue ( ) (Son KarolyLizbeth) · Maritza : yo no fui ( ) esposos) (Sonlastreshijasde contradicción (1 V y 1 F) (RaúlyEmilia ) Del dato se sabe que tres de ellas mienten, Como se podrá apreciar en el diagrama son 6 entonces: personas como mínimo que satisfacen todas estas necesidades. · Janina : Luzmila fue (F) · Susana : yo no fui (F) se deduce que Susana fue 1.4 SITUACIONES DIVERSAS Encontramos ejercicios de situaciones 1.6 PROBLEMAS SOBRE CALENDARIOS lógico-recreativo y en algunos de ellos utilizaras conocimientos elementales de AÑO COMÚN. Consta de 365 días (52 matemáticas, en otros, reflexión y semanas y 1 día) por lo tanto cada año persistencia; el objetivo principal es ejercitar común avanzamos un día. tu poder de análisis. Ejemplo: Ejemplo: +1 Un granjero tiene 300 pollos y se le murieron todos menos 200. ¿Cuántos pollos le Sábado Domingo quedan? Resolución: Le quedaron los vivos y los muertos, es decir 1 enero 2007 1 enero 2008 los 300 pollos. 1.5 MENTIRAS Y VERDADES Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO AÑO BISIESTO. El tiempo que demora en dar obtuvo más puntos que Karol. ¿Quién la vuelta al sol (365 días y 6 horas obtuvo el puntaje más alto? aproximadamente) se denomina un año. Cada Resolución: 4 años, la fracción de horas no consideradas en Trazamos una recta horizontal para los años comunes se acumulan ubicar los datos de menos a más Del aproximadamente en 1 día y para incluir este enunciado planteamos: día (29 de febrero) se han establecido los años bisiestos. Por tanto un año bisiesto trae 366 Luís = L Karol = K Jhordy = J días (52 semanas y 2 días) Por lo tanto cada año bisiesto avanzamos 2 días. Maritza = M Gloria = G +2 Domingo Martes 99 1 enero 2012 1 enero 2013 Jhordy Luís Karol Gloria Maritza Del gráfico se observa que la que obtuvo mas Los años bisiestos, son los años múltiplos de puntaje es Maritza. 4, excepto loa años de fin de siglo que son bisiesto si son múltiplos de 400. Ejemplo: 1.7.2 ORDENAMIENTO VERTICAL Los datos 0 del problema se ubican de forma vertical en 1880 = 41880 es bisiesto un cuadro o lista de forma que entre ellos 0 exista una relación que el enunciado nos 1996 = 41996 es bisiesto 0 indica. 2010 ¹ 42010 no es bisiesto Dato 1 Dato 2 1.7 ORDEN DE INFORMACIÓN Dato 3 Aquí los problemas tienen como Ejemplo: característica que en ellos siempre se Cuatro hermanas viven en un edificio de proporcionan datos desordenados los cuatro pisos, Reyna vive en el primer piso, cuales contienen toda la información. Para Victoria vive mas abajo que Luz y ello utilizaremos lo habilidad mental, el Elizabeth vive en el inmediato superior a orden y la memoria, no es necesario tener Victoria ¿en que piso vive Elizabeth? antecedentes matemáticos, solo pequeñas Resolución Del enunciado: nociones de lógica. 4to piso Luz 3er piso Elizabeth 1.7.1 ORDENAMIENTO HORIZONTAL 2do piso Victoria Los problemas de esta parte contienen 1er piso Reyna datos de un mismo tipo, se busca Por lo tanto Elizabeth vive en el tercer ordenarlos de forma creciente o piso. decreciente, los datos se ubican en una manera lógica 1.7.3 ORDENAMIENTO CIRCULAR En estos casos los elementos estarán ordenados de manera que formen una figura cerrada. Debemos tener en cuenta lo Dato 1 Dato 2 Dato 3 Dato 4 . . .. . Dato n siguiente: Ejemplo: En un examen Luís obtuvo menos puntos que Karol, Jhordy menos puntos que Luís y Maritza más puntos que Gloria si Gloria Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO conejo; aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: · Jimena y la dueña del gato discuten con Flor sobre el mejor cuidado de sus mascotas. · Solange dice su loro es la mascota más limpia. · Jimena le gusta tener un conejo. ¿Qué mascota tiene Estefany? Ejemplo: Alrededor de una mesa circular se sientan 6 persona ubicadas simétricamente. Daniel no 1010 está a lado de Carlos ni de Víctor, Job no Resolución: está al lado de Samuel ni de Víctor, Elías está junto a la derecha de Debemos tener en cuenta que los datos Carlos ¿Quién está sentado nos sirven para diferenciar a las junto a la derecha de Daniel? personas. Resolución: · Este dato nos indica que ni Jimena ni Ordenando los datos tenemos: Flor tienen como mascota el gato, Víctor entonces: Samuel Gato Mono Loro Conej o Derecha Jimena NO o Solange Carlos Daniel Estefany Izquierda Flor NO Elías Job Este dato nos indica con mayor precisión las mascotas de cada una; El que se sienta junto a la derecha de Daniel es donde Solange afirma que su mascota Samuel. es el loro y Jimena también manifiesta que su mascota es un conejo. 1.7.4 ORDENAMIENTO EN TABLAS Gato Mono Loro Conejo En estos problemas encontraremos Jimena NO NO NO SI elementos que están relacionados bajo un mismo patrón, pero con diferentes Solange NO NO SI NO características. Debemos tener en cuenta lo siguiente: Estefany SI NO NO NO Flor NO SI NO NO · La característica de “R” sólo la tendrá “R”; no podrá existir otro elemento con la Estefany tiene como mascota y será misma característica. dueña del loro Ejemplo: 1.8 TEST DE DECISIONES Esto se da cuando Cuatro amigas: (Jimena, Solange, se presenta diversos datos que deben ser Estefany y Flor) tienen cada una de ellas relacionados entre si; se busca ubicarlos en una mascota diferente: gato, mono, loro y un cuadro o tabla de doble entrada. Ejemplo: Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Tres hermanos, Elmer; Daniel y Jazmín se entretienen con objetos diferentes (cartas, llavero y globos); donde se sabe que: 13 litros Daniel dice al dueño del llavero que el otro \ 7 litros hermano tiene las cartas. Elmer le dice al 13 L 0L 4 litros dueño del llavero que su entretenimiento nada · tiene que ver con los globos ¿Qué entretenimiento tiene Elmer y quien se (lleno) (vacío) (vacío) entretiene con los globos? 13 L 0L 0L Pasan7L a) Elmer – globos (1º) b) Jazmín – globos 6L 7L 0L c) Daniel – globos Pasan4L d) Elmer – Cartas (2º) e) Ricardo – globos 6L 3L 4L Resolución: Llavero Cartas Globos Obtenemoslos10litros 4L Elmer NO SI NO Daniel NO NO SI Jazmín SI NO NO 1111 Rpta. Cartas – Daniel Por lo tanto, son necesarios 2 trasvases 1.9 PROBLEMAS SOBRE TRASVASES Se deberá verter líquido de un recipiente a otro hasta obtener el volumen del líquido PROBLEMAS RESUELTOS requerido, pero con el menor número de traslados. La mayor dificultad recide en 1. Se tienen 9 bolas de acero del mismo tamaño que los recipientes estarán graduadas. y color. Una de las nueve bolas es En los problemas sobre trasvases, considere ligeramente más pesada; todas las demás que: pesan lo mismo. Empleando una balanza  No es posible realizar dos a más trasvases de dos platillos. ¿Cuál es el número de simultáneos. pesadas necesarias para determinar la bola  No se desperdicia líquidos. de peso diferente?  En cada trasvase, solo es posible llenar un recipiente o vaciar el otro. Ejemplo: Se tiene un recipiente con 13 litros de vino Resolución: del cual solo se requieren 10 litros. Si además solo se posee dos recipientes vacios uno de 4 litros y otro de 7 litros, Se dividen las 9 bolas de acero en 3 grupos ¿Cuántos trasvases serán necesarios para de 3, primera pesada: se colocan 3 en cada obtener el volumen deseado? Considere platillo. que los recipientes no tienen marca alguna. Resolución: · La balanza o queda en equilibro o no Para obtener 10 litros de los 13 dados (ley del medio excluido) debemos separar 13 -10 = 3 litros y estos se pueden obtener de los recipientes de 4 · Si queda en equilibrio, entonces la bola de y 7 litros (como una diferencia 7 – 4 = 3). mayor peso se encuentra en el grupo Los trasvases serian los siguientes: que no ha sido pesado. Si no hay equilibrio, entonces se retira y aparta el grupo con la bola más pesada. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Se dividen las 3 bolas del grupo más pesado. hecho sabemos que el suceso ocurrió Segunda pesada: se coloca una bola en cada el domingo en la platillo: tarde. En consecuencia ¿Cuál de los mencionados sería el sospechoso · La balanza o queda en equilibrio o no (¿por principal? qué?) Resolución: · Si no hay equilibrio, entonces la bola de Del enunciado se tiene que si el mayor peso es el que hace que se homicida Es: incline la balanza. Si hay equilibrio entonces la bola de mayor peso es la - Miguel Þdelito premeditado. que no fue colocada en la balanza. - Juan y RolandoÞocurrió en la noche Luego es suficiente 2 pesadas. - LucioÞno ocurrió el día domingo 2. En la oficina de una compañía Minera 1212 Volcán se encuentran 5 hermanos, 5 padres, 5 hijos, 5 tíos, 5 sobrinos 5 primos. Según el dato: “El suceso ocurrió el Para firmar sus respectivos contratos. El domingo por la tarde”, con lo cual se menor número de contratos que firmaron, descarta como sospechoso a Juan y será: Rolando, además de Lucio. Resolución: Sospechoso principal: Miguel Para que el número de personas sea mínimo una persona o más deben cumplir PROBLEMAS PROPUESTOS un múltiple papel (un padre, también es hijo del abuelo paterno de su hijo. 1. En un edificio de 5 pisos viven las familias: Mal partida, Padilla, Ortiz, López y, Rufino En el problema deben haber 5 hermanos cada una en pisos diferentes: donde cada uno debe tener su respectivo hijo (5 hijos), por lo tanto esos 5 hermanos Si se sabe que los: serán padres y tíos a la vez mientras que los 5 hijos serán primos y sobrinos. · El Rufino viven sobre los Padilla. · Los Mal partida viven lo más lejano del Ortiz. · El Ortiz ni puede subir las escaleras. · Los López hubieran preferido vivir en el último piso. Se deduce que los: A) los Mal partida viven en el segundopiso. B) El Rufino no viven en el segundo piso. C) Los Flores viven en el segundo piso. D) El Rufino viven en el segundo piso. E) Los Ortiz viven en el tercer piso. # Mínimo de contratos = 10 2. Me preguntaron, cuántos hermanos tengo yrespondí: Tengo 13, pero conmigo no 3. Se cometió un asesinato. Se sospecha de somos 14, porque somos 11 y somos 4, y Rolando, Juan, Miguel y Lucio. además porque soy el ultimo y el primero. De ser Miguel el homicida, ¿De cuántas personas se habla? (no me el delito fue premeditado. Si los cuenten a mí) autores fueron Juan o Rolando ocurrió en A) 13 B) 11 C) 15 D)12 E)14 la noche. Si el asesino es Lucio, no ocurrió el día domingo. Como cuestión de Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 3. Alejandro, Raúl, Liborio y Pablo tiene 8. Si sabe que Diana es hija de Lourdes, diferentes oficios: Cerrajero, pintor, gasfitero y quien a su vez es madre de Katy, quien es carpintero; y usan uniformes azul, verde, hija de la hermana de Martha. Si Estela es marrón y anaranjado; se sabe que: hermana de Katy y Diana no es su madre, podemos afirmar:  El cerrajero derrotó a Raúl en ajedrez. I. Diana y Martha son  Liborio y el gasfitero juegan futbol con el de hermanas. II. Lourdes es verde y con el de marrón. madre de Estela. III.  Alejandro y el carpintero no se llevan bien Martha es tía de Estela. con el de marrón. A) I B) II C) I y II  El pintor usa uniforme azul. ¿Qué oficio D) I y III E) III tiene Liberio? A) Cerrajero B) Gasfitero C) Carpintero 1313 D) Médico E) Pintor 9. ¿Qué fecha será el mañana del pasado 4. En la figura, distribuir los números 5, 7, 11, 13, mañana de ayer de pasado mañana de 17, 19 y 23 tal que la suma en cada fila sea ayer de pasado mañana de ayer de pasado constante e igual aun número primo. mañana, tantas veces el ayer de pasado mañana como días han transcurrido del presente mes hasta hoy, 21 de setiembre? A) 11 de octubre B) 18 de octubre X C) 14 de octubre D) 22 de octubre E) 30 de octubre Dé como respuesta el valor de x. 10. Amalia, Betty, Fernando y Gloria, A) 7 B) 11 C) 13 D) 23 E) 29 tienendiferentes ocupaciones: periodista, médico, farmacéutica, y químico y viven en 5. Si mañana fuera como ayer, el hoy estaríatan las ciudades P, T, U y Z. Se sabe que: distanciado del lunes como el hoy del domingo.  Fernando no vive en P ni en T. ¿Qué día es el ayer del día que sigue al pasado  Amalia vive en Z. mañana del anteayer del posterior día a hoy?  Gloria es farmacéutica.  El periodista nunca ha emigrado de U. A) Sábado B) lunes C) martes  El médico vive en P. D) jueves E) domingo  ¿Qué profesión tiene Amalia? 6. Un lechero se encuentra preocupado porque A) Abogada B) Periodista debe cumplir con un pedido urgente de 13 litros C) Farmacéutica D) Médico E) Química de leche: Si tiene un envase de 20 litros de capacidad lleno de leche, dos recipientes de 5 11. Las figuras 1 y 2 están formadas por y 4 litros vacíos, y ninguno de los 3 tiene marca fichascirculares idénticas. ¿Por lo menos alguna, ¿Cuántos trasvases se tendrán que cuántas fichas de la figura 1 deben ser realizar como mínimo, para cumplir con el cambiadas de posición para formar la pedido si la leche no se desperdicia? figura 2? A) 5 B) 8 C) 9 D) 7 E) 6 7. Se tiene 6 bolas de billar idénticas en tamaño y color. Todas ellas tienen el mismo peso, con Fig.1 excepción de una que es ligeramente más Fig. 2 pesada que las demás. Si se tiene una balanza A) 3 B) 7 C) 4 D) 5 E) 6 de dos platillos, ¿Cuántas veces se tendrá que utilizar como mínimo la balanza para identificar la bola de billar más pesada? 