3 Movimiento de Fluidos I

Movimiento de fluidosIntroducción al concepto de Permeabilidad Relativa por Marcelo A. Crotti (Última modificación - 18 de junio de 2001). En esta página se introduce el concepto de curvas de permeabilidad relativa (KR), a través de un modelo geométrico simple. Este modelo, fácil de entender, proporciona una visión de las curvas de KR libre de prejuicios y teorías especiales, pero su empleo apunta principalmente a obtener una visión directa de muchos de los principales factores que influyen sobre estas curvas (caudal, gravedad, mojabilidad, heterogeneidad, etc). El desarrollo se hace mediante el empleo de un modelo geométrico, la ley de Darcy y algunas simplificaciones que no afectan la parte conceptual pero agilizan el desarrollo y el manejo numérico. El modelo geométrico puede visualizarse como un bloque de sección cuadrada con agujeros cilíndricos longitudinales de extremo a extremo. Estos orificios no se entrecruzan y representan un modelo simplificado de red poral. En los gráficos presentados sólo se muestra una sección cuadrada correspondiente a un corte cualquiera, perpendicular al eje longitudinal del bloque. Para desarrollar la sección numérica (indispensable para obtener valores de permeabilidad relativa) es conveniente recordar que:   El área empleada en la fórmula de Darcy corresponde al área global ("bulk") del sistema en estudio. El volumen de los capilares cilíndricos (conductos), crece con el cuadrado del radio, puesto que la longitud es constante y el área depende del cuadrado del radio. VP =  r2 L (Volumen del Capilar)  La capacidad de conducir fluidos de los capilares cilíndricos (conductos), crece con la cuarta potencia del radio. Q =  r4 P / (8 µ L) (Ley de Poiseuille) De este modo si en un bloque existe un solo orificio capaz de conducir fluidos, este orificio otorga una cierta porosidad y una cierta permeabilidad al bloque. Si se agrega un segundo orificio idéntico al primero, tanto la porosidad como la permeabilidad se duplican (Para una misma área del bloque, se tiene el doble de área correspondiente al VP del sistema y el doble de capacidad de conducir fluidos pues la misma diferencia de presión genera el doble de caudal). Pero si en el bloque se reemplaza el orificio original por uno con el doble de diámetro, la porosidad crece 4 veces (22) pero la permeabilidad crece 16 veces (24). Con estos conceptos primarios se puede construir el modelo geométrico en el que se emplean tres tipos de orificios, con radios 1, 2 y 3 (no importan las unidades, sino la relación de radios). La tabla siguiente muestra el resultado de tener un bloque con sólo un orificio de los mencionados por vez. Sistema Características Figura 1: 1 orificio de radio 1 Porosidad = 0.1% Permeabilidad = 0.1 mD Nota: Los valores de porosidad son arbitrarios. Se supone que las medidas del sistema se eligen para generar estos valores Figura 2: 1 orificio de radio 2 Porosidad = 0.4% Permeabilidad = 1.6 mD Nota: Se observa que la permeabilidad crece más rápidamente que la porosidad. Figura 3: 1 orificio de radio 3 Porosidad = 0.9% Permeabilidad = 8.1 mD Nota: Como en el caso anterior, de acuerdo con la ley de la cuarta potencia del radio, el bloque gana mucha más permeabilidad que porosidad. Y a continuación vamos a considerar un medio poroso más complejo y más cercano a la estructura de los medios porosos naturales (Figura 4). Figura 4: 100 orificios de radio 1, 20 de radio 2 y 10 de radio 3 En base a la aditividad de las propiedades de los diferentes capilares (conductos idénticos no comunicados), las propiedades del bloque pueden obtenerse mediante un cálculo simple (Tabla 1): Tabla 1- Propiedades del Modelo Orificio Cantidad Porosidad Permeabilidad 1 100 10 % (100*0.1%) 10 mD (100*0.1 mD) 2 20 8 % (20*0.4%) 32 mD (20*1.6 mD) 3 10 9 % (10*0.9%) 81 mD (10*8.1 mD) Todos 130 27 % (10+8+9) 123 mD (10+32+81) Este modelo simple presenta algunas características comunes con los medios reales:   Tiene cantidades importantes de capilares pequeños, medianos y grandes. Si bien los volúmenes porales correspondientes a las tres familias de capilares son similares, la capacidad de conducción está dominada por los capilares más grandes de la red poral. En base a lo desarrollado, si este modelo de medio poroso (con un 27% de porosidad), se llena con petróleo, conduce esta fase con una permeabilidad de 123 mD. Si a continuación se comienza a desplazar el petróleo con agua, asumiendo que no existen fases residuales (conforme al modelo de capilares uniformes), el sistema conducirá ambas fases de acuerdo con los capilares ocupados por cada una de ellas. Primer Caso: Desplazamiento a bajo caudal con mojabilidad al agua. En este caso la mojabilidad al agua garantiza que el agua invade en primera instancia los capilares más pequeños. En las siguientes figuras se muestra el resultado de la invasión progresiva con agua. Figura 5. Sólo 10 capilares pequeños invadidos con agua. En la Fig. 5 los valores calculados para el modelo son:   Sw = 3.7 % VP (10 * 0.1% / 27%) So = 96.3 % VP (100% - 3.7%)  Kw = 1.0 mD (10 * 0.1 mD)  Ko = 122 mD (123 mD - 1 mD)  Krw = 0.0081 (1.0 mD / 123 mD)  Kro = 0.9919 (122 mD / 123 mD) Los mismos cálculos en la Fig.081  Kro = 0. . Todos los capilares pequeños invadidos con agua.Figura 6.919 A esta altura la tercera parte del sistema está invadida con agua. 6 permiten obtener:   Sw = 37 % VP So = 63 % VP  Kw = 10 mD  Ko = 112 mD  Krw = 0. pero para el petróleo se conserva más del 90 % de la capacidad de conducción original. . 7 resulta:   Sw = 66.7 % VP So = 33.Figura 7.341  Kro = 0. En tanto que en la Fig.3 % VP  Kw = 42 mD  Ko = 81 mD  Krw = 0. Los capilares pequeños y medianos invadidos con agua. fácilmente interpretable en base al desarrollo del modelo.659 Y representando gráficamente estos cálculos se obtiene la curva de Permeabilidad relativa de la Figura 8. la capacidad de conducir este fluido. Como se observa en el gráfico. En este caso (Fig.Figura 8. apreciablemente. durante el llenado de los capilares más finos. crece la saturación de agua sin incrementar. pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diámetro . Recién cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diámetro. Segundo Caso: Mojabilidad al Petróleo. 9) la situación es la inversa de la del caso analizado. Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua. el agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir petróleo. Figura 9. Sistema mojable al petróleo. Las primeras capas en inundarse son las inferiores. . En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas. La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas. Tercer Caso: Llenado Gravitacional. la fase acuosa alcanzó el 25 % de su conductividad máxima y el petróleo perdió el mismo 25 % (Figura 11). En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar. medianos y grandes en la misma proporción que se encuentran en el modelo. Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales. Cuando se ha invadido el 25 % de los poros. Cuarto Caso: Llenado Gravitacional con distribución al azar de las capas. De esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa se inundan poros pequeños.Figura 10. . Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso. sometido a altos caudales de desplazamiento puede comportarse como "oil-wet" pues las fuerzas viscosas favorecen la invasión de los capilares de mayor conductividad (mayor diámetro) con independencia de la mojabilidad. Un sistema "water-wet" con capilares de diferente diámetro. Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar Aclaraciones:    El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0). . conforme a la ley de Darcy). Con cada reemplazo de petróleo por la fase acuosa. la capacidad de conducir petróleo se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo.Figura 11. pero es perfectamente válido adoptando valores no nulos para estas variables. las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de producción. Debido al reemplazo total de petróleo con agua el sistema mantiene permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD). los caudales dependen también de la viscosidad de cada fase. 2. Consecuencias Principales: Si bien éste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa. como es natural. la permeabilidad relativa no lo es. Aún especificando el medio poroso y el juego de fluidos. Por lo tanto la figura 9 también corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyección. el modelo presentado permite sacar algunas conclusiones válidas para los sistemas reales: 1. E. 3. Vamos a intentar enumerar estos axiomas. Los valores de saturación y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento. sin especificar las demás variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento). un aumento de la presión se traduce en un aumento proporcional de caudal para cada fase. La idea de este planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos fundamentales dentro de la ingeniería de reservorios. Intoducción a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa por M. el juego de curvas de Permeabilidad Relativa es único. Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de flujo del sistema roca-fluidos. 4.3. Teniendo en cuenta que en las páginas de divulgación se han introducido los conceptos primordiales sobre el significado físico de las curvas de permeabilidad relativa. . el comentario sobre saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple. Cabello y S. Crotti. 1. cuya respuesta puede ser sorprendente. 2. como se verá en otros desarrollos. que merecen ser analizados en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes. para un conjunto de fluidos y roca reservorio. en esta lista hay algunas inconsistencias. Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso. aparentemente triviales. Nota: Para aquellos que hayan leído. Este "axioma" estaría incluido en el anterior. (En los sistemas reales ésta es sólo una aproximación al comportamiento físico). Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados. una vez fijadas todas las condiciones de flujo. derivada de la práctica usual. Illiano (Última modificación . la estructura lógica que permite el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostración) que se consideran "razonables". Naturalmente el modelo aquí desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturación total del bloque. 4. petróleo y agua). Los puntos extremos de saturación son únicos. Más adelante intentaremos construir una lista de axiomas más adecuada. vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas. La ley de Darcy es válida en flujos multifásicos. en este foro. Prácticamente (en sistemas lineales) este punto se traduce en que.10 de octubre de 2000). La diferencia entre ambos tipos de representación de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro. Como en todo conocimiento o aplicación científica. sabiendo que en algunos casos. Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer más complejo el desarrollo. en función de la saturación de fluidos (gas. pero reviste mucha importancia en si mismo. Esta interpretación habitual indica que si la saturación de una fase es 0 (cero). La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase líquida en la red poral) esta situación está lejos de ser un impedimento para que ingrese una fase liquida en dicho medio. Cabe destacar que. Al presentar el problema de esta forma. Fases acuosas. A modo de ejemplo. Quizás en cada caso particular se desconoce la función exacta de escalamiento. cómo es posible inyectar este fluido en un medio poroso que se encuentre en Swirr?. Pero esta realidad experimental es aparentemente contradictoria con la interpretación habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa. implica Permeabilidad=0). por ahora alcanza con emplear una solución parcial basada en el concepto resaltado. quizás un ejemplo permita clarificar el concepto: Un tubo recto puede tomarse como una idealización de un medio poroso natural. en realidad se plantean las cosas de atrás hacia adelante. pero. un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0. . El planteo suele hacerse en forma de paradoja. la Permeabilidad Relativa a esa fase es también cero. si el párrafo previo resulta difícil de aceptar. podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista práctico. Esta aparente paradoja admite una primera solución sencilla: Hay saturaciones que no existen (no están definidas) en el sistema poroso. Primero se asigna realidad física a un solo juego de curvas de Permeabilidad Relativa. 