4-1C ¿Es siempre cero el trabajo de la frontera asociado con los sistemas devolumen constante? Sí 4-2C Un gas ideal se expande de un estado especificado hasta un volumen final fijo dos veces, primero a presión constante y después a temperatura constante. ¿Para cuál caso el trabajo efectuado es mayor? El área bajo la curva de proceso , y por tanto el trabajo de frontera hecho en cuasiequilibrio es mayor en el caso de presión constante. 4-3C Demuestre que 1 kPa · m3 = 1 kJ. 𝑁 1 𝑘𝑃𝑎 ⋆ 𝑚3 = 1𝑘(𝑚2 ) ⋆ 𝑚3 = 1𝑘𝑁 ⋆ 𝑚 = 1𝑘𝐽 4-4 El volumen de 1 kg de helio, en un dispositivo de cilindro-émbolo, es 7 m3, en un principio. A continuación, el helio se comprime hasta 3 m3, manteniendo constante su presión en 150 kPa. Determine las temperaturas inicial y final del helio, así como el trabajo requerido para comprimirlo, en kJ. El helio es comprimido en un dispositivo cilindro-émbolo. Las temperaturas inicial y final del helio y el trabajo requerido para comprimirlo están determinados. Si el proceso es cuasiequilibrio y la constante del gas de helio es R=2.0769kJ/kg*K, entonces: 𝑉1 7𝑚3 𝑚3 El volumen inicial es 𝑣1 = 𝑚 = 1 𝑘𝑔 = 7 𝑘𝑔 Determinar la temperatura con la ecuación del gas ideal 𝑃1 𝑣1 (150 𝑘𝑃𝑎)(7𝑚3 /𝑘𝑔) 𝑇1 = = = 505.1 °𝐾 𝑅 2.0769𝑘𝐽/𝑘𝑔 ∗ 𝐾 Y como la presión se mantiene constante 𝑉2 3𝑚3 𝑇1 = 𝑇1 = (505.1°𝐾) = 216.5 °𝐾 𝑉1 7𝑚3 La expresión e trabajo resulta como 2 𝑊𝑏 = ∫ 𝑃𝑑𝑉 = 𝑃(𝑉2 − 𝑉1 ) 1 1𝑘𝐽 = (150 𝑘𝑃𝑎)(3 − 7)𝑚3 ( ) = −600𝑘𝐽 1 𝑘𝑃𝑎 ∗ 𝑚3 4-5E Calcule el trabajo total, en Btu, para el proceso 1-3 que se muestra en la figura P4-5E. El proceso es cuasiequilibrio, y el trabajo hecho es igual ala suma de las áreas bajo las líneas de proceso 1-2 y 2-3, entonces: 𝑃1 + 𝑃2 𝑊= (𝑉2 − 𝑉1 ) + 𝑃2 (𝑉3 − 𝑉2 ) 2 (300 + 15)𝑝𝑠𝑖𝑎 𝑊= [(3.3 2 1 𝐵𝑡𝑢 − 1)𝑓𝑡 3 ]( ) 5.4047𝑝𝑠𝑖𝑎 ⋆ 𝑓𝑡 3 + (300 𝑝𝑠𝑖𝑎)(2 1 𝐵𝑡𝑢 − 3.3)𝑓𝑡 3 ( ) 5.404𝑝𝑠𝑖𝑎 ⋆ 𝑓𝑡 3 𝑊= −5.14 𝐵𝑡𝑢 El signo significa que el trabajo está hecho sobre el sistema 4-6 Calcule el trabajo total, en kJ, producido por el proceso isotérmico de la figura P4-6 cuando el sistema consiste de 3 kg de oxígeno. 𝑅𝑇 La ecuación del gas ideal es 𝑃 = 𝑣 Para un proceso isotérmico 𝑃2 𝑚3 600 𝑘𝑃𝑎 𝑚3 𝑣1 = 𝑣2 = (0.2 ) = 0.6 𝑃1 𝑘𝑔 200 𝑘𝑃𝑎 𝑘𝑔 Se sustituye en la ecuación de gas ideal y usando este resultado dentro de la integral que produce el trabajo de frontera. 2 2 𝑑𝑣 𝑣2 𝑊=∫ 𝑃𝑑𝑣 = 𝑛𝑅𝑇 ∫ = 𝑚1 𝑃1 𝑣1 𝑙𝑛 1 1 𝑣 𝑣1 0.2𝑚3 1 𝑘𝐽 3 𝑊 = (3𝑘𝑔)(200 𝑘𝑃𝑎)(0.6𝑚 )𝑙𝑛 ( ) = −395.5 𝑘𝐽 0.6𝑚3 1 𝑘𝑃𝑎 ⋆ 𝑚3 4-7 Un dispositivo de cilindro-émbolo contiene, al principio, 0.07 m3 de gas de nitrógeno a 130 kPa y 120 °C. Entonces, el nitrógeno se expande en un proceso politrópico hasta un estado de 100 kPa y 100 °C. Determine el trabajo de la frontera efectuado durante este proceso. Según la tabla A-2 la constante de gas del nitrógeno es 0.2968 kJ/Kg*K La masa y el volumen del estado inicial del nitrógeno son: 𝑛𝑅𝑇2 𝑉2 = 𝑃2 𝑘𝑃𝑎 ⋆ 𝑚3 (0.07802𝑘𝑔)(0.2968 )(100 + 273𝐾) 𝑘𝑔 ⋆ 𝐾 = 100 𝑘𝑃𝑎 = 0.08637𝑚3 El índice del politrópico se define por 𝑃1 𝑉1𝑛 = 𝑃2 𝑉2𝑛 → (130 𝑘𝑃𝑎)(0.07𝑚3 )𝑛 = (100 𝑘𝑃𝑎)(0.08637𝑚3 )𝑛 → 𝑛 = 1.249 El trabajo de frontera lo determina: 𝑃2 𝑉2 − 𝑃1 𝑉1 (100 𝑘𝑃𝑎)(0.08637𝑚3 ) 𝑊𝑏 = = = 1.86 𝑘𝐽 1−𝑛 1 − 1.249 4-8 Un dispositivo de cilindro-émbolo, con un grupo de