ARITMÉTICATema 11 RAZONES 2do Secundaria RAZÓN: Es la comparación que se puede establecer entre dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de varias maneras, de las cuales estudiaremos dos de ellas, las cuales son: Razón aritmética Razón geométrica Es la comparación entre 2 cantidades mediante una Es la comparación entre 2 cantidades mediante una sustracción. división. Ejemplo: Ejemplo: Las edades de María y su hijo son 24 y 8 años Un DVD cuesta $120 y una licuadora $90, entonces respectivamente entonces podemos decir: podemos decir: 24 - 8 = 16 $120 = 4 ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ ÆÈ Ç $ 90 3 Razón aritmética Valor de la ÆÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÇ ÆÈÇ razón Razón geométrica Valor de la Razón Interpretación: Interpretación: < María es mayor que su hijo en 16 años. < Los precios del DVD y la “REFRI” son entre si < La edad de María excede a la de su hijo en 16 como 4 es a 3. años < Los precios del DVD y la “REFRI” están en la < La razón aritmética de las edades de María y su relación de 4 a 3. hijo es 16. < El costo del DVD es al costo de la “REFRI” como 4 es a 3. En general: < La razón de los costos del DVD y al “REFRI” es 4/3. En general: a-b=r Donde: a: antecedete r : valor de la razón aritmética b: consecuente k: valor de la razón geométrica Observación: Cuando en los ejercicios o problema se mencione solamente “Razón” se debe entender que se refiere a la “Razón” geométrica. La razón de 2 números es 5/8, luego se escribe: o o ACTIVIDAD 01. En un aula hay 20 niños y 32 niñas. ¿En qué relación A) B) C) D) E) se encuentran el número de niños y el número de niñas? 03. Dos números están en la relación de 3 a 4 y su suma A) B) C) D) E) es 56. Hallar el mayor de dichos números. A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 04. Dos números se diferencian en 5. Si su razón es 3/2, 02. En un auditorio hay 400 personas, 240 de las cuales determinar el número menor son mujeres. En qué relación se encuentran el número A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15 de hombres y el número de mujeres? Prof: José Enrique Malpartida R. 05. En un evento deportivo se observa que por cada 3 10. A una pollada asistieron 190 personas observándose varones hay 4 mujeres. Si en total han participado 98 9 hombres por cada 10 mujeres. Si por cada 12 deportistas, ¿Cuántos son varones? personas que comen la pollada 7 son hombres y cada A) 10 B) 15 C) 20 D) 32 E) 42 personan que come consumió 2 polladas. ¿Cuántas mujeres no comieron la pollada si se vendieron 240 06. Las edades de Rosa y Manuel están en la relación de polladas? 7 a 4 respectivamente, si Rosa es 9 años mayor que A) 18 B) 24 C) 35 D) 50 E) 65 Manuel, calcule la edad de Manuel. A) 11 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20 11. Los volúmenes que contiene dos recipientes están en la relación de 5 a 8 si agregamos 22 litros de cada 07. En un bidón se tiene 72 litros de una mezcla de uno, la nueva relación sería 7 a 9. ¿Cuántos litros alcohol y agua, en la relación de 5 a 3 tenía al inicio cada recipiente? respectivamente. ¿Cuántos litros de agua se debe A) 20 y 32 B) 20 y 23 C) 32 y 20 agregar para que la relación sea de 9 a 10? D) 23 y 10 E) N.A. A) 20 B) 23 C) 28 D) 30 E) 34 12. Las edades de dos personas hace 6 años estaban en 08. Actualmente las edades de dos personas están en la la relación de 3 a 5 y dentro de 9 años estarán en la relación de 8 a 11 y dentro de 10 años estarán en la relación de 7 a 10. Hallar la suma de sus edades en la relación de 7 a 9, hace 4 años en que relación actualidad. estaban. A) 58 años B) 62 años C) 76 años A) 9 a 7 B) 8 a 5 C) 10 a 7 D) 84 años E) 92 años D) 12 a 9 E) 10 a 6 13. El largo y el ancho de un rectángulo son entre sí como 09. En una fiesta antes de servirse la comida el número 9 es a 5. Si el perímetro de dicho rectángulo es de de hombres es al número de mujeres como 7 es a 5, 336cm, calcular su área.. luego de comer se retiraron 5 parejas y 5 hombres, A) 3 240 cm 2 B) 1 620 cm 2 C) 6 480 cm 2 por lo cual la razón de hombres y mujeres es de 5 a 4. D) 5 420 cm 2 E) 2 710 cm 2 ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta? A) 20 B) 22 C) 34 D) 46 E) 60 14. Dos números son entre sí como 4 es a 9. Si la suma de la mitad del menor con la tercera parte del mayor es 30, determine la suma de esos números. A) 52 B) 65 C) 78 D) 91 E) 104 15. Paulo tiene 28 años y Aldo 40 años. ¿Hace cuántos años las edades fueron como 3 es a 7? A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 19 PARA TU CUADERNO 01. P ed ro tiene S/.180 y José S /.80 ¿C uá l es la razón geométrica de lo que tienen? 06. Si: y (a + b) (a - b) = 144, calcular a 2 - b 2 A) B) C) D) E) A) 24 B) 36 C) 72 D) 283 E) 144 07. Se tiene un p a r d e núm eros de m anera que s i a 02. D os núm eros s on entre s í c om o 2 es a 9. C alc ule c ada uno le quitamos 18 unidades la razón el mayor de ellos, sabiendo que su razón geométrica sería 5/7. Si el va lor de la razón aritm ética es 84. geom étrica original es 7/9, ¿C uál e s el núm ero A) 72 B) 48 C) 105 D) 110 E) 108 m ayor? A) 63 B) 72 C) 81 D) 90 E) 108 03. S i lo s 2/5 de 1 /3 del produc to de dos núm e ro s que son entre sí como 4 es a 5, es 384, ¿Cuál es 08. Se tiene dos núm eros cuya razón geométrica es la sum a de las cifras del mayor de tales 7/4. Si la razón aritm ética de sus cuadrados es núm e ros ? 528, c alc ular el m enor de los núm e ros . A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 9 A) 20 B) 16 C) 84 D) 40 E) 12 04. U n par de números están en relación de 11 a 7, 09. En un determ inado ins tan te d e un a fie s ta , e l s um a n 216. ¿C uál e s el m ayor de tales núm e ros ? núm ero de hombres que no baila es al número de A) 132 B) 122 C) 112 D) 142 E) 152 personas que están bailan do como 5 es a 6. Además el número de dam as que no bailan es al 05. El peso de un tanque es al pes o el agua que núm ero de hom bres c om o 7 es a 8. E nc uentre la contiene com o 3 es a 4. ¿Q ué cantidad de agua cantidad de h om br es en la fiesta si el total de hay que agregarle para que la relación sea de 1 personas en la fiesta es 180. a 2? A) 60 B) 70 C) 55 D) 90 E) 80 A) 2/3 de lo que hay B) 1/2 de lo que hay C) 1/3 de lo que hay D) 2/5 de lo que hay 10. La relación entre el núm ero de pasajeros de dos E) 1/5 de lo que hay m icros es de 7 a 5. Si bajan 4 p asajeros de uno y s uben al otro, s e iguala el nú m e r o de pa s a jeros. ¿C uántos pasajeros llevan entre ambos?. A) 54 B) 36 C) 72 D) 60 E) 48 Prof: José Enrique Malpartida R. Nota: El orden de los términos en una proporción aritmética se asume del siguiente modo: (1er término) .12 = 12 .(4to término) Prof: José Enrique Malpartida R. Es la igualdad de 2 razones geométricas. Ejemplo: Ejemplo: Extremos Extremos 9 9 9 18 . b. . 16 8 8 Medios Medios Como: 18 + 16 = 24 + 10 Como: 12 x 9 = 18 x 6 34 = 34 108 = 108 Entonces en toda proporción aritmética se cumple: Entonces en toda proposición geométrica se cumple: Suma de extremos = Suma de medios Producto de extremos = Productos de medios En general: En general: a-b=c-d Donde: a y c : antecedentes b y d : consecuentes Donde: a y d : extremos a y c : antecedentes b y c : medios b y d : consecuentes a y d : extremos b y c : medios TIPOS DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA Discreta: Continua: Es cuando todos los términos son diferentes entre Es cuando los términos medios son iguales. Tema 12 PROPORCIONES Proporción: Es igualdad de 2 razones que tienen el mismo valor: Proporción Aritmética: Proporción Geométrica: Es la igualdad de 2 razones aritméticas. c b: Media diferencial de a y c o media aritmética de a y c.(2do término) = (3er término) .10 18 .6 9 8 8 Cuarta Media diferencia diferencial En general: En general: a-b=c -d a-b=b-c d: 4ta diferencial de a.32 = 13 . si: Ejemplo: Ejemplo: Tercia diferencial: 35 . c: Tercera diferencial de a y b. 10 = 24 . c: Tercera proporcional de a y b.c Si: se cumple: St = 4b St: suma de términos. Se cumple. Nota: El orden de los términos de una proporción geométrica se asume del siguiente modo: (1er término) = (3er término) (2do término) (4to término) Ejercicio: 03. el sus cuatro términos es igual a cuatro veces la producto de sus cuatro términos es igual a la media proporcional. 