2_TRIGONOMETRÍA-2013

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTEFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO CIENCIAS BÁSICAS Unidad 2: Trigonometría Ángulos. Sistemas de medición. Funciones trigonométricas. Circunferencia trigonométrica. Representaciones segmentarias. Teoremas. Resolución de triángulos. Ejercicios de aplicación a la arquitectura. Esp. C.P. Prof. Carmen RESCALA Prof. Alicia Besil CIENCIAS BÁSICAS CUADRO DOCENTE DE LA CÁTEDRA PROFESOR TITULAR Esp. C.P. Prof. Carmen RESCALA PROFESOR ADJUNTO Esp. Ing. Marta GIRAUDO JEFES DE TRABAJOS PRACTICOS Agrim. Gerardo MAZZAFERRO Prof. María Rosa MATTA Esp. Arq. Analía PICCINI Esp. Lic. Carina JOVANOVICH Ing. Rufino ITURRIAGA AUXILIARES DOCENTES de PRIMERA Ing. Luis DE URIA Prof. Gabriela GESCOVICH Prof. María Amelia FIEL Arq. Bruno AGUIRRE Ing. Andrés FIRMAN Prof. Alicia BESIL Arq. Leandro REHAK UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO CIENCIAS BÁSICAS AÑO 2013 Ilustración de portada: Zentrum Paul Klee. Berna. Suiza. Arquitecto Renzo Piano. Extraída de http://openbuildings.com/buildings/zentrum-paul-klee-profile-10697 1 CIENCIAS BÁSICAS TRIGONOMETRÍA Hace más de 2000 años que la trigonometría fue inventada por los griegos, quienes necesitaban métodos precisos para medir ángulos y lados de triángulos. De hecho, la palabra trigonometría es la composición de dos palabras griegas trigonon (triángulo) y metria (medición). De allí que se define a la Trigonometría como la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la 1 Papiro Rhind trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. En este curso trataremos los contenidos de la trigonometría plana. ¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros. Hay una enorme cantidad de usos de la trigonometría y las funciones trigonométricas. Por ejemplo, son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. En arquitectura no solo proporcionan herramientas matemáticas muy útiles en el cálculo de áreas y longitudes, hallar distancias y ángulos de elevación y depresión, sino que también es aplicada en el diseño, tal como lo vemos en la ilustración de la portada, la que se asemeja a la gráfica de una función seno o coseno. 1 El papiro Rhind es un rollo de 0,33 x 5,48m que se conserva en el British Museum. Este papiro fue escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. y es probablemente el documento más importante que se ha hallado de la matemática egipcia. Contiene problemas referidos a aritmética, álgebra, geometría y también trigonometría a partir de las pirámides 2 CIENCIAS BÁSICAS Generación de ángulos Ángulo: un ángulo es una porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común. Consideremos dos semirrectas coincidentes y con el mismo origen O. Supongamos que una de las semirrectas permanece fija y la otra puede girar libremente. Un ángulo se forma cuando hacemos girar la segunda semirrecta sobre la primera y alrededor del punto O. A la semirrecta fija se le denomina lado inicial y a la que gira lado terminal; el punto común O se llama vértice del ángulo. Existen 2 sentidos de giro: uno positivo y otro negativo. Es positivo el sentido de giro contrario al movimiento de las agujas del reloj. Ángulo positivo (α) : Rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj. Ángulo negativo (β) : Rotación en el sentido de las agujas del reloj. Medida de los ángulos: Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad de medida. En trigonometría se emplean tres clases de unidades de ángulos, que dan lugar a tres sistemas de medición: el sistema sexagesimal, el sistema centesimal y el circular. 3 CIENCIAS BÁSICAS Sistema sexagesimal Unidad de medida: grado sexagesimal, que es la noventa ava parte del ángulo recto. Submúltiplos: minuto sexagesimal y segundo sexagesimal. 1R 90 º 1R 1 1'  1 1' ' 1' ó 1º 60' 60 90 60 1' 60'' 1 ángulo llano = 180º 1 ángulo de un giro = 360º Sistema Circular Angulo de un radián: es el ángulo central cuyo arco tiene una longitud igual al radio de la circunferencia en la que se encuentra. = ángulo de un radián long. ab = long. radio ob Para un ángulo de un giro completo = 360º y como la longitud de una circunferencia es long. C 2 r 6,2832 radios, 360º = 2 radianes 180º = radianes 90º = 2 Sistema Centesimal Unidad de medida = grado centesimal = 1G = centésima parte de un ángulo recto 1R 1G 1R = 100 G 100 1G 1' c 1G 100' c 100 submúltiplos 1' c 1" c 1' c 100" c 100 1 ángulo llano = 200G 1 ángulo de un giro = 400G ˆ = 28G 33 ‘ 29 “ = 28G , 3329 Ejemplo α 4 CIENCIAS BÁSICAS CAMBIO DE UNIDAD – PASAJE DE UN SISTEMA A OTRO 1) Del sistema sexagesimal al circular y viceversa a) Del sexagesimal al circular 360º 2 º radianes r r entonces, º . 