2. ESFUERZOS AXIALES 2.1 DIAGRAMA DE ESFUERZO Vs. DEFORMACION.Este permite determinar las propiedades mecánicas de los materiales y son de gran importancia para el diseñador, ya que con estas propiedades pueden comprobar que los esfuerzos inducidos en los elementos, estructuras o equipos diseñados no sobrepasen la resistencia del material y de este modo estar seguro que lo que ha diseñado va cumplirá los requisitos de funcionamiento. Esfuerzo PROPIEDADES MECANICAS Rigidez Ductilidad Las propiedades mecánicas mas conocidas son; la rigidez, el esfuerzo y la ductilidad. Los ensayos de laboratorio relacionados con carga axial son: • Ensayo de tensión para materiales dúctiles como el acero, aluminio y cobre. La probeta se somete a fuerzas de tracción tal como puede verse en la figura 13. Figura 13. Espécimen sometido a fuerzas de tracción P LO P Los procedimientos para llevar a cabo el ensayo de tensión se detallan en las normas Icontec; No. 2 Tracción para productos de acero, y en maderas, No. 944 Tracción paralela al grano y No. 961 Tracción perpendicular al grano. • Ensayo de compresión para materiales frágiles como el Vidrio, Madera, Concreto y la Fundición. La probeta se carga a compresión tal como se observa en la figura 14. Figura 14. Espécimen sometido a fuerzas de compresión P LO P Los procedimientos para el ensayo de compresión en maderas se definen en las normas Icontec No. 784 y No. 785, compresión axial paralela al grano y compresión axial perpendicular al grano respectivamente. Donde: Lo: Longitud inicial de calibración P : Carga gradualmente aplicada con la cual se toman las respectivas lecturas de deformación. En estos ensayos los datos tomados son: • • Carga Aplicada: empleada en el cálculo del esfuerzo. Deformación: empleada en el cálculo de la deformación unitaria. Las propiedades mecánicas se determinan a partir de ensayos destructivos a partir de probetas normalizadas. En el ejemplo dado a continuación se tabulan los datos de la carga y la deformación tomados de un ensayo de tensión de materiales. Los valores de la carga se dan en intervalos de cien unidades y los datos de deformación en intervalos de dos unidades. CARGA 100 200 300 400 500 600 700 700 800 900 1500 1600 3000 DEFORMACION 2 4 6 8 11 16 25 40 120 160 180 rotura Se observa que hasta 400 unidades de carga, la deformación presentada es de dos unidades de deformación. Por lo tanto se concluye que hasta este punto existe una linealidad entre la carga aplicada y lo que se deforma el material, puesto que por cada cien unidades de carga hay 2 unidades de deformación lineal. Más allá de 400 se pierde la linealidad. Cuando se llega al punto donde la carga es de 700 unidades se observa que sin existir un incremento, el material sigue deformándose. Esta situación se le conoce con el nombre de FLUENCIA o CEDENCIA. La carga sigue incrementándose hasta un punto donde en el material comienza a aparecer una garganta; a este punto se le llama ÚLTIMO, y finalmente el material romperá siendo este el punto de ROTURA. Tales situaciones se detallan en la figura 15, llamada ESFUERZO vs. DEFORMACIÓN UNITARIA de ingeniería. En el eje de las ordenadas se representan los esfuerzos normales y en el eje de las abscisas las deformaciones unitarias. El esfuerzo se calcula dividiendo la fuerza entre el área transversal de la probeta y la deformación unitaria se calcula dividiendo la deformación entre la longitud inicial de calibración (Lo) de la probeta. Figura 15. Diagrama Esfuerzo Vs. Deformación Unitaria en un material dúctil. σ D C A B E ∈ En la gráfica los puntos A, B, C, D y E son las propiedades mecánicas, comúnmente denominados resistencia del material. A continuación se define cada uno de ellos: σ LP (A) Esfuerzo en el límite proporcional: Valor del esfuerzo hasta donde existe proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria. σ LE (B) Esfuerzo en el límite Elástico: Valor del esfuerzo hasta donde el material recupera sus dimensiones iniciales una vez cesa