3 Interes Compuesto

INTERES COMPUESTO56 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. D. INTERES COMPUESTO Objetivos Al finalizar este capitulo estaremos en capacidad de: a) Establecer y explicar la diferencia entre monto a interés simple y monto compuesto. b) Argumentar la diferencia de tasa de interés periódica nominal y tasa periódica efectiva. c) Explicar los conceptos de tasas de interés equivalentes, períodos de capitalización, frecuencia de capitalizar intereses según la tasa de interés nominal. d) Analizar los modelos de capitalización de intereses discreta y continua. e) Adquirir habilidades en el planteamiento y resolución de problemas relacionados con: monto compuesto, tiempo, interés, valor actual , tasas de interés nominal, efectiva y equivalentes. f) Desarrollar habilidades en el planteamiento y resolución de problemas de ecuaciones de valores equivalentes a interés compuesto. 1. Introducción Anteriormente abordamos problemas de interés simple, donde el capital permanece invariable o constante durante todo el tiempo que dura la transacción y los intereses se retiran periódicamente. Cuando utilizamos el método de Interés Compuesto, el capital aumenta en cada período; por cuanto el interés se integra al capital, para luego calcular intereses sobre un nuevo monto en cada período. Por ello, es muy corriente decir que en el Interés Compuesto “los intereses ganan intereses”, debido que éstos se capitalizan en cada período de liquidación de interés. Al proceso de integración de los intereses al capital al final de cada período de interés, le conocemos como capitalización de intereses y constituye la esencia del método de interés compuesto. Producto de este mecanismo, el capital invertido con este método crece más rápidamente, convirtiéndose en el sistema de cálculo de intereses más utilizado en las operaciones financieras de las instituciones bancarias y de préstamos. INTERES COMPUESTO 57 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. 2. Monto compuesto Estamos interesados en deducir la fórmula general que nos permitirá el cálculo del monto de una suma de dinero a interés compuesto. En particular iniciaremos con el ejemplo 1.23. Ejemplo 1.23 Una persona acude a un banco y deposita $2,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año. El banco paga interés del 9% convertible trimestralmente (interés compuesto). ¿Cuál será el valor del depósito al final del año? Solución Se trata de hallar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 0.09/4 = 2.25% acumulativo por trimestre. Esta situación se ilustra en la tabla 1.14. Datos P = 2,000, i = 0.0225 trimestre, N = 4 trimestres Periodo trimestral Valor inicio de periodo Interés devengado en el periodo Valor a final de periodo No. P I = P i n F = P + P i n 1 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,045.00 2 $2,045.00 2,045.00(0.0225) = 46.01 $2,091.01 3 $2,091.01 2,091.01(0.0225) = 47.05 $2,138.06 4 $2,138.06 2,138.06(0.0225) = 48.11 $2,186.17 Tabla 1.14 2,138.06 2,186.17 2,045 2,091.01 0 1 2 3 4 Trimestres Gráfico 1.15 1,000 Los nuevos montos o valores futuros en cada periodo, se muestran en el gráfico 1.15, observemos que en cada trimestre, el interés se suma al capital a este proceso se le llama capitalización. INTERES COMPUESTO 58 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. El flujo mostrado en el gráfico 2.15 se puede representar a través del gráfico 2.16 donde la operación se realiza desde el valor presente hasta el valor futuro, o sea, desde el inicio hasta el final del plazo. 2,186.17 0 1 2 3 4 Trimestres Gráfico 1.16 1,000 3. Valor futuro con interés compuesto Para deducir la fórmula general del cálculo de la equivalencia financiera entre una suma de dinero presente P y una suma futura F llamada monto, utilizaremos los resultados del ejemplo 1.23, los cuales se muestran en la tabla 1.15 Periodo de interés Valor inicio de período Interés devengado en el periodo Valor final de período No. P I F 1 P Pi F = P(1 + i) 2 P(1 + i) P(1 + i) ( i ) F = P(1 + i) 2 3 P(1 + i) 2 P(1 + i) 2 ( i ) F = P(1 + i) 3 4 P(1 + i) 3 P(1 + i) 3 ( i ) F = P(1 + i) 4 . . . N . . . P(1 + i) N-1 . . . P(1 + i) N-1 ( i ) . . . F = P(1 + i) N Tabla 1.15 De lo anterior se generaliza la fórmula de valor futuro a interés compuesto para N períodos de capitalización de intereses de la siguiente manera: ( ) 20 1. N i 1 P F + = INTERES COMPUESTO 59 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Donde: La fórmula 1.20 también se puede escribir en sus formas equivalentes de la siguiente manera Donde: En la fórmula 1.23 el valor de la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal anual si m =1. 1.21 n . m m j 1 P F | . | \ | + = ( ) 1.22 n e i 1 P F + = 23 1. 1 m m j 1 e i ción capitaliza de periodos de Número n . m N efectiva o periódica Tasa m j i ÷ | . | \ | + = = = F : Valor Futuro o monto a interés compuesto de una deuda P : Valor Presente o principal de una deuda j m : Tasa de interés nominal con periodos anuales m : Frecuencia de capitalización o liquidación de intereses según el período de la tasa nominal j i : Tasa de interés efectiva para cualquier período n : Plazo en años y total de capitalizaciones anuales de intereses N : Número total de capitalizaciones en el plazo i e : Tasa de interés efectiva anual INTERES COMPUESTO 60 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Si resolvemos nuevamente el ejemplo 1.23 por la fórmula 1.21, obtenemos el mismo resultado; Datos P = $ 2,000 j = 9% tasa nominal anual m = 4 frecuencia de capitalización anual i = j/m = 2.25% tasa efectiva trimestral n = 1 año de plazo de la operación N = 4 periodos capitalización Solución Observemos que el resultado es el mismo, tanto por deducción como por inducción. En la solución anterior debemos señalar que el valor de 0.0225 es lo que gana un dólar en un trimestre y N = 4x1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la operación financiera; lo que significa que $2,000 colocados al 2.25% trimestral producen al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro de $2,186.17 dólares. 4. Tasas de interés a. Tasa nominal La tasa de interés nominal es la tasa pactada o establecida en toda operación financiera, generalmente es para períodos anuales pero también puede definirse para períodos menores que un año. Esta tasa no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. Por ejemplo, consideremos las siguientes tasas de interés con su frecuencia de convertir o capitalizar intereses. La tasa nominal la denotaremos por j. a) 20% convertible trimestralmente, significa que es una tasa nominal anual con 4 conversiones en un año. b) 18% convertible mensualmente, tasa nominal anual con 12 conversiones anuales. c) 24% convertible semestralmente, tasa de interés nominal anual con 2 conversiones en un año. b. Tasa efectiva La tasa efectiva es periódica y expresa la rentabilidad a interés compuesto, mide el porcentaje de ganancia de la inversión, por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. En este texto, la tasa efectiva para periodo diferente de un ( ) ( ) 2,186.17 1.093083 2,000 4 0.0225 1 2,000 F = = + = INTERES COMPUESTO 61 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. año la denotaremos como i; para periodo anual, la tasa efectiva la denotaremos por i e . La tasa efectiva periódica i esta dada por La tasa efectiva anual está por la fórmula 1.23 Ejemplo 1.24 Para cada uno de los casos determinemos las tasas efectivas. a) Para 24% convertible mensualmente (C.M). Es una tasa nominal j con frecuencia anual m = 12 de capitalizar intereses con; b) 7% semestral. Es una tasa efectiva i = 7% por semestre. c) 16% convertible trimestralmente (C.T). Es una tasa nominal j con frecuencia anual m = 4 con tasas efectivas; d) 12% semestral, convertible bimensualmente CB. Es una tasa nominal j de con frecuencia anual m = 6. efectiva o periódica Tasa m j i = anual efectiva Tasa 1 m m j 1 e i ÷ | . | \ | + = anual efectiva Tasa 26.8242% 1 12 12 0.24 1 1 m m j 1 e i mensual efectiva periódica Tasa 2% 12 0.24 m j i = ÷ | . | \ | + = ÷ | . | \ | + = = = = anual efectiva Tasa 16.9859% 1 4 4 0.16 1 1 m m j 1 e i trimestral efectiva periódica Tasa 4% 4 0.16 m j i = ÷ | . | \ | + = ÷ | . | \ | + = = = = anual tiva efec Tasa 12.6163% 1 6 6 0.12 1 1 m m j 1 e i bimensual efectiva periódica Tasa 2% 6 0.12 m j i = ÷ | . | \ | + = ÷ | . | \ | + = = = = INTERES COMPUESTO 62 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Concluimos del ejemplo anterior lo siguiente: si una empresa invierte al 24% convertible mensualmente, entonces tiene una ganancia o rentabilidad anual 26.8241% equivalente una rentabilidad mensual del 2% acumulativo, es decir que la ganancia mensual se invierte a la misma tasa. De igual manera, si invierte al 16% convertible trimestralmente, obtiene una ganancia anual de 16.9859% y una rentabilidad equivalente trimestral de 4% acumulativo. En la tabla 1.16 presentamos las notaciones y las frecuencias más usuales de la tasa nominal anual en las operaciones financieras. Concepto Notación Frecuencia anual Convertible anualmente CA m = 1 Convertible semestralmente CS m = 2 Convertible cuatrimestre CCt M = 6 Convertible trimestral CT m = 4 Convertible bimensualmente CB m = 6 Convertible mensualmente CM m = 12 Convertible quincenalmente CQ m = 24 Convertible semanalmente CSe m = 52 Convertible diariamente CD m = 365 Convertible continuamente CC m ÷ · (infinito) Tabla 1.16 Ejemplo 1.25 Calculemos el monto F de un capital de $6,000 invertido, al 20% CS a 5 años de plazo: Datos P = $6,000 capital invertido j = 20% tasa de interés nominal anual m = 2 frecuencia de conversión de intereses anuales i = j/m = 0.20/2 = 10% tasa efectiva del periodo n = 5 años de plazo o tiempo N = mn = 2(5) = 10 periodos capitalizados semestrales F = ? Solución La solución la hallamos utilizando la fórmula 1.20 ( ) ( ) $15,562.45 