Navigationaux Astres et aux Satellites par La méthode du Plan des sommets _______ Yves Robin-Jouan N7 Toulouse 1970, IAE Paris 1977 Membre IFN, ION Member MARINES ÉDITIONS pour sa relecture passionnée et ses conseils éclairés .Navigation aux astres et aux satellites ---- Aux femmes de ma vie. 2 3 . à Jean-Louis Guibert. intuitu personæ. à Navecom et à ses clients institutionnels. en souvenir de certains déjeuners agrémentés de sphères. à l’Institut français de navigation en général. cônes et plans ! Remerciements à François Lachaux. pour son accueil bienveillant . pour son amical soutien. ami navigateur. professeur et chercheur en mathématiques.---. qui ont directement ou indirectement supporté les travaux de R & D sous-jacents . ............................................3 Les systèmes successeurs du GPS ................................................ Pondération des observations par leur hauteur – Étape de prédiction ................................................................ Exercice reprenant le point de Costes et Bellonte ......................... Conséquences et commentaires ....................................................................................................................... Cas canonique de point par 2 observations .................................................... 106 Singularités en navigation astronomique et traitement par la MPS de navigation aux amers célestes 1....................................1 Perfectionnement des éphémérides et des tables ..................................................... Description des singularités par la méthode du Plan des sommets .......................................................................1 Singularités extrinsèques .................................................. 4............................................................................. 2............. Dimensions.... Cas canoniques à chapeau non équilatéral ................................................................................................................................................ 92 4................ Formulation analytique du DOP astronomique .. 5...... 6....... 7............ 12......................... Positionnement de la méthode du Plan des sommets ........................ 5........................................................................................................................................................................................... Traitement des dégénérescences par la méthode du Plan des sommets ........Navigation aux astres et aux satellites ---- Chapitre 3 ................................................................................................... 8.................. 16 Raccourci historique de la Navigation et de la Mécanique Céleste 1.......................................................................................... Interprétation géométrique du DOP astronomique ..................... 5................... 2...................... Le triangle d’or en navigation ................ Exercice sur un cas test proche d’une singularité de 1re espèce ............................................................................................ Singularités de la multilatération satellitaire ....... Notion de DOP astronomique ................... 6............................................................................................. 44 Principes des méthodes 4 72 74 74 76 77 78 80 82 84 85 Chapitre 4 ...................................................................................... Généralisation à un chapeau quelconque ............................................................................................. 6......... 8....................... 1..... 6........................... 18 20 22 25 27 30 30 32 34 36 36 37 39 40 41 42 Chapitre 2 .......................................................................................................... Restriction à deux observations ........................................................................................................................................................... Mise en équations .. Identification et éphémérides ........................................................ 96 6........... L’apogée de la navigation astronomique au XXe siècle ................................1 Première espèce ..................... Illustration des algorithmes de calcul .. 101 9...................................................... Classification des méthodes ..................... Une lente macération jusqu’à la fin de l’Âge médiéval .......................................................... 4............................................ Restriction au cas de 2 observations – Théorème 4 ............................................................................................................................................... 11......................... 7......................................................................................................................................................... 4........................................................................................... Restriction du problème dans le Plan des sommets – Étape de correction .............................. 7............................................. Théorème 2 et réciproque ............................................................. 88 Application de la MPS à la navigation astronomique 1.............. Les techniques et l’art de l’estime ......... 90 2................................................................................................................................................................ 1.............................................2 Deuxième espèce .. 1...................................... 10...................................................... Cas canonique du « carré de Guinée »........................... 108 108 109 109 110 110 110 113 113 114 115 116 117 120 122 123 5 ....... 46 47 47 49 50 52 55 57 58 59 61 62 64 67 1.................................. 10...... 3.............................. à quatre observations ......................................................................................... Classification et modèles associés aux singularités astronomiques .............. 10 Chapitre 1 ... 14.................................. Eléments de cartographie .................... 11... 7................................. 7................ 13........... 70 Table des matières Fondements géométriques de la méthode du Plan des sommets Préface de l’IFN ..................................................... 7........ 2............................................. 9.................................................. 