Introducción a la Lógica MatemáticaChristopher Lawrence ARONI YANGALI Página | 1 Introducción a la Lógica Matemática INDICE DEDICATORIA INTRODUCCIÓN COMPETENCIA INSTRUCCIONES LOGICA PROPOSICIONAL 1. Nociones de Lógica Proposicional 1.1Definición 1.2Proposición 2. Clases de Proposiciones 2.1Proposiciones Simples o Atómicas 2.2Proposiciones Compuestas o Moleculares 3. Operadores o Conectivos Lógicos 3.1Operador Singular 3.2Operador Binario 3.3Número de Combinaciones para el Valor de Verdad 3.4Conectivos Lógicos y sus Tablas de Verdad 3.4.1 La Negación 3.4.2 La Conjunción 3.4.3 La Disyunción Inclusiva 3.4.4 La Disyunción Exclusiva 3.4.5 La Condiconal 3.4.6 Negación Conjunta o nicod 3.4.7 Negación Alterna o Shaffer 4. Evaluación de Fórmulas 5. Leyes del Álgebra Proposicional 6. Simplificación de Fórmulas 7. Circuitos Conmutadores y Cuantificadores EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS AUTOEVALUACION Christopher Lawrence ARONI YANGALI Página | 2 Introducción a la Lógica Matemática INTRODUCCIÓN APELAMOS A TU ENTUSIASMO E INICIATIVA DE SUPERVICION al iniciar El presente capítulo te brindará los conocimientos básicos para el el estudio del presente manual auto aprendizaje de Lógica - Matemática. instructivo. ¡NO OLVIDES! Tu éxito en el estudio del manual optimizará tu trabajo cotidiano, y consolidará tu formación personal. DESEANDOTE ÉXITO en tu autoeducación, procede ahora a LEER las instrucciones. El capítulo te absuelve la siguiente pregunta: ¿Cómo interpretar y utilizar correctamente el lenguaje simbólico de las proposiciones, conectivos y cuantificadores, y relacionar estas nociones con la matemática? DESEAMOS APOYARTE EN EL CONOCIMIENTO DE LOS ASPECTOS BASICOS DE LA MATEMATICA Christopher Lawrence ARONI YANGALI Página | 3 Introducción a la Lógica Matemática 3.1. Al culminar con la lectura del tema y subtemas de la Unidad de Aprendizaje, COMPRUEBA SI HAS LOGRADO LA COMPETENCIA, respondiendo a la autoevaluación respectiva. 3.2. COTEJA TUS RESPUESTAS Los RECUADROS O DIBUJOS que refuerzan visualmente la idea Con la clave de respuestas, central. califícate y ubícate en la Tabla de Valoración. Prosigue luego con tu auto instrucción de acuerdo con las indicaciones. 3.3. Si CONCLUYES SATISFACTORIAMENTE Espera la convocación a la sesión de refuerzo y evaluación directa que te será comunicada por el Coordinador responsable de la Educación a Distancia. 2.3 DISPONE DE ó SEMANAS UTILES ¡Tarea cumplida! Máximo para estudiar la Unidad de Aprendizaje. ¡Estoy listo para la Evaluación Directa! 3. AUTOEVALUACIÓN Christopher Lawrence ARONI YANGALI Página | 4 Introducción a la Lógica Matemática 1.3 Dedica NOVENTA MINUTOS a DIARIO como mínimo a tu autoeducación. INSTRUCCIONES La EDUCACION A DISTANCIA significa APRENDER temas supeditados A TU PROPIO RITMO E INTERES, mediante manuales auto instructivos que reemplazan al profesor, TE COMUNICAMOS LAS REGLAS que deberás tener en cuenta para tu autoeducación. 1. CONDICIONES DE ESTUDIO 1.1 Cultiva hábitos de ESTUDIO, es decir estudia en un LUGAR adecuado. 1.2 EL LUGAR que elijas debe ser TRANQUILO, cómodo e iluminado. Christopher Lawrence ARONI YANGALI Página | 5 Introducción a la Lógica Matemática 1.4 CONCENTRATE en el estudio durante el tiempo asignado a tu autoeducación. 2. ESTUDIO DEL MANUAL AUTOINSTRUCTIVO 2.1 LEE LA INTRODUCCIÓN, INDICE Y EL OBJETO DE CADA UNIDAD Con ello absuelves tres preguntas: ¿Por qué el Tema? ¿Qué desarrolla el Tema? ¿Qué aprenderé? 2.2 AL ESTUDIAR CADA UNIDAD DE APRENDIZAJE: 1ro RESPETA EL ORDEN de los subtemas de este tema. 2do Dedica UNA PRIMERA LECTURA atenta y completa al tema y subtema respectivo. ¿Cómo leo el Tema? ¡Punto por punto¡ ¡Hasta culminarlo! 