2.593742 6,000 10 0.10 1 6,000 F = = + = INTERES COMPUESTO 63 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Ejemplo 1.26 Determinemos el valor final F de un depósito de $10,000 invertido, al 8% CM a 16 meses de plazo: Datos P = $10,000 principal depositado j = 8% tasa de interés nominal anual m = 12 frecuencia de conversión de intereses anuales i = j/m = 0.08/12 = 0.6666% tasa efectiva del periodo n = 16/12 = 1.33333 años de plazo N = mn = 12(1.333333) = 16 número de periodos capitalizados F = ? Solución La solución la hallamos utilizando la fórmula 1.21 Ejemplo 1.27 Calculemos el monto F de un préstamo de $15,000 que se concede el día 10 de enero y vence el día 18 de julio del mismo año con el interés del 18% CT. Datos P = $15,000 principal prestado j = 18% tasa de interés nominal anual m = 4 frecuencia de conversión de interés anual i = j/m = 0.18/4 = 0.045% tasa efectiva del periodo n = 189/360 = 0.525 años de plazo N = mn = 4(0.525) = 2.1 número de periodos capitalizados F = ? Solución La solución la hallamos utilizando la fórmula 1.21 Ejemplo 1.28 Determinemos el valor final F de un certificado de $30,000 que se adquiere con un interés del 12% CD a plazo de 3 años. ( ) ( ) $11,121.69 1.112169 10,000 12 12 16 12 0.08 1 10,000 F = = | . | \ | + = ( ) ( ) $16,452.63 1.096842 15,000 4 360 189 4 0.18 1 15,000 F = = | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 64 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Datos P = $30,000 valor inicial de la inversión j = 12% tasa de interés nominal anual m = 365 frecuencia de conversión de intereses anuales i = j/m = 0.12/365 = 0.032876% tasa efectiva del periodo n = 3 años de plazo N = mn = 365(3) = 1,095 número de periodos capitalizados F = ? Solución La solución la hallamos utilizando la fórmula 1.21 Ejemplo 1.29 Hallemos el monto F de un capital de $5,000 invertido, al 0.76% mensual a un año de plazo: Datos P = $5,000 principal invertido m = 12 frecuencia de conversión de intereses anuales i = 0.76% tasa efectiva del periodo n = 1 año de plazo N = mn = 12(1) = 12 periodos capitalizados F = ? Solución La solución la hallamos utilizando la fórmula 1.20 Podemos proponernos hacer una comprobación de los resultados de los ejemplos anteriores utilizando las fórmulas 1.20, 1.21 y 1.22; y notaremos que son los mismos para cada operación financiera. Ejemplo 1.30 Comprobemos el resultado del ejemplo 1.28 por la fórmula 1.22. Datos P = $30,000 valor inicial de la inversión j = 12% tasa de interés nominal anual m = 365 frecuencia de conversión de intereses anuales i = j/m = 0.12/365 = 0.032876% tasa efectiva del periodo n = 3 años de plazo ( )( ) ( ) $42,997.33 1.433244 30,000 365 3 365 0.12 1 30,000 F = = | . | \ | + = ( ) ( ) $5,475.55 1.09511 5,000 12 0.0076 1 5,000 F = = + = INTERES COMPUESTO 65 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. N = mn = 365(3) = 1,095 número de periodos capitalizados F = ? Para usar fórmula indicada primero debemos calcular la tasa efectiva anual i e , esto es; Así, la solución por la fórmula 1.22 que obtenemos es: La solución que hallamos anteriormente por la fórmula 1.21 estaba dada por; Concluimos que el resultado es el mismo, lo cual significa que las tasa de interés nominal del 12% CD es equivalente al 12.7475% efectivo anual. c. Tasas equivalentes Dos o más tasas de interés, tanto nominales como efectivas son equivalentes, si al final de período rinden los mismos intereses y tienen la misma tasa periódica efectiva, es decir; para el inversionista le es indiferente invertir con cualquiera de las tasas dado que al final del plazo el monto es mismo como lo vimos en el ejemplo 1.28. Más adelante abordaremos el cálculo de las tasas equivalentes 5. Valor presente de una suma de dinero El valor actual o presente P a interés compuesto, es el valor del dinero el día de hoy o el valor en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a la pregunta: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿cuánto se tendrá que invertir hoy, conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión? Otra forma de uso del valor presente, es para saber el valor actual de una deuda pendiente si deseamos pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento. De las fórmulas 1.20 y 1.21 al despejar la variable P, obtenemos el valor presente a interés compuesto, de la siguiente manera: ( )( ) ( ) $42,997.33 1.433244 30,000 365 3 365 0.12 1 30,000 F = = | . | \ | + = anual efectiva 12.7475% 1 365 365 0.12 1 e i = ÷ | . | \ | + = ( ) ( ) $42,997.33 1.433244 30,000 3 0.127475 1 30,000 F = = + = INTERES COMPUESTO 66 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Todas las variables básicas definidas en las fórmulas 1.20 y 1.21 son válidas para las fórmulas 1.24 y 1.25. Ejemplo 1.31 Una empresa debe pagar dentro de 2 años, 5 meses y 18 días la cantidad de $100,000 a un interés del 16% C.S. ¿Cuál es su valor presente? Datos F = $100,000 valor futuro j = 16% CS tasa de interés nominal anual m = 2 frecuencia de conversión de intereses en el año i = j/m = 0.16/2 = 0.08 tasa efectiva por semestre n = 2 + 5/12 + 18/360 = 2.4666666 plazo en años N = mn = 2(2.4666666) = 4.93333 total de capitalizaciones semestrales Solución Por la fórmula 1.24 obtenemos el valor presente o actual El resultado anterior significa que el valor actual de la deuda futura $100,000 es de $68,408.41, cantidad que no contiene intereses y representa el valor del pronto pago el día de hoy. 6. Diferencias entre el interés simple y compuesto Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos métodos: a) La aplicación de los métodos difieren en respuesta al tipo de operación financiera efectuada; si los intereses son pagaderos por período, actúa el ( ) ( ) 1.24 N i 1 F N i 1 F P + = ÷ + = ( ) ( ) $68,408.41 0.684084 100,000 4.933333 0.08 1 100,000 P = = ÷ + = 1.25 mn m j 1 F mn m j 1 F P | . | \ | + = ÷ | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 67 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. interés simple. Si los intereses son integrados al principal en cada período de liquidación de intereses, actúa el método de interés compuesto. b) El crecimiento de una inversión específica se da en forma más acelerada si es colocada a interés compuesto que a interés simple para un mismo plazo y una misma tasa de interés. Si observamos el ejemplo, 1.23 resuelto en la tabla 1.14 podemos apreciar que el monto a interés compuesto de 2,000 dólares, colocados a una tasa del 2.25% trimestral, durante un año de plazo, resulta $2,186.17. En cambio si realizamos el cálculo a interés simple detectamos que se produce una ligera disminución de $6.17 dólares en el monto de la misma operación. Efectivamente, este resultado lo observamos en la tabla 1.17 y lo comprobamos a través de: La diferencia entre el cálculo de interés compuesto y simple es debido a que los intereses devengados con interés simple en cada periodo no ganan intereses, ya que los intereses no se capitalizan. Período trimestral Valor inicio de período Interés devengado Valor final de período No. P I = P i n F = P + Pin 1 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,045.00 2 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,090.00 3 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,135.00 4 $2,000.00 2,000.00(0.0225) = 45.00 $2,180.00 Tabla 1.14 F Monto a interés compuesto. Monto a interés simple. P 0 1 2 3 4 5 . . . n años Gráfico 1.17 ( ) | | ( ) | | ( ) $2,180.00 1.09 2,000 4 0.0225 1 2,000 n i 1 P F = = + = + = INTERES COMPUESTO 68 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Como ejercicio independiente dejamos al lector que establezca la relación entre las tasas de interés de un cierto capital invertido a interés simple y compuesto. El método de cálculo del interés compuesto, hace crecer a la inversión o principal de forma exponencial, en vista del proceso de capitalización de los intereses. El monto o valor futuro a interés compuesto crece en forma de razón geométrica y su gráfico corresponde a una función exponencial; en cambio, el valor futuro a interés simple crece en forma de progresión aritmética y su gráfico corresponde a una función lineal, como se aprecia en el gráfico 1.17. a. Uso de factores a través de tablas Desde hace buen tiempo ha sido una tradición en la enseñanza de las Matemáticas Financieras, el empleo de las tablas de factores financieros dado que los especialistas en finanzas elaboraron tablas con factores para facilitar los cálculos del valor del dinero. Con el desarrollo de la ciencia y la técnica y el surgimiento de las calculadoras electrónicas, el uso de las tablas financieras han quedado relegadas debido a su limitación para abordar una diversidad de casos relacionados con las operaciones financieras. Por eso, en este texto trataremos en lo adelante no hacer uso de las tablas de factores financieros, ya que éstos serán calculados a partir de las fórmulas estándares, por ello se hace necesario e indispensable que dispongamos de una calculadora que nos facilite realizar dichos cálculos. No obstante, podemos hacer algunos cálculos empleando las tablas de factores, la cual le hemos llamado “forma alternativa de cálculo”. b. Cálculo de valor futuro forma alternativa Como definimos antes el valor futuro F, es la cantidad resultante al final de cierto período de tiempo (cierto número de períodos de capitalización) después de sucesivas adiciones de los intereses al capital o principal. Plantearemos ahora, la fórmula 1.26 de forma alternativa para el cálculo del monto de la siguiente manera: La expresión (F/P, i, n) se lee “se busca F dado P a la tasa de interés i durante el tiempo n (o número de capitalizaciones N y se encontrará en la primera columna (F/P) de las tablas de factores de matemáticas financieras. El valor numérico de la expresión (F/P, i, n) es exactamente igual al factor F = P (F/P, i, n) 1.26 INTERES COMPUESTO 69 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. de la fórmula 1.20 para el cálculo del monto compuesto. c. Cálculo de valor presente forma alternativa De la fórmula 1.24 también podemos determinar el valor presente P, utilizando la fórmula alternativa 1.27 a través de tablas financieras o sea; La expresión (P/F, i, n) se lee “se busca P dado F a la tasa de interés i, durante el tiempo n (o períodos de capitalizaciones N)” y se encontrará en la segunda columna (P/F) de la tabla de factores de matemáticas financieras. Esta expresión (P/F, i , n) en valor numérico es exactamente igual al factor; Correspondiente a la fórmula 1.24. Analicemos los ejemplos que se dan a continuación para comprender mejor los conceptos de valor presente a interés compuesto. F = 24,007.26 0 1 2 3 4 . . . 