2...............3 Astro-navigation en aéronautique et au-delà ...................... Généralisation à n observations inexactes – Théorème 3 ........................... Cas canoniques de trois observations à chapeau équilatéral ......... Un exemple historique de Gauss ......................................................................................................... 9............................... Une mise en œuvre opérationnelle au XIXe siècle ......................................................................................................---........................................................................................ 100 8................................................ nature des variables et précision .......... Sphère de référence ........................................ 2..........................................2 Recherche de solutions directes au problème du point ............................. 10.................................................................................... 6............................. 2. Notations ....................... La méthode du Plan des sommets dans le panorama contemporain ..................................... 8.. Dilution de précision en navigation satellitaire ....................................................... Un effort de théorisation au XVIIIe siècle .......................................... Exercice sur un cas test de circumzénithales ........................................................................................................... 3................. 6....................... Introduction de l’indicateur DOP ..........................2 Singularités intrinsèques .......................................................... Un nouvel essor avec les grandes découvertes ... 103 Chapitre 5 .................... 5............................................................................................................. Interprétation géométrique des cas de singularités ........1 Alternatives aux satellites ....................................................... Repérage méthodologique ......................................................... Introduction du Plan des sommets ............................ 9............................................................................................................................................... Repères et coordonnées .................................................................... 10......................... 92 3......................... 3.................. 99 7.............................................. Première approche statistique en fonction du nombre d’observations .......................................2 GPS et GLONASS ..................................... 4.................................. Cercles d’isomesure ............................ Calcul analytique du HDOP avec n astres – Singularités intrinsèques .... Approche globale du problème des singularités .................................................................... 8 Introduction ........................................................................... 94 5..... 3.................................................................... Calcul analytique des DOP avec trois astres – Singularités extrinsèques ............................................................................................................................................. Limitations de la métrologie .................... Le foisonnement et la sophistication de l’époque contemporaine ................................................................................. 12....................... 7................................................ 102 10.......................................................... Un apport considérable de l’Antiquité .............................................. Théorème 1 et réciproque ............................................... 8...................................................... Typologie des systèmes ......... 6........................................ 9..................................................................... .......................... 2................................................ 7.............................................. Calcul du point par ASTROLAB ..................................................................... 10....... 180 2................................................................................................................... Remarques communes aux exercices de point astronomique ....... 4............................................................................. Conclusion ...................................................................................... 4....... 218 225 227 230 231 233 235 Annexe 3 ........................................................................................................................................................................................................................................................ Cas tests ........................................................................................................ Exercice de point astronomique à trois observations par Stern-Veyrin ......................................................... 182 3................................................ Programme RECOEFM5 ......................... 5.................................................................................................................... Principes de l’hybridation native des données brutes satellitaires et astronomiques .................................................................................................................................................................................................................................................. Références applicables au fichier de test ................................. Catégorie Y (hYbridation) ......................................................................................... Catégorie G (GPS et GNSS) .... Corrections des observations ....................................... 216 Bibliographie 1.................................................................. Ephémérides intégrées ..................................... 9...... 4................................................. 1.............. 190 5.. 11................. Exercice de point astronomique à deux observations par Ruiz . 5.............................................................................................................................---........................ 253 Jour 3 .... 3.............................................................. 2........................................................ Résolution par un algorithme d’incrémentation . 5................ 6................ Besoin d’hybridation pour les mobiles maritimes ........ Tableaux édités par ASTROLAB dans un exemple .......................................................................................................................................................................................... 9.. 