3ro Ejecuta una SEGUNDA LECTURA fijando tu interés y entendimiento en: La IDEA CENTRAL resaltada con MAYUSCULAS. Christopher Lawrence ARONI YANGALI Página | 6 1. NOCIONES DE LOGICA PROPOSICIONAL 1.1 DEFINICIÓN La lógica es la ciencia de los principios de la inferencia válida. 1.2 PROPOSICIÓN Es un conjunto de palabras que niega o afirma una verdad, pero nunca verdadero o falso simultáneamente. Estas se denotan con letras minúsculas, tales como: p, q, r, s, v, w, etc. En este caso que sean muchas proposiciones se emplean sub-índices, así vemos: pi, p 2, P3, P4, p¡,... pn. Si una proposición "p" es verdadera se dice que su valor de verdad es V, se escribe V(p) = V y se lee "valor de verdad de "p" es falsa su valor de verdad es F, se escribe V(p) = F y se lee "el valor de verdad de p es igual a F". Ejemplos: PROPOSICIÓN VALOR DE VERDAD 1) p : Albert Einstein nació en EE.UU V(p) = F 2) q: 5! = 2 V(q) = F 3) r: El número 8 es divisible por 2 V(r) = V 4) s: El triángulo tiene 4 lados V(s) = F Ten en cuenta de aquellos enunciados que expresan una pregunta, una orden o una exclamación, son expresiones no preposicionales. Ejemplos: 1. ¿Qué hora es? 2. ¡Arriba Alianza¡ 3. Cállate 2. CLASES DE PROPOSICIONES 2.1 PROPOSICIONES SIMPLES O ATOMICAS Son aquellas que están constituidas por una sola proposición. Ejemplos: p : El Basic es un lenguaje de programación. q : Los peruanos no son latinoamericanos. r: 3 es un número impar. 2.2 PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES Son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples. Ejemplos: p : 5 es un número primo y es un número par. q : El cuadrado es un sólido o un polígono. r: El manzano crece, entonces lo han regado o ha llovido. 3. OPERADORES O CONECTIVOS LOGICOS Se les llama también símbolos coligativos y son aquellos símbolos que sirven para conectar o relacionar proposiciones, son de dos tipos: singulares y binarios. 3.1. OPERADOR SINGULAR Es aquel que afecta solamente a una proposición simple. La negación, simbolizada por"~" es el único operador singular. 3.2. OPERADOR BINARIO Es aquel que afecta a dos o más proposiciones y son: La conjunción La disyuntiva inclusiva La disyuntiva exclusiva La condicional La bicondicional La negación alterna A continuación mostramos un diagrama, donde se señala su correspondiente señalización y lectura OPERADORES Y CONECTIVOS LOGICOS CONECTIVO OPERADOR SIMBOLO EJEMPLOS SIMBOLIZACIÓN LOGICO Negación No ... No hace frió ~p Conjunción ...y. Hace calor y solea pq Disyunción ...o... Leemos o copiamos pq inclusiva Disyunción o...o... 0 voy al Instituto o a p q exclusiva la discoteca Condicional si... entonces Si estudias entonces pq apruebas matemática Aprueba matemática Bicondicional ...si y sólo si Si y sólo si estudian p q Negación Ni... ni... Ni hace calor ni solea pq conjunta Negación | No es cierto que No es cierto que p|q alterna ...y... Andrés estudia en el ISTy en la UNCP 3.3 NUMERO DE COMBINACIONES PARA EL VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN Si se tiene "n" proposiciones simples y llamadas a N como el número de filas que resulta de todas las combinaciones posibles de las V y F de estas proposiciones, entonces: N = 2n, donde n : número de proposiciones simples. Así tenemos: N° PROPOSICIONES N = 2n TABLA DE SIMPLES FILAS 1 N =21 1 2 N =22 4 3 N =23 8 4 N =24 16 … … … 3.4 CONECTIVOS LOGICOS Y SUS TABLAS DE VERDAD 3.4.1 LA NEGACIÓN La negación de la proposición "p": "p es la proposición ~p", que se lee: "no p", cuya tabla de verdad es: P ~P V F F V Otros términos que conducen a la Negación son: Es falso que ... No es cierto que ... No ocurre que ... No es verdad que ... No es el caso que ... Es imposible que ... Ejemplos: 1. Sea la siguiente proposición: "p" : 5 es un número par. El valor de verdad de "p" es F, entonces negando se tiene: ~ p : 5 no es un número par. ~ p : 5 es un número impar. 