EJERCICIOS CON SUCESOS. MATEMÁTICAS AP 2º BACH. 0 1.“Obtener a b c Se lanzan dos dados de distinto color al aire, y se consideran los sucesos A “la diferencia entre los puntos obtenidos es 2” y B al menos un seis en la tirada”. Describir los sucesos A y B. Obtener los sucesos A B y A B. Describir el suceso A´ B´ (A´y B´ son los sucesos contrarios de A y de B respectivamente). 2.Antonia y Basilio son los finalistas de un torneo de ajedrez. Gana el torneo quien gane dos partidas seguidas o tres partidas alternativas. Formar el espacio muestral o conjunto de resultados posibles. SUGERENCIA: formar un diagrama de árbol con los sucesos “gana Antonia” y “gana Basilio”. 3.Los equipos de fútbol de Argentina y de Brasil disputan un campeonato. Se proclama vencedor el que gane tres veces. Hallar el espacio muestral. (sigue siendo válida la sugerencia del ejercicio anterior). 4.Un aficionado a los casinos tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo sumo. La apuesta es de 10€. Empieza con 10€ y deja de jugar cuando pierde los 10€ o cuando gana 30 €. Obtener el espacio muestral mediante un diagrama de árbol. 5.pide: a b c 6.a b c Se considera el experimento aleatorio consistente en tirar tres dados al aire y anotar los puntos de las caras superiores. Se El número de elementos del espacio muestral. formar el suceso A “sacar al menos dos cincos”. Formar el suceso B “sacar dos doses y un tres” Una urna contiene bolas blancas y negras en número superior a tres. Se sacan sucesivamente tres bolas de la urna. se pide: El espacio muestral. formar el suceso A “ sacar al menos una bola negra”. Formar el suceso B “sacar las tres bolas del mismo color”. 7.En una encuesta se interroga a cada persona y las respuestas se recogen en una tarjeta donde se considera el sexo, la edad (mayor o menor de 30 años) y la respuesta (Sí o No) a cierta pregunta. a Describir el espacio muestral de las posibles respuestas. b Formar el suceso B “ La tarjeta corresponde a un hombre menor de 30 años”. c Formar el suceso C “ La tarjeta corresponde a una mujer”. d Idem, “persona mayor de 30 años que ha respondido Sí”. 8.a b Razonar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones (acompañar si procede de los oportunos contraejemplos): Si dos sucesos son incompatibles, entonces son contrarios. Si dos sucesos son contrarios, entonces son incompatibles. 9.En una zona determinada emiten tres emisoras de radio R1, R2 y R3. Si se designan por A, B y C a los sucesos “ser oyente de R1, R2 y R3 respectivamente, se pide describir el significado de los sucesos: 1 A B C; 2 A´ B´ C´ 3 A (B C) 4 A (B C) 5 (A B)´ Sol: 1:oir alguna emisora. 2: No oye ninguna . 3: Sólo oye R1. 4:Ser oyente de R1 y de R2 pero no de R3. 5: No se es oyente ni de R1 ni de R2. 10.Con el enunciado del ejercicio 9, describir en función de A, B y C los sucesos: 1 Ser oyente de las 3 cadenas. 2 Ser oyente de R1 pero no de R2 ni de R3. 3 Oir, al menos, una emisora. 4 No oir la radio. 5 Sólo oir R1 y R2. 6 Oir sólo una emisora 7 No ser oyente de las tres cadenas. 8 Sólo oir dos cadenas. Sol: 1:A B C 2:A B ´C´=A (B C) 3: A B C 4:A ´B ´C´ 5:A B C´ 6: (A B´ C´) (A ´B ´C´) (A ´B ´C) 7:A B C (A B C) 8: (A B) (A C) (B C) (A B C) EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CONDICIONADA. MATEMÁTICAS AP 2º BACH. 1 1.- Si el 12% de los habitantes de Tijuana (México) leen el periódico“ El Noticiero”, el 9% leen “El Actual” y el 2% leen ambos periódicos, calcular: a) La probabilidad de que una persona que lea “El Actual” lea también “El Noticiero”. b) La probabilidad de que una persona que lea “El noticiero” lea también “el Actual” RESP: a) 0,22 b) 0,17. 2.- Un año, en el Colegio, el 60% de los alumnos de 2º bach estudiaron matemáticas, y el 80% de los que estudiaron matemáticas estudiaron también física. Se eligió al azar a un estudiante de 2ºbach de ese año ¿qué probabilidad hay de que el estudiante elegido estudiara matemáticas y física? RESP: 0,48. 3.- Una caja contiene 5 bolas blancas, 7 bolas rojas y 4 bolas negras. Se extrae una bola al azar y se comprueba que no es blanca. Hallar, en estas condiciones, la probabilidad de que sea negra. RESP: 4/11. 4.- Para probar la eficacia de dos medicamentos sobre cierta enfermedad, se aplica a 60 enfermos de un hospital el medicamento A y se comprueba que se han curado 40. El medicamento B se aplica a 45 enfermos del mismo hospital y se comprueba que se han curado 33. De los enfermos a los que se ha aplicado uno u otro medicamento se elige uno al azar. Se pide: a) Probabilidad de que se haya curado. b) Sabiendo que se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya aplicado el medicamento A? c) Sabiendo que se le ha aplicado el medicamento A ¿cuál es la probabilidad de que se haya curado? SUGERENCIA: Elaborar una tabla de contingencia con los sucesos A, B ,curado (C) no curado (C´) RESP: a) 73/105 b) 40/73 c) 40/60. 5.- Un determinado lote contiene 15 pilas de marca “Duramén” y 25 pilas de la marca “La Calina”. Se extraen al azar dos pilas, de forma consecutiva y sin devolver la primera a la bolsa (es decir, sin reemplazamiento). Llamamos A al suceso “la primera pila es de la marca “Duramén” y B al suceso “la segunda pila es de la marca “Duramén”. Se piden las siguientes probabilidades: a) P(A) RESP: 3/8 b) P(B/A) RESP: 14/39 c) P(A B) RESP: 7/52 6.- En una caja hay x calcetines blancos y 1 calcetín rojo. Al extraer de la caja dos calcetines al azar, sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean ambos blancos es ½. Calcular el número de calcetines blancos que debe tener la caja. RESP: 3 calcetines blancos. 7.- Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,5; P(B) = 0,6. Hallar P(A U B) sabiendo que A y B son sucesos independientes. RESP: 0,8. 8.- Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(A U B) =0,9. Estudiar si A y B son sucesos independientes. RESP: No lo son. 9.- Dos sucesos A y B verifican que P(A B) = 0,3; P(A´) = 0,4 y P(B´) = 0,5. Hallar P(A U B); P(A/B) y P(B/A) ¿son A y B independientes? RESP: 0,8 0,6 0,5 son independientes. 10.- Un hombre y una mujer de la misma edad se casan a los 20 años. Las probabilidades de que lleguen a los 70 son 0,76 para el hombre y 0,82 para la mujer. Se quiere saber la probabilidad de que a los 70 años: a) Ambos estén vivos. RESP: 0,6232 b) No viva ninguno de los dos. RESP: 0,0432 c) Viva solamente la mujer. RESP: 0,1968 d) Viva al menos uno de ellos. RESP: 0,9568 EJERCICIOS DE PROBABILIDAD MATEMÁTICAS AP 2º BACH. 2 Se pide: a) Probabilidad de que lo resuelvan los dos. calculando en el caso a) la probabilidad del suceso pedido y en el caso b) aplicando el teorema de Bayes.0. 