27.67 Meses P = ? Gráfico 1.18 P = F(P/F, i, n) 1.27 ( ) nm m j 1 N i 1 | . | \ | + = + ( ) ( ) mn N N m j 1 1 i 1 1 i 1 | | . | \ | + = + = ÷ + INTERES COMPUESTO 70 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Ejemplo 1.32 Una empresa al final del plazo fijo de 2 años, 3 meses y 20 días obtiene la cantidad de $24,007.26 en concepto de un depósito. Si el interés es del 8% CT. Determines el valor inicial del depósito. Gráfico 1.18 Datos F = $24,007.26 valor futuro j = 8% C.T. tasa de interés nominal anual m =4 frecuencia de conversión de intereses i = j/m = 0.08/2 = 0.02 tasa efectiva por trimestre n = 2 + 3/12 + 20/360 = 2.305555 años N = m.n = 4(2.305555) = 9.22222 total de capitalizaciones trimestrales P = ? Solución El valor que tenemos que hallar es el presente. La solución del problema la obtenemos a través de la fórmula 1.24 El valor del depósito de la empresa es de $20,000.00 Ejemplo 1.33 Una persona pagó al final del plazo de 2 años $7,549.00, en concepto de principal más intereses del 18% efectivo anual. Determinemos el valor del préstamo que recibió la persona. Gráfico 1.18 P = ? 0 1 2 Años Gráfico 1.18 F = 7,549 Datos F = 5,549 valor futuro i e = 18% tasa de interés efectivo anual n = 2 años de plazo m = 1, frecuencia de conversión de intereses F = ? ( )( ) ( ) $20,000.00 0.833081 24,007.26 2.30555 4 4 0.08 1 24,007.26 P = = ÷ | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 71 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Solución Se busca en la tabla de factores financieros, la tasa del 18% en correspondencia al período N = mn = 2, encontramos el factor (0.7182) que corresponde al valor de la expresión de factores financieros (P/F, i, n) y que reemplaza al factor de la fórmula 1.25, esto es; P = F(P/F, i, n) = 5,549(P/F, i, n) = 5,549(0.7182) = $3,985.29 Si empleamos la fórmula 1.25 para el cálculo exacto de valor presente, tenemos: Observamos que hay una diferencia mínima entre las dos respuestas. Esto es debido a que estamos usando todos los decimales sin redondear el factor financiero. Cuando utilizamos los factores financieros dados en las tablas, los resultados muchas veces no son exactos por efecto de redondeo de dicho factor. Ejemplo 1.34 Determinemos el valor presente de un documento por el cual al final de 18 meses, se pagó un monto de $125,310.50 a un interés del 15% C.M. Gráfico 1.19 P = ? 0 1 2 3 . . . 18 Meses Gráfico 1.19 F = 125,310.50 Datos F = $125,310.50 valor futuro j = 15% tasa nominal anual m = 12 frecuencia de conversión de interés anual i =j/m = 0.30/12 = 0.025 tasa efectiva del periodo n = 1.5 plazo en años N = m.n = 12(1.5) = 18 números de periodos capitalizados P= ? ( )( ) ( )( ) 2 1 1 0.18 1 n m m j 1 ÷ | . | \ | + = ÷ | . | \ | + ( )( ) ( ) $3,985.21 0.718184 5,549.00 2 1 1 0.18 1 5,549.00 P = = ÷ | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 72 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Solución Si buscamos en una tabla de factores financieros, la tasa i = 0.15/12 = 0.0125 mensual en correspondencia al período N = m.n = 12(18/12) = 18 que significan el total de períodos capitalizados, encontramos el factor (0.7996) que es el valor de la expresión (P/F, i, n) y que reemplaza al factor Por tanto la solución es: P = F(P/F, i, n) = 125,310.50(P/F, i, n) = 125,310.50(0.7996) = $ 100,198.27 Si empleamos la fórmula 1.25 para el cálculo exacto de valor presente, obtenemos; En este caso la diferencia entre ambas respuestas es de $3.85. Ejemplo 1.35 En la compra de una casa, el Sr. Martínez paga $55,000 de cuota inicial o enganche y acuerda desembolsar $122,500 dos años después para cancelar totalmente la casa. Determinemos el valor de contado de la casa, si la tasa de interés es del 24% C.T. Gráfico 1.20 Datos C 0 = $55,000 cuota inicial F = $125,500 valor futuro a pagar j = 16% tasa de interés nominal anual m = 4 frecuencia de conversión de intereses anuales i = j/m = 0.16/4 = 0.04 tasa efectiva del periodo n = 2 años de plazo para pagar el saldo N = m.n = 8 periodos de capitalizaciones trimestrales ( )( ) ( ) 12 18 12 12 0.15 1 n m m j 1 | . | \ | ÷ | . | \ | + = ÷ | . | \ | + ( ) ( ) 1 $100,202.1 0.799631 125,310.50 12 18 12 12 0.15 1 125,310.50 P = = | . | \ | ÷ | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 73 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. P = ? 0 1 2 3 . . . 8 Trimestres 55,000 Gráfico 1.20 F = 125,500 Solución El valor de contado de la casa es el valor presente de todos los pagos que deben realizarse, de esta manera; si buscamos en la tabla de factores financieros, la tasa trimestral del 4% en correspondencia al período N = 8, encontraremos el factor (0.7307) que es el valor de la expresión (P/F, i, n) que aparece en las tablas y que reemplaza al factor; El valor presente de la cuota inicial es su mismo valor, dado que coincide con la fecha focal que es el valor cero en la escala tiempo valor, así la solución es; P = C 0 + F (P/F, i, n) = 55,000 + 122,500(P/F, i, n) = 55,000 + 89,510.75 = P = $ 144,510.75 El cálculo exacto a través de la fórmula 1.25 es: 7. Número de periodos capitalizados y plazo El cálculo del número de períodos capitalizados a interés compuesto es útil que lo conozcamos para estimar el tiempo o plazo que puede alcanzar un monto prefijado de una determinada inversión realizada a partir del día de hoy, sabiendo la tasa de interés que actúa en la operación. Como sabemos N representa el número de períodos capitalizados el cual está dado por; ( )( ) ( )( ) 0.1 1 n m m j 1 2 4 4 6 ÷ | . | \ | + = ÷ | . | \ | + ( )( ) ( ) 5 $144,509.5 89,509.55 55,000 0.730690 122,500 55,000 2 12 12 0.16 1 122,500 55,000 P = + = = + = ÷ | . | \ | + + = m N n es plazo o tiempo el donde n . m N = = INTERES COMPUESTO 74 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Así; de la fórmula 1.20 sabemos que: Se trata de despejar el exponente N en (1) de la siguiente manera: Aplicando logaritmo natural ( ln ) a ambos miembros de la ecuación (2), tenemos; En (3) despejamos N y obtenemos la fórmula deseada para el cálculo de número de periodos capitalizados de interés en la operación desde el inicio hasta el final. La fórmula 1.28 tiene sus acepciones, por ejemplo si en la operación financiera interviene una tasa nominal j entonces la fórmula para calcular el plazo es; Si la tasa de interés que utilizamos es la efectiva anual i e entonces la fórmula para determinar el número de periodos que coinciden con el plazo en años es la siguiente: ( ) 8 1.2 i 1 ln P F ln N + | . | \ | = ( ) ) ( N i 1 P F 1 + = ( ) (2) P F N i 1 = + ( ) ( ) | . | \ | = + | . | \ | = + P F ln i 1 Nln entonces (3) P F ln N i 1 ln 9 1.2 m j 1 ln P F ln m 1 n | . | \ | + | . | \ | | . | \ | = INTERES COMPUESTO 75 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Ejemplo 1.36 Una persona invirtió en un CDT (certificado de depósito a término) la cantidad de $15,000 y le redimieron $19,438.60. Determinemos el número de periodos y el plazo del certificado, si la tasa de interés fue del 18% CT. Gráfico 1.21 F = 19,438.60 0 1 2 3 4 . . . n = ? Gráfico 1.21 P = 15,000 Datos P = $15,000 principal invertido F = $19,438.60 valor futuro o valor redimido j = 18% C.T. tasa de interés nominal anual m = 4 frecuencia de conversión de interés anual i = 0.18/12 = 0.045 tasa efectiva del periodo N = ?, n = ? Solución Por la fórmula 1.28 calculemos el número de periodos de interés esto es: Para hallar el plazo utilicemos la fórmula .129 o sea; ( ) trimestres 5.888876 0.044016 0.259210 0.045 1 ln 15,000 19,438.60 ln N = = + | . | \ | = ( ) 1.30 e i 1 ln P F ln n + | . | \ | = ( ) años 1.472219 5.888876 4 1 0.044016 0.259210 4 0.18 1 ln 15,000 19,438.60 ln 4 1 n = | . | \ | = = | . | \ | + | . | \ | | . | \ | = INTERES COMPUESTO 76 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. El valor 1.472219 representa años comerciales. Más exactamente el plazo del CDT se obtiene multiplicando los decimales de año (0.472219) por 12 para obtener meses y multiplicando los decimales de meses (0.666628) por 30 para obtener días; así el plazo es: 1 año, 5 meses, 20 días comerciales aproximadamente. Ejemplo 1.37 Una empresa paga un monto de $8,300.20 para saldar un préstamo de $5,000 con interés del 16% efectivo anual. Determinemos el plazo y los periodos capitalizados del préstamo. Datos P = $5,000 principal prestado F = $8,300.20 valor futuro o monto del préstamo i e = 16% tasa de interés efectivo anual n = ?, N = ? Solución En este caso el número de periodos capitalizados coincide con el plazo en años, por la fórmula 1.30 obtenemos las respuestas; La respuesta anterior significa que el número de periodos capitalizados y el plazo es 3.4149139 años. En años comerciales es: 3 años, 4 meses y 29 días. Ejemplo 1.38 Si los periodos capitalizados de cierta operación financiera son de 32.892345 meses, determinemos exactamente el plazo en: años, meses y días comerciales. Datos N = 32.892345 periodos capitalizados mensuales m = 12 frecuencia de conversión de intereses anuales n = ? Solución El número de periodos y el plazo se expresan de la siguiente manera; ( ) años 3.4149139 0.148420 0.506842 0.16 1 ln 5,000 8,300.20 ln n = = + | . | \ | = m N n es plazo o tiempo el donde n . m N = = INTERES COMPUESTO 77 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Así, el plazo en años comerciales es; Concluimos que el plazo en año comercial aproximadamente es: 2 años, 8 meses y 27 días. 8. Tasas de interés efectivas y nominales En esta sección abordaremos el cálculo de las tasas de interés efectivas y nominales a partir del conocimiento del valor futuro F de un valor presente P y el plazo n de una operación financiera. Podemos hallar la tasa efectiva de interés i para cualquier período, excepto anual; ésta tasa la definimos anteriormente como la rentabilidad de la inversión a interés compuesto. De la fórmula general de interés compuesto, despejamos i de la siguiente forma: de donde la tasa efectiva periódica i es: La tasa efectiva i e anual la obtenemos de la ecuación Despejamos 1.31 1 N 1 P F i ÷ | . | \ | = 32 1. 