2. Sea la siguiente proposición: "q" : Log 100 = 2 , el valor veritativo de "q" es V, entonces negando tenemos: ~q : Log 100 = 2 ~q : No es cierto que log 100 = 2 ~q : Es imposible que log 100 = 2 ~q : No es verdad que log 100 = 2 El valor de verdad de ~q es F. 3.4.2 LA CONJUNCION La conjunción de las proposiciones "p" y "q" es "p a q", que se lee: "p y q", cuya tabla de verdad es: pq pq VV V VF F FV F FF F Otros términos equivalentes a la conjunción son: Tanto p, como también q. No solo p, sino también q. p, pero también q. Ejemplos: 1. El 10% de 50 es 5 y el 30% de 20 es 6. Se trata de la conjunción de las proposiciones: p : El 10% de 50 es 5.......(V) q : El 30% de 20 es 6.......(V) Luego "p q", será verdadera sólo si p y q son simultáneamente verdaderas y será falsa en tos otros casos. 3.4.3 DISYUNCION INCLUSIVA Disyunción inclusiva de las proposiciones simples p y q es la proposición "p q" y se lee: "p o q", cuya tabla de verdad es: pq Pq VV V VF V FV V FF F "Convendremos, a partir del significado cotidiano del conectivo "o", que "p v q" es verdadera si por lo menos una de las proposiciones componentes es verdadera y falsa sólo si ambas son falsas. Ejemplos 1. 5 es un número natural o -7 es un número racional. Es • del tipo de la Disyunción Inclusiva, donde p : 5 es un número natural........(V) q : -7 es un número racional......(V) Luego, p q es verdad, según la tabla de verdad. 2. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 360° o es 90°, entonces se tiene: p : La suma de los ángulos Internos de un triángulo es 360° (F) q : La suma de los ángulos internos de un triángulo es 90° (F) Luego, p v q = F 3.4.4 DISYUNCION EXCLUSIVA El conectivo "O ... o ...", nos da la carga de separación total; de 'disyunción definitiva. La disyunción exclusiva de las proposiciones simples p y q es p y q y se lee: ,"0 p o q", cuya tabla de verdad es: p q Pq V V F V F V F V V F F F También se considera a la disyunción exclusiva como diferencia simétrica y se simboliza por: p - * - q. Ejemplos: 1. La capital del Perú es Huancayo o Lima, pero no ambos. Se tiene: p : La capital del Perú es Huancayo.................................(F) q : La capital del Perú es Lima.........................................(V) Luego: p * q = V 2. La suma de los tres primeros números naturales es paro impar, pero no ambos. Entonces: p : La suma de los tres primeros números naturales es par(V) q : La suma de los tres primeros números naturales es impar... (F) Luego: p v q es V 3.4.5 LA CONDICIONAL Dadas las proposiciones p v q, se denomina proposición condicional a la que resulta de unir p y q por el conectivo "si ... entonces", que se denota por e! símbolo "", se lee: "si p, entonces q". La proposición p se denomina antecedente y la proposición q, consecuente. P q Pq V V V V F F F V V F F V La condicional es falsa solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadera en todos los demás casos. Otros términos que conducen a la condicional, son: p solo si q p es consecuencia para q p luego q p por lo tanto q p de modo que q p cada vez que q Ejemplos: 1. Si p : 2 es un número impar......(V) q : 2 es un número primo............