12. Seis hombres y tres niños tienen A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 6 quecruzar un río en una canoa, en cada viaje solo pueden ir dos de los hombres Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO o los tres niños, pero no un niño con un hombre a la vez. ¿Cuál es el menor número de veces que la canoa tendrá que cruzar el rio, en cualquier sentido, para que todos se trasladen? A) 9 B) 15 C) 13 D) 14 E) 11 N unca consideres el estudio como una obligación sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravillosos mundo del saber. Albert Einstein Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco Docente CEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón Razonamiento Semana: Tema : Inductivo Deductivo 2 CURSO : RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Las lógicas inductivas y deductivas representan la Concluimos que la suma de cifras del å base del razonamiento matemático, pilares sobre los cuales se construye fundamentalmente para resultado de la operación sería: Cifras resolver situaciones problemáticas, donde esta =(111111111)2 = 81 = 92 hermosa disciplina, sobre la base de la observación y el análisis. 2.1 Razonamiento Inductivo. Consiste en el análisis de casos particulares, para conseguir 1414 ciertos resultados y llegar a una conclusión para 2 2. Calcular: (20122012) - (20122011) 2 aplicarlo a un caso general. Resolución: Caso1 Como la regla general de diferencia de CONCLUSION INDUCCION Caso “n” cuadrados es: Caso2 (a + b) (a – b) = a2 - b2 Caso3 Para el caso particular se aplica: (20122012+20122011)(20122012– 20122011) Casos Casogeneral (40244023) x 1 = 40244023 particulares 3. Hallar el valor de: Razonamiento Inductivo 3628 x 3572 + 784 R= 107 x 93 + 49 2.2 Razonamiento Deductivo. Consiste en analizar un suceso general para aplicarlo a Resolución: sucesos particulares con características Sabemos que: (a + b) (a – b) = a2 – b2 inherentes a ambos. Dándole la forma adecuada y luego aplicando Caso1 Caso una diferencia de cuadrados: Casos General DEDUCCION Caso2 particulares 2 (3600 + 28 )(3600 - 28) + 28 R = Caso3 (100 + 7 ) (100 - 7 ) + 49 Razonamiento Efectuando operaciones, se tiene: Deductivo 22 2 2 22 100 2 PROBLEMAS RESUELTOS R= 3600 --2849 ++4928 = 3600100 = çèæ3600 ÷øö = 36 1. Hallar la suma de cifras del resultado de: 100 (111111111)2 Resolución: 4. Calcular la suma de cifras del resultado de: R = å Cifras (99999…..999) x (55555…..555) 2 Caso 1: 1 = 11 = 12 Caso 2: (11)2 = 1214 = 22 85 cifras 85 cifras Caso 3 (111)2 = 12321 9= Resolución: 32 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Viendo la ley de formación que presenta cada factor, En P3: # palitos = 24 = 2(3x4) entonces analizaremos la multiplicación para casos Generalizando:#palitos(P60) más simples, así tenemos. 2(60x61) = 7320 Suma de cifras 9x5=45 9=9x(1) \ # palitos P60 = 7320 1 cif. 1 cif 99x55=5445 18=9x(2) PROBLEMAS PROPUESTOS 2 cif. 2 cif 1. Calcular: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … 999x555=554445 27=9x(3) 3 cif. 3 cif “2006 términos” .. .... .... .. A) 22002 B) 2012 C) 22007 - 1 D) 22000 - 1 E) 22007 + 1 Conclusión General R = 99999…..999 x 55555…..555 2. Calcular el valor de: el número de círculos sin pintar, en la P = 15+ 1515 + 151515 + 15151515 1515 12 1212 121212 12121212 A) 10 B) 12 C) 5 D) 15 E) 18 85 cifras 85 cifras 3. En la siguiente sucesión, 765 = 9 x (85) determinar colección de círculos que ocupe 5.Dadalasecuencia : el décimo lugar , , ……………. Hallar el número de palitos en la figura # 90 Resolución: # de palitos en cada figura: 3; 8 ; 15 ; 24 ; ……….. A)301 B)131 C)180 D) 245 E) 125 +5 +7 +9 4. En la siguiente figura hay en total 1024 esferas \# de palitos en la figura # 90 sombreadas. ¿Cuántas esferas sin sombrear 3 + 5 + 7 + 9 + … = 902 – 1 = 8099 hay en total? 90 términos 6. Hallar el total de palitos de fósforo en P60 : . . ....... .. .. P1 P2 P3 ......... . . . . .. . Resolución: . . En P1: # palitos = 4 = 2(1x2) . . En P2: # palitos = 12 = 2(2x3) Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 1 A) 512 B) 729 C) 540 D) 961 E) 1024 1 2 5. Halle el valor de: 1 2 3 R= 1960 1961 1962 1963 1 1960x x x . . . . +- . . . . A) 1962 B) 1963 C) 1 D) 1960 E) 1961 . . . . 6. En la siguiente secuencia, determinar el númetro de 1 2 99 100 circulos sombreados en la ……… figuranúmero18. A) 90 B) 98 C) 100 D) 102 E) 150 10. ¿Cuántos palitos serán necesarios paraformar la figura de posicion 10, siguiendo la secuencia ; ; ; ; mostrada? F1 F2 F3 A) 406 B) 499 C) 396 D) 496 E) 596 ; ; ;.... 7. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra P1 P2 P3 “COMPUTADORA” C O M P U T A) 220 B) 270 C) 320 D) 400 E) 420 O M P U T A M P U T A D 1616 P U T A D O 11. Hallar la suma de todos los números delsiguiente arreglo numérico: U T A D O R 1 4 7 10 … 28 T A D O R A 4 7 10 13 … 31 A) 300 B) 256 C) 270 7 10 13 16 … 34 D) 252 E) 295 10 13 16 19 … 37 8. Calcular el máximo valor que puede tomar: M + A + R, si: . . . . . . . . . . AMAR + RAMA =9328 28 31 34 37 … 55 A) 26 B) 25 C) 20 D) 23 E) 19 A) 2700 B) 2800 C) 2400 9. Calcular la diferencia entre el número detriángulos D) 2870 E) 1400 sombreados y el número de triángulos no sombreados. 12. Calcule la suma de cifras del resultado de: Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO (888 … 88 - 555 …55)2 2000 cifras 2000 cifras A) 18 000 B) 20 000 C) 21 000 D) 15 000 E) 19 000 13. Calcule la suma de los elementos de la filanúmero 25. Fila 11 Fila 2 2 3 3 Fila 35 7 4 9 Fila 411 13 5 15 Fila 527 29 21 6 23 25 Fila 627 29 31 A) 13 797 B) 13 897 C) 13 967 D) 13 697 E) 13 872 14. ¿De cuantas formas distintas se puede leer “DECENAS” en el siguiente arreglo? D E E C C C E E E E N N N N N A A A A A A SS S S S S S A) 256 B) 512 C) 128 D) 64 E) 270 N o hay ciencia que hable de armonía de la naturaleza con más claridad que la Matemática. PAULO CARUS Es aquel conjunto ordenado de elementos Indique qué letra continúa en la sucesión: (números, letras o figuras), tal que cada uno A; Z; B; Y; C;… ocupa un lugar establecido, acorde con una ley de formación o regla de recurrencia. Ejemplos: 1; 3; 5; 7; 9;……. 1717 12; 18; 24; 30; 36;……. 5; 10; 16; 23; 31;……. En los lugares impares están A; B; C;…, en K; N; P; S; V;……. los lugares pares están Z; Y;… luego seguirá Ley de Formación. Es el orden matemático que la letra X relaciona los términos, la ley de formación se determina relacionando las operaciones básicas 3.3 SUCIONES NUMÉRICAS: Es o mediante una deducción lógica. un conjunto ordenado de TIPOS DE SUCESIONES: números que justamente Entre las más importantes tenemos: obedecen a un criterio de orden o formación, llamada 1. Sucesiones gráficas. también ley de recurrencia y 2. Sucesiones literales. pueden ser: 3. Sucesiones numéricas. a) Sucesiones Aritméticas. Cuando la 3.1SUCESIONES GRÁFICAS. Están diferencia entre dos términos formados por figuras ordenadas y consecutivos de la sucesión es constante, construidas de acuerdo a ciertos criterios llamada razón aritmética. Ejemplo: lógicos, estos pueden ser: Criterio de giro, 27; 24; 21; 18; 15;… criterio de aparición y/o desaparición de elementos de la figura, unión y/o intersección de figuras y relación con otras -3 -3 -3 -3 figuras. Þr=3 Ejemplo: La relación de los números es por ¿Qué figura no guarda relación con las demás? diferencia disminuye de 3 en 3. b) Sucesiones Geométricas. Cuando cada termino se obtiene multiplicando o dividiendo el precedente por un valor A B C D constante. Ejemplo: Resolución: 2; Todas las alternativas muestran una cantidad de puntos múltiplos de 3, 6; 18; 54 x3 x3 x3 r = 3 excepto la figura C. 3.2 SUCIONES LITERALES: Conjunto Los términos se relacionan por ordenado de letras que se multiplicación; de término a término se distribuyen de acuerdo a los multiplica por 3. siguientes criterios: · Lugar que ocupa la letra en el alfabeto. c) Sucesiones Mixtas. Cuando las operaciones que generan cada término · Iniciales de las palabras conocidas. · combinan las reglas de formación de las Formación de palabras. aritméticas y geométricas. Ejemplo: Ejemplo: 1; 1; 3; 15; 105; 945 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 1; 4; 9; 16; 25; 36; .. tn = n2 · De los x1 x3 x5 x7 x9 números cubos 1; 8; 27; 64; 125;…… tn = n3 +2 +2 +2+ +2 · De los números triangulares n(n+1) Término enésimo (tn). Se llama término enésimo o general aquel que representa a 1; 3; 6; 10; 15; … tn = cualquiera de los términos de la sucesión. 2 Número Ordinal: · De los números pentagonales 1º, 2 º,3 º,… n º Término de Sucesión: t1, t2, t3, , tn 1818 n n(3 -1) Término enésimo de una sucesión aritmética 1; 5; 12; 22; 35;… tn = 2 t1, t2, t3, , tn f) Sucesión Polinomial (Sucesión Aritmética de mayor orden) t1 ; +r +r t2; t3 ; t4 ; …………. “n” tn = t1 + (n – 1) r +a +b +c +d Término enésimo de una sucesión Geométrica +m +n +p términos t1, t2, t3, , tn +r +r xr xr Diferencias sucesivas, donde: tn = t1 rn-1 tn= +t1 ( 1)n-1 a n+( 1)(- -1.2n 2)m n+( 1)( 2)( d) Sucesiones Especiales 3)- - -n1.2.3n r · De los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … · De Fibonacci PROBLEMAS RESUELTOS 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; …. (La suma de dos términos consecutivos te da el que sigue) · De 1. Halle el tn y el trigésimo término de la Feinberg (Tribonacci) sucesión: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, … (La suma de dos términos consecutivos te da el que sigue) 7; 16 ; 29 ; 46 ; …….. · De Lucas 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, … Resolución: · Oscilante Sabemos que tn = an2 + bn + c 1, -1, 1, -1, 1, -1, …. 2; 7; 16 ; 29 ; 46 ; …… e) Sucesiones Notables · De los números naturales +5 +9 +13 +17 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;… tn = n +4 +4 +4 · De los números pares a = 4/2 = 2, b = 5 – 2 = 3; c = 2 tn = 2; 4; 6; 8; 10; 12; … tn = 2n · De los números impares 2n2 + 3n + 2 1; 3; 5; 7; 9; 11; … tn = 2n – 1 · De los números cuadrados \ t30 = 2(30)2 + 3(30) + 2 = 1800 + 90 + 2 = 1892 Analizando los numeradores y denominadores, tratando de hallar 2. Indicar el término que continua en una ley de formación. la siguiente sucesión: · En el numerador: 1 ; 4 ; 27 ; 256 ; ….; enésimo ; ; ; ; ....... Resolución: 11 22 33 44 nn · Observamos dos sucesiones: 1; 3; 6 ; 10 ; x · En el denominador: 3; 6; 9; 12 ; …. ; Enésimo +2 +3 +4 +5 3x1 3x2 3x3 3x4 Þ x = 15 3xn nn · 51 ; 38 ; 27 ; 18 ; y \ =Tn 3n -13 -11 -9 -7 Þ y = 11 15 11 3. Hallar el término enésimo y el término delugar 30 en: 6. Indicar el término que continúa Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO x Luegosetiene:x=8 ¸ 2 =4 \= y 5 ; 11 ; 17 ; 23 ; ….. en a siguiente sucesión: 120120 Resolución: ; 9240 ; 840 ;120 ; 24 ; 8 ; Analizando la razón, se deduce que es una Resolución: progresión aritmética. Esquematizando la sucesión: 120120 ; 9240 ; 840 ; 120 ; 24 ; 8 ; … -1 5; 11 ; 17 ; ¸13 ¸11 ¸7 ¸5¸3¸2 23 ; ….. Números primos 6 +6 +6 +6 1919 Þr=6 PROBLEMAS PROPUESTOS Tn = 6n - 1 Þ T20 = 6(30) – 1 = 179 1. Calcule el vigésimo término de: 4 ; 9 ; 18 ; 31 ; 48 ; 69 ; …… 4. ¿Qué letra continua: B ; D ; C ; F ; D ; ……..? Resolución: A) 625 B) 900 C) 783 D) 850 E) 720 B ; D ; C ; F ; D ; ……..? 2 4 3 6 4 8 2. En la siguiente sucesión, halle la suma de cifras del pentagésimo término: +2 -1 +3 -2 +4 La letra buscada: H 5. Dar el 1 ; 2 ; 9 ; 28 ; 65 ; 126 ; ……….. A) 20 B) 28 C) 19 término enésimo en: D) 25 E) 27 ; ; ; ;... 3. Halle el trigésimo termino de: Resolución: 3 ; 14 ; 47 ; 114 ; 227 ; ………… Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO A) 53212 B) 52012 C) 52112 D) 53102 E) 53112 4. Indicar el término que continua en la siguiente sucesión: 1 -1 51 ; 0,25; 2 ; ; 1 ; ? 2 64 A) 1,50 B) 2,50 C) 1,75 D) 1,25 E) 1,20 5. Si la siguiente sucesión: ;; ; ; ; ......... tiene 30 términos. Determinar la diferencia de los términos de la última fracción. A) 94 B) 86 C) 104 D) 90 E) 74 6. Si la siguiente sucesión: 11 19 29 41 55 ; ; ; ; ;... 4 9 16 25 36 Tiene 30 términos. Determinar la diferencia de los términos de la última fracción. A) 94 B) 86 C) 84 D) 90 E) 74 7. Dada las siguientes sucesiones: D) n2 + 3 E) 2n2 - 1 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ………. ; 297 4 ; 12. Indique la alternativa que continua en laserie: 11 ; 18 ; 25 ; ……….. -2 ; 2 ; 18 ; 52 ; 110 ; ? A) 165 B) 185 C) 205 Calcular cuántos términos son comunes a D , C ; S ; O ; D ; …………….. D) 255 E) 198 13.¿Qué letracontinua en la siguiente sucesión? 2020 A) M B) P C) F ambas sucesiones. D) R E) D A) 8 B) 9 C)10 D) 12 E) 10 57 9 11 3 6 9 12 14. Dada la sucesión: ; ; ; 8. Hallar el valor de “n” en la ;...A partir de qué lugar los términos son menores que siguiente sucesión: 0,75? (a + 3); (a + 7)3 ; (a + 11)5; .; (a + 118 – n)n A) 15 vo. B) 13 vo. C) 14 vo. D) 17 vo. E) 31 vo. A) 38 B) 35 C) 36 15. Indique la alternativa que continúa D) 39 E) 53 correctamente en la siguiente sucesión: 9. Halle el trigésimo quinto término en: 6; 15; 36; 93; 258; … A) 373 B) 489 C) 621 D) 747 E) 1005 32 ; 29; 26 ; 23 ;……... A) -69 B) -77 C) -70 16. Determinar el decimo octavo término de lasucesión: D) -57 E) -47 10.La siguiente es una armónica: ; ; ; ; ;... 339 519 1 1 1 1 A) B) C) ; ; ; ; .......... 2x + 3 x+8 3x +1 y Calcule el valor de x + y. D) E) 1 1 1 1 17. Se divide el conjunto de números naturalesen ; ; ; ; .......... grupos de modo que cada uno de ellos termina 2x + 3 x+8 3x +1 y en un número par, resultando la sucesión: A) 16 B) 18 C) 20 (1;2), (2;3;4), (3;4,5;6), (4;5;6;7;8) ; … Halle la suma de los números correspondientes D) 25 E) 17 al término 35. 