6 y 02. . c b: Media proporcional de a y c o media geométrica de a y c. b. Es decir: media proporcional elevada a la cuarta es decir: Si: a . Pt = producto de términos. si: Ejemplo: Ejemplo: Media proporcional: 8 = 24 6 18 9 9 Cuarta proporcional 9 En general: 3ra proporcional En general: d: 4ta proporcional de a. la suma de Es una proporción geométrica continua. Resolución: Resolución: TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Discreta: Continua: Es cuando todos los términos son diferentes entre Es cuando los términos medios son iguales.A.C.Ejercicio: 01. Calcular la tercera diferencial de 20 y 15. Si cumple: b = Si cumple b = Prof: José Enrique Malpartida R. Pt = b 4 Si se tiene una P.b = b . Resolución: Resolución: Propiedades: En una proporción aritmética continua. Calcular la cuarta proporcional de 15. Calcular la cuarta diferencial de 10.G. 15.C. y 25. a-b=b-c Si se tiene una P. 10 04. Calcular la tercera proporcional de 9 y 6. La cuarta proporcional de “a + 1". la suma de los extremos 11. A) 3 B) 6 C) 9 D) 4 E) 12 A) 5 B) 3 C) 4 D) 9 E) 10 10. calcular (m + n). SI la suma de los extremos es 16. medios? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 120 B) 122 C) 126 D) 127 E) 128 04. Es una proporción aritmética continua los extremos diferencial es igual a 19 y la razón aritmética de los están en la relación de 3 es a 5. Calcular el producto de los extremos. cuadrados de los tres términos diferentes de la proporción aritmética continua es 200. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 06. En una proporción aritmética continua. el menor de estos medios es: del precedente. 4 y 40. Calcular la diferencia jardinero B en la proporción de 4 a 3. ¿Cuál es el producto de los términos proporcional de 32. La suma de los términos de una proporción es igual a 22. Si el primero de estos 03. m y 12. Si “m” es la media proporcional de 9 y 4. En una proporción aritmética. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 576. A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 A) 60 B) 64 C) 48 D) 72 E) 80 15. El producto de cuatro términos de una proporción geométrica discreta es 15 876. ¿Cuál A) 3 B) 5 C) 2 D) 6 E) 4 es el tercer término? 02. El jardinero A planta rosas más rápidamente que el proporcional de a y b es 80. cada uno de los tres últimos es 2/3 2 unidades. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas?. En una proporción aritmética. la suma de los 14.1" y “a÷8" es 13 unidades. En una proporción geométrica. De la tercia diferencial de 20 y 4 restar la cuarta términos es 7. A planta “(x+2)” rosas. La media proporcional entre a y b es 10. . La tercera 08. “n” es la términos medios es 16 y la razón aritmética de los cuarta proporcional de 8. Si los términos medios se diferencian en 13. “a+4" calcular la tercera proporcional de 3 y “a+3" A) 25 B) 35 C) 38 D) 13 E) 40 A) 12 B) 16 C) 18 D) 27 E) 32 07. Encontrar la media proporcional de 27 y 3. A) 21 B) 25 C) 15 D) 20 E) 100 A) 6 B) 8 C) 32 D) 24 E) 12 Prof: José Enrique Malpartida R. Cuándo B planta entre a y b. ¿Cuál es el último término? A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 05. Si los términos medios se diferencian en geométrica es 65. mismos es 4. “x” rosas en una hora. la suma de los extremos es igual a 53. calcular el mayor de los medios. la media 12. Calcular el menor de los extremos. Calcule la cuarta diferencial de: 19. calcular la A) 27 B) 14 C) 19 D) 11 E) 16 media aritmética. Si el segundo término es 8. “a . 8 y 13 09. ACTIVIDAD 01. calcula la sum a de los térm inos extrem o s . se retiran 15 mujeres A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 quedando 2 varones por 1 m u jer: des pués se retiran 45 varones. lo s es igual a 84. ¿Cuál es el A) 176 B) 178 C) 180 D) 192 E) 196 núm ero m ayor. A) 35 B) 59 C) 45 D) 39 E) 28 A) 124 B) 128 C) 132 D) 136 E) 140 02. . 10 y 19 es igual a: 08. En una proporc ión de c ons ta n te e ntera la sum a A) 18 B) 20 C) 26 D) 39 E) 24 de térm inos es 507. C alc ular la A) 435 B) 493 C ) 345 D ) 354 E) 534 sum a de los cuatro.. si su producto es 64? 05. 09. De un grupo de personas. E n u n a p r op or c ió n a r itm é tic a co ntin ua . Si . ¿Cuál es la diferencia 07. la suma de los extremos 06. Si la razón de la sum a c on la difer encia de 2 núm eros enteros pos itivos e 5/3. La sum a de los 4 té rm inos de una proporción entre “a” y “b”? geométrica continua es 9. La suma de la media diferencial de 38 y 12 con la A) 16 B) 10 C) 8 D) 9 E) 15 cuarta diferencial de 15. H alla el p r o d u c to de los 4 A) 21 B) 22 C) 23 D) 35 E) 28 térm inos . sabiendo que la sum a de los extrem os es 120. Si la media proporcional de “a” y “b” es 14 y la tercera proporcional de “a” y “b” es 112. En una proporción aritmética. ¿Cuántas personas hubo inicialm ente en el grupo? Si a + c = 145 A) 70 B) 75 C) 85 D) 90 E) 95 A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 Prof: José Enrique Malpartida R. varón. el primer térm ino es 1/9 de l c uarto térm ino. el mayor de estos medios es: m edia diferencial de la proporción sabiendo que la sum a de sus cuatro térm inos es 528. Si la diferencia de sus extrem o s es 3. Calc ula la 6 unidades. 03. 04. PARA TU CUADERNO 01. En una proporción geom étrica c ontinua . Si los términos medios se diferencian en extrem os so n entre sí c om o 5 es a 3. halla el valor de b. quedando 5 m ujeres por cada 10. .G. Ejemplo: Si se tiene: Donde n es el número de razones que se multiplican: Ejemplo: Se puede expresar: Si: ACTIVIDAD 01. 7. a3.G... Si: .. Tema 13 SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (SRGE) SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Si se tiene las razones: . C y D tienen naranjas en la relación de 3. además b + c = 108. además 11a + 3b + c = 568. cuántas naranjas más tiene “B” con respecto a “A”.. Cuatro vendedores A. calcular b . toma la forma siguiente: A esta expresión se le denomina serie de razones geométricas equivalentes (S. y 11 respectivamente si D le diera a A 120 naranjas.. es la constante de proporcionalidad. . Si: .) Se denomina series de razones geométricas equivalentes En general: continuas En general: Donde: a 1. 2a + b . 6.E. además últimos consecuentes es 92 calcule la diferencia de los otros dos consecuentes. b3. halla: naranjas. Si: y a2 + b 2 + c 2 = 152.R.G. consecuente y la constante “K” Es decir: Ejemplo: a1 = an+1 x K n a2 = an+1 x K n-1 Si: a3 = an+1 x K n-2 ! ! a n = a n+1 x K 2.4H = 685: Determinar 3R + C + T A) 1 370 B) 3 000 C) 3 288 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 D) 685 E) 1 200 04.R. se cumple: Propiedad: Cada antecedente puede expresarse en función del último 1. 11 y 12 si la suma de los dos 03.G.R. entonces podemos escribir: Si la S. se puede observar CONTINUAS: rápidamente que el valor de cada una de las cuatro razones geométricas es igual a 3.R. Hallar a + b + c Prof: José Enrique Malpartida R. Si: .E. bn: son los consecuentes K. Ejemplo: Propiedades de la S. a2. En una serie de 4 razones geométricas iguales los antecedentes son 5. B.c: A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 A) 48 B) 130 C) 96 D) 40 E) 88 06. b2.E. .. ambos tendrían igual número de 02. En toda S. an: son los antecedentes b 1.a: A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 A) 27 B) 9 C) 36 D) 63 E) 28 05. 2B + 3E . 5.E. Halla la sum a de dichos A) 1/4 B) 1/2 C) 4 D) 3 E) 2 núm e ros . En una serie de 3 razones geométricas equivalentes A) 84 B) 56 C) 40 D) 10 E) 48 continuas de constante entera. 54 04. b y c. 10 y 18 respectivamente. Determ ina cuántas canicas tiene cada color. si el antecedente central es 10.R. la razón A) 21 B) 256 C) 64 D) 216 E) 56 geométrica del primero y el segundo vale 5/8. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a 8. están en la relación de 5 a 4. 5. H a lla e l s e gu nd o c anicas tienen en total? antecedente si su consecuente respectivo es 12. E n un a serie d e tr es n úm e ro s g eo m é t ric o s proporcionales a 4. Si del segundo se pasan 50 unidades al primero. 13. 84 C) 55. a de m ás 5 A + 2 B + C = 1 260. A) 40. Hallar el 1er. 120. si sabe que tiene 234 A) 606 B) 66 C) 460 D) 660 E) 666 c anicas en total. 