(F) Luego: p q : 2 es un número impar, por consiguiente 2 es primo. p q : 2 es un número par, entonces 2 es primo. p : 2 es un número par, es suficiente para que 2 sea primo. El valor de verdad de p => q es falso. Si a=b, entonces a2=b2 donde: p : a=b q : a2=b2 Luego p q es verdad, y p y q toman el mismo valor veritativo en cada caso. FORMAS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES: RECIPROCA, INVERSA Y CONTRARECIPROCA Toda proposición condicional se le asocia otras tres proposiciones, igualmente importante, en las cuales se demuestran teoremas, y son: Recíproca, Inversa y Contrarecíproca. Llamando también proposición directa a la condicional: "pq" (si p entonces q), entonces denominaremos proposición: RECIPROCA : De la implicación "q p" INVERSA : De la implicación "~p q" CONTRARECIPROCA: De la implicación a la proposición "~q ~p" Las tablas de verdad correspondiente a las proposiciones mencionadas son: PROPOSICIONES DIRECTA RECIPROCA INVERSA CONTRARECIPROCA p Q pq qp ~p~q ~qp V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V 3.4.6 LA BICONDICIONAL Se simboliza por p q y se lee: "p si y solo si q". Es aquella proposición compuesta que es verdadera en los casos que p y q tengan valores de verdad. (Ambas verdaderas o ambas falsas) y es falsa en los casos que p y q tengan valores de verdad opuestas; siendo su tabla de verdad: P q pq V V V V F F F V F F F V Otros términos que conducen a la bicondicional es: p es una condición necesaria para q p es equivalente a q p es exactamente q cuando q Ejemplos: 1. Hay energía eléctrica, si y solo si las lluvias continúan P q 2. Si p: log 100 =2............(V) q : 100 = 102.........(V) Entonces: p q: log 100 = 2 si y solo si 100 = 102 (V) 3. Si x2 + 1 == O es una ecuación exactamente cuando tenga una solución real. Luego p : x2 +1 =0 es una ecuación (V) q : x2 + 1 =0 tener solución real (F) Finalmente p q es falso. 3.4.7 NEGACIÓN CONJUNTA O NICOD El conectivo "Ni ... ni ..." se simboliza por , es negación de las proposiciones p o q, cuya tabla es. Se sabe que: pq=~(p v q), es equivalente a la negación de la disyuntiva incluyente. P q P A VV F VF F FV F FF V Ejemplo: 1. Ni - 2 es un número natural ni es un número primo, es del tipo p | q, donde: p : -2 es un númeral...................(F) q : -2 es un número primo..........(F) Finalmente: p q es una proposición verdadera (observa la tabla de verdad. 2. César Vallejo, no escribió los "Heraldos Negros", ni fue poeta. La proposición es falsa porque: p : César Vallejo escribió los "Heraldos Negros".........(F) q : César Vallejo fue poeta...................*......................(F) 3.4.8 NEGACIÓN ALTERNA O SHAFFER Se simboliza por" " y se lee "No es cierto que p y q". pq=~(pq) es equivalente a la negación de la conjunción. p q pq V V F V F F F V F F F V EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Indique cuales de los siguientes enunciados son proposiciones: a. Un lenguaje de programación es una ciencia. b. Existe proposiciones falsas. c. La computadora. d. Abert Einstein fue un notable historiador. e. ¡Pásame el disquette!. f. Dos rectas paralelas se intersecan en un punto. g. El 30% de 200 es 60. Solución: Son proposiciones: a, b, d, f, y g que tienen un valor de verdad; No son proposiciones c y e, por que no tienen un valor de verdad. 2. De las siguientes proposiciones: I. Es necesario que estudie Matemática pura en la UNI, para que yo sea un matemático. II. No es cierto que: yo sea un matemático o estudie matemática pura en la UNI. III. Yo estudio matemática pura en la UNI o no soy matemático. IV. Es suficiente que yo no estudie matemática pura en la UNI para que no sea un matemático. ¿Cuáles de las proposiciones anteriores son equivalentes? Solución: Sea p: yo estudio matemático pura en la UNI. q: soy matemático. Simbólicamente se tiene. I. q q=~q v p II. ~(~q v p)=q v p III. p ~q=~q p IV. ~p =>~q=~~p v ~=p v ~q=~q v p Luego: Son equivalente; I, III, y IV. 3. Formular el esquema molecular de la siguiente oración: "Si fumo demasiado entonces me duele la garganta, por lo tanto no fumo demasiado". Sea: p: Fumo demasiado, q: Me duele la garganta. Si fumo demasiado entonces me duele la garganta y P q c) p d) ~p ~p ~p ~r ~p q p ~q ~p ~q ~q q p q ~p ~q 3. Establecer la fórmula que corresponde a los siguientes circuitos: a) b) p ~p p ~p r p ~r c) d) ~p p ~q p A a' a a A’ B’ b b' B a' B b B’ a Solución: a) [p(pp)]~q b) [(pq)~p][(~pp)(r~r)] c) [A(A’B’][B(BA’)] d) [(a’a)(bb’)]a[(a’a)b] 4. Simplifica el siguiente circuito p p p q p q p p Solución: {[(p(pq)]p}{p[(pq)p]} = (pp){p[p(pq)]} Absorción = p[p(pq)] Idemp. Absorc. = p(pq) Absorción = pq Absorción 5. Simplifica el siguiente circuito: p p ~q q p ~q ~q ~q ~p {[p~q)(qp)][(p~q)(~q~p)]}~q = = {[p~q)(pq)][(~qp)(~q~p)]}~q Conmutat. = {[p(~qq)][~q(p~p)]} ~q Distributiva = [(pC)(~qT)]~q Complemento = (p~q)~q Elemento Neutro = ~q(~qp) Conmutativa El circuito simplificado es ~q 6. Determina el esquema más simple que se puede obtener del siguiente circuito: q r ~r ~s ~r ~s s r Solución: [(q~r)r]{~s[(~s~r)(sr)] = [rq)(~s(TT) = (rq)(~sT) = (rq)~s El circuito simplificado es: r q ~r 7. Simplifica el siguiente circuito: q p r p q q r p r q [p(qr)][(pq)(qr)][r(pq)] = = (pq)(pr)[(pq)(qr)](rp)(rq) = (pq)(pr)[(pr)[(qp)(qr)](rq) = (pq)(pr)[(q(pr)](rp) = (pq)q(pr)(pr)(rq) = q(pr)(rq) = (pr)(rq)q = (pr)q El circuito simplificado es : p r q g) s(s~t) 7. LEYES DEL COMPLEMENTO a. r r b. ~(s~s) c. t~t d. (~p~p) e. ~(~(~p)) f. ~(~(~…(~p)...))/2n veces 8. LEYES DE MORGAN a. ~(~r~s) b. ~(~q~s) c. ~[p(~qr)] d. ~[p(~qr)] 9. LEY DE LA CONDICIONAL a. ~q~s b. (~qr)p c. (pq)(q~s) 10. LEY DE LA DOBLE APLICACIÓN a. ~q~r b. ~s ~t c. q p d. ~r s 11. LEY DE LA DIFERENCIA SIMETRICA ~rs a. b. p~t c. q r SIMPLIFICACIÓN DE FORMULAS Mediante las leyes del Álgebra de Proposiciones. Se pueden efectuar simplificaciones de modo que una proposición compleja. Se puede reducirá una proposición simple: 1. Simplificar: (~pq)p Solución: (~pq)p =p(~pq) conmutativa = (p~p)(pq) distributiva = F(pq) complemento = pq identidad (~pq)p = pq 2. Simplificar la proposición: ~p~(pq) Solución: ~p ~(pq) = ~p(~p~q) Morgan = (~p~p)~q Asociativa = ~p~q Idempotencia = ~(pq) Morgan ~p~(pq) = ~(pq) 3. Simplificar el siguiente esquema molecular, utilizando las leyes del álgebra proposicional. ~{~[(pq)p]~[(~q~q)(~p~p)]}(~pq) Solución: = ~{~[(pp)q]~[(~q)(~p)]}(~p~q) Idempotencia = ~{~(pq)~(~q~p)}(~p~q) Idempotencia = ~{~(pq)(~q~p)}(~p~q) Condicional y Morgan = ~[(pq)(qp)](~p~q) Involución = ~[(pq)(pq)](~p~q) Conmutativa = ~(pq)(~p~q) Indepotencia = (~p~q)(~p~q) Morgan = (~p~q) Idempotencia 4. Simplificar: ~{~[(pq)p]~[(~q~q)(~p~p)]}(~p~q) Solución: = [(~q~p) (~p~q)]~(pq) Condicional = [(q~p)(p~q)]~(pq) Idempotencia = [~(q~p)(p~q)]~(pq) Condicional = [(~q~p)(p~q)]~(pq) Morgan = [(~qp)p~q]~(pq) Involución = [~q(~qp)p]~(pq) Conmutativa = (~qp)~(pq) Absorción = (~qp)(~q~p) Morgan = (~qp)(~p~q) Conmutativa = ~q(p~p) Distributiva = ~qC Complemento = ~q 5. Dadas las proposiciones: I) ~(pq]o(p~q) II) ~(pq)(~pq) III) ~(pq)(~p~q) Indicar cuales son o no contradicción. Solución: I. ~(pq)(p~q) p q ~(pq)(p~q) V V F V F V V F V F V V F V V F F F F F V F V V Por lo tanto: Es una Contingencia OTRO MÉTODO Simplificando: ~(pq)(p~q) = p q p q a b No es una contradicción ni una tautología ya que "a" y "b" no son iguales ni opuestos. II. ~(pq)(~pq] p q ~(pq)(~pq) V V F V F V V F V F F F F V F V F V F F F V F V Por lo tanto: Es una contradicción. OTRO MÉTODO Simplificando: ~(pq)(~pq) = ~(~pq)(~p q) a b C es una contradicción porque "a" y "b" no son incompatibles. III. ~(pq)(~p~q) p q ~(pq)(~p~q) V V F V F V V F V F F F F V F F F F F F F V F V Por lo tanto: Es una contradicción. OTRO MÉTODO ~(pq)(~p~q) = ~[(pq)(qp)](~p~q) = ~[(~pq)(~qp)][(p~q)(q~p) = ~[(~pq)(~qp)][(~pq)(~qp) ~b b = C, contradicción. C es una contradicción porque "a" y "b" no son incompatibles. Finalmente son contradicciones II y III. 6. La fórmula lógica: [(pq) r][p(qr)], representada UNA: a) tautología b) Contradicción c) Contingencia d) N.A. Solución: Mediante tablas de verdad: p q r [(pq)r] [p(qr)] V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F V F V V V V V V V F F F V F V V V V F V V F V V V F V V F V F F V F V F V F F F V F V V V F V V F F F F V F V F V V El resultado es una Tautología. Simplificando, se tiene: [(pq)r][p(qr)] = [{~(pq)r][~p(qr)] = [(~p~q)r][~p(~qr)] = (~p~qr)(~p~qr) a a = T, es una tautología. 