11. Halle el término enésimo de la sucesión: 2; 5; 10 ; 17 ; 26 ; ………. L A) 1890 B) 1690 C) 2090 D) 1630 E) 1790 a Matemática es una ciencia poderosa y A) n2 - 1 B) n2 + 1 C) 2n2 + 1 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO bella, problematiza al mismo tiempo la números mediante operaciones básicas. armonía divina del Universo y la grandeza Son grupos de números distribuidos en fila (horizontales) y columnas (verticales), cuya relación puede establecerse entre filas y del espíritu humano. columnas sin que la incógnita sea necesariamente el número central F. GOMES TEIXEIRA Ejemplo Analogías y Distribuciones 1: ¿Qué número falta en? Numéricas 4 7 15 6 13 8 ? 20 23 14 4.1 ANALOGÍAS NUMÉRICAS: 2121 Son un grupo de números distribuidos en líneas horizontales (filas). La primera fila Resolución: contiene tres números y el que ocupa la Analizamos los números de manera vertical posición central es el resultado de efectuar 1ra columna 7 + 13 = 20 ciertas operaciones con los que ocupan los 2da columna 15 + 8 = 23 Entonces extremos. Ejemplos: 3ra columna 6 + ? = 14 1. ¿Qué numero falta? (20) (99) ( 5 ) ? = 14 - 6 = 8. ( 7 ) ( ? ) (13) 4.3 DISTRIBUCIONES GRÁFICAS Resolución: Se multiplican los extremos de la 1ra fila Es la distribución de números que se van a 20 x 5 = 100 relacionar, dentro de una o varias figuras Al resultado le restamos la unidad geométricas, mediante una ley de formación, se 100 – 1 = 99 debe considerar la forma de la figura al Luego, realizamos la misma operación solucionar el problema. en la 2da fila Ejemplo: Multiplicamos los extremos 64 3 4 7 x 13 = 91 Le restamos la unidad 91 -1 = 90 5 32 2 2. ¿Qué numero falta? (4) (20) ( 9 ) Hallar “x” : 512 x 3 (8) (14) ( 5 ) (10) (?) (3) Resolución: 3 Resolución: Fila 1 : 4 = 64 De la 1ras filas extraemos la regla de Fila 2 : 25 = 32 formación siguiente 1ra fila (4 ¸ 2) + 2 Fila 3 : 83 = 512 (9) = 20 2da fila (8 ¸ 2) + 2(5) = 14 Luego, realizamos la misma EJERCICIOS RESUELTOS operación en la 3ra fila(10 ¸ 2) + 2 (3) 1. Hallar “x” en: = 11 4 (4) 28 4.2 DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS: 17 (5) 33 Es un arreglo de números dispuesto en 120 (x) 80 forma geométrica que guardan entre si una ley de formación. Resolución: La ley de formación está La regla de formación será: dada por la relación entre los 1ra Fila: 2da 4 +28 Fila:Luego: 6 7 6 78 =4 2 8 4 3 x 3ra Fila: x 17 +33 =10 A) 33 B) 36 C) 38 =5 = D) 42 E) 64 2 2. ¿Qué 120 +80 número falta en el 4.Elija la alternativa que complete correctamente la 2 siguiente cuadro: siguiente distribución: 0 1 2 3 1 2 3 41 2 9 x 8 33 x Resolución: Analizando para encontrar la relación se 8 4 10 8 3 60 3 9 observa: En la segunda fila se encuentran números que elevados a los números de la primera A)13 B)12 C)11 fila dan como resultado los números de la 3ra fila. D) 16 E) 14 0 1 2 1 = 1, 2 = 2; 3 =9 5. Señale la alternativa que contiene el valor 22 22 Por lo tanto: x = de x, teniendo en cuenta el siguiente 4 =64 3 cuadro: 3 6 9 PROBLEMAS PROPUESTOS 15 210 225 1. Encontrar el valor que falta: 11 x 121 A) 119 B) 111 C) 115 4 5 3 4 5 3 D) 117 E) 110 23 18 ? 6. Determinar el valor de “x” en la siguiente analogía: A)21 B)20 C)23 D)18 E)19 64 (1452) 23 57 (1804) 32 2. Hallar “x” 45 ( x ) 28 A) 1240 B) 1740 C) 1360 10 8 12 9 24 x D) 1160 E) 1040 12 60 24 7. ¿Qué número falta? A)10 B)14 C)15 D) 16 E) 18 3. Determine el valor de x en el cuadro: 3 4 12 84 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 5 8 73 14 5.2 Operador matemático. Símbolo sujeto a reglas o 60 22 leyes que representa ¿ 4 7 95 85 una determinada operación A) 14 B) 15 C) 18 matemática. Operación Matemática Operador Matemático D) 20 E) 21 + Adición x 8. Hallar “x” en la siguiente analogía: Sustracción ¸ 603 (1156) 569 Multiplicación División 128 (484) 106 Radicación Log 523 (x) 499 Logaritmación || å Valor absoluto Sumatoria A) 441 B) 529 C) 484 Lim Máximo entero D) 625 E) 576 Limites Integración ò 9. Halle el número que falta: El operador matemático también puede ser 888 555 333 666 cualquier símbolo (incluso figuras geométricas) como por 996 825 171 342 ejemplo: ? 6 4 8 , Ä Å Ñ à O D W *, , , , , A) 2 B) 4 C) 6 , , , q, #, $, %, &, D) 8 E) 10 @, α, β, ?, ?, etc. Las reglas de definición se basarán en las 10.De la secuencia dada en el cuadro, halleel operaciones matemáticas ya definidas. número faltante: 1 2 4 7 5.3 OPERACIÓN BINARIA 7 8 12 21 Operación que involucra a 2 21 22 30 57 cantidades paraobtenerotra. 57 58 74 ? 2 ra 1 componente a*b=2a – a.b A) 102 B) 132 C ) 144 D) 121 E) 155 Regladeformación OperadorBinario da 2 componente L a sabiduría es un adorno en la prosperidad y un refugio en la PROPIEDADES 1. Clausura o cerradura. Si al tomar un par de elementos cualesquiera del conjunto A y se adversidad. Aristóteles realiza con ellos la operación definida, si el Operadores Matemáticos 5 resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación 5.1 Operación matemática. Es es cerrada en el conjunto A. aquel procedimiento que transforma una o más cantidades "a b A a b A, Î Þ * Î en otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas y/o condiciones 2323 convenidas. Toda operación matemática tiene un 2. Conmutativa. Se dice que una operación es símbolo que la conmutativa, si para todo elemento del conjunto representa llamado operador A el orden de dichos elementos en la operación matemático. (*) no altera resultado. 2 1 "a b A, Î Þ a b b a* = * *= 3(2) + 1 = 7 4 3. Elemento neutro ( e ). Se dice que ( e ) es el elemento neutro o elemento de identidad con respecto a “*“ **= 3(1) + 1 = 4 $ Îe A /" Î ÞaA a e e a* = * = a Þ = 3(4) + 1= 13 -1 -1 4. Elemento inverso(a ). Se dice que a es el Piden: R = 7 + 13 = 20 electo inverso o simétrico de “a”, con respecto a “*” PROBLEMAS PROPUESTOS 5. Asociativa. 1. Se define: a b a bq = +2 2 "a b c A,, Î Þ a b c*( * )= ( * )*a b c Además: p qD =4pq-550 . Calcule: M = (3 4)q DEFINICIÓN DE OPERACIONES MEDIANTE D(4 5)q TABLAS A) 3850 B) 3750 C) 3650 En este tipo de problemas la regla de definición D) 3550 E) 3450 no aparece en forma explicita, por el contrario, 2. Dado: nos indica los elementos que ha sido operados y colocados en una tabla de doble entrada, veamos: x +2 Filadeentrada x+2 =2x+3; =x+6 Operador Matematico * a b c d a c d a b Cuerpode 20 latabla + 3 4 + Columnade b d a b c 1 2 entrada c Halle: a b c d R=+++… d b c d a A) 480 B) 120 C) 180 Elementosquehan D) 240 E) 360 participadoenla operación 3. Se define las siguientes operaciones: PROBLEMAS RESUELTOS x2+ 7x+ 10 =x2+x 1. Resolver: a@b=2 a+b ;calcular 7@ 9 2 = x +3 x vx+2 Resolución: Hallarelvalor “n” en: a@b=2 7+9 7@9=2 7+9 n -9 2 =552 7@9=2x4 7@9=8 A) 4 B) 3 C)8 D) 5 E) 6 x 2. Si se cumple: = 3x + 1 3 2 + + 1 4. Se define: m Ñ =n n-m Halle: R = 3 mn Resolución: Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO æ 1 ö Determine “x”, si se cumple que: Calcule: E= ç Ñ - 2 ÷ Ñ -( 3) è6 (3 # 4) # (x # 4)= [1 # (2 # 2)] # 3 A) 19/39 B) 15/17 C) 20/27 A) ab B) aa E) C) ba D) 15/29 E) 21/29 D) aa-1 ab+1 2424 ø A) 4 B) 5 C) 1 5.Sedefine : D) 2 E) 3 2x = + x -1 x 8. En el conjunto A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se define la operación * de acuerdo a la siguiente x-1 =2 x+5 - x +3 tabla: * 1 2 3 4 1 4 1 2 3 Calcule: 12 2 1 2 3 4 3 2 3 4 1 A) 6 B) -5 C) -1 3 4 4 1 2 D) 1 E) 2 Calcule x en la siguiente ecuación: 6. Se x-3 define= x + 6 1*(((3*2)* )*4) (1*2)x = (4*3) 20 A) 1 B) 2 C) 0 D) 3 E) 47 Calcula el valor de M= A) 48 B) 56 C) 64 D) 72 E) 40 9. Si definimos a b bÄ = a-1 , calcular: 7. Sobre el conjunto A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se define la (a + 1)Ä(ab a+ ) operación # mediante la tabla adjunta: # 4 3 2 1 (a+1)Ä(b+1) 1 1 4 3 2 2 2 1 4 3 3 3 2 1 4 4 4 3 2 1 Planteo de Ecuaciones 6 Enunciado Lenguaje Formal Simbólica dos números La suma de 1 consecutivos x+x+1 tres números La suma de 2 consecutivos es 63 x+(x+1)+(x+2)=63 dos números El producto de 3 consecutivos (x) . (x + 1) La edad de Arturo es dos veces la edad 4 Luís A = 2L Yo tengo la mitad de lo que tu tienes y el tiene el triple de lo que tu Yo = x, Tú = 2x; él 5 tienes. = 6x El triple de un número, aumentado en 6 15 3x + 15 El triple, de un número aumentado en 7 15 3(x + 15) El cuadrado de la suma de dos 8 números (x + y)2 9 Dos números suman 18 x + y = 18 En una reunión hay tantos varones como el doble del número de 10 mujeres V = x ; M = 2x 150 más que Maritza tiene S/. 11 Cristel C = x; M = x + 150 El quíntuplo cuadrado de un del 12 número 5x2 de un número La cuarta parte 13 disminuido en tres (x – 3)/4 de un número, La cuarta parte 14 disminuido en tres x/4 - 3 de un número La cuarta parte, 15 disminuido en tres ¼(x – 3) El cuadrado de la diferencia de dos 16 números (x - y)2 17 A es el doble de B A = 2B 18 A es dos veces más que B B = x; A=x+2x = 3x 19 A es dos más que B A=2+B 20 A es dos menos que B A=B-2 21 A es el doble de B más 12 A = 2B + 12 22 A excede en 20 a B A – 20 = B Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Definición.- Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros Lo que le falta a A para B es de la ecuación. Es decir la igualdad se verifica sólo 23 cuarenta B – A = 40 para ciertos valores que toman sus incógnitas. Ejemplo: 6x + 3 = 33 se verifica sólo para x = 5 El plantear una ecuación significa que el enunciado de cualquier problema que se tenga hay que interpretarlo, entenderlo y una vez comprendido, hay que expresarlo en una ecuación matemática, lo cual dará solución al problema planteado. La ecuación, que es la parte sustantiva de las matemáticas, tiene el mayor número de aplicaciones como herramienta de resolución de problemas. Plantear una ecuación significa traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matemática mediante una o más ecuaciones. Una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas es la destreza, para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matemático. Ver el siguiente esquema: Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras, el estudiante deberá actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular. Para plantear un problema, es importante tener en cuenta las siguientes sugerencias: SUGERENCIAS PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN A continuación veamos algunos ejemplos de fragmentos de enunciados y su respectiva representación matemática. 2525 1ro. Leer el problema e identificar la incógnita cuyo valor debemos encontrar 2do. Encontrar las relaciones entre esta incógnita y los otros datos del problema 3ro. Plantear la ecuación que representa las relaciones anteriores. 4to. Resolver la ecuación para encontrar el valor de la incógnita 5to. Comprobar el resultado, ver si la respuesta es razonable. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Lo que le sobra a A para B 2. En una granja se tiene conejos, patos y 24 A – B = 40 gallinas. Sin contar los conejos tenemos es cuarenta 9 animales, sin contar los patos se tendrá Tres números enteros 7 25 x, x+1, x+2 consecutivos 2626 A y B están en relación como 26 A/B = 11/15 animales y sin contar las gallinas tenemos 14 11 es a 15 animales. ¿Cuántos conejos hay? Gastó los 3/5 de lo que no Gastó= 3/5 x Resolución: 27 gasto No gastó = x Sea: Suma de los cuadrados de 28 dos números x2 + y 2 C : # de cerdos. P : # de patos. El exceso de A sobre B es G : # de gallinas. 29 A – B = 14 14 Al no contar los cerdos estamos considerando La raíz cuadrada de un los patos y las gallinas, análogamente 30 número disminuido en 7 x-7 entenderemos lo demás, luego: La mitad de los ¾ de lo que P + G = 9 1 1 31 tienes . x C + G = 7 2 4 C + P = 14 El número de mangos 32 M – P = 12 2P + 2G + 2C = 30 excede al de piñas en 12 P + G + C = 15 La inversa o el reciproco de un 33 número 1/x (Dato) 9 + C = 15 ® C = 6 Hay 6 conejos. PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Con 74 monedas en total, unas de 5 soles y otras de 2 soles se quiere pagar una deuda de 250 1. Hallar un número entero y positivo quesumado soles. ¿Cuántas monedas de cada clase se con 11 resulta mayor que el triple de él, tiene, respectivamente? disminuido en 7 y que sumado con 5 resulta menor que el doble de él disminuido en 2. Resolución: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12 Sea el número de monedas 74, tenemos: 2. Una persona sube una escalera de 2 en 2 74 monedas gradas y desciende de 3 en 3, dando un total de 150 pasos. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? x 74- x A) 180 B) 192 C) 240 D) 225 E) 320 C/u.S/.2 C/u.S/.5 3. Si Cristel tuviese 9 años menos, el tiempo que hubiera permanecido durmiendo sería la Como la deuda total es 250 soles, se tiene: quinta parte del tiempo que hubiese 2(x) + 5(74-x) = 250 permanecido despierto si es que tuviese 9 2x + 370 - 5x = 250 3x = 120 Þ x = 40 Luego años más. Si en el transcurso de su vida se tiene: duerme 8 horas diarias. ¿Cuántos años lleva durmiendo? # monedas de S/. 2 = 40 A) 8 B) 22 C) 15 D) 7 E) 10 # monedas de S/. 5 = 74 – x = 74 – 40 = 34 4. Un examen de admisión consta de 70 Se tiene 40 monedas de S/. 