1 n 1 P F e i ÷ | . | \ | = ( )( ) ( )( ) días 27 : días 26.77 30 0.892345 meses 8 : meses 8.892345 12 0.741028 años 2 : años 2.741028 12 32.892345 m N n = = = = = ( ) ( ) P F N i 1 entonces N i 1 P F Como = + + = ( ) ( ) P F n e i 1 entonces n e i 1 P F = + + = INTERES COMPUESTO 78 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Dado que la tasa periódica i = j/m y N = mn, entonces resulta; De la relación anterior obtenemos la tasa nominal j; Ejemplo 1.39 Si invertimos $2,500 dólares y dentro de 5 años nos pagan intereses y principal por $3,700.61. Hallemos la tasa de interés nominal CS y la tasa efectiva anual que ganamos. Datos P = $2,500 valor presente F = $3,700.61 valor futuro n = 5 años de plazo m = 2 frecuencia de conversión de intereses anuales j = ? , i e = ? Solución Si utilizamos la fórmula 1.33 obtenemos la tasa nominal j; Por la fórmula 1.32 calculamos la tasa efectiva i e ; 1.33 1 n . m 1 P F m j ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ | . | \ | = ( )( ) . S . C % 8 j sea o 0.08 1 1 2,500 3,700.61 2 j = = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ | . | \ | = 5 2 anual efectivo 8.16% e i sea o 0.0816 1 5 1 2,500 3,700.61 e i = = ÷ | . | \ | = P F n . m m j 1 entonces n . m m j 1 P F = | . | \ | + | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 79 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Ejemplo 1.40 Una persona invirtió $10,000 dólares en un certificado y al final del plazo de 2 años le redimieron $14,845.76. Determinemos las tasas de interés que gana la inversión: a) efectiva mensual b) efectiva anual c) nominal convertible semestralmente CT Datos P = $10,000 valor presente invertido F = $14,845.76 valor redimido o futuro n = 2 años de plazo m = 12 frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso a) m = 1 frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso b) m = 4 frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso c) Solución a) A través de la fórmula 1.31 obtenemos la tasa efectiva mensual i; b) La tasa efectiva anual en este caso es: c) La solución de la tasa nominal CT es a través de la fórmula 1.33. Concluimos en este ejemplo que las tasas de interés: 1.66% efectiva mensual, 21.8432% efectivo anual y 20.2525% nominal CT son tasas equivalentes, ya que para la misma inversión de $10,000 y para el mismo plazo de 2 años producen los ( )( ) mensual % 1.66 i sea o 0.0166 1 2 12 1 10,000 14,845.76 i = = ÷ | . | \ | = anual efectivo 21.8432% e i sea o 0.218432 1 2 1 10,000 14,845.76 e i = = ÷ | . | \ | = ( )( ) . T . C % 20.2525 j entonces 0.202525 1 2 4 1 10,000 14,845.76 4 j = = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ | . | \ | = INTERES COMPUESTO 80 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. mismos intereses de $4,845.76. En la sección 10 de este capitulo abordaremos el cálculo de la tasas equivalentes. 9. Interés compuesto convertible continuamente Estudiaremos en esta sección un tipo de cálculo de intereses de forma continua, es decir; que las capitalizaciones que se producen en un periodo dado son infinitas. En este caso la palabra infinito se deriva del concepto de continuidad infinitesimal. Los modelos de interés compuesto estudiados anteriormente se denominan discretos, debido a que las capitalizaciones en el periodo de la tasa de interés nominal son finitas, es decir; podemos saber exactamente el número de ellas, por ejemplo si decimos 20% CM significa que la frecuencia de capitalizar intereses es de 12 veces en el año y el capital invertido en estas condiciones crece en forma discreta, entonces para el cálculo del monto utilizamos los modelos discretos. En cambio si decimos 22% CC (convertible continuamente) significa que las capitalizaciones de interés por periodo de la tasa nominal son infinitas y el capital crece de forma continua. En este caso para el cálculo del monto compuesto es necesario que utilicemos el modelo de capitalización continua. La importancia de las capitalizaciones continuas estriba en el uso que le dan las instituciones financieras para llamar la atención de los ahorrantes. Por ejemplo, es normal escuchar la publicidad de las instituciones ofertando a los ahorrantes, tasas de interés convertibles continuamente, cuando afirman que “el dinero depositado en sus cuentas de ahorro crece de día, de noche y en todo momento”, es decir; no se detiene de crecer. Se trata entonces, de tasas de interés convertibles de forma continua. Más adelante aprenderemos a transformar una tasa nominal con frecuencia discreta de capitalizar intereses a una tasa nominal con frecuencia infinita, esto lo lograremos con el cálculo de las tasas equivalentes. a. Monto a interés convertible continuamente Anteriormente calculamos el valor futuro F con una tasa nominal j con una frecuencia finita m – veces de capitalizaciones de intereses, mediante la fórmula 1.21. Esta fórmula no la podemos usar cuando la frecuencia de capitalizaciones de la tasa nominal ĵ es continua, ya que la variable m en este caso tenderá a infinito, es decir; crece sin límite. Pero la podemos transformar de tal manera que sea posible aplicarla en estas condiciones. Esta transformación se efectúa a partir de la fórmula 1.21 que la retomamos: En la ecuación (1) hacemos un cambio de variable, denotamos: (1) n . m m j 1 P F | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 81 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Si reemplazamos este valor en la ecuación (1) tenemos; En la ecuación (2) m tiende a infinito (m ÷ ·) entonces, también w tiende a infinito ( w÷ ·). En estas condiciones, podemos aplicar límite al infinito a la expresión que aparece entre corchetes, El resultado e = 2.7182818 de (4) lo reemplazamos en la ecuación (3) obtenemos la fórmula del cálculo del monto compuesto continuamente, también llamado modelo continuo; Donde: (2) jn w w 1 1 P wjn wj j 1 P F ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | + = | | . | \ | + = sea; o ), (w infinito a tiende w cuando w w 1 1 · ÷ ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | + (3) jn w w 1 1 w lim P F ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | + · ÷ = (4) .. 2.7182818. e w w 1 1 w lim límite del ón aproximaci Por = = ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | + · ÷ 1.34 n e P F j = j w m entonces j m w = = INTERES COMPUESTO 82 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. En el gráfico 1.22 presentamos la forma en que aumenta el capital invertido a interés convertible continuamente. F Monto a interés compuesto continuo P 0 1 2 3 4 5 . . . n años Gráfico 1.22 Ejemplo 1.41 El señor Gutiérrez debe cancelar el monto de un préstamo que vence dentro de 5 meses. Si el principal es de $2,450.80 y el interés es del 17.5% CC. Determinemos el monto en la fecha de vencimiento. Datos P = $2,450.80 principal prestado ĵ = 17.5% CC tasa de interés convertible continuamente n = 5/12 = 0.416666 año de plazo F = ? Solución Por la fórmula 1.34 obtenemos la respuesta. F: valor futuro o monto P: valor presente o principal ĵ : tasa periódica nominal convertible continuamente (CC) n : plazo de la operación financiera e : constante de valor e = 2.7182818... INTERES COMPUESTO 83 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. El monto esperado será entonces de $ 2,636.18 Ejemplo 1.42 Si depositamos $12,000 en una cuenta aplazo fijo de 10 meses con el interés del 10% CC ¿Cuánto tendremos en la cuenta al finalizar el plazo? Datos P = $12,000 principal depositado ĵ = 10% CC tasa de interés convertible continuamente n = 10/12 = 0.833333 año de plazo F = ? Solución Nuevamente por la fórmula 1.34 obtenemos la respuesta. Al finalizar el plazo tendremos en nuestra cuenta la cantidad de $ 12,042.85 b. Valor presente a interés convertible continuamente Para determinar el valor presente con interés convertible continuamente partimos de la fórmula 1.34 donde las variables definidas siguen siendo válidas esto es: Ejemplo 1.43 Hallemos el valor que pagaríamos hoy por una deuda de $18,000 que vence dentro de 15 meses, si el interés es del 15.6% CC Datos F = $18,000 monto o valor futuro de la deuda ĵ = 15.6% CC tasa de interés convertible continuamente n = 15/12 = 1.25 años de plazo F = ? Solución Utilizando la fórmula 1.35 obtenemos el valor actual de la deuda. 2,636.18 $ ) (1.0756408 2,450.80 6666) 0.175(0.41 2,450.80 n j P F e e = = = = 13,042.85 $ (1.086904) 12,000 333) 0.10(0.833 12,000 n j P F e e = = = = 1.35 n j Fe n j e 1 F P ÷ = | | | . | \ | = INTERES COMPUESTO 84 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. El valor del pronto pago de la deuda hoy sería de $ 14,811.02 c. Plazo a interés convertible continuamente Si queremos hallar el plazo cuando la operación financiera es con interés convertible continuamente, despejamos la variable n en la fórmula 1.34 de la siguiente forma; Aplicando logaritmo natural a la ecuación derecha obtenemos; La fórmula 1.36 expresa el plazo de la operación en años si la tasa nominal ĵ es anual, de lo contrario expresará el período en que esté definida dicha tasa de interés. Ejemplo 1.44 Una empresa invierte $20,000 en un certificado de inversión obtendrá una ganancia por intereses de $3,944.35 si inversión se coloca al12% CC. Hallemos el plazo del certificado. Datos F = P + I = $20,000 + $3,944.35 = $23,944.35 valor futuro del certificado P = $20,000 valor presente o principal invertido ĵ = 12% CC tasa de interés convertible continuamente n = ? Solución Por la fórmula 1.36 obtenemos el plazo de la inversión. 