2. b) La probabilidad de que una bombilla defectuosa la haya fabricado A.b) 0.2. Suponiendo que ambos sucesos son independientes..5 2. b) Demostrar que siempre que lo resuelva el segundo. calcular la probabilidad de que al menos uno de ellos siga vivo después de los 10 años. la de que apruebe Lengua es 0. un 2% y la C un 3%.087 5. MATEMÁTICAS AP 2º BACH 3 .b) 0. B fabrica el 30% y C fabrica el 50% restante. también lo resolverá el primero. La producción total se reparte de la siguiente forma: A fabrica el 20% del total.75 y la de que no apruebe Matemáticas es 0.. la de que lo resuelva el 2º es 1/3. B y C. la máquina B.El proceso de fabricación de bombillas de bajo consumo se hace en tres máquinas A.6. La probabilidad de que lo resuelva el 1º es de ½ . La máquina A hace un 1% de bombillas defectuosas.a) 1/3 2. De ellos.. Los sucesos “aprobar Matemáticas” y “aprobar Lengua” ¿son dependientes? Hallar la probabilidad de aprobar Matemáticas si se sabe que aprobó Lengua.b) 45/80 4.Se sortea un viaje entre los 120 mejores clientes de un banco.a) son independientes 5.023 4. 3. 65 son mujeres. y la probabilidad de que su mujer viva 10 años más es 1/3. 5.a) 0. a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es casado ¿qué probabilidad hay de que sea una mujer? nota: resolver este ejercicio de dos formas distintas: i) elaborando una tabla de contingencia y ii) elaborando un diagrama de árbol.. soluciones.Un problema debe ser resuelto por dos alumnos.1.. Piden calcular: a) La probabilidad de que una bombilla tomada al azar sea defectuosa. la probabilidad condicionada de que lo resuelva el 2º sabiendo que lo ha resuelto el primero es 2/3.a) 1/6 3.La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es ¼ . 4. 80 son clientela casada. Además.. 1.La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas y Lengua es 0.b) Se deduce que P(1º/2º) = 1( 3. y 45 son mujeres casadas.8 suceso seguro) EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CONDICIONADA. 466 3a: 0..91 4a:1/6 5a: P(B) 2b: 0. MATEMÁTICAS AP 2º BACH 4 .1. al elegir al azar una declaración de renta.446 2a:0. P(A) (acudir a la resolución gráfica) EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CONDICIONADA.457 4b: 1/6 4c: 1/36 5b: P(A) 5c: P(B) 4d: sí. Se ha comprobado que de las declaraciones realizadas por la primera persona. ¿Son A y B sucesos independientes? B). P(A A ) en función de P(A) y P(B). sols: 1a: 0.Para regular el abastecimiento de agua a una ciudad C desde un río R.7 de estar abiertas. Si en la bolsa hay 4 bolas rojas y 2 bolas negras: a) Halla la probabilidad de que el jugador que empieza gane en la primera partida. la segunda el 45% y la tercera el 25% restante. El juego continúa hasta que uno de los dos jugadores gana o en la bolsa no quedan bolas. desde R hasta C? c) ¿Cuál es la probabilidad de que. y si no.0215 1b: 0... donde V son válvulas de regulación independientes que tienen una probabilidad 0. a) Calcula la probabilidad de que. se plantean dos posibles esquemas de conducción del agua.Se lanza un dado dos veces. sabiendo que el agua no llegó a C en el esquema II. P(B) y P(A B). Es el turno del segundo jugador. ésta sea errónea.Consideremos el siguiente juego entre dos personas: De una bolsa con bolas rojas y negras se sacan dos bolas a la vez. 3. el 1% son erróneas. en el esquema II. Sea A el suceso ”obtener 1 en la primera tirada” y sea B el suceso “obtener 2 en la segunda tirada”. es el turno de otro jugador.. b) Al elegir una declaración que resultó correcta ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona? 2.Los sucesos A y B de un experimento aleatorio verifican que A B. b) El primer jugador no ha ganado. Calcula: P(A).5 3b: 0.En una asesoría fiscal se ha contratado a tres personas para hacer declaraciones de la renta.. Si son del mismo color se gana el juego. Halla la probabilidad de que gane en esta tirada. según recogen los esquemas I y II que se muestran al lado. y P( B- 5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue agua desde R hasta C según el esquema I? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el agua no llegue.657 3c: 0. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30% de las declaraciones. fuera debido a que la primera válvula estuviera cerrada? Esquema I R V V Esquema II C R V V V C 4. Expresa las probabilidades P(A U B). la segunda comete errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los casos. Describir que probabilidades expresan los siguientes planteamientos: a P(C/A) b P(C/B´) c P(C/A B) 7. a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie matemáticas? b ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie matemáticas? 4. 3. c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. b 30% c 55% d 0. b falsa. y si está en el archivador.6.056 6. Se pregunta por la probabilidad de los siguientes sucesos: a A: “ Ambos alcanzan los 70 años” b B: “Ninguno de los dos alcanza los 70 años”. Se realiza al menos alguno de los tres. A´..1..Un archivador tiene 9 cajones. No se realiza ninguno de los tres. 2.a cierta.00432 c 0. está formada por 10 chicos y 10 chicas.a b c 7.. b 0. B y C tres sucesos cualquiera de un espacio de sucesos S. 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa.82 para la mujer.. b 0. y por la tarde 2 con problemas eléctricos. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. probabilidad de que la compañía autorice la póliza sabiendo que el aspirante pasa el examen y puede pagar la prima.... probabilidad de que la compañía autorice la póliza sabiendo que el cliente no puede pagar. C. 3. 2º BACHILLERATO.6232. tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de los nueve cajones.I.9568.Sean los sucesos A: “Sacar un rey” y B: “Sacar una figura”.Un hombre y una mujer de la misma edad se casan a los 20 años. Sea B el suceso “Puede pagar las primas” y sea C el suceso “ La compañía de seguros autoriza la póliza”.5.76 para el hombre y de 0. 5.75 4. B..Sea A el suceso ”Un aspirante a una póliza de vida puede pasar examen médico”. 