ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELEMENTOS DE MÁQUINAS Capítulo 13 Engranes: descripción general Realizado por: Willer Wladimir Pozo Peñaherrera Edison Fabián Sánchez Meneses Febrero, 2016 CAPÍTULO 13: Engranes, descripción General 13-1. Un piñón recto de 17 dientes tiene un paso diametral de 8 dientes/pulg, funciona a 1 120 rpm e impulsa a un engrane a una velocidad de 544 rpm. Encuentre el número de dientes en el engrane y la distancia teórica de centro a centro. Solución: 17 𝑑𝑝 = = 2.125 in 8 𝑁2 1120 𝑑𝐺 = 𝑑𝑝 = (2.125) = 4.375 in 𝑁3 544 𝑁𝐺=𝑃𝑑𝐺 =8 (4.375) = 35 dientes C= (2.125 + 4.375)/2=3.25 in 13-2. Un piñón recto de 15 dientes con un módulo de 3 mm funciona a una velocidad de 1 600 rpm. El engrane impulsado tiene 60 dientes. Determine la velocidad del engrane impulsado, el paso circular y la distancia teórica entre centros. Solución: 15 𝑛𝐺 = 1600 ( ) = 400 rev/min 60 p = 𝜋𝑚 = 3𝜋 mm C = [3(15 + 60)]/2=112.5 mm espesores de los dientes y diámetros de los círculos base. Haga un dibujo de los engranes.0834 𝑖𝑛 𝜋 𝜋 𝑝= = = 1.4167 𝑖𝑛 𝑃 3 𝑐 = 𝑏 − 𝑎 = 0.047 𝑖𝑛 𝑃 3 . Calcule el número de dientes en el engrane impulsado. Un piñón recto de 21 dientes se acopla a una rueda de 28 dientes. los diámetros de paso y la distancia teórica entre centros. claro.333 𝑖𝑛 𝑃 3 1.13-3. de salida y de acción.25 1. Un juego de engranes rectos tiene un módulo de 6 mm y una relación de velocidades de 4. Encuentre y tabule los siguientes resultados: cabeza (addendum). El piñón tiene 16 dientes. raíz (dedendum). paso circular. Solución: 𝑁𝐺 =16 (4) = 64 dientes 𝑑𝐺 = 𝑁𝐺 m = 64(6)= 384mm 𝑑𝑝 =𝑁𝑝 m = 16(6)=96mm C= (384 + 96)/2 =240mm 13-4. Solución: Malla: 1 1 𝑎= = = 0. El paso diametral es 3 dientes/pulg y el ángulo de presión es de 20°.25 𝑏= = = 0. así como también el paso base y la relación de contacto. que muestre un diente en cada engrane. las longitudes del arco de ataque. 53 𝑚𝑐 = = = 1.578 𝑖𝑛 Engrane Base-Circulo: 𝑁2 28 𝑑2 = = = 9.33𝑐𝑜𝑠20° = 6.984 .333𝑐𝑜𝑠20° = 8. 𝑝 1.984 𝑖𝑛 3 Radio de contacto: 𝐿𝑎𝑏 1.523 𝑖𝑛 2 2 Piñón Base-Circulo: 𝑁1 21 𝑑1 = = = 7 𝑖𝑛 𝑃 3 𝑑1𝑏 = 9.55 𝑝𝑏 0.333 𝑖𝑛 𝑃 3 𝑑2𝑏 = 9.047 𝑡= = = 0.77 𝑖𝑛 𝜋 𝑝𝑏 = 𝑝𝑐 𝑐𝑜𝑠ø = 𝑐𝑜𝑠20° = 0. Los dos ejes son perpendiculares y se encuentran en el mismo plano. impulsa una rueda de 32 dientes.91 𝑖𝑛 2 2 .13-5. Solución: (a) 1 14 2 32 2 2 𝐴0 = [( 6 ) + ( 6 ) ] = 2. d) El ancho de la cara. Un piñón cónico de dientes rectos a 20°. Calcule: a) La distancia de cono. con 14 dientes y paso diametral de 6 dientes/pulg. c) Los diámetros de paso. b) Los ángulos de paso. 873 𝑖𝑛 .67 𝑃 6 0.63° 32 32 𝛤 = tan−1 = 66.67 𝐹 = 0.873 < 1.333 𝑖𝑛 6 32 𝑑𝐺 = = 5.333 𝑖𝑛 6 (d) Tomadao de la tabla 13-3 𝐴0 = 0.