2.................................................................................................................................... 199 Notice technique du logiciel ASTROLAB v3 164 164 165 166 167 168 169 170 171 171 173 174 175 177 1................................................................. Présentation d’ASTROLAB ....... Problème à solutions multiples et problème du point incomplet .................................................................................................... 6.................... 4............. 6........ Catégorie H (Historique) ........................ Méthode de Bancroft pour la navigation par satellite .................2 Coeur du programme de calcul MPS-SAT .............. Cadrage et initialisation des variables ............................................................................. Notions sur le filtrage de Kalman ................... 252 Jour 2 ........................................................................................................................................ 7....................................................................... 210 2.......... Impact d’une erreur systématique sur les données . Versions du logiciel ASTROLAB .... 178 Informatisation de la MPS Hybridation native et autres perspectives Logiciels à l’usage des navigateurs 1........ Cas canonique déduit de Costes et Bellonte .. 196 6.. Catégorie S (Plan des Sommets) ............2 Retour au problème 3D ..................................... 8................................... Catégorie N (Navigation) ............................................................................................... Programme FOBSEDI2 ................................. Hybridation au sens large ................................... 213 à la navigation par satellite 1............................ Application à un cas canonique déduit de Costes et Bellonte ....... 13....................... Généralités ....................................... Catégorie I (programmation Informatique) ....................... 6.................................................................... 189 5............1 Analyse restreinte dans le plan diamétral des deux satellites ............................................................................. Note à propos d’Almicantarat .....................................................................1 Généralités ......................... 194 5................................................. Navigation hybride et coopérative pour la route intelligente ..... 7........................... Exercice de point astronomique à deux observations par Bodenez .................................................................... 142 Application de la méthode MPS 144 145 147 149 151 153 158 159 Chapitre 8 ........................................................... Programme PTPLSOM5 ................................................................................................................. 184 4........Navigation aux astres et aux satellites ---- Chapitre 6 .......................................................................................................................................................... 211 3......................................................... 208 Quelques compléments de mathématiques Annexe 2 ........ 250 Le Monologue du navigateur Jour 1 ...........3 Algorithmes de résolution en 3D ...................................................................... 240 de navigation pris dans la littérature 1.................................................................................................................................... Exercice de multilatération à huit satellites par Choi et Cicci ...................................... 3......................1 Critères du groupe a ........................................ 3......................................................................................... Ellipsoïde de référence WGS84 ............ 242 243 245 245 246 247 248 249 Annexe 4 ..................................... 5.................. Principes et environnement de programmation .... Reprise de la formulation .......................................................... Moindres carrés et matrice pseudo-inverse ....................................... Autres perspectives d’évolution de la méthode ...... Exercice de point à trois étoiles en approche directe par Bourbon ..................................................................................... 124 Chapitre 9 ..........................................................2 Critères du groupe b .. 7................................................................. Application au problème minimal d’un astre et de deux satellites ........................................... 4.................... 8............................................... 187 5.............................................................. 202 1.......................... 3......... 126 126 127 128 129 131 132 132 135 137 138 138 139 Chapitre 7 ....................... 254 7 ..... 8... 9...... 8.......................... Exercice de point astronomique à trois étoiles par Asken ...................................................................................................................................................................................... 162 Traitement par la MPS d’exemples 6 Annexe 1 ............................................................................................................................ 197 7................................................................... Exercice de multilatération à quatre satellites par Burnside et Dana................................ Exercice de multilatération à quatre satellites par Awange et Grafarend .................................................................................. Conclusion du chapitre .......................................................... 9................................................................................................................................. Exercice de multilatération à six satellites par Strang et Borre .......................................................... Avertissements .. Programme FOBSRID3.................................................................................................................................................................................................................. 5............................................................................................................... 7................ 2..................... Catégorie P (Pratique) ............................. 14..................................................................................... 6...................... 2................................................................................ 