2 rad 360º b) Del circular al sexagesimal 2 rad 360º r º entonces, º r . 360º 2 rad 2) Del sistema centesimal al circular y viceversa a) Del sistema centesimal al circular 400G G 2 r rad entonces, r G . 2 400 rad G b) Del sistema circular al centesimal 2 rad r 400G G entonces, G r . 400 G 2 rad 3) Del sistema sexagesimal al centesimal y viceversa a) Del sistema sexagesimal al centesimal 90º º 100G G entonces, G º . 100 G 90º 5 CIENCIAS BÁSICAS b) Del sistema centesimal al sexagesimal 100G G 90º G º entonces, º . 90º 100 G TABLA DE EQUIVALENCIAS Sist. sexagesimal Sist. circular Circunferencia ¾ circunferencia ½ circunferencia ¼ circunferencia 360 0 Sist. Centesimal 400g 300g 200g 100g 2 rad 3/2 rad rad /2 rad 2700 1800 900 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Sea el ángulo , con vértice en O y sobre uno de sus lados (la semirrecta OX ) tracemos las perpendiculares ab, a' b', a" b" , las que determinan triángulos semejantes (por tener dos ángulos iguales: y el recto); en los triángulos semejantes los lados homólogos son proporcionales y podemos entonces escribir las siguientes razones. ab oa a' b' oa' a" b" oa" cat. opuesto a cat. adyacente a y ab ob a' b' ob' a" b" ob" cat. opuesto a hipotenusa Estas razones son sólo algunas de las que podemos escribir, lo que importa destacar es que son números abstractos, independientes de las dimensiones de los lados del triángulo, sólo dependen del valor del ángulo . 6 CIENCIAS BÁSICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Las funciones trigonométricas son sen α, cos α, tg α, cotg α, sec α y cosec α. Pueden definirse de dos formas: 1) Como cocientes entre los lados de un triángulo. 2) Como la relación entre las coordenadas de un punto en el círculo trigonométrico y el ángulo, cuyo lado terminal es el radio del círculo, que parte del origen y llega a dicho punto. Son los números abstractos que se obtienen de las razones que pueden establecerse y dependen de la amplitud del ángulo. Funciones trigonométricas triángulo rectángulo en un Ellas son: Sólo hemos escrito las funciones trigonométricas del ángulo agudo , también pueden escribirse las del ángulo agudo Como + = 2 (ángulos complementarios) 7 CIENCIAS BÁSICAS ˆ , observamos que en ángulos Al escribir las funciones trigonométricas de β complementarios las funciones de uno de ellos, son las cofunciones del otro. sen cos tg cotg sec cosec ab ob oa ob ab oa oa ab ob oa ob ab sen cos tg cotg sec cosec oa ob ab ob oa ab ab oa ob ab ob oa seno coseno tangente cotangente secante cosecante Relaciones entre las funciones trigonométricas de un ángulo ^ 8 CIENCIAS BÁSICAS FUNCIONES EN EL CIRCULO TRIGONOMETRICO Círculo trigonométrico: es aquel cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. ox’ corta al círculo en M M (x ; y) N (x ; 0) ON = abscisa = x O (0 , 0) NM = ordenada = y OM = radio vector = con x, y, formamos las siguientes razones en el triángulo ONM El radio vector siempre se toma con signo positivo; de los semiejes ox ( ) ; ox ( ) ; oy ( ) ; oy ( ) ya se conocen sus signos. SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUATRO CUADRANTES 9 CIENCIAS BÁSICAS Regla de los signos 1) El signo del seno y de la cosecante es el de la ordenada. 2) El signo del coseno y de la secante es el de la abscisa. 