7. Si p*q=p~, simplificar: (~†*s)(†*~s) Solución : (~†*s)(†*~s) = (~†~s)(†~s) Definición = ~(~†~s)(†s) Condicional, Involución. = s†(†s) Conmutativa = s† Absorción 8. Si p/q=~p~q, la proposición pq, como se escribe en términos de: Solución: pq = (pq)(qp) Bicondcional = (~pq)(~qp) Condiconal = ~(~p/q)~(q~p) Debido a que: (~pq) = ~(p~q) (~qp) = ~(q~p) = ~(~p/q)~(~q/p) Ya que: (p~q)=~p/q (q~p)=~q/p = (~p/q)/(~q/p). CIRCUITOS CONMUTADORES Y CUANTIFICADORES 1. CIRCUITOS CONMUTADORES Los circuitos conmutadores o conmutacionales, son circuitos eléctricos que tienen conmutadores, que dejan pasar la corriente o interrumpen la circulación de ella. La palabra designa todo aparato que dejan pasar la corriente, o impiden su paso. Se tiene como ejemplo de conmutador: El Interruptor eléctrico, mediante el cual prendemos o apagamos la luz. Cuando se prende la luz se ha cerrado el conmutador, que se simboliza por "V" o "1". Cuando se apaga la luz se ha abierto el conmutador, que se simboliza por "F" o "0". En un conmutador puede considerarse como una variable que solo puede tomar dos valores "V" o "F". En tal terminología moderna considerarse como una variable que solo puede tomar dos valores "V" o "F". En tal terminología moderna se acostumbra designar los conmutadores mediante variables proposicionales: p, q, y r... Conmutador Conmutador Cerrado Abierto Foco prendido Foco apagado CIRCUITOS EN SERIE: Es un circuito con dos conmutadores, uno tras otro. Ejemplo: p q La conexión en serie equivale a la CONJUNCIÓN CIRCUITOS EN SERIE: Es aquel que tiene dos conmutadores, pero colocados de tal manera que hasta que uno este cerrado para que la corriente circule p q Como se observa, es posible establecer una correspondencia entre los enlaces de proposiciones y los circuitos eléctricos se emplean los medios y los procedimientos de la lógica proposicional. En el procesamiento electrónico de datos, esta conversión ha conducido a importantes resultados. Por tanto la lógica proposicional tiene aplicación directa en la dirección y conducción científica de la producción, ya que las relaciones fundamentales pueden presentarse en una forma relativamente sencilla. Dos conexiones se denomina eléctricamente equivalentes, cuando el circuito se comporta de la misma forma La aplicación lógica proposicional en el análisis y síntesis de circuitos eléctricos es de gran importancia para la técnica, pues estos son aplicados reiteradamente en la misma. Estrechamente a esto encontramos una ciencia muy Joven LA CIVERNETICA. Su conocimiento nos ayuda en el dominio de los problemas, que hasta hace pocos años parecían simplemente imposibles de resolver, autómatas inteligentes son capaces de manejar sistemas mecánicos complejos, según los deseos del hombre. EJERCICIOS 1. Qué valores deben tomar p y q, si? ~(pq) (qp) es verdadera. Solución: p q ~(pq) (qp) V V F V F V V F V F F F V V V F F F F F V F V V p y q deben tomar el valor de F, para que la expresión molecular se verdad. 2. Diseñar los circuitos correspondientes a: a) [(~pq)p](p~q) b) [(p~q)(pq)][(p~q)(~qq)] c) {[(p~q)(~pq)]~p}[(~pp)(~qq)] d) {[~p(p~q)]~r}[(~qq)(~p~p)] Solución: a) b) p p p p q ~p q p ~q p qw ~q q PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN I UNIDAD 1. Indicar cual de las siguientes no es una proposición: a) Mañana voy al cine. b) La hormiga es un insecto. c) 5 es un número par. d) Si x = 3, entonces x2 = 9. e) Si un triángulo es equiángulo, entonces es equilátero. 