UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓNFACULTAD DE INGENIERIA 2do. Examen Final de Estadística – 19 / julio / 03 – duración: 125 minutos Tema 1: De un grupo de 100 estudiantes se sabe que: 32 estudian matemáticas; 20 estudian física; 45 estudian biología; 15 estudian matemáticas y biología; 7 estudian matemáticas y física; 10 estudian física y biología; 30 no estudian ninguna de las tres materias. Si se selecciona un estudiante al azar, hallar la probabilidad de que sea: a) estudiante de una sola y solo una materia b) estudiante de las tres materias. Tema 2: Suponga que el manuscrito para un libro de texto tiene en total 50 errores de mecanografía en el total de las 500 páginas que conforman el material, y que los errores están distribuidos en forma aleatoria en todo el texto. ¿Cuál es la probabilidad de que: a- un capitulo que cubre 30 páginas tenga dos o más errores? b- un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o más errores? c- una página elegida al azar no tenga error? Tema 3: Un artículo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notificó los resultados de una investigación sobre los errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir información falsa a la tripulación. Es posible que tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontró que el 8% tenían errores en el cableado que podían mostrar información falsa a la tripulación. a) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta. b) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimación preliminar de p, ¿ de qué tamaño debe se la muestra para producir una estimación de p que difiera, con una confianza de 99% del verdadero valor a lo más en 1%?. Interpretar. c) ¿ De que tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporción muestral difiera de la proporción verdadera a lo más en 1%, sin importar cual sea el valor verdadero de p ? Interpretar. Tema 4: El Ingeniero Pedro Ferreira propone a sus alumnos 10 cuestiones verdadero-falso. Para comprobar la hipótesis de que los estudiantes contestan al azar, adopta la siguiente regla de desición: Si al menos 7 respuestas son acertadas, el estudiante no ha contestado al azar Si hay menos de 7 correctas, ha contestado al azar. Hallar la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando sea correcta. Hallar la probabilidad de aceptar la hipótesis p = 0,5 cuando en realidad p = 0,7. Tema 5: Las cantidades Y de una sustancia no transformada en 6 reacciones químicas similares después de X minutos son: X (minutos) 1 2 2 3 5 5 Y (miligramos) 23,5 16,9 17,5 14,0 9,8 8,9 a) dibujar el diagrama de dispersión b) ajustar una curva exponencial y graficar. c) estimar la cantidad de sustancia no transformada después de un periodo de 4 minutos. 15 estudian matemáticas y biología. 7 estudian matemáticas y física.F) p(M.F.F) . 45 estudian biología. p(F) . B: estudiante de biología Entonces: p(M F B) p(M) p(F) p(B) p(M.F. p(M. p(M.B) 100 100 100 con estos números: 70 32 20 45 7 15 10 p(M.B) .F) 100 100 100 100 100 La probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea estudiante de una y sólo una materia está dada por: 15 8 25 48 p(M.M. Solución: Sean los eventos: M: estudiante de matemática .F. p(F. la probabilidad de que sea estudiante de las tres materias es del 5%. p(F. 20 estudian física. p(M) .M.B) 100 100 100 Respuesta: si se selecciona un estudiante al azar.De un grupo de 100 estudiantes se sabe que: 32 estudian matemáticas.B) 100 100 100 100 100 100 100 70 65 5 p(M. hallar la probabilidad de que sea: c) estudiante de una sola y solo una materia d) estudiante de las tres materias. p(B) 100 100 100 100 7 15 10 p(M.B) p(F.B) p(F.B) 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 45 15 10 5 25 p(B.B) p(M.F.B B Del diagrama podemos concluir: 32 15 7 5 15 20 7 10 5 8 .B) p(B.F.F.F) 100 100 100 100 Respuesta: la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea estudiante de una y sólo una materia es del 48%. M F M.B) p(M.M. Si se selecciona un estudiante al azar. . 10 estudian física y biología. 30 no estudian ninguna de las tres materias.M.F. F: estudiante de física .B) 70 32 20 45 donde: p(M F B) .B) . 