56 y 21. Si: . Hallar “a” ¿Cuál es la medida del ángulo menor? A) 90/ B) 50/ C) 40/ D) 60/ E) 30/ A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 30 PARA TU CUADERNO 06. Si: . Halle el otro 5a . A) 110 B) 84 C) 56 D) 98 E) 119 05. Tres números son proporcionales a 4. calcule la suma de a. 10. la suma de los términos extremos es 27. si cantidades serían iguales. Uno de los térm inos extrem os es 8 veces el valor del otro extrem o. adem ás 10a . En una serie de 3 razones geométricas iguales la 11. calcula: continuas c uyo valor no es entero. ro jo y negro. 89 11 y el producto de los consecuentes es 24 640. . 74 D) 60. Calcular a + c suma de los términos de cada razón es 70. ¿Cuántas c on s e c ue nte s es 3 6. Si: . E n una s erie de 3 razones geom é tric as iguales y 01. Halle la suma de los antecedentes si la constante de A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 proporcionalidad es 4/3. Si: . Halla el tercero. 5. S i: . Si el tercer número excede al prim ero en 42 unidades. 5a + 4b . 100. Se tiene 3 núm eros que son proporcionales a los antec edentes . A) 260 B) 190 C) 270 D) 170 E) 210 A) 150 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350 15. 9. D) 81 E) 1 201 A) 30 B) 40 C) 25 D) 20 E) 10 07. Cuánto A) 7 301 B) 6 491 C) 1 301 vale su consecuente. O bs erva qu e l a c antidad de c anicas azules y la 03. C alc ula proporción geom étrica continua es 5 832. 105. 08. A) 16 B) 8 C) 12 D) 4 E) 24 A) 27 B) 11 C) 22 D) 19 E) 18 Prof: José Enrique Malpartida R.c extrem o.G.E. H alla la razón que hay entre c ons ec uentes y 09. Si uno de los térm inos extrem os es 6.3b = 37 5. 105. si cada niño tuviera 5 equivalentes se cumple que la sum a de canicas más el número de canicas form arían una antecedentes es 24 y la sum a de sus proporc ión geom étrica continua. En la siguiente serie de razones: . Calcule el tercer número.b . 94 B) 45. 7 y 11. E l nú m ero de c anic as que tiene n 3 niñ os s o n 10. 12. si d = 4 y K = 2. Calcular A) 1 019 B) 1 023 C) 919 A) 200 B) 24 C) 18 D) 15 E) 12 D) 1 239 E) 973 14.07. las 09. E n un a S. La suma de tres números es 1 500. El produc to de los 3 térm inos diferentes de una 02. 110.3c = 315. Si: . y la razón aritmética de los mismos es 111. cantidad de canicas rojas están en la relación de 3 a 7 y que la cantidad de canicas rojas y negras C alc ula A + B + C . 7 y E) 35. núm eros 3. Jorge tiene canicas de color azul. los antecedentes son 4. 9 y 13. A) 54 B) 81 C) 72 D) 90 E) + de 90 A) 75 B) 50 C) 65 D) 71 E) 80 08. antecedentes. 10.H.) Es la raíz enesima del producto de los “n” datos.) Es la inversa del promedio aritmético de las recíprocas de los datos. . Es decir: Prof: José Enrique Malpartida R. el cual está comprendido entre el menor y el mayor de dicho conjunto de datos. Promedio Geométrico o Media Geométrica: (M. # an Si “p” es el promedio entonces: a4 # P # an 9 9 menor mayor dato dato Promedios Importantes 1. Hallar la M.. Tema 14 PROMEDIOS O MEDIAS Promedio: Se denomina promedio de un conjunto de datos a un valor que representa a los datos. Es decir: MG = = Ejemplo: 03. 14... Promedio Armónico o Media Armónica: (M.. Sean los números.. Promedio Aritmético o Media Aritmética (M. Resolución: Resolución: 2.G. Hallar el promedio de las edades de mis 02. 20 y 27 {08. viene a ser la enesima parte de la suma de los “n” datos: Es decir: MA = Ejemplo: 01..También se denomina simplemente “promedio” o “media” por ser el promedio más conocido. a2. 4 y 27 04. Resolución: 2.G. 15. a3.A. Hallar el promedio de las notas de Raúl: hermanos las cuales son: 12. . a1. 12.).. de 2. 16} años. Hallar la media geométrica de los divisores Resolución: de 16. an Donde a1 # a2 # a3 # a4 # .. (a + 1). Hallar el promedio de: 07. 18. El promedio geométrico de 2. entonces: M. 03. = M.H. promedio aritmético de a. Seis personas están reunidas. El promedio de tres números es 17.A. 93 60 años y el promedio de edades es 54 años. La edad promedio de 8 personas es 21 años y ninguno de ellos es menor de edad ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?. de 6. Para números diferentes se cumple: 02.A. Hallar el promedio geométrico de: 2. ¿Cuál es el otro número? dichos números.5 B) 7 C) 6 D) 3 E) N. promedio geométrico es 6 .H... Sean los números a y b. Si la suma de 2 promedio de los mismos es 6. El promedio armónico de 4. 28.A. 3 es 60/13. 09.4. (a + 3). El mayor promedio de 2 números es 10 y el menor 05.MG = ACTIVIDAD 01. 23. (a + 4) A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 11 A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) 5 10. MH = = Ejemplo: 05.. Resolución: Resolución: CASOS PARTICULARES: 01. = = 10 M. si ninguno pasa de los 13. Hallar la diferencia de de ellos es 15.. 16.4 Propiedades 01. Hallar el promedio armónico de los divisores de 28.. . Calcular el estos números. x. Hallar la diferencia de 04. = Ejemplo: Sean los números 16 y 4 M. 12 y 20 06. Hallar la MH de los divisores de 15. Calcular “x”. = = 6. Sólo para 2 números a y b se cumplen: MA x MH = MG 2 MA .. = M. Para números iguales se cumple: MA > MG > MH MA = MG = MH 03.G.. A) 4 B) 36 C) 21 D) 2 E) 17 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 8 06.A.H. a y 8 es 4. . 4. El promedio aritmético de dos números es 12 y su A) 1. la mínima edad que puede tener una de ellas es: A) 54 B) 55 C) 56 D) 57 E) 58 A) 20 B) 38 C) 24 D) 22 E) 35 02. A) 30 B) 32 C) 36 D) 42 E) 25 A) 41 B) 43 C) 44 D) 42 E) N.....G. . = =8 M. 8. A) 15 B) 12 C) 3 D) 1/2 E) 1/3 Prof: José Enrique Malpartida R. Hallar la M. 29 08. H allar M H (a. Si el producto de la ellos ? media aritmética con su media armónica es igual al doble de su media geométrica. ¿Q ué núm ero de dos números es 2/3. El promedio de 30 alumnos fue 20 si los 10 primeros Hallar la media armónica de dichos números. Si A y B son dos números y la media aritmética es 4 y la media geométrica es 2 entonces A 2 + B 2 es. A) 50 B) 78 C) 90 D) 60 E) 10 A) 12 B) 4 C) 10 D) 16 E) 8 05. D) 93. el promedio aumenta en 20 unidades. Se agrega un núm e ro m ás y e l v alor del prom e dio aritm é tic o s e 10. Si el prom edio de las notas de 4 alumnos es 16. A) 6 B) 8 C) 9 D) 3 E) 10 A) 39 B) 38 C) 28 D) 40 E) 36 03. ¿Cuál sería el es: nuevo promedio si a 5 de ellos se les aumenta 5 unidades y al resto se le aumenta en 8 unidades? A) 84. media armónica de los mismos es 7. geométrica y la media aritmética es 10. M G (a.b) = 16.b) = 12. Si el promedio de los 2 grupos es 40 años. . El promedio geométrico de 4 números es 10 y la 02. La media aritmética de dos números es 10 y la media m ientras que s u m enor prom edio es 12. El promedio de 45 núm eros es 11.5. El promedio de 2 números es 60. La razón de la media geométrica y la media aritmética ve increm entado en 14 unidades . La edad prom e dio de 30 p ers onas es 20 años y A) 1 B) 5 C) 6 D) 2 E) 4 ning uno de ellos es m enor de edad. A) 655 B) 657 C) 654 D) 656 E) 658 A) 16/3 B) 3/2 C) 15/4 D) 4/5 E) 1/2 Prof: José Enrique Malpartida R. Hallar los números. entonces el menor A) 10 B) 11 C) 06 D) 04 E) 00 valor de a + b es: 04.11. diferencia de dichos núm eros. En el grupo B hay 60 personas y la edad promedio es 50 años.5. E l m a y o r p r o m e d i o d e dos núm e ros es 1 3 . 5 06. El promedio de 15 números es 54. En consecuencia el A) 6 B) 9 C) 4 D) 8 E) 5 promedio de los restantes es: 12. Hallar la media armónica de dichos números. ¿C uál es la m á xim a edad que puede tener uno de ellos ? 09.b). si se consideran A) 80 B) 90 C) 50 D) 40 E) 60 otros tres números. Si la semisuma de la media se agregó?. H allar la armónica de los mismos es 7.: A) 13 y 7 B) 15 y 5 C) 18 y 2 D) 14 y 6 E) 12 y 8 A) 3 B) 4 C) 9 D) 6 E) 7 07. B) 24. Hallar los números. Hallar la edad promedio del grupo A si en el hay 40 personas. Sen a y b dos números enteros. E) 98 A) 61 B) 64 C) 62 D) 65 E) 63s 15. Entonces el promedio de los tres números 14. 13. ¿Cuál es la m ínim a nota que podría tener uno de 08. Si: M A(a. Se tienen 2 grupos de personas en la que se observa la edad. Para 2 números a y b se cumple: . C) 100. alumnos obtuvieron un promedio de 25 y los 6 últimos obtuvieron 25 de promedio. A) 10 B) 25 C) 36 D) 40 E) 50 PARA TU CUADERNO 01. B ] ÷2 x3 Concluimos: A I. el cual puede ser medido o cuantificado. 