(b) 14 𝛾 = tan−1 = 23. (2.37° 14 (c) 14 𝑑𝑝 = = 2.91) = 0.873 𝑖𝑛 10 10 = = 1. 7854/cos30º = 0. d) La cabeza (addendum). El piñón tiene un ángulo de hélice a la derecha de 30°. Un juego de engranes helicoidales paralelos utiliza un piñón de 20 dientes que impulsa un engrane de 36 dientes. Calcule: a) Los pasos circulares normal.571 in . raíz (dedendum) y diámetro de paso de cada engrane. transversal y axial.9069 in 𝑃𝑥 = 𝑃𝑡 /tanψ = 0.7854 in 𝑃𝑡 = 𝑃𝑛 /cosψ = 0.13-6.9069/tan30º = 1. un ángulo normal de presión de 25° y un paso diametral normal de 4 dientes/pulg. Solución: a) 𝑃𝑛 = 𝜋/𝑃𝑛 = 𝜋/4 = 0. e) El paso diametral transversal y el ángulo de presión transversal. b) El paso circular base normal. 464 dientes/ in ∅𝑡 =𝑡𝑎𝑛−1 (tan∅𝑛 /cosψ ) = 𝑡𝑎𝑛−1 (tan25°/𝑐𝑜𝑠30°) = 28. transversal y axial. . b) El paso diametral transversal y el ángulo de presión transversal. El piñón tiene un ángulo de la hélice a la izquierda de 30°.3125 in 20 𝑑𝑝 = = 5.5 mm.3° d) a = ¼ = 0. un ángulo normal de presión de 20° y un módulo normal de 2. b) 𝑃𝑛𝑏 = 𝑃𝑛 cos ∅𝑛 = 0. c) La cabeza (addendum). Un conjunto de engranes helicoidales paralelos se compone de un piñón de 19 dientes que impulsa un engrane de 57 dientes.39 in 4𝑐𝑜𝑠30° 13-7.250 in b = 1.7854cos25° = 0.7380 in c) 𝑃𝑡 = 𝑃𝑛 cosψ = 4cos30º = 3.774 in 4𝑐𝑜𝑠30° 36 𝑑𝐺 = = 10. raíz (dedendum) y diámetro de paso de cada engrane.25/4 = 0. Encuentre: a) Los pasos circulares normal. 887) = 54.5) = 7.80° 𝑐𝑜𝑠30° c) a = 𝑚𝑛 = 2.069 mm 𝑃𝑥 = 𝑃𝑡 /tanψ = 9.6 mm .5) = 3.5 b) 𝑚𝑡 = = = 2.5 mm a) 𝑃𝑛 = 𝜋𝑚𝑛 = 𝜋(2.85 mm 𝑃𝑡 𝑑𝐺 = 57(2.854mm 𝑃𝑡 = 𝑃𝑛 /cosψ = 7.125 mm 𝑁 𝑑𝑝 = = N𝑚𝑡 = 19(2.854/cos30º = 9.71 mm 𝑚𝑛 2.25 (2.5 mm b = 1.25𝑚𝑛 = 1.887mm cosψ cos30° tan 20° ∅𝑛 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 22.Solución: 𝑁𝑝 = 19 dientes 𝑁𝐺 = 57 dientes ∅𝑛 = 20° 𝑚𝑛 = 2.887) = 164.069/tan30º = 15. Solución: (a) 2𝑘 𝑁𝑝 ≥ 2 (1 + √1 + 3(𝑠𝑖𝑛ø)2 ) 3(𝑠𝑖𝑛ø) 2(1) 𝑁𝑝 ≥ (1 + √1 + 3(𝑠𝑖𝑛20)2 ) 3(𝑠𝑖𝑛20)2 𝑁𝑝 ≥ 12. así como el número máximo posible de dientes con este piñón. (b) si mG = 2. c) El piñón más pequeño que funcionará con una cremallera.13-10.5))(𝑠𝑖𝑛20)2 𝑁𝑝 ≥ 14.32 Por lo tanto. b) El número mínimo de dientes del piñón para una relación mG = 2.5 2𝑘 𝑁𝑝 ≥ (𝑚 + √𝑚2 + (1 + 2𝑚)(𝑠𝑖𝑛ø)2 ) (1 + 2𝑚)(𝑠𝑖𝑛ø)2 2(1) 𝑁𝑝 ≥ (2.5. 15 dientes. son 13 dientes.5 + √2.52 + (1 + 2 ∗ 2.64 Por lo tanto. . procure evitar interferencias y determine: a) El número mínimo de dientes del piñón que funcionará consigo mismo. Para un juego de engranes rectos con _ 20°.5)(𝑠𝑖𝑛20)2 ) (1 + 2(2. 