la carga. En materiales se presenta una gran deformación. Se designa por la letra E y se determina mediante la expresión: . Se puede decir que es el mayor esfuerzo que puede soportar el material. En ella se nota que a diferencia de un material dúctil la zona plástica es muy pequeña. Deformación Unitaria de un material frágil σ σ σ σ Esfuerzo Último Zona Plástica Zona Elástica Esfuerzo L.dúctiles el límite elástico está muy cerca del límite proporcional y generalmente se toma igual para ambos. para un material dúctil es el esfuerzo de fluencia.F ∈ El comportamiento de un material frágil se ve en la figura 16. Es el mayor esfuerzo hallado en la gráfica de Esfuerzo vs. Deformación Unitaria”. A partir de este punto. Dicho de otra manera. RIGIDEZ El Módulo de Young o Módulo de elasticidad es la pendiente de la recta de la gráfica “Esfuerzo vs. Figura 16. Este fenómeno se le conoce como estricción y por esta garganta se va a fracturar la probeta. Diagrama Esfuerzo vs. Deformación unitaria. FL (C) Esfuerzo de Fluencia: Valor del esfuerzo en el que sin haber un aumento de la carga el material sigue deformándose permanentemente. Debido a esta circunstancia. una zona plástica pequeña indica que el material no presenta buena capacidad de dejarse deformar. en los materiales frágiles el esfuerzo más importante es el esfuerzo último. RO (E) Esfuerzo de Rotura: Esfuerzo donde se presenta el rompimiento del material. lo cual indica que en un material frágil después de sobrepasar la elasticidad del material rápidamente llega a la falla. UL (D) Esfuerzo último. comienza a presentarse una reducción en una determinada sección transversal. 2. Como la deformación unitaria es adimensional la unidad del Módulo de Young es la del esfuerzo. RESILIENCIA: Capacidad de un material para absorber energía en la zona elástica TENACIDAD: Capacidad de un material para absorber energía en la zona plástica. en el sistema internacional es el Pascal (Pa= 1 N/m2) y en el sistema Inglés es la libra por pulgada cuadrada (1 psi = 1 Lb pu lg 2 ).2 LEY DE HOOKE En la zona elástica (ver figura 17) del material. siendo el módulo de elasticidad la constante de proporcionalidad. Recordando: σ = E∈ . Sus magnitudes se determinan a partir de las siguientes ecuaciones: % de alargamiento (o acortamiento) ⎛ Lf − Lo ⎞ %ΔL = ⎜ ⎟ * 100 ⎝ Lo ⎠ % de reducción de área (o aumento) ⎛ Af − Ao ⎞ %ΔA = ⎜ ⎟ * 100 ⎝ Ao ⎠ Otras propiedades del material son la resiliencia y la tenacidad. Cada material posee un valor característico del módulo de elasticidad y el cual se encuentra tabulado. el módulo de elasticidad se define como la razón entre el esfuerzo y la deformación unitaria en la zona elástica y representa una constante de elasticidad. se presenta proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria.E = σ /ε También. DUCTILIDAD Las medidas de ductilidad son el porcentaje de alargamiento (o acortamiento) de la longitud inicial y el porcentaje de reducción (o aumento) del área de la sección transversal. Representación zona elástica en gráfica σ Vs. la geometría (A y Lo) y del tipo de material (E). el material obedece a la ley de Hooke. ε = P / AE Además. se designa por la letra G y las unidades son las mismas del esfuerzo: Pascales (Pa) en el sistema Internacional y Libras por pulgada cuadrada (psi) en el sistema Inglés. luego. El esfuerzo se determina mediante: σ = p/ A En la zona elástica. ∈ Proporcionalidad entre Esfuerzo y Deformación Unitaria. Similarmente. la deformación unitaria se calcula utilizando la expresión ε = δ / L o Teniendo en cuenta las expresiones algebraicas anteriores y despejando la deformación axial se obtiene que: δ = PL0 EA0 La deformación Axial en la zona elástica está en función de la carga externa aplicada (p). Análogamente al esfuerzo normal. entonces: p / A = Eε . en el esfuerzo cortante existe una constante de elasticidad que se le conoce como Módulo de Elasticidad al Esfuerzo de Corte o Módulo de Rigidez. el esfuerzo de corte puede determinarse en