3) El signo de la tg y de la cotangente es positivo cuando lo son la ordenada y la abscisa, o cuando la ordenada y la abscisa son negativas. Tabla de las funciones trigonométricas de ángulos notables (0o, 300, 450, 60o y 90o) 0o sen cos tg 0 1 0 300 450 600 90o 1 0 1 Representación Geométrica de las Funciones Trigonométricas En el primer cuadrante: Círculo trigonométrico de centro o y ˆ ángulo central de arco am; radio ; α a es origen del arco y m extremo libre. En este círculo podemos marcar los segmentos que representan gráficamente a las funciones trigonométricas. Recordemos que ρ= 1 sen pm om op om pm pm (+) (longitud de pm ) cos op op (+) 10 CIENCIAS BÁSICAS Si trazamos por a la tg a la circunferencia, obtenemos S llamado el eje de las tangentes. El eje de las cotangentes S’ trazado por b, es el segundo eje tg. tg pm op at oa at 1 at (+) (longitud del segmento at ) cotg op pm om op nm on ot oa bc ob ot 1 bc 1 bc (+) sec ot (+) cosec om pm om on oc ob oc oc (+) En el segundo cuadrante: y S’ c p b S sen cos tg mp ( ) om ( ) at (-) cotg cb (-) m o a x sec cosec ot (-) oc (+) t 11 CIENCIAS BÁSICAS En el tercer cuadrante y S’ b t c sen cos tg mp ( ) op at - cotg bc ( ) ot ( ) p o a x sec cosec oc (-) m S En el cuarto cuadrante: y c b S’ sen mp op - S o p a x cos tg cotg at bc - sec cosec ot oc - m t 12 CIENCIAS BÁSICAS Fórmulas fundamentales (Relaciones entre las funciones trigonométricas de un ángulo) Relaciones Pitagóricas 1) 2) 3) 13 CIENCIAS BÁSICAS Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo conociendo: 1) el seno del ángulo: Dato: sen , se parte de: sen 2 + cos 2 sec =1 1 1 sen2 1 sen2 sen cos 1 sen2 tg sen 1 sen2 cosec cotg 1 sen y 2) el coseno del ángulo Dato: cos sec 1 cos sen 1 cos2 1 cos 2 cos cosec 1 1 cos 2 cos 1 cos 2 tg cotg Resolución de triángulos Resolver un triángulo consiste en calcular todos sus elementos (3 lados y 3 ángulos) en función de los que se conocen. Se pueden presentar cuatro casos: CASO I II III IV DATOS CONOCIDOS Los tres lados: a, b, c Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C Dos lados y el ángulo formado: a, b, C Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A INCÓGNITAS Los tres ángulos A, B, C Dos lados y un ángulo: b, c, A Un lado y dos ángulos: c, A, B Un lado y dos ángulos: c, B, C Podemos resolver problemas de triángulos rectángulos y de triángulos oblicuángulos. 14 CIENCIAS BÁSICAS Resolución de triángulos rectángulos Las relaciones que vinculan los elementos conocidos con las incógnitas serán las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Ejemplos de aplicación: 1) Calcular la longitud de los tramos a, b y c de la cabriada graficada. Cálculo de a: ⇒ Cálculo de b: ⇒ Cálculo de c: ⇒ 2) La pirámide de Keops es considerada antiguos como una de las siete maravillas del mundo antiguo. Es una pirámide recta de base cuadrada de 233 m de lado y su arista lateral mide 220m. Calcular: a) La altura de la pirámide b) El ángulo que forman sus caras laterales con el plano de la base: Solución: a) En el dibujo vemos determinado un triángulo rectángulo. Como conocemos dos de sus lados aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la altura: b) Para calcular el ángulo: ⇒ Para hallar el arco seno, arco coseno o arco tangente en la calculadora tecleamos SHIFT (o INV) -1 -1 -1 sen, cos o tan. En el display de la calculadora aparecerá sen , cos o tan según sea el cálculo que queremos realizar. 15 CIENCIAS BÁSICAS 3) Un puente levadizo mide 150 m de largo extendido sobre un río como se muestra en el dibujo. Las dos secciones del puente pueden girar hacia arriba hasta un ángulo α= 35º. a) Si el nivel del agua está a 15 m abajo del puente cerrado, hallar la distancia d entre el extremo de una sección del puente y el nivel del agua cuando el puente está abierto por completo. b) ¿Cuál es la separación s entre los extremos de las dos secciones cuando el puente está abierto por completo? Solución: a) Para resolver problemas con triángulos, es conveniente primero identificar en el esquema del problema aquel con el que trabajaremos. mide 75 m, ya que se trata de uno de los brazos del puente, que cuando están extendidos miden juntos 150 m. ⇒ Para hallar caculo: ⇒ A esta cantidad le sumamos los 15 m de distancia entre el puente, cuando está cerrado, y el nivel del agua. b) Para hallar la separación S, deberé calcular la medida de AB, que es lo que mide cada brazo del puente levadizo. Cálculo de : ⇒ los dos brazos juntos medirán 61,44 m . 2= 122,88 m ∴ s= 150 m – 122,88 m =27,12 m 16 CIENCIAS BÁSICAS Resolución de triángulos oblicuángulos No siempre tendremos que resolver triángulos rectángulos. Existen otros triángulos que no son rectángulos, los que reciben el nombre de oblicuángulos. Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando estudiamos triángulos oblicuángulos no excluimos al triángulo rectángulo en ese estudio, lo que hacemos es considerarlo como caso particular. Cuando el triángulo es rectángulo, (expresamente está dicho que lo es), el problema es simple y se reduce a utilizar las razones trigonométricas y la relación entre los ángulos de un triángulo. Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b y c. Para resolver triángulos oblicuángulos es necesario conocer la propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo y dos importantes teoremas: el teorema del seno y el teorema del coseno. Suma de los ángulos de un triángulo Teorema del seno A + B + C = 180º a sen A b sen B c sen C a2 = b2 + c2 - 2·b·c· cos A Teorema del coseno b2 = a2 + c2 - 2·a·c· cos B c2 = a2 + b2 - 2·a·b· cos C 17 CIENCIAS BÁSICAS Teorema del seno Los lados de un triángulo son Proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a b c sen A sen B sen C Demostración Dada la figura: La altura hc delimita dos triángulos rectángulos AHC y BHC, en los cuales es: sen A sen B hc b hc a hc hc b . .sen A a . .sen B Como los primeros miembros son iguales, es: b . sen A a . sen B Por lo tanto tenemos la siguiente igualdad: Si hiciésemos un cálculo similar con la altura del vértice A resulta: a sen A b sen B 1 La altura ha delimita dos triángulos rectángulos AMB y AMC, en los cuales es: sen C sen B ha b ha c ha ha b . .sen C c . .sen B Como los primeros miembros son iguales, es: b . sen C c . sen B Por lo tanto tenemos la siguiente igualdad: c sen C b sen B 2 por lo que de 1 y 2 podemos afirmar que: a b c sen A sen B sen C 18 CIENCIAS BÁSICAS Teorema del coseno El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido. a2 = b2 + c2 − 2bc * cos(A) b2 = a2 + c2 − 2ac * cos(B) c2 = a2 + b2 − 2ab * cos(C) Demostración 1. Si el ángulo opuesto es agudo. Considérese un triángulo como el siguiente: Por el Teorema de Pitágoras: a2 = h2 + (c − m)2 1 b2 = h2 + m2, lo que implica que h2 = b2 − m2 Reemplazando [2] en [1]: a2 = b2 − m2 + (c − m)2 Desarrollando: a2 = b2 − m2 + c2 + m2 − 2cm Simplificando: a2 = b2 + c2 − 2cm Finalmente, sabiendo que m = b . cos A , se deduce: a2 = b2 + c2 − 2bc . cosA 2 2. Si el ángulo opuesto es obtuso. Partiendo de otro punto de vista se resuelve análogamente al caso anterior: 19 CIENCIAS BÁSICAS Por el Teorema de Pitágoras: a2 = h2 + (c + m)2 b2 = m2 + h2, por lo que h2 = b2 − m2 Reemplazando, desarrollando y simplificando: a2 = b2 − m2 + (c + m)2 a2 = b2 − m2 + c2 + m2 + 2cm a2 = b2 + c2 + 2cm Teniendo en cuenta que: m = b . cos (180 − A), por las identidades trigonométricas: m = − b . cos(A), llegamos a la misma conclusión que antes: a2 = b2 + c2 − 2bc . cos A Ejemplos de aplicación: 1) ¿Cuál será el perímetro de un lote de forma triangular conocidos los ángulos y el lado C=12 m? Datos: un lado y dos ángulos Incógnita: perímetro del triángulo Por el teorema del seno: 2) Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 750. Un arquitecto debe diseñar la construcción de una estación de servicio, que debe construirse en uno de los caminos a 100 m del cruce. Determinar la distancia que existirá entre la nueva estación y la estación de gasolina que está en el otro camino a 150 m del cruce. Utilizando el teorema del coseno, tenemos que: 20 CIENCIAS BÁSICAS 3) Calcular la medida de la ochava (X) de un terreno esquina, conociendo los datos que se adjuntan. Datos: triángulos isósceles Solución: Calculamos el valor de L aplicando el teorema del coseno, ya que conocemos dos lados y los tres ángulos. ( ⇒ al tratarse de un triángulo isósceles, los ángulos iguales suman tanto el tercer ángulo mide ) , por lo A este valor de L, deberemos restarle los dos valores de a. Para calcularlo utilizaremos el triángulo formado en uno de los extremos, tal como lo muestra la figura: BIBLIOGRAFÍA - Larson, Ron. Álgebra y Trigonometría. Ed. Brooks Cole. 8º Edición. Cap 7 y 8. USA. 2011 - Baldor, J. (2004) Geometría plana y del espacio con una introducción a la trigonometría. Ed. Publicaciones Cultural. México. 2004 - Swokowski, Erl y otro.(2010) Algebra y Trigonometría. Ed. Brooks Cole 12º edición. Canadá. 2010 REFERENCIAS CONSULTADAS http://wikieducator.org/Matematicas_GECeneval286/Geometria_Euclidiana/Angulos http://es.wikiarquitectura.com/index.php/Zentrum_Paul_Klee http://moisex17.blogspot.com.ar/2012/06/aplicaciones-de-la-trigonometria.html http://www.faudi.unc.edu.ar 21