2 y 34 monedas de preguntas, por cada respuesta correcta se le S/.5 bonifica 4 puntos y por cada respuesta incorrecta le restan un punto. ¿Cuántas preguntas respondió acertadamente un alumno, si 12. La familia Malpartida, la familia Padilla y después de responder todo el examen obtuvo 170 elmatrimonio Rojas almorzaron en la pollería puntos? “Sol de Oro”, Los Malpartida comieron 5 A) 52 B) 48 C) 38 anticuchadas, 4 parrilladas, 8 gaseosas y D) 46 E) 22 gastaron S/. 87. Los Padilla comieron 9 5. Al preguntársele a un postulante del CEPRETEC anticuchadas, 7 parrilladas, 15 gaseosas y 2013 qué parte del examen ha resuelto, éste gastaron S/. 156. ¿Cuánto gastaron los Rojas responde he contestado los 4/5 de lo que no quienes comieron 1 anticuchada, 1 parrillada y contesté. ¿Qué parte del examen ha contestado? 1 gaseosa? A) 5/9 B) 4/9 C) //9 D) 1/5 E) 2/5 A) S/. 24 B) S/. 16 C) S/. 20 D) S/. 18 E) S/. 14 6. Un niño tenía 20 bolas, unas rojas otras azules. Si pierde 4 bolas de cada color, entonces el triple del 13. Madeleine entra a una iglesia donde está San número de bolas azules, equivaldría al número de Judas, un santo muy milagroso, cada vez que bolas rojas. ¿Cuántas bolas rojas tenía? entra a la iglesia le duplica el dinero que lleva, A) 8 B) 7 C) 12 D) 13 E) 9 con la condición que cada vez que le hace un milagro le deje una limosna de S/. 16. Un día 7. Lo que cobra y gasta un profesor suman600, lo que queriendo volverse rica Madeleine realiza 4 gasta y lo que cobra están en relación de 2 a 3. ¿En visitas, pero fue tan grande su sorpresa cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha porque se quedó sin un sol. ¿Cuánto llevaba relación sea de 3 a 5? Madeleine al inicio? A) 20 B) 28 C) 24 A) S/. 16 B) S/. 7 C) S/. 25 D) 36 E) 16 D) S/. 35 E) S/. 15 8. Emilia y Karol dedican 840 dólares cada una para socorrer a cierto número de pobres, Karol socorre a 14. Para envasar 15 000 litros de aceite 170 pobres más que Emilia, pero ésta da a cada sedisponen de botellas de ½ litro, 1 litro y 5 pobre 17 dólares más que Karol.¿Cuántos pobres litros. Por cada botella de 5 litros, hay 10 de un son socorridos por Karol?. litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar A) 140 B) 180 C) 190 el aceite no sobró ninguna botella vacía. D) 210 E) 175 ¿Cuántas botellas había en total? A) 18 600 B) 27 000 C) 16 000 9. Un comerciante compró cierto número de pelotas por D) 14 600 E) 24 200 un valor de S/. 60. Se le extraviaron 3 de ellas y vendió las que le quedaron en S/. 2 más de lo que le 15. Se sabe que en un campeonato, había costado cada una, ganando en total S/. 3. Guerrerometió cinco goles más que Pizarro. ¿Cuánto le costo la decena de pelotas? Los goles de Reyna excedió en dos a los de A) S/. 60 B) S/. 50 C) S/. 45 Guerrero y fue excedido por un gol de Polo, D) S/. 40 E) S/. 55 quien a su vez hizo la misma cantidad de goles que Farfán. Si hubo un total de 53 goles. 10. Un caminante ha recorrido 1000 metrosunas veces ¿Cuántos metió Polo? avanzando otras retrocediendo. Si sólo ha avanzado A) 18 B) 13 C) 11 D) 14 E) 10 350 metros, ¿Cuántos metros recorrió retrocediendo? A) 300 m B) 425 m C) 375 m D) 350 m E) 325 m 11. Si tú me dieras 2 de tus canicas, tendríamos la misma cantidad; en cambio, si yo te diera 3 de las mías, tú tendrías el doble de lo que a mi me quedaría. L as leyes de la Naturaleza son sólo pensamientos matemáticos de Dios. KEPLER. ¿Cuántas canicas tenemos entre los dos? A) 25 B) 28 C)30 D) 36 E) 42 2727 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Los problemas de edades, en su mayoría se pueden Tiene 25 años actualmente, para cumplir 60 años resolver utilizando “planteo de ecuaciones”, aunque le falta: existen problemas con inecuaciones y numeración. 60 – 25 = 35 años En estos problemas se relacionan sujetos, edades y tiempos (pasado, presente, futuro) 2. Cuando intervienen las edades de dos omás Sujetos. Son los protagonistas del problema, a personas. En este caso, es apropiado emplear quienes corresponden las edades y que intervienen un cuadro de doble entrada, donde los datos en el problema. deben estar correctamente ubicados en su Edades. La edad es un lapso de tiempo perteneciente a tiempo respectivo. la existencia de un sujeto. Cuando se desarrolla la solución de un Tiempos. Pueden ser pasados, presente y futuro. problema, donde intervienen las edades de dos Pasado Presente Futuro o más personas, hay que tener en cuenta lo siguiente: Tuve, Tengo, Tendrás, · La diferencia de edades de dos personas en Yo tenía, tienes tendré el transcurso del tiempo es constante. tuviste · La suma en forma de aspa (x) de valores Tú Tenías Tienes Tendrás extremos simétricos son iguales. El Tenía Tiene Tendrá Casos que se presentan: 5 años 9 años 1. Cuando interviene la edad de una sola persona. Se resuelve haciendo uso de un diagrama lineal, en el cual se representará al transcurso del tiempo. Hace Hoy Dentrode Se observa que: “b” años tengo “a” años · En el presente la edad de yo es 8 años más que la edad de tú y lo mismo sucede hace x 5 años y ocurrirá dentro de 9 años; es x-b x+a decir la diferencia de edades es la misma (-) en el pasado, presente y futuro. Pasado Presente (+) Futuro 25 – 17 = 30 – 22 = 39 - 31 Ejemplo: · Las sumas en aspa de valores colocados simétricamente son iguales: Dentro de 65 años tendré 6 veces la edad que (pasado – presente): tenía hace 10 años. ¿Cuántos años me faltan 25 + 22 = 17 + 30 = 47 para cumplir 60 años. Resolución: (presente – futuro) : 30 + 31 = 22 + 39 = 61 Por condición del problema: x + (pasado – futuro) : 65 = 6(x – 10) 25 + 31 = 17 + 39 = 56 x+65=6x-60 Ejemplo: x=25 Dentrode 3. Hace 4 años la edad de Beatriz era el cuádruplo Hace10años 65 años de la edad de Alejandro, pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades x-10 x x+65 actuales. Resolución: Pasado Presente Futuro 2828 De la última condición se tiene: D) 56 años E) 58 años 4x + 9 = 3(x + 9) Þ x = 18 3. Yo tengo el cuádruple de la edad que tú tenías Edades actuales: Beatriz: 4x + 4 = cuando yo tenía la edad que tú 4(18) + 4 = 76 Alejandro: x + 4 = 18 + 4 = 22 \ 2929 Suma: 76 + 22 = 98 años PROBLEMAS RESUELTOS tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 95 1. Si al triple de tu edad se le quita 37 años, años. Hallar la suma de las edades actuales. seobtiene lo que te falta para tener 91 años. ¿Qué edad tendrás actualmente A) 62 años B) 70 años C) 55 años se hubieras nacido 10 años antes? D) 65 años E) 75 años Resolución: 4. A una persona se le pregunta por su edad yésta Sea x años la edad actual Al triple de tu contesta: “Toma tres veces los años que tendré edad se le quita 37 años: dentro de 3 años, réstales tres veces los años 3x – 37 que tenía hace tres años y resultará, Lo que falta para tener 91 años: exactamente, los años que tengo ahora”. 91 – x ¿Cuántos años tiene la persona? Por condición: A) 18 años B) 24 años C) 30 años 3x – 37 = 91 – x D) 28 años E) 25 años 4x = 128 Þ x = 32 Si hubieras nacido 10 años antes tendrías 10 5. A una persona en el año 1965 se le preguntó años más, es decir: por su edad y contestó: “Tengo, en años, las 32 + 10 = 42 años dos terceras partes del número que forma las 2. Dentro de 5 años tendré el quíntuplo de la edad dos ultimas cifras del año de mi nacimiento”. que tenía hace 5 años, menos 50 años. ¿Qué Hallar la suma de las cifras de su edad en dicho edad tendré dentro de 5 años? año. Resolución: A) 9 B) 8 C) 10 D) 12 E) 13 Según el diagrama 6. Hace 6 años la edad de un tío es 8 veces lade x-5 x x+5 su sobrino; pero dentro de 4 años será el triple. Calcular la suma de sus edades. Hace 5 años Dentro de 5 años A) 38 años B) 42 años C) 35 años Edad actual D) 48 años E) 50 años Planteamos la siguiente ecuación: x + 5 = 5 (x - 5) – 50 7. Mi edad es el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste Þx + 5 = 5x - 25 - 50 cuando yo tuve 20 años y cuando tú tengas mi 4x = 80 Þ x = 20 edad nuestras edades sumarán 75 años. La edad dentro de 5 años será: A) 32 años B) 29 años C) 30 años 20 + 5 = 25 años D) 35 años E) 45 años PROBLEMAS PROPUESTOS 8. La edad actual de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre. Si dentro de 5 años, la mitad de la 1. Alejandro lleva en el sindicato el triple de años que edad del padre será igual a la edad que el hijo Juvenal. Hace cinco años llevaba el quíntuple de tendrá. ¿Cuál es la edad del padre? años. ¿Cuántos años lleva cada uno en el A) 48 años B) 30 años C) 55 años sindicato? D) 45 años E) 35 años A) 8 y 24 B) 15 y 25 C) 36 y 12 D) 21 y 7 E) 30 y 10 9. Lucho y Victoria se casaron, cuando ambostenían 27 años de edad y luego de 1 año 1. Si tuviera 15 años más de la edad que tengo, nació Pepe Lucho. Si cuando Pepe lucho se entonces lo que me faltaría para cumplir 77 años casó, su edad fue la cuarta parte de la suma de sería los tres quintos de la edad que tenía hace las edades de sus padres, ¿a que edad se casó 6 años. ¿Dentro de 12 años que edad tendré? pepe Lucho? A) 38 años B) 30 años C) 28 años A) 52 años B) 54 años C) 53 años D) 40 años E) 29 años Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Reloj es una maquina útil para la medición del tiempo, y En este tipo de problema desarrollaremos divide el día en horas, minutos y segundos: aquellos casos en los que se involucran el Estos instrumentos que nos sirven para medir el tiempo transcurrir del tiempo y por consiguiente transcurrido se llaman relojes, los primeros relojes que el también al tiempo que falta transcurrir, ya sea hombre usó fueron los relojes solares. Dividían el día en en un día, una semana, una hora, etc. intervalos que la sombra de una estaca hacia sobre la tierra. Hora exacta Un reloj te permite saber cuando tienes que salir de casa Tiempoquefalta para realizar una actividad de tu interés. Un calendario te Tiempotranscurrido transcurir muestra por ejemplo el día de tu cumpleaños. Para un mejor aprendizaje lo clasificaremos del siguiente modo: 8.3 PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y 8.1 PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS En este grupo ATRASOS de problemas se verán los casos en los cuales Es posible determinar la hora correcta, Horaindicada Horaindicadapor porunrelojcon unrelojatrasado Hora exacta adelanto Atraso Adelanto involucran a relojes que señalan las horas mediante conociendo alguna alteración constante en un campanadas. Veamos el siguiente esquema: reloj defectuoso, por lo general la resolución a este tipo de problemas se logra estableciendo 1ºC 2ºC 3ºC 4ºC una proporcionalidad o planteando una regla de tres simple. t t t Además se debe tener en cuenta que: · Si un reloj está atrasado: 3 intervalos Tiempo total: 3t · Siunrelojestáadelantado · Se observa que entre campanada y campanada hay un intervalo de tiempo Horaindicada=Horareal+Tiempodeadelanto (t) constante. Hora indicada = Hora real -Tiempo de atraso · Según el gráfico: # de campanadas = 4 # de intervalos = 3 Conclusiones: 8.4 PROBLEMAS SOBRE ANGULOS QUE FORMAN EL MINUTERO Y EL HORARIO Los que relacionan la hora marcada en el # de intervalos = # campanada -1 # de ángulo formado por las agujas del reloj. Campanadas = # intervalos +1 . . . Tiempo total = # de intervalos x Duración del tiempo . . . ß α . 8.2 PROBLEMAS SOBRE TIEMPO . . TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA . . TRANSCURRIR . H : Horario m : minutero α : ángulo convexo (< de 180º) θ : ángulo cóncavo (180º < θ < 360º) Consideraciones: · La circunferencia del reloj presenta 60 3030 divisiones que equivalen a 360º, es decir: 60 1ºC 2ºC 3ºC 4ºC div < > 60 min < > 360º 1 div < > 1 min < > 6º · Luego, entre dos marcas horarias 2” 2” 2” consecutivas hay 5 divisiones, por lo tanto, si relacionamos con los grados formados, se tiene: 5 x 6º = 30º. 3 intervalos · La relación de recorrido entre el horario (H) y el minutero (m) es: Tiempototal:6 ” H 5div 1 3131 = = m 60div 12 1ºC 2ºC 3ºC 4ºC 5ºC 6ºC MÉTODO PRÁCTICO PARA EL CÁLCULO DEL ANGULO “α” ENTRE 2” 2” 2” 2” 2” EL HORARIO Y EL MINUTERO · Cuando el horario adelanta al minutero a = 5 intervalos 30H - m T = 5(2”) = 10 seg Empleará 10 segundos. · Cuando el minutero adelanta al horario. a = m -30H 3. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las H = Horas m = manecillas del reloj a las 21 h 32 min.? minutos 12 11 1 . . PROBLEMAS RESUELTOS . 2 1. Un reloj se adelanta 10 minutos cada hora,si es 10 . . las 8 a.m. ¿Qué hora marcara el reloj a las 2 p.m.? Resolución: 9 . . 3 Tiempo transcurrido: θ 8 a.m. a 2 p.m. = 6 h . . 1 h Þ 10 min. adelanto 8 4 6 h Þ x min adelanto . . x = (6 h x 10 min)/1h = 60 min de adelanto total 7 . 