función del módulo de rigidez utilizando la ecuación: τ =Gγ . se muestra la pendiente de la línea recta que permite relacionar los parámetros de la deformación y el esfuerzo.Figura 17. σ ZONA ELASTICA ∈ En la figura 17. de la placa rígida: P F Acero F Roble * FUENTE: HIGDON... * P PLACA Roble 20” Acero 1” 6” OBJETIVO. . México: Continental. Hallar la magnitud de la carga aplicada en la placa de tal modo que la deformación en el acero y el roble sea de 0. EJEMPLO. los módulos de elasticidad del acero y del roble son: E Acero = 30x106 psi E Roble = 1. Archie y otros.02 pulgadas. Se construye el diagrama de cuerpo libre . De tablas. Mecánica aplicada a la resistencia de los materiales. 1972.02 pulgadas debido a una aplicación de una carga P desconocida. La estructura se acorta 0.D. ANÁLISIS. primera edición en español.C. ESTÁTICA.Donde. El anexo A se enseña un resumen de las propiedades mecánicas de algunos de los materiales más utilizados.02 pulgadas.L. Determine la magnitud de la carga P y el esfuerzo axial que se origina debido a la carga. γ es la deformación angular.5x106 psi La deformación del roble y del acero es de 0. DATOS. p110. Una placa de acero de (1 x 6 x 20) pulgadas está sujeta con pernos a un bloque de roble de (6 x 6 x 20) pulgadas. 02 pulg. δ Roble = δ Acero = 0. la magnitud de la carga aplicada al sistema es: P = 54000 Lb. como se ve la deformación del acero es igual a la del roble.02pulg = [(FRoble x 20pulg) / (36pulg2 x 1500000 Lb/pulg2)] Despejando: PARA EL ACERO 0.02 pulg.Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático: + ↑ ∑ Fy = 0 P = F Acero + F Roble DEFORMACIÓN. F Roble = 54000 Lb. ⇒ P = 234000 Lb..02” POSICION SIN CARGA POSICION DEL SISTEMA CON CARGA APLICADA Se presenta un acortamiento estructural de 0. Como P = F Acero + F Roble. . F ACERO [PL/AE]Acero = [PL/AE]Roble F ROBLE 6” 1” PARA EL ROBLE 6” 0.02pulg = [(Facero x 20pulg) / (6pulg2 x 30000000 Lb/pulg2)] Despejando: F Acero = 180000 Lb. 0. + 180000 Lb. 95 pulgadas. . México: Thomson. Mecánica de materiales. 2003.) y de ahí plantear las ecuaciones de equilibrio estático. Se traza un diagrama de cuerpo libre (D.98 pulgadas. * * FUENTE: GERE.2.L.C. y la del alambre C era de 79. Estos son los principios generales para la solución de estructuras estáticamente indeterminadas y que se resumen a continuación: ESTATICA Ecuaciones de Equilibrio ∑F = 0 SOLUCIÓN ∑M = 0 DEFORMACION Relaciones Geométricas EJEMPLO. En la solución de este tipo de problemas se emplea la siguiente metodología: • • ESTÁTICA. que actúa en el extremo superior de la barra. James M. la longitud del alambre B era de 79. DEFORMACIÓN. ∑ M = 0 ) no son suficientes para determinar las variables solicitadas. la longitud de cada alambre es de 80 pulgadas.03 pulgadas cuadradas de sección transversal y módulo de elasticidad de 30x106 psi. quinta edición. Dos alambres B y C se fijan a un soporte en el extremo izquierdo y a una barra rígida articulada en el extremo derecho. Como las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes se debe analizar el comportamiento de la deformación del material. Sin embargo antes de fijarlo a la barra. y en base a la geometría de la deformación plantear tantas ecuaciones como sean necesarias de modo que se pueda forma un sistema de igual número de ecuaciones y variables. Determine las fuerzas de tensión y los esfuerzos inducidos en los alambres bajo la acción de una fuerza P de 700 Lb.3 ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS: Es un sistema en el cual las ecuaciones de equilibrio estático ( ∑ F = 0 . Cada alambre tiene un área de 0. p171. Cuando la barra esta en posición vertical. ESTÁTICA Trazando un D.L. Dadas en el texto ANÁLISIS. Determinar las fuerzas y los esfuerzos en los alambres B y C. P = 700 Lb L Tb L Tc L O Dy Dx + ∑M = 0 LTc + 2LTb ( 3L x 700 lb) = 0 2Tb + Tc = 2100 lb . de la barra rígida 700Lb E = 30x106 psi.OBJETIVO. Longitudes. Área de los alambres = 0.03 pulg2. B a rra rig id a B L L L 80” 700 lb C DATOS.C. L