1............................................................................. Exercice de point astronomique à trois observations transportées par Botrel ........................ 3.. 1....................................................... Remarques communes aux exercices de multilatération par satellites ......................... Exercice de point astronomique à deux planètes et deux étoiles par Bennett ....................................... Résolution par un algorithme de relaxation ............. 12....................................................................................... Aperçu de la programmation de la MPS pour satellite ..... on répondrait ainsi aux préoccupations de l’OMI et plus précisément aux préceptes de sa convention Seafarers training. ainsi qu’il avait été envisagé de faire. avec en parallèle estimation de l’erreur . permettant la confrontation avec d’autres méthodes . conciliant ce que d’aucuns considéraient à tort comme dépassé. la cartographie – ENC. conjugaison polaire . notamment. quelle est la démarche de l’auteur ? Elle est méthodique. les navigations hyperbolique. calculs. Initiée par l’auteur dans les années quatre-vingt-dix à partir de l’utilisation des satellites. Elle est fondée sur des propriétés géométriques simples et fait beaucoup appel à l’algèbre linéaire. certification and watchkeeping (STCW). Avec la méthode du Plan des sommets. corrections. globale. autonome. Autorisant de nombreuses observations. en automatisant paramètres. de faire le « point ». le vif du sujet : . ECDIS – les algorithmes et l’automatisation du « triangle d’or » à savoir : . Mieux. programmation . cette méthode s’applique aussi à la navigation astronomique. les grandes découvertes. la conclusion dans laquelle force sera pour le lecteur d’admettre que la méthode du Plan des sommets. Copernic et Kepler. contrairement à celles que nous appellerons « méthodes différentielles » en regroupant « droites de hauteur » dans le plan et linéarisation dans l’espace.L’application à la navigation par satellite : paramétrage en altitude et itération. les grands voyages.---. Certains éléments en sont repris puis largement développés dans cet ouvrage.Les perspectives de développement autour de l’hybridation.] Au fond de l’inconnu pour trouver du nouveau. . 8 • Enfin. mais également la navigation astronomique.Des exemples concrets. ce travail a été abordé en 2006. actuellement prévue être assurée par un autre GNSS.Les fondements géométriques de la méthode du Plan des sommets : formulation du lieu des points liés à une observation. est à la fois universelle.. un ouvrage innovant. à savoir la navigation astronomique.La mise en équations de la méthode dans le cadre de la navigation astronomique : prédiction et correction. . . dont la liste des références bibliographiques. .identification et éphémérides . il va de soi. .L’application à la navigation astronomique – Présentation de logiciels .observations ou mesures . . la navigation astronomique « automatisée » pourrait assumer la redondance de la navigation par satellite. pour le GPS et le LORAN-C. En bref.L’intégration des traitements adéquats contre les singularités. particulièrement intéressante et conséquente. que l’on ne saurait suivre aveuglément. de manière à faciliter la tâche du navigateur. il fut un temps.. la trigonométrie sphérique et les tables de calcul. Baudelaire • Puis. avec changement de modèles piloté par indicateurs . la longitude par l’heure. inertielle et par satellite. en marginalisant les traitements non-linéaires. dans les règles de la convention Safety of life at sea (SOLAS) de l’Organisation maritime internationale (OMI). elle permet ainsi de traiter l’erreur. Enfin. fût-il estimé ou arbitraire. . indépendante de tout point. Ceci dit. aux vœux de l’OMI. conformément. C’est une méthode directe. avec la navigation par satellite. Pour cette application.» • Les principes des méthodes de navigation aux « amers célestes » où l’on retrouve les fondamentaux tels l’estime. c’est la revue Navigation de l’IFN qui a publié les premiers articles. . Cette convention exige en effet des navigateurs hauturiers qu’ils connaissent la navigation électronique. là encore. convergence. on pourrait hybrider les deux « systèmes ». directe et sûre. Ainsi.Navigation aux astres et aux satellites ---- Préface de l'Institut français de navigation • Tout d’abord quelques rappels indispensables : Un historique de la navigation : l’Antiquité grecque.calculs (électronique ou tables). Suivent plusieurs annexes. Jean-Louis GUIBERT Secrétaire général de l’Institut français de navigation 9 . La méthode du Plan des sommets constitue une autre manière de se positionner. tout en rendant la navigation plus sûre. « Etonnants voyageurs ! Quelles nobles histoires nous lisons dans vos yeux profonds comme les mers ! [. r l plaisir de voi pour ne jamais rien en dire. et que je sois très attentif à la vigoffatiice .introduction meil « Il sera nécessaire que j’oublie lenasom on. » sans espérance d’en jamais es Pascal dans les Pensé . et pour rieseun communiquer. plir mon car seulement ainsi je pourrai accoment ntes ! » lesquelles choses seront grandem fatiga d ue de son journal de bor Colomb dans le prolog « On ne voyagerait pas sur la mer. montrer concrètement que la navigation astronomique est elle aussi largement automatisable. Le premier vol Paris New-York de Costes et Bellonte sert souvent de fil conducteur. sous forme de « boîte grise ». mais a été d’abord appliquée au monde astronomique avant de retourner au monde satellitaire. et même intercepts et azimuts pour faire un point graphique à la main ! Dans chaque chapitre. mais le lecteur non friand de mathématiques pourra s’en affranchir et ne retenir que les principes qui sont. Il s’agit bien de navigation aux amers dans tous les cas ! 12 L’ouvrage s’adresse à des professionnels ou à des amateurs avertis. cette méthode a désormais fait ses preuves. Il en résulte une entraide possible des filières dans des circonstances difficiles. et que la méthode du Plan des sommets sait exploiter. une méthode de navigation astronomique ainsi basée est potentiellement généralisable à la navigation par satellite. l’exposé pourra s’appuyer sur l’une pour découvrir l’autre. et à une éventuelle hybridation. le travail fait appel purement et simplement à l’algèbre linéaire. en préservant éventuellement le meilleur : l’observation elle-même. Ces propriétés lui confèrent à la fois rigueur et robustesse. Sans augmenter la complexité du calcul. Deux objectifs sont visés simultanément : d’une part. Au lieu d'opposer navigation astronomique et navigation par satellite. sous forme d’application ou d’exemple numérique. initier l’utilisateur à la complexité qui se cache dans un récepteur de satellite et lui apprendre à critiquer les résultats que cette « boîte noire » affiche . Les méthodes modernes de navigation astronomique adoptent les coordonnées cartésiennes et la formulation matricielle. Elle est fondée sur des propriétés géométriques simples. prêt à revoler après sa restauration de 2002. Le Bréguet « ? » de Costes et Bellonte. traité en mode astronomique. afin de décomposer les opérations à leur guise : données d’éphémérides. donc le savoir-faire associé. d’autre part. Une telle portée est justifiée par la cohérence et la dualité qui existent entre les deux filières de navigation. En 4 dimensions. dans la catégorie indiquée par la lettre de préfixe. En pratique une méthode suffisamment puissante doit pouvoir s’appliquer à un même problème canonique. [S25] 13 . Elle a pris sa source dans le monde satellitaire. c’est-à-dire tradition et modernité.