30% ó 50% o cualquier otro valor). petróleo (y el mercurio a la presión adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente sólo contiene aire o vacío en su red poral. Y. Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados previos. definidas en todo el rango de saturaciones. pues con independencia de la diferencia de presión entre los extremos de la muestra el caudal de una fase inexistente es 0 (y Caudal=0. pero ésta existe. de una saturación de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una saturación no nula (10%. Por lo tanto. Las curvas de Permeabilidad Relativa están definidas en todo el rango de saturaciones entre los puntos extremos. se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa. en esta página vamos a empezar por el último enunciado. sin pasar por las saturaciones intermedias.5. en el uso regular de las ecuaciones de flujo. y luego se cuestionan las consecuencias físicas de esta asignación. todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten llamados de atención importantes).) De alguna manera. tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente. 6. en el que los conceptos de permeabilidad monofásica o bifásica siguen siendo válidos. evitando preconceptos. de la siguiente forma: Si la Permeabilidad Relativa al agua es “0” (cero) en condiciones de agua Irreductible (Swirr). De modo que. de acuerdo con la ley de Darcy. (Más adelante veremos que en el planteo de esta paradoja también subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales. Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio. a medida que el tubo se sumerge en la cubeta. su capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0). limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio. simultáneamente. en realidad está constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100%) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo está vacío. Por ahora esperamos que esta introducción sirva como llamado de atención que nos permita replantear algunas “verdades indiscutibles”. este objetivo se torna más accesible cuando se entienden los supuestos. Illiano (Última modificación . la saturación media recorre todos los valores entre 0% y 100%. la saturación de agua (Sw) en cualquier punto del tubo. En este ejemplo. Y. La saturación media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios. el ingreso de agua al sistema no implica la producción de agua. Estos conceptos todavía pueden resultan difíciles de aceptar por la sencilla razón de que todos los que hemos trabajado en ingeniería de reservorios tenemos muy arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia física en todo el rango de saturaciones. tomando un tubo vertical vacío que sumergimos lentamente en una cubeta con agua. Qué Saturación Corresponde a las Curvas KR? por M. pasa de 0% a 100%. Crotti y S. En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw es 1%. 10% ó 90%. Y. la “curva” que estaría constituida por dos puntos (en Sw = 0% y Sw = 100% ) duranta la etapa de imbibición. peor aún. como en toda aplicación tecnológica. Para ser más específicos podemos visualizar un caso simple. Y. basta recordar que mientras la saturación puntual sólo puede tener los valores de 0% y 100% (sin valores intermedios).En este caso también nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua. En el ejemplo desarrollado en esta página. Sin embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vacío es capaz de admitir agua para su conducción. dado que el término producción implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral Este tema se desarrolla con más detalle en la página correspondiente a saturaciones medias y saturaciones puntuales. La raíz del problema se encuentra en una ineficiente definición y empleo de los términos "ingreso".11 de noviembre de 2000) . pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo. pero la saturación en cualquier punto del tubo (saturación puntual) salta de un extremo a otro de la escala. Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifásico en medios porosos tienen un objetivo principal: Sentar las bases para un uso adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa. Atención: La capacidad de Producir agua sí es cero en un tubo vacío. "conducción" y "producción" de fluidos y en la diferenciación entre "saturación media" y "saturación puntual" del sistema en estudio. Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diámetro del tubo es muy grande o que el ángulo de contacto es de 90°. sin recorrer los valores intermedios. pese a la contundente demostración en contrario realizada por Buckley y Leverett. ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numérico. gravitatorias y viscosas. tal como se obtiene regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un balance de materiales. En este caso la secuencia de medición puede resumirse de la siguiente forma: . del cual se extraen diez coronas que resultan idénticas y cada corona se envía a un laboratorio diferente. Siendo más específicos. Y al decir "no es apta". no estamos haciendo referencia a falta de representatividad. sino a que conceptualmente no es correcto emplear la curva de laboratorio para esa finalidad. resultará necesario hacer un poco de historia. el problema radica en la falta de interacción entre las partes que participan en la medición y empleo de las curvas de KR. si imaginamos un reservorios absolutamente homogéneo. y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa si hablamos de sistemas agua-petróleo o gas-petróleo). La curva de permeabilidad relativa que acompaña un Balance de Materiales (en el reservorio global o en una celda de un simulador numérico). Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR. El primer método de medición a escala de laboratorio. el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepción original. el mensaje completo de esta exposición. Tan pronto como quedó en evidencia que el mejor método de optimizar la producción de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos. se vio que que era necesario encontrar una relación funcional entre la saturación de fluidos en la roca y su capacidad de producción para las diferentes fases. El desarrollo (y demostración) de las afirmaciones previas requiere algunas páginas y. Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generación y empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histórica del desarrollo tecnológico asociado. Esperamos que la explicación resulte entretenida. Como suele ocurrir. pues intentamos llamar la atención sobre algunos supuestos implícitos y explícitos que se han ido encadenando para que en alguna medida. A modo de introducción al desarrollo completo podemos decir que: La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia funcional entre saturación puntual de agua (y/o gas) y la capacidad de la roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas. pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterización de los reservorios. Un Poco de Historia.Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atención con respecto al traslado de la información de laboratorio a la escala de reservorio. lejos de ser desalentador. Como veremos. en el camino. la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande. esa curva no es apta para ser usada directamente ni en un balance de materiales. Sin embargo. expresa la dependencia funcional entre la saturación media de agua (y/o gas) y la capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares. fue el método estacionario (ME). 3. Este punto se desarrollará oportunamente. Rayos X o algún otro método calibrado). 4. Se prosigue la inyección de ambas fases hasta que la relación de producción es idéntica a la relación de inyección. Medición de la Permeabilidad efectiva al petróleo en condiciones de agua irreductible [Ko(Swirr)]. Y existen numerosas excepciones a esta regla en flujos multifásicos. 5. 2. Barrido con petróleo hasta obtener "Swirr". 4. Ensayo de desplazamiento. 2. La metodología experimental frecuente. 8. Saturación con agua de formación o equivalente. completado por Welge2 y ampliado por Johnson. la saturación de fases en cualquier punto de la muestra (saturación puntual) es la misma que la saturación media del medio poroso (saturación media). para el MNE. La metodología más frecuente recurre a prolongar el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona de medición. 6. Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automáticamente por el pequeño tamaño de las muestras de laboratorio. 7. En la medición se eliminan los efectos capilares (genéricamente agrupados como efectos de borde). hasta que deja de producirse la otra fase. 5. Bossler y Naumann3. registrando presiones y caudales de las fases producidas. Se mide la saturación de ambas fases en el medio poroso (por resistividad. El empleo de la ley de Darcy para resolver el cálculo se basa en una suposición débil: Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relación entre diferencia de presión y caudal es lineal sin verificarlo. Medición de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra. . Sin embargo. En este punto se calcula la permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy. 3. Medición de la permeabilidad absoluta al agua. por inyección de agua. puede resumirse en la siguiente secuencia. petróleo y sales del medio poroso. Extracción de una muestra ("plug") horizontal. en la corona seleccionada para estudio. cabe hacer notar que: 1. Esta inyección continúa hasta obtener la "Sor". Se empaqueta la muestra en una celda adecuada. de 25 ó 38 mm de diámetro y entre 6 y 7 cm de longitud. Los puntos extremos de saturación se obtienen inyectando una sola fase. Más adelante. Se cambia la relación de inyección (aumentando la proporción de la fase con saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-. 1. por su importancia en la explicación siguiente. 3.1. El método es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo. En este método no hay diferencia entre la saturación puntual y la saturación media del sistema. Cuando se alcanza el estado estacionario. 2. Lavado para eliminación de agua. 5. Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relación de caudales. 4. El cálculo es muy simple (Ley de Darcy). se pudieron realizar mediciones con el denominado método no-estacionario (MNE). gracias al desarrollo teórico de Buckley y Leverett1. entre ambas caras del medio poroso. a lo largo del tiempo. -4.9. de ambas fases. entonces.   