100 litros. completar el 5 obreros pueden hacer una obra en 12 días. entonces ¿el radio y área son directamente proporcionales? Propiedades: GRÁFICAMENTE: 1. CANTIDAD. B Magnitudes directamente proporcionales (D. B ] A DP.) Ejemplo Ejemplo 2 Si “A” es directamente proporcional a “B”. Tema 15 MAGNITUDES PROPORCIONALES I Magnitud.P. .P.40. longitud. B 9 9 aumenta disminuye n/ pollos 8 4 12 disminuye aumenta costo (S/. obra. comparando las magnitudes.P. º n = 60 n/ de obreros I. el cual resulta de medir la variación en un determinado momento. volumen. Si A D. Ejemplos: Peso. Para nuestro estudio se entenderá como aquello GRÁFICAMENTE: que experimenta cambios. INVESTIGA Y RESPONDE n/ de pollos D. Si A I. si aumenta el radio aumenta el área. B ] A n D. 18/C RELACIONES ENTRE LOS VALORES DE DOS MAGNITUDES En general: A D.P.P. comparando las siguiente cuadro: magnitudes.P. expresándolo en ciertas unidades de medida. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I. B n ] . Si A I. Ejemplos 20Km.P.P.) 9 9 Ejemplo 1 aumenta aumenta Rosa compró 8 pollos a S/. B ] A x B = cte. Es un estado particular de la magnitud. P. etc. disminuye disminuye número de pollos y costo tendremos: ÷2 x3 A I. número de obreros y número de días tendremos: A m 30 120 42 x2 ÷5 B 10 5 n p n/ de obreros 5 10 2 Dar (m + n + p) n/ de días 12 6 30 Resolución: ÷2 x5 Concluimos: n/ de obreros x n/ días = 5 x 12 = 10 x 6 = 2 x 30 = cte. B ]A n DP. n/ días º n = 20 ºn=7 m + n + p = 87 Prof: José Enrique Malpartida R. costo En una circunferencia. P. 2.) 40 20 60 A D. B n ] .P. 30 libros.P. P. B = 8. ¿Cuánto tiempo empleará la segunda rueda en dar 6 300 Hallar x + y revoluciones? A) 6 B) 36 C) 40 D) 42 E) 50 A) 4 500s B) 5 000s C) 4 400s D) 5 400s E) 5 600s 07.1 260? cuando B = 3. Hallar a + b.5g D) 25g E) 62. 12. Si A es D.P. a B y cuando A = 24. La energía cinética (E) de un automóvil es d. ACTIVIDAD 01. entonces T = 48. . Un señor cuyo sueldo es de S/.P. Si A es I.25g C) 2. Se da 2 magnitudes A y B tal que: A I.p. si un automóvil que lleva una velocidad de 50km/h posee una energía de 35 000 joules. Hallar “A” sea de S/. ¿Cuántas vueltas dará la rueda “B” en 5 minutos? 06. a y cuando A = 6. Se tiene la siguiente tabla de valores para magnitudes A y B. 10. Una rueda “A” de 890 dientes engrana con otra rueda “B” de 30 dientes. 15. A) 1 400 B) 1 134 C) 1 500 D) 1 600 E)1 300 A) 27 B) 9 C) 81 D) 162 E) 243 11. ¿Cuál será la velocidad del mismo automóvil cuando tenga una energía cinética a 50 400 joules? (Expresado en km/h) A) 60 B) 70 C) 75 D) 80 E) 90 13. 19 800 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso? A) 6 B) 3 C) 9 D) 18 E) 9/2 (Tómese 1 quilate igual a 0.P. a B 4 y cuando A = 48.55 000. Hallar “x + y”. El gasto de una persona es D. UNI 85 . B = 250. B inversamente proporcionales.P. Hallar: “n + m” A) 25 B) 20 C) 30 D) 40 E) 45 A) 144 B) 163 C) 164 D) 170 E) 190 Prof: José Enrique Malpartida R. Hallar el ¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/.P. Si A es D. si uno de 6 quilates cuesta S/.90. B = 2. al cuadrado de su velocidad (v). a su sueldo. Si la rueda “A” da 12 vueltas por A) 14 B) 28 C) 30 D) 22 E) 36 minuto. valor de A cuándo B = 9. A) 14 B) 12 C) 96 D) 54 E) 16 A 36 m 324 9 4 08. Además: A 5 x 30 B 2 6 y Hallar: “x + y” A) 15 B) 20 C) 27 D) 28 E) 30 02. B A) 160 B) 120 C) 100 D) 40 E) 80 Además: A 9 12 y 14. Si la siguiente gráfica muestra dos magnitudes A D. B = 2.P.5g directamente proporcionales.I 04. Una rueda dentada de 42 dientes egrana con otra de B 8 x 2 36 dientes. a B y cuando A = 800. Hallar “A” A) 30 B) 36 C) 40 D) 48 E) 60 cuando B = 75.M. Hallar “T” cuando P = 300. SI la primera da 60 R. SI A es D.900 ahorra S/. Dado 2 magnitudes A y B se cumple que: 09. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto 03.25 g) 05. Hallar el valor de “A” cuando B = 16. siendo A) 240 B) 150 C) 160 D) 260 E) 280 el resto ahorrado. De la figura correspondiente a dos magnitudes A) 6g B) 6.P. “P” es inversamente proporcional a “T” cuando B 6 3 2 12 n P = 125. ) Al cuadrado de “B” calcular los valores de “m ” y “p”.10.6 com pletar “B” para generar un m ovim iento en las D ) S/. B adem á s : 06.P.8 B) S/.A B 3 m 10 02. E l á r ea d e u n c ír c u l o e s d i r e c t a m e n t e proporcional al cuadrado de su radio.P . y a su vez “B” engrana con “C”. ¿C uá ntas vueltas debe A) S/.2 E) S/. PARA TU CUADERNO 01. Calcula: “a + x + y + n” A 5 3 y a+y n B 15 x 21 30 a+x Rpta: _____________ 10.9 otras dos ruedas de tal m anera que el número de vueltas de “A” exceda al de “C” en 42? 03. Sabiendo que “A” es d irec tam ente porporc io na l A 144 Y 8 12 (D. Rpta: _____________ Rpta: _____________ 05.9. 07. 7. ¿C uánto cos tará otro diam ante qu e pes a 25 gram o s ? A) $6 000 B) $5 000 C) $7 500 D) $4 800 E) $6 250 08. La rueda A engrana con B y la rueda B engrana con C. Hallar A c on C .14. Calcula cuántas 04. Si un círculo de 12cm de radio tiene un área de 400 cm 2 . “A” engrana con “B”. 3 6 y 4 5 die nte s respectivam ente. Se tiene un sistem a de tres ruedas dentadas “A”. si las m agnitudes volum en (V) y temperatura (T) son inversamente A) 50 B) 60 C) 40 E) 70 E) 90 proporc ionales .4 C ) S/. “ B ” y “ C ” c o n 2 4 . H allar “m ” y “p”. Si un diamante que pesa 20 gramos cuesta 4 000 dólares . S i A I. 2 y 5 respectivam ente y la rueda A da 40 vueltas por minuto. E l p r e c i o d e u n d i a m a n t e e s d i re c t am e n t e proporcional al cuadrado de su peso. Si tenem o s : B z 4 x 12 H allar: “x + y + z” A 45 320 p A) 45 B) 60 C ) 55 D ) 66 E) N . si las ruedas A. Dada la gráfica de: A) 15 y 250 B) 8 y 500 C) 4 y 100 # m anzanas versus precio unitar io. S i “ A ” e s d ir e c t a m e n t e proporc ional a “ B ” y vueltas da C en 3 m inutos. e n tonces B = 360. S e a n la s m a g n itu d e s A y B d ir e c ta m e n t e proporcionales. 09. B y C tienen en total 100 Hallar (m + p) dien tes y la c antidad de dientes es tán en la Rpta: _____________ relación de 3. Calcular D) 12 y 90 E) 12 y 400 c uánto c ues ta 4 doc enas de m anzanas . cuando “B” es igual a 144. Nota: A no engrana cuand o A = 32 0. . ¿C uál ser á el área de otro círculo cuyo radio es 25% m ayor? A) 600 cm 2 B) 500 C) 625 D) 800 E) 1 000 Prof: José Enrique Malpartida R. P. Si “X” es I.8m ACTIVIDAD 01. con N e I.P.P.5 4/ 2 d 2 0. . h Sea: V.P.P a Z 2. a su altura (h) y proporcional al cuadrado del diámetro (d2). Tema 16 MAGNITUDES PROPORCIONALES II MAGNITUDES PROPORCIONALES COMPUESTAS: Resolución: Si se tiene más de 2 magnitudes. D siendo B.D. con Q. Z = 1.2m Rpta: m + n = 4. A) 4 A B) 6 A C) 8 A D) 10 A E) 12 A A) 80 B) 60 C) 120 D) 90 E) 100 Prof: José Enrique Malpartida R. a “ Y” e I. E siendo B. Si A es D.P. Hallar la corriente que circulará por la misma plancha durante 5 minutos para producir 40000 calorías.P. C y D constantes Se cumple: K = constante Ejemplo: Reemplazando datos se obtiene: Si el volumen (V) de un cilindro es D. Si José que tiene 30 años y 4 años en la empresa tiene un sueldo de S/. a . C y E constantes A I. Halla A cuando B = 12 son iguales. 05. 08.P. Siendo “A” directamente proporcional al cuadrado de A) 6 B) 12 C) 8 D) 10 E) 15 “B” e inversamente proporcional al cubo de “C”. cuando Q es 3/2 M y N Cuando A = 4.P. En una empresa el sueldo es directamente X =10. Q es 12? 02. D y E constantes A D.P con C 2. C siendo B.P. En la gráfica. sabiendo que cuando X = 35.P. hallar (a + b) soles? A) 30 años B) 36 C) 40 D) 32 E) N. P. a . B = 8 y C = 16. si una plancha produce 5 000 calorías cuando circula una corriente de 2 amperios durante 10 minutos.2 De donde se obtiene: h 2. B = 2 A B C y C = 3. ejemplo: V. P. con B 2 e I.6 n m = 3. a B e I. Si A es D. A) 12 y 750 B) 18 y 375 C) 6 y 375 A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5 D) 6 y 750 E) N. A es D.4 500. Hallar “Y” cuando 03.D. Calcule “m + n” V 25 m 7. Z = 8. D y E constantes entonces: A I. Hallar A cuando B = 5 y C = 16. d2 A D. con B 3 e I. proporcional al cuadrado de la edad y a los años de entonces Y = 1/4.A 04. si cuando A = 12 entonces B = 15 y C = 9. M es D. A) 48 B) 36 C) 52 F) 56 E) 64 ¿Cuál es la edad de Pedro que entró un año antes que José a la empresa y tiene un sueldo de 6 400 09. Hallar “m” y “p” del siguiente cuadrado: 06. Hallar A cuando B = 3 y C = 2.P. 12 4 5 A) 296 B) 246 C) 777 D) 486 E) 250 125 m 3 p 8 2 07. ¿Cuál es el valor de N cuando M es 1 y y C = 36. El calor producido por una plancha es directamente proporcional al cuadrado de la corriente eléctrica y al tiempo transcurrido. Cuando A = 64.P.A.6m n = 1. B siendo C. servicio en la empresa.P. ¿En qué que lo separa de Lima. C 3. “A” varía proporcionalm ente a “B” y al cuadrado 06. ¿Cuántas vueltas dará la segunda rueda en 4 minutos? A) 4 B) 3 C) 8 D) 9 E) 6 A) 1 100 B) 1 200 C) 1 300 04.P. altura “h”.12 E) S/. calcula el costo de una casa del s ube 20% y el azúc ar baja en 10% ? mismo material. si su área es el doble y se encuentra a 150km de distancia. el e I.P al prec io 07. y C = 16. a distancia del azúcar e I. (c: constante) B . Si A = 6. El prec io del c afé v a r ía en form a D .4 A) 8 B) 6 C) 10 D) 12 E) 9 PARA TU CUADERNO 01. . a su vez D. A) 120 B) 180 C) 140 D) 160 E) 118 A) 70 B) 72 C) 60 D) 90 E) 96 12. Cuando A = 12 y ¿ C uánto valdrá “B ” c uando A = 2D y D = 4C ? C = 1. N = 8. a “a” Sabiendo que “A” I. P. A) 120 B) 150 C) 180 D) 160 E) 200 A) 864 B) 810 C) 854 D) 972 E) 872 02. B =8 15. “h” es independiente del valor de “a”. al número de páginas gas. de “C”. a “h” A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 14. si su rendimiento es como 8 y faltó 3 días.P. “A” varía en razón directa a “B“ e inversa al cuadrado de 50 dientes. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente A) S/. Entonces: C y 4 9 1 A) V es D. Si M es D.8 B) 7.P. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?. Hallar C 08. I.P. 90 000 E) S/. Fijo al eje B hay otra rueda C de 15 de ”C”. B = 5 y C = 4 entonces D = 2.2 D) 14. Calcula el precio cuando los A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 libros tienen 240 hojas y se imprimen 3 000 ejemplares. Hallar N cuando P 0 6 y M = 45. al precio del té. al número de ejemplares cuando el número de volumen varía en un 40%? ejemplares es 2 700.11 250 E) Aumenta 10% D) S/.9 C) S/.15 y el número páginas es 360. si al aumentar esta presión en 2 atmósferas.2 C) 16. A) Disminuye 15% B) Disminuye 25% C ) Aum enta 25% D ) No varía A) S/. Dadas las magnitudes A.. Dos ruedas de 48 y 32 dientes engranan y están cuando A = 2 y B = 3.10. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/ 600 y su rendimiento es como 5 faltó 4 días.P. al área e I. Si cuando A = 8. las cuales son variables.P. entonces B = 4 y C = 14. “A” es directamente proporcional con B2 e inversamente proporcional a . A) 12. si la primera rueda da 200 R. cuando A = 10. a “b” x+y-z E) V es D. la presión es inversamente D) 1 400 E) 1 500 proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. UNI 1982 . Rpta. Si: Cuando A = 6 entonces B = 4 y C = 2. a s u vez inversam ente proporcional a “D ”. Cuando M = 18. a “b” D) V es I. El precio de una casa es D.P. Hallar: C) V es D. 05. P. UNI 88 Sea V el volumen de un paralelepípedo rectangular de A 8 x 6 2 ancho “a”.P. largo “b”. con N/2. ahora el precio es S/. Dada la tabla: 13.P. porcentaje varía su precio cuando el prec io del té cuesta S/.P.P. El precio de un libro varía D. Hallar dientes que engrana con una rueda D de 40 diente. calcula el sueldo de Carlos.P. B.5 B) S/.II Una rueda A de 80 dientes engrana con otra ruda B 11. Hallar A cuando B = 12 y C = 36. P = 3. con P 2 e I. B y C A D. Cuando A = 4. Si A cuando B = 16 y C = 7.P. 22 500 C) S/. girando. 45 000 B) S/. con . A da 120 vueltas por minuto. cuando B = 8 y C = 3.2 E) 8. a “a” B) V es I. Según la ley de Boyle. “b” es B 6 32 8 z inversamente proporcional al valor de “a”.10 proporcional al número de días que ha faltado ha D) S/. 18 000 03. ______________ Prof: José Enrique Malpartida R. 45 000. Calcula B.18 trabajar. ¿A qué presión está sometido un 09.P. (A: constante).P. Si una cada ubicada a 75km. es simple.P. a.P. Una empresa reparte una gratificación de 7 800 soles A) 81 B) 216 C) 162 D) 144 E) 135 en diciembre a cinco de sus empleados en forma D. . manera que sean D. P. María reparte 112 caramelos entre sus sobrinos en respectivamente. Además: CLASES DE REPARTO El reparto proporcional. a: . ¿Cuánto recibe su sobrino más inteligente? A) $80 B) $75 C) $60 D) $30 E) $90 06..P. Hlallar las partes. ya sea en forma directa o inversamente proporcional. Dividir 1 960 en partes que sea proporcionales a: Indicar la parte menor. Ricardo reparte una propina de $165 entre sus 3 parte. 16 A) 2 B) 8 C) 3 D) 12 E) 9 y 20. Indicar la mayor parte. º B = mk º C = pk Directo Simple Inverso REPARTO INVERSO Reparto proporcional Si: A I. B º A D. 5. A) 45 B) 100 C) 60 D) 90 E) 30 . los cuales son 21. 9 y 11.P. parte? A) 160 B) 120 C) 80 D) 100 E) 75 A) 350 B) 280 C) 450 D) 420 E) 360 Prof: José Enrique Malpartida R. Del enunciado: Por propiedad ACTIVIDAD 01. P. 30 años 07. 10 y 20 menos tiempo de servicio? años. a . 05. m y p. directa o inverso.P. P.P.P.P.P. n. Repartir 400 en partes que sean D. como se expone en el siguiente. El reparto simple puede ser a su vez. si el reparto se realiza proporcionalmente un grupo de índice y es compuesto. y 08. (1) A I. B y C de tal A I. P. 27. Indicar la menor parte. Repartir 762 en partes I. 8 º A D. cuadro. Compuesto Ejemplo Si: A I. es una de las aplicaciones de las magnitudes proporcionales. 4 º A I. Repartir 560 en cuatro proporcionales a 3. Resolución: S = A + B + C . y consiste en repartir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados índices del repartir. si es º A = nk a 2 o más grupos de índices. a sus años de servicio.. P. ¿Cuánto recibe el menor de sus sobrinos? A) 2 100 B) 1 400 C) 1 440 D) 2 000 E) 350 A) 60 B) 32 C) 64 D) 72 E) 56 04.. P. Indicar la diferencia entre la mayor y menor . sobrinos D. a sus edades las cuales son 5. REPARTO DIRECTO Repartir una cantidad “S” en tres partes A. ¿Cuánto le toca al empleado con forma I. 3 y 4. 03. Tema 17 REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE CONCEPTO: Reemplazando de (I): Reparto proporcional. a 2. a sus notas las cuales han sido 08. Repartir 702 en 3 partes que sean I. Indicar la suma de las cifras de la mayor 02. º A D. 100 000 PARA TU CUADERNO 01. el menor recibe la segunda como 5 es a 4 y la primera sea a la tercera mitad del mayor y el tercero S/. E l profes or de aritm é tic a dec idió prem iar a s us 3 inversam en te proporcional a los números 6. Dividir 1 953 en partes I. 400.A.09. 5 18 y 5 20.P. 80 000 A) 41 B) 30 C) 70 D) 56 E) N. prim era s ea a la segunda c om o 4 es a 9 y la Dar com o respuesta la m ayor de dicha parte. a 200. ¿Cuánto recibe el quinto? como 7 es a 3.P. E fe c tu a r el r e p a r t o d e 9 3 00 0 en fo r m a 06. D) S/. Si al m enor le corresponde $4 toca al últim o. 21 y 24 años. R epartir 39 en tres partes que sean D .P. . S e r e p a r t e u n a h e r e n c i a “ N ” e n tr e c u a t r o hubiese hecho inmediatamente. Hallar la parte m ayor. a las edades de sus hijos de 24 y 16 años. Al repartir 1 000 en tres partes I. En un caserío de la sierra un hacendado va a morir y 10 8. a sus edades que son: 8 0 0 y 1 300 res pec tivam ente. y D) 12 100 E) 11 000 si nace mujer ella recibirá los 3/5 de lo que recibe su hija pero ella dio a luz mellizos (un varón y una mujercita) ¿Cuánto la corresponde a la madre? 11. se hace luego de dos años. U n pa dr e de ja a s us hijo s un a he re nc ia a proporcionalm ente a los números 200. 6 4. 300. Indicar cu ánto le 18. s egunda se a a la terc era c om o 6 es a 5. a 18 3. repa rto de su herencia en form a D. Las edades de 7 hermanos son números consecutivos.P. 0. El reparto A ) 15 B ) 12 C ) 14 D) 6 E ) N .72 000 C) S/. el s egundo 15 y el tercero 14. 09.P. una de las partes es: A) 840 B) 630 C) 700 D) 1 000 E) 910 A) 144 B) 288 C) 576 D) 324 E) 162 15. Dividir el número 15 540 en 3 partes que sean I. segunda como 2 es a 3 y que ésta sea a la tercera como 5 es a 7.P. U n padre de fam ilia de jó o rd en ad o ha c e r e l partes . ¿C uánto le corres ponde al m ayor? A) $4 600 B) $4 500 C) $3 600 A) 36 000 B) 18 000 C) 67 500 D) $3 150 E) $2 400 D) 58 500 E) 81 000 08. a 6 y 7. a 14. A) 500 B) 600 C) 750 D) 550 E) 650 04. Calcular el herederos que sean D. si la sum a de las dos m ayo re s partes es 200.5. ____________ 2/15. R e p ar tir 1 35 0 00 d óla re s en tr e 5 p er s ona s 07. tal que la primera sea a la intermedia. 600. 800 y 1200.P. la 2/ y 3/ sean D. a 3 10 . Repartir 1 380 en 3 partes. Se des ea dividir 9 8 4 e n tres partes . Divide 176 en tres de modo que la primera sea a la proporcionalmente a sus edades. A) 9 000 B) 7 000 C) 10 000 A) 3 000 B) 3 400 C) 2 800 D) 8 000 E) 27 000 D) 3 500 E) 4 000 02. A) $5 500 B) $5 000 C) $4 500 D) $4 000 E) $6 000 A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Prof: José Enrique Malpartida R. tales que la sean D.A . recibiendo entonces uno de ellos $50 m ás qu e s i el reparto s e 05.96 000 E) S/. 