14,811.02 $ (0.822835) 18,000 ) 0.156(1.25 18,000 n j F P e e = = ÷ = ÷ = P F n j entonces n j P F Si e e = = donde; de P F ln n j entoces P F ln n j ln e | . | \ | = | . | \ | = 1.36 P F ln j 1 n | . | \ | | | . | \ | = INTERES COMPUESTO 85 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Debido a que la tasa nominal es anual, entonces el valor 1.5 es el plazo en años. d. Tasa de interés convertible continuamente También en algunos casos, se hace necesario que conozcamos la tasa de interés convertible continuamente a partir del valor futuro F, el valor presente P y el plazo n de la operación. De la fórmula 1.36 despejamos la variable ĵ; De la fórmula anterior concluimos que el periodo de la tasa nominal convertible continuamente, depende de la unidad en que esté expresado el plazo, por ejemplo; si el plazo está definido en meses el período de la tasa r tendrá una expresión en meses; si el plazo es en año el período de la tasa será expresada en años. Ejemplo 1.45 La sociedad Atlas obtiene un descuento y paga $48,356.90 por una deuda que dentro de 7 meses tendría un valor de $54,978.50. Calculemos la tasa nominal CC que le aplican en el descuento. Datos F = $54,978.50 valor futuro de la deuda P = $48,356.90 valor presente o valor líquido que paga n = 7/12 = 0.583333 año de plazo ĵ = ? Solución A través de la fórmula 1.37 obtenemos la tasa del descuento continuo. Concluimos que la tasa resultante de 22% tiene período anual dado que el plazo lo definimos en año. ( )( ) 1.5 0.180000 8.3333 20,000 23,944.35 ln 0.12 1 P F ln j 1 n = = | . | \ | | . | \ | = | . | \ | | | . | \ | = 1.37 P F ln n 1 j | . | \ | | . | \ | = ( )( ) anual 22% sea o 0.22 0.128333 8.3333 48,356.90 54,978.50 ln 0.583333 1 P F ln n 1 j = = = | . | \ | | . | \ | = | . | \ | | . | \ | = INTERES COMPUESTO 86 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Ejemplo 1.46 Si resolvamos el ejemplo 1.45 considerando el plazo en meses y no en año comprobaremos la afirmación anterior. Datos F = $54,978.50 valor futuro de la deuda P = $48,356.90 valor presente o valor líquido que paga n = 7 meses de plazo ĵ = ? Solución Nuevamente por la fórmula 1.37 obtenemos la tasa del descuento continuo. Ahora concluimos que la tasa nominal resultante de 1.8333% CC tiene período mensual, dado que el plazo lo definimos en meses. 10. Tasas equivalentes nominales y efectivas Al iniciar este capítulo abordamos las tasas de interés nominales y efectivas. En esta sección trataremos de establecer la relación de equivalencias existente entre estas tasas. Como definimos antes la tasa nominal es aquella que se pacta o que se establece en todas las operaciones financieras; reafirmamos que esta tasa de interés establece la forma en que se liquidan o que se capitalizan los intereses y no mide rentabilidad. Por ejemplo, j = 10% CT significa una tasa nominal anual con capitalización de intereses trimestrales, o sea, tiene una frecuencia anual m = 4 y tasa efectiva de período trimestral de i = 2.5% . Esto resulta que la tasa nominal, es igual a la tasa del período multiplicada por la frecuencia, es decir; j = i(m) = 0.025(4) = 0.10 = 10% Por otro lado, la tasa efectiva i es la tasa periódica de rentabilidad a interés compuesto, mide el porcentaje de utilidad periódica que realmente se adiciona al capital en el instante en que se liquida. La tasa efectiva puede ser diaria, mensual, trimestral, semestral, anual o cualquier otro período que se defina. Para períodos de interés menores que un año o mayores que un año la tasa efectiva la denotamos en este texto por ( i ) y cuando el período sea anual la denotaremos por i e . Cuando la tasa nominal establece períodos de capitalización una sola vez al año, entonces decimos que la tasa nominal j es igual a la tasa efectiva anual i e . Si los ( )( ) mensual 1.8333% sea o 0.018333 0.128333 0.142857 48,356.90 54,978.50 ln 7 1 P F ln n 1 j = = = | . | \ | | . | \ | = | . | \ | | . | \ | = INTERES COMPUESTO 87 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. intereses se capitalizan m-veces en un período dado, entonces decimos que la tasa de interés es necesariamente nominal para ese período, pues las tasas efectivas no se capitalizan. 11. Metodología para equivalencias de tasas nominales y efectivas A continuación abordaremos una metodología que hemos preparado para el cálculo de tasas equivalentes. La comprensión del método y el desarrollo de habilidades en el cálculo de las tasas equivalentes nos será de mucha utilidad para el estudio y tratamiento de las anualidades generales, tema que estudiaremos en el próximo capitulo. Como sabemos, para que dos o más tasas de interés i, j, i e y ĵ, sean equivalentes, el monto de un principal debe ser el mismo si se utiliza el mismo plazo para su cálculo, es decir; En base a este principio, la metodología para calcular las tasas equivalentes se compone de cuatro pasos. Primero debemos calcular la tasa efectiva anual i e , si no la conocemos como dato, a partir de:  La tasa efectiva i de periodo m  La tasa nominal periódica j de frecuencia m  La tasa nominal ĵ de frecuencia · (infinita) Paso 1 ( ) ( ) P i 1 P m j 1 P i 1 P F jn n e mn N e e = + = | . | \ | + = + = ( ) 1.40 1 j e i 1.39 1 m m j 1 e i 8 1.3 1 m i 1 e i e ÷ = ÷ + = ÷ + = | . | \ | INTERES COMPUESTO 88 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Si conocemos como dato o hemos calculado la tasa efectiva anual i e , podemos hallar la relación de equivalencia entre ésta y la tasa efectiva i m para cualquier período; El resultado de fórmula anterior es la tasa i m que tendrá período específico de acuerdo al valor de la frecuencia m, como lo podemos apreciar en la tabla 1.15 Valor de la frecuencia m Período de la tasa efectiva i m m = 1 i 1 anual (i e = i) m = 2 i 2 semestral m = 3 i 3 cuatrimestral m = 4 i 4 trimestral m = 6 i 6 bimestral m = 12 i 12 mensual m = 24 i 24 quincenal m = 52 i 52 semanal m = 365 i 365 diaria Tabla 1.15 Si conocemos como dato o hemos calculado la tasa efectiva anual i e , podemos establecer la relación de equivalencia entre ésta y la tasa nominal j m de frecuencia m, a través de: Paso 2 ( ) 1.41 1 i 1 i m 1 e m ÷ + = Paso 3 ( ) 1.42 1 i 1 m j m 1 e m e ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + = INTERES COMPUESTO 89 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Nuevamente, el resultado anterior 1.35 es la tasa nominal j m que tendrá frecuencia de conversión específica de acuerdo al valor m, como lo podemos apreciar en la tabla 1.16 Valor de la frecuencia m Período de conversión de j m m = 1 j 1 C A (i e = j) m = 2 j 2 CS m = 3 j 3 CCt m = 4 j 4 CT m = 6 j 6 CB m = 12 j 12 CM m = 24 j 24 CQ m = 52 j 52 CSe m = 365 j 365 CD Tabla 1.16 Si conocemos como dato o hemos calculado la tasa efectiva anual i e , podemos establecer la relación de equivalencia entre ésta y la tasa nominal ĵ ∞ convertible continuamente CC de la manera siguiente: Ejemplo 1.47 Dada una tasa nominal del 24% CM, halle la relación de equivalencia con: a) la tasa nominal CT b) la tasa nominal CC Datos j = 24% CM tasa nominal anual m = 12 frecuencia de conversión de interests anuales a) j 4 = ? b) ĵ = ? Solución En el paso 1 con la fórmula 1.39 calculamos i e tasa efectiva anual Paso 4 ( ) 1.43 i 1 ln j e + = · 26.8241% decir es 0.268241 1 12 0.24 1 i 12 e = ÷ | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 90 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. a) Una vez calculada i e , en el paso 3 con la fórmula 1.42 hallamos la tasa equivalente j 4 b) De igual manera, en el paso 4 con la fórmula 1.43 hallamos la tasa equivalente ĵ En resumen: las tasas de interés siguientes son equivalentes  24% CM,  26.8241% efectivo  24.4831% CT  23.7632% CC Dado que son tasas de interés equivalentes se puede invertir con cualquiera de ellas y los resultados anuales en términos de rendimiento no varían. Ejemplo 1.48 Un inversionista desea saber: a) la tasa nominal CB b) la tasa efectiva semestral que sean equivalentes a 18% CD Datos j = 18% CD tasa nominal anual m = 365 frecuencia de conversión de intereses anuales a) j 6 = ? b) i 2 = ? Solución Primero hallamos la tasa efectiva anual i e en el paso 1 con la fórmula 1.39 a) Dado que ya hallamos el valor de i e , en el paso 3 con la fórmula 1.42 calculamos la tasa nominal j 6 equivalente a 18% CD. ( ) 24.4831% 1 0.268241 1 4 j 4 1 4 e = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + = ( ) CC 23.7632% 0.268241 1 ln j = + = · 19.7164% 1 365 0.18 1 i 365 e = ÷ | . | \ | + = INTERES COMPUESTO 91 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. b) A través de paso 2 con la fórmula 1.41 hallamos la tasa efectiva semestral i 2 equivalente a 18% CD Concluimos que las tasas: o 18% CD o 19.7164% efectivo anual o 18.2681% CB o 9.4150% efectivo semestre por ser equivalentes, le es indiferente al inversionista invertir con cualquiera de ellas, ya que los resultados en términos de rendimientos serán iguales. Ejemplo 1.49 Un inversionista tiene un capital colocado en negocios financieros a una tasa de interés del 19.5% CD. Calculemos las equivalencias: a) la tasa efectiva o rentabilidad anual b) la tasa efectiva mensual. Datos j = 19.5% CD tasa nominal anual m = 265 frecuencia de conversión de intereses anuales a) i e = ?, b) i 12 = ? Solución a) En el paso 1 tenemos la relación de equivalencia de la tasa nominal y la tasa