5. d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.a A B 2. a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores. la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido Matemáticas como optativa.Una clase de 2º de Bach.a 0.Sean A. Las probabilidades de que alcancen los 70 años son de 0.25. Se realizan A y B pero no C.. probabilidad de que la compañía autoriza la póliza si se pasa el examen médico.. b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde. d D: “Alcanzan los 70 años al menos uno de los dos” Respuestas: 1.a R. .1968 d 0. b Siempre que se realiza B se realiza A. a ¿Cuál es la probabilidad de que la carta esté en el noveno cajón? b Abrimos los 8 primeros cajones y la carta no está en ninguno de ellos. B´ y C´. y de sus contrarios. los siguientes sucesos: a b c d Se realizan A y B. Una carta tiene probabilidad ½ de estar en el archivador. b 0. b A B C´ c A B C d A´ B´ C´. c C: “ Alcanza los 70 años sólo la mujer.. Se pide expresar en función de los sucesos A.Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos.a 0..a 0. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en el noveno cajón? 6. ¿Cuál d e las dos aseveraciones siguientes es cierta? a Siempre que se realiza A se realiza B.. 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa. Se lanzan dos dados y se suman los resultados obtenidos.. c Las dos respuestas anteriores son ciertas. 03. 2. c La probabilidad de un suceso en experimento aleatorio depende del número de veces que realicemos ese experimento aleatorio. b 4/40 · 4/39 = 2/195 c 4/40 · 3/39 = 1/130 d 4/10· 4/10 = 4/25. 01.99 y se saca una bola al azar ¿cuál es la probabilidad de que los dos dígitos que aparecen en la bola sean impares? a 50/100 = ½ .. 10.De una baraja española (40 cartas) se extraen dos naipes consecutivamente sin reemplazamiento. 9. b c d 8.Se lanza un dado dos veces ¿Cuál es la probabilidad de que en la segunda tirada resulte un número mayor que en la primera? a 5/6. b Menor que la probabilidad de no sacar alguna cara.05 ·10 4 . . Indica la validez (V)o invalidez (F) de cada una de las siguientes afirmaciones: a El espacio muestral está formado por seis elementos. 8.33..6 y P(A´ B´)=0. b El suceso “la suma es múltiplo de 5” está formado por dos sucesos elementales.¿Cuál es la afirmación errónea? a La frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que aparece cuando repetimos un experimento aleatorio.. 2. El espacio muestral. Tal y como se desarrolla el experimento. ¿Cuál es la intersección de los sucesos A B y A El suceso A. b 4/36. la suma de caras opuestas debe valer 7) a 5 3 b 1 4 5. Con el suceso A.A? a b c 3.. c El suceso “la suma es un número primo” contiene cuatro sucesos elementales.7. P(B)=0.Siguiendo con las cartas de una baraja española.a b c d ¿Con quién coincide el suceso contrario del contrario de un suceso Con el espacio muestral. ¿Cuál es la probabilidad de obtener caballo y rey? a ¼. 02. 36. c 33/100 = 0. podemos preguntarnos por una probabilidad condicionada como la que sigue: Si la suma es un número primo ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados se haya obtenido un 5? a 15/36. d Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.. c 1/5. b La frecuencia relativa de un suceso es igual a la frecuencia absoluta dividida por el número total de veces que repetimos un experimento aleatorio.. 13. Cuando en una clase se elige un alumno al azar y se obtiene 17.58. El suceso B. b 25/100 = ¼ . d ninguna de las respuestas anteriores es cierta. d 4/15. (como antes..¿cuántos sucesos elementales posee el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda? a 12. 11. ¾. 4. 6. El suceso imposible. 12.Si una urna contiene 100 bolas numeradas así: 00. B? 7.La probabilidad de un suceso también puede expresarse en porcentaje. la probabilidad de sacar tres caras es: a Mayor que la probabilidad de sacar tres cruces. la frecuencia relativa de un suceso A tiende a aproximarse a un valor fijo que se define como probabilidad del suceso A. c d ½. a La probabilidad de sacar tres reyes vale 4.255.Lanzamos un dado al aire y sumamos los puntos de las caras visibles (en un dado de parchís la suma de los puntos de caras opuestas es 7).“PROBABILIDAD EN UNAS PREGUNTAS TIPO TEST” 1.Considera dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio del que se conoce que P(A)=0..Completa los siguientes desarrollos de dados. si ahora de una baraja se sacan tres cartas a la vez. b La probabilidad de que sólo una sea un rey es de 0. b 15/36. c Igual que la probabilidad de sacar al menos una cara.Al considerar el experimento aleatorio consistente en lanzar tres veces una moneda. Con el suceso imposible. d Cuando repetimos un experimento aleatorio muchas veces. Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes.17. sabiendo que se ha elegido a un enfermo? a 66/100. multiplicando por 0.527 EJERCICIOS DE COMBINATORIA. P(alumna)= 0.582 b 0. ¿Cómo son los sucesos A y B? a Dependientes. Se lanza el dado. b Incompatibles.6. 16. ¿qué probabilidad hay de que la persona elegida haya sido un hombre.. y el de chicas. A continuación se extrae una segunda bola.4.Sean A y M dos sucesos de un espacio muestral E. b 1. b 0. ¿que probabilidad hay de sacar un número impar? a 1/6.Un dado se ha trucado de modo que la probabilidad de sacar número par es el doble que de sacar número impar. c Que hay 100 alumnos en esa clase entre chicos y chicas. c Independientes. El 6% de los hombres y el 11% de las mujeres están enfermos.4.En una ciudad en la que existe doble número de hombres que de mujeres hay una epidemia. 19. b 2/3.Y la última pregunta en relación al enunciado del ejercicio nº 14. ¿qué probabilidad hay de que al elegir una persona ésta sea una persona enferma? a 23/300. MATEMÁTICAS AP 2º BACH. tales que M A (el suceso M está contenido dentro del suceso A). c 3/5.Dos niños escriben en un papel una vocal cada uno ¿cuál es la probabilidad de que sea la misma? a 2/5 b 1/25 c 1/5 20. 5 . b 2/3.En la ciudad del enunciado nº 14. Sabiendo esto ¿cuánto vale la probabilidad P(M´/A´)? a 1 b 0 c No podemos saberlo sin conocer más datos.83. 14. ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? a 1/3. ¿qué probabilidad hay de que las dos bolas extraídas sean del mismo color? a 0. c 52/100.P(alumno) = 0. significa: a Que el 60% son chicos y el 40% son chicas. 18. 21. c 1/3. Si se elige una persona al azar. 15.418 c 0. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. c 11/100. b Que el número de chicos en la clase sale multiplicando por 0.6 el número total de alumnos. 6 ó V6. un pescado y dos postres? 7.5 6..¿De cuántas formas pueden ordenarse 10 libros en una estantería sabiendo que 4 son de matemáticas. 2..-a) 4320..a)P10 b) PR(10.3 V6. c) 864.Pc4=3! 