---. il est plus constructif de constater simplement que les deux filières traitent de la même problématique. sans toujours descendre dans le détail des expressions mathématiques. mais aussi d’identifier et de justifier les différences. estime. dont elle a adopté le référentiel et la formulation. mais la même formulation mathématique peut être adaptée. À des fins de compréhension. qui relève de l’art autant que de la technique. entre crochets. alors il pourrait tenir en cinq phrases : Cette approche répond à deux soucis conjugués : respect des valeurs éternelles et prise en compte des progrès techniques. la « boîte grise » leur permettra toutes les entrées/sorties intermédiaires. indépendante de tout point estimé ou arbitraire. Les lecteurs qui voudront approfondir certains sujets se reporteront à la bibliographie. plus largement documentés. en assumant un nombre important d’observations. non forcément spécialistes de navigation. La méthode MPS est une méthode globale et directe.introduction ---- Si cet ouvrage devait délivrer un message. Pour les navigateurs qui veulent travailler à l’ancienne. voire même évoquer la navigation côtière dans certains cas comparables. tels que [H12] : 12ème référence de la catégorie H (Historique). au moins une illustration concrète est fournie. c'est numériquement plus compliqué qu'en 2 dimensions. La formulation adoptée est compacte et évocatrice. L’approche proposée est quelque peu novatrice tout en se voulant didactique : le choix est fait de dégager le tronc commun culturel entre les deux navigations. sur les bases desquelles fonctionnent les récepteurs GPS. eux. et son application tant à la navigation astronomique qu’à la navigation par satellite. telles qu’elles sont transférées à l’outil informatique. Réciproquement. multiplier les observations permet d’estimer l’erreur sur le résultat et de bénéficier d’un effet de lissage statistique dans de bonnes conditions. l'une en 2 dimensions et l'autre en 4 dimensions. Elle privilégie les principes par rapport à leur formulation et la formulation par rapport aux calculs. À cet effet. En 15 ans d’existence. puis en mode satellitaire. La rédaction a été conduite dans un esprit de vulgarisation. Mais. à quelques transformations intermédiaires près. des renvois ciblés sont insérés dans le texte. notamment au voisinage des singularités géométriques qui affectent la plupart des méthodes matricielles. L’objet essentiel de l’ouvrage est de présenter la méthode du Plan des sommets (MPS). auparavant inexploitées.Navigation aux astres et aux satellites ---- ---. en fonction du nombre d’observations considérées (2. Il aborde la mise en équations. Les variables de mesure. communications publiques ou privées).---. 15 . Ce chapitre anticipe aussi en abordant la programmation pour la navigation par satellite. qui est joint dans une pochette en troisième de couverture.introduction ---- Le chapitre 1 présente un raccourci de l’Histoire de la navigation.Navigation aux astres et aux satellites ---- ---. Enfin. et le calcul du point. Il présente les diverses formulations du lieu des points liés à une observation. des exemples concrets au-delà des cas canoniques déjà étudiés. On distingue singularités intrinsèques (connues de beaucoup de méthodes matricielles) et singularités extrinsèques (connues de toutes les méthodes). en reprenant l’orientation de la présente introduction. La version v3 d’ASTROLAB est jointe à la présente édition et le lecteur pourra l’utiliser pour suivre et reproduire certains 14 Le chapitre 7 est consacré à l’application de la méthode du Plan des sommets à la navigation par satellite. Beaucoup sont des reprises de cas tests utilisés par des grands auteurs de navigation classique. Un cas canonique de validation est présenté dans le détail. ni encensement systématique de tout ce qui se fait en navigation par satellite. De nombreux livres y ont déjà été consacrés et il y en a d’excellents dans les deux domaines. les rôles de l’estime et de la cartographie y sont identifiés. Dans cet ouvrage. L’ordre de grandeur de l’erreur est également illustré. L’Annexe 1 contient quelques compléments de mathématiques. Le chapitre 3 est consacré aux fondements géométriques de la méthode du Plan des sommets. Il introduit le Plan des sommets dans la géométrie et énonce les théorèmes – et réciproques – sur lesquels s’appuie la méthode. Le chapitre 4 finalise la mise en équations de la Méthode MPS dans le cadre de la navigation astronomique. Toutes les régressions sont effectuées au sens des Moindres Carrés. sur support CD-ROM. C’est le chapitre le plus orienté vers la pratique. Il fait apparaître la notion de conjugaison polaire. de l’approche différentielle locale aux méthodes directes globales. ou plus). le lecteur ne trouvera pas matière à ranimer la querelle « des Anciens et des Modernes » : ni tentative de pérenniser la navigation astronomique classique. La précision et d’autres aspects propres à la métrologie sont pris en compte et discutés. Les différentes classes de méthodes (directes. et plus précisément depuis l’introduction de la mesure du temps dans la navigation astronomique jusqu’à la maturité actuelle de la navigation par satellite. L’Annexe 2 fournit une liste de références bibliographiques (ouvrages. différentielles) sont caractérisées. Le chapitre 6 est dévolu à l’implémentation informatique de la méthode du Plan des sommets. des exercices. avec des outils tels que Scilab ou Matlab™. La méthode du Plan des sommets est positionnée dans ce contexte technique. L’exposé permet ainsi de situer la méthode du Plan des sommets dans le panorama général. Ce raccourci esquisse l’évolution des techniques utilisées : des balbutiements de la trigonométrie sphérique à l’inversion de matrices dans un repère cartésien géocentré . Il présente également l’architecture et les principes d’hybridation conventionnelle avec d’autres vecteurs. dans un contexte réaliste face aux éléments. autonomes. L’Annexe 3 consiste en une notice d’utilisation du logiciel ASTROLAB v3. Des exemples incluant le transport d’observations sont présentés et confrontés. Il montre les avantages et inconvénients de la MPS par rapport à d’autres méthodes à vocation purement satellitaire. L’étape de correction intègre l’estimation de l’erreur dans le Plan des Sommets. la plupart appelées dans l’exposé. Il en étudie la convergence et présente les résultats de cas canoniques. en toute homogénéité. sur la base d’un même référentiel cartographique. en support ou en démonstration de certaines parties plus techniques de l’exposé. Des indicateurs (DOP) sont définis comme c’est le cas avec d’autres méthodes terrestres ou satellitaires. d’abord pour la navigation astronomique. dont l’auteur a piloté la version originelle. la conclusion propose une synthèse des matières présentées dans le corps de l’ouvrage. Ce logiciel comprend 5 programmes en code exécutable. ainsi que leurs conséquences pratiques. Le chapitre 2 reprend et consolide les bases communes des méthodes de navigation aux amers célestes. Il évoque le logiciel Almicantarat. 