efectiva anual. anual efectiva 21.5248% 1 365 0.195 1 i 365 e = ÷ | . | \ | + = ( ) 18.2681% 1 0.197164 1 6 j 6 1 6 e = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + = ( ) 9.4150% 1 0.197164 1 i 2 1 2 = ÷ + = INTERES COMPUESTO 92 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. b) Ahora que tenemos el resultado anterior, deseamos obtener el valor de la tasa equivalente efectiva mensual i 12 ; esto lo logramos a través del paso 2 con la fórmula 1.41 Concluimos que las tasas siguientes son equivalentes: - 19.5% CD - 21.5248% efectivo anual - 1.5678% efectiva mensual Ejemplo 1.50 Una libreta de ahorros devenga un interés del 10% semestral CM. Determine a) la tasa equivalente efectivo i e anual b) la tasa equivalente nominal semestral CC Datos j = 10% CM tasa nominal de período semestral m = 6 frecuencia de conversión de intereses semestrales a) i e = ? b) ĵ = ? semestral Solución Como la tasa nominal j = 10% tiene período semestral, con m = 6, primero calculamos la tasa efectiva i 12 mensual y después usamos el resultado para hallar la tasa efectiva i e a) A través de paso 1 con la fórmula 1.39 obtenemos i e b) para hallar la tasa nominal ĵ semestral CC, primero utilizamos la fórmula 1.41 para calcular la tasa efectiva semestral i 2 del paso 2. Ahora utilizamos el paso 4 con la fórmula 1.43 obtenemos; ( ) mensual efectivo 1.5678% 1 0.215248 1 i 12 1 12 = ÷ + = mensual efectivo 1.6667% 6 0.10 m j i = = = 12 ( ) anual efectiva 21.9391% 1 0.016667 1 i 12 e = ÷ + = ( ) semestral efectivo % 10.4260 1 0.219391 1 i 2 1 2 = ÷ + = INTERES COMPUESTO 93 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. En este caso concluimos que la libreta de ahorros tiene las siguientes tasas equivalentes:  10% semestral CM  1.6667% efectivo mensual  21.9391% efectivo  9.9176% semestral CC Con cualquiera de ellas podemos invertir y la ganancia será la misma, como lo comprobaremos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 1.51 Deseamos saber el valor final de un depósito de $15,000 a plazo fijo de 1.5 años con las siguientes tasas de interés: a) 10% semestral CM b) 1,6667% efectivo mensual d) 21.9396% efectivo anual e) 9.9176% semestral CC Datos P = $15,000 principal depositado n = 1.5 años de plazo F = ? Solución Para el caso a) como la tasa nominal j = 10% semestral CM o sea, m = 6, tiene dos períodos semestrales en un año y tres períodos en año y medio, por tanto en la fórmula 1.21, n = 3 así, obtenemos el valor futuro; Para el caso b) usamos la fórmula 1.20 con N = m(n) = 12(1.5) = 18 Para la solución del caso c) utilizamos la fórmula 1.22 con n = 1.5 entonces, ( ) ( ) $20,198.00 1.346533 15,000 3 6 6 0.10 1 15,000 F = = | . | \ | + = ( ) ( ) $20,198.00 1.346533 15,000 18 0.016667 1 15,000 F = = + = ( ) CC semestral 9.9176% 0.104260 1 ln j = + = · INTERES COMPUESTO 94 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Para el caso d) utilizamos la fórmula 1.34 y obtenemos Concluimos que las tasas son equivalentes ya que el resultado para el valor final o futuro es el mismo para los cuatro casos, esto quiere decir; que podemos invertir con cualquier tasa y los intereses serán de $5,198.00 que es, la diferencia entre lo invertido y el valor final. Ejemplo 1.52 a) En una inversión que genera el 17.56% efectivo ¿Cuál es la tasa efectiva mensual? b) Un deudor paga mensualmente el 2% acumulativo ¿Cuánto paga realmente de forma anual? Datos i e = 17.56% tasa efectiva anual Caso a) m = 12 i 12 = ? i 12 = 2% tasa efectiva mensual Caso b) m = 12 i e = ? Solución a) Como i e = 17.56% deseamos calcular i 12 mensual esto lo logramos con la fórmula 1.41 del paso 2, así tenemos; b) Sabemos que i 12 = 0.02 efectivo mensual a través de paso 1 con la fórmula 1.39 obtenemos i e ( ) ( ) $20,198.00 1.346533 15,000 1.5 0.219396 1 15,000 F = = + = ( ) ( ) $20,198.0 8 1.34652607 15,000 )(1.5) 2(0.099176 2.718281 15,000 F = = = ( ) mensual efectivo 1.3573% 1 0.1756 1 i 12 1 12 = ÷ + = ( ) anual efectiva 26.8242% 1 0.02 1 i 12 e = ÷ + = INTERES COMPUESTO 95 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Concluimos que las tasas 2% efectivo mensual es equivalente a 26.8242% efectivo y 17.56% efectivo es equivalente a 1.3573% efectivo mensual. Ejemplo 1.53 Si el Señor Gómez pagó una deuda a plazo de 4 años con interés del 18% CC. Determinemos las tasa equivalentes a) efectiva anual b) la tasa nominal CS. Datos ĵ = 18% CC tasa nominal anual convertible continuamente a) i e = ? m = 2 frecuencia de capitalizar interests de la tasa nominal CS. b) j 2 = ? CS Solución a) Se trata de hallar una tasa anual efectiva que sea equivalente a la tasa del 18% CC. Si usamos la fórmula 1.40 del paso 1 obtenemos b) Una vez que hemos obtenido el valor de la tasa efectiva anual, utilizamos la fórmula 1.42 del paso 3 para calcular la tasa nominal CS. Concluimos que las siguientes tasas de interés son equivalentes: o 18% CC tasa nominal anual convertible continuamente o 19.7217% efectivo anual o 18.8348% CS tasa nominal anual convertible semestralmente Ejemplo 1.54 Una empresa desea que le calculemos a partir del 20% CT las tasas equivalentes a) nominal CC b) efectiva semestral Datos j 4 = 20% C T tasa nominal anual ( ) efectivo 19.7217% 1 0.18 2.7182818 1 0.18 e i e = ÷ = ÷ = ( ) CS 18.8348% 0. 1 2 1 0.197217 1 2 j 2 = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + = INTERES COMPUESTO 96 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Inciso a) m = 4 frecuencia de conversión de intereses anuales ĵ = ? CC m = 2 frecuencia de conversión de intereses anuales Inciso b) i 2 = ? Solución a) Primero con la fórmula 1.39 calculemos la tasa efectiva anual, paso 1 Seguidamente por la fórmula 1.43 del paso 4 obtenemos la tasa nominal ĵ b) dado que ya conocemos la tasa efectiva anual i e , calcularemos la tasa efectiva semestral a través de la fórmula 1.41 del paso 2, esto es; Ejemplo 1.55 Una sociedad financiera que opera a nivel local e internacional, tiene una tasa efectiva (Tasa de retorno) del 18% efectivo anual para todas sus inversiones financieras, desea saber las tasas de interés equivalentes con capitalizaciones de anual efectiva 21.5506% sea o 0.215506 1 4 4 0.20 1 e i = ÷ | . | \ | + = ( ) CC 19.5160% 0. 0.215506 1 ln j = + = ( ) semestral efectivo 10.25% i sea o 0.1025 1 2 1 0.215506 1 i 2 = = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + = Concluimos que las tasas de interés son equivalentes  20% CT tasa nominal convertible trimestralmente  21.5506 % tasa efectiva anual  19.5160% CC tasa convertible continuamente  10.25% tasa efectiva semestral INTERES COMPUESTO 97 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. interés en la forma: a) anual b) mensual c) bimensual d) trimestral e) cada 4 meses f) semestral g) diaria h) continuamente i) bienal. Solución La relación de equivalencias de las tasas de interés de la compañía se muestran en la tabla 1.17, donde el lector puede comprobar los resultados haciendo uso de las fórmulas de equivalencias ya estudiadas localizadas en los pasos del 1 al 4. Período de conversión Tasa efectiva Frecuencia de conversión Tasa nominal Tasa efectiva del período i e M j i a) anual b) mensual c) bimensual d) trimestral e) cuatrimestral f) semestral g) diaria h) continua i) bienal 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 1 12 6 4 3 2 365 m ÷ · 1/5 18.0000% 16.6661% 16.7818% 16.8986% 17.0165% 17.2556% 16.5552% 16.5514% 19.6200% 18.0000% 1.3888% 2.7970% 4.2247% 5.6722% 8.6278% 0.0453% i ÷0 39.2400% Tabla 1.17 12. Ecuaciones de valor Las ecuaciones de valor a interés simple las estudiamos en el capítulo B, recordemos que una ecuación de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fecha que se escoge para la equivalencia. A esta fecha le llamamos fecha focal. El procedimiento para el planteamiento y resolución de una ecuación de valor a interés compuesto, es similar al estudiado anteriormente con interés simple, la única diferencia en este caso es que la fecha focal la podemos elegir para cualquier fecha y el resultado no cambia. Como sabemos, todas las cantidades, ya sean deudas o pagos deben ser trasladadas a la fecha focal con una tasa de interés denominada tasa de rendimiento. La metodología que estudiamos anteriormente sigue siendo útil para el planteamiento de la ecuación de valor a interés compuesto . INTERES COMPUESTO 98 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Para desarrollar los pasos 2 y 3 de la metodología señalada, podemos emplear las fórmulas 1.20, 1.21, 1.22 y 1.34 de valor futuro o bien 1.24, 1.25 y 1.35 de valor presente. En el gráfico 1.23 observamos que la cantidad A está a la izquierda de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal la podemos hacer con las fórmulas 1.20, 1.21, 1.22 o 1.34 La cantidad B está a la derecha de la fecha focal, entonces el traslado a la fecha focal la realizamos con las fórmulas 1.24, 1.25 o 1.35 Cantidad A Fórmula 1.13,14,15 Fecha focal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses Gráfico 1.23 Fórmula 1.17,18 Cantidad B Ejemplo 1.56 Una empresa tiene tres deudas con el Banco Atlántida: a) $15,800, a plazo de 10 meses, al 18% CM y vence hoy. b) $20,600 a plazo de 12 meses, al 19% CT y vence dentro de 8 meses. 1. Dibujemos el diagrama del perfil de flujos y calculemos los montos compuestos de las deudas si no están dados. 2. Traslademos con interés compuesto los montos a la fecha focal con la tasa de rendimiento y efectuemos la suma. Ubiquemos este procedimiento sobre la línea del diagrama del perfil de flujos. 3. Traslademos con interés compuesto los pagos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, y calculemos la suma. Ubiquemos este procedimiento debajo de la línea del diagrama del perfil de flujos. 