3...(V4. 6. ¿Cuántos menús distintos se pueden preparar tomando un aperitivo.¿Cuántos números de seis cifras distintas pueden formarse con los dígitos del conjunto {0.6 V6.5 c) V7.a) 3.5 ó 6·V6.. Los libros son distintos pero están colocados juntos por materias..4. 3..Tenemos 10 niños en una plaza de la que salen cuatro calles. 1. 5.5 EJERCICIOS DE FUNCIONES de DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.4·5·C6. 1.1.C5.Sabiendo que la puerta de la cafetería sólo permite el paso de una persona ¿cuál es la probabilidad de que cuando los cuatro jóvenes abandonen el local salga una chica detrás de otra? 4. 3 son de Lengua y 3 son de Filosofía? Calcula la respuesta en los siguientes casos... 8... MATEMÁTICAS AP. Los libros son iguales.715 formas... 2º BACH.Un cliente compra en una tienda 6 productos distintos: 3 de alimentación y 3 de limpieza. Calcula la probabilidad de que al sacar simultáneamente tres sean del mismo color. RESPUESTAS.Dos chicos y dos chicas entran en una cafetería.. 7.4/24.3 9.a) V7... ¿De cuántas maneras pueden aparecer los 6 productos en el ticket de compra? ¿y si el cliente pasa primero por caja los 3 productos de alimentación y después los 3 de limpieza? 10. 5 de pescados y 6 de postre.a) 720.. 4..2 · C6. 2.3 + V3..En una reunión hay cinco niños y seis niñas.628. d) 6.3)/V7.. ¿De cuántas formas podemos escoger 2 niños y 3 niñas para jugar a cierto juego? 9.CR10.000 b) 4200. 3) c)P4·P3·P3 5.. Si por la puerta sólo cabe una persona ¿de cuántas formas pueden entrar? 2. c) 720. 6}? ¿Cuántos empiezan por un número par? ¿Cuántos terminan en 2? 6. 3.24. 1.. ¿De cuántas formas podrán salir los niños de la plaza? 8... 4 = (13sobre4) 8.5 b)3·V6.Un restaurante tiene 4 clases de aperitivo.. 6 1. 4. 5.2 7.1/7. b) 36.Probabilidad=(P2·P2)/P4 4.Si los cuatro elementos del ejercicio anterior se sientan en una mesa circular de la cafetería ¿de cuántas formas pueden disponerse en torno a la mesa’ 3.6.P4=4! 2. 5. 3. a b c d Los libros son distintos. b) 2160. 10.a) P6 b)P3·P3 10.Si el 60% de los alumnos de una clase aprueba una determinada asignatura ¿cuántos alumnos se espera que aprueben en una clase de 40? ¿cómo se .. 9... Los libros son idénticos pero están colocados juntos por materias.En una bolsa hay cuatro bolas blancas y tres bolas negras..300 menús.200. . b Calcular la probabilidad de que en cierto día se encuentren 8 automóviles aparcados.. 10.Una encuesta revela que el 20% de la población juega al cupón de la ONCE y el resto no juega. se quiere conocer: a La probabilidad de obtener 1 cara.0..Indica las condiciones que deben cumplirse en una distribución para que siga el modelo de la binomial.Hallar la media. se desea saber : a La probabilidad de que las 6 personas no jueguen al cupón de la ONCE. MATEMÁTICAS AP. B(20. Gana el que antes gane 5 partidas. 3.46. 12. 5. 4.24... 0.07508. Elegidas 6 personas al azar. 7. 0. En particular.. 6. 0.Si una distribución binomial tiene por parámetros n =50 y p =0..4096.00865. 0. determinar la probabilidad de que de 4 cerrojos elegidos al azar: a 1 sea defectuoso. 3.Exponer cuál es la fórmula de la probabilidad de que al lanzar 3 monedas sin truco se obtengan x caras.llama el parámetro obtenido? 2.208. 3.. b Como máximo haya dos defectuosos.0. 5. 0.6 ¿cuánto vale la desviación típica? 4. González gana la primera partida.0106. a ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente a 6 preguntas? b ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna? 11. 1. 2º BACH. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza la prueba responde totalmente al azar.6) y B(100. 9.. la segunda. 8.Tenemos dos distribuciones binomiales.Un laboratorio afirma que un compuesto contra la jaqueca produce efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes.. 0.B(10. 0. 6. ¿Cuál tiene mayor desviación típica? calcúlala.. EJERCICIOS DE FUNCIONES de DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos.0.. con cuatro posibles respuestas cada una. =4.125. 0. 11.Buscar fórmula. 0... 7 1.. ½)=0.En una manzana de casas hay 10 aparcamientos.0... la varianza y representar la función de probabilidad y la función de distribución de la siguiente función de probabilidad: . ¿Qué probabilidad tiene González de ganar el torneo. 0. de las cuales sólo una es correcta.3. 0.. En cada aparcamiento puede encontrarse o no un automóvil con independencia de o que ocurra en los otros. sin contar las partidas que acaben en tablas? 9. los jugadores Leoneses González y Rodríguez disputan la final.000064. 7. y habiéndose lanzado tres monedas sin truco.636718.9728 .. c ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorio que sientan efectos secundarios si se eligen 100 pacientes al azar? RESPUESTAS.-P(X 4) en B(8. Para contrastar esta información.375. c Sabemos que se han obtenido un número impar de caras ¿Cuál es la probabilidad de que se haya obtenido una sola cara? 12.. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.00848.0.En ambos casos. = 23.Se lanza una moneda cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a Ningún paciente siente efectos secundarios.4: a Identificar y describir este modelo de probabilidad. b La probabilidad de obtener 3 caras.262144. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es de 0.En un concurso de ajedrez. 10...75.Un examen tipo test de matemáticas está compuesto por nueve preguntas. b Al menos dos sienten efectos secundarios.85873. pero Rodríguez es igual de bueno que él.3125.4). ¿Cuál tiene mayor media? calcúlala.23). b La probabilidad de que las seis personas jueguen al cupón de la ONCE.. 8. otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que le aplica el compuesto. Así..39) b) El área encerrada entre .9115 c) P(z a) = 0.17) g) P(z . 16) = 0.. c) La probabilidad de que en el grupo haya al menos dos niños con fluidez verbal nula.32) f) P(z 2.9808 – 0..x p 2 0. b) Al menos una niña.32) b) P(z 1.1..32) h) P(-2.Un dado ha sido trucado con el fin de alterar las probabilidades de obtener las diferentes caras. se pide: a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0.. c) Al menos 8 niños.Utilizando la tabla N(0.2 3 0.Se ha pasado una prueba sobre fluidez verbal a un numeroso grupo de niños de una comarca socialmente deprimida.27 z d) P(z .1 5 0. 3. 7) e) Calcula f) Calcula c)P(175 x 190) en N(184.15..39) e) P(-1. De una muestra aleatoria formada por siete niños. 6. 