80 000. ¿Cuál es la segunda A) S/. ¿Cuál es la cantidad menor? A) 1 875 B) 800 C) 75 D) 9 E) 3 A) 360 B) 250 C) 450 D) 350 E) 300 10. 3 11 y 3 12 . Indicar la parte mayor: deja a su esposa una herencia de S/. 24 2. 10 9. 200. Hallar la diferencia en tre las dos mayores 10. 9 y m ejores alum nos regalándoles $9 200 en form a 15. repartirse en form a I. Dar la parte 13. m onto de la herencia. a 5 16. “Si nace A) 14 400 B) 14 000 C) 12 500 varón ella recibirá los 5/7 de los que recibe su hijo. indica cuánto le tocó al segundo. H allar la diferenc ia de las m enores partes .2 y Rpta.P. El prim ero resultantes resolvió 17 problem as. D ar c om o res pues ta la d iferenc ia que s e d ir ec t am e nte p ro porc ional al nú m e r o de obtenga entre la m ayor y menor de las partes problem as que resuelve la guía. 10 10. Calc ula A) 420 B) 450 C) 480 D) 510 E) 540 la diferencia entre la m ayor y la m enor parte.2 440 la cual está embarazada y le condiciona lo siguiente. R e p ar tir 1 250 proporc ionalm ente a: =. Si se reparte una suma de soles 12. a 4 y 5. 64 000 B) S/. Dividir 1 1 16 en tres partes tales que la 1/ y 3/ 03.P. a sus sueldos e I.530 y su vez I. ______________ La mayor parte es: 03. Repartir 2 120 en 3 partes D. B A D. Resolución: G D. P. C º A D. Para ello se debe tener en cuenta 2 propiedades: G A: 1/ Si: A D.P al número de faltas. A) 160 B) 240 C) 180 D) 150 E) 200 Prof: José Enrique Malpartida R. A 4 10 garaje costó S/. Hallar la mayor de las partes.P.4 200 entre Finalmente: tres empleados en partes D.550 A) 300 B) 320 C) 450 D) 480 E) 540 06. 04.P.510 B) S/.A. Indicar la diferencia entre la mayor y la Autos Tiempo Si el alquiler del menor de las partes. D) S/. Luego: K = Ejemplo: Un gerente decide repartir una gratificación de S/. servicio acumulada 02. B 12 90% 30 horas 3 y 5.P. 10 y 15 y a la vez 05. G I. 5 y 8 e inversamente proporcional a 4. Esto se debe a que sus faltas (9) son mucha causando una disminución C 5 400 9 en la gratificación.380 ¿Cuánto A) 1485 B) 1230 C) 1110 D) 1130 E) N. BCD 4 200 G B: A D. a los números 4. a 4.P. . Se llama así.520 C) S/. a 3. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Además: A = 8K = 16 000 soles B = 7K = 14 000 soles C = 6K = 12 000 soles Sueldos # de faltan Observación: A 3 200 4 Se debe notar que el tercer empleado gana más (S/. según el cuadro. B y C alquilan un garaje para guardar sus autos durante cierta cantidad de horas. Repartir 9 640 en forma directamente proporcional a A 15 80% 40 horas los números 3. 20 y 25. B y C de I.P. D G C: 2/ Si: A I. Dar la parte menor. acuerdo al cuadro siguiente ¿Cuál es la mayor parte? Años de Rendimiento Tardanza A) 800 B) 600 C) 900 D) 750 E) N. Dividir el número 3213 en partes D.P.P.P.A. Repartir 1 320 en forma D. 5 y 2. B º A D. 5 y 10 A) S/. 2 y 6. B 5 6 le corresponde C 8 15 pagar a “C”.5400) B 4 200 6 pero es el que recibe más gratificación. F ACTIVIDAD 01.P. Tema 18 REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO Reparto Compuesto S: Sueldos F: # de faltas. S º G D. C 10 70% 35 horas Rpta.P a 3.4 y 5 e I. porque interviene más de 2 magnitudes proporcionales.P. Se reparte S/.P. P.1290 entre 3 trabajadores A. a 2. P. a 6. A.540 E) S/.P. 16 300 en 3 partes D.4 890 en 3 partes D. 5 y 8 e Hallar la parte m enor inversam ente proporcional a 4. Dar la mayor de las partes como 12.P.P. Dos agricultores A y B tienen terrenos de 12 y 9 el segundo obrero? hectáreas respectivamente. 03. 12 y 14 soles son D.P.2250 07.024. R epartir 9 640 en form a directam ente D. al final A) S/.375. ¿Cuánto pagará 13.300 14. Tres amigos A. Dividir el número 7 700 en partes D. 2 y 6. ¿Cuánto le toca al A) S/. 5 y 6 y D. Repartir 95 en 3 partes A. Repartir el núm ero 8 160 D. 4. 15 y 16 e I. 6 y 9. ¿Cuál es la llevando 8. Tres obreros deben repartirse $423 890 por haber respuesta.23 700 dicha persona le regala 21 monedas de oro ¿Cuántas D) S/. D. C alc ular la s um a de las partes m enores . B y C se van de paseo al desierto respectivamente. D ) S/. 2/3 y 5/6 s e obtiene que la m ayor parte es : 04.P. B y C disponen de10. que laborarán en A) $60 240 B) $ 137 240 C) $209 105 conjunto. B. A 10. B y C de acuerdo al cuadro siguiente.24 900 E) S/. a 5. núm eros 2. 7. a 5. a 4.27 300 B) S/. a 4. 39 y 85 respectivamente. Repartir S/.400 A) 30 B) 35 C) 36 D) 45 E) 42 E) S/.P a 4. SI el trabajo de un televisor es equivalente al de 5 radios ¿Cuánto recibió 09. B y C S/. a 3.2000 C) S/. 6 e I. corresponde al menor A) 210 000 B) 14 000 C) 126 000 A) 3A B) 4A C) 10A D) 8A E) 2A D) 11 000 E) 120 000 Prof: José Enrique Malpartida R. para sus gastos en un día festivo. . ¿Cuánto le correspondió a C? en soles.24. 12 y 14 cada uno de los agricultores? IP. Tiempo de Núm ero de faltas A) 200 B) 120 C) 180 D) 210 E) 250 servicio (año) acumuladas A 15 5 09.1 200 y S/. 8 y 7 e IP. 5.P.P. a 12. Repartir 120 en 3 partes A. Sabedor el padre de la acción de sus D) 31 800 E) 32 400 hijos. Tres hermanos A.P.500 primero?. a 0.2200 B) S/. Hallar “S”. A) S/. a 9.A . 11.76 700 en 3 partes D.900 y S/. Un padre reparte 60 en partes que sean DP a que hicieron. ensamblado televisores y radios.12 y 0. Indicar la m enor cantidad repartida. cu ánto le A . a 0.200 D) S/. A) 50 B) 40 C) 20 D) 18 E) 16 Rpta: _____________ 02. 0. 11 y 9 litros de agua. 1. B y C que 10.800 y S/. 18 y 21 I. a 15.5.07. a 12.1 100 y S/. 3. pero se encuentran diferencia entre las 2 mayores partes? con una persona en dicho desierto que no tiene agua. Al dividir 480 en forma proporcional a 1/2. B y C tal que sean: 06. 5. a 18. 072. 100 y 1/3. el segundo 5 televisores y 12 A) 6 930 B) 6500 C) 2516 D) 6660 E) 6660 radios y el tercero 6 televisores. 27 y 42 proporcional a los números 3. Se reparte $1 800 entre 3 trabajadores A . Acuerdan A. a 2.1 000 y S/.600 B) S/. 6 y 10 Indicar la parte m ayor. 6 y 10 ¿Cuánto le toca al primero? A) 28 B) 30 C) 20 D) 24 E) 25 A) 20 B) 24 C) 18 D) 2 E) 25 PARA TU CUADERNO 01. el primero 2 televisores y 20 radios. y repartir el total en partes iguales entre los cuatro y A) 29 300 B) 36 000 C) 31 200 así lo hacen. 8 e invers amente proporcional si la diferencia de la parte m ayor con la m enor es a los nú m e r o s 1.P. R epartir 596 000 en form a pr op or c io na l a lo s 10. Unacantidadsereparteenformaproporcionala B 12 3 la m enor de las partes res u ltó 14. Si el peón cobró por su trabajo 1400 soles y todos trabajaron igualmente. B y C reunir sus fondos “C” como 6 es a 1. Al repartir S/. a 142.45 para que se los repartan proporcionalmente a los desprendimientos generosos 15. 3 y 5. C. a 15. Repartiremos la cantidad “S” en 3 partes A. C alc ular.A A) 7500 B) 4800 C ) 9600 D ) 7200 E) 8400 08. A) 80 B) 60 C ) 90 D ) 100 E) N . Indicar la parte m ayor. Para concluir más rápido el trabajo contratan D) $147 140 E) $161 690 a un peón C. C) S/.2300 E ) N . Repartir S/.P. 6. 15 y 16 y a la vez I.P. Además la parte que le toca a “A” Otro hermano de estos D. ¿c uál es la sum a de las cifras de la cantidad repartida? C 8 4 ¿ C uánto le c orres ponde a C ? A) 3 B) 12 C ) 15 D) 9 E) 7 A) 60 B) 40 C) 20 D) 25 E) 75 05. e IP. P. respectivamente. a 4. entrega A.P. 13 y 17 e I.P. a 9. DP. 6 y 10. Se reparte cierta cantidad en form a I. P. se había gastado el dinero más 1 800 es a la parte que le toca a “B” más la de con anterioridad.25 700 monedas le corresponden a C? A) 8 B) 12 C) 10 D) 6 E) 9 08. 702 y 212 e I. acordando compartir el agua en partes iguales.P.13 000 C) S/. y T 3 años. Problema General Luego: Tres socios A. y G 1 = C 1T 1K C 3 soles respectivamente durante T 1. C forman una empresa aportando C 1. $5 800. 1 200 y el segundo S/.A. total fue de S/. B. Abel. Tema 19 REGLA DE COMPAÑÍA INTRODUCCIÓN Entonces: Una compañía es un conjunto de personas organizadas con D.P. G1 : C1 T1 : C 1T 1 º G 1 = C 1T 1K Para formar la compañía o durante su ejercicio.: _______________ ganancia de S/. sabiendo que la ganancia A) S/. $5 000 y $4 500. 30 000 y 48 000 A) S/. 