5 Adelanto total = 60 min = 1 h 6 Hora indicada = Hora real + Adelanto Hora indicada = 2 p.m. + 1 h = 3 p.m. El horario adelanta al minutero 21: 32 < > 9: 32 p.m. 2. Un campanario emplea 6 segundos para tocar 4 Por dato: campanadas. ¿Cuánto tiempo H = 9 ; M = 32 empleará para tocar 6 campanadas? Se tiene: Resolución: 11 Analizando en un grafico se tiene: q = 30H - M Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO q = 30(9) - (32) Θ = 270º - 176º = 94º Por lo tanto, el menor ángulo es 94º PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dos campanas A y B empiezan tocando simultáneamente y cada una toca a intervalos iguales, además A da 6 campanadas en 35 horas y B da 6 en 15 horas. ¿Cuántas horas transcurren hasta que vuelven a tocar simultáneamente? A) 22 B) 24 C) 28 D) 36 E) 21 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 2. Un reloj se adelanta 36 minutos cada 2 horas 3232 y otro se atrasa 30 minutos cada 5 horas. está marcando, además este mismo reloj da ¿Dentro de cuantos días volverán a marcar la 3 campanadas en 8 segundos, entonces ¿A misma hora? qué hora exactamente terminará el reloj de A) 10 B) 15 C) 30 anunciar las 21 horas? D) 1 1/4 E) 2 1/3 A) 21 h, 32 s B) 22 h, 4 s 3. Un reloj se retrasa 8 minutos cada 24 horas. C) 21 h, 28 s D) 22 h, 28 s Si éste marca la hora correcta 7 a.m. el 2 de E) 21 h, 10 s mayo ¿qué hora marcará a la 1 p.m. del 7 de mayo? 9. Janina le pregunta la hora a Raúl y él A) 12 h. 18 min. B) 11 h. 8 min C) 12 h. 42 min. leresponde: “Para saber la hora, debes sumar la mitad del tiempo que falta para D) 12 h. 38 min. acavar el día con los 2/3 del tiempo que E) 12 h. 18 min. ha transcurrido desde que se inicio”. ¿Qué hora es? A) 2:24 p.m. B) 3:20 p.m. 4. Son más de las 2 sin ser las 3 de C) 4:30 p.m. D) 6:53 p.m. estamadrugada, pero dentro de 40 minutos E) 2:40 p.m. faltarán para las 4 a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde la 1 hasta hace 40 10. Ya pasaron las 3:00 p.m., pero minutos. ¿Qué hora es? todavíano son las 4:00 p.m. de esta A) 3:40a.m. B) 2:30 a.m. tarde. Si hubieran pasado 25 minutos C )4:50 a.m. D) 4: 30 a.m. más, faltaría, para las 5:00 p.m., los mismos minutos que pasaron desde las E) 8:00 a.m. 3:00 p.m. hasta hace 15 minutos; ¿qué 5. Un reloj indica la hora con tantas campanadas hora es? A) 3:24 p.m. B) 2:20 p.m. como el número de horas transcurridas hasta C) 4:30 p.m. D) 3:55 p.m. ese instante. Sabemos que para tocar tantas campanadas como el triple del tiempo que E) 3:40 p.m. demoró entre campanada y campanada tardó 70 segundos, ¿Cuántas campanadas dará en 11. Se construye un reloj que tiene el 40 segundos? A) 8 B) 9 C) 10 D) 7 E) 6 horario más grande que el minutero, cuando una persona ve la hora 6. Se construye un reloj que tiene el horariomás anuncia: “Son las 9 y 29”. ¿Qué hora grande que el minutero, cuando una persona es en realidad? ve la hora anuncia: “son las 9:29”. ¿Qué hora A) 5: 45' B) 6: 50' C) 4: 48' D) 5: es en realidad? 48' E) 6: 52 A) 5:48 B) 6:30 C) 4:38 D) 6:28 E) 5:40 7. Un reloj se atrasa un cuarto de minutodurante 12. En un reloj los minutos marcados la mañana y se adelanta un tercio de minuto sonen valor numérico equivalentes al durante la noche, al cabo de cuantas noches ángulo formado por el minutero y el como mínimo habrá adelantado 3 minutos, horario, además son menos de las 4. sabiendo que hoy al atardecer marcó la hora ¿Qué hora es? exacta. A) 3: 25' B) 3: 20' C) 2: 40' D) 2: A) 10 B) 20 C) 36 D) 33 E) 60 35' E) 1: 50' 8. Un reloj anuncia las horas con un númerode campanadas igual a las horas que 13. En una tarde soleada, un poste de 8 mde longitud proyecta una sombra de 6 m de largo. ¿Qué hora es en ese A) 2: 14' B) 2: 19' C) 2: 28' preciso instante? D) 2: 30' E) 2: 05' Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco Docente CEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón Conteo y Semana: Tema : Trazado deFiguras 9 CURSO : RAZONAMIENTO MATEMÁTICO La imaginación es una facultad maravillosa c. Conteo por Inducción.- Se utiliza en con la cual las matemáticas han logrado casos donde la cantidad de figuras a niveles insospechados; así la imaginación contar sean grandes. juega un papel importante como facultad También consiste en analizar casos mental; porque nos permite relacionar el plano particulares para luego generalizar, este real con el abstracto, donde la concentración y método se utiliza con fórmulas ya el uso adecuado del sentido de la vista son establecidas en algunos casos primordiales, de esta manera te indicamos particulares. practicar cuidadosamente y leer las nociones previas antes de estudiar los métodos de FORMULAS PARA CASOS conteo de figuras. PARTICULARES 9.1 CONTEO DE FIGURAS 1. Segmentos sobre una recta Tiene por objeto hallar la máxima cantidad de figuras geométricas (triángulos, cuadrados, cuadriláteros, ángulos, sectores 2. Triángulos sobre una recta circulares, círculos, etc.) que se encuentran en una figura dada. MÉTODO DE CONTEO: a. Conteo Visual Directo.- Requiere de agudeza visual y sobre todo práctica. Ejemplo: cuantos triángulos hay en la figura dada. 3. Número de Cuadriláteros: A=5 b. Método Numérico.- Consiste en poner dígitos o símbolos a las figuras que nos interesa contar y luego se realiza el conteo ordenado de las figuras, iniciando con un número, dos números, tres números y sucesivamente. Ejemplo: hallar el # de triángulos en la siguiente figura: 4. Número de ángulos: n n( +1) 2 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Resolución: enumeramos la figura dada. Para cada caso la fórmula será 5. Número de Cuadriláteros: D de 1 # = 1, 2, 3 =3 D de 2 # = 12, 23, 34, 41 =4 =0 D de 3 # = no existe =1 D de 4 # = 1234 =8 TOTAL 3333 #cuadrilateros= (n+1) 2 xm(m+1) n 2. Hallar el número de cuadriláteros en La 2 2 figura mostrada: 6. Número de Cuadrados Resolución: 1 2 3 19 20 Método practico El número de cuadrados estará dado por la siguiente serie: Número de cuadriláteros = = 190 9.2 TRAZADOS DE FIGURAS # cuadrados= + + + +122 2 3 2 42 El objetivo es verificar si una figura se puede dibujar de un trazo continuo, sin .......+n 2 pasar dos veces por una misma línea, # cuadrados= (n+1)(2n+1) para lo cual se debe considerar lo n siguiente: 6 DEFINICIONES PREVIAS Ejemplos: 1. Hallar el número total de segmentos en: a) Punto par.- Llamado también vértice par, es aquel donde E S T U D I A R concurren un número par de líneas rectas o curvas. Resolución: Método práctico 3434 7.8 b) Punto impar.- Llamado también Número de Segmentos = = 28 vértice impar, es aquel donde concurren un número impar de líneas rectas o curvas. Vértice impar (concurren 3 líneas) I I I Vértice par (concurren 4 líneas Regla 1.- Si en una gráfica todos sus Puntos son pares se puede Dibujar de un solo trazo sin Levantar el lápiz del papel (admite un recorrido euleriano) P P Todos los puntos son pares Para dibujar la figura de un solo trazo debemos empezar en cualquier punto par y notaremos que al terminar de dibujar la figura llegaremos al punto inicial. Regla 2.-Toda gráfica admite un recorrido euleriano si presenta como máximo dos puntos impares; siempre y cuando se empiece de uno de los puntos impares y se termine en el otro. II 2 puntos impares Para dibujar la figura debemos empezar en uno de los puntos impares y al terminar llegaremos al otro punto impar. Regla 3.- Si la figura presenta más de 2 puntos impares, es imposible dibujar de un solo trazo. I I I I I I Estas figuras nunca se podrán dibujar de un solo trazo porque poseen más de 2 puntos impares. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 1. Calcule el número total de cuadriláteros: A) 48 B) 42 C) 52 D) 46 E) 60 5. ¿Cuántos segmentos hay en total en la figura A) 50 B) 55 C) 60 adjunta? D) 56 E) 70 3535 2. ¿Cuántos sectores circulares existen en lafigura mostrada? 1 3 5 ...... 99 A) 21 685 B) 21785 C) 22 885 D) 23 485 E) 31 685 6. ¿Cuántos triángulos hay en total? r r A) 80 B) 92 C) 82 D) 93 E) 94 3. ¿Cuántos triángulos existirán en cuyo interior se encuentre por lo menos un asterisco? A)95 B)107 C)105 D) 100 E) 103 7. ¿Cuántos triángulo existen en la figura mostrada? A) 40 B) 39 C) 41 D) 42 E) 43 4. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguientefigura? A) 169 B) 159 C) 138 D) 151 E) 161 8. ¿cuántos hexágonos hay en la siguientefigura? Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Regla4.- Siunafigurapresenta “I” puntos 2 4 ...... 98 100 impares(I>2),paradibujarlase repetirácomomínimo: A I - 2 B Líneas C 2 PROBLEMASPROPUESTOS D 30 29 E 28 D 27 C 4 3 2 1 A 30292827 4 3 2 B A) 465 B) 406 C) 421 A)C B)A C)B D) 435 E) 378 3636 9. ¿Cuántos triángulos que poseen al menos un asterisco se pueden contar en total en D) E E) D lasiguientefigura? 13. ¿Cuántos rombos se cuentan en total en * * lasiguientefigura? * * * * A) 30 B) 32 C) 36 D) 35 E) 39 A)38 B)37 C)36 D) 41 E) 39 14.Determinar la máxima cantidad de triángulos de 10. Determinar el número total de pirámides de base la figura adjunta: cuadrada que se pueden contar. A)30 B)35 C)36 A) 70 B) 60 C) 65 D)37 E)38 D) 45 E) 50 15. En la figura se muestran 5 cubos 11.¿Cuáles de las siguientes figuras igualesagrupados sobre un pátio. Si se desea se pueden dibujar sin levantar el lápiz del pintar La parte exterior. Hallar el número de papel, ni pasar 2 veces por la misma línea? caras que se deben pintar III I II A)17 B)18 C)19 A) Sólo I B) II y III C) I y III D) 12 E) 14 D) todos E) Sólo III 16. Hallar el número total de octágonos en: 12. Una persona debe recorrer todas las calles de la 30..7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 ..30 ciudad mostrada de una sola intención pasando solo una vez por cada calle. ¿Por cuál de las cinco puertas saldrá al terminar? Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Es la medida del borde o contorno de una región. Es decir es la suma de los lados de una figura geométrica. Donde: 2p = perímetro de una región p = semiperímetro de una región A)360 B)435 C)465 D)390 E)380 L a Matemática, de un modo general, es fundamentalmente la ciencia de las cosas que son evidentes por sí mismas. FELIX KLEIN Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco Docente CEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón Semana: Tema : Perímetros yÁreas Sombreadas 10 NOCIONES BÁSICAS REGION PLANA Es una parte del plano, limitado por una línea cerrada, ya sea recta o curva AREA DE UNA REGIÓN PLANA Es la medida de su extensión, indicada por un número real positivo, acompañado de una unidad adecuada. 1u 1u A=1u 2 1u EL ÁREA Es la medida de la extensión de una 1u 1u 1u superficie. La unidad de área del Sistema Internacional es el metro cuadrado con sus Área de la región = 6 ( 1 u 2) = 6 u 2 3737 PERIMETROS CURSO : RAZONAMIENTO Dxd MATEMÁTICO A= 2 múltiplos y submúltiplos. También se puede expresar por Área del Paralelogramo unidades cuadradas ( u2 ) ÁREA DE LAS REGIONES POLIGONALES.- Llamamos región poligonal a la porción h de plano limitado por un polígono. Podemos medir la extensión de una región poligonal empleando el concepto de área. b AREAS SOMBREADAS. Para solucionar problemas A=b.h sobre áreas sombreadas es necesario conocer algunas Área del Trapecio formulas de áreas de algunas figuras para lo cual te presentamos una lista de figuras con sus respectivas b fórmulas, para luego solo ponernos a aplicar dichas fórmulas. M N CÁLCULO DE ÁREAS: h ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES B Área del Cuadrado MN= Mediana A=L2 A= (B b h+ ) d2 A MN h= . A= 2 2 Áreas de regiones triangulares Área del triángulo ÁreadelRectángulo A=b.h h FÓRMULA DE HERÓN b 3838 ÁreadelRombo FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA D d D = Diagonal mayor d = diagonal menor Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO B 4 b . c . sena A= a c 2 Porque: BH = c . sena H a A b C TRIÁNGULOEQUILÁTERO h h2 3 A= 3 PROPIEDADES IMPORTANTES * Al trazar cualquier ceviana * Al trazar una mediana *Con tres medianas * Al unir los puntos de un triángulo h hh Þ b b b b h. A= 2 x=y=w=z AD AD S= 6S= Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Área del Círculo y Longitud R = radio del de la mayor r = Circunferencia LC = 2 p R radio del menor Área del Círculo En Circunferencias se cumple que: Área de una curva circular Área de un sector circular πr 2.α° Área D = 360° R SectorCircular : Donde: TrapecioCircular : Longitud de la Circunferencia 2 2 pa°(R r - ) 3939 r= Área de un segmento circular 360° radio del  a° = ángulo central Donde: Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 6S = SABC S= SABC 6 Consecuencia de la propiedad: SABC S= 12 Áreadeunsegmentocircular Unión de los puntos medios en un cuadrilátero. S S= ABCD 2 PROPIEDADES IMPORTANTES: Propiedad del baricentro (G). G: Punto de intersección de las medianas En un trapecio. b) S S= ABCD 20 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Las regiones sombreadas tienen la mismaárea. S= S1.S2 Consecuencias. a) S ABCD S= 2 S S= ABCD S ABCD 5 S= 2 En un paralelogramo. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO S S= ABCD 20 b) S S= En un paralelogramo ABCD 4 a) S S= ABCD En un cuadrado 20 a) S S= ABCD 12 S S= ABCD 5 b) 4040 PROBLEMASPROPUESTOS 1. Halla el perímetro de la 3. Determina el área sombreada. región sombreada. 4m A) 13(3 p- 2) A) 8 m2 B)12( p +1) 6 C) 10( p -2) B) 32 m2 D)11(2 p -1) 16m C) 16 m2 E)12 (p +1) D) 64 m2 4m 12 E) 48 m2 2. Halla el área de la región sombreada. 8m 2 A) 3 a 2 B) a 2 4. Enla figura que se muestra 8 a continuación ABC es un cuadrante de 1 2 2 radio igual a 4 cm. Determina el área de la C) a D) a 8 superficie sombreada. 1 2 E) a 6 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO A) p/2 Si BC = AB =16 m. A) 5(70 - 12p) B) p A B B) 7(72 - 11p) C) 2p D) 3p/2 C) 9(73 - 13p) 4 E) 4p D) 6(71 - 10p) 5. Hallar el área de la E) 4(72 - 13p) 6 región sombreada si el lado del cuadrado AMOR mide 4m. 9. Sea el D PQR D C M O equilátero, hallar el área sombreada. A) 2pm2 B A) 75(p + 3 B) 4pm2 3) 30cm 30cm C) 5pm2 P Q B) 75(p3 +3 2 4 ) D) 3pm R=5 3 2 C) 5(p - 3 3 E) 6pm A R C A R 30cm ) D) 75(p - 3 3 ) 4141 E) 75(p + 3 3 ) 6. Hallar el área de la 4 región sombreada: 10. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide4u y CED es un triángulo equilátero, calcular A) 16 (p - 2) el área de la región sombreada. B) 8(p - 4) B C A) (8 + 2 3 44 )u2 C) 8(p - 2) B) (6 + 4 3 4 D) 4 (p - 2) )u2 4 C) (6 + 2 3 E) 3 (p - 2 )u2 7. Halla el área de la región sombreada. D) (8 + 4 3 )u2 3 2 A a) E) (4 + 3 3 )u2 A D B a)2 5 12 C a) D) a2 2 E a) 8. Calcula el área de la región sombreada: Instituto de Educación Superior Tecnológico Público Pasco Docente CEPRETEC Lic. Raúl Malpartida Lovatón Semana: Tema : Psicotécnico CURSO : RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 11 La creatividad está relacionada con el ingenio. En M :N :: T :? esta parte usted. tendrá que descubrir relaciones en cuanto a números, letras o figuras utilizando su M es a N como T es a ¿? habilidad. 11.1 SECUENCIAS GRÁFICAS 4242 Son secuencias de figuras que guardan entre Ejemplo: ellas una ley de formación. Las figuras están relacionadas según determinadas características; son iguales, se complementan, forman un todo, etc. Para ?? - - - - solucionar los problemas se requiere de una Es a como habilidad perceptiva que permita encontrar una ? relación coherente entre las figuras; por es a ? medio de cambio de posiciones (giros); aumento o disminución de tamaño y Resolución: partes; alternancia de áreas y sectores La cara (contorno) óvalo horizontal, se debe sombreados, etc. convertir en rectángulo vertical. Las orejas deben pasar de cuadrados a circulares. 1. ¿Qué figura continua? Los ojos, nariz y boca (formas interiores) se deben invertir. Por lo tanto la respuesta será: ? ? ? AB C D E 11.3 RAZONAMIENTO ABSTRACTO Resolución: La prueba de Razonamiento abstracto es una medida no verbal de la capacidad de raciocinio. Respuesta “E” Los elementos de esta prueba consisten en una serie de figuras y diagramas que siguen una 2. ¿Qué figura continua? secuencia con base en una relación discernible. El Razonamiento Abstracto es importante en todas aquellas actividades donde se requieren entender los patrones de relación que los objetos guardan entre sí como son la dimensión, la forma, la posición que ocupan en el espacio y sus atributos esenciales. AB C D E En estas situaciones siguientes se mostraran Resolución: un conjunto de 5 símbolos, en los cuales se Respuesta: “D” deben identificar a uno de ellos que no comparte la misma característica de las demás, 11.2 ANALOGÍAS GRÁFICAS Se presentan dos o rompe cierta ley de formación. primeras figuras que guardan entre si una Ejemplos. relación y una tercera figura deberá guardar la misma relación con otra. 1. ¿Qué figura no corresponde al grupo? Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO A B C D E A B C D E Resolución: Al buscar una característica común, encontramos Resolución: que todas las figuras están divididas en 3 partes, a Se alteran las líneas verticales, oblicuas y excepción de la horizontales. “C” Además la figura cruzada que 2.. Señale la figura que no tiene relación con los corresponde es un cuadrilátero, luego la demás. figura que falta es la C. 4343 A B C D E PROBLEMAS PROPUESTOS Resolución: 1. ¿Qué figura completa la relación? Al girar la figura en sentido horario ( ) o anti horario ( )todas podrían tomar la posición de , a excepción de la B. 3. ¿Qué símbolo no corresponde al grupo? Resolución: Al partir verticalmente por la mitad a cada A B C D E símbolo se obtiene un número, a excepción de la “A” 2. Hallar la cuarta figura que cumpla la analogía. 11.4 DISTRIBUCIONES GRÁFICAS Se da un conjunto de figuras, generalmente A C D nueve distribuidas en tres bloques. Se analiza : :: : ? cada bloque y se extrae ley de formación que nos permite hallar la figura faltante en el tercer bloque. Ejemplo: Indicar la figura que debe ocupar el casillero vacío. A B C D E 3. ¿Qué figura continúa? A B C D E 4. ¿Cuál de las figuras completa la sucesión de la izquierda? - Dato.- Es el valor o respuesta que adquiere la variable en cada unidad de análisis. - Estadísticas.- Se tomará como sinónimo de datos estadísticos, servirá para designar a toda colección sistemática de datos referentes a un determinado fenómeno. - Estadístico.- Es la persona que se dedica al estudio de la estadística, es el profesional que analiza estadísticas, desarrolla métodos y modelos estadísticos y contribuye a A B C D E 12.1 Definición de Estadística La estadística es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos, técnicas o procedimientos para: recopilar, organizar, presentar y analizar, datos 4444 con el fin de describirlos o de realizar la evolución de la ciencia estadística. generalizaciones válidas. - Información.- Es el resultado de los datos 12.2 Clasificación de la Estadística procesados de acuerdo a ciertos objetivos. 12.2.1 Estadística Descriptiva.- Es aquella No hay información sin datos. parte de la Estadística que describe y analiza una población, sin pretender sacar - Indicadores.- Son elementos conclusiones de tipo general. Es decir, las característicos que describen una situación conclusiones obtenidas son validas sólo para permitiendo su análisis. La validez y dicha población. confiabilidad del indicador depende de la 12.2.2 Estadística Inferencial.- Es el conjunto validez de los datos utilizados y de la lógica de métodos o técnicas que posibilitan la de su relación o construcción. generalización o toma de las decisiones en - Estadígrafo.- Es cualquier función de base a una información parcial obtenida datos empíricos que se usan con fines mediante técnicas descriptivas. Un estudio descriptivos o analíticos; son medidas de estadístico, se considera inferencial cuando resumen estadístico de un conjunto de se pretende inferir o predecir conclusiones datos. que atañen a toda la fuente de información de donde provienen los datos. 12.4 Población y muestra.- 12.3 Nomenclatura Estadística Existe un conjunto de 12.4.1 Población.- Se entiende por población términos que se usan frecuentemente en la o universo un conjunto grande de Estadística, conviene precisar el significado de elementos o unidades de investigación, de algunos de ellos: los cuales se estudia una o varias - Unidad de análisis.- Es el objeto o elemento características comunes. Ejemplos: indivisible que será estudiado en una población, a) Placas de los automóviles que circulan sobre la cual se va obtener datos. La unidad de en un país. análisis no es el fenómeno investigado sino el que b) El numero de estudiantes del Instituto de genera el fenómeno y proporciona datos Educación Superior Tecnológico Público concretos. Pasco. - Variable.- Es una característica que puede tomar c) Las edades de los alumnos del sistema diferentes valores. Las variables son universitario peruano. características observables, susceptibles de a) Población Finita.- Es cuando tiene un adoptar distintos valores o ser expresadas en número determinado de elementos, es varias categorías. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO decir, se conoce el tamaño de la población. Edad, sexo y peso de los estudiantes Ejemplos: del IESTPPasco. - El número de profesores de Matemática de la Una misma característica puede provincia de Pasco 2011. generar constantes ó variables, - El número de estudiantes del I.E. Daniel depende del marco muestral. Alcides Carrión. CONSTANTE: Si el registro de la b) Población Infinita.- Es cuando está constituido por un número indeterminado de característica toma un sólo valor en elementos. todas las unidades elementales. Son Ejemplos: muchos datos, pero iguales. - La cantidad de niños desnutridos. Ejemplo: - Notas de todos los alumnos del nivel secundario en Sexo de las pacientes en el Servicio de el pasado y el presente. Urología 12.4.2 Muestra.- Es una parte o subconjunto representativo de la población. Cuya selección se hace al azar. 4545 Tamaño de la Muestra.- Es el número de elementos que Título profesional de los miembros del Colegio de constituyen una muestra, puede variar Ingenieros del Perú desde 1 hasta la totalidad de la Las constantes no son interés en Estadística, población. Ejemplo: puesto que ella se ocupa del estudio de la Si una población tiene 6 000 habitantes variabilidad de los datos. y de ellos encuestamos a 600 decimos VARIABLE: que tenemos una muestra cuyo tamaño Si el registro de la característica toma diversos es 10 % o un decimo de la población. valores en las unidades elementales. b.1 Muestra al azar o aleatoria.Se Ejemplo: denomina cuando todos los elementos Edad, sexo y peso de los pacientes de una Clínica o datos de la población sometidos a Una misma característica puede generar muestreo tienen igual oportunidad de constantes ó variables, depende del marco ser seleccionado. muestral. b.2 Muestra sesgada o viciada.Una 12.6.1 Según la naturaleza de la muestra es sesgada cuando los variable. elementos de una población sometida a) Variables cualitativas o estadísticas de al muestreo han sido seleccionados atributos. mediante criterios subjetivos. Las variables cualitativas son las que no permiten construir una serie numérica 12.5 Parámetros y estadígrafos definida; los atributos o características que 12.5.1 Parámetros.- son medidas que toman son distintas modalidades describen numéricamente una observadas cualitativamente. Son característica de la población, tales como: la variables cualitativas el color, la profesión, media aritmética, la varianza, el coeficiente el estado civil, lugar de nacimiento, de variación, etc. Una población puede actividad económica, causas de tener varias características y, por lo tanto, accidentes etc. varios parámetros. b) Variables cuantitativasLas variables 12.5.2 Estadígrafos o estadísticas.son cuantitativas son aquellas que permiten medidas que describen numéricamente una una escala numérica de medición, toman característica de la muestra; así como los distintos valores observados parámetros lo hacen en una población, igual cuantitativamente mediante una medida y los estadígrafos lo hacen para la muestra, una escala de medidas. Son variables tales como: la media aritmética, la varianza, cuantitativas número de hijos por familia, el coeficiente de variación, etc. niveles de desempleo, el peso, el salario, el 12.6 Variables. Una variable es cualquier número de artículos producidos en un mes. característica o propiedad de una población o Las variables cuantitativas pueden de una muestra, susceptible de asumir clasificarse en cuantitativas continuas y distintos valores o modalidades. Ejemplo: cuantitativas discretas. b1) Cuantitativa continúa. Cuando la variable es susceptible de medirse, su valor se obtiene por medición o comparación con una unidad o patrón de medida. Se expresa por cualquier número real. Por ejemplo, área de parcela, peso, estatura, tiempo Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO de servicios, horas trabajadas, temperatura estado civil, práctica de deportes, etc. profesiones, lugar de nacimiento, etc. b2) Cuantitativa discreta. Cuando el valor de la variable resulta a) Datos de nivel ordinal.- Son aquellas de la operación de contar, su valor variables que implican orden entre sus está representado sólo por números categorías, están referidas a un orden naturales. Por ejemplo, numero de de jerarquía, donde la categoría hijos por familia, el número de expresa una posición de orden. Por empleados de una empresa, el ejemplo grado de desnutrición, grado de número de artículos producidos, el instrucción, clases sociales, grado de número de accidentes por día, merito, etc. población por distrito, etc. 12.6.1 Según la relación entre variables. b) Datos de nivel intervalo.- Son aquellas a) Variables dependientes. Son aquellas que ponen a la vez orden o grados de que se explican por otras variables, son distancias iguales entre las diversas los efectos o resultados respecto a los categorías pero no tiene un origen cuales hay que buscar su motivo, causa natural sino convencional, tiene un cero o razón de ser. relativo, que no representa “vacio” o b) Variables independientes. Son las “ninguno” como: coeficiente de variables explicativas o predictivas, inteligencia, temperatura de puntuación cuya asociación, relación o influencia en obtenida en una escala determinada. la variable dependiente se pretende c) Datos de nivel de razón.- descubrir en la investigación. Estas variables comprenden a la vez c) Variables intervinientes o a todos los casos anteriores, interferentes. Son aquellas que distinción, orden, distancia y origen coparticipan con la variable único natural; el valor se expresa con independiente condicionando el su número real un cero absoluto. Por comportamiento de la variable ejemplo: dependiente. Accidentes de tránsito, edad, peso, 12.6.3 Según la escala de medición. ingresos, número de hijos, etc. Los datos se pueden clasificar de acuerdo 12.7 INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA con los niveles de medición. Los niveles de ¿QUÉ ES INVESTIGACIÓN? Es descubrir medición de los datos indican, con respuestas a determinadas interrogantes frecuencia, qué cálculos se pueden realizar através de la aplicación de procedimientos para resumir y presentar los datos y qué pruebas estadísticas pueden llevarse a científicos. El punto de partida de la investigación es la exigencia de un problema que cabo. habrá que definir, examinar, valorar y analizar Hay cuatro niveles de medición: nominal, críticamente, para poder luego formular y ordinal, de intervalo y de razón. El nivel de entender su solución. medición " más bajo" o más primitivo es el También podemos decir que “la nominal. El más alto o el que nos da más investigación” es un proceso de información acerca de la observación es el producción de conocimientos científicos, nivel de medición de razón. es un proceso sistemático a través del cual a) Datos de nivel nominal.