𝑡𝑎𝑛20 ø𝑡 = tan−1 = 22.80) 𝑁𝑝 ≥ 8. 18 dientes.80° 𝑐𝑜𝑠30 (a) 2𝑘𝑐𝑜𝑠𝛹 𝑁𝑝 ≥ (1 + √1 + 3(𝑠𝑖𝑛ø𝑡 )2 ) 3(𝑠𝑖𝑛ø𝑡 )2 2(1)𝑐𝑜𝑠30 𝑁𝑝 ≥ 2 (1 + √1 + 3(𝑠𝑖𝑛22.48 Por lo tanto. 9 dientes. .80)2 ) 3(𝑠𝑖𝑛22. 13-11.(c) 2𝑘 2(1) 𝑁𝑝 ≥ = (𝑠𝑖𝑛ø)2 (𝑠𝑖𝑛20)2 𝑁𝑝 = 17.097 Por lo tanto. Repita el problema 13-10 para un conjunto de engranes helicoidales con øn = 20° y Ψ= 30°. 52 + (1 + 2 ∗ 2. 10 dientes. . 26 dientes (c) 2𝑘𝑐𝑜𝑠𝛹 2(1)𝑐𝑜𝑠30 𝑁𝑝 ≥ = (𝑠𝑖𝑛ø𝑡 )2 (𝑠𝑖𝑛22.(b) 2(1)𝑐𝑜𝑠30 𝑁𝑝 ≥ (2.8 𝑁𝑝 ≤ 26.8 − 4(1) cos 2 30 𝑁𝑝 ≤ 4(1)𝑐𝑜𝑠30 − 2(20) sin2 22.53 Por lo tanto.5)(𝑠𝑖𝑛22.08° Por lo tanto.80)2 ) 𝑁𝑝 ≥ 9.5 (1 + 2(2.5))(𝑠𝑖𝑛22.95 Por lo tanto.80)2 𝑁𝑝 ≥ 11.80)2 + √2. 12 dientes. 𝑁𝑝2 sin2 ø𝑡 − 4𝑘 2 cos 2 𝛹 𝑁𝑝 ≤ 4𝑘𝑐𝑜𝑠𝛹 − 2𝑁𝑝 sin2 ø𝑡 102 sin2 22. 2𝑘 2(1) ø = sin−1 √ = sin−1 √ = 28.126° 𝑁𝑝 9 . Mediante el empleo de un ángulo de presión mayor que el estándar. ¿cuál es el ángulo mínimo de presión posible ø que se puede obtener sin que haya rebaje para que un piñón de 9 dientes se acople con una cremallera? 2𝑘 𝑁𝑝 = sin2 ø K= 1 para profundidad total del diente. por lo tanto.13-14. y despejando ø. es posible emplear un piñón con menos dientes y se pueden obtener. Si los engranes son rectos. engranes menores sin rebaje durante la generación de los dientes. Con Np = 9 dientes. transversal y axial. c) Los diámetros de paso de los dos engranes. (a) 𝑝𝑛 = 𝜋 𝑚𝑛 = 3𝜋 𝑚𝑚 𝑝𝑛 3𝜋 𝑝𝑡 = = = 10.58 𝑚𝑚 𝑑𝐺 = 𝑚𝑡 𝑁𝐺 = 3.80° 𝑐𝑜𝑠30 (c) 𝑑𝑝 = 𝑚𝑡 𝑁𝑝 = 3.310(32) = 105. Un par de engranes de ejes paralelos se compone de un piñón de 18 dientes que impulsa un engrane de 32 dientes.30 𝑚𝑚 𝑡𝑎𝑛𝛹 𝑡𝑎𝑛25 (b) 𝑃𝑡 10.40 𝑚𝑡 = = = 3. un ángulo de presión normal de 20° y un módulo normal de 3 mm. El piñón tiene un ángulo de hélice a la izquierda de 25°.310 𝑚𝑚 𝜋 𝜋 𝑡𝑎𝑛20 ø𝑡 = tan−1 = 22. Encuentre: a) Los pasos circulares normal.92 𝑚𝑚 . b) El módulo transversal y el ángulo de presión transversal.310(18) = 59.40 𝑝𝑥 = = = 22.13-15.40 𝑚𝑚 𝑐𝑜𝑠𝛹 𝑐𝑜𝑠25 𝑝𝑡 10. un ángulo de la hélice de 25° y un ángulo de presión normal de 20°. un ángulo de la hélice de 30° y un ángulo de presión normal de 20°.13-16. La fuerza axial en el engrane 2 en el eje a está en la dirección z negativa. La fuerza axial en el engrane 5 en el eje c está en la dirección z negativa. N3 = 48. La fuerza axial en el engrane 4 en el eje b está en la dirección z positiva. presenta un paso diametral normal de 8 dientes/pulg. engranes 4 y 5. La fuerza axial en el engrane 3 en el eje b está en la dirección z positiva. N4 = 16. b) La velocidad