B L L DEFORMACION DE B C DEFORMACION DE C 80” La deformación del alambre B.0.02” .05” δB . δC’ = 80” .05” Tang θ = δC”/L = δB”/2L . δB = δB’ + δB” La deformación del alambre C.0. δB” = 2δC” δB = 0.05” + δC” Igualando por δC” 2δC” = δB .02” = = 2δC – 0.95” = 0.08 pu lg (0.02” + δB” = 0.02” + 2δC” δC = 0.2δC = .79.0.02” δC” = δC – 0. δC = δC’ + δC” δB’ = 80” .03pulg2 x 30000000lb/pulg2) 80TB – 160TC = -7200 lb El sistema de ecuaciones será: Por estática Deformación Los esfuerzos en el sistema: 2Tb + Tc = 2100 lb 8Tb – 16Tc= -720 lb Tb = 660 lb Tc = 780 lb .08” [PL/AE]B .03pulg2 x 30000000lb/pulg2) − 2 ( Tc x 80“ ) = 0.98” = 0.2[PL/AE]C = 0. δB .08” Reemplazando Tb x 80“ (0.79.10” Ordenando. Figura 18.4 RELACION DE POISSON σ B = 660 lb/0. pero también sufrirá una deformación en su sección transversal. A esa relación lineal se le conoce como coeficiente de Poisson y se determina mediante la expresión algebraica: μ= Donde: − ∈ lateral ∈ axial = Coeficiente de Poisson ∈ lateral = Deformación unitaria lateral ∈ axial = Deformación unitaria axial.03pulg2 ⇒ σ B = 22ksi σ C = 780 lb/0.σ C = PB/AB 2. Proyección de la deformación axial y lateral en un elemento cargado axial.03pulg2 ⇒ σ C =26ksi El elemento mostrado en la figura 18 está sometido a la acción de cargas de compresión que hará que se presente una deformación en el sentido de la aplicación de la carga.σ B = PB/AB Alambre C ----------. Posición final Posición inicial δy P P δx Lf Lo δx De la figura 18 se observa que: δx : Deformación Axial δx = (Lf – Lo) axial δy : Deformación Lateral δy = (Lf – Lo) lateral Poisson demostró que existe una relación lineal entre la deformación axial y la deformación lateral si los esfuerzos inducidos no sobrepasan la elasticidad del material. μ .Alambre B ----------. 50.30. El coeficiente de Poisson se da como un número adimensional y está tabulado.20. deberá agregarse la deformación producida por la carga aplicada perpendicularmente en el eje donde se está determinando la deformación. Figura 20. El mayor valor de está constante es 0. Las constantes de elasticidad. Además de la deformación debida a la carga axial. Caso de esfuerzos biaxiales σy σx σx σy . el concreto 0. puede verse un elemento sujeto a la aplicación de cargas en el plano.2 Elemento sometido a esfuerzos biaxiales. módulo de young [E]. Caso de esfuerzo uniaxial εX = σX E 2. En la figura 20.4. Para el acero es aproximadamente 0. la otra será de acortamiento.sufrido por un elemento cargado con una fuerza “p“ es: Figura 19.4. y para materiales no ferrosos entre 0.35.1 Elemento sometido a esfuerzo uniaxial.33 a 0.El signo menos siempre estará presente ya que mientras una deformación será de alargamiento. módulo de rigidez [G] y coeficiente de poisson están relacionadas entre sí: G= E 2(1 + μ ) 2. De la figura 19 se tiene que la deformación unitaria axial –eje “X”. Representación de la deformación en el eje “x” debido a esfuerzos biaxiales. (∈ x ) = σ − μ σy E E La anterior situación se representa en la figura 21. σ Y σX 1 σX + 2 ∈X 1 ∈X 2 Tomando las deformaciones unitarias en los ejes “X” e “Y” σY .Al determinar la deformación unitaria a lo largo de la dirección del eje “x “será igual a la deformación axial producida por el esfuerzo σx y la deformación lateral debido a σy . Figura 21. ∈ axial Donde: ∈ axial → (∈ y )2 ∈ lateral → (∈ x )2 Reemplazando: μ=− Entonces: (∈ x )2 . pero (∈ y ) = σy 2 (∈ y )2 E E La deformación unitaria en el eje “X” es: (∈ x )2 = − μ σy (∈ x ) = (∈ x )1 + (∈ x )2. μ=− ∈ lateral . Entonces la deformación axial es: (∈ x )L = σx E La deformación lateral es: Por definición: (σy ) = (∈ y )2 E . ∈X = ∈Y = σX σY E E −μ −μ σY E σX E Multiplicando por μ la segunda ecuación e igualando se tiene: σX E Tomando Factor Común: − ∈X = μ 2 2 σX E + μ ∈Y X + μ ∈Y . σX = E X (1 − μ 2 ) Análogamente: ∈ + μ ∈X σY = E Y (1 − μ 2 ) σX (1 − μ ) =∈ 2. la deformación unitaria es: εX = σX E -u σY E -u σZ E .4. E Entonces el esfuerzo en el eje “X” es: ∈ + μ ∈Y .3 Elemento sometido a esfuerzos triaxiales En la figura 22 se observa un elemento que está sometido a la acción de esfuerzos en el espacio: Figura 22. Caso triaxial σY σZ σX σZ σY σX Aplicando lo visto en el caso Biaxial y teniendo en cuenta el efecto del esfuerzo σz . Lz = 1+ ∈z .