Si la inyección se produce a presión constante (casi obligatorio en las mediciones gas-petróleo) se registra el volumen producido. el gradiente de presiones en la muestra es variable. caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a cada fase. La saturación del sistema (entre sus extremos geométricos) es variable. en la cara de entrada sólo circula la fase inyectada. A modo de ejemplo. Donde está. En cada instante. pero conceptualmente puede hacerse notar que. Como se inyecta una sola fase. La respuesta analítica se obtiene con el desarrollo de los autores mencionados. Lavado de las muestras para cierre de balance volumétrico. el volumen producido de la fase desplazada. Un ajuste numérico simple permite derivar el caudal a partir del gráfico Volumen-Tiempo para cada fase. medidas geométricas del medio poroso. la metodología experimental es simple y el desarrollo teórico requiere que el medio sea totalmente homogéneo. la complejidad del cálculo?. de ambas fases. el balance volumétrico permite averiguar la saturación promedio de cada fase en el medio poroso.y dejando para el final el punto -3-. De este modo la saturación media no se corresponde con la saturación de la cara de salida. Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medición con el MNE. los desarrollos teóricos mencionados permiten resolver el sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presión y la saturación en la .    Los caudales de producción son los que corresponden a los caudales que circulan sólo en la cara de salida.y -5. La saturación media del sistema. Además se dispone de la saturación media del sistema. Medición de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petróleo residual [Kw(Sor)] 10. En cualquier otro punto los caudales son diferentes pues la muestra va cambiando su saturación continuamente. A esta altura puede parecer que se dispone de toda la información necesaria para aplicar la ley de Darcy (diferencia de presión. Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias. Conceptualmente. Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en "Estado Nativo". en la cara de entrada se tiene la máxima saturación de fase desplazante y en la cara de salida la mínima. restando (al volumen inicial). Con el juego de valores recogido puede derivarse fácilmente:   El caudal medio de producción de cada fase entre dos mediciones de tiempo. a lo largo del tiempo. que es la asociada con los caudales de producción. Si la inyección se produce a caudal constante se registra el volumen producido. Cálculo. 11. y la diferencia de presión. eliminando los puntos -2-. En este caso el cálculo es complejo (en el cálculo explícito intervienen ajustes numéricos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales). este detalle no reviste importancia pues la saturación media sólo sirve para obtener la saturación puntual. Y en la enorme mayoría de los desplazamientos reales. esta fue la forma experimental de validar la medición por el MNE.cara de salida. en el mismo medio poroso y con el mismo juego de fluidos. medios y pequeños en cantidades significativas. difiere de la saturación puntual. Hasta aquí todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogéneos. en este punto es conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados. Pero ya mencionamos que la saturación media. De hecho. la aplicación de la ley de Darcy conduce a la obtención de las curvas de permeabilidad relativa en función de la saturación puntual del sistema (saturación en la cara de salida). entre otros temas. En consecuencia un importante crecimiento en la Sw se acompaña de un pequeño incremento en la Kw. Y no estamos haciendo referencia sólo a las pseudo funciones para medios heterogéneos. la saturación varía mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el desplazamiento. etc. la manera correcta de generar las pseudo funciones (en función de la saturación media y NO de la saturación puntual). en el MNE. De hecho. se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y todas las variantes intermedias). en alguna medida. Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado. Y ¿dónde está el problema? Simplemente en que:   En el reservorio (o en una celda de un simulador numérico) sólo se dispone de la saturación media del sistema. Si tenemos una capa "water-wet" totalmente homogénea horizontal.  Primer caso: Flujo dominado por las fuerzas capilares. sólo en los desplazamientos en estructuras horizontales y dominadas por la segregación gravitacional la saturación es uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medición). En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente: Por qué en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio? Y la respuesta es compleja y es. En principio. . En este caso el agua invade primero los capilares más pequeños. pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes. Y como disponemos del caudal de producción. A una misma saturación de agua (media o puntual). el objetivo principal de este desarrollo. Y esta respuesta involucra. la dependencia de los puntos extremos de saturación con los mecanismos de drenaje. formada por un medio poroso que tiene capilares grandes. luego de leer este desarrollo. es necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo adecuadamente. se sientan tentados a descartar el MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son iguales. al tratarse de fluidos. tienden a predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los equilibrios capilar-gravitatorios. En diferentes partes de una misma capa homogénea estas fuerzas se equilibran en forma diferente: En las cercanías del pozo (altos caudales). eliminando la contribución de fuerzas capilares y gravitatorias. gravitatorias y viscosas. en realidad puede resultar más complejo intentar usar conceptos no del todo claros. ocupando por igual todos los diámetros capilares. Y. Y si a esta altura la pregunta es: Pero entonces existen innumerables curvas de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos?. naturalmente. vamos a hacer un pequeño resumen para condensar el desarrollo hasta este punto. En este caso el agua invade primero los niveles inferiores. Por lo tanto la geometría de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal. Argentina. como suele ocurrir. cabe aclarar que en realidad la solución al problema pasa por descartar las mediciones del ME tal cómo se concluye en el desarrollo sobre Metodologías de Medición de las curvas de KR. La respuesta es decididamente SI. ¿Se Puede Producir Petróleo Seco con Sw>Swirr? . seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference. Los laboratorios informan curvas de KR en función de saturaciones puntuales.  Segundo caso: Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias. 25-28 Marzo 2001). son deformables con los cambios de velocidad de flujo. La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presión y caudal) suele no cumplirse en flujos multifásicos. La explicación es simple: Cada fase actúa bloqueando poros para la otra fase. pero. Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes. Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador. En este caso el agua invade primero los capilares más grandes (con menos resistencia al flujo). De modo que antes de introducir nuevos conceptos. Tercer caso: Flujo a altas velocidades. NOTAS Para aquellos que. se puede resolver. Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos. En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw (cuando el agua ocupa un 30 % de la capa. En consecuencia un pequeño crecimiento en la Sw se acompaña de un notable incremento en la Kw. la Kw es un 30% del valor correspondiente a la máxima Sw (en condiciones de Sor). Buenos Aires.      En los cálculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de las fases. En el reservorio actúan las fuerzas capilares. Y. El análisis detallado de la solución se presenta en el paper SPE 693945. en algunos reservorios. resultan aparentemente incompatibles entre sí. a partir del FWL en un sistema homogéneo de baja permeabilidad. a partir del FWL en un sistema homogéneo de alta permeabilidad. 1 se esquematiza la relación entre saturación de agua y altura con respecto al nivel de agua libre (FWL). Por esta vía se asume el criterio de que a partir del nivel en que se produce petróleo seco. En esta página se analiza una aparente inconsistencia entre datos de producción y resultados obtenidos por otras vías. 1 – Saturación de agua. la roca se encuentra en condiciones de Swirr. Crotti (Última modificación . Esta condición implica que la fase acuosa es discontinua y. 2 – Saturación de agua. De este modo se amplía el cálculo de OOIP pues se disminuye la Sw promedio del sistema. Como veremos el segundo punto suele ser más adecuado para modelar el reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos naturales y permite realizar un cálculo más adecuado del volumen de hidrocarburos retenido en la trampa. por lo tanto. se produce petróleo seco. El desarrollo se hace para un caso genérico en que a nivel de reservorio se encuentra que. En el nivel Z2 de la Fig. 1. 2. Fig. inmóvil frente a diferencias de presión en régimen de flujo laminar. para un medio poroso homogéneo (A) de alta permeabilidad. . Para evaluar la saturación de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que.por M. 1.11 de noviembre de 2001). En la Fig. donde la información de perfiles y/o de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr. Fig. Asumir que la zona de transición capilar que indican los perfiles y/o los ensayos de laboratorio es errónea. la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible (Swirr). Dado que no se emplean escalas numéricas la condición de alta permeabilidad es sólo una afirmación necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos. Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no producción de agua pese a que la saturación de agua supere la Swirr. Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos vías. Esta relación de producción depende de la relación de movilidades de ambas fases a la saturación encontrada en dicho nivel.Si se realizara un punzado en el nivel Z2. 3 y obedece a dos razones fundamentales. donde se asume que termina la zona de transición capilar. De este modo en el nivel Z2 de la Fig. como quedó establecido. 3 coexisten un medio poroso (A). al menos inicialmente. con saturación de agua mayor que la irreductible. El caudal principal corresponde a las capas más permeables. todos los niveles superiores a Z1 están en condiciones de Swirr. 3 – Saturación de agua. En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B. En la Fig.2 se muestra la curva correspondiente a un segundo medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el sistema A. Fig. en la Fig. Como se observa en la figura. 4 – Curva correspondiente a un medio un sistema heterogéneo con capas alternadas de homogéneo con propiedades promedio entre las alta y baja permeabilidad. a partir del FWL en Fig. cada medio poroso mantiene su propia curva de distribución de fluidos. . Comparativamente. Pregunta: Un punzado en el nivel Z2 de la Fig. petróleo seco. la fase acuosa no es móvil en este nivel. La explicación es visualizable en el esquema de la Fig. 2. del Medio A y las del Medio B. Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig. se produciría petróleo con un cierto porcentaje de agua. una vez alcanzado el equilibrio estático. 3 produce petróleo seco o con una cierta proporción de agua?. Respuesta: En general estos sistemas producen. en condiciones de Swirr y otro medio poroso (B). De este modo.3 se esquematiza un sistema heterogéneo formado por capas alternadas de los medios porosos A y B. se produciría petróleo seco pues. Desde el punto de vista práctico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1. el caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los mismos.  Por lo tanto. a partir del cual la fase acuosa se hace discontinua en el medio poroso A. nos encontraríamos (conceptualmente) con una situación similar a la de la Fig. En otras palabras:   Una vez alcanzado el Nivel Z1. y estaríamos . descripto mediante una curva de Presión Capilar “promedio”. el agua puede pasar de B hacia A sólo si el petróleo de la capa B está sobre-presurizado con respecto al de la capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presión capilar entre Z1 y Z2. las dos fases (petróleo y agua) son continuas en el trayecto Z1-Z2.  