32600975-Apostila-5-Variaveis-aleatorias[1]

Universidade Federal do Piauí Campus Universitário “Profa. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, I Profa.Gisele V - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. INTRODUÇÃO Ao descrever o espaço amostral de um experimento al eatório, o resultado individual não necessariamente é um número. Por exemplo: no lançament o de duas moedas consecutivas podemos obter: S = {cara-cara, cara-coroa, coroa-c ara, coroa-coroa}. Contudo, em muitas situações experimentais, estaremos interessado s na mensuração de alguma coisa e no seu registro como um número. Ou seja, desejamos a tribuir um número real x a todo elemento a do espaço amostral S. Portanto, no caso d o lançamento consecutivo de duas moedas, podemos transformar os resultados de S em números, atribuindo-se de acordo com a contagem do NÚMERO DE COROAS obtidas, ou sej a, S ={0, 1, 2}, ou de acordo com o NÚMERO DE CARAS obtidas, ou seja, S ={2, 1, 0} . A este procedimento de obter uma função X, que associe aos elementos a pertencente s a S um número real, X(a), é denominada VARIÁVEL ALEATÓRIA. 2. CONCEITOS DE VARIÁVEL ALEA TÓRIA Definição simplificada: Uma vez que os valores da variável estão relacionados a um e xperimento aleatório ou probabilístico, VARIÁVEL ALEATÓRIA é toda variável cujos resultados estão associados a uma probabilidade. Experimentos aleatórios são aqueles que, repetidos em idênticas condições, podem produzir resultados diferentes. Embora não se saiba qual o resultado que irá ocorrer num expe rimento, em geral, consegue-se descrever o conjunto de todos os resultados possíve is que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denomi nam acaso acaso. 1 Definição estatística: Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a e ste experimento. Uma função X, que associe a cada elemento a pertencente a S um número real, X(a), é denominada VARIÁVEL ALEATÓRIA. a v.a.X X(a) S R Ex: Considere o experimento probabilístico ou aleatório: lançamento de duas moedas con secutivas, logo: S = {cara-cara; cara-coroa; coroa-cara; coroa-coroa} Considere agora que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2}, Portanto, X(cara-cara) = 0 (NENHUMA COROA NO LANÇAMENTO DE DUAS MOEDA S) X(cara-coroa) = X(coroa-cara) = 1 (UMA COROA NO LANÇAMENTO DE DUAS MOEDAS) X(co roa-coroa) = 2 (DUAS COROA NO LANÇAMENTO DE DUAS MOEDAS) Cara-cara Cara-coroa Coroa-cara Coroa-coroa 0 1 2 S Em que, R S = espaço amostral original correspondente a todos os possíveis resultados do exper imento (numérico ou não); R = novo espaço amostral associado à variável aleatória X, repres ntando todos os valores numéricos de interesse (todos os valores possíveis e definid os de X(a) de a em S). 2 Observações: a) Apesar da terminologia “variável aleatória”, ela é uma função cujo domínio o S e o contradomínio é o conjunto R; b) O uso de variáveis aleatórias equivale a descre ver os resultados de um experimento aleatório por meio de números ao invés de palavras , o que apresenta a vantagem de possibilitar melhor tratamento estatístico; c) Nem toda função é uma variável aleatória, pois uma vez que ao mesmo s forem atribuídos diferen es X(a), a relação não poderá se caracterizar uma relação funcional ou função. Lembrete: Um ntidade é uma função de outra quando, para cada quantidade da variável independente (x), corresponde a um único valor denominado f(x) (variável dependente). O conjunto em q ue os valores de x podem ser tomados é chamado de domínio da função, e o conjunto dos va lores que f assume para cada x é denominado imagem da função. As variáveis aleatórias serão sempre representadas por letras maiúsculas (X, Y, Z, W, etc.). As realizações (ou vari ações) dessas variáveis em um dado elemento da população serão sempre representadas por let as minúsculas (x, y, z, w, etc.). Quando o resultado do experimento probabilístico f or registrado como um único número x ter-se-á uma VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL, que p oderá ser discreta ou contínua. Porém, quando para um determinado experimento, cada re sultado é proveniente da avaliação simultânea de dois caracteres, como por exemplo, estu dar a estatura X e o peso Y, de alguma pessoa escolhida ao acaso, o resultado se rá (x,y), e ter-se-á uma VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL. Nota-se, nesse caso, que cada resultado é identificado por cada um dos valores que as variáveis aleatórias unidimen sionais assumem. v.a.X a S v.a.Y X(a) Y(a) 3 : Mesmo que a variável assuma um número infinito enumerável de valores não há nenhum problema em comprovar que cada xi contribui com uma quantidade f(xi) ao t otal. denominaremos X de variável aleatóri a discreta.3.). P(xi)]. a função: F(x) = P (X = xi) = P (xi) P ois a cada valor de xi associa-se sua probabilidade de ocorrência. e. i = 1. 2.2.p. 3. d. No caso finito a li sta de valores de x acaba e no caso infinito enumerável.p. chama-se FUNÇÃO DE PROBA BILIDADE (f. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS 3.1. Se o número de valores possíveis de X(a) (isto é o se u contradomínio) for finito ou infinito enumerável. Variável Aleatória Discreta 3... que pode ser representada por meio de tabelas e gráficos. Função de probabilidade (f. os valores possíveis de X são x1. de modo que. Representação tabular da DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE de variável aleatória discreta É dada por: 4 . Em geral uma variável aleatória é obtida mediante alguma forma de contagem.. assim. Definição: eja X uma variável aleatória (v. 3 .) da variável aleatória discreta X.. X.1. a lista continua indefini damente. a.. para cada quantidade da variável independente (x). ∞ ∞ ∞ ∑ i =1 f ( xi ) = ∑ p ( x i ) = ∑ P ( X = x i ) = 1 i =1 i =1 À coleção de pares [xi. para todo xi.xn.1. p.1. A função P (xi) será uma f.. denominamos DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE da v.1.. n..2. corr esponde a um único valor denominado f(x) (variável dependente). * ∑ P( x ) = 1 = P( S ) i OBS. se satisfizer às seguintes condições: * P(xi) ≥ 0. x2.) Utilizando o conceito de função em que uma quantida de é uma função de outra quando..1.a. 0 3. P (1) = 2/4 e P (2) = 1/4. 5 função. Cujas probabilidades de ocorrência são: P (0) = 1/4. P (xi) ≥ 0 e ∑ P[ X = x ] = 1 i i =1 k Nota-se que para uma variável aleatória discreta as probabilidades de cada valor x c orrespondem à própria PROBABILIDADE. cara-coroa. Portanto. coroa-cara. Exemplo 1: Considere o experimento probabilístico ou aleatório: lançamento de duas moedas consecu tivas..0 Em que. X(coroacoroa) = 2. logo: S = {cara-cara. coroa-coroa} Considere agor a que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas. 1.xi P(X=xi) x1 P(x1) x2 P(x2) … . ou seja: X = {0 . Uma linha hor izontal é feita em cada valor de x na altura de sua respectiva probabilidade. Logo. X(cara-cara) = 0. 2}. X(cara-coroa) = X(coroa-cara) = 1.2. por isso esta é chamada de FUNÇÃO DE . xn P(xn) ∑ 1. a representação tabular da DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE de X é: xi P(X=xi) 0 1/4 1 2/4 2 1/4 ∑ 1.1. Representação gráfica da DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE de variável aleatória discreta É obtida alocando-se no eixo das abscissas os valores de x e no e ixo das coordenadas os valores de suas respectivas probabilidades.1.. A2B2. c) Obter a tabela da DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE de X. nenhum animal da raça A. No entanto. um animal da raça A. {B1B2.E a representação gráfica da DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE de X é: 2/4 1/4 0 Exemplo 2: 1 2 x Tem-se 5 animais: 2 animais de uma raça bovina A (A1 e A2) e 3 animais de uma raça b ovina B (B1. {A1B1. A1B2. a) Obter o espaço amostral desse experimento ale atório S: {A1A2. 1. a d. Assim. Essas funções sob e os elementos do espaço são as variáveis aleatórias. em que se atribui um único número real a cada elemento do espaço amostral S . B1B3. escolhi dos ao acaso dentre os 5 animais. B1B3. a representação tabular da função de probabilidade da variável número animais da raça A é dada por: xi P(X=xi) 0 3 10 1 6 10 2 1 10 ∑ 1. B2B3} b) Obter a variável aleatória X “número de animais da raça A” na amostra. No caso. B2B3}. Deseja-se obter uma amostra de 2 animais da raça A. é mais fác il utilizar valores numéricos do que trabalhar diretamente com elementos de um esp aço como o anterior. os valores assumidos por X são x = 0. A2B1. dois animais da raça A. A1B3. B1B2. A1B3. A2B3. tem-se uma variável aleatóri discreta. A2B2.0 6 . A1B1. B2 e B3). na estatística. ou seja. Como essa associação de números aos pontos d o espaço amostral. {A1A2}. define-se uma função sobre cada elemento desse espaço. ou seja. se X se for a variável aleatória NÚMERO DE ANIMAIS DA RAÇA A. A2B3}. A2B1. A1B2. ou seja. 2. X o NÚMERO D E ANIMAIS DA RAÇA A. Seja a v. para todo i = 1. P (xi) ≥ 0 e ∑ P[ X = x ] = 1 i i =1 k d) Obter o gráfico da DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE de X. tem distribuição uniforme. Essa variável assume obviamente os valores de 1 a 6. 