- Son aquellas se recogen datos e información de la variables que establecen la distinción realidad objetiva para poder dar de los respuestas a las interrogantes que se plantean; no hay investigación grande o 4646 pequeña, simplemente investigar e buscar elementos en diversas categorías, respuestas para plantear soluciones. basándose en uno o más atributos o ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN propiedades observadas, sin implicar Planeamiento o preparación. algún orden entre ellas. Recopilación de los datos. Distribuye a la unidad de análisis en Organización y presentación de datos. Análisis dos o más categorías como: sexo, e interpretación de los datos. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Formulación de conclusión y preparación del · Observación directa · Observación informe. indirecta. · Observación no participante. 12.8 RECOLECCIÓN DE DATOS · Observación participante o activa. La recopilación o recolección de datos es Según los medios utilizados, se tienen: el momento en el cual el investigador se pone en contacto con los objetos o · Laobservación no estructurada, elementos sometidos a estudio, con el asistemática y libre. propósito de obtener los datos o · La observación estructurada, sistemática o respuestas de las variables consideradas. regulada. A partir de estos datos se prepara la información estadística, se calculan b) La técnica Documental. Es un tipo medidas de resumen e indicadores para el de observación que recopila o busca sus análisis estadístico. datos en documentos, fuentes escritas o 12.8.1LAS FUENTES DE DATOS La fuente graficas de todo tipo. Entre los documentos de datos es el lugar, la institución, las se tienen: personas o elementos donde están o · Documentos académicos. poseen los datos que se necesitan para cada una de las variables o · Actas e informes. aspectos de la investigación o estudio, · Documentos personales. se dispone de cinco tipos de fuentes · Fotografías, planos, videos, etc. de datos. Las oficinas de Estadística. c) La entrevista. Es una situación de Archivos o registros administrativos. interrelación o dialogo entre personas, es una técnica donde una persona llamada Documentos. entrevistador, encuestador o empadronador Encuestas y censos. solicita al entrevistado le proporciona algunos Los elementos o sujetos de una población datos o información. La entrevista tiene sometida a estudio. diversas modalidades como: 12.8.2 TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE · La entrevista asistemática o libre. DATOS · Entrevista estructurada. Las técnicas de recolección de datos · Entrevista focalizada. son diversas y depende de la · Entrevista simultánea. naturaleza del objeto de estudio, de d) El cuestionario. Es un instrumento las posibilidades de acceso o contacto constituido por un conjunto de preguntas con los elementos investigados del sistemáticamente elaboradas, que se tamaño de la población o muestra de formulan al encuestado o entrevistado, con el los recursos y de la oportunidad de propósito de obtener los datos de las obtener los variables consideradas en el estudio. Criterios para preparar el cuestionario y el formulario. 4747 a) Objetivos de la investigación. b) Sistema de variables. datos. Entre las técnicas más frecuentes se tiene: c) Características del informante. d) Tiempo disponible para efectuar a) Observación. Es el proceso de investigación, es la la recolección. acción de mirar con rigor en forma sistemática y e) Técnicas de recolección. profunda, con el interés de descubrir la importancia de f)Procedimiento de elaboración. aquellos que se observa. Existen los siguientes tipos Características formales del de observación: cuestionario y del formulario Según el lugar o ámbito donde se encuentra los a) Forma y tamaño del formulario. b) Calidad del papel del formulario. datos: c) Tipo y color de la impresión. · Observación documental. d) Tipo de archivo. Formas y · Observación de campo. Según como se relaciona clases de preguntas. a) Preguntas abiertas. el investigador con el objeto de estudio. b) Preguntas cerradas dicotómicas. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO c) Preguntas cerradas de elección múltiple. Partes principales de un cuadro d) Preguntas literales. estadístico e) Preguntas con respuestas en grados de intensidad. a) Número del cuadro. e) La encuesta. Es una técnica de b) Titulo. recolección de datos, donde se obtiene la c) Concepto o encabezamiento. información tal como se necesita, preparada d) Cuerpo del cuadro. con objetividad estadístico. Hay 4 maneras e) Nota de pie o llamadas. de obtener los datos. f) Fuente. a) Con una entrevista o dialogo. g) Nota de unidad de medida. b) Por empadronamiento. h) Elaboración. c) Por correo. d) Por teléfono o fax. 12.11GRAFICAS ESTADISTICAS Un gráfico es una 12.9 REGLA DE REDONDEO representación mediante figuras geométricas u otros elementos que proporcionan visualmente a) Cuando el número que se quiere un resumen de la información que interesa redondear le sigue una cifra mayor destacar. No hay una regla única básica que 5, este tomará el valor mediante la cual se pueda construir una gráfica inmediato superior. efectiva e interesante. 45,8 ® 46 (redondear al entero) Partes principales de un gráfico 2,046 ® 2, 05 (redondear a 2 estadístico. a) Titulo. decimales) b) Escalas. b) Cuando al número que se quiere c) Fuente. redondear le sigue una cifra menor d) Cuerpo o gráfico en si. que 5, se quedará en el mismo valor. a) DIAGRAMAS DE BARRAS 73,3 ® 73 (redondear al entero) Las modalidades si el carácter es cualitativo. 1,254 ® 1,25 (redondear a 2 decimales) Los valores si la variable es no agrupada Sobre ellos se levantan barras o rectángulos de igual base (que no se solapen) cuya altura 4848 sea proporcional a sus frecuencias. También se suelen utilizar para series cronológicas y c) Cuando al número que se quiere pueden, asimismo, representarse redondear le sigue una cifra igual horizontalmente, intercambiando los ejes. que 5, se tomará dos criterios:1 c1) Si la cifra es par, que sin alterar. 26.5 ® 26 (redondear al entero) 2,495 ® 2,49 (redondear a 2 decimales) c2) Si la cifra es impar, pasa al inmediato superior. 77,5 ® 78 (redondear al entero) 2,215 ® 2,22 (redondear a 2 decimales) 12.10 CUADROS ESTADÍSTICOS El cuadro estadístico es el arreglo ordenado de columnas y filas, de datos estadísticos y características, relacionados con el objeto de ofrecer información estadística de fácil lectura, comparación e interpretación. Un cuadro estadístico es el resultado de trabajos previos (planeamiento, recopilación, tabulación, cálculos, etc) estos cuadros constituyen los llamados cuadros de análisis que se incluyen frecuentemente en el cuerpo de los estudios, de las investigaciones o de los informes. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Realicemos los diagramas de barras asociados a b) HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS Se utiliza con variables agrupadas en intervalos, representando en el eje X los intervalos de clase y levantando rectángulos contiguos de base la longitud de los distintos intervalos y de altura tal que el área sea proporcional a las frecuencias representadas. Si son frecuencias acumuladas, serán proporcionales a las alturas aunque los intervalos sean de distinta amplitud. En el ejemplo 3 hemos agrupado los datos en intervalos. Por tanto, 4949 podemos realizar los histogramas utilizando las frecuencias absolutas y las frecuencias absolutas acumuladas. 15 12 11 10 6 5 5 3 2 1 0 Intervalos [4 -10> [10-16> [16-22> [22-28> [28-34> [34-40> [40-46> 50 38 40 40 33 30 22 20 10 10 4 1 0 Intervalos [4 -10> [10-16> [16-22> [22-28> [28-34> [34-40> [40-46> los ejemplos Nº 1 y Nº 2: En este caso, todos los intervalos son de la misma longitud, por lo que la altura de cada rectángulo coincide con la frecuencia. Cuando se realizan representaciones correspondientes a edades de población, cambiamos el eje Y por el eje X para obtener las llamadas pirámides de población, que no son más que 2 histogramas a izquierda y derecha, para hombres y mujeres. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO realizar estos polígonos unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma según la variable sea agrupada o no agrupada. Vamos a realizar los polígonos de frecuencia asociados a los ejemplos 2 y 3. Veamos un ejemplo: c) POLÍGONOS DE FRECUENCIAS Son gráficos lineales que se utilizan en el caso de una variable cuantitativa. Para Un caso particular de aplicación de los histogramas y los polígonos de frecuencias es el climograma, que representa la marcha anual de las temperaturas y de las lluvias medias, sobre un mismo sistema de coordenadas. Veamos un ejemplo: 5050 En el caso de representar las frecuencias acumuladas se unen los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras, si la variable es no agrupada, y los vértices superiores derechos de los rectángulos si se trata de una variable agrupada. d) DIAGRAMA DE SECTORESSon gráficos en los que a cada valor o modalidad se reasigna un sector circular de área proporcional a la frecuencia que representan. Se utilizan si el carácter es cualitativo o cuantitativo discreto no agrupado Realicemos el diagrama de sectores del ejemplo 1. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Grupos sanguineos Otras representaciones gráficas que nos podemos encontrar son análogas al diagrama de barras, en las que en lugar de levantar 4% rectángulos se asocian a cada valor pirámides, 24% A 44% cilindros, etc. B O 12.12 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las AB medidas de tendencia central son la media, la 28% mediana y la moda, media geométrica, media armónica, media cuadrática, de los cuales las tres primeras son las mas importantes. e) OTROS GRÁFICOS 12.12.1 La media.- es la suma de los o decreciente, el valor que divide en valores de los elementos dos partes la muestra. dividida por Para calcular la mediana debemos la cantidad de éstos. Es conocida tener en cuenta si la variable es también como promedio, o media discreta o continua. aritmética. Cálculo de la mediana en el caso Fórmula de la media: discreto: n Tendremos en cuenta el tamaño de la åx i muestra. Media Poblacional m= i=1 n el términoSi N es Impar,XNhay un término central,+1 que será el valor = sumatoria 2µ = media de la mediana. n = número de elementos Si N es Par, hay dos términos X = valores o datos centrales, X XN ; N +1 la mediana 2 2 Ejemplo: Calcule la media de los será la media de esos dos valores siguientes números: Veamos un ejemplo. Nº par Nº impar 1,4,6,7,8,9,12,16,20, 1,4,6,7,8,9,12,16,20,2 -Sumar las cantidades: 24,25,27 4,25,27,30 10 + 11 + 12 + 12 + 13 = 58 N=12 N=13 -Dividir la suma por la cantidad Términos centrales Término De elementos: 58/5 el 6º y 7º 9 y 12 Central el -El resultado es la media: 11,6 7º , 12 10, 11 , 12 , 12 , 13 Por lo tanto, la media de los 5Me = 12 Me== 10,5 números es 11,6. Note que la media resulta un número que está entre el Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO rango de elementos; en este caso, Cálculo de la mediana en el caso 11,6 está entre 10, 11, 12 y 13. continúo: Media aritmética para datos Si la variable es continua, la tabla agrupados: vendrá en intervalos, por lo que se Sean Xi, X2, X3, . . . Xi las marcas de calcula de la siguiente forma: clase y n1, n2, n3, . . . . ni Nos vamos a apoyar en un gráfico de las recuencias absolutas. un histograma de frecuencias Donde: n = número de intervalos acumuladas. de clase n n å ånx ii f xi i X =nx1 1+1n x+ + + +2 2n2 +nn x33 3...+ +...ni nxi i = iå=1n ni = i=1n n i=1 n = número de datos. También se puede utilizar: n X =åh xi i i=1 Donde: h1, h2, . . . hk son las frecuencias relativas 12.12.2 Mediana: La mediana es el valor central de la variable, es decir, supuesta la muestra ordenada en orden creciente 5151 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO De donde la mediana vale: én / 2 d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase - Ni-1 ù anterior. Me =Li + êë fMe úûW d1 = no - n0 - 1 d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia Donde: de la clase siguiente. Li: límite inferior de la clase mediana W: ancho de d2 = no - n0 + 1 clase o amplitud del intervalo de la clase mediana. n: número total de datos Ni -1: Frecuencia absoluta 12.13 Medidas de Localización o cuantiles 10.13.1 acumulada de la clase que precede a la clase Cuartiles mediana. fMe: Frecuencia absoluta de la clase Medida de localización que divide la población mediana o muestra en cuatro partes iguales. · Q1= Valor de la variable que deja a la izquierda Veámoslo por medio de un ejemplo. el 25% de la distribución. · Q2= Valor de la Supongamos los pesos de un grupo de 50 variable que deja a la izquierda el 50% de la personas se distribuyen de la siguiente distribución. · Q3= Valor de la variable que deja forma: a la izquierda el 75% de la distribución. Al igual que ocurre con el cálculo de la mediana, el cálculo de estos estadísticos, depende del tipo de variable. Caso I: Variable cuantitativa discreta: En este caso tendremos que observar el tamaño de la muestra: N y para calcular Q1 o Q3 procederemos como si tuviésemos que calcular la mediana de la correspondiente mitad de la muestra. Caso II: Variable cuantitativa continúa: 12.12.3 La moda.