3. la résolution est décomposée en deux étapes : prédiction puis correction. Le chapitre 8 rassemble. à titre comparatif. Il présente un logiciel pour sa mise en œuvre : ASTROLAB. dont certains figurent en bibliographie. Il explique l’objectif visé et les conditions d’une telle application : paramétrage en altitude et itération sur celle-ci. qui tourne directement sur des Palm PC ou sur des mini PC portables. Pour un aboutissement en 2 dimensions. Le chapitre 5 revient sur les singularités de la géométrie et procède à l’intégration des traitements adéquats dans la MPS. itératives. On y définit le « Triangle d’or » entre la reconnaissance des amers. L’Annexe 4 est une fantaisie littéraire qui présente un monologue imaginaire du navigateur praticien de la méthode du Plan des sommets. issus de Scilab. leur observation. Ces indicateurs sont exploités pour le basculement entre modèles. Le chapitre 9 évoque les perspectives ouvertes par la méthode du Plan des sommets pour l’hybridation native des relevés d’astres et de satellites. articles. iqu Par extension log de navigation s’est étendue tion no la nt. me ure rie lté U e.. vir na un re condui » aux domaines aérien.Chapitre 2 que au monde « Il s’y entendait mieux que quiconast ation ronomique. n ctio l’a ou rt l’a est n atio « La navig et le plus commode.» rt cou s plu le . sûr s plu le n mi che le dans un autre par s l’Encyclopédie Diderot dan hodes Principes des mét de navigation es aux amers célest à voyager sur l’eau.» on ati vig na la à r ne don de son rai a « On mmandant Charcot Co viguions beaucoup na us no ? pas oiqu our P le sur is éta j’ « Quand astronomiques. ier. « Naviguer consis rt et la science de l’a ent lem éga fie ali qu me ter ce e. ou er lac dép se à el. gin ori s sen au te. Fourn salis s l’Encyclopedia univer Guibert et Mannevy. Carel. dan le qualificatif d’Art.» à l’estime du point ainsi qu’à la navig de Magellan Pigafetta. » ns o ati erv obs les nt e ai gên rd No du s me à l’estime. car les bru dessus Marin Marie dans Vent .] de conduire un navire d’un [. terrestre et spatial. à propos lieu . Florentin. La géolocalisation fait appel à une représentation sur des cartes numériques précises. désignent des scalaires . aux Phéniciens. tels que Landsat. À titre de contre-exemples. Un outil de base est constitué par une ou des cartes ou encore une représentation du contexte physique de bout en bout. En effet. 47 . Pour corriger la trajectoire. Helios. Par défaut. La géolocalisation suppose la mise en cohérence des systèmes géodésiques. • les majuscules en gras et les tableaux entre grands crochets désignent des matrices. on dispose de moyens de commande sur le cap et la vitesse instantanés. à l’aide de moyens d’observation. que l’on peut qualifier de triangle d’or : 1. ce patriarche paraît avoir construit l’arche sur les conseils de Dieu même : les hommes étaient alors non seulement ignorants dans l’art de naviguer.Navigation aux astres et aux satellites ---- En plus du rappel des fondamentaux. c’est-à-dire veille à une bonne efficacité du périple. de contrôle et de commande. Typologie des systèmes La terminologie moderne considère les systèmes de localisation en tant que notion générique. Les historiens. avec des ajustements successifs. calcul de la position (et de variables dérivées) à bord du mobile. fixe ou non. la navigation désigne la conduite structurée d’un périple. à la suite des opérations 1 et 2. mesures et corrections. • les minuscules en gras et les colonnes entre grands crochets désignent des vecteurs . eux. ---. ou au moins des variables − cap et vitesse − qui permettent de reconstituer cette trajectoire. ainsi que d’autres systèmes associant GPS et téléphonie cellulaire. Le cœur du problème de la navigation est la connaissance de la position et de la trajectoire du porteur. le coût. mais même persuadés que cet art était impossible ! » [H29]. y compris pour l’annexe 1. qui en donna le premier modèle dans l’arche qu’il fit bâtir par Noé. c’était au départ une application purement militaire. rapportaient l’origine de cet art aux Eginètes. entre un point de départ et un point de destination identifiés. le suffixe NAVSTAR de ses débuts était plus approprié (Navigation system by timing and ranging). minuscules ou majuscules. 46 Pour le cœur de leur fonctionnement. Pléiades… Pour des raisons évidentes. les systèmes CLSArgos ou Sarsat restent par essence des systèmes de positionnement. la durée. Notations Dans ce chapitre.---. capacités et impossibilités de manœuvre. ou plutôt sur une distribution dans le temps de ceux-ci... comme dans tous les autres. • La tactique a pour objet de négocier localement les contingences : obstacles naturels ou liés au trafic. où la position du mobile est recherchée en un ou plusieurs centres distants (par exemple pour le suivi de flotte).Chapitre 2 ---- 2. réparties aux pointes d’un triangle métrologique. l’estime est mise à contribution. ce que permettent les technologies modernes. où la mesure est faite et la position recherchée à bord du mobile (l’observateur est embarqué) . règlements. Et enfin. Au sens conventionnel. ce chapitre a pour objet de mettre en place l’environnement général de la navigation et d’invoquer certains concepts et outils auxquels il sera fait appel dans les chapitres suivants. Selon l’Encyclopédie. la sauvegarde des passagers ou de la cargaison. élaborées de plus en plus par vectorisation (couches successives). 3. La navigation obéit à la fois à des consignes de stratégie et de tactique : • La stratégie dicte la trajectoire idéale. « la Bible attribue l’origine d’une si utile invention à Dieu même. identification et positionnement d’amers inertes ou d’objets plus ou moins coopératifs . • les systèmes de positionnement. les notations adoptées sont les suivantes : • les lettres normales. basés sur la mesure de l’effet Doppler des balises de détresse par le satellite. C’est ainsi que le système Omnitracs (Euteltracs pour l’Europe) est devenu un système de positionnement. Mais il faut reconnaître que la mission d’un système peut passer de navigation à positionnement et vice versa si l’on ajoute des télécommunications. malgré son nom trompeur (Global positioning system) . 