εY = σY E -u σZ E -u σX E εZ = σZ E Los -u σY E . se presenta en cada eje deformaciones unitarias (∈x . Elemento de volumen unitario 1 1 1 Al aplicar cargas sobre el elemento. su volumen inicial es Vo = 1. ∈y . Figura 23. de modo que las dimensiones finales del elemento deformado son: En “X”.5 MODULO DE COMPRESIBILIDAD En la figura 23 se observa un elemento cuyas dimensiones son la unidad. Lx = 1+ ∈x En “Y”.∈z ) . Ly = 1+ ∈y En “Z”.u σY E Esfuerzos para el caso Triaxial son: σX = E εX( 1-u ) + u E (εY + εz) 1-u – 2 u 2 σY = E εY( 1-u ) + u E (εX + εz) 1-u – 2 u 2 1-u – 2 u 2 σZ = E εz( 1-u ) + u E (εX + εY) 2. ∈Y .35. determine: a) Cambio de altura en el bloque . ∈Y . ∈Y .El volumen final. ∈Z . Se introduce en el océano un bloque cilíndrico de latón con altura de 160 mm y diámetro 120 mm hasta llegar a una presión de 75 Mpa cerca de 7500 mm de profundidad. V f = [1+ ∈X ] • [1+ ∈Y ] • [1+ ∈Z ] Entonces. σ Z = −P 3P (1 − 2μ ) E El módulo de compresibilidad se designa por la letra K y se expresa como: E P K= . ΔV = (1+ ∈ X )(1+ ∈Y )(1+ ∈Z ) − 1 Como los productos ∈ X . ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ El cambio de volumen es: Pero. ∈Y . ∈Y . ΔV =∈X + ∈Y + ∈Z ∈=∈X + ∈Y + ∈Z ∈X = ∈Y = ∈Z = σX σY σZ E E E −μ −μ σY σX σX E E E −μ −μ σZ σZ σY E E E −μ −μ ⎡σ + σ Y + σ Z ⎤ ⎡σ + σ Y + σ Z ⎤ − 2μ ⎢ X = (1 − 2μ )⎢ X ⎥ ⎥ E E E ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Si el elemento está sometido a presión hidrostática ∈= σ X +σY +σ Z σ X = −P . reemplazando: ∈= − 3(1 − 2μ ) K ∈= EJEMPLO. el cambio del volumen ΔV = Vf – Vo Remplazando. ∈Z . ∈ X . ∈Z y ∈ X . ∈Y . si el módulo de elasticidad del material es 105 Gpa y el coeficiente de fricción 0. ∈Z y ∈ X . Se tiene: σ Y = −P . ∈Z son insignificantes ΔV = 1 − (1+ ∈ X + ∈Y + ∈Z ) Como los productos ∈ X . ∈Z son insignificantes ΔV =1− 1+∈x +∈y +∈z . ∈ X . E. La presión hidrostática sobre el bloque cilíndrico: σX σy σZ Se Concluye: = -P = -P = -P =P σX = σY = σZ εx = εy = εz * FUENTE: BEER. y Johnston. 1996. Rusell. segunda edición. y cambio de volumen.b) c) cambio en el diámetro Cambio de Volumen * Y LATON Z X OBJETIVO. Determinar cambio de altura en el bloque. . cambio en el diámetro. DATOS. Colombia: McGraw-hill. Ferdinand P. Mecánica de Materiales.35 Profundidad = 750 mm H = 160 mm 0 = 120 mm Presión hidrostática P = 75 MPa E = 105 Gpa ANÁLISIS. μ = 0. p87. μ E ⎛−P⎞ ⎜ ⎟ ⎝ E ⎠ εX = εX = 75x 10 a) N/m 2 105 x10 9 N/m 2 6 P/E + (2u P) /E .Entonces: εX = σX -uσY . εX = P 2u -1 ( 2x (0. Δ V 3 P (1 – 2 u ) x V E Δ V = 3x 75 x 10 6 n/m2 1 – 2 x 0.143 x 10-4 m/m x 160mm Δh = 3. Δθ = 2.μ -P . Si por el contrario. el material soporta una disminución de temperatura a la deformación axial generada por este efecto se le llama contracción La deformación por un cambio de temperatura se determina mediante: c) x II 120mm 2 x 160mm δ t = αLΔT Donde: δ t = Deformación debido al cambio de temperatura .35 -1 ) ) εX = . Si es un aumento en la temperatura la deformación se llama dilatación.2.429 x 10-5 m b) Δ θ = ∈x .143 x 10 -4 m/m unidimensional Δh = ∈y .u σZ = E E E -P/E.75 105 x 10 9 n/m 2 2.θ .6 EFECTO DE TEMPERATURA Al aplicar fuerzas axiales de tensión y/o de compresión los elementos tienden a deformarse. sin que se aplique ninguna carga y el elemento se someta a una variación de temperatura también se presentará una deformación axial como es representado en la figura 24. Pero.143 x 10-4 m/m x 120mm Δ θ 2.572 x 10-5 m ΔV = eV . h . Δh = 2. concreto y algunos plásticos seleccionados. México: Thomson. James M. Mecánica de materiales. cuyas diámetros son de 1/8 de pulgada antes de cargarlas . . Con que aumento de temperatura en los tres elementos toda la carga es soportada solo por los alambres de acero. y 1/ ºF en el sistema Inglés. vidrio.Figura 24. Ya que las magnitudes son tan pequeñas generalmente se utilizan prefijos como el mili y la micra. Una viga rígida de 800 Lb de peso cuelga de 3 varillas igualmente espaciadas. Los tres elementos tienen la misma longitud. quinta edición. Barra bajo la acción de una variación de temperatura T+ Lo Lf L = Longitud inicial del elemento ΔT = Cambio de temperatura α = Coeficiente de cambio de temperatura La unidad del coeficiente es de 1/ ºC en el sistema Internacional. madera. 