2. Si las proposiciones p, q y r tienen los valores de verdad V, V, y F, respectivamente. Cuál será el valor de verdad de la proposición: (pq)(pr) a) V b) F c) VVF d) FVV e) N.A 3. Si la proposición: [(pq)~q]q Es falsa. Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones p y q, respectivamente? a ) VyV b) VyF c)FyV d) F y F e) N.A 4. La proposición equivalente a: [(~qp )(~p~ q)][~(pq)] Es: a) ~q b) ~p c) p~q d) ~pq e) N.A 5. Dada la siguiente tabla de verdad, Cuál es el conectivo que relaciona a las proposiciones: p q pq p q (pq)(pq) VV V V V VF F F V FV F F V FF F V V a) b) c) d) e) N.A 6. Indicar la proposición que corresponde al circuito: p q ~q ~p p q a) (pq)[~p(~qp q ) ] b) (pq)[~p(~qp q ) ] c) (pq)[~p(~qp q ) ] d) (pq)[~p(~qp q ) ] e) (pq)[~p(~qp q ) ] 7. Señale la proposición que no corresponde a una negación de la proposición: x A,X + 3 < 10 a) xA, x + 3<10 b) xA, x + 310 c) ~(xA),x + 3<10 d) xA, x + 310 e) xA,~( x + 3<10) 8. Si A = {-3, -2, -1,0, 1 , 2 , 3}, determinar los valores de verdad de las proposiciones: I) V x C A , x + 2 < 6 . II) x C A, 2x -4 = 0. III) V x C A , x - 3 > 0 . 9. Señale la proposición que no corresponde a una tautología: a) (pq)(pq) b) ~(p~q) c) (pq)(~p~q) d) (pq)(qp) e) (pq)[~(p~q)] 10. Dadas las fórmulas: I) (~pq)p II) (pq)(pq) III) (p~q)(~p~q) Luego son lógicamente equivalentes: a) I y III b) Todas c) Ninguna d) I y II e) II y III CLAVE DE RESPUESTAS 01. (A) 02. (A) 03. (B) 04. (A) 05. (C) 06. (A) 07. (B) 08. P) 09 (C) 10. (E) NOTA: Por cada respuesta acertada 2 puntos. Verifique su respuesta y si tuvo éxito continué, sino retroceda. TABLA DE VALORACIÓN Para esta evaluación y para las de las otras unidades de aprendizaje debe tener en cuenta: CONTAR EL NÚMERO DE ACIERTOS EN CADA AREA DE SUS AUTOEVALUACIONES Y UBICARSE EN LA SIGUIENTE ESCALA: ENTRE 17 Y 20 ¡EXCELENTE! Felicitaciones. ENTRE 13 Y 16 ¡BIEN! Debe sentirse satisfecho. ENTRE 9 Y 12 ¡REGULAR! Ud. Podría hacerlo mejor, inténtelo. ENTRE 05 Y 08 ¡MAL! Debe revisar nuevamente la unidad con la finalidad de aprender y nuevamente evaluase. ENTRE 0 Y 04 ¡SIN COMENTARIO! No cabe duda que no hubo interés de su parte o la unidad no fue suficientemente clara y eficaz, se le pide sugerencias para mejorarla EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1. De los enunciados siguientes: - “2 es un número impar”. - “El Perú es un país latino". - "La ballena es un animal latino". - 3+2=6 - x+y=6 - ¿Mario está vestido? ¿Cuántas y cuales son proposiciones lógicas? 2. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no pertenecen al grupo formado por las demás? - Pedro trabaja, Juana estudia. - María trabaja, además estudia. - Juana, María, trabajan y estudian. - Pedro ni estudia ni trabaja. - Juan trabaja luego Juan estudia A) Tautología. B) Contradicción. C) Contingencia. D) Equivalencia. 10. De la falsedad de: (p~q)(~r~s) Se deduce que: I. ~(~q~s)~p II. ~(~rs)(~pq) III. p~[q~(sr)] 11. Sabiendo que las proposiciones: (pq) y (qr) son falsas. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? - (~pr)s) - ~[p(~q~p)] - [~p(q~r)][(pq)~(qr) 12. Si se define: p/q=~p~q y se sabe que: - (r/~s)~r es una proposición V. - s (s/~r) es una proposición F. Hallar el valor de verdad de: ~s/(r/s). 13. De las siguientes proposiciones. ¿Cuáles son equivalente lógicas? IV. ~(qp)(qp) V. [(~p~q)~q]~[(pq) q] VI. ~(pq)[(p~q]~q] A) I y II. B) l y III. C) II y III. D) Todas. E) No hay equivalencia lógica. 14. Simplificar: ~[~(pq)~q]p 15. Simplificar: [(pq)~p](~qp) 16. Simplificar: ~[(pq)~r](s~s) y formar su tabla de verdad. 