4. Igualemos los resultados de la suma en (2) con la en (3) y despejemos la incógnita X que soluciona el problema de equivalencia financiera. INTERES COMPUESTO 99 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. c) $26,300.25 monto que vence dentro de 6 meses. Para saldar las tres deudas se establece el siguiente plan de pagos equivalentes, los cuales reestructuran las deudas anteriores con un plazo a partir de hoy de 1.5 años. Acuerdo: la empresa debe efectuar los siguientes pagos: a) Un pago hoy por $12,500. b) El saldo se recoge en 3 cuotas iguales a efectuarse dentro de 6, 12 y 18 meses respectivamente. Por su parte, el banco no cobrará intereses por mora y utilizará una tasa de rendimiento del 24% CM para el cálculo de los pagos. Solución La fecha focal la elegimos dentro de 6 meses, pero puede ser cualquier fecha. Siguiendo la metodología descrita procedemos: 1. Calculemos los montos de cada una de las deudas a su fecha de vencimiento, gráfico 1.24 18,336.55 24,801.81 26,300.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Meses Gráfico 1.24 hoy vence 18,336.55 12 10 1 12 0.18 1 15,800 F a) = | . | \ | + = | | | . | \ | 2 meses 6 de dentro vence 26,300.25 F c) = meses 8 de dentro vence 24,801.81 12 12 4 4 0.19 1 20,600 F b) = | . | \ | + = | | | | . | \ | INTERES COMPUESTO 100 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. 2. Traslademos los montos a la fecha focal dentro de 6 meses, con la tasa de rendimiento. La suma de los montos (70,730.72) la señalamos sobre gráfico 1.25 18,336.55 24,801.81 26,300.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12,500 X X X fecha focal Gráfico 1.25 3. Traslademos los pagos a la fecha focal dentro de 6 meses, con la tasa de rendimiento y determinemos la suma, cantidad debajo del gráfico 1.25 4. Igualando los resultados de 2 y 3 (valores en círculos) y despejando la incógnita X, obtenemos: 70,730.72 = 14,077.03 + X(2.676464) 70,730.72 25,278.98 24,801.81 20,649.93 12 2 12 12 24 1 26,300.25 24,801.81 12 6 12 12 24 1 18,336.55 = + + = ÷ | . | \ | + + + | . | \ | + | | | . | \ | | | | . | \ | 70,730.72 14,077.03 + X(2.676464) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.676464 X 14,077.03 0.788493 X 0.887971 X 1 X 14,077.03 12 12 12 12 24 1 X 12 6 12 12 24 1 X X 12 6 12 12 24 1 12,500 + = + + + = ÷ | . | \ | + + ÷ | . | \ | + + + | . | \ | + | | | . | \ | | | | . | \ | | | | . | \ | INTERES COMPUESTO 101 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Concluimos que cada pago será de $21,167.36 a efectuarse dentro de 6, 12 y 18 meses respectivamente, de esta forma se saldan todas las deudas. Podemos comprobar que si variamos la fecha focal desde hoy hasta dentro de 18 meses, el valor de los pagos no cambia. E. Ejercicios propuestos para el auto-estudio Monto compuesto 1. ¿Cuál el valor final de un documento de valor nominal $3,000 a un plazo de 2 años y 7 meses comerciales si el interés es del 18% CT? Respuesta: $4,727.77 2. Calcule el monto de $2,000 desde el 10 de mayo al 18 de diciembre del mismo año al 14.965% CD. Respuesta: $2,190.54 3. ¿Cuál es el valor final de un certificado de valor nominal de $15,500 a un plazo de 8 meses y 12 días si la tasa de interés es de 6.8% CT? Respuesta. $16,249.14 4. Determine que plan le conviene a una persona para ahorrar cierta cantidad de dinero a los 5 meses, sabiendo que el dinero gana un interés del 22% CT. Respuesta: plan a) a) Un solo depósito hoy de $8,000 b) Un depósito hoy de $3,500 y otro depósito de $4,500 a los 4 meses c) Tres depósitos en los meses 1, 2 y 3 de $2,800 cada uno 5. Determine el monto de $12,500 invertidos al 21% de forma continua, durante 18 meses. Respuesta. $17,128.24. 6. Una cuenta de ahorros se abre con $500.00, al tercer mes se depositan $150, a los dos y seis meses siguientes se retiran $85 y $100 respectivamente. Si el interés que gana es del 6.30% CM determine la cantidad en la libreta de ahorros un año después de iniciada la cuenta. Respuesta. $499.91 7. Una deuda de $3,600 se contrae el día 26 de febrero para pagarse junto a sus intereses el día 25 de noviembre del mismo año; si los intereses corriente son de 24% CM y los intereses por mora son de 20% efectivo anual, determine: a) el valor del pago en la fecha de vencimiento b) el valor de la deuda el día 28 de 21,167.36 2.676464 56,653.69 2.676464 14,077.03 70,730.72 X = = ÷ = INTERES COMPUESTO 102 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. marzo del siguiente año. (sugerencia: calcule el interés por mora sobre principal vencido) Respuestas: a) $4,308.02 b) $ 5,843.89 8. ¿Cuánto gana por concepto de intereses un inversionista que deposita $320,000 en una cuenta que reditúa el 18.4% CM, en un año y medio de plazo? Respuesta: $100,828.92 9. Una apersona ahorra en el mes cero $1,500 a 4% CB, en el mes 15 ahorra $1,600 a 5% CT. Halle el monto en el mes 24. Respuesta: $3,285.25 10. La señora Ferrer invierte hoy $25,000, ¿cuánto acumula en un semestre, si su inversión reditúa el 2.8% mensual capitalizable por mes? ¿Cuánto dinero gana por intereses? Recuerde que esta tasa significa que j/m=j/12 =0.028 de donde j =0.336 es la tasa nominal anual CM. Respuesta: a) $29,505.21 b) $4,505.21 Valor Actual o presente compuesto 11. ¿Qué capital debe invertir un año después para tener $12,000 en una cuenta que produce el 24.8% de interés CM? Respuesta:$9,388.02 12. ¿Qué cantidad de dinero recibe hoy una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $56,500 que incluye capital e intereses a 28% CD y tiene un vencimiento en 20 meses? Respuesta: $35,436.87 13. Determine el valor actual de $855 que vencen dentro de 300 días con las siguientes tasas de interés: a) 12% CT, b) 14% CB, c) 14% CS, d) 15% CD Respuestas: a) $774.77 b) $761.87 c) $763.82 d) $754.55 14. ¿Qué depósito debe efectuarse hoy en un fondo que paga el 12% CB para tener disponibles $7,000 al cabo de 3 años? Respuesta: $4,901.12 15. ¿Qué valor tiene un depósito el día de hoy en una cuenta para garantizar dos retiros de $2,000 y $3,500 dentro de 7 meses y 1.5 años respectivamente con el interés de 9.5% CD? Respuestas: $4,927.41 16. Determine el valor total de dos depósitos el día 30 de noviembre, si el primero es de $1,400 se efectuó el día 15 de febrero y el segundo por $1,800 se realizó el 26 de junio, el primero con el 12% CD y el segundo con el 13% CS. Respuesta: $3,442.68 17. Determine que le conviene más a un empleado si la patronal le ofrece tres opciones para liquidar sus prestaciones por servicio, al 15% CS. (sugerencia: halle el valor actual de cada opción y seleccione la mayor) Respuesta: opción c) a) Recibir hoy $3,000 y $3,800 a los 5 meses b) Recibir hoy un solo pago de $6,500 c) Recibir hoy $1,000, $2,000 a los 2 meses y $4,000 a los 6 meses INTERES COMPUESTO 103 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. 18. Un documento por $50,000 se vence dentro de 15 meses, si se descuenta a una tasa: (a) del 18% de forma continua (b) del 18.10 % CT (c) del 18.20% CS. Determine el menor valor al día de hoy. (indicar el inciso) Respuesta. Inciso (a) $39,925.81. 19. Hoy se contrae una deuda que junto con sus intereses al 8.5% efectivo trimestral al final de 4 años representará $500,000. Determine la cantidad que se deberá pagar si la deuda se cancela al cabo de 18 meses. Respuesta. $221,142.71 20. Una empresa compra un equipo de computación con $3,500 de cuota inicial y un pago por $10,000 a los dos meses de la compra. ¿Cuál es el precio de contado si se tienen cargos del 33% CM? Respuesta: $12,971.88 21. ¿Cuál es el precio de contado de 40 impresoras que se pagan con un anticipo del 30% y dos abonos o cuotas de $7,000 y $9,000 respectivamente a 2 y 3 meses de la compra? Suponga intereses del 29% anual con capitalización quincenal. Respuesta: $21,493.50 Combinaciones 22. Una corporación financiera, recibe una letra de cambio por valor nominal de $35,000 con vencimiento en 15 meses y un interés del 24% CT. A los 10 meses solicita que le sea descontada por el Banco de América del Sur que cobra el 2.4% mensual, cuánto recibirá la corporación por la letra? Respuesta. $41,217.35 23. Una empresa debe pagar hoy una deuda cuyo monto es de $3,870 y dentro de 9 meses tiene que pagar otra por $2,650. Necesita saber cuánto debe pagar dentro de 5 meses si le cargan intereses de 14.5% CD. Respuesta: 6,635.96 24. Si una persona debió pagar hace 1.5 años $580 y tiene que pagar $720 dentro de 8 meses. Si le cobran intereses corrientes del 18% CT y moratorios del 9% anual IC por la cuenta no pagada y el 15% anual por la próxima a vencer ¿Qué pago único debe hacer el día de hoy? Respuesta: $1,491.29 25. En una operación de exportación una empresa recibe un pagaré por $75,000 a 180 días de plazo y que devenga un interés mensual de 1%. A fin de contar con recursos líquidos, la empresa descuenta el documento en su banco y éste lo acepta cargando un interés de 2.50% trimestral ¿Cuál es el importe neto que recibe la empresa, si el descuenta se efectúa 143 días antes del vencimiento? Respuesta: $76,451.56 26. ¿Cuál de las siguientes alternativas es más redituable para un inversionista? a) Invertir en una cuenta de ahorros que paga el 32.5% CM; b) Invertir en una cuenta bancaria que paga el 33.5% capitalizable por cuatrimestres, o c) Invertir en una cuenta de valores al 30.8% capitalizable por semanas. INTERES COMPUESTO 104 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Respuesta: con el 32.5 anual compuesto por meses 27. Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra de contado de un automóvil nuevo, o bien, 50% del precio de contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses ¿qué alternativa debe escogerse si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés mensual de: a) 2% b) 3% c) 4% Respuestas: a) de contado b) de contado c) a plazo 28. Un inversionista local tiene 3 opciones para invertir su dinero a) al 28.5% CM b) al 32% simple c) al 30% CS ¿Qué opción le sugiere usted? Respuesta. 