2003. dos son de acero y la otra de aluminio. EJEMPLO. En el anexo B se muestran los coeficientes de expansión térmica de algunos materiales como metales. p169. * AC ER O ALUMINIO AC ER O 800Lb * FUENTE: FUENTE: GERE. de modo que el análisis dimensional de la deformación por temperatura indica que la unidad es el metro en el sistema Internacional y pulgada en el sistema Inglés. E = 30 x10 6 psi Acero α = 6. ESTÁTICA. Dibujando la visión deformada del sistema y planteando las relaciones geométricas de las deformaciones de las barras de acero y aluminio. Determinar el aumento de temperatura (ΔT) que permitan que solo los alambres de acero soporten la carga.OBJETIVO.5 x 10 – 6 1/ ºF Dimensiones dadas en la figura ANÁLISIS. DATOS. Taluminio = 0 DEFORMACIÓN. 2Tacero+ Taluminio = 800lb Tacero = 400lb. Aluminio α =12 x 10-6 1/ ºF E = 10 x 10 6 psi Tac Tal Tac P Planteando las ecuaciones de equilibrio estático: [+ ↑ ∑ F = 0] . DEFORMACION ACERO DEFORMACION ACERO P DEFORMACION ALUMINIO W = 800lb . Trazando un diagrama de cuerpo libre de la viga. el elemento tenderá a acortarse (figura 25 a).7 ESFUERZO TÉRMICO En la figura 25 se ve un elemento de máquina que está fijo entre apoyos en sus extremos. el libremente se deformará y no se generará esfuerzo en el. (ver figura 25 c). El elemento puede estar libre o restringido. La magnitud de la deformación es: PL δP = AE . no se aplica ninguna tipo de carga pero sufre una variación de temperatura. Si la variación de la temperatura es una disminución.Entonces: Se conoce: δ aluminio = δ acero δP = (PL)/(AE).5 x 10 -6 1 /º F x L x ΔT = 12x10 −6 1 / º F x L x ΔT 2 6 2 π/4(1/8 pu lg ) x 30 x 10 lb/pu lg Despejando ΔT = 197. δT = αLΔT δacero = [ δP + δT ] acero δaluminio = [ δP + δT ] aluminio Reemplazando δ acero = [(PL/AE) + (αLΔT)]acero δ aluminio = [(PL/AE) + (αLΔT)]aluminio 400 lb x L + 6. Suponer que el elemento se libera de uno de los apoyos o que este no existe. La magnitud de la contracción es: δ t = αLΔT 2. 1.5 º F 2. Caso diferente es si el elemento se somete a un cambio de temperatura y se restringe su movimiento. permitiendo que el material se deforme libremente. Al tender a contraerse y no poder hacerlo. en el material se producirá un esfuerzo comúnmente llamado esfuerzo térmico que depende solo del cambio de temperatura. pero los apoyos fijos estarán ahí para impedírselo. si el elemento no esta restringido su movimiento. Para determinar la magnitud del esfuerzo térmico se puede utilizar el método de superposición. Suponer que se aplica una carga “P” al elemento de modo que recupere sus dimensiones iniciales. (ver la figura 25 b). PL PL P = LΔT . AE AE A Entonces: .Figura 25. Como σ = 0 = (− )αLΔT + . Método de la superposición aplicada a esfuerzos térmicos ΔT (-) a) ΔT (− ) b) Deformación Por disminución De la temperatura ΔT (− ) P c) δx = Deformación por carga aplicada “p” δx Como la deformación real es cero y superponiendo los dos efectos anteriormente analizados. ESTÁTICA Trazando un diagrama de cuerpo libre del bloque rígido. * . α son constantes anteriormente definidas. Mecánica de sólidos. ANÁLISIS. El área y el módulo de elasticidad de cada barra son A y E respectivamente y el coeficiente de expansión térmica de la barra 2 es 2 veces el de la barra 1. (α2)=2(α1). * 1 2 BLOQUE RIGIDO P L OBJETIVO. y ARCHER. R. Demostrar que el bloque rígido se desplaza una longitud PL ⎛ 3 ⎞ − ⎜ ⎟ * (αΔTL ) 2 AE ⎝ 2 ⎠ DATOS. Se observa que el esfuerzo térmico depende del material ( α . México: McGraw-Hill. Si se aplica una carga P al bloque rígido y la temperatura disminuye ΔT. A1 = A2 = A E1 = E2 = E α2 = 2(α1) F1 F2 P Planteando la ecuación de equilibrio estático: FUENTE: LARDNER T.J. En la figura se muestra el prototipo de un sistema estructural. p105. es la magnitud del esfuerzo térmico y sus unidades son Pascal (Pa) en el sistema internacional y Libra por pulgada cuadrada (Lb/pulg2) en el sistema Inglés. 