3. Le GPS l’est aussi. à partir d’images de satellites défilant à basse altitude. aux Tyriens et aux Celtes. Le triangle d’or en navigation 1. Spot. à partir de ces amers ou objets en tant que base de mesure . les poètes anciens attribuaient à Neptune l’invention de l’art de la navigation. De tels systèmes réalisent trois opérations essentielles. éléments contraires. La couverture de ces notations est globale. la plupart des systèmes de navigation prennent appui sur une infrastructure. 2. La rigueur des appellations a été rétablie pour les successeurs GNSS (Global navigation satellite system). couvrant à la fois : • les systèmes de navigation. extérieure aux mobiles qui l’utilisent. Les systèmes existants jusqu’aux satellites étaient bien des systèmes de navigation. Une attention particulière est portée à la maîtrise de la précision et quelques avancées seront faites en la matière. les récepteurs GPS sont devenus multicanaux (jusqu’à douze ou même vingt-quatre en GPS étendu au GLONASS ou à EGNOS). qui procèdent numériquement. La navigation astronomique conventionnelle a dissocié longtemps les trois opérations du triangle d’or : identification visuelle et éphémérides papier . qui introduiraient de la dilution de précision (DOP en anglais). mesures au sextant . quelle que soit la technologie support (papier ou électronique). les résultats calculés sont évidemment utilisables et bienvenus pour recaler cette estime. De tels amers sont objectifs. il suffit de deux observations astronomiques. Chaque méthode de navigation s’efforce de traiter le triangle d’or le plus efficacement possible et d’accepter en entrée un nombre n suffisant d’objets. Figure 2. Les méthodes itératives modernes du GPS ont acquis une certaine tolérance à l’initialisation. En revanche.1 représente l’environnement de navigation ainsi défini [S13] [S15]. pour remplacer la résolution graphique.---. Un intérêt essentiel de la méthode de Marcq Saint-Hilaire est de ne nécessiter aucun transport de droites de hauteur. les méthodes itératives. On peut en outre distinguer les méthodes autonomes et les méthodes différentielles. Enfin. ces systèmes s’intègrent dans une démarche globale où l’estime et le suivi cartographique restent − et resteront − le fondement et la référence. les méthodes directes. qui prétendent à un résultat exact. c’est-à-dire qu’ils délivrent des informations indépendantes des mobiles qui l’utilisent. on en est venu à implémenter des solutions analytiques. l’objectif étant d’apprécier et ensuite d’améliorer la précision du résultat.Chapitre 2 ---- vertus de la statistique. 2. À titre de contre-exemple. basé sur des répondeurs radars fixes. À cet effet. tout en éliminant les configurations quasi singulières. Cette propriété disparaît si l’on fait appel à des points arbitraires. notamment pour leur identification et leurs éphémérides. Le multiplexage de codes permet d’assurer la simultanéité sans dispersion entre canaux. en général issu d’une formulation analytique. Une solution intermédiaire a été d’automatiser partiellement les traditionnelles procédures manuelles. GLONASS. Par exemple. Les modes DGPS et surtout RTK du GPS ainsi que la méthode astronomique de Marcq Saint-Hilaire restent par définition des méthodes différentielles. il en faut respectivement trois et quatre. On y reconnaît le triangle d’or. Une méthode différentielle est étroitement liée à son point d’appui. le système de navigation Racon. procède par interrogation suivie d’une réponse sélective de chaque répondeur. Pour apprécier la précision.Navigation aux astres et aux satellites ---- ---. comme avec les tables HO 249. tant qu’elle s’appuie effectivement sur des points estimés : c’est une propriété qui est liée au caractère différentiel de la méthode et qui a été pleinement exploitée par la Marine nationale. inexploitable avec un nombre n d’observations croissant. pour résoudre le problème de la position en mer. par approximations successives et qu’il faut initialiser et arrêter. Mais les corrections et les multiples reports. La couverture est évidemment limitée par la portée radar. Une méthode autonome permet de s’affranchir de toute entrée auxiliaire liée à l’estime. Une méthode autonome n’a pas d’exigence sévère pour son initialisation. ou de trois mesures de satellites. calcul des hauteurs par les tables et résolution graphique sur la carte ou sur un canevas de carte. Mais il en faut plus pour bénéficier des 48 4. Classification des méthodes En navigation par satellite comme en astronomie. 49 .1 : le cœur des systèmes de navigation Plus généralement. volontairement particularisé aux cas de la navigation astronomique et de la navigation par satellite. Les amers sont des objets célestes identifiés et leur positionnement passe par la connaissance de leurs éphémérides. sont source de bévues et la lourdeur des opérations n’encourage pas à multiplier les observations. il existe deux classes de méthodes de calcul : 1. Les satellites (GPS. internes au triangle d’or. La Figure 2. les GNSS2 dont Galileo) sont des objets plus coopératifs que les astres. L1 Table 2.L1 1) Calcul G2 . ci-après). Un changement de variable t = tg(L/2) facilite l’opération : 1 1 dG = tg C . car autant que les méthodes rationnelles. l’estime obéit à des équations différentielles simples : dL = dD . ---. la différence en longitude. dL / cos L où les infinitésimaux de distance parcourue D.2 : infinitésimaux autour d’un point assujetti à une sphère 50 L’estime traditionnelle − par voie graphique sur une carte papier − est bien un art.G1 = tg C . au point courant d’une sphère. ( L2 .L1 ) C’est l’équation d’un arc de loxodromie.G1 3) Calcul L2 . Les techniques et l’art de l’estime Concernant l’estime proprement dite. Le processus est bien connu. de Latitude L et de lonGitude géographique G sont liés par le Cap vrai C .---. dt + 2 1− t 1+ t 1-t G = tg C . Il conditionne également le facteur d’échelle d’une carte en projection conforme (cf. L + Cte où |L| = Log 1+ t 1. les deux autres sont [accessibles] par les tables. Les relations entre infinitésimaux sur la sphère sont représentés à la figure 2. le terme cos L traduit le rapport local entre unités de Latitude et de lonGitude. tg C .Chapitre 2 ---- Pour une route prolongée à cap vrai constant. » En termes plus mathématiques.2.L1 3) Calcul G2 . 