Diseño mecánico 1Diseño de ejes – velocidad crítica de ejes José Alberto Zavala Bustos VELOCIDAD CRÍTICA DE EJES. Todos los ejes, aún sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje y de las partes que se le adicionan, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del amortiguamiento presente en el sistema. La deformación, considerada como una función de la velocidad, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas, pero sólo la más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen importancia para el diseñador. Las otras, son generalmente tan altas que están muy alejadas de las velocidades de operación. En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más sencilla posible. En la segunda, la flexión sigue la segunda forma más sencilla, etc. por ejemplo, un eje soportado en sus extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparación con la del eje), se deforma según la configuración mostrada en las figuras 1.a y 1.b, cuando rota en la primera y segunda velocidad crítica, respectivamente. Figura 1.a Figura 1.b La frecuencia natural de un eje en flexión es prácticamente igual a la velocidad crítica y, generalmente se toman como iguales. Existe una diferencia, normalmente muy pequeña, debida a la acción giroscópica de las masas. Para un eje que lleva unida una sola masa (figura 2.a y 2.b y 2.c), si su masa es pequeña en comparación con la masa que lleva unida, la primera velocidad crítica puede calcularse aproximadamente por: k -----------------------1 n m Figura 2.b Figura 2.a Figura 2.c Donde m es la masa y k, la constante de resorte del eje (fuerza requerida para producir una deformación unitaria en el punto de localización de la masa). Esta relación es independiente de la inclinación del eje (horizontal, vertical o intermedio). El símbolo X, en la figura 2.b, representa la deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa. 1 en el punto de localización de la masa y g . Para un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a él. es la deformación estática máxima producida por una carga distribuida uniformemente sobre el eje e igual a su propio peso. La cual. se le conoce como ecuación de Rayleigh–Ritz. que con una partición no muy refinada puede obtenerse una buena aproximación. m2. es muy cercana a: 5 g ------------------------3 c 4 max Donde max . Figura 4 2 . la velocidad crítica (primera). es la constante de la gravedad. simplemente apoyado en sus extremos. La experiencia da el número de subdivisiones que debe usarse. etc. sin otra masa fuera de la propia. la primera velocidad crítica es aproximadamente: j W n n --------------------4 c g i j W i n 2 n Donde Wn . pero. m3. Diseño mecánico 1 Diseño de ejes – velocidad crítica de ejes José Alberto Zavala Bustos Además: g ----------------------2 n Donde . j . también puede usarse para calcular la primera velocidad crítica de un eje que tiene una masa distribuida (figura 4). (Figura 3). número total de masas. Figura 3 La ecuación 4. puede verse. Se divide la masa distribuida en un número de partes: m1. es el peso de la masa n-ésima. se considera la masa de cada parte como si estuviera concentrada en su propio centro de gravedad. n . es la deformación estática en la masa n-ésima. Para un eje de sección transversal constante. es la deformación estática (deformación producida por una fuerza mg W . el teorema de reciprocidad de Maxwell. proporciona otra aproximación para la primera velocidad crítica de un sistema de masas múltiples: 1 1 1 1 ... 1.. 3 . requieren cálculos mucho más extensos que los necesarios para determinar la velocidad crítica más baja (primera).. son aproximaciones a la primera frecuencia natural de vibración. 21 1 --------------------------7 a31m1 1 a32m2 a33m3 2 . . Las dos masas son m1 y m2.. sobreestima la frecuencia natural. . en la cual 1 y 2 son la primera y segunda 1 2 velocidades críticas (o frecuencias naturales de vibración). En general. es la primera velocidad crítica del sistema de masas múltiples..... Existen muchos métodos para dicho efecto. --------------------------------------------5 2 c 2 1 2 2 32 Donde n . es la velocidad crítica que existiría con la presencia aislada de la masa 1. producida por una carga unitaria en el punto 1. es la velocidad crítica que existiría con la presencia aislada de la masa 2. 5). Para un sistema de masas múltiples. Para un sistema de dos masas: a11m1 a22m2 a11a22 a12a21 m1m2 0 -----------------------6 1 1 4 2 1 1 Esta es una ecuación bicuadrática con dos raíces positivas y . 1. 1 . la ecuación de frecuencias se obtiene igualando a cero el siguiente determinante: 1 a11m1 2 a12m2 a13m3 . a11 es la deformación en el punto de la masa No. establece que a12 a21 .. producida por una carga unitaria localizada en el punto de la masa No. a m 1 a22m2 2 a23m3 . etc. Diseño mecánico 1 Diseño de ejes – velocidad crítica de ejes José Alberto Zavala Bustos La ecuación de Dunkerley (Ec.. Las velocidades críticas más altas para sistemas con masas múltiples.. . la cual se supone igual a la velocidad crítica de rotación. . la ecuación de Raylegh-Ritz.. 2. Es importante recordar que las ecuaciones de Rayleigh-Ritz y Dunkerley. Las constantes a son coeficientes de influencia. 2 ... mientras que la de Dunkerley la subestima. a12 es la deformación en el punto de localización de la masa No. etc..