28.5% CM? Tasas de interés 29. A qué tasa nominal CT el monto de $3,000 será de $9,000 en 3 años? Respuesta. j = 38.349% CT. 30. a) A qué tasa efectiva anual se duplica un capital en 2 años? b) A qué tasa nominal CS se duplica un capital en 2 años? c) A qué tasa nominal CM se duplica un capital en 2 años? Respuesta a) i = 41.42% b) j = 37.84% CS c) j = 35.163% CM 31. Si un certificado de depósito a término en el mercado primario de la Bolsa de Valores es emitido a $93,677 para ser redimido a $100,000 en 90 días, calcular la tasa de rentabilidad trimestral y la tasa de rentabilidad mensual; a) sin tomar en cuenta la retención en la fuente y b) tomando en cuenta la retención del 3.7%. Respuesta. a) 6.7497% trimestral, 2.2011% mensual b) 6.4838% trimestral 2.1162% mensual. 32. Una persona invierte $4,500 y 15 meses después le devuelven $7,010.85 ¿Qué tasa de interés efectiva mensual y anual gana sobre la inversión? Respuestas. 3% mensual y 42,5760% anual. 33. Un televisor cuyo precio de contado es de $4,500, al crédito se liquida con $5,200 a los tres meses. ¿Cuál es la tasa de interés anual capitalizable por quincenas? Respuesta: 58.48% 34. El 2 de junio el señor González compra mercancía por $32,500 y firma un pagaré con valor nominal de $37,250 y vencimiento al 21 de agosto siguiente. ¿Cuál es la tasa de interés anual CD? Respuesta: 61.4377% 35. ¿Cuál es la tasa nominal anual CB, si un capital de $10,500 genera intereses del 30% global total en 8 meses? Respuesta: 40.674% 36. ¿Con qué tasa anual compuesta por semanas se triplica un capital en 3 años? Respuesta: 0.3675% INTERES COMPUESTO 105 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. Plazo o tiempo 37. El 18 de marzo se firma un pagaré de valor nominal de $10,000, con el 15% CM cuyo monto a pagar es de $11,182.92 ¿En qué fecha vence? 38. En qué tiempo un capital de $48,500 alcanza un valor de $60,000 si es invertido al 8.3% CM? b) En qué tiempo se duplica? Respuestas. a) 2 años, 6 meses y 27 días b) 8 años, 4 meses, 17 días. 39. ¿En cuánto tiempo se liquidará un crédito de $175,000 con intereses del 30% compuesto por quincenas y un pago final de $230,000? Respuesta: 22 quincenas. 40. Se depositan $500.00 el día 19 de septiembre al 2.2% CM ¿En qué fecha logra ganar $8.00 de interés? Respuesta: 6 de junio siguiente. 41. Determinar el día que se cancela con $21,000 un crédito de $18,750, concedido el 5 de junio con cargos del 36.72% CD. Respuesta: 24 de septiembre. 42. Se compra un refrigerador, que de contado cuesta $7,850 el cual se paga con un anticipo del 35% y un pago adicional de $5,650.¿Cuánto tiempo después de la compra se hace este pago, si se pagan intereses del 28.6% capitalizable por semanas? Respuesta: 19 semanas 43. La totalidad de intereses que se paga sobre una deuda de $12,000 contraída el 20 de junio es de $1,200, si el interés cobrado es del 26% CT ¿Cuál es el plazo y la fecha de vencimiento de la deuda? Respuesta: 136 días, 3 de noviembre. 44. Encuentre la fecha en la que vence un documento con valor nominal de $4,550. Este se firmó por un préstamo de $4,125 el 1 de junio con intereses del 21.6% CD? Respuesta: 11 de noviembre 45. ¿Cuál es la duración de una inversión de $80,000 al 3% CM para que alcance un valor de $250,000? Respuesta: 38 años comerciales con 10 días. 46. Calcule el tiempo que se demora una inversión de $25,000 a plazo fijo para alcanzar un monto de $30,000 al 2.5% efectivo. Respuesta. 7 años, 4 meses, 18 días. Tasas equivalentes 47. Si un inversionista trabaja con el 2% mensual acumulativo en sus negocios, calcule las tasas equivalentes: a) nominal CT b) nominal semestral CC c) nominal CB . Respuestas. a) 24.4832% b) 11.8816% c) 24.24% 48. Calcule la tasa nominal CT equivalente a) al 18% CM b) al 20% CS. Respuestas. a) 18.27135% b) 19.5235% INTERES COMPUESTO 106 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. 49. a) Cuál es la tasa equivalente convertible continuamente a 24% efectivo? b) Cuál es la tasa efectiva equivalente 20% CS? Respuesta. a) 21.511137% b) 21% 50. a) Determine una tasa de interés CM que rinda lo mismo que 20% convertible continuamente. b) Calcule la tasa nominal convertible continuamente, que genere los mismos intereses que 18% CT Respuesta. a) 20.167596% b) 17.606754% 51. Considere una tasa nominal de 22.34% CM y halle el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a) Nominal CT, b) Nominal CD, c) Nominal CC d) Nominal trimestral CC e) Nominal semestral CM. Respuestas: a) 22.7585% b) 22.1413% c) 22.1346% d) 5.5336% e) 11.17% 52. A partir de 3.2% EM calcule el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a)Nominal CT, b) Efectiva ES, c) Nominal trimestral CC, d) Efectiva ED e) Nominal CB. Respuestas: a) 39.6419% b) 20.8031% c) 9.4496% d) 0.103610% e) 39.0144% 53. Si en un negocio su propietario gana 1.2% EM acumulativo ¿qué porcentaje gana en 2 años? ¿cuánto en 5 años? Respuestas: a) 33.1473% b) 104.5647% 54. Si el desarrollo o crecimiento económico de un país fue de 28.7377% en 6 años ¿de cuánto fue el crecimiento promedio anual? Respuesta: 4.3% 55. ¿Es lo mismo, en términos de la tasa de interés pagar una deuda hoy con el 4.55% nominal trimestral CC, que pagarla dentro de 2 años con el 9.1694% nominal semestral CM? Respuesta: sí (sugerencias: calcule el monto a los 2 años o la tasa efectiva anual para cada caso) 56. Una entidad financiera local paga en depósitos a término fijo de un año una tasa de interés en dólares de 6.5% CD ¿Cuál es la tasa que paga efectivamente de forma anual? Respuesta. 6.7153% Ecuaciones de valor con interés compuesto 57. Un préstamo personal por $1,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos pagos uno de $600 el día de hoy y otro por la cantidad que usted determine dentro de 3 meses si el interés es del 10% semestral. Respuesta. $649.43 58. El contador Pérez compra un televisor con video casetera integrada, con un enganche de 150 dólares que representa el 20% del precio del aparato, y dos abonos iguales para cubrir el 80% restante ¿De cuánto es cada uno, si se tienen cargos del 32% CM y los pagos se hacen a 2 y 3 meses después de la compra? Respuesta: $ 320.37 59. Hoy se cumplen dos meses que la empresa Otelo SA consiguió un préstamo de $7,500 a 7 meses de plazo con el Banco Omega. Tres meses antes del primero le concedieron otro por $12,000 a un plazo de 6 meses. El día de hoy la INTERES COMPUESTO 107 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. empresa hace un pago de $10,000 y acuerda con el Banco liquidar el resto en 2 cuota iguales dentro de 2 y 5 meses respectivamente. Si le cargan una tasa de interés de 21.84% efectivo anual, halle el valor de cada cuota. Respuesta: $5708.20 60. Una empresa local tiene 3 deudas así: $5,000 con vencimiento en 5 meses e intereses del 20% CT. $10,000 con vencimiento en 9 meses e intereses del 24% CS $20,000 con vencimiento en 21 meses e intereses del 30% efectivo. Estas deudas se van a cancelar mediante 2 pagos iguales uno el día de hoy y otro al final de 2 años. Suponiendo un rendimiento de 24% CM. Calcule el valor de los pagos. Respuesta. Cada pago $22,022.88. 61. El Señor Ramiro Pascual, 3 meses antes de iniciar la construcción de su casa apertura una cuenta de débito para este fin y deposita $25,000 y otros $45,000 al iniciar las obras. Determine el valor del depósito 2 meses después si el presupuesto total es de $120,000 distribuidos de la forma siguiente: 30% al comenzar la construcción, 35% a los 2 meses, 20% 3 meses después y el resto al terminar, es decir 8 meses después del inicio y la cuenta devenga el 15% CM. Respuesta: $46,000.74 62. La administración de un proyecto tiene 4 adeudos de $7,000, $15,000, $12,000, y $13,000 que vencen respectivamente el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre del mismo año y todos devengan intereses de 32.85% CD. Entre deudor y acreedor se acuerda que estos adeudos se liquiden en 3 pagos iguales el quinceavo día de los meses de abril , junio y agosto en sustitución de los primeros ¿de cuánto es cada uno? Respuesta: $15,340.62 63. La Librería Bolívar suscribió 3 operaciones de crédito con la Editorial Nuevo Mundo que vencen el mismo año. La primera se suscribió el 15 de marzo por $75,000 a pagarse el día 30 de noviembre; la segunda el 8 de mayo mediante un pagaré con valor nominal de $50,500 y vencimiento el 10 de diciembre y la última el 1 de junio con un documento con valor nominal de $60,000 y vencimiento el 25 de agosto. Acuerdan reemplazar el compromiso con 2 pagos, uno el 15 de agosto y el otro el 15 de octubre por un valor que es doble del primero. a) De cuánto es cada pago si devengan intereses de 27.375% CD? b) ¿Con cuánto se liquidan las deudas con un pago único el 20 de diciembre? Respuestas: a) $60,112.36 y $120,224.72 b) $192,614.84 64. El día 20 de marzo el Señor Dionisio Bello compra un automóvil usado y paga un anticipo del 40% y el saldo se liquida en dos pagos uno de $3,000 el día 19 de mayo y el otro de $2,500 el día 18 de junio del mismo año; a una tasa de interés del 30% CM ¿cuánto se pagaría de contado por el auto, si además se hace un descuento del 6.8% adicional? Respuesta $8,041.51 65. En el problema anterior ¿En qué fecha después de la compra, el Señor Bello haría un pago de $6,000 en sustitución de los dos de $3,000 y $2,500? Respuesta: 15 de septiembre INTERES COMPUESTO 108 Matemática Fiananciera I. Noel Reyes Alvarado. 66. Determine cuánto debe invertir en una cuenta el 10 de marzo y el 7 de mayo la Empresa de Dulces el Gallito, para disponer de $12,000 el 18 de agosto y de $20,000 el 15 de noviembre del mismo año, sabiendo que la cuenta devenga un interés de 13.87% CD, suponiendo que: a) Los dos depósitos son iguales b) El segundo depósito es 40% mayor que el primero. Respuestas: a) $14,885.54 cada depósito b) el primero $12,427.76, el segundo $17,398.86 67. En el problema anterior, determine el valor de un depósito único efectuado el día 8 de enero del mismo año, si es bisiesto. Respuesta: $28,758.45