3. 4 . que no caso.3.. . e a cada valor é possível associa r um único número real. 5. para todos é igual a 1/6.. assumindo os x1. x2. ….1. Variável aleatória discreta uniformemente distribuída Este é o orre com valores = xi) = Exemplo: caso mais simples de variável aleatória discreta.Em que. 6} Considere a variável aleatória discreta X dada pelo NÚMERO DE PONTOS OBTIDOS. Definição: A variável aleatória discreta X. Função de probabilidade da variável NÚMERO DE ANIMAIS DA RAÇA A. S = {1. xn.. ou seja. 2. n n Considere o experimento aleatório o lançamento de um dado não-viciado. 3. se e se somente se: f(x) = P (X P (xi) = p = 1 . em que cada possível valor oc a mesma probabilidade. um valor de probabilidade. A representação gráfica da função robabilidade da variável número de animais da raça A é dada por: 6/10 3/10 1/10 0 1 2 x Figura 1. 2. 7 . Portanto. 3. 1/6 1 2 3 4 5 6 Figura 1. por exemplo. ou seja.3. um fruto de tomate de uma área de produção e determina r o valor do peso do fruto em gramas. Variável aleatória contínua 3.2. não faz sentido fazer uma soma das probabilidades de cada um dos valores como no 8 . a variável aleatória X = O DO FRUTO pode assumir um valor qualquer em um determinado intervalo da reta re al.2.1. Função de probabilidade da variável NÚMERO DE PONTOS OBTIDOS no lançamento de um dado.). portanto. dentro de um determinado grau de precisão decorrente da limitação do equipamento de mensuração. uma variável aleatória contínua. Se o número de valores possíveis de X(a) (isto é o s eu contradomínio) for infinito não-enumerável como. sendo.a. Definição: Seja X uma variável aleatória (v. ao acaso. Representação gráfica da DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE de X. Nesse caso. Como uma variável aleatória contínua ode assumir uma infinidade de valores em um intervalo real. Consideremos por exemplo o experimento que co nsiste em selecionar. a representação tabular da função de probabilidade F(x) = P (X = xi) = P (xi). a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE de X: xi P(X=xi) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 ∑ 1. ou seja. a cada um dos infinitos valores da reta real é atribuída probabilidade nula. o conjunto de valores que a variável pode assumir é infinito nãoenumerável. um intervalo.1.0 3. X será de nominada de variável aleatória contínua.1.Portanto. caso das variáveis aleatórias discretas. IMPORTANTE: A f(x) de uma v. a c..d. Nesse caso. este pode ser fechado ou ab erto. que será a área sob a curva da função X = a e X = b. pois a inclusão ou não dos extremos a e b do intervalo não altera o valor desse cálculo. Nesse caso. não se tem uma função de probabilidade F(x) = P (X = xi) = P (xi) como para variável aleatória discreta. visto que a probabilidade de um ponto é nula. ela produ zirá uma probabilidade. a probabilidade de x em intervalo entre a e b da reta real. b c) P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x )dx a A probabilidade de que a variável aleatória assuma valores em um intervalo é a área sob a curva da função densidade probabilidade no intervalo entre a e b. a probabilidade de ocorrência dos result ados dentro do intervalo é sempre 100% possível.p. calcular a integral significa “integrar” ou somar os valores da função. isto é. as probabilidades de ocor rência de cada um dos possíveis resultados do experimento aleatório são determinadas por uma função contínua f(x) denominada FUNÇÃO DENSIDADE PROBABILIDADE (f.p. ou seja.2. o que generaliza o conceito de ∑ é o de integral ( ∫ ) . cuja função de x [f(x)] é dada por: 9 . a < b. Função de densidade probabilidade (f. não é probabilidade. Exemplo 1: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial.) Como para variável aleatória contínua a probabilidade de cada um dos infinitos valores na reta real é igual a zero. mas sim fazer a soma das probabilidades dos valores em intervalos da reta real. +∞ b) ∫ f ( x )dx = 1 −∞ A probabilidade do espaço amostral é 1.2.d.). no cálculo da probabilidade de um intervalo. função de densidade probabilidade. É importante ressa ltar que. 3. ou sej a. que satisfaça as seguintes condições: a) f ( x ) ≥ 0 para todo x As probabilidades não podem ser negat ivas. Somente quando a função for integrada entre dois limites. ou seja. outros valores de x. Resposta: +∞ Para isto. calcule k de modo que f (x) seja uma f. Porém. e fora desse intervalo a probabilidade será sempre igual a zero. −∞ ∫ f ( x)dx = 1 20 −∞ ∫ (kx)dx = 1 x2 ) =1 2 10 20 10 k . Portanto qualquer fr uto com diâmetro entre 10 e 20 terá a mesma probabilidade de ocorrência. se desejarmos saber a probabilidade de encontrarmos um fruto com diâmetro en tre 10 e 12. +∞ ∫ f ( x )dx = 1 .p. qual seja: 1 P(10 ≤ x ≤ 12) = ∫ ( x)dx = ? 150 10 1 x2 P(10 ≤ x ≤ 12) = .( ) 150 2 10 P(10 ≤ x ≤ 12) = 1 (12 2 − 10 2 ) = 0. Dada a função desta variável. f(x) = se 10 ≤ x ≤ 20 0. (20 2 − 10 2 ) = 2 150 Logo. a forma de obtenção da mesma será pela resolução da integral considerando ess e intervalo. será i gual a 1 ou 100%.d.kx. k = 1/150 também atende a primeira condição de f ( x) ≥ 0 x .15 ou 15% 300 12 12 10 . a f (x) deve atender as duas condições f ( x ) ≥ 0 para todo x e Assim.( 1 1 k . [(1) 2 − (1 / 2) 2 ] − k . para saber a demanda diária entre 250 e 750 deve se integrar e somar n os intervalos de 250 a 500g (ou 1/4 e 1/2) e de 500 a 750g (ou 1/2 e 3/4). a f (x) ser f. de determinado produ to em um supermercado é uma variável aleatória. outros valores de x. e que para a demanda entre 500g e 1000g (ou 1/2 e 1) a função é 4 x – 1). b) Calcular a probabilidade de que a demanda diária do pro duto esteja entre 250 e 750g.): kx.( ) = 1 2 0 1 1/ 2 2 1/ 2 1 1 1 1 k .p deve atender as duas co ndições f ( x ) ≥ 0 para todo x +∞ e ∫ f ( x )dx = 1 . Sabe se que para a demanda diária entre 0 e 500 g (o u 0 e 1/2) a função é 4x. a) Determinar o valor de k.( x2 x x2 ) + k . f(x) = se 0 ≤ x ≤ 1/2 se 1/2 ≤ x ≤ 1 4(1       k(1 x). Ou se ja: 11   Logo. . Assim. x). −∞ +∞ ∫ f ( x)dx = 1 1/ 2 −∞ ∫ (kx)dx + ∫ [k (1 − x)]dx = 1 0 1/ 2 1/ 2 1 k . dada pela seguinte função densidade probabili dade (f. k = 4 Portanto. p. f(x) = se 0 ≤ x ≤ 1/2 se 1/2 ≤ x ≤ 1 0. [(1) 2 − (1 / 2) 2 ] = 1 2 2 k =4 0.Exemplo 2: Considerando que a demanda diária. Para isto. d. em quilogramas. [(1 / 2) 2 − 0 2 )] + k . Logo. outros valores de x.d.( ) − k . 4x. 750 ∫ 1/ 2 f ( x)dx = ∫ 3/ 4 f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 250 1/ 4 1/ 2 750 ∫ 1/ 2 f ( x)dx = ∫ (4 x)dx + ∫ [4(1 − x)]dx 1/ 2 3/ 4 3/ 4 250 750 1/ 4 1/ 2 ∫ f ( x)dx = ∫ (4 x)dx + ∫ (4 x)dx + 1/ 2 ∫ (4 − 4 x)dx ∫ (4)dx − 3/ 4 3/ 4 250 750 1/ 4 1/ 2 1/ 2 3/ 4 ∫ f ( x)dx = ∫ (4 x)dx . são definidas as funções e 12 . Definição: A v.[(1 / 2) 4 2 4 + (1 / 4) 2 ] + 4. sendo a e b finitos. se a sua função densidade de proba bilidade (f. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado a E.Y) uma variável ale atória bidimensional. contínua tem distri uniforme no intervalo [a.) for dada por: 1 . para a ≤ x ≤ b f ( x) = b − a 0. cada uma assoc do um número real a cada resultado de a ∈ S. para outros v res de x 4. 3.3/ 4 250 750 1/ 4 1/ 2 1/ 2 x2 x x2 f ( x)dx = 4. Do mesmo mod que no caso unidimensional (X.3.b].[(3 / 4) 2 − (1 / 2) 2 ] 2 ∫ f ( x)dx = 0.( ) + 4. p.(3 / 4 − 1 / 2) − . Variável aleatória contínua uniformemente distribuída É o caso mais simples de variável aleatória contínua. cada resultado é proveniente da avaliação simultânea de duas variáveis. Na prática. então determinaremos (X.75 ou 75% 250 Logo.2. d.( ) ∫ 2 1/ 4 1 1/ 2 2 1/ 2 250 750 250 750 ∫ f ( x)dx = 2 .Y) deve ter associada a cada valor que pode assum ir uma probabilidade de sua ocorrência. a probabilidade de que a demanda diária do produto esteja entre 250 e 750 é 75 %. significa que para um determinado experimento alea tório.a. Seja X uma var iável aleatória e Y outra variável aleatória e X(a) e Y(a) são duas funções.( ) − 4. Assim. 