1996. y E . primera edición. EJEMPLO. Demuestre que el desplazamiento del bloque rígido es: PL/2AE – (3/2) α1ΔTL. R. E) y de la variación de la temperatura ( ΔT ).σ T = EαΔT σT. sin 1 2 P T L Aplicacion de P y δ1= δ2 T La deformación tendrá componente por carga y por aumento de temperatura [PL/AE]1 + [αΔTL]1= [PL/AE]2 + [αΔTL]2 Reemplazando: [F1L/AE] + [-α1ΔTL] = [F2L/AE] + [-α2ΔTL] Cancelando términos semejantes: [F1/AE] = [F2/AE] + [α1ΔT] .(3/2) α1ΔTL . Como F1 = P – F2 [F1/AE] = [F2/AE] .[α1ΔT] F2 = [P + α1ΔTAE]/2 F2 = [P + α1ΔTAE]/2 El desplazamiento del bloque rígido es igual a la deformación de la barra 1 o de la barra 2: Desplazamiento del bloque = δ1 = δ2 Desplazamiento del bloque = F1L/AE .α1ΔTL Desplazamiento del bloque = [P/2 + α1ΔTAE/2] [L/AE] .[α1ΔTAE] F1 .[α1ΔTAE] = P – F2 F1 = P .[P/2 + α1ΔTAE/2] . F1 + F2 = P DEFORMACIÓN Dibujando la deformación del sistema y estableciendo las relaciones geométricas de las deformaciones de las barras: Sin carga. Entonces: Igualando: F1 = F2 . .+ ↑ ∑ FX = 0 .α1ΔTL Desplazamiento del bloque = [PL/2AE] .[2α1ΔT]. 2.8. y de pared gruesa: los cilindros que contengan cloro. Como ejemplos de recipientes de pared delgada se citan: las latas de refrescos. La figura 26 representa un recipiente de pared delgada que contiene un fluido a una presión predeterminado ya sea en Pascal (Pa) o en libra por pulgada cuadrada (psi). longitudinal. 2. Para ser considerado un recipiente como de pared delgada debe cumplir la condición: r/t > 10 Donde. tuberías. Los recipientes de pared gruesa además de la acción del esfuerzo tangencial. oxígeno y acetileno. r es el radio medio del recipiente y t es el espesor de la chapa con que fue construido el cilindro. tienen que soportan esfuerzos en la dirección radial. Un recipiente es un elemento que contiene un fluido (líquido o gas) a una presión determinada. Los recipientes de pared delgada se hallan sometidos a esfuerzos tangenciales y longitudinales. cilindros de gas propano. Tal situación se representa en la figura 28.1 Esfuerzo Tangencial. . psi El fluido produce una presión sobre las paredes del cilindro y en dichas paredes se genera una reacción que equilibra la presión ejercida por el fluido. Recipiente de pared delgada sometido a presión Pared delgada Fluido a presion Pa.8 ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA. Tomando un corte diametral (A) según puede verse en figura 27 La presión ejerce una fuerza sobre las paredes del recipiente. CONDICIONES DE EQUILIBRIO Al descomponer en sus componentes rectangulares la fuerza de inducida por la presión en la pared del cilindro se tiene en el eje horizontal F cos θ y en el eje vertical Fsenθ . Figura 26. cada componente tiene su contraparte que la equilibra. Corte diametral de un recipiente de pared delgada a presión Presion atmosférica L Presion determinada Fuerzas inducidas las paredes B) A) Ahora al plantear el equilibrio sobre el eje horizontal se nota que cada componente horizontal tiene su contraparte y se anulan. Para el equilibrio se requiere que: F = Σ f sen θ P=Σp F=2P La magnitud de la presión sobre las paredes del cilindro es F = p A Donde: . + ↑ ∑ FX = 0 . Σ Fuerzas ejercidas por la presión. Figura 28.Dicho de otro modo. Fuerzas ejercidas en la chapa de un recipiente de pared delgada Diametro F cosθ F θ sen DA θ DF F P P Las componentes en la coordenada “y” se suman y son contrarrestadas por las fuerzas de reacción en las paredes del cilindro. Σ Fuerzas ejercidas en las paredes.Figura 27. Reemplazando: Cancelando el término L: Entonces σ = P A σ= σt = PdL 2tL