La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presión igual a la diferencia de presión capilar entre Z1 y Z2. Conforme a la ecuación de Poiseuille. En el medio poroso B. 3. En resumen: Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se encuentren en condiciones de Swirr. En unidades prácticas esto se traduce en que el petróleo (la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presión (entre una capa y otra) superior a la diferencia de presión entre fases que hay entre el punto Z1 y el punto Z2. Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las más permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas capas (efecto de borde). la única posibilidad de producir agua junto con el petróleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas más permeables. es muy probable que en las etapas iniciales de producción se produzca petróleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua móvil. 3. NOTA: Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig. Y esta diferencia de presión sólo puede alcanzarse a medida que progresa la explotación y las capas más permeables sufren una mayor depletación que las menos permeables. siguiéramos la práctica habitual de reemplazar el medio heterogéneo por un medio homogéneo. si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10 micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relación 3:1) por el medio A circularía un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B. la presión capilar ya no aumenta pues el agua no puede ejercer presión hidrostática a través de una columna discontinua. De este modo. Y estas capas están en condiciones de Swirr. para una misma diferencia de presión. Esta diferencia de presión debe aplicarse sobre el agua móvil del sistema B. en el nivel Z2 de la Fig.El mayor caudal de petróleo hacia el pozo circula por las capas de mayor permeabilidad. La presión capilar dificulta el movimiento de agua Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo sólo se produce por capas que se encuentran en Swirr. De este modo en Z2 la presión capilar del medio A es la misma que se registraba en el nivel Z1. de modo que la presión capilar en Z2 es mayor que en Z1. 4. . Con muestras heterogéneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologías.obligados a concluir que. En estado estacionario los gradientes de presión. Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diámetro. 3. la simulación y la experiencia demuestran que en muestras homogéneas. pero otras propiedades. propias de los medios homogéneos. historia de producción y mediciones de laboratorio. debe producirse una cierta proporción de agua en Z2. como la saturación de agua son perfectamente promediables. Distribuciones de diámetros porales extendidas. De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes vías. perfiles. Con este método es corriente obtener curvas monótonas. Este tema se trata en detalle en el texto: La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presión Capilar. tanto en las curvas de distribución de diámetros porales como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomalías que ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta página. En ambos casos se analiza. Algunas propiedades. durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse: 1. son los mismos. 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados para describir el comportamiento de los medios heterogéneos. Crotti (Última modificación . en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de laboratorio. a continuación. Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presión Capilar y de desplazamientos viscosos. por lo que no se produce flujo entrecruzado (“cross-flow”). desde las etapas iniciales. se obtienen resultados comparables entre los Métodos Estacionarios (ME) y Métodos no Estacionarios (MNE). el resultado obtenido para muestras extraídas con el eje paralelo a los planos de estratificación: Método estacionario (muestras laminadas) La curva obtenida es una especie de promedio aritmético de las curvas de cada capa. La Fig. Comparación entre las Metodologías Experimentales para medir las Curvas KR? por Marcelo A. como los efectos de borde o el flujo multifásico. Permeabilidades Relativas con formas "anómalas". se requiere un importante trabajo de integración entre ensayos de pozo. En resumen. 2.1 de abril de 2000). De esta forma. no admiten este tipo de simplificación. La teoría. dentro de cada capa. propias de medios heterogéneos. 4. Un comentario sobre los datos de laboratorio Como ya se mencionó. La curva obtenida es una especie de promedio dinámico de las curvas de cada capa. resulta más adecuado. delinear la solución del problema. Se sugiere indicar a los laboratorios que aunque la relación de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtención de sólo una pequeña parte de la curva de permeabilidades relativas. Crotti (Última modificación . dado que prácticamente no existen los medios porosos absolutamente homogéneos. La forma de estas curvas puede presentar una o más inflexiones. teniendo en cuenta que. y si predominan las gravitatorias (flujo segregado). el método estacionario no parece. cuyas . Intentaré. Por otro lado si se supone que las fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas. Introducción a los problemas y limitaciones en el "Upscaling" de las curvas de KR. por Marcelo A.Método no-estacionario (muestras laminadas) El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoría del avance frontal. si el medio es homogéneo. resultan sólo de interés los puntos extremos de la curva. el resultado coincide con el del método no-estacionario. esa es la única información que es útil al reservorista. Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas. en general. sólo son de interés los puntos extremos de las curvas. la parte de la curva medida en el laboratorio. empleando la relación de viscosidades propia del reservorio. En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del escalamiento de las curvas de KR. como es propio de las “pseudo--funciones” empleadas para representar flujos en sistemas heterogéneos. partiendo de la medición de laboratorio y tratando de llegar a la implementación de un método adecuado de describir el reservorio. El método de medición Más del 95% de las mediciones de laboratorio se realizan por el método no-estacionario. sino las gravitatorias. En este caso se considera como práctica recomendable. respetando la relación de viscosidades del reservorio. para los que el método dinámico (con todas sus limitaciones ya documentadas). es la única que se desarrolla en el reservorio. De lo anterior se deduce que. apropiado. por lo tanto. La intensidad del cross-flow depende de la relación de movilidades. Sin embargo tengo la sensación de que cada investigador se centra en un punto del problema y pierde la imagen del conjunto.8 de abril de 2000). pues son los únicos valores que emplean para el cálculo de las pseudo-funciones. Adicionalmente. Muchos de los puntos aquí mencionados se desarrollan en exposiciones independientes. En este desarrollo intentaré realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio. Como ejemplo simple de lo dicho se puede mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva "completa" de KR. del empleo del método dinámico. El objetivo de este resumen es el de plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y. finalmente. hacer un desarrollo ordenado. si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de la capa en estudio. la solicitud a los laboratorios. en tanto que otros se esfuerzan en definir sólo los puntos extremos del sistema. para representar la producción debida a las fuerzas viscosas (teoría del desplazamiento frontal) debe seleccionarse el método no estacionario. Y esta "solución" implícita presenta algunas contrariedades explícitas. Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1. desventajas severas de la metodología. Debe notarse que los volúmenes "muertos" de las celdas de medición muy difícilmente pueden llevarse a valores inferiores a 0. se hace necesaria para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva "verdadera" de KR. Como la producción de petróleo tiende asintóticamente a cero. Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres lecturas idénticas separadas por un período de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades porcentuales de VP. La mención de estos problemas (quizás tediosa para los no especialista de laboratorio). La teoría que acompaña el cálculo explícito está desarrollada sólo para sistemas homogéneos. Por lo tanto la medición "normal" implica el desplazamiento de sólo 3 a 6 cm3 de petróleo móvil. De hecho puede afirmarse que las dos "bondades" principales del método implícito de cálculo (curvas suaves y monótonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son. 3.5 cm3 por día. Soluciones aparentes Para solucionar resultados erráticos en los cálculos se suele recomendar el método implícito de cálculo. La decisión práctica de terminar el desplazamiento cuando "cesa" la producción de petróleo es inadecuada pues cuando se produce a un ritmo de 0. Para cualquier set de datos siempre se encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste pésimo). sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles). en realidad. Las curvas suaves pueden ser no representativas de la realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los principios físicos del desplazamiento inmiscible. 2.2 ó 0. Ya no es necesaria una depurada técnica experimental. El cálculo explícito (resolución de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el cálculo de derivadas y derivadas segundas de los volúmenes producidos en función del tiempo. Y aquí es donde empieza a notarse que los Árboles tapan la visión adecuada del Bosque. La simulación numérica empleada ignora la formación de un frente de saturaciones (teoría del desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia física a todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro. el volumen total desplazable sólo puede obtenerse por extrapolación a infinitos VP de agua inyectados. Los únicos puntos relevantes para este desarrollo (en mediciones agua-petróleo) son:     Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP.características principales están detalladas en otras partes de esta página. el cálculo debe realizarse con los datos de producción que involucran entre 2 y 4 cm de petróleo. Ver el mismo trabajo. En este caso como se postulan sólo familias de curvas suaves y monótonas se busca la curva "bonita" que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales. 1. Pero alrededor de un 30% de este volumen se consume para llegar al "breaktrhough" (arribo del frente de agua al extremo de medición). donde unos 3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petróleo residual. donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de ensayo y el resto en un período de varias horas. pueden pasar horas sin que se registren cambios en el volumen de petróleo producido. Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un parámetro de ajuste y no como un resultado experimental.3 cm3 (y estos pequeños volúmenes generan incertezas cercanas al 10% de los volúmenes que gobiernan el cálculo de las KR). Y en este caso pequeños errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el cálculo de las KR. Otra "solución" proclamada como muy efectiva para sistemas heterogéneos es la de emplear el método estacionario de medición. En este caso las muestras obtienen una saturación homogénea en toda su . Por lo tanto. etc. La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores. incluyendo (además de las heterogeneidades. 