2 ⋅ dt = 2 . sin C / cos L = tg C .1 : calcul de l’estime Figure 2. On en déduit : G2 . C’est la notion de Latitude croissante qui dicte l’écartement graduel des parallèles vers le pôle.t π L = Log tg + 4 2 fonction appelée « Latitude croissante ». cos C dG = dD . C’est lui qui permet d’apparier les distances suivant les deux axes. l’Encyclopédie en donnait une description qui garde sa valeur [H29] : « Tout l’art de la navigation roule sur quatre choses. de la variation magnétique (déclinaison + déviation) et de la dérive. sur la carte de Mercator équatoriale (+ 5 % à 30° . La procédure de calcul analytique de l’estime se résume ainsi aux séquences de la table suivante : Corrections + calcul Cap vrai C et Distance D Cas général C ≈ 90° ou 270° 1) Calcul L2 . la distance ou le chemin parcouru et le [cap] sous lequel on court. Le cap vrai est la résultante vectorielle du cap compas. . dont deux étant connues.L1 2) Calcul L2 . elle mobilise le « sens marin » et l’appré51 .Navigation aux astres et aux satellites ---- 5. La distance parcourue s’exprime par intégration directe de la première équation différentielle : D= L2 − L1 cos C sauf aux caps où la latitude varie peu et où l’on passe alors par la longitude [N4] : D= G2 − G1 ⋅ cos L sin C pour C ≈ 90° ou 270°. Ces quatre choses sont la différence en latitude.G1 2) Calcul L2 . qui apparaît comme un segment de droite sur une carte conforme. les échelles et les cartes. dans le cas général il faut intégrer la seconde équation différentielle. + 12 % à 60°…). Le segment y est explicitement orienté selon le cap C. il existe aujourd’hui trois types de cartes : • des cartes en projection cylindrique. Mais il se trouvait que ce système fonctionnait en mode de repli sur son estime propre. En simplifiant volontairement. Eléments de cartographie Le principe générateur de la cartographie est de représenter sur un plan la surface de la Terre. ni des doutes sur l’identité des bouées de chenal. pour savoir ce qui est nécessaire à un bon navigateur. le contact à la carte est un grand cercle ou une géodésique . à des formules analytiques ou aux deux combinées. 6. mais depuis le centre de la Terre et non depuis un pôle. une pour la route de New York. la liaison à l’antenne GPS ayant été détériorée ! Après la traversée des courants du Gulf Stream. L’officier de quart. 53 . De ce fait. Toujours le facteur humain… [N2] [N3]. Notamment. depuis la France métropolitaine. Elle conserve la circularité. d’excuser celui qui l’a fait […en ce qu’il] n’a vu décrit ailleurs. l’échouement du paquebot de deux cent quatre mètres Royal Majesty à l’est de Nantucket en 1995 donne une leçon à méditer : ce paquebot faisait la traversée des Bermudes à Boston (six cent quatre-vingts milles) sous pilote automatique programmé. de type Mercator : le centre de projection est le centre de la Terre . au pôle opposé . jusqu’à un certain seuil que le navigateur perçoit en fonction de sa sensibilité. conscient de l’atterrissage proche du cap Cod. Certes. Les modèles de Hilleret (contact équatorial) et de Gernez (contact polaire) obéissent à ce principe. le centre de projection est le centre de la Terre . auquel il avait été peu formé. elle est susceptible d’erreurs. Il existe d’autres types de projections. Les systèmes de navigation récents permettent d’assister. Cela peut éviter certaines erreurs. Cette propriété. où la loxodromie perd de son intérêt. La projection stéréographique est utilisée surtout pour la navigation circumpolaire. La règle absolue est de recouper les informations de différentes sources. Parmi d’autres accidents instructifs. De telles erreurs peuvent se cumuler. du moins localement. Au-delà. l’erreur non détectée atteignait dix-sept milles. sachant que celle-ci est gauche par essence : sphère. a été exploitée directement par Boissaye du Bocage pour son « cercle universel » de 1683 [N7]. à la main si le système ne le fait pas. c’està-dire que tout cercle sur la Terre se traduit par un cercle sur la carte. qui ressemble à la projection stéréographique. sans se préoccuper ni du sondeur. notamment liées à la vitesse. mais aussi de son degré d’attention. les orthodromies (arc de géodésique de la Terre) sont représentées par des segments de droites.Chapitre 2 ---- • des cartes en projection stéréographique plane : le centre de projection est un pôle de la Terre . je te supplie d’agréer ce petit traité et s’il n’est selon ton sentiment. Elle a été reprise récemment par Stuart dans sa méthode de calcul du point astronomique [H69] [H70]. avec une formule sur la progression des rayons des parallèles. profitable à ceux qui voudront s’en servir. voire d’automatiser l’estime sur carte électronique. Cette opération se fait par projection à partir d’un centre puis éventuellement déroulement de la cible (cas d’une projection cylindrique ou conique). La projection obéit à des règles géométriques. le contact à la carte est un petit cercle de support normal à l’axe . Avec ce type de projection. Le Shom a publié quatre cartes océaniques de Hilleret. elle conserve aussi les rapports de dimensions et la forme des contours. apprenant tant par expérience que par instruction reçue de plusieurs bons navigateurs. La terre n’a pas été repérée à temps.Navigation aux astres et aux satellites ---- ciation in situ. applicable aux cercles de hauteur. notamment ce qui est des estimes et des cartes marines. Le cercle de contact est souvent l’équateur : les cartes sont alors exploitables jusqu’à une latitude d’environ 70°. ellipsoïde ou géoïde suivant la finesse d’approximation. l’autre pour la route des Antilles (dite du Rhum). paragraphe 5) introduit des distorsions trop fortes. La pratique incite plutôt à la modestie. désormais moins utilisés. La projection polaire a été utilisée par l’IGN pour les cartes de Lambert. Mais il existe également des cartes de Mercator dont le cercle de contact est un méridien : c’est le cas des modèles UTM utilisés pour la cartographie terrestre (Universal transverse Mercator). La plupart des cartes sont en projection de Mercator. » [N1]. La propriété essentielle recherchée est la conformité : une carte est dite conforme si elle conserve les angles (par exemple les angles de cap). mais non dispenser de vigilance et d’un minimum de sens critique.---. la projection orthodromique (dite aussi gnomonique). de son intuition. la formule de projection par latitude croissante (cf. le plus souvent l’axe du cône est l’axe des pôles et le petit cercle de contact est un parallèle de la Terre. En passerelle. puis du Labrador. D’autres s’appuient sur un grand cercle (géodésique) oblique : le Shom publie deux de ces cartes. la route ayant dévié de plus de 4°. Ainsi le facteur humain joue. [Ami lecteur]. assurant la conformité. a fait une confiance aveugle au système. à la dérive et à la fréquence de leur rafraîchissement. ce qui est fort utile. le contact à la carte est un point du plan. il disposait d’un système de navigation intégré. [il m’a plu de] faire un petit traité intelligible. comme l’affichait déjà Champlain : « Après avoir passé trente-huit ans de mon âge à faire plusieurs voyages sur mer […]. • des cartes en projection conique . 52 ---.