topes, contiene inicialmente 0.3 kg de vapor de agua a 1.0 MPa y 400 °C. El lugar de los topes corresponde al 60 por ciento del volumen inicial. Entonces, se enfría el vapor de agua. Determine el trabajo de compresión, si el estado final es a) 1.0 MPa y 250 °C b) 500 kPa c) Determine la temperatura del estado final en el inciso b).. a) Los volúmenes específicos de estados inicial y final se obtienen de la Tabla A-6 𝑚3 {𝑃1 = 1𝑀𝑃𝑎} 𝑦 {𝑇1 = 400°𝐶} 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑉1 = 0.030661 𝑘𝑔 𝑚3 {𝑃2 = 1𝑀𝑃𝑎} 𝑦 {𝑇2 = 250°𝐶} 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑉2 = 0.023275 𝑘𝑔 En trabajo de frontera está definido por : 𝑚3 𝑊 = 𝑛𝑃( 𝑉1 − 𝑉2 ) = (3 𝑘𝑔)(1000 𝑘𝑃𝑎)(0.30661 − 0.60 ∗ 0.30661) = 36.79 𝑘𝐽 𝑘𝑔 b) El volumen del cilindro en estado final es el 60% del volumen inicial. El trabajo de frontera es: 𝑊 = 𝑛𝑃( 𝑉1 − 0.60𝑉1 ) 𝑚3 = (0.3 𝑘𝑔)(1000 𝐾𝑃𝑎)(0.30661 − 0.60 ∗ 0.30661) 𝑘𝑔 = 36.79 𝑘𝐽 c) La temperatura final, según la tabla A-5, es: 3 {𝑃2 = 0.5 𝑀𝑃𝑎} 𝑦 {𝑉2 = (0.60 ∗ 0.30661) 𝑚 𝑘𝑔 } 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎 𝑇2 = 151.8°𝐶 4-9 Un dispositivo de cilindro-émbolo contiene en un principio 0.07 m3 de gas de nitrógeno a 130 kPa y 180 °C. A continuación el nitrógeno se expande hasta alcanzar una presión de 80 kPa, en un proceso politrópico, con un exponente politrópico cuyo valor es igual a la relación de calores específicos. Esta es la llamada expansión isentrópica. Determine la temperatura final y el trabajo de la frontera durante este proceso. El proceso politropico indica que el uso exponencial de los valores del calor especifico del nitrógeno a la temperatura señalada (180⁰ C) asi como la constante R correspondiente al nitrógeno. Estos valores se tienen como k = 1.395 (A 450 K) y la constante R igual a 0.2986 según la tabla A2. El cálculo de la masa de nitrógeno en el sistema se realiza con la formula de gases ideales usando la constante R propia del nitrogeno 𝑃1 ∗ 𝑉1 (130 𝐾𝑃𝑎)(0.07 𝑚3 ) 𝑚= = = 0.06768 𝑘𝑔 𝑅 ∗ 𝑇1 (0.2968 𝑘𝐽 )(453 𝐾) 𝑘𝑔 ∗ 𝐾 Determinar el volumen final la cantidad de nitrógeno se logra empleando la formula 𝑃1 ∗ 𝑉1 𝑘 = 𝑃2 ∗ 𝑉2 𝑘 Donde k representa el calor especifico del nitrógeno a 180 grados celcuis( 1.395) 1.395 130 𝐾𝑃𝑎 ∗ (0.07 𝑚3 ) = 80 𝐾𝑃𝑎 ∗ 𝑉21.395 1.395 3 1.395 𝑉2 = √130 𝐾𝑃𝑎 ∗ (0.07 𝑚 ) 80 𝐾𝑃𝑎 𝑉2 = 0.09913 𝑚3 Con los datos obtenidos se procede a encontrar los datos requeridos 𝑃2 ∗ 𝑉2 (80 𝑘𝑃𝑎)( 0.09914 𝑚3 ) 𝑇2 = = = 395 𝐾 𝑚∗𝑅 𝑘𝑃𝑎 ∗ 𝑚3 (0.06768 𝑘𝑔)(0.2968 ) 𝑘𝑔 ∗ 𝐾 𝑃2 𝑉2 −𝑃1 𝑉1 (80 𝑘𝑃𝑎 )(0.09913 𝑚3 )−(130 𝑘𝑃𝑎)(0.07 𝑚3 ) 𝑊𝑏 = = = 2.96 𝐽 1−𝑘 1−1.395 4-10 Se calienta una masa de 5 kg de vapor de agua saturado a 300 kPa, a presión constante, hasta que la temperatura llega a 200 °C. Calcule el trabajo efectuado por el vapor de agua durante este proceso. Sabiendo que la presión en el sistema es constante es necesario determinar el volumen nominal de la fase gaseosa del agua a una presión de 300 kPa y el volumen del vapor a 300 k y 200 C De acuerdo a la tabla A-5 el volumen especifico del vapor saturado a 300 kPa es de 0.60582 m^3/ kg y el volumen especifico del vapor saturado a 300 kPa y 200 C según la tabla A-6 es de 0.71643 kg/m^3 Aplicando la formula