2.1. y2) P(Y = y2) = P(y2) = ∑ P( xi . y j ) Em que a cada valor de (xi. Y = y j ) = P ( xi . n j = 1. m 4. . y1) j = 1.yj).1.yj) ii) ∑∑ P( x . Função de probabilidade conjunta de X e Y É dada por: P ( X = x i . y1) P(x2... 4. y1 ) i =1 n M P(xn. ym) P(Y = ym) = P(ym) = ∑ P( xi .Y). y j ) j =1 m M xn M P(xn.. yi) seja uma função de probabilidade conjunta é necessário que satisfaça às seguintes condições: i) P(xi. esta será uma v. yj) i = 1. y i j =1 i =1 m n j ) = 1 . Quando (X. y1) P(Y = y1) = P(y1) = ∑ P( xi . 2. discreta bidimensional.1.. Assim. .a.. P(xi. . ym) K P(X = x2) = P(x2) = ∑ P ( x 2 .Y) forem finitos ou infinitos enumeráveis. y i) associa se a sua probabilidade de ocorrência. ym) P(x2... Distribuição de probabilidade conjunta de X e Y É o conjunto {(xi. 2.. 2.Y) podem se r representados por (xi.. y m )   .1. bidimensional (X..yj)} y2 P(x1. Para o nosso estudo con sideraremos que X e Y são ambas discretas ou ambas contínuas. os valores possíveis de (X.0 4.2. .. y2) i = 1. m ym Total P(X = x1) = P(x1) = ∑ P( x1 . Para que P(xi.Y) é variável aleatória discreta bidimensional Se os valores possíveis da variável (X.a. y2) P(x2.distribuições de probabilidades da v. yi) ≥ 0 xi. y j ) j =1 m K K P(x1. n X x1 X2 Y y1 P(x1. y 2 ) i =1 n M K M P(xn.. i =1 n M P(X = xn) = P(xn) = ∑ P ( x n .0 13 . y j ) j =1 m Total K 1. y i j =1 m j ) ) ∑ P( x . São as chamadas DISTR IBUIÇÕES MARGINAIS. e a marginal de Y é a função de probabilidade da v. A probabilidade marginal para cada va lor é obtida da seguinte forma: Para X: Para Y: P(X = xi) = P (xi) = P(Y = yi) = P (yi) = ∑ P( x .A partir da distribuição conjunta das duas variáveis aleatórias X e Y podemos determinar a distribuição de X sem considerar Y e a de Y sem considerar X. xn P(xn) Para Y: yi P(Y=yi) y1 P(y1) y2 P(y2) … ..Y.. A distribuição marginal é constituída pelos valores da variável aleatór suas respectivas probabilidades marginais.a.X sem considerar a v.X. podemos construir a distribuição margina l para a variável aleatória: Para X: xi P(X=xi) x1 P(x1) x2 P(x2) … .a. a marginal de X é a função de probabilidade da v. y i i =1 n j Ou seja.a.. Com a s probabilidades marginais para cada valor. X sem considerar a v.. ym P(ym) 14 . a. Para X: P(X = xi) = P (xi) = ∑ P( x .0   Ou seja. ∑ P( x . y i j =1 m j ) P(X = 2) = P ( 2) = 1/9 + 0 + 2/9 = 3/9 P(X = 0) = P (0) = 0 + 2/9 + 2/9 = 4/9 P(X = 1) = P (1) = 1/9 + 1/9 + 0 = 2/9 Logo. ∑ P( x . y i j =1 m j ) = 3/9 + 4/9 + 2/9 = 1. xi P(X = xi) 2 3/9 0 4/9 1 2/9           .0 ∑ 1. y i i =1 n j ) P(Y = 3) = P ( 3) = 1/9 + 0 + 1/9 = 2/9 P(Y = 0) = P (0) = 0 + 2/9 + 1/9 = 3/9 P(Y = 1) = P (1) = 2/9 + 2/9 + 0 = 4/9 Logo.0 Para Y: P(Y = yi) = P (yi) = ∑ P( x . cuja distribuição de probabilidade conj unta é dada pela tabela: X 2 0 1 Y 3 1/9 0 1/9 0 0 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 a) Obter as probabilidades marginais de X e Y. Y). yi P(Y = yi) 2 2/9 0 3/9 1 4/9     Ou seja.Exemplo: Seja a variável discreta bidimensional (X. y i i =1 n j ) = 2/9 + 3/9 + 4/9 = 1. 0 15 .∑ 1. 4. São as chamadas DISTR variável aleatória contínua. Distribuição de probabilidade conjunta de X e Y A partir da distribuição conjunta das a distribuição de X sem considerar Y IBUIÇÕES MARGINAIS.y) ∉ aos intervalos de x e y. i) f(x.0 ∫ ∫ k (2 x + y)dxdy = 1. para outros valores de x e y ∫∫ 2 6 2 6 6 5 0 5 f ( x. esta será uma v.d. as funções de densidade por:   . 4. para (X.0 2 0 2 0 duas variáveis aleatórias X e Y podemos determinar e a de Y sem considerar X.2.Y) puder assumir todos os valores em algum conjunto infinito nãoenu merável. f(x.Y) uma v.0 0 ∫ ∫ k (2 x)dxdy + ∫ ∫ (ky)dxdy = 1.p. conjunta dada por: k (2x +y). se satisfazer as seguintes condições. Função de densidade probabilidade conjunta de X e Y Seja (X. Quando (X.Y) é variável aleatória contínua bidimensional Se a variável (X.Y) bilidade marginais de X e Y são dadas +∞ f ( x) = ∫ f ( x. Diz se que f(x. f( x. bidimensional.2.4.y) é uma função de densidade proba bilidade conjunta de X e Y.2. y)dx.a. y)dy ∫ f ( x.1.y) m ii) ∫ ∫ f ( x.y) = 0 para (x.2.dy = 1 n j =1 i =1 Em que.y) ≥ 0. Porém.y) = a) Calcular o valor de k se 2 ≤ x ≤ 6 0≤ y≤ 5 0.c. contínua bidimensional. y )dxdy = 1. todo (x.a. y)dx −∞ +∞ f ( y) = −∞ Exemplo: Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com f. 5 6 5 ∫∫ 2 6 5 0 k (2 x)dxdy + ∫ 6 2 ∫ (ky)dxdy = 1.0 0 5 16 . (6 0 5 0 5 2 − 2 2 ) dy + ∫ ky. 210 210 2 0 f ( x) = f ( x) = f ( x) = x 1 2 5 −0 (5 − 0) + 105 420 ( ) x 5 + 21 84 4x + 5 84 Função marginal de Y: f ( y) = ∫ f ( x) = ∫ 6 2 6 1 (2 x + y )dx 210 6 y 2x dx + ∫ dx 2 210 210 2 17 .( ) dy + ∫ ky.0 ∫0 2 2 1 2 2 5 6 6 ∫ k.5 x2 x1 2k .0 160k + 50 = 1.( ) dy = 1.0 k= 1 210 b) Obter as funções marginais de X e Y Função marginal de X: f ( x) = ∫ f ( x) = ∫ 5 0 5 1 (2 x + y )dy 210 5 y 2x dy + ∫ dy 0 210 210 5 0 2x 5 1 y2 f ( x) = y0 + .0 210k = 1.dy = 1.0 2 5 2 5 ∫ 32k.dy + ∫ 4ky.(6 − 2) dy = 1.0 1 0 2 0 5 5 32k (5 − 0) + 2k (5 2 − 0 2 ) = 1.0 y1 y2 32k ( ) + 4k ( ) = 1. chamamos va lor médio ou esperança matemática de X o valor: E(X) = ∑ x . MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 5. ou s eja: X = {0. X discreta.2 x2 f ( y) = 210 2 6 2 6 y + . 2}. Es ança matemática (média ou valor esperado de uma v. 1. a.. Do ponto de vista científico. cujas probabilidades de ocorrência são: P (0) = 1/4. Medidas de posição 5.a.1.. A esperança m mática de uma distribuição é também denominada uma medida de tendência central.x 210 2 210 2 f ( y) = f ( y) = f ( y) = f ( y) = f ( y) = 1 y (6 − 2) (6 3 − 2 3 ) + 210 210 1 y (216 − 8) + 4 210 210 208 4 y + 210 210 16 2 y + 105 105 16 + 2 y 105 5.P ( X i i −1 n = xi ) Exemplo: Considerando o experimento probabilístico ou aleatório: lançamento de duas moedas cons ecutivas.xn. em que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas. Se X for uma variável aleatória discreta Definição.) E(X) A ESPERANÇA MATEMÁTICA é a média ou valor esperado de uma variável aleatória.1. a esperança matemática corresponde ao que se espera que aconteça em médi a.x 210 2 6 6 1 2 y f ( y) = x + . x2..1.. P (1) = 2/4 e P (2) = 1/4. Dado uma v. 18   . assumindo os valores x1. f ( x ) dx −∞ Exemplo: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial. 2º) E ( X + K) = E (X) + K 3º) E (K.56 mm de diâme tro. + 2 1 4 2 4 1 = 1..( ) 150 3 10 E( X ) = 1 1 .E (Y).Y) = 0) 19     . cuja função de x [f(x)] é dada por: f(x) = 20 1 x. x2. Se X for uma variável aleatória contínua Definição.. espera se. espera se.E(X) = ∑ x . sendo K uma constante. obter fruto de 15.56mm 150 3 Interpretação: Se esse experimento aleatório constituído pela colheita ao acaso de fruto de mamão for realizado n vezes. outros valores de x.0 4 Interpretação: Se esse experimento aleatório constituído pelo lançamento de duas moedas fo r realizado n vezes.xn.X) = K. As propriedades da Esperança Matemática são: 1º) E (K) = K.0 coroa. + 1... (20 3 − 10 3 ) = 15.P ( X i i −1 n = x i ) = 0. Dado uma v. 150 se 10 ≤ x ≤ 20 0. chamamos val or médio ou esperança matemática de X o valor: E(X)= +∞ ∫ x. E ( X ) = ∫ x( 10 1 x)dx 150 20 1 x3 E( X ) = . em média. obter 1. em média. E (X) 4º) E (X + Y) = E (X) + E (Y) 5º) E (XY) = E (X). se X e Y são independentes (Cov (X. assumindo os valores x1. X contínua. a. . X. + 2 n i =n 1 4 2 4 1 = 4 V (X) = E(X2) – [E(X)]2 V (X) =1. em que X é a variável aleatória definida como eja: X = {0. A variância de uma variável aleatória di creta quantifica a di per ão do dado m torno da média e perada.5 Se X for uma variável aleatória contínua Definição. Variância V(X) ou σ 2 Definição.P( i −1 n lançamento de dua moeda con o NÚMERO DE COROAS obtida . Medidas de dispersão 3.3.µX + µX2] V(X) = E(X2) – 2. E ( X 2 ) = ∑ xi2 .2. 1.[E(X)]2 +[E(X)]2 V (X) = E(X2) – [E(X)]2 A obtenção da variância depende e X é variável aleatória di creta ou contínua.5 – 1. cuja probabilidade de ocorrência e P (2) = 1/4. É definida por: V (X) = E(X2) – [E(X)]2 Em que. A variância de uma variável aleatória contínua quantifica a dispersão dos dados em torno da média esperada.02 V(X) = 0. Se X for uma variável aleatória di creta Definição.P ( X = xi ) = 1. P (1) = 2/4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . E(X) = 2 2 2 2 2 ∑ xi . ou ão: P (0) = 1/4. A variância quantifica di per ão do dado em torno da média.P ( xi ) i =n n Exemplo: xi ) = 0 .µX) + E(µX2) V(X) = E(X2 .µX]2 V(X) = E[X2 – 2.2.1 + 1 .E(X) + µX2 V(X) = E(X2) – 2.E(X. É dada por: V(X) = E[X . 2}. É definida por: 20 ¡ ¡ Con iderando o experimento probabilí tico ou aleatório: ecutiva .E(X) + [E(X)]2 V (X) = E(X2) – 2.1. µX.0 e E ( X ) = ∑ xi . E(X). 