7. y se ha detectado que el 35% tiene una fluidez verbal prácticamente nula. P(3 x 6). c) P(z . b) La función de probabilidad.9912 g) P(z a) = 0. b) Probabilidad de que pierda las 12 veces que juega.32) P(z=0.. 2). ).4761 10.. el resto se puede considerar aceptable. hallar: a) La media y la desviación típica.2810 d) P(z a) = 0. 2.En una distribución N(0. Se pide: a) Probabilidad de que gane exactamente en tres ocasiones.En un determinado juego se gana cuando al lanzar los dados se obtiene suma de puntos 10 ò más.32 z 1.9999 h) P(z a) = 0.Una familia tiene 10 hijos. d) al menos una niña y un niño. c) El área entre – 2. d) El área encerrada entre – 1 y 0.25.3) y para que P(12 x en N( .7389 .567) P(z -3) 9. f) Calcula para que P(x 10) = 0.9989 b) P(z a) = 0. b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.5359 e) P(z a) = 0.8665 f) P(z a) = 0.Tipifica variable para obtener: a) P(x 134) en N(126.Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada.4 6 0.2 8 0. Hallar la probabilidad de que haya: a) Como mucho tres niñas.Calcula el valor de a sabiendo que a) P(z a) = 0. calcular: a) P(z 1.23 y 1. La distribución por sexos es igualmente probable. si x representa la puntuación alcanzada en una tirada.55.32.hasta 1. 11) b) P(x 54) en N(60. 1) calcular: a) El área encerrada entre 0 y 0. 25) d) Calcula b para que P(x b) = 0.8925 en N(15. Un jugador tira en 12 ocasiones los dos dados.1.7019 en N( . ) para que P(x 13) = 0. 5.6772 en N(8. P(x 3).1 Calcular las siguientes probabilidades: P(x 5).1.32) . 4. 1). 8.. se tiene: P(x=1) =1/6 – 2k P(x=2) = 1/6 – k P(x=3) = P(x=4) = 1/6 P(x=5) = 1/6 + k P(x=6) = 1/6 + 2k Determinar k para que la esperanza matemática E(x) valga 4.1. 8 ¿cuántos puntos obtuvo? ¿cuántos puntos corresponden a un valor tipificado de – 0. P(5 < x < 15) (0. la media fue 28 puntos y la desviación típica 10 puntos. Calcula P(x = 0).. hoja 8 1. (0.5 que hay que hacer al pasar de una variable discreta a una continua). (0.2857) 5.55) 2.5.9772. npq ).1. 0.El número de visitantes que diariamente acuden a una exposición se distribuye según una distribución normal N(2000. se anota su clor y se devuelve a la urna.5). ¿Cuál es la media y la desviación típica de las puntuaciones del examen? ( =72. 0.3269. aprox.7357. P(z < k)= 0..8716. P(z < 1.6554.. (1.9332. 0. 250): a) Halla la probabilidad de que un día determinado el número de visitantes no supere los 2100.. b) Esté entre 180 y 220. Calcula la probabilidad de que el número de caras: a) Sea mayor que 200. (0. c) Más de tres rojas.En una distribución N(173. d) Alguna roja.01) 4. (0. 0. c) 45 puntos.8 y – 0. 0. hallar P(x=0). P(x < 2). P(x=10) y el valor de los parámetros y .1056. P(z 1. en 6 días) 17.146) b) ¿Y la de que conteste bien más de 2 preguntas? (0. d) 10 puntos. calcula la probabilidad de que ninguno de ellos haya votado.9).9727) 15.84).Los pesos de 2000 soldados presentan una distribución normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg.0023.87) (0. P(x < 80). 0.La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm y la desviación típica. . 0. Calcula la puntuación tipificada de los alumnos que obtuvieron: a) 38 puntos.En la distribución N(0. 0.1056) 13. a) Si se seleccionan 3 individuos al azar. 0..1492) . calcula la probabilidad de obtener: a) Tres bolas rojas. ( = 4.Un examen tipo test consta de 10 preguntas. NORMAL.4052.243.En las últimas elecciones se abstuvo el 25% del censo electoral.5).4.4 y sus notas reales fueron 88 y 64 puntos.056) 7. b) Menos de tres bolas rojas.53.. ¿Cuántos alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm? (0. P(161 x 180. 0..0089. hallar P(z 0. d) Más de 75 kg. 0. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese: a) Más de 61 kg.Si en el mismo examen del problema anterior la puntuación tipificada de un alumno fue 0.2? (36..5).Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante aproximación a la distribución normal correspondiente (en todas ellas.Las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0.. a) Si sacamos tres bolas.Deduce a partir de la tabla N(0. 6) hallar: P(x 173). (0.. P(x=5). 0.Si lanzamos un dado mil veces ¿Cuál es la probabilidad de que el número de cincos obtenido sea menor que 100? (0) 14..8369. 0. 0.038. cada una con cuatro respuestas. b) Si se toman al azar 100 personas del censo ¿cuál es la probabilidad de que se hayan abstenido al menos 30? (0. P(174 x 180.. 0..1). c) En un mes de treinta días ¿en cuántos cabe esperar que el número de visitantes supere los 2210? (0. Se saca una al azar. 1) el valor de k en cada caso: P(z k)=0.2033) 16.8997. 0.En una distribución binomial B(10. 0. . 13 alumnos) 12.7019. 0. 26) 10. b) Calcula la probabilidad de que un día cualquiera los visitantes sean más de 1500. P(161 x 170).4801. (0. calcula la probabilidad de que el 0 salga más de 12 veces. P(x=3). ten en cuenta el ajuste –en 0. 0.8664) b) x es B(1.135. P(z < 2). (0.En un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas de 0 a 9.2902.1323. TIPIFICACIÓN.7996. (0.02).8) 9.474) c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas. 0. 1). Calcula P( x> 45) y P(x 30). P(x 180. y cada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al bombo.Una moneda se lanza 400 veces.9772.En un examen tipo test. 1.4). Si esta experiencia se repite cinco veces. a) x es B(100. c)Menos de 70 kg.8319) 8.1.. Si un alumno contesta al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 4 preguntas? (0. Si las tallas se distribuyen normalmente. P(z k)= 0.EJERCICIOS DE APLICACIÓN: BINOMIAL. Calcula P(x > 30).7. 1) c) x es B(50.28.9693) 3. 0. p) N(np. 0.6915. 0.. de las cuales sólo una es correcta. b) Si hacemos 100 extracciones. b)14 puntos.. calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar mida más de180 cm. 0) 6. APROXIMACIÓN B(n. =1. calcula la probabilidad de que el 0 salga una sola vez.5).0668.5040.. 10 cm.Una urna contiene tres bolas rojas y 7 verdes.0156. (0. 1. = 20) 11. 0.000. b) Entre 63 y 69 kg. =0. ancianos. Se dispone de un valor de la proporción p=0.400 gramos.. Consideramos todas las muestras de tamaño 2 con reemplazamiento que se pueden extraer de esta población.69 m? RESP: a =1.Una población está formada por sólo cinco elementos. b La desviación típica de esta población. a Halla la probabilidad de que la muestra de 81 alumnos tenga un C.5408. RESP: a 7. MAT APL. que se distribuyen normalmente.68 y 1.Demostrar que el intervalo de confianza para la media poblacional c para un nivel de confianza dado es ( x z en función de la media de una muestra extraída de la población.. a Explicar que método de selección sería más adecuado utilizar: muestreo con o sin reposición ¿por qué? b Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2. c La media de la distribución de medias muestrales. Se pide calcular: a La media de esta población. Para ello.200 estudiantes de un centro de enseñanza superior se distribuyen normalmente con media de 1. b (100·0. RESP: a 0. 