y dirección del eje c. Los números de dientes son: N2 = 12. c) La distancia de los centros entre los ejes. . Determine: a) Las direcciones de la fuerza de empuje que ejerce cada engrane sobre su eje. El tren de engranes helicoidales de doble reducción de la figura se impulsa mediante un eje a con una velocidad de 900 rpm. El segundo par de engranes del tren. N5 = 36. Los engranes 2 y 3 tienen un paso diametral normal de 12 dientes/pulg. (a) Los diagramas de las figuras son mostradas para determinar fuerzas axiales por inspección. 55𝑖𝑛 12𝑐𝑜𝑠30° 48 𝑑𝑔3 = = 4.586 𝑖𝑛 .887 𝑖𝑛 2 16 𝑑𝑝4 = = 2.619 𝐶𝑎𝑏 = = 2.619 𝑖𝑛 12𝑐𝑜𝑠30° 1.965 𝑖𝑛 8𝑐𝑜𝑠25° 𝐶𝑏𝑐 = 3.155 + 4.78 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛 48 36 (c) 12 𝑑𝑝2 = = 1.(b) 12 16 𝑛𝑐 = 𝑛5 = ( ) (700) = +77.207 𝑖𝑛 8𝑐𝑜𝑠25° 36 𝑑𝐺5 = = 4. El eje a de la figura gira a 600 rpm en el sentido que se muestra.06 rev/min 51 13-18.13-17. . Determine la velocidad y sentido de rotación de la corona 9. Encuentre la velocidad y el sentido de rotación del eje d. El tren de engranes del mecanismo que se ilustra consiste en diversos engranes y poleas para impulsar la corona 9. Solución: 20 8 20 4 𝑒= ( )( )= 40 17 60 51 4 𝑛𝑑 = (600) = 47. La polea 2 gira a 1 200 rpm en el sentido que se indica. 630 in 40 𝑑𝐺 =(8𝑐𝑜𝑠23°) = 5. Indique: a) La velocidad del eje c. 12 1 a) 𝑛𝑐 = (40)1(540)= 162 rev/min sobre x 12 b) 𝑑𝑝 =(8𝑐𝑜𝑠23°) = 1. c) El diámetro de los engranes en escuadra.432 in 𝑑𝑝 +𝑑𝐺 = 3. Los 1 engranes helicoidales tienen un ángulo normal de presión de 17 y un ángulo 2 de la hélice como se muestra.84 rev/min 304 13-19. b) La distancia entre los ejes a y b.531 in 2 32 d) d = = 8 en el extremo mas grande de los dientes 4 . 6 18 20 3 3 𝑒= ( )( )( )= 10 38 48 36 304 3 𝑛9 = (1200) = 11. En la figura se ilustra un tren de engranes compuesto por un par de engranes helicoidales y un par de engranes cónicos en escuadra (inglete). a) ¿Cuáles son las velocidades de las ruedas si el automóvil se desplaza en línea recta sobre un camino de superficie uniforme? b) Suponga que la rueda derecha se levanta con un gato y que la izquierda reposa sobre la superficie del camino. ¿La respuesta al inciso b) ofrece alguna pista respecto de lo que pasaría si se enciende el automóvil y se intenta conducirlo? (a) 16 𝑟𝑒𝑣 𝑛𝐴 = 𝑛3 = 900 ( ) = 300 48 𝑚𝑖𝑛 . N5 = N6 =20. El eje impulsor gira a 900 rpm. en el caso de un vehículo con tracción en las ruedas traseras. ¿Cuál es la velocidad de la rueda derecha? c) Suponga. que está estacionado con la rueda derecha reposando sobre una superficie cubierta de hielo y húmeda. Los números de dientes del diferencial de automóvil de la figura son N2=16. N4=14. N3=48.13-25. Y el engrane 6 sea el último. calcule la velocidad y sentido de rotación del brazo si el engrane 2 es incapaz de girar y el engrane 6 se impulsa a 12 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. 