3. los operadores y las metodologías de cálculo y medición.longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmético de las curvas propias de cada subsistema homogéneo de los que determinan la heterogeneidad. etc. 1. están menos sujetos a las veleidades de las muestras. relación de viscosidades. Los puntos extremos parecen ser los puntos más confiables de las curvas de KR por su menor dependencia con los factores mencionados. Otros comentarios A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio (muestras frescas. En sistemas heterogéneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturación son un promedio de las propiedades de cada subsistema. Primer resumen Después de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situación planteada. en primera instancia. Y aparecen sistemas . De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogéneo que promedia las curvas de cada subsistema. Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables. donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la dirección correcta. Y muchos reservoristas emplean sólo los puntos extremos de las curvas de KR para sus cálculos. en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares. mojabilidad y otros factores "clasicos") la metodología de medición. inevitablemente el reservorio también lo es. Muchos reservoristas emplean sólo los puntos extremos de las curvas de KR. Pero en este caso la objeción (planteada claramente por L. A modo de ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega volúmenes muertos al sistema para permitir el trabajo a presión. Pero hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo así como "un tiro para el lado de la justicia"). Y entonces las curvas de sistemas homogéneos carecen de validez para describir el reservorio. origina nuevas incertezas. . Dake) radica en que una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad física para cálculos de reservorio. La obtención asintótica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los volúmenes producidos hasta infinitos VP inyectados. Y puedo seguir enumerando "soluciones" y objeciones hasta aburrir al más paciente de los lectores. Por lo tanto parece necesario concluir que sólo deben medirse y usarse los puntos extremos.. 2. Esta característica de los puntos extremos obedece a que:   En las metodologías estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto extremo de saturación de la fase desplazada. metodología de cálculo y criterio del operador. Olvidemos por ahora que sólo en el método noestacionario se realiza una extrapolación hasta infinitos VP inyectados. empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presión y temperatura de reservorio). En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogéneas. Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando "trenes" de tres muestras. Los puntos extremos. En caso de realizar pozos en zonas donde ya se produjo el avance de agua o de gas. Los barridos de laboratorio se realizan casi únicamente sobre muestras horizontales. Pero: Qué curvas de todas las posibles?. 1. Cuál es entonces la solución al problema de determinar la curva de KR que representa a un bloque del reservorio?. Se deben emplear los simuladores numéricos como herramienta de análisis de bloques sencillos. capilares y gravitatorias. la respuesta más razonable a la pregunta planteada es: La curva obtenida por la medición no-estacionaria con el método de cálculo explícito. Con el material expuesto hasta este punto. .      Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturación y permeabilidad por todas las vías posibles (desplazamientos horizontales y verticales. se debe hacer un esfuerzo por medir la saturación residual de petróleo. pero no responde a un manual operativo. Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del reservorio más alejadas de los pozos). barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios. Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las decisiones tomadas en los puntos anteriores. imbibición y equilibrios capilar gravitatorios (curvas de Presión Capilar).Cierto?. En la generación de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan en base a la saturación media y no a la saturación puntual de la cara de produccción. (con ramas bastante entrecruzadas). Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se discretiza el reservorio.. Desde mi punto de vista la solución es posible. Y esto sólo es posible disponiendo de las curvas. Pero nos estamos olvidando algunas cosas. FALSO !! Porque una buena determinación de puntos extremos sólo es posible extrapolando las mediciones de desplazamiento. Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo. en tanto que en el reservorio se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas. SI!!. Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraídas y preservadas. La Swirr y la Sro varían cuando se emplean barridos horizontales. midiendo las curvas. Las curvas de laboratorio sólo tienen en cuenta las fuerzas viscosas. La forma de llegar a una solución razonable es la de resolver un árbol de decisiones. Esta operación permite seleccionar los puntos extremos representativos de cada bloque. Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas. acuíferos basales o flujos entre capas). Y los puntos extremos de saturación varían con el mecanismo de producción. O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos?. L Dake sugiere emplear un criterio donde la relación de movilidades supere un valor determinado. O sea. 2. 2. En el modelo empleado para la medición y cálculo de la permeabilidad de un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos. Por lo tanto en estas capas los desplazamientos de interés corresponden a flujos verticales. Las características del fluido: Principalmente su Viscosidad (µ). o en el caudal. Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no depende del fluido. Un Análisis Especial de la Ley de Darcy por M. De este modo resulta casi "evidente" que.<(Última modificación . 3. trabajando con medios homogéneos y con un solo fluido.. Las condiciones de flujo: Diferencia de Presión (DP) entre los extremos del sistema... Expresado en otras palabras: Cualquier cambio en las variables que se encuentran en el lado derecho de la expresión produce un re-acomodamiento en las otras variables. La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental. A . [1] Donde la constante que vincula ambos términos de la ecuación se conoce como Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio. el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la diferencia de presión aplicada y con el área de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido.. ni de la geometría del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma: La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos. . Observaciones En medios heterogéneos la KR de las capas más permeables suele ser de poco interés. En la práctica. a igualdad de las otras variables del sistema. Las propiedades geométricas del sistema: Área (A) y Longitud (L)... Sin embargo la formulación más simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse casi "intuitiva": El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de: 1.. dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema. En forma analítica esta dependencia se expresa en la siguiente fórmula:  Q = K .26 de noviembre de 2001). L) .. Crotti. pero la Permeabilidad permanece inalterada. Estas capas en general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema.para "entender" el comportamiento del reservorio. DP / (µ .. Las capas menos permeables suelen aportar a capas más permeables y no al pozo. Inyectar y Producir). Como veremos. En estos casos se continúa respetando la ecuación de Darcy.. tomando como ejemplo el flujo simultáneo de agua y petróleo.. la ecuación [1] adquiere la forma:   Qw = K . Por el contrario es frecuente el flujo bifásico ó trifásico.. cuyo valor depende de la saturación de fluidos en el sistema. lineal y monofásico). esta observación esta muy lejos de ser trivial. L) . Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa. Y cabe recordar que en los casos reales (caracterización de reservorios) los datos de mayor interés son:    La Saturación Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un Balance de Materiales o una celda en un simulador numérico). A . Kro .. Sin embargo. L) . Sin embargo. Los términos "K .. DPo / (µo . a la que se agrega un factor de corrección. En estos casos.. casi nunca se está en condiciones de flujo monofásico. .. en flujos multifásicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como: Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturación de fluidos. La validez de esta generalización queda demostrada si el caudal de cada fase es proporcional a la diferencia de presión aplicada a cada una de ellas para una determinada saturación de fases. De este modo. en general dicha capacidad de conducción no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyección o de producción. dado que el interés se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido.... Este factor de corrección toma la forma de una curva... La capacidad de inyectar en un punto específico del bloque (pozo inyector o contacto con celdas cercanas). Krw . Krw " y "K . [3] Donde los subíndices "w" y "o" hacen referencia al agua y al petróleo respectivamente... La capacidad de producir en un punto específico (pozo productor o contacto con celdas cercanas). A . ambas diferencias de presión resultan coincidentes.Dicho modelo (Conducción = Inyección = Producción) es absolutamente válido en las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible.. DPw / (µw .. Kro " se reemplazan regularmente por "Kw" (permeabilidad efectiva al agua) y "Ko" (permeabilidad efectiva al petróleo) Sin embargo al realizar esta generalización de la ley de Darcy suele olvidarse (de hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir. aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto. [2] Qo = K .. En base a lo expuesto. en los Reservorios reales.  Nota: En ausencia de Presión Capilar.. la ley de Darcy no resulta aplicable. no están definidas". En dicho desarrollo quedó establecido que las curvas de permeabilidad relativa son sólo un factor de corrección de la ecuación de Darcy..) . lugar de destino. etc.En términos simples.. Y en este punto es importante destacar que con la expresión ". Si bien esta situación representa un caso obvio de pérdida de significado de las curvas de permeabilidad relativa. Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer algunas analogías que ayuden a entender el enfoque de esta página. principalmente. Crotti (Última modificación .. Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de preguntas en un formulario que tiene casilleros específicos con códigos preestablecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe: A la pregunta: Peso del objeto?. Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen. Ya fue analizada (en la página Un Análisis Especial de la Ley de Darcy) la modificación hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifásico en medios porosos.. La Tesis que se analiza en los párrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma: Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuación no están definidas. seguramente podremos responder sin ambigüedad llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg del objeto. Lo que quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan de ser válidos los resultados derivados a partir de la aplicación de la ecuación de Darcy. en el presente desarrollo voy a analizar una situación no documentada en la literatura especializada y que afecta de manera mucho más profunda el uso habitual de las curvas de KR. por alguna razón.27 de noviembre de 2001). Este análisis continua en el texto: La ley de Darcy en Flujos Multifásicos. de la pérdida de linealidad entre el gradiente de presión y el caudal que fluye por el sistema. Aunque parezca trivial mencionarlo. no hago referencia a un problema de medición o de metodología. La ley de Darcy en Flujos Multifásicos Marcelo A. conducir otra y producir otra totalmente diferente. una consecuencia directa de esta definición es que las curvas de permeabilidad relativa pierden significado físico si. En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es aplicable como consecuencia. longitud. ancho. cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como ocurre en todos los reservorios reales durante la explotación) se puede inyectar una cosa. La forma en que esta característica afecta la medición y traslado de la información de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente 1. conducir y producir) son idénticos por definición. pero Verde (resultado de mezclar 50% de Amarillo con 50% de azul) parece peor aún. Esta condición no puede lograrse en . Si los colores están uniformemente distribuidos podremos decir "Verde" para describir el objeto. respetando el orden histórico. Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su capacidad de admitir o expulsar fluidos). pero si los colores (fluidos) no están uniformemente distribuidos tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples. Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto. donde se inyecta una cierta proporción de ambas fases hasta que la producción se hace idéntica a la inyección (se alcanza el estado estacionario). Lo único que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyección o de producción de un determinado fluido. La segunda "solución" consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos (inyectar. Azul. Esta primera "solución" se logró mediante el sistema estacionario de medición (Penn-State o sus variantes posteriores). Esta situación se presenta tomando una sección de longitud cero (una lámina bidimensional) en el medio poroso. Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de corrección de la ecuación de Darcy. A modo de ejemplo. La primera "solución". (NOTA: No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de conducir fluidos. este ejemplo risueño no está tan lejos de la realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo monofásico (un solo color) al ámbito de los flujos multifásicos (varios colores). si a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que está en una habitación. difícilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido. Verde. En una lámina de espesor nulo todo lo que se inyecta inevitablemente se conduce y se produce. Bien. para aplicar dicha ecuación al flujo multifásico se encontraron dos "soluciones" que evitaban la ambigüedad originada entre la definición y la posibilidad de medición:   La definición de permeabilidad (corazón de la ecuación de Darcy) implica la determinación de la capacidad de conducción de un determinado fluido. como veremos a continuación. Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres alternativas:    Amarillo. De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa. fue la de re-crear las condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy: Inyección = Conducción = Producción.Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre 20 colores pre-establecidos. Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul. En ese momento todas las variables de la ecuación de Darcy están perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporción de pigmento azul y de pigmento Amarillo). En el caso de la ecuación de Darcy no se recurre a casos particulares para simplificar ecuaciones complejas. tratemos de analizar qué ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 % de su longitud. por conveniencia. Dicho de otra forma. En otras palabras. esto es lo que se hace mediante el cálculo de KR con el método noestacionario (Welge1. Ahora tenemos dos capacidades de conducción bien . Si el tubo está vacío parece evidente que su capacidad de conducir agua es nula (Kw = 0).ninguna medición real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no nulo. En medios homogéneos ambas "soluciones" brindan el mismo resultado. En resumen. difícilmente el tubo sea capaz de conducir agua. Sin embargo nadie pensaría que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero. Esta lámina es. parece que esa es la vía elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos multifásicos. Jones-Roszele4): Se miden las variables medias del sistema y se calculan lo que ocurre en una lámina de espesor nulo.2. Sin embargo. Por muy grande que sea la diferencia de presión que apliquemos entre sus extremos. a primera vista. Quizás un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema: Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la delgadez es útil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en su interior). Lo que sí es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua alcanza el extremo de salida. de modo que se obtiene a través de un cálculo medianamente complejo. hasta que tenga agua en su interior. conducir y producir) en un sistema no estacionario. lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo histórico es que en la caracterización de reservorios muy raras veces el reservorio es "Verde". Cuál es la capacidad de conducir agua cuando la saturación de agua es sólo del 50%?. En la pelota teníamos dos colores y nos pedían que la describiéramos con uno solo. JBN3. Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema. podemos estar inyectando agua sin producir agua. En términos de la ecuación de Darcy diríamos que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturación de agua es cero. A modo de analogía. Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones (inyectar. tanto en Física como en Matemáticas es frecuente que los problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolución de las ecuaciones es particularmente simple. Y. es conveniente señalar dos puntos en este enfoque. sino porque es la única forma de obtener un valor único para algunas variables del cálculo. y esa solución es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de corrección de la ecuación de Darcy. Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la pelota azul y amarilla. el extremo de producción pues es el único lugar en que se puede evaluar físicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas: La Producción del sistema.   Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales. corregida por un factor que adopta la forma de una Curva de Permeabilidad Relativa. 4. Cuando se habla de la admisión o de la producción de un determinado pozo. entre otras cosas. desde sus orígenes. al conocido fenómeno de dispersión numérica5. Y. damos por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo. recordando que trabajamos en la industria del petróleo. Recordemos. 2. La respuesta al problema planteado (cómo describir el flujo multifásico en sistemas reales) no es la que nuestra industria ha estado usando históricamente. esto ha originado algunos problemas. que en una celda de un simulador numérico se resuelve la ecuación de Darcy con el color Verde. una vez determinado (experimental o analíticamente) depende sólo de la saturación de las diferentes fases en el medio poroso. claro. La ecuación de Darcy se transformó en el formulario del risueño ejemplo de la pelota de Basquetball. La capacidad de conducción es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir.definidas (El valor "X" que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua). pero las variables realmente medibles son las del pozo. En este punto. La solución para diferentes situaciones se analiza en las siguientes páginas:     Solución Conceptual.. La ecuación de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos monofásicos en medios porosos. Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas. Solución de un Sistema Simple. Sin embargo. en cualquier sistema real sólo nos interesa la capacidad de inyección o de producción. y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequeño resumen de la situación a la que hemos llegado: 1. En estos sistemas sólo existe una capacidad perfectamente definida de inyección y de producción. Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos. Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias. como se mostró en este desarrollo. Nuestra industria ha respondido. con . Esto da lugar. la capacidad de conducción de fluidos (corazón de la ecuación de Darcy) no puede definirse en sistemas con saturación no homogénea. . Para describir flujos multifásicos se adoptó un modelo basado en la ecuación de flujo monofásico. Qué valor ponemos en la ecuación de Darcy?:    X ? (Azul?) 0 ? (Amarillo ?) X/2 ? (Verde?) Al dar la respuesta (que no parece fácil) debemos tener en cuenta que la ecuación de Darcy nos pide la capacidad de conducción del sistema y para ello nos da un casillero único en el que podemos poner un sólo valor. "Verde" !!!. Y además. 3. por ejemplo.. Este factor. Las formulaciones para estos términos. El reservorista necesita una herramienta que.. son las siguientes:   QAw = K .. En las páginas: Un Análisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos Multifásicos. se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de permeabilidad relativa. una vez entendido el problema. en un mismo sistema. L) .. diferencia de presión. Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuación simple y un factor de corrección re-definiendo los términos básicos del flujo multifásico. en base a las condiciones existentes en un bloque determinado (saturación de fluidos... [4] QPw = K . [5] Donde se emplean los siguientes nuevos términos:    QAw = Caudal de Admisión de Agua Arw = Admisión Relativa de Agua QPw = Caudal de Producción de Agua . como se verá en diversas aplicaciones. no describe adecuadamente el flujo multifásico en medios porosos. Prw .   La ecuación de Darcy se emplea para describir la capacidad de conducción de fluidos en un medio poroso.. En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa característica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo. las tres capacidades no sólo son diferentes.27 de noviembre de 2001). A ... DPw / (µw . sino que. le permita estimar la capacidad de inyección o de producción en algún extremo de ese bloque. tal como se discutió ampliamente. etc). aplicadas a la fase agua en un sistema lineal.... De este modo. Y. en forma simultánea. En la práctica. Solución General para la Descripción de Flujos Multifásicos por M.. la solución es alcanzable puesto que la capacidad de inyección y/o producción están siempre perfectamente definidas y son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio.. resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisión Relativa (AR) y de Producción Relativa (PR). para los cálculos de Ingeniería de Reservorios... en su forma habitual. puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores. Flujos dominados por las Fuerzas Capilares. L) . en la mayoría de los casos reales la capacidad de conducción es una propiedad indefinida. En esas páginas se mostró la gran diferencia existente entre el empleo de la ecuación de Darcy ampliada para flujos multifásicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista. Arw .. Crotti (Última modificación .. A . DPw / (µw .. valores diferentes de AR y de PR. Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR). Por definición la Admisión Absoluta y la Producción Absoluta de un sistema son idénticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema. en general. Además cada valor se aplica a un extremo diferente del medio poroso. Como se detalló con el ejemplo de la pelota de dos colores. Las definiciones de estos nuevos términos pueden compararse con la definición clásica de Permeabilidad efectiva Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturación puntual de fluidos. las diferencias prácticas y conceptuales son considerables. Prw = Producción Efectiva de Agua Las similitudes con la formulación de Darcy para flujos multifásicos son autoevidentes. Los valores de AR y PR están definidos en todo el rango de saturaciones medias. cuando las saturaciones medias difieren de las puntuales. entonces. Para una determinada saturación media existen. la Conducción y la Producción de fluidos (todas medidas en función del caudal de fluido) son idénticas. Este concepto es radicalmente diferente al de histéresis de las curvas de KR. Las curvas de KR sólo están definidas en el rango de saturaciones puntuales comprendidos entre la saturación del frente (teoría del desplazamiento) y la saturación máxima de la fase inyectada. 1. 3. Las pseudofuncionesfa se estudian en una página independiente. De este modo. Cabe preguntarse.   Prw = Producción Relativa de Agua K . Cuando fluye una sola fase incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisión . de qué forma estos nuevos términos afectan los cálculos propios de la Ingeniería de Reservorios . 2. En base a las definiciones indicadas. la Permeabilidad Efectiva pasa a ser sólo un caso particular de los otros dos términos. Las curvas de KR se usan como propiedad global de un medio poroso. Sin embargo. en las fórmulas [4] y [5] se emplea la Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introducción de nuevos términos donde resulta innecesario. Sin embargo.: un productor que pasa a inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus roles. no existe (no está físicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturación no homogénea. En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej. A modo de resumen es conveniente señalar las diferencias prácticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR. Cuando las saturaciones medias y puntuales son idénticas. los únicos términos con significado físico son los de Admisión y Producción Efectivas. Arw = Admisión Efectiva de Agua K . Producción efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturación media de fluidos. Admisión efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de admitir dicha fase a una determinada saturación media de fluidos. los tres términos son equivalentes. Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturación son sensibles a los mecanismos de desplazamiento..  Qw = 10 * DP / L .. Crotti (Última modificación . los 10 litros/hora representan tanto el caudal de inyección como el de producción... Y este ámbito de validez queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presión y caudal.: una manguera plástica muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presión entre sus extremos.. Y esto sólo si se conserva la relación entre el caudal y el gradiente de Presión. Por la misma razón... En otras páginas se analizan diferentes casos en que. medida en [Kg/cm2]. debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisión Relativa y Producción Relativa). también aceptamos que 10 litros/hora representa la conducción de agua por el tubo en las condiciones fijadas. sólo los puntos extremos de un sistema multifásico son adecuadamente descriptos por las curvas de Permeabilidad Relativa.Para responder esta pregunta. Solución de Flujos Multifásicos en un Sistema Simple por M. el caudal de agua obtenido es de  Qw = 10 * 1 / 1 = 10 litros/hora Debido a que el agua puede considerarse incompresible. experimentalmente. empecemos por analizar el único caso en que la realidad física es adecuadamente representada por el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa. expresado en [litros/hora] DP = Diferencia de presión entre los extremos de entrada y salida de agua. L = Longitud del tubo medida en [m]. En esta página vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de curvas de AR y PR. El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la ecuación y permite describir el comportamiento del sistema cuando se emplean las unidades especificadas. incluso en los sistemas más simples.. tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presión de 1 Kg/cm2. para reproducir el comportamiento de los sistemas reales. Las curvas de Permeabilidad Relativa son sólo aptas para describir sistemas en estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy. Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej. [1´] Donde     Qw = Caudal de agua. sólo el último juego de curvas es apto para describir el flujo multifásico. En otras palabras. hemos encontrado la siguiente relación para describir el flujo de agua por este tubo cuando está totalmente lleno de agua. . que es el objetivo de este estudio. De este modo si el tubo está lleno de agua..27 de noviembre de 2001). Imaginemos además que. Como se verá. podemos calcular la capacidad de admitir y de producir agua.00 litros/hora 0. por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos términos de la ecuación. Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistón por lo que en todo momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100% de agua y otra sin agua. a medida que se va llenando con este fluido. una vez especificadas las características de nuestro sistema. la Tabla I resume los resultados obtenidos al aplicar la ecuación [1´] a medida que el tubo se va llenando con agua. tales como que la viscosidad del aire es despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos turbulentos ni fenómenos inerciales. Bien. cuando la Swm es 10%. en este sistema. tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas. En otras palabras haremos una razonable estimación de la capacidad de admitir y de producir agua a medida que la Saturación media de agua (Swm) crece desde 0% al 100%..1 m. conduce el fluido a razón de 1 cm3/seg. A modo de ejemplo. Siguiendo el mismo esquema de cálculo. La ecuación [1´] es una variante simplificada de la ecuación de Darcy. en ese instante:  Qw = 10 * 1 / 0. podemos resolver algunos casos sencillos cuando la saturación de agua no es del 100%. de modo que el caudal inyectado es. en el tubo en cuestión. Para hacer dicha analogía recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede definirse como la capacidad de conducción de un medio poroso de 1 cm2 de área y 1 cm de longitud que al estar saturado al 100% con un fluido de viscosidad igual a 1 cp. la capacidad de producción de agua es cero (0) hasta que la Swm alcanza el 100%. Como se muestra en dicha Tabla. TABLA I Saturación Media de Agua Caudal de Inyección de Agua Caudal de Producción de Agua 10.00 litros/hora . Haciendo algunas simplificaciones. el caudal de agua es 10 veces más grande cuando la única resistencia al flujo disminuye a la décima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta sólo en la décima parte de la longitud del tubo). en base a las simplificaciones realizadas.1 m y. si es sometido a una diferencia de presión de 1 atm. Imaginemos ahora que el tubo está vacío y comienza a llenarse con agua debido a que por el extremo de inyección se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kg/cm 2 de presión por encima de la presión (de aire) en el extremo de salida.0 % 100. donde el valor de viscosidad del fluido y el área del medio poroso son fijos.1 = 100 litros/hora Este resultado no es más que lo que cabe esperar: Con la misma diferencia de presión. la caída de presión de 1 Kg/cm2 se produce en esos 0.En términos de la Ley de Darcy diríamos que la capacidad de conducir agua. pese a que la longitud del tubo sigue siendo de 1 m. la longitud con agua es 0. 00 litros/hora 30.53 litros/hora 0.00 litros/hora 60.0 % 25.67 litros/hora 0.00 litros/hora 40.33 litros/hora 0.. A continuación están especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50%.00 litros/hora 80.  En la mitad asociada al extremo de producción no está circulando agua (Qw =0).00 litros/hora 20.. es conveniente notar que.00 litros/hora 70. Qw circulando por el tubo = 0 litros/hora (La pelota es Amarilla) 3. la muy simple ecuación [1´] se transformó en el risueño formulario que nos ofrece un solo casillero para poner información múltiple. en las condiciones especificadas.0 % 16. Qw circulando por el tubo = (20 + 0) / 2 = 10 litros/hora (La pelota es Verde) .50 litros/hora 0.15..9 % 10. existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo:  En la mitad asociada al extremo de inyección está circulando agua a razón de 20 litros/hora. antes de continuar con el análisis de este ejemplo: Si ahora queremos responder a la pregunta: Cuál es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conducción de agua) cuando la Swm es 50%? . tomado en su totalidad?.0 % 66.0 % 10.00 litros/hora 90.. Antes de responder apresuradamente.. Cuál es.0 % 11..0 % 14. En el caso presente. Qw circulando por el tubo = 20 litros/hora (La pelota es Azul) 2.29 litros/hora 0.00 litros/hora Es importante verificar la validez de los cálculos realizados en la Tabla II.00 litros/hora 10. 1.00 litros/hora 0.00 litros/hora 0.00 litros/hora 100. entonces el caudal de agua que circula por el tubo.0 % 20.00 litros/hora 50.0 % 10.0 % 50..01 litros/hora 0.00 litros/hora 0.67 litros/hora 0. En este punto no es difícil encontrar la analogía entre el problema aquí planteado y el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo color.0 % 33.11 litros/hora 0.00 litros/hora 95.0 % 12.00 litros/hora 99. entonces. Esta característica queda evidenciada en la Tabla I. Para caracterizar el flujo multyifásico emplearemos dos conceptos nuevos: Admisión Efectiva de agua (AEw) y Producción Efectiva de agua (PEw) en el tubo mencionado: Admisión Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturación media de fluidos. de admisión y de producción sólo son idénticas cuando se trata de flujos estacionarios. toda la caída de presión se produce en la zona con agua. Sin embargo. realizar cálculos de admisión y de producción en forma más cercana a como se realiza en los casos reales. Podemos. la Admisión Absoluta (AAw) y la Producción Absoluta (PAw) coinciden con la Conducción Absoluta (CAw) del tubo. Esto es natural puesto que.4. Continuando con la analogía. Al igual que la permeabilidad absoluta en la ecuación de Darcy. en base a los supuestos iniciales. cuando la Swm es 100%. diríamos que la CAw para este tubo toma el valor 10 con las unidades empleadas. Producción Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturación media de fluidos. donde se observa que todos los caudales son idénticos cuando la Swm es del 100%. En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de Conducción (concepto monocromático) en sistemas no estacionarios (pelotas multicolores). Empleando una analogía directa con la ecuación de Darcy podemos llamar "Capacidad Absoluta de Conducción de agua" CAw al valor 10 que caracteriza al tubo en estudio cuando está totalmente lleno de agua. Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio. A continuación analizaremos con más detalle el modelo simple aquí presentado y trataremos de sacar algunas conclusiones útiles con respecto a la modelización del flujo multifásico en sistemas no-estacionarios. este valor (CAw) permite cuantificar la interrelación entre las variables del sistema (flujo de agua. Qw circulando por el tubo = N/A (Ningún color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla) Parece ineludible concluir que no existe un caudal único de circulación (conducción) de agua por el tubo cuando la saturación de agua no es uniforme. Para obtener los valores de la Tabla I. se realizaron los cálculos de caudal de inyección con la fórmula [1´] empleando la longitud del tubo que contiene agua a cada valor de saturación media. Y como ya fue establecido. siempre es posible calcular un caudal de admisión y un caudal de producción de agua.  