2.( ) [242. 21 e tenha pelo meno ¡   ¡   ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡   ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ .2.1136 ] = 7.V (X) = E(X2) – [E(X)]2 ∞ Em que E ( X 2 ) = ∫x 2 . É nece ário que a variávei para que e obtenha a covariância. DP(X). f ( x)dx −∞ Exemplo: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial.Y) = 0) 4. Desvio padrão σ O de vio padrão de X. É ma i u ada como medida de di per ão que a variância por e tar na me ma unidade do dad o . cuja função de x [f(x)] é dada por: f(x) = 20 1 x. Covariância . V (X) + V (Y) + 2Cov (X.V (Y) 5º) V (X + Y) = V dependentes (Cov (X. se X e Y são independentes (K) = 0.56] 2 150 10 1 x4 V (X ) = . 2º) V (X + K) = (X) 4º) V (XY) = V(X). Y).8864 mm2 150 4 20 20 As propriedades da Variância são: 1º) V V (X) + V(K) = V(X) 3º) V (K.Y) ≠ 0) 6º) V (X + Y) = V (Cov (X.Y) É uma medida de a ociação entre variávei aleatória . outros valores de x.X) = K2.2.Cov (X.3. é definido como a raiz quadrada po itiva da variância. 1 V (X ) = ∫ x2 ( x)dx − [15. sendo k uma constante. (20 4 − 10 4 ) [242. se X e Y são (X) + V (Y).56] 2 150 10 1 V (X ) = ∫ x2 ( x) dx − [15. 150 se 10 ≤ x ≤ 20 0. 4.1136] 150 4 10 V (X ) = 1 1 . y ) dx dy −∞ − ∞− ∞ probabilidade. a s variáveis X e Y não possuem dependência linear. Y) E [(XY – X. y j ) ⇉ para (X.P ( x i . As propriedades da Covariância são: 1º) Cov (X.µY)] De envolvendo a expre ão acima. são independentes.Y) = 0. a. K) = 0. as variáveis X e Y possuem uma relação linear de dependência.Y) = Cov (Y. ou seja. cuja variação ocorr no mesmo sentido.µX). Se Cov ( X.A covariância entre dua v.   .X)     Como a covariância é.Y) > 0. µY –YµX + µXµY] Cov (X. por definição.Y) discreta ⇉ para (X. com maior probabilidade. ou à medida que uma variável diminui a outra também diminui. as va riáveis X e Y possuem uma relação linear de dependência. ou seja. f ( x . desvios com sina is contrários.(Y . Ou seja. f ( x ) dx e E ( XY ) = ∫ ∫ xy .Y) = E(XY) – E(X).Y) = E[(X . o sinal da covariância indica a relação entre as variáveis: Se Cov (X. cuja variação ocorre no sentido co trário. X e Y é o produto do de vio da variávei (medida de di crepância). Y) = E (XY) – E(X)E(Y) –E(Y)E(X) + E(Y)E(X)] Cov (X.E(Y) Em que. Se Cov (X. Y) = E [(XY – X. E(X ) = ∑ x . à medida que uma variável aumenta a outra também aumenta.Y) contínua E(X ) = ∫ x. à medida que uma variável aumenta a outra diminui e vice versa.P ( X i i −1 +∞ n = x i ) e E ( XY ) = +∞ +∞ ∑∑x y i j =1 i −1 m n j .Y) < 0. ou seja. temo : Cov (X. 2º) Cov ( X.E(X) –YE(X) + E(X)E(Y)] Cov (X. sendo k uma constante.Y) < + ∞ Assim. a média dos produtos dos desvios (X ovariância será positiva se ocorrerem desvios do mesmo sinal com maior ¡     ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ µx) por (Y µy). ∞ < Cov (X. e negativa se correrem. qual eja: Cov (X. 22 . Cov(X.(3) = 64/9 Exemplo 2: Seja a variável aleatória bidimensional DISCRETA (X. calcular: a) E(Y) E(3X – 5) = E (3X) – E (5) E(3X – 5) = 3.Y). bY) = ab. Cov (X.3º) Cov (X.Y) 5º) Cov (X.Y) 4º) Cov (X + Z.0 Verificar se as variáveis possuem dependência linear. Cov (X.Y) ≠ 0. ou seja.Cov (X/3.Y) + C ov (Z.X) = V(X) 4º) Cov (aX.2 – 5 E(3X – 5 1. 3X – 5) = Cov (X.Cov (X. cuja distribuição de probabilidade conjunta é dada pela tabela: X Y 1 3 P(xi) 1 1/9 3/9 4/9 0 2/9 1/9 3/9 2 0 2/9 2/9 P (yi) 3/9 6/9 1. se X e Y são independentes 6º) Cov (X.1 + 9 – 2/3.0 b) V(Y) V(3X – 5) = 32.Y) ≠ 0. V(X) = 3.V(X) + V(Y) – 2.Y) = E(XY) – E(X).1/3.Y) = 0.Y) V(X/3 – Y ) = 1/9.Y) Cov (X. 1 = 3 d) V(X/3 – Y) V(X/3) – V (Y) = (1/3)2. Y) = Cov (X. E(Y) 23       .E (X) – E (5) E(3X – 5) = 3.Y) = 1/9. se Cov (X. se X e Y são dep endentes Exemplo 1: Sabendo se que Y = 3X – 5 e que E(X) = 2 e V(X) = 1.V(X) – V(5) = 9. 3X) Cov (X. 5) = 3.1 – 0 = 9 c) Cov (X.X) – 0 = 3.V(X) + V(Y) – 2. 0 .P ( y j ) = 1 .Y) ≠ 0.22 – 0.Y) = 0.Y) = 0. 9 + 0 .22 9 9 9 9 9 E(XY) = ∑ ∑ x .E(X) = E(Y) = ∑ x .22 Interpretação: Como a Cov (X. y j ) = 1 .2 . n 3 6 + 3 .0 .y i j =1 i −1 j . ou se ja. 2.y) = 1 (2x +y). para outros valores de x e y E funções de densidade probabilidade marginais: f ( x) = f(x) = 4x + 5 84 se 2 ≤ x ≤ 6 0.33 9 9 1 2 3 1 2 + 1 .d. + 3 . conjunta dada por: f(x.p. 9 + 2 . = 2. X e Y são dependentes.33 Cov (X.P ( x i . para outros valores de y . para outros valores de x f ( y) = 16 + 2 y 105 se 0 ≤ y ≤ 5 f(y) = 0.( − 1). Exemplo 3: Sejam X e Y variáveis aleatórias CONTÍNUAS com f. = 0. à medida que ocorre aumento em X ocorre aumento em Y.P ( x ) = − 1 . + 3 .0 + 3 . Logo. havendo uma relação linear positiva entre as duas variáveis. 210 se 2 ≤ x ≤ 6 0≤y≤5 0. ou à medida que ocorre dec réscimo em X ocorre decréscimo em Y.2 . 9 i i i −1 m n 4 3 2 =0 ∑y j −1 m j . Cov (X.( − 1). + 1 . Y) = E(XY) – E(X).Verificar se as variáveis possuem dependência linear. Cov (X. f ( x . y ) dx dy 1 − ∞− ∞ E ( XY ) = ∫ ∫ xy . 0 2 5 6 24 210 (2 x + y ) dx dy .Y) ≠ 0. ou seja. se Cov (X. E(Y) +∞ +∞ E ( XY ) = ∫ ∫ xy . E ( XY ) = ∫ 5 0 6 2 x 2 y xy 2 dx dy + ∫2 210 210 E ( XY ) = ∫ ∫ 5 0 2y ∫ 6 2 x 2 dx + 6 y2 210 ∫ 6 2 xdx dy E ( XY ) = 5 0 2y x3 2 6 y2 x2 + dy 210 2 2 210 3 210 E ( XY ) = E ( XY ) = E ( XY ) = ∫ [0.00317 y (6 0 5 0 5 5 3 . 0254 (5 3 − 0 3 ) E ( XY ) = 11.07616 y 2 dy 5 E ( XY ) = 0. f ( x ) dx = ∫ +∞ 6 −∞ 2 4x + 5 5 E (Y ) = x dx = 4 .65936 ∫ ydy + 0. 4153 +∞ E(X ) = ∫ x.− 2 3 ) + 0.00238 y 2 ( 6 2 − 2 2 ) dy 2 ] ∫ [0.65936 y2 2 5 + 0 .65936 ydy + 5 ∫ 5 0 0 .07616 ∫ y 2 dy 0 0 E ( XY ) = 0.07616 0 y3 3 5 0 E ( XY ) = 0. 2540 84 .07616 y ]dy ∫ 0 0.65936 y + 0.32968 (5 2 − 0 2 ) + 0 . 1429 Cov (X. ou seja. pois a mesma apenas indica o sentido da elação.Y) = 2. havendo uma relação linear positiva entre as duas var iáveis. é difícil dete mina a intensidade da elação nea ent e as duas va iáveis obse vando simplesmente a pa ti do valo da cova iânci a.1429 105 Logo.∞ a + ∞. X e Y são dependentes.4.2.∫ y.2. Ka l Pea son p opôs uma ve são pad onizada da cova iância (ca acte izada pela divisão d a 25 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ . 4.2540. Coeficiente de correlação (ρXY) Uma vez que a cova iância va ia de . ou à medida que ocorre decréscimo em X ocorre decréscimo em Y.4153 – 4. f ( y ) dy = ∫ −∞ 0 16 + 2 y y dy = 2.2996 Interpretação: Como a Cov (X. Pa a conto na essa dificuldade. Cov (X.Y) ≠ 0.Y) = 11. à medida que ocorre aumento em X ocorre aumento em Y. se essa é positiva ou negativa. se existir. E( X − µ X ) 2 = σ X 2 E(Y − µ Y ) 2 = σ Y E [( X − µ X )((Y − µ Y )] =ρ . ainda a quantifica! O intervalo de variação do coeficiente de correlação é 1 < ρXY < 1. por possibilitar a quantificação da associaçã outras palavras. ep esentado po ρXY. Y ) V ( X ). O coeficiente de correlação por sua vez. a covariância apenas indica a existência ou não de relação linear entre as variáveis e. que é o coeficiente de co elação linea popul acional de Pea son.V (Y ) = E ( XY ) − E ( X ).V (Y ) ⇉ É fácil notar que o coeficiente de correlação linear é uma medida mais eficiente de associação entre variáveis que a covariância.E (Y ) V ( X ). tem-se. além de fazer as mesmas indicações que a covariância sobre a relação linear en re as variáveis. £ σ XσY 2 σ X σ Y2 + 2ρ ≥ 0 2 σ X σ Y2 £ E (Y − µ Y ) 2 2 £ ( X − µ ) 2 (Y − µ ) £ X − µ X Y − µY E σ σY X 2 ( X − µ X ) (Y − µY ) X Y ≥ 0 + ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ ¢ ¢ ¢ ¢   2 E . O pa âmet o é definido po : ρ XY = Cov( X .cova iância pelos desvios-pad ão de X e Y). tem-se: X − µ X Y − µY σ σY X ≥0 ≥0 2 2 OU 1 σ 2 X E( X − µ X ) 2 + 1 σ 2 Y 1 σ XσY [( X − µ X )(Y − µY )] ≥ 0 2 Como. Isso é facilmente demonst ado pelo seguinte teo ema: Se X e Y são duas va iáveis aleató ias. 2±2ρ>0 ou 26 . logo. enquanto que um coeficiente meno significa maio dispe são em elação a esta eta. Na le t a (b) a co elação é alta e negativa ( = . Na let a (a) as va iáveis não são co elac onadas ( = 0). X e Y estão levemente co elacionados. Os maio es valo es de X co espondem aos meno es valo es de Y. Figu a 1. É usado pa a exp ess o quanto os pontos se ap oximam de uma eta imaginá ia. evidenciada po uma dispe são inve sa ent e X e Y. cada eixo ep esenta uma va iável.O coeficiente de co elação é um núme o pu o. Na figu a 1. . Po fim. na let a (d).1 < ρXY < 1 OBS. X e Y estão co elacion adas positiva e pe feitamente ( = 1. são ap esentadas g aficamente a associação ent e duas va iáveis. X e Y e. e ntão a dispe são dos pontos não é tão ab angente no quad ante nem tão est eita em to no de ma linha. Um coeficiente p óximo da unidade positiva ou negativa significa uma g ande concent ação dos pontos em to no d a eta. ou diminui quando a out a diminui. Rep esentação g áfica de duas va iáveis X e Y com dive sos g aus de co elação. ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ . Valo es positivos indicam a tendência de uma va iável aumenta quando a out a aumenta.0. logo os pontos estão alinhados em uma mes ma di eção ascendente.95). 27 ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ρ > 1 e ρ < -1 . então os pontos se encont am dispe sos po todo o quad ante. c oncent ados em to no de uma diagonal fictícia. Quando o coeficiente de co elação é nega tivo significa que a tendência de uma va iável aumenta enquanto a out a diminui e v ice-ve sa.: O estimado não viesado pa a o pa âmet o ρXY é denominado xy. sem unidade ou dimensão.0). Na let a (c). ou não. na especificação dos testes d ocessos da teo ia de decisão estatística e na teo ia da estimação. 3. uma peça selecionada de um lote. também.1. Qualquer um do doi re ultado po ívei do experimento poderá er 28 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ . DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISCRETAS 3. a est atística como pa te integ ante do método científico. cujo conhecimento auxilia o invest igado científico na escolha do modelo mais adequado pa a estuda um dete minado f enômeno e daquele que mais se ap oxima de uma situação eal. lida também com aspectos que envolv em a modelagem teó ica das ealizações das va iáveis aleató ias nos fenômenos estudados. de fo ma ge al. valo es mais f eqüentes e medidas d e posição e va iabilidade. A p obabilidade de oco ência de suces so se á indicada po p. Dist ibuição de Be noulli Conside emos expe imentos aleató ios que possuem apenas dois esultados possíveis. um animal em um ebanho que pode se sadio ou doente. além da desc ição amost al dos dados. c omo po exemplo. um aluno que é submetido a um exame que pode se ap ovado ou não. O esultado se á chamado de sucesso S se possui a citada ca acte ísti ca. confo me possuam.3. DISTRIBUIÇÕES E FUNÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS E CONTÍNUAS Foi visto nos assuntos ante io es como os dados de uma investigação científica são ep e sentados e como pa âmet os da fo ma da dist ibuição. Fo am vistas. Todavia. são estimados. As dist ib uições de p obabilidade (disc etas e contínuas) ficam completamente definidas conhecen do-se os dive sos valo es que a va iável aleató ia pode assumi . se não possui . e a de f acasso po q. dent o do seu inte valo de definição. i emos estuda os m odelos p obabilísticos de algumas va iáveis aleató ias disc etas e contínuas. fo mas pa a lida e ap e senta dados em função de seus tipos.1. O conhecimento da dist ibuição de um a va iável aleató ia é impo tante na desc ição dos fenômenos. uma dete minada ca acte ística. e a linguagem aplicada ep esenta o fundamento da linguagem científica emp eendida nos p ocessos de decisão e estimação. Es a modelagem envolve os modelos p obabilísticos. Esses expe imentos são conhecidos como expe im entos de Be noulli ou ensaios de Be noulli.1. Pode-se afi ma que. e as espectivas p obabilidades. ou de f acasso F. a qual pode se boa ou defeituos a. os modelos p obabilísticos fo mam a base da teo ia estatística. São expe imentos cujos esultados pe t encem a uma de duas catego ias possíveis. etc. Aqui. em que q = 1 – p. chamado de uce o, ba tando omente que a probabilidade de ocorrência eja denomi nada por p. A di tribuição de probabilidade para uma variável aleatória X que a ume doi valore : o valor 1 e ocorrer uce o, e o valor 0 e ocorrer fraca o, é dada p or: xi 1 0 P(xi) p 1-p Média e Variância de uma v. a. com di tribuição de Bernoulii E(X) = µ x = p V (X) = 1 − p = q Quando uma variável aleatória X tem distribuição de Bernoullii represent amos simbolicamente por X ~ B (p; q). Lê se: X tende para uma distribuição de Bernouli i cujos parâmetros são p e q. 3.1.2. Distribuição Binomial A distribuição binomial consiste na realização de n ensaios de independentes de Bernouli i, cada um com probabilidade de sucesso constante igual a p (e consequentemente de fracasso constante a q). Desse modo, pode se definir a variável aleatória X pelo número de sucessos observados. São exemplos de variáveis binomiais: florescimentos de plantas de uma espécie em uma amostra de tamanho n; nascimento de fêmeas em uma amos tra de tamanho n; etc. A distribuição binomial é a mais importante das distribuições de v. a. discretas. Se p é a probabilidade de sucesso de um evento ocorrer em uma única t entativa e q = 1 p é a probabilidade do fracasso, então, a probabilidade de que nos k primeiros en saios de Bernoulii ocorram sucessos e nos n k restantes ocorram fracassos, considerando s e a independência dos ensaios é dada por: P( 14S ,..., S , 142,..., F ) = p k .(1 − p) n − k S , S ,24 F , F , F 43 3 4 4 k n−k Como os k sucessos podem ocorrer em qualquer uma das ordens possíveis nos n experi mentos de Bernoulii, que é igual a ao número de combinações de n elementos k a k 29 ¡¡   ¡ ¡¡ ¡     ¡¡ ¡   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡   ¡ dada por C kn = n! , a probabilidade de obtenção de k sucessos nas n realizações do k!(n − k )! experimento é calculada por: C n k . p k .q n − k n Cx OBS: a denominação binomial decorre do fato de os coeficientes serem os coeficientes binomiais das n potências (a + b). Por exemplo: O binômio elevado à potência três: 3 3 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 corresponde a C33 a3 + C 2 a2b + C13 ab2 + C0 b3 Suposições do modelo binomial: 1. Existe n repetições ou provas idênticas do experimento. Exemplo: número de plantas sadias colhidas em parcelas de 20 m2 (foram plantadas 2 7 plantas em cada parcela), X = 0, 1, 2, ....,27, então, n é o número total de casos p ossíveis da variável que estamos estudando. 2. Só há dois tipos de resultados possíveis (E x.: plantas sadias ou doentes). 3. As probabilidades p de sucesso e 1 – p = q de f racasso permanecem constantes em todas as repetições. 4. Todos os resultados das rep etições são independentes um do outro. Média e Variância de uma v. a. com distribuição Binomial E(X) = µ x = np V (X) = npq = np (1 − p ) = npq Quando uma variável aleatória X tem distribuição binomial representamos simbolicamente por X ~ Bin (n; p). Lê se: X tende para uma distribuição Binomial cujos parâmetros são n e p. Exemplo: No rebanho bovino 30% dos animais estão atacados por febre aftosa. Retira se por acaso uma amostra de 10 animais. a) Verifique se a variável “número de animais doe ntes” pode se estudada pelo modelo binomial. Justifique sua esposta. b) Est utu a a função de p obabilidade. c) Qual a p obabilidade de se encont a 6 animais doen tes. d) Qual a p obabilidade de se encont a pelo menos 6 animais doentes. 30 n f (x) = P (X=x) = . p k .(1 − p) n − k = k ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢   e) Qual a p obabilidade de se encont a no máximo 6 animais doentes 3.1.3. Dist ibuição de Poisson A dist ibuição de Poisson é um caso limite da dist ibuição binomial, quando n → ∞, p → 0 e µ = np pe manece constante, e se aplica no caso em que, em vez de se obse va o núme o de sucessos em n ealizações independentes de um expe imento de Be noulli, o in te esse é o núme o de sucessos em um inte valo contínuo de obse vação t (∆t). Esse inte val contínuo de obse vação pode se um inte valo qualque em que se vai obse va a oco ênc ia de sucessos. Nas ciências ag á ias e biológicas a dist ibuição de Poisson é la gamente u ilizada pa a contagens de indivíduos, plantas, colônias de bacté ias, itens, objetos, dados num inte valo de tempo, numa á ea, num volume, num comp imento. A unidade de medida deve se definida de tal modo que as contagens sejam baixas. Conside e-s e um núme o baixo com sendo meno que 10. Um aplicação impo tante dessa dist ibuição diz espeito ao estudo do pad ão de dispe são de ce ta espécie animal ou vegetal num campo ou flo esta, então numa dete minada á ea. É muito utilizada, po tanto, em estudos de d inâmica de população e entomológicos. São exemplos de va iáveis com dist ibuição de Poisson o de colônias de bacté ias po quad ante de 1m2; núme o de colônias de bacté ias de uma da da cultu a po 0,01 mm2 numa plaqueta de mic oscópio; núme o de defeitos po 100 m d e tecido; núme o de acidentes numa esquina movimentada e bem sinalizada po dia; núm e o de chamadas telefônicas numa cent al de PABX num inte valo de tempo de ½ minuto; núme o de pa tículas adioativas emitidas numa unidade de tempo; núme o de mic onúcleos /1000 células, etc. Pa a que uma va iável aleató ia X tenha dist ibuição de Poisson, deve satisfaze às seguintes condições: i) Pa a inte valos de obse vação ∆t muito pequenos, a p babilidade de oco ência de mais de um sucesso é desp ezível; ii) Pa a inte valos de o bse vação ∆t muito pequenos, a p obabilidade de oco ência de um sucesso é p opo cional ao tamanho do inte valo e igual a λ.