8. 5. b Realiza el mismo cálculo si la muestra que se toma es de 100 tornillos. medio inferior a 109.) de los alumnos de una universidad se distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729..Se desea hacer una estimación sobre la edad media de una determinada población. 5 ancianos.. tomada entre ellos.I.SS. 7. a Halla la probabilidad de que una muestra elegida al azar de 25 tornillos. Se sabe por estudios previos que la edad media de dicha población tiene una desviación típica de =3. es decir.4207) 42 aprox. 5. se entrevistó aleatoriamente a 500 estudiantes.8284.Se sabe que el cociente intelectual (C.0037. .000 adultos y 500 ancianos.. Calcula el intervalo de confianza. x z c ) n n 6.En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes.Para estimar la proporción de estudiantes de una universidad que está a favor de la reinserción social del delincuente. b1 Define los estratos. 2.04 y un nivel de confianza del 99. 70 adultos. b1 niños..Una máquina ha fabricado 800 piezas de precisión con un peso medio de 150 gramos y una desviación típica de 20 gramos. 13 aprox. de tamaño n. b 0. Calcular el tamaño de la muestra necesario para poder realizar dicha estimación con un error menor de medio año a un nivel de confianza del 99.9 13 piezas. 2º BACH. RESP: (0.. .5 gramos. en el cual se hallará la población universitaria que se encuentra a favor.I.73%. van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. c (100·0.392 personas.1343).0901.15 m. tenga un peso medio superior a 144. 10. RESP: 1. d 2. 9. c 7.32 gramos y una desviación típica de 8. b 2. 9 y 11. el error típico de las medias.6 gramos.. 4.0228. RESP: a 0. medio superior a 109. 7.EJERCICIOS: DISTRIBUCIONES. b2 25 niños.9987.Deseamos conocer el número de personas mayores de edad que sería necesario incluir en una muestra nacional para estimar la clase de actividad en España con un error absoluto d=0.I. b 0. Si se toman 100 muestras de 36 estudiantes cada una. adultos. El 58% estaba a favor. A LAS CC.72 y desviación típica de 0. MUESTRAS Y TEST DE HIPÓTESIS.500 niños. b ¿En cuántas muestras cabría esperar una media entre 1. Calcular la probabilidad de que una muestra de 80 piezas elegidas entre las fabricadas tenga un peso total de más de 12.6192) 7. RESP: a Muestreo sin reemplazamiento. al nivel de confianza del 95%. b2 Determina el tamaño muestral de cada estrato.-Las estaturas medias de 1. 3.73 m? c ¿En cuántas muestras es de esperar que la media sea menor que 1.45 del último censo.9 m. 9 1. tienen un peso medio de 142. con valores 3. RESP: 12. se pide: a La media y la desviación típica en la distribución muestral de medias. posteriormente se decide elegir la muestra anterior utilizando muestreo estratificado.72 m. 0. d La desviación típica de la distribución muestral de medias..Los tornillos fabricados por cierta máquina de precisión. RESP: 342 personas. b Halla la probabilidad de que la muestra de 36 alumnos tenga un C.73%. 000 pesetas.500 pesetas..1 días. Si hay menos de 7 respuestas correctas. 18. mientras que la segunda alcanzó una media de 8. Se pide obtener un intervalo de confianza del 95% para la estancia media. RESP: Se rechaza la hipótesis nula (Ho: =6) y aceptamos la hipótesis alternativa (H 1: < 6). de donde se han sacado los resultados siguientes: x 8. 16. adopta la siguiente decisión: si al menos 7 respuestas son acertadas. Plantea la prueba de hipótesis más adecuada.500 horas. y por tanto elegimos el primer tipo de lámpara. se distribuye N ( 102. en un sondeo electoral realizado recientemente con una muestra de 1.034. (contraste bilateral).166) 12. MUESTRAS Y TEST DE HIPÓTESIS..2 < 161.600 personas de cierta población es de 93.01.. Examinada la primera muestra de 100 lámparas.UU. Comprueba la hipótesis para un nivel de significación del 0. tan sólo acudiría a votar el 48% del electorado. MAT APL. están a favor de que el ministerio de Economía mantenga la presión fiscal el 65%. En una encuesta realizada un año antes había resultado un 68% favorable al mantenimiento de la presión. y cuando se producen errores de tipo I y de tipo II. A LAS CC. Halla la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando sea correcta. ¿Cae este valor en el margen de confianza de la nueva encuesta? RESP: Sí puesto que el intervalo de confianza es ( 0. ha contestado al azar.. (contraste bilateral). Se sabe que la desviación típica de los salarios en la población es de 20. se tiene una vida media de 1.Se quiere dotar a un pabellón de deportes de un buen sistema de iluminación..2 > 0. con una desviación típica de 150 horas. 2º BACH. (contraste unilateral) 17. 0.SS. s=9 días. la primera alcanzó una media de 7.01. sostiene que.18< 1 . . Como 1 . RESP: (18. que el salario medio en dicha población es de 95.73) 13. ¿sirven estos datos de soporte de que el tiempo medio de empleo de los profesionales de esta institución está por debajo de los 6 años? Suponemos que la población de profesionales se distribuye normalmente. Sin embargo.05 y comenta el resultado.6113. Sobre una escala de 1 a 10.. (contraste unilateral) 19. Halla un intervalo de confianza del 90% para la edad media de todos los estudiantes que se presentan a las pruebas. RESP: Se rechaza la hipótesis nula (Ho: p=0. Halla el intervalo de confianza del 99%. 10 11. Halla los límites de confianza para la diferencia de medias al 99%. indicando cuando hay decisiones correctas. en una muestra de 100 individuos se obtuvo una media de 104 ¿Qué podemos inferir al 95% de confianza? RESP: Se acepta la hipótesis nula (Ho: =102) y rechazamos la hipótesis alternativa (H 1 102).1. el estudiante no ha contestado al azar.4..6887). Considerando un nivel de significación del 0. Al transladarlo a la población española.82.47. Nuestra hipótesis de investigación es que el colectivo B se identifica más con la Comunidad que el colectivo A. ¿Se puede afirmar. 