13-27. Se analiza el engrane 2 primero. . entonces nL=n6=-12rev/min.(b) 𝑛𝐹 = 𝑛5 = 0 𝑛𝐿 = 𝑛6 𝑒 = −1 𝑛6 − 300 −1 = 0 − 300 300 = 𝑛6 − 300 𝑟𝑒𝑣 𝑛6 = 600 𝑚𝑖𝑛 (c) La rueda gira libremente en superficies congeladas. entonces nF=n2=0. dejando sin tracción a la otra rueda. En el caso del tren de engranes invertido de la figura. mientras el engrane 2 se mantiene estacionario. . entonces nF=n2=0 rev/min. El engrane 6 será el último. 20 16 16 𝑛𝐿 − 𝑛𝐴 𝑒= ( )= = 30 34 51 𝑛𝐹 − 𝑛𝐴 16 (0 − 𝑛𝐴 ) ( ) = 85 − 𝑛𝐴 51 16 −𝑛𝐴 ( ) + 𝑛𝐴 = 85 51 16 𝑛𝐴 (1 − ) = 85 51 85 𝑟𝑒𝑣 𝑛𝐴 = = 123.49 35 𝑚𝑖𝑛 51 13-28. entonces nL= n6 = 85 rev/min. En el tren de engranes del problema 13-27. 20 16 16 𝑛𝐿 − 𝑛𝐴 𝑒= ( )= = 30 34 51 𝑛𝐹 − 𝑛𝐴 16 (0 − 𝑛𝐴 ) ( ) = −12 − 𝑛𝐴 51 12 𝑟𝑒𝑣 𝑛𝐴 = − = −17.9 rev/min ccw. si el engrane 6 se impulsa a 85 rpm en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿cuál es la velocidad y sentido de rotación del brazo? Se analiza el engrane 2 primero. Por lo tanto.9 16 𝑚𝑖𝑛 1− 51 El signo positivo indica la misma dirección que n6. nA=123. ¿cuántas vueltas dará el eje b? Solución: 𝑛𝐹 = 𝑛2 𝑛𝐿 = 𝑛7 =0 20 16 36 𝑛𝐿 −𝑛5 𝑒=− ( )( ) =−0.5217 = 16 30 46 𝑛𝐹 − 𝑛5 0−𝑛5 = -0. N6 =36 y N7=46. N4 =30.5217 𝑛5 = 𝑛𝑏 = 3.217 + 0. El engrane 7 está fijo.N3 =16.𝑛5 ) = .5217 (10 .5217𝑛5 + 𝑛5 = 0 𝑛5 (1 + 0.217 𝑛5 = 1.13-29.217 5.428 gira en la misma dirección . Los números de dientes del tren de engranes de la figura son N2 =20.5217) = 5.5217 10−𝑛5 -0. Si el eje a gira 10 revoluciones.𝑛5 -5. 13-30. N3 = 16 y N4 = 12.𝑛𝐴 ) 3 3 𝑛𝐴 = . ¿Cuál es la velocidad del brazo si el eje a gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a 320 rpm? 𝑑5 𝑑2 = 2 2+ 𝑑3 + 𝑑4 𝑁 d= 𝑃 𝑁5 / (2P)=𝑁2 / (2P) + 𝑁3 / P + 𝑁4 / P 𝑁5 = 𝑁2 + 2𝑁3 + 2𝑁4 = 12 + 2(16) + 2(12)= 68 dientes 𝑛𝐹 = 𝑛2 = 320 rev/min 𝑛𝐿 = 𝑛5 = 0 rev/min 12 16 12 3 𝑛𝐿 −𝑛𝐴 𝑒=− ( )( ) = = 16 12 68 17 𝑛𝐹 − 𝑛𝐴 17 320 .57 rev/min 14 El signo negativo indica opuesto 𝑛2 por lo tanto 𝑛𝐴 = 68. Los números de dientes del tren de engranes que se ilustra en la figura son N2 = 12.57 rev/min . (320) = .68. ¿Cuántos dientes debe tener el engrane interior 5? Suponga que el engrane 5 está fijo.𝑛𝐴 = (0 . 9na Edición. McGraw Hill. .ANEXOS: SHIGLEY. “Diseño en Ingeniería Mecánica”.