∆t, onde λ > 0 é a taxa de sucesso por unidade de observação; iii) As ocorrências de sucessos em interva os disjuntos (não sobrepostos) são independ entes. 31 ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¤ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 5.5 defeito por m2 t = 15 m2 µ = λt = 0.15 = 7.5 . pode-se demonstrar que a sua distribuição de probabi i ade é dada por: P( X = k ) = e − λt ( λ t ) k . temos: λ = 0. com distribuição de Poisson E(X) = µ V(X) = µ Exemp o: Sabendo-se que na fabricação de determinadas chapas aparecem defeitos à taxa média de 0.5 defeito por m2.Então.082 ou 8.5 P( X = 0) = e −2. b) uma chapa de 15 m2 apresente no mínimo três defeitos.1.. igua ao número de sucessos em um interva o t de obs ervação tem distribuição de Poisson. a expressão acima pode ser escri a na forma: P( X = k ) = e − λt ( µ ) k k! Média e Variância de uma v.5 P( X ≥ 3) = 1 − P( X < 3) P( X ≥ 3) = 1 − [ P( X = 0) + P( X = 1) + P( X + 2)] 32 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ..3. ca cu e a probabi idade de que: a) uma chapa de 5 m2 seja perfeita..2.5 defeito por m2 t = 5 m2 µ = λt = 0. temos: λ = 0.5.5 = 2. a) Seja X = número de defeitos por chapa de 5 m2.a. k = 0.2. k! Sendo µ = λt o número médio de ocorrências no interva o t.2% 0! b) Seja X = número de defeitos por chapa de 15 m2.5 0 =0. se uma variáve a eatória X. 5 . O arâmetro onto de inflexão é reci amente ino de Gau e o gráfico da função a di tribuição. uma vez que uma grande maioria das variáveis aleatórias contínuas (inclusive variáveis aleatórias discretas podem ser aproximadas pela lei gaussiana) da natureza segue esta distribuição.5 . σ ).51 e −7 .e −7 . 7.1. Distribuição Normal ou Gaussiana A distribuição gaussiana também é denominada de distribuição normal. A di tância do centr σ .5 . A forma da função den idade robabilidade é chamada normal é:   ¥¡ ¡ ¥¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¥ ¡ ¡¡ ¡¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ .7. e ua função den idade probabilidade for: f(x)= 1 2πσ 2 − σ 2. o quai ão re ectivamente a média e µ indica o centro e σ a di er ão.97% 0! 1! 2! 3. Diz se que uma variável aleatória segue distribuição normal de parâmetros µ e 2 que representamos do modo X ~ N ( µ .5 2 P( X ≥ 3) = 1 − + + = 1 – 0.020256 = 0.7.2. de modo que a maior arte d a ma a de robabilidade (área com reendida entre a curva e o eixo de ab ci a) e encontra concentrado ao redor da média e a ramificaçõe da curva e e tendem 33 ¡ ¥ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ Em que µ e σ 2 ão o arâmetro de cia de a di tribuição. Di tribuição normal com média µ e µ ±σ onto de inflexão O u orte da di tribuição é todo conjunto do número reai .7.2.5 0 e −7 . DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONTÍNUAS 3. ( x −µ ) 2σ 2 2 ×e Figura 1. A forma do ino de Gau de ende do arâmetro µ e σ . (ii) tem forma e ino. — Figura 2. “mai achatado” erá. ma com variância diferente .a intoticamente ao eixo . 34 ¥ ¥ ¡¡ ¥ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¥ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ¡ ¥¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡¡ ¡ . Di tribuiçõe Figura 3. Di tribuiçõe gau iana com diferente média e igual di er ão. (iii) fica com letamente definido conhecendo a ua média e variância. maior erá a quantidade de ma a de robabilidade concentrada ao redor da média (gráfico de f muito ontiagudo em torno d e µ ) e. O a râmetro µ indica a o ição do ino de Gau ( arâmetro de centralização) e σ 2 (ou equivale ) erá o arâmetro de di er ão. quanto maior for. Quanto menor for. de modo que qualquer valor “muito di tante” da média é o íve l me mo que ouco rovável. Pro riedade da curva de di tribuição Normal: (i) imétrica em relação a µ. gau iana com média igual. Z ~ N (0. temo −z2 e 2 uma di tribuição adrão ou reduzida.1) 35 ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡  ¥¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡  ¡ ¥ ¡  ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . Vejamo . com média 0 e variância 1. se X ~ N ( µ . então a variável aleatória definida or z = .(iv) área total ob a curva é igual a 1.1). b) é dado ela área ob a curva normal e ntre e te valore : Figura 4. P ( 0 ≤ Z ≤ zc ) onde. cuja função den idade robabilidade reduz e a: φ (z ) = 1 2π x−µ 2 Logo. terá σ di tribuição normal adronizada. que nada ma i ão do que a corre ondente área ob a curva. Sabe e que a robabilidade de X e tar entre doi valore quai quer (a. ou X ~ N (0. σ ). então. como obter robabilidade a artir da Tabe la (ANEXO 1). Quando µ = 0 e σ 2 = 1. P( a <X<b)= ∫ f ( x )dx a b Como a cálculo de a integral não é trivial. A robabilidade de x e tar entre o onto a e b corre onde a área hachurada da figura. u am e a tabela obtida a artir da cu rva normal adronizada. E a tábua dá a robabilidade ob uma curva normal adrão. N ( µ . Se con iderarmo uma variável aleatória Z com uma di tribuição normal adrão ~ N (0.73 ≤ Z ≤ 0) = (c) P (Z ≥ 1. σ ). que X eja uma v. com µ =3e σ 2 = 16. Calcule: a robabilidade de um animal roduzir meno de 3kg/dia.73) = (b) P ( 1. Probabilidade de P(0 ≤ Z ≤ Zc ) Exem lo: Calculemo .87kg/dia/animal e variância 8. con iderando uma determinada raça e rebanho egue a di tribuição normal e o ui média 9 . a. Temo : P(2 ≤ X ≤ 5)= P 2− µ X − µ 5− µ ≤ ≤ = σ σ P ≤ ≤ σ σ 4 4 2 − 3 X − µ 5 − 3 Exem lo. o que re resenta omo: X ~ χ 2 .2. A quantidade de kg de leite roduzido or um animal diariamente. 1)]. agora.73) = 2 Su onha.2. 7 ≤ Z ≤ 1.87(kg/dia/animal)2. alguma robabilidade (a) P (0 ≤ Z ≤ 1. então a variável X = Z2 di tribui e conforme uma lei de robabilidade de di tribuição χ2 om grau de liberdade. 2.Figura 5. a robabilidade de um animal roduzir mai de 8kg/dia e a robabilidade de um animal roduzir entre 10kg/dia e 12kg/dia. Di tribuição Qui quadrado (χ2) ˆ A distribuição de Qui quadrado é a distribuição amostral rela ionada a σ 2 obtida de uma ulação normal.73) = (d) P (Z ≥ 0) = (e) P (0. e queiramo calcular P(2 ≤ X ≤ 5). 36 ¥ ¡ ¡¡ ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¦ ¥ ¥ ¡ ¦ ¡ ¥ ¡  ¥ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥   ¡ ¡ ¡     ¡ ¡ ¡ ¦ ¥ ¡ ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ . Função densidade ¨ 1/ 2 1 2 − 2 x ( x) = x e Γ(1 / 2) 2 robabilidade de χn2 ara valores equenos de n. sendo que Zi ~ N (0... χ n . 1).Se temos n variáveis aleatórias inde endentes Zi ~ N (0. X2. σ 2 ¦ §   ¥ ¥ ¦ ¦ ¦ ¥ ¦ . então. σ 2 )]. Xn variáveis aleatórias inde endentes. n −1 1 em que x > 0 A média e a variân ia dessa variável são: E(X) = n e V(X) = 2n.. . Sejam X 1. σ 2 = ( X i − X )2 é obtido de uma amo tra aleatória de uma di tribuição normal com n −1 ˆ (n − 1 ¡   ¡ ¦ 2 = ∑ (Z i − Z ) 2 ~ χ n . a variável : ada Xi ~ N ( µ . a variável : χ2 = ∑ i =1 n ( X i − X )2 σ2 n ˆ Se. . onde ). + Z n = ∑ Z i2 i =1 n χ 2 = ∑ X i = ∑ Z 2i = ∑ i =1 i =1 i =1 n n n ( X i − µ)2 σ 2 2 ~ χ n .. a soma de seus quadrado s res e tivos é uma distribuição que denominaremos de LEI DE DISTRIBUIÇ O DE χ2 om n 2 graus de liberdade. então. om n 1 graus de liberdade. res e tivamente. Xn variáveis aleatórias inde endentes de uma distribuição normal om média µ e ariân ia σ 2 [Xi ~ N ( µ .... X2.. 2 2 2 Ou seja: χ n = Z12 + Z 2 + .1) i =1 ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ Figura 4. ¥ Uma variável aleatória X que segue uma distribuição de Qui quadrado tem densidade dada or: ¦ Se temos X1. om n graus de liberdade. .média µ e variância σ 2 . com n 1 grau ¡ de liberdade. então a variável: χ 2 = σ2 37   . tn. quai ejam: * É centrada na média igual a zero e imétrica com relação à me ma. 1) χn2 ∼ χn2 . ma a variância decre ce até um quando o número de grau de liberdade aumenta.3. * Quando o número de grau de liberdade tende ao infinito. a di tribuição de t tende à Nor mal (o valore de amba ão ati fatoriamente róximo a artir do grau de liberdad e igual a 30). a distribuição de uma variável aleatória T= Z 1 2 χn n ulacionai . 