1 es mayor que 2. de 80 miembros cada una para conocer la identificación con dicha Comunidad. P) a la normal.000) y aceptamos la hipótesis alternativa (H 1: 95.En una muestra aleatoria de 1.2 con una desviación típica de 3.Una encuesta a 64 profesionales de una institución reveló que el tiempo medio de empleo en dicho campo era de 5 años.2.000 personas.El salario medio correspondiente a una muestra de 1.Un test de inteligencia evaluado en EE. si se celebran elecciones generales en la actualidad. basado en los resultados de anteriores comicios. 18. y calculando en esta distribución P(x > 7). ¿Cuál será la lámpara elegida? RESP: 78. 21. con un nivel de significación de 0.Un experto en temas electorales. de 800 pacientes. se obtiene una probabilidad de rechazar la hipótesis nula de 0. con una desviación típica de 4. (contraste unilateral) 20.. Para comprobar la hipótesis de que los alumnos contestan al azar.000).. expresada en días.102.Estudiando dos muestras de ciudadanos de una determinada Comunidad.Elabora un cuadro que recoja situaciones frente a decisiones. A y B.500 personas.EJERCICIOS: DISTRIBUCIONES.Se quiere conocer la permanencia media de los pacientes en un hospital.380 horas con una desviación típica de 70 horas.Una muestra aleatoria de 100 alumnos que se presenta a las pruebas de selectividad revela que la media de edad es de 18.. RESP: (7. RESP: Se acepta la hipótesis nula (Ho: 1= 2) y rechazamos la hipótesis alternativa (H 1: 1< 2). La muestra de 130 bombillas procedente de la segunda fábrica ofrece una vida media de 1.1 con una desviación típica de 4. RESP: La hipótesis nula es H0: P= ½. 15. 8.Un profesor propone a sus alumnos 10 cuestiones para responder verdadero o falso. 14.. 800 manifiestan su intención de votar.000 pesetas? RESP: Se rechaza la hipótesis nula (Ho: =95.48) y aceptamos la hipótesis alternativa (H 1: p > 0. A tal fin se analizan dos muestras de lámparas procedentes de dos fábricas diferentes.1 años. 15 ). Aproximando la B(n.05.48). sabiendo que la desviación típica de la población es de 0. Se tienen datos referidos a la estancia. para un nivel de significación del 0. 2/9). 3/5. z): a)(3/5. b) (2.x x x y y y Resolver los siguientes sistemas: z z z t t t 1 0 1 2 x y z t 2 x y 3 z t x 2 y 4 z t 6 9 15 a x y z t b 3 x 2 y z 2 t 10 ½) b) (1. (x. B y C. que si del número dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras la diferencia es 198 y que además la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos. e) (2. y= 4 a. (4/3. y. 15) 50 € por una entrada de patio y dos de palco. sol*:(no se puede precisar el precio de cada entrada) 110 € por dos entradas de patio y dos de palco. 4). Si a= 1.Hallar un número de tres cifras. b) (8/3 3. 1). Estudiar los casos en los que se han pagado también: 70 € por dos entradas de patio y dos de palco. z) c) (?. Se sabe que el volumen A es el doble del de B. c) (13/5.a a) (2/3. pero el problema no) 6. sol*. B =4 L. 1/3 + 4z/3. t): a) ( 1. ?. ¿Qué capacidad tiene cada medida? sol*:(A = 8 L. 2. C = 12 L) 7.:( el número buscado es el 432) 8. y. sistema compatible determinado.x y y y z 2z 5z/3. d) (307/49. 5. 11 1. x= 2.a b c Por tres entradas de patio y seis de palco se han pagado 150 €. 1. 2. sol*:(el sistema sí tiene solución.:(20. 1). :a) sistema compatible determinado para todo valor de a. (x. 4/3. 0). 0) sol*. 17/5). sol*. 1. z. sabiendo que suman 9.3 x y z 3 1 2 Resolver los siguientes sistemas: x 3 y 2 z 3 x 2 y z 4 5 5 x 2 y 3 z x 2 y 2 z 4 3 3 x 2 y z z d x y 2 2 x y 3 z 3 5 16 x 2 y 3 z 3 x 3 y 5 z 3 8 x 2 y z 3 b 2 x 2 y z 3 c 2 x y 4 z 7 e 2 a y z x 2y z sol*. MÉTODO DE GAUSS. z= a−2. 3/2.EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ?). 1) Resolver los siguientes sistemas: 3 x y z 2 x y 2 z x 3 y 6 z 1 2 3 x y 3 z 3 2 5 x y 3 y 5 0 0 0 x y z 2 b x 2 y z 2 x y 2 z c 3 x x 2y 1 d 2 x 3 y 5 z 11 x 5 y 6 z 29 sol*. z): 2. b) si a 1. 3. que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan hasta la mitad. d) (1. 4. 69/49) Resolver los siguientes sistemas según el valor del parámetro a: z 2 a 0 x y 2z 3z 3 5z 2 1 a a b 2x y 3y z x 2y sol*.Se dispone de un recipiente de 24 litros de capacidad y de tres medidas A. el sistema es incompatible.Una empresa tiene tres minas con las siguientes composiciones: . 7/9. 4/5. (x. 20/7. y. 0. y entonces la cantidad de agua es del 30% del total. ¿Qué edad tiene cada uno? sol*.000 € en la empresa A. el número aumenta en 9 unidades. El mijo se vende cada “cahíz” por 0.Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) Mina A 1 2 3 Mina B 2 5 7 Mina C 1 3 1 ¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel.000 € repartidos en tres empresas y obtuvo 4.: (el número buscado es 123) 16.500 € de beneficios.Si un sistema de ecuaciones lineales tiene más incógnitas que ecuaciones ¿es necesariamente compatible? 17. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos. sabiendo que en la empresa A hizo el doble de inversión que en la B y la C juntas y que los beneficios de las empresas fueron del 5% en la empresa A. mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquél tiempo de sus hijos. ¿Cómo es el sistema? 19.Un individuo invirtió 60. 12. 15. El vino añadido.Formar un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones sean x= 1. Calcular la inversión realizada en cada empresa.000 € en la C) 15. y cuando tú tengas la edad que yo tengo ahora. 14. la suma de edades de las tres personas será 150 años ¿qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos? sol*.: ( el padre tenía 35 años cuando nació el hijo mayor y 40 años al nacer el hijo menor).Si un sistema de ecuaciones tiene más ecuaciones que incógnitas ¿es necesariamente incompatible? 18. Calcular dicho numero. 100 toneladas de la mina B y 300 de la mina C ). sol*. y entonces la cantidad de agua es del 20% del total. la suma de nuestras edades será 36 años”. ¿Cuántos litros de vino se añade en cada ocasión y cuántos hay de agua? sol*.Se venden tres especies de cereales: trigo. y = 3 y z = 2.5 denarios. z = (200+4x)/3 cahíces de mijo). 13. sol*.. y si se intercambian la primera y la segunda.: (inicialmente había 6 litros de agua.La suma de las tres cifras de un número es 6. 10 litros). Al probarla observa que es demasiado ligera. Como sigue siendo ligera.: ( las edades son 12 y 16 años). ¿cuántos cahíces de cada especie se venden? Interpretar l a(s) solución(es).000 € en la B y de 5.Un amigo le dice a otro: ”Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. si se intercambian la segunda y la tercera. por lo que decide añadir una cierta cantidad de vino. Si se venden 100 “ cahíces” y se obtiene por la venta 100 denarios. sol*. 