17. Simplificar: [p(qr)][(pq)(qr)]r(pq) 18. Si: p*q=~qp, simplificar: (~t*s)(t*~s) 19. Si: definimos "I" como: (p I q)=(pq)~(pq) Entonces p I q equivale a: A) (pq)v(p^q) B) ~pq C) pq- D) p~q 20. Si: p I q = (~p)(~q), la proposición: ~(pq) se escribe en términos de I. 21. Si: p*q se define por la tabla: p q p*q V V V V F V F V F F F V Simplificar: (p*q)*q 22. La proposición más simple equivalente a: ([(~q) (~p)] (~q)]~(pq) es: A) ~p B) ~q C) p(~q) D) ~(pq) E) pq 23. La siguiente proposición: [(~pq)~(p~q)][p~r] Es equivalente a: A) [pq]~[pr] B) (pq)~(pr) C) (pq)(pr) D) ~(pq)r E) (pq)(pr) 20. De las proposiciones siguientes: I. Es necesario que Juan no estudie en la UNI para que Luis viva en el Rimac. II. No es cierto que Luis viva en el Rimac y que Juan estudie en la UNI. III. Luis no vive en el Rimac y Juan no estudia en la UNI. ¿Cuáles son equivalentes entre si? A) Solo I y II. B) Solo I y III. C) Solo II y III. D) 1,11 y III. E) No existe equivalente alguna. 25. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es equivalente a: "Es necesario pagar 100 nuevos soles y ser mas joven para ingresar al baile". I. No ingresar al baile o pagar 100 nuevos soles y ser joven. II. Pagar 100 nuevos soles o ser joven, y no ingresar al baile. III. Pagar 100 nuevos soles y ser joven, o no ingresar al baile. A) Solo I. B) Solo II. C) Solo III. D) Solo I y II. E) Solo II y III. 26. "Si este es un buen curso entonces vale la pena llevarlo, o bien la matemática es fácil o este curso no vale la pena llevarlo. Pero la matemática no es fácil. Por lo tanto este es un buen curso". A) Razonamiento válido, es una tautología. B) Razonamiento inválido, es una contingencia. 27. Diga si el siguiente razonamiento: "Si un hombre es casado, tiene problemas personales, este hombre no tiene problemas. Por lo tanto este hombre es casado y no .tiene familia". Es válido o no. A) Si, porque no es una tautología. B) No, porque es una contingencia. 28. Si se levanta aire húmedo entonces refrescará. Si refresca entonces se formaran nubes. Se levanta aire húmedo por lo tanto se formarán nubes. A) Razonamiento válido, es una tautología. B) razonamiento inválido, es una contingencia. 29. Llueve o el campo está seco. Si llueve entonces jugaremos dentro. Si el campo está seco entonces jugaremos básquet por lo tanto jugaremos dentro o jugaremos básquet. A) Razonamiento válido, es una tautología. B) razonamiento inválido, es una contradicción. 30. Si el interés no es egoísta, es la fuerza vital de las personas y es espontáneo. El interés no es la fuerza vital de las personas pero es espontáneo. Por lo tanto el interés es egoísta. A) Razonamiento válido, porque es una tautología. B) razonamiento inválido, porque es una contingencia. 31. Construir el circuito lógico de las funciones booleanas. A) pq B) (pq){[(~p)r]~q} 32. Expresar mediante funciones booleanas: A a' a A’ B’ a b b' p ~p B p B a' B’ b a ~p r p ~r p ~q p q q p ~p r q q p q r ~q q r 33. Simplifica el circuito: p ~p q ~p q ~p ~q 34. Simplifica q p r p q q r p r q 35. Dado el circuito correspondiente a la función booleana: (p A q)(q A p) ¿A cuál de los circuitos, este es equivalente? A) p B) ~p a' a a C) b b' p ~p a' b a D) p ~q E) p q q r F) r p q q ~r 32. d) pq = (p)q ~p p e) p q ~p ~q r f) pq = (pq)[(~p)(~q)] p ~p q ~q 33. g) pq[~pq] h) (pq)[(~pr)q] i) (pqr)[(~pr)q] 34. pq(~p~q) 35. r p q 36. p ~p q RESPUESTA DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 1. 5; la primera, segunda, tercera, cuarta y séptima proposiciones. 2. La última. 3. E. 4. [(~pq)q]p 5. B. 6. B 7. Tautología 13. C. 14. pq 15. q 16. pqr 17. (pr)q 18. ~(†s) 19. (pq)(pq) 20. [~pq][~qp] 21. p*q 22. ~q 23. (pq) (pr) 24. Solo I y II 25. Solo III 26. A 27. B 28. A 29. A 30. A 31. a) q p r