2. A distribuição de robabilidade de t é dada or: X −µ T= σ 1 n X i − µi ∑ n i =1 σ i 2 A di tribuição de t tem ro riedade arecida com a Normal. De modo re iso. ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥ ¥ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¥   ¡  ¦ ¥   ¦ ¡  ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ .A di tribuição de Qui quadrado o ui vária a licaçõe em e tatí tica.: grau de liberdade = n 1 38 ¡ ¥ ¥¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¦ ¥ ¡ ¡ ¦ É im ortante no que e refere a inferência obre média o Student con titui e como um quociente entre a normal e a entes. Esse ti o de distribuição a are e quando temos n + 1 variáv aleatórias inde endentes. A di tribuição t de raiz de uma χ2 inde end om n graus T. Di tribuição t de Student Em que Z ∼ N (0. Outra a licação refere e ao te te de falta de aju te de um modelo teórico ao dad o ob ervado em um ex erimento ou levantamento amo tral.3. * É um ouco mai di er a que a no mal. OBS. hamamos distribuição t de Student de liberdade. Uma dela é a de r ciar mecani mo ara a realização de inferência obre o arâmetro σ 2 de uma o ulação nor . .m 2 1 m Yj − mj ∑ ˆ m j =1 2 σ j 1 n X i − µi ∑ n i =1 A forma mai habitual na qual e encontra e a di tribuição é quando e tem n + m variáv ei aleatória inde endente . ortanto. 1997. 2006.3. Di tribuição F de Snedecor A di tribuição de F e define como o quociente de di tribuiçõe χ2 inde endentes. m) 1 n Y Y m graus de i berdade. 2005. e tatí tica. A. or avor. com (n. 2003. Uma da a licaçõe da di tribuição de F é na análi e de variâ em que a avaliaçõe e ba eiam em e timativa da variância o ulacional. SHNEIDERMAN. Obrigada. F.4. Introdução à cher: In tituto Mauá de Tecnologia. ainda deve ser revisado. Janeiro: Cam u /El evier. iro: LTC. Cur o de iniciação à e tatí ederal de Viço a. 656 . 4. MUSETTI.m segue distribuição de probabi idade de Snedecor. M. Dizemos então que a 1 X mX variável F = n = ∼ . 2005. F. me omunique. CARVALHO. Lavra : U tica (A o tila). erro de digitação (ou o Pro a. Este onteúdo é resultado de esquisa em vários livros e statísti a. REGAZZI.:Observa-se que Fn. B. Sejam X ∼ e Y ∼ χ2 variáveis aleatórias inde endentes. A.m ≠ Fm.. 664 . isele 39 ¦ ¡ ¡ ¦ ¡ ¡ ¡ ¡ ¥ © ¦ ¡ ¡ ¨ ¥ ¡ ¡ ¦ ARA. Rio de tatí tica bá ica. TRIOLA. Rio de J ¤ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¥ ¥ ¡ ¥ ¡ ¦ ¥ ¥ ¤ ¡ ¡ ¥ © ¡ ¡ ¨ ¤ ¡ ¡ ¡ ¥ ¡ ¡ ¥ ¥ ¦ ¡ ¥ ¡ ¥ ¡ ¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¦ ¦ ¡ σ ¡ . Univer idade F Introdução à estatísti a. LITERATURA CONSULTADA a ostilas de estatísti a e bioe ríti a. 136 . São Paulo: Egard Blu S. FERREIRA..152 . Qualquer utro qualquer). V. D. E FLA.n A distribuição de probabi idade de F é dada por: ∼F F= n. OBS. 464 . Viço a – M . A. B. E tatí tica bá ica.2. et . 3770 0.0239 0.4996 0.3643 0.2517 0.4846 0.2190 0.3749 0.3810 0.4999 0.4 177 0.4798 0.2704 0.80 0.0199 0.4616 0.00 1.07 0.60 1.4887 0.4994 0.4582 0.0596 0.3686 0.5000 0.4418 0.4999 0.4726 0.4972 0.1985 0.4975 0.3078 0.4162 0.4988 0.4515 0.4999 0.00 2.4999 0.4998 0.4931 0.4850 0.2019 0.3980 0.4147 0.4357 0.4993 0.4999 0.08 0.60 0. 4934 0.4996 0.2823 0.4573 0.04 0.4995 0.2734 0.4909 0.0279 0.29 95 0.4999 0.3621 0.10 3.4999 0.80 1.10 2.4940 0.70 1. 4998 0.4382 0.3531 0.2157 0.4995 0.4962 0.1) ¦ .2291 0.0438 0.1554 0.4916 0.4998 0.3869 0.4961 0.4998 0.5000 0.4686 0.4994 0.3962 0.00 Segunda de imal de Z 0.5000 0.0793 0.5000 0.4998 0.1772 0.4898 0.90 1.4973 0.0987 0.5000 0.90 2.4970 0.2852 0.4452 0.3340 0.4932 0.4236 0.4904 0.4984 0.5000 0. 1480 0.4967 0.4306 0.4997 0.4971 0.0948 0.1255 0.4997 0.4656 0.4854 0.4671 0 .4997 0.4960 0.4066 0.4998 0.4953 0.3577 0.5000 0.5000 0.4997 0.20 0.4625 0.4222 0.70 2.4986 0.0160 0.4817 0.0 0.4332 0.0557 0.5000 0.4987 0.1517 0.0636 0.4901 0.4756 0.4192 0.3238 0.4936 0.4979 0.1293 0.4994 0.4959 0.4985 0.3051 0.4999 0.90 Parte inteira da rimeira de imal de Z 0.70 4.2673 0.4893 0.5000 0.4987 0.5000 0.4999 0.3944 0.4974 0.2967 0.4997 0.4474 0.40 3.4998 0.4678 0.4394 0.90 3.70 2.1591 0.4945 0.3907 0.2422 0.0120 0.4998 0.4966 0.20 1.4 996 0.3289 0.195 0 0.1664 0.3413 0 .4922 0.0040 0.4920 0.4997 0.4842 0.4991 0.4997 0.50 0.5000 0.1026 0.05 0.4599 0.4633 0. 4778 0.4938 0.1443 0.2324 0.01 0.4 871 0.4890 0.4963 0.4812 0.4015 0.2580 0.4484 0.4965 0.4995 0.4131 0.4983 0.3365 0.3159 0.0319 0.4988 0.4830 0.2881 0.4838 0.0871 0.4772 0.4992 0.4761 0.4927 0.4913 0.4990 0.20 2.4591 0.4896 0.50 00 0.4951 0.4999 0.3888 0.3315 0.4941 0.4996 0.4706 0.4999 0.4964 0.4952 0.0000 0.60 3.4505 0.0910 0.5000 0.4976 0.4881 0.4099 0.1103 0.1808 0.2054 0.4641 0.2939 0.3790 0.0 517 0.4985 0.60 2.4992 0.3438 0.09 0.3729 0.4999 0.4994 0.03 0.80 2.4957 0.4292 0.02 0.2357 0.1406 0.4984 0.499 9 0.4998 0.4982 0.495 5 0.4857 0.4994 0.50 2.2454 0.4999 0.4992 0.4911 0.4949 0.4834 0.4998 0.3133 0.1179 0.1844 0.10 1.30 0.5000 ¦ ¦ ¦ ¥ ¦ P(0<Z<Z ) 0.4997 0.4878 0.0832 0.4999 0.2088 0.4995 0.48 61 0.4732 0.4974 0.20 3.3212 0.4968 0 .4999 0.1331 0.3389 0.4993 0.4319 0.4956 0.4738 0.4999 0.4996 0.4998 0.3508 0.4564 0.2486 0.3186 0.1879 0.4981 0.4495 0.10 0.3997 0.4999 0.4767 0.4429 0.3599 0.4999 0.4999 0.0398 0.4049 0.2910 0 .4750 0.4406 0.1141 0.4925 0.0753 0.4999 0.5000 0.4664 0.4554 0.4993 0.3106 0.4991 0.3830 0.4999 0.4875 0.4884 0.4989 0.0478 0.0359 0.30 1.4998 0.4977 0.5000 0.4713 0.2389 0.4990 0.50 1.3554 0.4906 0.00 3.4821 0.1628 0.49 82 0.4207 0.4978 0.4946 0.00 0.4999 0.4525 0.4999 0 .3665 0.1217 0.4992 0.1368 0.5000 0.2764 0.2611 0.4783 0.4608 0.0714 0.4929 0.4918 0.4999 0.4793 0.4986 0.4864 0.2257 0.30 3.2224 0.5000 0.4868 0.3264 0.2123 0.4990 0.1915 0.4693 0.0080 0.42 79 0.4115 0.4979 0.2549 0.4989 0.4981 0.4997 0.4 980 0.4535 0.06   ANEXO 1: Tabela I Distribuição Normal Padrão Z~N(0.4463 0.4803 0.4991 0.0675 0.1700 0.4943 0.4545 0.40 0.4995 0.4719 0.3461 0.1736 0.4999 0.4441 0.3485 0.3023 0.4808 0.4987 0.4997 0.4826 0.5000 0.40 2.4345 0.4788 0.4251 0.4265 0.4999 0.4649 0.3925 0.4977 0.4993 0.2642 0.30 3.4969 0.437 0 0.4744 0.1064 0.4998 0.2794 0.4996 0.3849 0.4948 0.4082 0.4995 0.4699 0.4032 0.4989 0.3 708 0.4999 0.80 3.40 1.50 3. 40 . 0. 1 2. Con eitualmente.3 2 0. V (Y) e DP (Y) ) E ( X e Y são inde endentes? Justi ique. omo vo ê di eren iaria essas variáveis das quantitativas dis retas e ontínuas? 2.2 ¥ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¦ ¦ ¦ ¨ ¥ ¦ ¥ ¥ ¦ ¥ ¨ ¥ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¨ ¦ ¦ ¦ ¦     . Res osta: a) 2.1 é uma variável 3 Cal ular: a) (X.04 ) aleatória dis reta bidimensional om a seguinte distribuição o E (X). V (X) e DP (X) b) E (Y).24 e 3.6.1 0. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus.625 b) 4.Y njunta: X 1 X + Y). Dado X.625 ) 38.1 4 0.2 e 0. PI Lista de exer í ios: Variáveis aleatórias 1.2 0.106 41 ¦ ¦ ¥ ¦ ¨   ¥ ¦     ¦ ¦ 3. Cov e 1 b) 0. Cite elo menos 5 exem los de variáveis aleatórias dis retas e 5 exem los de variáveis aleatórias ontínuas na área de seu urso.0 a) Traçar o grá i o da distribuição de robabilidade b) Cal ular E(X) ) Cal ular V(X) d ) Cal ular E(X – 2)2 e) Cal ular V(3X – 4) Res osta: a) 2. 1.Y) e rxy d) 9.UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Cam us Universitário “Pro a. Seja X uma variável aleatória dis reta om a seguinte distribuição de ro babilidade: xi P(X=xi) 2 1/4 1 1/8 2 1/2 4 1/8 Total 1.395 d) não Y 3 0.6. Y).Y). 0.4.875 ) 8. V (X) e DP (X) b) E (Y). rxy.798 d) não 42 ¦ 5.055 b) 61/30. Dado X. Seja a variável dis reta bidimensional (X.Y é uma variável aleatória dis reta bidimensional om a seguinte distribuição o njunta: X 2 0 1 Cal ular: a) E (X). 5 3 d) Cov (X. V (Y) e DP (Y) ) E Y 3 1/15 8/30 2/30 2 1/15 4/30 1/30 1 3/30 2/15 4/30 X 2 2Y − − 10 .Y). 1. X e Y são inde endentes? Justi ique. Inter rete.45 b) 0. uja distribuição de robabilidade onjunta é dada ela tabela: X 2 0 1 Cal ular: a) E (X) b) E (Y) ) V (X) d) V (Y) e) E (XY) ) Cov (X. Res osta: a) 7/30.353 d) 0 e) 0 Y 3 1/9 0 1/9 0 0 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 ¦ ¦   ¥     ¦ ¦ ¥ ¥ ¦ ¨ ¥   ¦ ¦   ¦ ¥ ¥       ¦ ¦ ¥   ¨     ¦ .112 e 1. g) rxy Inter rete Res osta: a) 0. 22 ) 1.766 e 0. 1/2.083 7. Da da a unção: b) 1.y) = 3− y . se 1 ≤ x ≤ 2 0. ara outros valores de x e y.1 e) 110 ) 0. ara outros valores de x.Y bidimensional ontínu ¦ a) Determinar o valor de k ara que (x) seja . ara outros valores de x.) abaixo: ¥ ¦ ¦ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¦ ¥ ¥   ¨ .048 d) 0. 