4 000.1 444 E) N. lo restante durante 6 meses.10 000 durante 3 meses y el tercero. (generalmente anual) la compañía G3 : C3 T3 : C 3T 3 º G 3 = G 3T 3K obtiene una utilidad o beneficios (aunque también puede obtener perdida). El primero aportó S/.16 000. D. Si al liquidar la sociedad hay una ganancia de S/.1 280 B) S/. Carlos y Benito aportando: $12 000. º G DP CT el primero aportó S/. se asoció “B” A) $980 B) $720 C) $1 150 D) $1 080 E) $1 050 que aportó los 3/4 del capital de “A”. . 8 meses y 1 A) S/. Si los capitales impuestos fueron de 18 000. C 2. Las personas que la conforman se denominan socios de la compañía. 16 y 12 meses respectivamente. enseres) o servicios.4 000 C) S/. Si 6 meses más tarde liquidaron la empresa y tuvieron que afrontar 04. bajo una razón social.30 000 para una pérdida de S/. S/.300 ¿Cuánto le corresponde al que estuvo más tiempo en el negocio? 02.1 460 C) $1 536 años 8 meses. ¿Cuánto le corresponde al que puso mayor capital? 05. Resolución ACTIVIDAD 01.3 500 B) S/. Cada cierto periodo comercial. los socios aportan capitales. tocándole al tercero $1 040 menos que al primero 03. D. que puede ser en dinero o bienes no G G2 : C2 T2 : C 2T 2 º G 2 = G 2T 2K dinerarios (maquinarias. Si al final se obtuvo una ganancia de D) S/. para lo cual invirtió S/. 2 000. Tres socios reunieron un capital de S/. Los capitales fueron de S/. 400 E) S/. Si al final G 2 = G 2T 2K se obtuvo una ganancia “G” ¿Cuánto le corresponde a cada G 3 = G 3T 3K uno? Resolución: Ejemplo: G DP T Dos amigos Juan y Alberto se asocian para forma un negocio.14 200. 650 B) S/. muebles. 1440. T 2. Tres amigos se reunieron para formar una empresa.P fines lucrativos. el segundo S/.P. Al formar una empresa se aportaron los siguientes A) $1 600 B) $1 800 C) $2 000 capitales: $6 500. 74 400. Si al A) $6 400 B) $7 260 C) $7 450 finalizar el negocio hubo una ganancia de $3 560 D) $8 320 E) $9 000 ¿Cuánto le corresponde al que colocó el menor capital? 07.2 700 Prof: José Enrique Malpartida R. ¿Cuánto le toco a Abel? 06. Se han asociado tres personas aportando la primera ¿Cuál fue la ganancia de la empresa? $4 000 durante 8 meses.8 700 ¿Cuánto de la pérdida le hacer un negocio. D) S/. $20 000 y $80 000 respectivamente durante 1 año. Si al cabo de los primeros 6 meses obtuvieron una Rpta. 1500 y han G DP C permanecido en dicho negocio 8 meses y 6 meses respectivamente. Un negocio dio una utilidad de 3 200 soles. se repartieron una cierta ganancia. proporcionalmente a los capitales aportados y los tiempos que han permanecido estos capitales en la compañía.8 000 durante corresponde al socio “B”? 5 meses.600 C) S/. la segunda $ 6000 durante 5 meses y la tercera $3 000 durante 9 meses. Calcula el beneficio de cada socio. Si luego de un D) $2 400 E) $1 500 periodo de un año. Calcule la diferencia de ganancias entre ellos.500 soles durante 8. Después de 4 meses que “A” había fundado una empresa. Lo cual es repartido entre los socios de la Donde K = compañía. 3600 y S/. Dos amigos pusieron un negocio aportando dos 4/5 del industrial Al cabo de 15 meses de iniciado el capitales que están en la proporción de 4 a 7. Si al cadbo de tres meses suministros de cómputo. Determinar la mayor de las pérdidas. Si los capitales depositados por cada socio dejó una utilidad de $9 840 ¿Cuánto le corresponde al fueron $4 000. al cabo de los cuales la utilidad fue de $5 760. Determinar cuánto ha ganado el socio “A” ganancia de $3 500.A. tres meses un capital de $14 432. finalizar el primer año hubo una utilidad de $2 850. a los cinco meses D) $2 640 E) $3 620 admitió a un socio que aportó los 3/4 del industrial y 4 meses después. A) $1 200 B) $1 800 C) $2 000 D) $1 500 E) $2 400 15. Hallar la diferencia entre los después admite un socio que invierte $6 000. ¿Cuánto le corresponde al fundador? A) $4 432 B) $3 772 C) $3 727 D) $3 642 E) N. Si la negocio se cerró por quiebra siendo la pérdida de ganancia de este negocio fue de $550. ¿Cuánto le $10 920. Un industrial empezó un negocio. Dos amigos se asociaron y formaron un negocio aportando cada uno $4 000 y $2 500 respectivamente. . Al capitales que aportaron. D) S/. Una persona inició un negocio de venta de telas en Si entre ambos socios contribuyeron al negocio con Gamarra con una inversión de $5 000. $3 000 y $7 500 respectivamente y el tercer socio? negocio duró 2 años. Mario y Carlos ponen un negocio de venta de $8 500 respectivamente. Al finalizar el primer años el negocio socio. $6 000 y 11. ¿Cuánto le corresponde a Mario? sabiendo que la compañía duró 1 años y se obtuvo una ganancia de $18 300 A) $1 000 B) $1 200 C) $1 500 D) $2 000 E) $2 500 A) $3 600 B) $4 800 C) $5 100 D) $6 300 E) $7 200 Prof: José Enrique Malpartida R.3 000 E) N. 08.A 12. Dos socios han ganado en un negocio $2 340 y $3 996 10. “B” y “C” forman una compañía exportadora de algodón aportando $5 000. corresponde al que ganó más? A) $6 000 B) $4 000 C) $4 500 A) $300 B) $380 C) $200 D) $7 500 E) $4 800 D) $250 E) $350 14. Tres socios “A. entró un tercer socio que aportó los 09. Un industrial empezó un negocio y a los nueve meses luego de tres meses aceptaron a un tercer socio que admitió un socio y 5 meses más tarde entró un tercer aportó $5 000. Si al cabo de un año obtuvieron una se retira. ¿Cuánto le corresponde al socio A) $3 600 B) $2 000 C) $1 500 fundador? D) $4 000 E) $4 800 A) $2 560 B) $2 420 C) $1 440 13. invirtiendo $3 000 y $4 000 “A” retira $1 000 y dos meses más tarde el socio “B” respectivamente. 3. La suma de las imposiciones de 2 socios es S/. Si luego de dos años A) 800 000 B) 500 000 C) 300 000 obtuvieron una ganancia de $150 000 y se disuelve la D) 900 000 E) 600 000 sociedad. sabiendo que las ganancias fueron iguales. Al cabo de un año A la primera excede a la segunda en S/. ¿Cuál es el capital impuesto 05. ¿Qué recibe como ganancia S/. El primero dejó su capital durante 5 . ¿Con qué cantidad total se retiro el cuarto socio? 10. 06.1 600 C) S/. A. Se pide encontrar fueron de 279 720 soles. el segundo los 3/4 de A) $20 000 B) $30 000 C) $40 000 lo que puso el primero. .62 937 A) 4 B) 10 C) 7 D) 3 E) 2 D) S/. B y C emprenden un negocio imponiendo S/.800 y S/. A) 250 soles B) 400 soles C) 900 soles D) 600 soles E) 800 soles Prof: José Enrique Malpartida R. Si hay que repartir una 04. 36 000.1 500 B) S/.2 000 E) S/. el tercero 5/3 de los que puso el segundo y el cuarto lo restante. D) S/. ¿Cuánto le toca al primero pone la quinta parte. ¿Cuánto recibe el primer socio.1 600 C) S/.1800 A) 4 725 B) 2 745 C) 5 472 D) S/. 50 000 y 70 000 soles durante hacer un negocio.2 500 Correspondiendole al fundador $10 800. Cinco comerciantes se asociaron contribuyendo con 07. A. Al cabo de 3 meses ingresa un tercer socio A) $20 000 B) $30 000 C) $40 000 aportando cierto capital 5 meses después se reparten D) $50 000 E) $60 000 las utilidades.1 800. A emprende un negocio con un capital de S/. el segundo 3/4 de lo que cuarto? puso el primero.2 400.5 000.59 940 B) S/. Explotan una industria durante 4 años.5 000 y tres meses más tarde admiten como socio a C que A) 9 000 dólares B) 8 000 C) 600 aporta otros S/. 4.8610? A) S/. Cuatro socios reúnen 2 000 000 de dólares de los cuales el primero pone 400 000. PARA TU CUADERNO 01.2 500 D) 7 425 E) 2 125 02. Cuánto ha ganado C? más tarde aceptó a un tercer socio con un cierto capital. A) S/.49 950 E) S/. el tercero los 5/3 de lo que D) $36 000 E) $10 800 puso el segundo y el cuarto lo restante. B y C emprenden un negocio imponiendo S/.750 respectivamente. 2 y 1 años respectivamente.5 000. Un fabricante empezó un negocio con $3 000. Al cabo de un año A seis meses aceptó un socio con $2 000 y 4 meses recibe como ganancia S/.1 500 B) S/. durante 2 meses. 24 600 S/. 1 800 liquidado y se obtuvo una ganancia total. de $24 600. ¿Cuánto ganó el 2do la suma de las cifras de la diferencia de los capitales comerciante.71 928 C) S/. A por el tercer socio? los 4 meses toma como socio a B que aporta S/. ¿Cuánto ha ganado parte le toca a la primera sobre un beneficio de C? S/. ¿Cuál fue el capital aportado por el tercer socio? 09. Dos socios forman una compañía aportan 2 000 y 5 000 dólares. Si a un año de comenzar A su D) 16 000 E) 10 000 negocio hay una utilidad de 1250.900.34 965 08. Cuatro socios reúnen $200 000 de los cuales el ganancia de 1 500 000 dólares. 