Pd 2t Donde: σ t = Esfuerzo tangencial d = Diámetro medio del recipiente a presión t = Espesor de la chapa El subíndice t es para indicar que el esfuerzo es el tangencial. Entonces por pdL equilibrio estático F = 2 P. . Fuerza inducida en la sección transversal de la chapa Espesor t L El esfuerzo en las paredes del recipiente es: σ = Fuerza / área. Área proyectada que soporta la presión del fluido Área proyectada= dL L d La fuerza ejercida por la presión sobre las paredes del cilindro es equilibrada por fuerzas internas inducidas en la chapa como se ve en la figura 30.p = Presión del fluido A = Área proyectada Figura 29. pdL = 2P. P = 2 Figura 30. y reemplazando p A = 2 P. F=p π 4 d2 Figura 32. el diámetro medio y el espesor de la chapa y no de la longitud. donde. Figura 31. P = F. Este esfuerzo se la conoce como esfuerzo Longitudinal. La presión ejercida por el fluido en el recipiente trata de separar el fondo (o tapas) del cuerpo del cilindro.2 Esfuerzo longitudinal. 2. .Este esfuerzo es el que trata de hacer fallar el recipiente a lo largo de su circunferencia y depende de la presión. el Área del fondo es A = (π/4)(d2). Fuerza ejercida por la presión sobre las tapas Para el equilibrio la fuerza ejercida por la presión del fluido sobre el fondo (tapa) del recipiente es contrarrestada por una fuerza de reacción (P) en el material. Recipiente a presión Fondo o tapa Cuerpo del cilindro Presion del fluido La fuerza ejercida por el fluido sobre el fondo (ver figura 32) es: F = Presión x Área. La figura 31 representa un recipiente que contiene un fluido (gas o líquido) a una presión determinada.8. de tal modo que ∑ F = 0 . Al comparar ambos esfuerzos tangencial y longitudinal se observa que el esfuerzo tangencial es dos veces el longitudinal. Si el factor de seguridad es de 1. DATOS. la cual es πdt (figura 33). y como el esfuerzo tangencial también depende de la presión. Un hospital tiene una caldera pirotubular con un diámetro interior de 1500 milímetros y está diseñada para soportar presiones de hasta 900 MPa. Área perimetral que soporta el esfuerzo longitudinal Area transversal del cilindro Perimetro t Radio exterior Radio interior Reemplazando: Despejando: σ πdt = P(π/4)(d2) σ L = Pd 4t Donde: σ L = Esfuerzo longitudinal d = Diámetro medio del recipiente a presión t = Espesor de la chapa Donde el subíndice L indica que el esfuerzo es longitudinal. Por tanto para un diseñador el esfuerzo tangencial es el más importante y si el recipiente se diseña contra la falla del tangencial estará seguro de que nunca fallara por el longitudinal. σ = Fuerza / área donde la fuerza es P y el área. Figura 33. Hallar las fuerzas de tensión en las paredes de la caldera por centímetro de costura tangencial y longitudinal. Diámetro interior = 1500 mm .5.P induce un esfuerzo en el material. el diámetro y el espesor y no de la longitud. ¿Cuál es la fuerza de tracción por centímetro de costura tangencial? ¿Cuál es la fuerza de tracción por centímetro de costura longitudinal? OBJETIVO. es el área perimetral del cilindro. EJEMPLO. 1575m x L y la relación entre el factor de seguridad y las cargas de falla n = P falla / P Permisible.5 cm.5 x 708.75 x 106 N/m x L P falla = n x P Permisible = 1. se tiene que el P permisible = 708.725 x 109 N/m2 PL = σL x Area = 4.575m = 9. Si se toma r/t = 10.075m) Como se conoce el espesor: d exterior = d interior + 2t = 165cm d medio = d exterior + d interior = 157.075m ⇒ PL = 1.205 x 106 N/m La fuerza de tracción límite longitudinal por centímetro de costura es: σ L = σ T / 2 = 4.725x109 N/m2 x π x 1.45 GPa 2(0. Recordando permisible: P = 9. t = 75/10 = 7.575m x 0.75x104 N . 2 Como σT = P/áreaproyectada.5cm σ T = Pd/2t σ T = 900x106 N/m2 x 1.75x106 N/m x L La fuerza de tracción límite por centímetro de costura tangencial: FT = P falla / L = 1.Presión = 900 Mpa Factor de seguridad = 1. Donde P es la fuerza de tracción y el área proyectada es tL (espesor por longitud) Despejando : P = σ T T L.5 ANÁLISIS.45x106 N/m2 x 0.