AAw = CAw = PAw . Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conducción. diferencia de presión y longitud del tubo). como ya se estableció. Y ésta no es la condición habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos. Sin embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la ubicación del frente de agua en el sistema. . [2´] Donde  QCw = Caudal de Conducción de agua con Swm = 100%.... Con flujos no estacionarios la variable QCw pierde todo significado físico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color).. mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisión y de Producción de agua:   QAw = Caudal de Admisión de agua. pero no existen pozos conductores.....Con estos nuevos términos podemos re-escribir la . [6´] Desde un punto de vista práctico.. La capacidad de conducción de fluidos (asociada al concepto clásico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta. Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado físico y aplicabilidad práctica.. podemos definir la Admisión Relativa y la Producción Relativa.... Sólo el reservorio conduce fluidos.. Esta ecuación tiene validez sólo con flujo monofásico estacionario.. L / DP . en base a las siguientes fórmulas.. [3´] PEw = QPw ... [5´] PRw = PEw / PAw = PEw/ CAw ... La Tabla II y los gráficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos prácticos.. tanto en el tubo en estudio como en un reservorio real....00 ...... las variables de interés son la capacidad de inyectar y de producir fluidos del sistema.. Y para manejar conceptos más generales.0 % 10..00 0. además representan las variables de interés para caracterizar el sistema. [4´] Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y... QPw = Caudal de Producción de agua. L / DP . para flujos no estacionario... L / DP .ecuación [1´] de la siguiente forma:  CAw = QCw .. Estos conceptos no son nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y pozos productores. pero ésta es una capacidad que varía punto a punto y en el tiempo.   AEw = QAw ... TABLA II Saturación Media de Agua Admisión Relativa de Agua Producción Relativa de Agua 10. Sin embargo...... donde se relacionan los valores efectivos con la capacidad de conducción de agua cuando el sistema está 100% saturado con agua:   ARw = AEw / AAw = AEw / CAw .. 000 0.00 100.Producción Relativa de agua en el tubo La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atención sobre un punto que puede resultar conflictivo analizado desde la óptica del concepto tradicional de permeabilidad relativa. En el ejemplo aquí analizado la capacidad de Admitir aire es cero .500 0.429 0.333 0. En las Tablas y gráficos presentados se muestra sólo la capacidad de admisión y de producción de una de las fases (el agua).00 99.000 1.00 50.001 0.00 20.0 % 1.00 90.00 60. En los casos reales debe tenerse en cuenta la capacidad de admisión y de producción de todas las fases involucradas en el desplazamiento.667 0.00 70.00 30. Sin embargo suele considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condición de saturación) mayor capacidad de conducción de un fluido que la capacidad absoluta de conducción.0 % 3.00 95.Admisión Relativa de agua en el tubo Fig 1 .111 0.0 % 5.0 % 6.0 % 2. que un tubo lleno de agua.00 Fig 1 .00 80.250 0.667 0.0 % 1.00 40.053 0.0 % 2.000 0.9 % 1.0 % 1.0 % 1.15. No resulta sorprendente que un tubo vacío tenga mayor capacidad de admisión de agua.0 % 1.0 % 1. Y (sin considerar efectos de compresibilidad). Las tablas y los gráficos presentados describen completamente el flujo de agua en el sistema. tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en el estado estacionario. En todos los demás casos las saturaciones y las capacidades de conducción difieren punto a punto. Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad Relativa al agua de la que sea posible extraer información en forma directa sobre la capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio. Crotti (Última modificación . El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad de inyectar o de producir fluidos en un medio real. sino que constituye la regla para medios porosos con saturación no uniforme. . inyectar y producir sólo coinciden durante flujos estacionarios. para cada valor de saturación media. La ecuación de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos. La ley de Darcy en Flujos Multifásicos y Solución Conceptual. Tal como se muestra en las páginas específicas. la capacidad de producción de aire es igual a la capacidad de admisión de agua. Con las tablas y gráficos de esta página resulta posible describir la capacidad de admitir y de producir agua. En las páginas: Un Análisis Especial de la Ley de Darcy. se desarrollaron las bases para describir el flujo multifásico respetando el comportamiento físico de los sistemas reales. resumiendo el desarrollo de esta página puede decirse que: 1. También se mostró la necesidad de definir y manejar dos nuevos términos con significado físico y práctico para la caracterización de reservorios. en cualquier estado de saturación del tubo.15 de mayo de 2001). esta situación no es excepcional. los pasos que conducen a la situación mencionada pueden resumirse de la siguiente forma:      La curva de KR está unívocamente ligada a la ecuación de Darcy para la descripción de flujos multifásicos. (donde la admisión relativa de agua es 1 y la producción relativa de gas es cero). No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas capaces de describir el flujo multifásico aquí analizado. Como resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales asociados al uso regular de las curvas de KR. por lo que no puede definirse una capacidad de conducción de un elemento de volumen finito. En los reservorios reales sólo se obtiene flujo estacionario en los puntos extremos de saturación del sistema (una sola fase fluyendo). 2. excepto cuando la Sw es 100%. mientras se inyecte agua. A modo de repaso de todo lo dicho.para toda Saturación de agua mayor que cero. Descripción de Flujos Multifásicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas por M. Por lo tanto. La capacidad de conducir. Y el estado de saturación se puede obtener por medio de un balance de materiales. Esta metodología de medición se conoce como método no-estacionario. 4. Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyección y/o de producción Se vio. 3. donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras ("plugs") extraídas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos. entonces. o método de Welge. las condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento. 7. La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la medición de Porosidad y Permeabilidad al gas. Una vez obtenida la Saturación residual de petróleo (Sor) se determina la Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor]). Se determina la Permeabilidad absoluta al agua. las características de los fluidos (viscosidades). Este es el caso más simple de describir. Se realizan los cálculos (en forma explícita o implícita) para determinar la curva de KR. Se desplaza el agua móvil mediante la inyección de la fase orgánica a emplear. debido a que existe una larga práctica. Justamente el método más frecuente de medición de las curvas de KR se basa en el desplazamiento de una fase por otra. en este desarrollo se emplean los datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las experiencias con que mostraron la viabilidad de su método de cálculo para obtener curvas de KR. TABLA I . 6. 8.  Los estados estacionarios con flujo de más de una fase sólo se consiguen en laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las condiciones en que las variables de la ecuación de Darcy pueden definirse. 2. En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de petróleo con agua. Se inyecta agua a caudal o a presión constante registrando la curva de producción de agua y petróleo en función del tiempo. En esta página se detalla la metodología adecuada para realizar esta tarea en sistemas físicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas. Las etapas típicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petróleo. que en las aplicaciones de la Ingeniería de Reservorios muchas veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisión Relativa (AR) y Producción Relativa (PR). pueden enumerarse de la siguiente manera: 1. a nivel de laboratorio. a presión constante. Este proceso se continúa hasta alcanzar las condiciones de Swirr. La tarea siguiente consiste en detallar la metodología de obtención y de empleo de las curvas de AR y PR. garantizando la preponderancia de las fuerzas viscosas. Para ejemplificar toda la secuencia de cálculo. Se satura la muestra con agua de formación (o formulación equivalente que no dañe el medio poroso). Se determina la permeabilidad efectiva al petróleo en condiciones de Swirr (Ko[Swirr]). 5. En dicha tabla se incluyen los datos geométricos de la muestra. luego de ser sometidos a la metodología de cálculo explícita.40 cm2 Long 12.33 15.90 1560 9.97 cp DeltaP 100 psi Por otra parte.80 3600 9.28 900 8.09 3.90 Estos valores experimentales.00 540 7.00 180 3.4 mD ViscOil 10.Datos Generales Area 11.5 cp ViscWat 0. Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de Petróleo Producido hasta el "Breakthrogh".32 37.14 cm3 Swirr 35.70 19.71 cm VP 31.31 276. desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo.00 0. conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III TABLA III .80 10.90 99. En esta tabla.01 27. TABLA II Valores Medidos durante el Desplazamiento Volumen Petróleo Producido [cm3] Tiempo [seg] Volumen Total Producido [cm3] 0 0.89 1200 9.09 176.09 372 7. el Volumen Total producido corresponde a la suma de Petróleo y Agua producidos al tiempo indicado en la primera columna. en que comienza la producción simultánea de agua y petróleo.80 9000 10.0 % Ko [Swirr] 35.00 7.50 6000 10.90 720 8. durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los valores incluidos en la Tabla II. .. como podemos utilizar estos mismos datos experimentales para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento.40 0. Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en función de la Sw puntual.4: las saturaciones puntuales de agua comprendidas entre la Swirr y la Saturación del Frente de Desplazamiento no están definidas. Los autores mencionan explícitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los gráficos mediante una línea punteada.076 58..087 0.136 67.065 53.106 64. Si se usan más celdas se analiza en el esquema de SPE 69394.00 0..003 0.124 66. La simulación numérica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para describir el comportamiento real del sistema.10 0.145 La segunda fila de valores de la Tabla III se dejó en blanco para remarcar un punto importante de la teoría del desplazamiento2.774 0 51.095 61. Con su metodología de cálculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR.40 0. Página en construcción .Permeabilidades Relativas Sw media Kro Krw 35. esta curva sería coincidente con la obtenida mediante el método estacionario.60 0..200 0. Notas Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones. .60 0.3.010 0.030 0.002 0.. Veamos a continuación.70 0. Hace falta hacer algunos ajustes numéricos para obtener caudales .00 0. Sólo en muestras homogéneas.285 0. NUNCA es de aplicación la curva de KR.