- es el valor que se presenta En este caso el cálculo es más simple:, sea la el mayor número de veces. distribución que sigue: Moda para datos no agrupados: Ejemplo: Halla la moda de: Siendo el intervalo coloreado donde se 5 , 12 , 9 , 5 , 8 , 7 , 1 encuentra el Cuartil correspondiente: Como la moda es el número que más se repite, la moda es 5. Ejemplo: Halla la Q L1= +i-1 êén N- i-1úùWy Q L3= +i-1 êé3n moda de: N/4- i-1úùW /4 14, 16, 18, 16, 15, 12, 14, 14, 16, 18 , 20 , 16 , 16 êëN Ni - i-1 úû êë N Ni - i-1 úû El 14 se repite 3 veces. El 18 se repite 2 veces. 12.13.2 Deciles. Medida de localización que divide la población o muestra en 10 partes El 16 se repite 5 veces. Por lo tanto, la iguales moda es 16. Ejemplo: Halla la moda de: No tiene mucho sentido calcularlas para 23, 35, 45, 33 , 47, 31, 29 , 22 Como ningún variables cualitativas discretas. Por lo que lo número se repite, no tiene moda. vamos a ver sólo para las variables continuas. Moda para datos agrupados: En este caso lo hallamos por la siguiente fórmula æ d1 ö Mo = Li +Woçè d1 + d2 ÷ø Wo = Amplitud del intervalo de la clase modal Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO dk = Decil i-simo es aquel valor de la Donde: de la distribución. Lo = Límite inferior de la clase modal Intervalo donde se encuentra el Decil correspondiente: 5252 variable que deja a su izquierda el i·10 % éi n. /10 -Ni-1ù Di =Li-1 +ê ú W; i=1,2,...,9 êë Ni - Ni-1 úû 12.13.3Percentiles: Medida de localización que divide la población o muestra en 100 partes iguales No tiene mucho sentido calcularlas para variables cualitativas discretas. Por lo que lo vamos a ver sólo para las variables continuas. pk = Percentil k-simo es aquel valor de la variable que deja a su izquierda el i % de Y deseamos estudiar que diferencias existen la distribución. entre los resultados de los dos grupos. Intervalo donde se encuentra el percentil å xn 5 ii ån correspondiente: X A = i=15 == 15 i i=1 éi n. /100 -Ni-1ù Pi =Li-1 +ê ú W; i=1,2,...,99 å xn 6 êë Ni - Ni-1 úû i i 12.14 MEDIDAS DE DISPERSIÓN X B = i=16 == 15 å ni i=1 Las medidas de tendencia central estudiadas tenían como finalidad sistematizar la información contenida en (X A = X B =15) un conjunto de datos. Sin embargo, la Si calculamos las medias de los dos grupos, se utilización exclusiva de éstas medidas observa que ambas son iguales y, sin embargo, las no es suficiente para resumir toda distribuciones de calificaciones en A y B son bien información presente en los datos, como distintas, tal y como se recoge en los gráficos 1 y 2. se pone de manifiesto en los ejemplos siguientes: EJEMPLO 1. Las calificaciones de estadística de dos grupos distintos de alumnos del mismo curso son: Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO Ejemplo2. Janina y Cristel discuten sobre sus promedios anuales en matemáticas, el cuadro siguiente muestra sus notas: 1º 2º 3º 4º PROMEDIO Janina 10 11 13 14 12 Cristel 15 6 17 10 12 Las notas bimestrales se acercan o se alejan del promedio y una forma de medir esto es empleando las medidas de dispersión, estas son: RANGO O RECORRIDO: Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una serie. El rango de las notas de Janina es: 14 – 10 = 4 El rango de las notas de Cristel es: 17 – 6 = 11 DESVIACIÓN: La desviación de un dato respecto a la media (o promedio) es la diferencia entre ese dato y la media. Expresa la “separación” o “alejamiento” respecto a la media. Liz en el cuarto bimestre (4º B) tienen una desviación: x xi - = 14 -12 = 2 Judith en el cuarto bimestre (4º B) tiene una desviación xi - =x 10 -12 = 2 DESVIACIÓN MEDIA (DM): Es la media En efecto, en A, la nota media es la más aritmética de los valores absolutos de todas las representativa, ya que todos los valores están desviaciones: muy concentrados en torno a ella. Por el datos no agrupados datos agrupados n __ n __ contrario, en B, la media aritmética puede åX å X-Xf ofrecer una imagen errónea del grupo, ya que es el i -X i i resultado de promediar valores muy DM = i=1 DM = i=1 n n 5353 Donde: distantes. __ Este ejemplo sugiere la necesidad de Xi - X= Valor absoluto acompañar a las medidas de tendencia central con otras que evalúen su representatividad, y que se conocen con el Xi = Observación o dato X = media aritmética n nombre de medidas de dispersión, a cuyo = número total de datos fi = frecuencia absoluta estudio vamos ha dedicar el presente tema. ( sólo para datos agrupados) Calculemos la DM de las notas Las medidas de dispersión evalúan en que de Liz: 10- + - + - + -12 11 12 13 12 14 12 medida la variable toma valores muy próximos, o, por el contrario, presenta DM = valores muy distantes. 4 54 54 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 70,35,150,140,82,110,140,120 Calculamos la DM = =1,5 media y desviación estándar por cada una de los laboratorios n VARIANZA (σ2): Es la media de los å Xi 393 = = = 56.14 i =1 cuadrados de las desviaciones respecto a x n 7 la media aritmética. K å(X Xi - ) 2 s 2= i=1 K n=åni i=1 Es decir: Una fórmula equivalente a la anterior es: CV = S ´ 100 x n K å xi2 å Xi 847 s2=i=1 -x 2 n x = i=1 n= 8 =105.87 DESVIACIÓN TIPICA (σ): Es la raíz cuadrada positiva de la varianza s= CV = ´100 =18.29 åX = 847 å(Xi - =x) 0,04 VARIANZA n å (Xi - x ) 2 EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN i =1 11372,88 Es una medida relativa de variabilidad de = S= n-1 8 - 1 = 40.30 los datos. Permite comparar la variabilidad S de dos o más conjuntos de datos CV = ´100 x expresados en unidades diferentes (peso: Kg. y libras). CV = ´100 = 30,06 a) Cálculos a partir de datos no agrupados El Laboratorio II presenta una mayor variabilidad s para la en el plan tarifario. MEDIDAS DE ASIMETRIA O SESGO muestra: CV = x ´100 Coeficiente de Asimetría Es un indicador del grado de asimetría que presenta una distribución. Las medidas de la asimetría, al igual que la para la población: CV = s ´100 curtosis, van a ser medidas de la forma de la m distribución, es frecuente que los valores de una Ejemplo: distribución tiendan a ser similares a ambos lados A continuación se presentan las tarifas de las medidas de centralización. La simetría es (en unidades monetarias) de dos importante para saber si los valores de la variable laboratorios de análisis clínicos. El se concentran en una determinada zona del laboratorio I tiene sus tarifas en soles y el recorrido de la variable. laboratorio II en dólares ¿Cuál de ellos tiene un plan tarifario más homogéneo o X Mo- 3(X Md- ) estable?. Laboratorio I (soles) AS1 =; AS2 = 40,70,60,48,52,65,58 S S Laboratorio II (dólares) Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO ì-3 asimetría negativa AS1 = í î+3 Si la diferencia x Mo- es positiva, diremos que hay asimetría positiva asimetría positiva o a la derecha, en el caso de Valores posibles que sea negativa diremos que hay asimetría Si AS1 tiende a 3 la distribución es negativa o a la izquierda. No obstante, esta asimétrica hacia la derecha o asimetría medida es poco operativa al no ser una medida positiva. relativa, ya que esta influida por la unidad en que Si AS2 tiende a -3 la distribución es se mida la variable, por lo que se define el asimétrica a la izquierda o asimetría coeficiente de Asimetría como: negativa. En distribuciones simétricas, no existe x-Mo As = sesgo, es decir AS1= 0. En la práctica, el coeficiente de Asimetría sx de Pearson varía entre -1 y +1 Esta medida es muy fácil de calcular, pero menos precisa que el coeficiente de asimetría de GRÁFICO DE ASIMETRÍA Pearson. Para medir la asimetría se puede realizar atendiendo básicamente a dos criterios: El coeficiente de asimetría de Pearson, se basa n Si å(Xi -x)2 =11372.88 i=1 Xi -xχ (Xi -x) 2 70 -35,87 1286,6569 35 -70,87 5022,5569 150 44,13 1947,4569 140 34,13 1164,8569 82 -23,87 569,7769 110 4,13 17,0569 140 34,13 1164,8569 120 14,13 199,6569 5555 · Comparando la Media y la Moda. en la comparación con la media de todos los · Comparando los valores de la variable con valores de la variable, así que es una medida que la media. se basará en las Comparando la Media y la Moda: Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO diferencias xi - x , como vimos en el caso de la dispersión si medimos la media de esas desviaciones sería nulas, si las elevamos al cuadrado, serían siempre positivas por lo que tampoco servirían, por lo tanto precisamos elevar esas diferencias al cubo. 0,5(P0,75-P0,25) ó K = Q Ku= P -P P -P Como podemos observar, el coeficiente de 0,9 0,1 90 10 curtosis nos mide el grado de puntamiento de la distribución. Este coeficiente lo vamos a denotar Coeficiente de Curtósis por K y se calcula Ejemplo: Es una medida del grado de apuntamiento, La tabla muestra la edad (en años) de 70 generalmente comparada con el pacientes atendidos en el servicio de emergencia apuntalamiento de la distribución normal. de un hospital local. Valores posibles a) Leptocúrtica (concentración al centro): Si el grado de apuntalamiento de una distribución A)Calcular e interpretar la asimetría es mayor que el de la distribución de la distribución normal. Kμ@ 0,5 B) Calcular e interpretar la curtosis de la distribución. 5656 b) Mesocúrtica (distribuidos simétricamente): 4 67 18 15 11 3 24 Si el grado de apuntalamiento de una 3 85 15 15 14 5 26 distribución es igual que el de la distribución 5 6 16 15 13 7 21 normal. Kμ@ 0,25 6 7 17 16 10 8 22 c) Platicúrtica (aplanada).Si el grado de 7 7 15 17 6 12 17 apuntalamiento de una distribución es 25 10 13 17 4 15 16 menor que el de la distribución normal. 0 = 13 12 13 13 8 17 9 Kμ =0,25 2 15 14 14 14 18 9 4 16 20 16 18 20 15 5 17 14 17 20 21 12 Media aritmetica 14.27 Desviacion estandar 11.42 Mediana 13.50 Cuartil 1 7.00 Cuartil 3 17.00 Percentil 90 23.00 Percentil10 4.00 Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO A) 10, 8, 6, 0, 8, 3, 2, 2, 8, 0. AS2 = = 0,202 B) 1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 9. 5. En cada uno de los paréntesis, coloque verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Ku = 0,5(17,00 - 7,00) = 0,263 La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra. ( ) 23,00 - 4,00 La ultima frecuencia absoluta es igual a 1. () PROBLEMAS PROPUESTOS La amplitud es el punto medio del intervalo que 1. Si en un análisis estadístico se estudia a representa a una clase. ( ) toda la población, entonces se realiza un: A) Muestreo La suma total de las frecuencias Absolutas B) Censo siempre es igual a 1. ( ) C) CuestionarioD) Diseño experimental E) Diseño de encuesta La suma de todas frecuencias relativas es igual al tamaño de la muestra. ( ) 2. La característica “tiempo de servicios” puede clasificarse como: La marca de clase es siempre positiva. ( ) A) Variable cualitativa B) Variable cuantitativa C) muestra 6. La definición: “es el cociente de una frecuencia D) Atributo absoluta dada entre el tamaño de la muestra” E) Variable cuantitativa discreta corresponde a la: a) secuencia relativa 3. Identifique en cada enunciado el tipo de b) Frecuencia absoluta variable: c) Marca de clase  Porcentaje de deserción d) Frecuencia absoluta acumulada escolar e) Frecuencia relativa acumulada. infantil…………………………………  Opinión de los alumnos 7. Si tenemos 42 datos y un rango de 457, según la de IESTP- regla de Sturges. ¿Cuántos intervalos de clase se Pasco sobre sus autoridades……….. debe considerar?  Ocupación de los padres de familia de A) 4 B) 5 C) 6,5 D) 7 E) 8 una Institución Educativa………. Respuestas correctas en un examen de 20 preguntas………………………. 4. Encuentre la media, mediana y moda en E ducar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida. Pitágoras cada uno de los siguientes datos: BIBLIOGRAFIA LIZÁRRAGA PAREDES, Moisés: “Razonamiento Matemático” Grupo Editorial Magabyte, 1ra edición 2006, Lima RUBIÑOS TORRES, Luis : “Razonamiento Matemático” Ediciones Rubiños Nueva edición 2012, Lima. POVIS VEGA, Adolfo : “Razonamiento Matemático” Editorial Moshera S.R.L. 3ra edición 2012, Lima. ACADEMIA ADUNI : “Razonamiento Matemático”, Lumbreras Editores Lima. LINARES CARRILLO, Luis : “Razonamiento Matemático” Editorial “Alfa Graf” S.A. 1ra edición 2003. MIRANDA GUARNIZ, Martin : “Aptitud Matemática” Editora “Kano” 1ra edición 2005 Lima COVEÑAS NAQUICHE, Manuel : “Razonamiento Matemático” Editorial “Coveñas”4ta edición 2003 Lima. VALENZUELA FÉLIX, Edgar: “Razonamiento Matemático” Editorial “Elohim impresores” 2008 Lima. Lic. Raúl MALPARTIDALOVATÓN RAZONAMIENTOMATEMATICO 5757