21. cebada y mijo.La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos. El trigo se vende cada “cahíz” por 4 denarios. hay infinitas soluciones.: (el sistema es compatible e indeterminado. añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes. Son todas de la forma x= x cahíces de trigo. y = (100 7x)/3 cahíces de cebada. Finalmente. el número aumenta en 90 unidades. . 10% en la B y 20% en la C.En un sistema de dos ecuaciones lineales los coeficientes y el término independiente de la primera ecuación son proporcionales a los correspondientes de la segunda. 20. 18 de cobre y 16 de hierro? sol*. La cebada se vende cada “cahíz” por 2 denarios.: (las inversiones son de 40.El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino.:( 200 toneladas de la mina A. 3B – I siendo A = 3 0 0 y B = 1 2 1 (I es la matriz identidad de 5 a 1 a 5 Calcular por inducción matemática las potencias n-ésimas de A. A-B. ii) Comprobar que (A·B)t = Bt·At B². A·B. 2 1 0 4 3 Calcular A·B y B·A si fuera posible. B·A. A². 3 12 1 Dadas A = (2 1 5) y B = 2 4 2 calcular: i) A·B ii)B·A iii)(B·A)t 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 2 Dadas las matrices A = 3 0 0 y B = 1 2 1 calcular: 5 i) A + B.EJERCICIOS CON MATRICES. siendo A= 1 1 1 0 6 Calcular por inducción las potencias n-ésimas de A. siendo A = 1 1 1 1 1 1 . siendo A = 1 3 1 2 4 5 0 B= 3 2 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 4 orden 3) Calcular A² . 8 1 Obtener los valores de los números x.2 2 3 2 1 1 2 7 Dada A = 1 1 a) Calcular (A –I )²·(A-5I) b)Obtener At. A³. 1 utilizando el resultado anterior. Resolver el siguiente sistema expresado en términos de productos y sumas de matrices: 1 x y 0 3 · z 6 5 4 10 1 0· 4 1 . 3 1 1 4 2 5 Siendo A y B las matrices A= 2 y B= 3 averiguar si son ciertas las siguientes igualdades: (A + B)t = At + Bt 5 4 1 4 2 (A·B)t = Bt·At 12 Dada A = 2 4 1 comprobar que A² = 2A – I siendo I la matriz identidad. 1 1 b 13 14 1 Encontrar A y B para que la matriz A = a verifique A² = 2·A. calcular A4 . Luego. Aplicar la inducción para obtener An. siendo A = 1 0 1 2 6 a a a B= 10 11 Dada A= a calcular A². y z que verifican la ecuación matricial: 11 2 1· 01 2· x 1 y z 1 0 0 1 2 3 0 1 1 y 2 9 1 2 0 0 2 0 Encontrar una matriz X que verifique X –B² = A·B. x ³ 3 x 2 x ² 5 x 3 cuando x0.Calcula el límite de las siguientes funciones: a c e g f ( x ) 2 x3 para x7 x ² 49 b d f h f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) 1 x2 para x3 x ² 9 x5 x para x5 5 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 1 1x ² para x0 x x2 -x 2 para x x1 -x 1 para x x ²1 . cuando xx² 9 3 x 1 x x x 1 1 cuando x1. a b c e g h j f(x) = x² f(x) = x ³ f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = 1 2x + 1 cuando x1.x² 1 para x x1 x para x . cuando x2 y cuando x+ x i f(x) = x³ x 1 1 1 x x cuando cuando x1 x x² 2 2x cuando x2 2.Halla el límite de las siguientes funciones definidas “a trozos” en los puntos que se indican x ² 2 para x 0 a c f(x) = f(x) = x para x 0 cuando x0 b xpara x 0 f(x) = -3x para x 0cuando x 0 2 x para x 2 2para x -1/2 para x 2 cuando x2 2 3..1 2 3 1 0 2 1 15 Dadas A = 2 1 1 t . cuando x+ .Calcular el límite de las siguientes funciones. cuando x2.. cuando x+ . cuando x + x d f f(x) = f(x) = 1 x cuando x3.B= t 2 1 1 1 0 yC= 1 obtener C +A·B ¿Son iguales las matrices C + (A·B) y (C + A·B)t ? EJERCICIOS DE LÍMITES E INDETERMINACIONES HABITUALES. cuando x 0. cuando x0 1 x x² 4 x² 3x cuando x0 2 cuando x0. 13 1.. en miles de euros. lim g(x).Hacer una representación gráfica aproximada de la función teniendo en cuenta el dominio válido en el contexto del problema. 8. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en él. (Indicación: usar de la fórmula de Herón). El coste medio por unidad es M(q) = C(q) / q.-. formar un rectángulo que al girar alrededor de uno de sus lados genere un cilindro de área lateral máxima.5 tenga un máximo relativo en el punto P (3.El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es C(q) = 3q² + 5q +75 dólares.Con un hilo de 60 cm.Se quiere construir un depósito cuadrangular abierto. con forma de cilindro. por medio de la siguiente expresión: R(x) = .0. . sabiendo que suman 60. los siguientes límites: lim f(x). 13. ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? ¿Es posible que llegue un momento en que no obtenga ni beneficio ni pérdidas? 12. Calcular el área de dicho rectángulo. 11.04x + 3. de base cuadrada y capacidad de 4 m³. El material necesario cuesta 50 €/m². en miles de euros. 5.Se desea construir un depósito de latón. 0). 2. lim[f(x) /g(x)]: a c f ( x ) f ( x ) 2 x4 4x 3 y g(x) 3 x1 x1 2 x2 4x² 3 y g(x) 4 x1 3x² 1 b d f ( x ) f ( x ) x² 1 y g(x) 3 x ² 1 x1 x² 9 y g(x) 2 x ² 3 x³ 5 x ³ 2 x3 EJERCICIOS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. con base cuadrada.Un banco lanza al mercado un plan de inversiones cuya rentabilidad R(x).¿Qué rentabilidad máxima se obtendrá? 10.Calcular el valor de as constantes a y b para que la función f(x) = a x³ + bx² . 7. 6.Calcular C(q) y M(q) para el valor de q obtenido anteriormente.. a.4.Hallar los puntos de la parábola y²=x que están más próximos al punto A(2. de modo que la superficie sea 147 cm² ¿Qué dimensiones debe tener para que el volumen sea máximo? 4. Hallar las longitudes de los catetos para que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa sea mínima. de área total igual a 54 m².Requiere construir una caja abierta. 14. para x .Sea un semicírculo de radio R.¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿cuál es ese beneficio? c. Determinar el radio de la base y la altura del cilindro para que ese volumen sea máximo.¿Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad? b.Calcula.Hallar dos números cuya suma valga 16 y su producto sea máximo.4).- ) La función f (x 60 x x ² 9 indica los beneficios obtenidos por una empresa desde que comenzó a funcionar (f(x) en miles de euros. viene dada en función de la cantidad que se invierte. 3. lim[f(x) · g(x)].¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b.5 a. lim[f(x) g(x)]. Calcular dos números x e y tales que su producto sea máximo. x en años. x. ¿Qué dimensiones debe tener para que el coste sea mínimo? Hallar dicho coste. 14 1.La suma de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 cm. 9.001x² + 0. a. b. x=0 indica el momento de constitución de la empresa).Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro es 60 cm. hallar el de área máxima.15.- De todos los triángulos isósceles de perímetro 60 cm. .