42 000. Los beneficios 3 meses y el otro.800 y S/. Tocándole igual cantidad a los que aportan mayor capital.900.1 800.750 respectivamente.2 000 E) S/. aportados. Dos socios reunieron un capital de 10 000 soles para 24 000. 03. A los dos años de iniciado el negocio fue A) S/. A los S/. 6 E) S/.m.m.15 x # hombres # días 9 60 es una regla de 3 directa. Un ciclista corre en 30 segundos 750 metros de una qué hora comenzó? carretera. ¿En cuánto tiempo lo harán 05.15 D) S/. Tema 20 REGLA DE TRES SIMPLE Analiza solo 2 magnitudes. B a1 b1 a1 b1 a2 x a2 x Se multiplica en línea horizontal a 1b 1 = a2x.540 ACTIVIDAD 01. x = Se multiplica en aspa: a1x = a2b1 x= Ejemplos 02. Durante 3 días y 8 horas se consumen los 2/5 del 9 docenas de estos mismos limones? volumen de un tanque de agua. 60 = 10 (60 . 2. 3 docenas de limones cuestan S/. La rapidez de A es igual a 3 veces la rapidez de B y a A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 su vez esta es 4 veces la rapidez de C. B A D. .3 x 9 . Para pintar un cubo de 10cm de lado se gastó 240 01. ¿En cuánto tiempo se A) S/. C) 4:25 a. Si A hace un trabajo en 9 min y 15 seg. Si se desea aumentar la tripulación de lado? en 5 hombres ¿En cuantos días se debe acotar la Resolución: duración del viaje? Resolución: # hombres # días 45 60 + 9 9. para todo el mes de Agosto. Una cuadrilla de obreros hacen una obra en 12 días.10.x x = 9 x 60 x =6 x = S/.8 consumirán los 3/4 de lo que queda del tanque? 04. Una tripulación de 45 hombres tiene víveres para un soles. del mismo día ¿A Prof: José Enrique Malpartida R. puede ser: DIRECTA INVERSA A D.4.m.m.m. E) 5:25 a. En un zoológico hay 8 leones. El trabajo consiste en pintar la superficie del cubo. Superficie Gasto 6. D) 1 750 E) 900 06.P. los cuales tiene ración A) 3d 15h B) 3d 18h C) 3d 20h de carne para 15 días ¿Cuántos leones deben D) 3d 12h E) 3d 21h sacrificarse para que dicha ración alcance para 9 días más 08.2 240 10 (60 .x) caras. A) 1 250 B) 1 000 C) 1 500 D) 5:10 a. ¿Cuántos metros recorrerá en 50 segundos? A) 4a. ¿Cuánto se gastará para pintar un cubo de 15c viaje de 60 días. es una regla de 3 inversa.15.x) 4x = 9 x 240 54 = 60 .12 C) S/. ¿Cuánto costarán 07.m.P.x) 3. si terminó a las 2: 25p. es decir 6 50 (60 . Un cocalero siembra los 4/5 de un terreno hasta las B y C trabajando juntos? 12:20p.10 B) S/. Si estos alimentos deben si se aumentan 3 obreros más la obra terminarían en alcanzar 2 semanas más.m. ¿Cuántos hombres tendrán 4 días menos ¿Cuántos obreros conforman la que abandonar la expedición? cuadrilla? A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 4 A) 62 B) 28 C) 38 D) 60 E) 30 03.10 240 Simplificando: + 9 9- 6. B) 4:20 a. Noventa expedicionistas tienen alimentos reservados 02. ¿Cuántas horas diarias trabajó? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 20. En un cuartel se calculó que los alimentos alcanzaban encuentra a su alcance. Samuel decide hacer un trabajo en 18 días. Cecilia compra doce vasos po S/. Entonces en 10 horas ¿Cuántas más de lo previsto tendrán alimentos? combis habrán salido? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) 60 B) 61 C) 40 D) 50 E) 51 22. En una isla 15 náufragos tienen alimentos para 17 12. En un litro de agua de mar la concentración de sal es 5%.240 litros de agua de mar para que la concentración sea D) S/. Un barco pesquero compuesto por 18 tripulantes 13. Para cuántos días menos de lo previsto le A) $387 B) 345 C) 129 D) 378 E) 349 alcanzarán los alimentos si todos comen por igual. A) 480 B) 800 C) 600 D) 960 E) 1440 para obtener 100 soles de ganancia? A) 350 B) 400 C) 450 D) 510 E) 600 19. si se observa que el diámetro de la familiar es el triple que el diámetro de la pizza 24. cuánto costará otro cubo de la misma madera cuya arista es el doble.18 C) S/. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3m.200 del 2. Un “superpaneton” que tiene la forma de un A) 144 B) 120 C) 117 D) 125 E)143 paralelepípedo pesa 8Kg.5 la media docena. 9 B) S/. Por pulir una plataforma metálica cuadrada de 6 pies tienen alimento para 40 días.5. Doce obreros hacen una obra en 29 días.40. ¿Cuántos granos de maíz se podrán guardar en un recipiente esférico de 6dm de diámetro? 09. Si 4 hombres y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 días personal? ¿En cuántos días realizaran el mismo trabajo 5 hombres y 6 mujeres sabiendo que el trabajo que A) S/. ¿Para cuantos días en forma periódica. 15.27 realiza una mujer es 3/5 del trabajo hecho por un D) S/. pero al término de 20 días se retiraron fuera 6m? 200 soldados por lo que los alimentos duraron para 15 A) 10 días B) 20 C) 15 D) 25 E) 30 días más de lo calculado.12 hombre? A) 40 B) 42 C) 44 D) 46 E) 48 16. Un cubo de madera que cuesta S/. pero tardó días de retraso entregarán la obra? 6 días más por trabajar 2 horas menos cada A) 14 B) 15 C) 16 D) 12 E) 18 día.320 E) S/. ¿Cuántos eran los soldados inicialmente. (con el mismo rendimiento) ¿Cuántos días antes de lo entonces en 20 segundo ¿Cuántos golpes habrá dado previsto terminarán la obre? al mismo ritmo? A) 4días B) 5 C) 6 D) 8 E) 3 A) 60 B) 50 C) 61 D) 41 E) 40 21.25%? 17. al cabo de 12 días de de arista cobre 43 dólares ¿Cuántos cobraré por pulir navegación rescatan a 3 personas procedentes de un otra de 18 pies de arista? naufragio. A) 2Kg B) 500 g C) 250g D) 125g E) 1Kg Prof: José Enrique Malpartida R. Un extraordinario boxeador da 3 golpes por segundo. A) 22min B) 24 C) 1 hora 18. Una pizza personal cuesta S/. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 14.8 y los vende a S/. De un paradero de micros salen 6 combis en una hora días y luego de 5 días mueren 3. . ¿Cuánto tardará si la cuerda para 65 días. ¿Cuánto pesará un Minipanetón cuyas dimensiones son la cuarta parte del anterior.3 ¿Cuánto costará una A) 400 B) 480 C) 550 D) 600 E) 800 pizza familiar. ¿Cuántos litros de agua se le debe agregar a 17 A) S/.80 B) S/. 25. La cantidad de gramos de maíz que se pueden D) 24 min 12 seg E) menos de media hora guardar en un recipiente esférico de 3dm de diámetro es 120. ¿Cuántos vasos debe vender. después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros ¿con cuántos 10. 30 obreros pueden construir un edificio en 4 semanas pero al cabo de 13 días se contratan 20 obreros más 11.160 C) S/.15 E) S/. de largo tarda 5 días en comerse toda la hierba que se 23. pero la tercera A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 11 parte de Pedro. Para ponerle césped a un jardín circular se acuerda D) S/.30 E) S/. ¿Cuánto vale “x”? ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan. Luego de hacer el trato se decide ampliar el jardín de tal forma que tenga un radio doble del 04. pero. Una pared cuadrada de 10m de lados es pintada y se juntos? pagó por dicho trabajo S/. Si juntos pueden combis habrán salido? hacer su trabajo en 4 horas.25 pagar S/. Un barco tiene víveres para 78 tripulantes durante 22 reloj se atrasa 5 minutos en cada hora. . Un ganadero tiene 420 ovejas que puede alimentar por 80 días. solo viajan 66 personas. Un cubo metálico pesa 270 Kg. A) 1 790 B) 1 890 C) 1 650 D) 2 160 E) 1 560 10. Luis es el doble de rápido que Pedro. ¿En cuantos días harían la misma obra los 3 03. Al terminar el día 29 salen 200 hombres. Un reloj se adelanta 8 minutos en cada hora y otra 06. al resto de la guarnición? A) 18 B) 20 C) 25 D) 24 E) 28 A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 Prof: José Enrique Malpartida R. De un paradero de micros salen 6 combis en una hora en forma periódica.90. A) 18 B) 19 C) 24 D) 26 E) 28 A) 78 B) 54 C) 62 D) 48 E) 72 07. si se pone días. ¿Cuánto se pagaría si el lado fuera de 5m? A) 18 B) 21 C) 24 D) 25 E) 15 A) S/. para 70 días. Una guarnición de 2 250 hombres tienen provisiones los alimentos duran 12 días más que lo iban a durar.60 B) S/. ¿Qué tiempo ambos a la hora al cabo de 6 horas en cuantos durarán los víveres? minutos se diferenciarán el tiempo que marca cada reloj. ¿Cuánto tiempo se demorará Luis en hacer un trabajo similar trabajando A) 48 B) 47 C) 40 D) 44 E) 39 solo? 08. ¿Cuánto Kg pesaría anterior.50 C) S/. Después de “x” días vende 70 ovejas y 05. ¿Cuánto más se tendría que pagar? si duplicásemos la arista del cubo? A) 180 B) 90 C) 270 D) 360 E) nada. Entonces en 8 horas ¿Cuántas 02.120. Juan es el doble de rápido que Luis.45 09. PARA TU CUADERNO 01. Si Luis y Pedro hacen una obra en 27 días.