43 ¦ ¦ ¥ 8.d. 16 se 0 ≤ x < 4 se 0 ≤ y < 2 0. d. Dada a unçao de densidade robabilidade ( . Dada unção de densidade a: robabilidade onjunta da variável X.267 d) 1. b) E(X) e) V(10X – 2) ) P(1/2 ≤ x < 3/2) ¨ ¥ ¨   ¦ ¨ ¥ ¥ k. ) E(X – 2) d) V(X) ¥ ¥ ¨ ¥ 6.5 ≤ x ≤ 1. (x) = se 0 ≤ x ≤ 1 1/4(x – 3). .469 k(2 – x).867 ) 1.5) Res osta: a) 1. se 1 ≤ x ≤ 3 0. (x) = se 0 ≤ x < 1 g) P(X = 1) h) P(1/2 ≤ x < 1.667 ) 240.0) Res osta: a) 2/5 g) 0 h) 3/5 b) 0. Cal ular: a) E(X) b) V (X) ) V(12X – 8) d) P (0. .45 (x. 86 9.0 g) 0.0 ¥ ¥ ¨ ¥   ¨ ¥ ¦ ¨ ¨ ¦   ¦ ¥ ¥ ¨ ¥ ¥   ¨ ¨ ¨ ¨ .83 ) 5. ara outros valores de y. de metal ossam ser onsideradas variáveis aleatórias ontínua de densidade robabilidade onjunta: b) 0. ara outros valores de x e y. Su onha que as dimensões. 2 se 1 < x ≤ 2 se 2 < x < 3 2<y<4 2<y<4 − x+3 2 0. ara outros valores de y. 4 se 0 ≤ x < 4 0. Inter rete osta: a) 2. 2 se 2 < y < 4 (y) = 0. 4 se 0 ≤ y < 2 (y) = 0. E unções de densidade robabilidade marginais: (x – 1) (x) = se 1 < x ≤ 2 ( x + 3) se 2 < x < 3 0.33 d) 1. ara outros valores de x.y) = x −1 . X e Y. 44 ¦ ¥ ¦ ¨ ¦ ¥ ¦   ¥ ¥ ¦ ¥ ¥ Cal ular: a) E (X) b) E .Y). (x. 1 .996 (Y) ) V (X) d) V (Y) e) E (XY) ) Cov (X.E as unções de densidade robabilidade marginais são: (x) = 1 . ara outros valores de x. g) rxy Inter rete Res de uma ha a retangular s om a seguinte unção e) 0.33 ) 1. 1 (3 − y ) . A. a) X e Y são inde endentes? 11.8% 45 ¥ ¦ ¤ ¤ ¥ ¦ ¤ ¨ ¤ ¨ ¤ ¤ ¥ ¦ ¦ ¤ ¥ ¦ ¦ ¥ ¦ ¨ ¤ ¤ ¤ ¥ ¦ ¤ ¨ ¨ ¤ ¦ ¤ . então qua é o número (tama nho da amostra) de vasos. a média u valor médio e a variân ia de uma variável aleatória binomial X [X ∼ Bin (n. em um experimento com um vaso com n = 5 sementes. quantas se esperaria que tivessem: a) Pe o menos um menino? b) Exatamente dois meninos? Resposta: a) 1875 b) 750 13. g) rxy Inter rete Res osta: a) 1. om bas e nas órmulas gerais de média e variân ia de uma variável aleatória dis reta que. Supondo que o número de sementes que germine (Y) de uma espécie forrageira siga distribuição binomia . de pe o me nos 4 germinarem? b) Sabe-se que X representa o número de vasos que tem pe o menos 4 sementes germinadas dessa espécie (originadas do item a).Cal ular: a) E (X) b) E (Y) ) V (X) d) V (Y) e) E (XY) ) Cov (X. 0. Pede-se: a) Qu a a probabi idade. então: a) Construir a distribuição de robabilidade onjunta de X e Y. Ca cu e a média e a variância de uma v. e a probabi idade de uma semente germinar é 70%.Y).5 28 ou 52.83 b) 3. Rela ionar o es aço amostral e. necessário para que um experime nto venha a ser rea izado com um número não inferior a 200 p antas.082 10. Entre 2000 famí ias com 4 crianças cada uma.17 d) 9. Inter rete .33 e) 6.3)]. Resposta: a) 0.1 12.0 ) 4.51 g) 0. X ∼ Bin (10. respectivamente. Resposta: E(X) = 3 V(X) = 2. semeados com 5 sementes. seja X = número de meninos e Y = número de variações na seqüê a de mesmo sexo. Demonstre. p)] correspo ndem a E(X) = np e V(X) = npq.0 ) 0. Numa amília de 4 ilhos. É característica de produção que 20% das sementes apresentem poder germinativo abaixo do especificado. . O que é me hor para o produtor. por saco ou aceitar a proposta do comprador? Suges tão: encontrar o preço médio esperado pe o produtor. e um prejuízo de R$ 50. Sementes certificadas de feijão são vendidas em um saco de 15 kg ao preço de R$ 20 . em média em 1 a c ada 50 animais em uma popu ação de suínos de certa região.20m entre covas. Um comprador fez a seguinte proposta ao produtor de sem entes: de cada saco esco he 25 sementes.19% 18.14.00. as qu ais serão espaçadas de 0.00 u.9919 ou 99. indique qua será o uc ro médio por caixa vendida. Admitindo-se que esta variáve tenha distrib uição de Poisson: a) qua é o desvio padrão do número de bactérias por cm3? b) Encontre a p obabi idade de que pe o menos duas bactérias ocorram num vo ume de íquido de 1cm3. das quatro semeadas) por ca nteiro? Resposta: 0. duas defeituosas.00 s e todas as sementes germinarem. Suponhamos que a porcentagem de g erminação de sementes de feijão seja de 70%.24% b) R$ 107. a) Ca cu e a probabi idade de que uma caixa satisfaça a garantia. qua o número médio e sperado de covas fa hadas (nem uma semente germinou. Vão ser semeadas 4 sementes por cova.40m entre inhas e 0. Resposta: O vendedor não deve aceit ar a proposta do comprador [E(X) = 19.R$ 17. b) Considerando que a caixa vendida determina um ucro de R$ 120. se não corresponder à garantia.924 ou 9.00 se uma ou duas sementes não germinarem.08 16.R$ 10. Se a caixa contém 20 peças e a e xperiência tem demonstrado que o processo de fabricação produz 5% de peças defeituosas. pe o menos. 46 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ .00. caso esteja conforme a gara ntia. no máximo. m anter o seu preço de 20.m. ao acaso.00 se três ou mais sementes não germinarem. Resposta: a) 0. Qua é a probabi idade de que e m uma amostra a eatória de n = 100 suínos.51)] 17. Um fabricante de certo tipo de peças garante que uma caixa de suas peças conterá.R$ 25. seja encontrado. . ocorrendo.00 cada. Supondo-se que cada c anteiro a ser semeado conste de 6 inhas de 5m de comprimento. e paga por saco: . Suponha que a peste suína siga a distribuição binomia . um com a doe nça? Resposta: 0.87 ou 87% 15. Um contador e etrônico de bactérias registra em média 5 bactérias por cm3 de um íquido. 96% 19.2kg c) entre 77.68% c) 15.7kg e 82. possui peso ao abate aos 90 dias X com dis tribuição N (2. ou seja: as c o ônias distribuem-se a eatoriamente na p aca e. e seja X o número de espécimes po r 0.60.2kg Resposta: a) 69.36% b) 28. dividida em quadrantes de 1mm2.5m2.Resposta: a) V(X) = 5 b) 95.95 f) P (-x < X < x) = 0.50m2.42% c) 1 1.7% 20.26% 21.5 espécim es. a) Qua a probabi idade de um quadrante ter exatamente uma co ônia? b) Qua a probabi idade de encontrar duas co ônias por mm2? c) Qua a p robabi idade de encontrar oito co ônias em 2 mm2? Resposta: a) 3.80 e) P (-x < X < x) = 0. obedeça a uma distribuição norma com média igua a 75kg e desvio padrão de 10kg.8kg b) menos de 97.78% c) 84. foram encontrados em média 2. pese: a) mais de 69. Norfo k. Supondo que o peso de animais da raça Charo ês.37% b) 8. esco hido ao acaso. o número médio de co ônias por mm2 perm anece constante e é baixo. Considerando que a distribuição de Poisson é adequada. Uma raça de coe hos híbrida.2kg d) menos de 77.04). Ca cu e a probab i idade de que. com dois meses de idade. um bovino dessa raça e dessa idade. Numa área dividida em quadrantes de 0. Obter: a) P (X > 2. Considerando que o mode o de Poisson é adequado. encontra-se em média 5 co ônias por mm2.85% b) 98. Numa p aca de microscópio.70) b) P (X < 2.45) c) P (2. 0.22% 22.7kg e mais de 82. 65) d) P (X > x) = 0.55 < X < 2. a) Qua é a probabi idade de se encontrar num quadrante exatamente 4 espéci mes? b) Qua é a probabi idade de encontrar no máximo 1 espécime por quadrante? Respos ta: a) 13.90 47 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ . qua a porcentagem de árvores que restarão de pé? Resposta: 8. Qual ro orção na o ulação é ter um com rim étala : a) Maior do que 4.6 cm? c) Determinar o valor do com rimento de étala que é u erado or 65% da lanta .1 cm .85% b) 112.5 cm? b) Entre 2. As vendas de sementes de mi ho têm dist ribuição norma com média igua a 500 sacos e desvio padrão 50 sacos. a) Ca cu e a probabi idade de um saco esco hido ao acaso conter me nos do que o peso nomina .46% c) 4. qua é a probabi idade de que não possa atender a todos os pedidos do mês.9 e 3. Se a empresa decid e produzir 600 sacos no mês em estudo.P. Um agricu tor usa uma máquina automática para encher sacos de trigo.375 b e desvio p adrão 0.874 cm 48 ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¤ ¤ ¡ ¥¡ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¥ ¥ ¤ ¥ ¡ ¤ ¤ ¤ ¥ ¤ ¤ ¥ ¡ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¤ ¤ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¡ ¥ ¥ .8 cm.226 b. devido a f utuações a eatórias do mecani smo de pesagem. por estar com a produção esgotada? Resposta: 22. cada um com um peso nomina de 112 b de grão.28% 26.A.) das árvores.A.2 cm e σ = 1.23. Num povoamento f oresta temos uma distribuição aproximadamente norma dos Diâmetr os na a tura do peito (D.89% b) 15 . Se cortarmos todas as árvores de menos de 15 cm de diâmetro. Resposta: a) 4. b) O agricu tor fornece o trigo a um mo eiro com a co ndição de que não mais do que 5% dos sacos são sub-pesados.6 cm e variância de 3. o peso de cada saco é uma V.002 1 24. Determine o va or mais baixo do peso médio de cada saco que satisfaça a esta condição. No entanto. com média de 12. Re o ta: a) 23.69% 25. Norma de média 112. Sa be-se que o comprimento de péta as de uma popu ação de p antas da espécie X é norma mente distribuída com média µ = 3.