9596 .9048 0! Respuesta: la probabilidad de que una página elegida al azar no tenga error es del 90.04042 0.1 0. 085%.p = 50x50/500=5 50 e5 51 e5 1 0.una página elegida al azar no tenga error? Solución λ = n.p = 50x30/500=3 30 e 3 31 e 3 P(X 2) = 1 – [P(X=0)+P(X=1)] = 1 1 0.8008 1! 0! Respuesta: la probabilidad de que un capitulo que cubre 30 páginas tenga dos o más errores es del 80. . λ = n.P(X = 0) = 0.10 e0.1 .p = 50/500=0.1991 0. - λ = n.Suponga que el manuscrito para un libro de texto tiene en total 50 errores de mecanografía en el total de las 500 páginas que conforman el material.P(X 2) = 1 – [P(X=0)+P(X=1)] = 1 1! 0! Respuesta: la probabilidad de que un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o más errores es del 95.96%. ¿Cuál es la probabilidad de que: d.un capitulo que tiene 50 paginas tenga dos o más errores? f. y que los errores están distribuidos en forma aleatoria en todo el texto.48%.un capitulo que cubre 30 páginas tenga dos o más errores? e. 5. N c pq . N 0. 0. Solución: a) N = 1600 aeroplanos .3% y 9. e zc . N c pq .01 Respuesta: Si no conocemos el valor de p.08 2.58 .08 . c) Si no conocemos el valor de p tomamos p = 0. podemos afirmar que la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de error se encuentran entre el 6. f) ¿ De que tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporción muestral difiera de la proporción verdadera a lo más en 1%. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar.5 ya que estos son los valores que pueden producir el mayor error posible: b) e zc 2 2 pq 2. d) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de cableado.Un artículo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999).58 z . Es posible que tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el motor equivocado. p zc 2 2 pq 2. para que la proporción muestral no difiera del verdadero a lo más en 1%. se encontró que el 8% tenían errores en el cableado que podían mostrar información falsa a la tripulación.92 . Esto es aproximadamente 3 veces mayor que si conocemos el valor de p. N 0. ¿ de qué tamaño debe se la muestra para producir una estimación de p que difiera. con una confianza de 99% del verdadero valor a lo más en 1%?.08 0.92 4899 N e 0.58 z .08 0. Interpretar la respuesta. sin importar cual sea el valor verdadero de p ? Interpretar.5 0. notificó los resultados de una investigación sobre los errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir información falsa a la tripulación.01 Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser de al menos 4899 aeroplanos.08 0.58 pq 0.5 y q = 0. e) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimación preliminar de p. 0.7%. y tomamos p = 0. p/ 99% de confianza: zc = 2. p(error) = 0.5 16641 N e 0. Interpretar.017 N 1600 Respuesta: Con un 99% de confianza. entonces el tamaño de la muestra debe ser de al menos 16641 aeroplanos. 19%.3109 C10 0.5 0.3504 10 0.5109 C10 0.7 7 0.El Ingeniero Pedro Ferreira propone a sus alumnos 10 cuestiones verdadero-falso.5 cuando en realidad p = 0.7. adopta la siguiente regla de desición: Si al menos 7 respuestas son acertadas.5 cuando en realidad p = 0. Bajo la hipótesis p = 0.7 p(menos de 7 correctas) 1 p(7 o mas correctas) 7 8 9 10 1010 1 C10 0.58 0.1719 10 0. Hallar la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando sea correcta. Bajo la hipótesis p = 0.5 ( o sea.7 9 0.3108 C10 0. Para comprobar la hipótesis de que los estudiantes contestan al azar.7 es del 35. el estudiante no ha contestado al azar Si hay menos de 7 correctas.3107 C10 0. La probabilidad de lograr X X correctas de las 10 es p(X) C10 p X q10X .3 Respuesta: la probabilidad de aceptar la hipótesis p = 0.59 0.7 8 0.7 0.5 7 0.5107 C10 0. Hallar la probabilidad de aceptar la hipótesis p = 0. Solución: Sea p la probabilidad de que una cuestión sea acertada correctamente.04%. ha contestado al azar. . p(7 o mas correctas ) p(7) p(8) p(9) p(10) 7 8 9 10 1010 C10 0. el estudiante responde al azar).5 Respuesta: la probabilidad de concluir de que no contestaban al azar cuando realmente lo hacían es del 17.5108 C10 0.