Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regularesÍNDICE DE CONTENIDOS 1 Triángulos. 2 Cuadriláteros. 3 Polígonos regulares. E sta unidad didáctica trata del estudio de los polígonos (del griego polys= mucho y gonia=ángulo). Aun siendo el triángulo la figura más sencilla, ya que es el polígono de menor número de lados, es la más importante, puesto que los polígonos de cualquier número de lados, incluidos los cuadriláteros, se pueden descomponer en triángulos. De esta forma, pueden utilizarse las construcciones de estos en la resolución tanto de cuadriláteros como de polígonos. Cúpula del British Museum. 56 5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares 2 A B Cc C A Cc B C Fig. Se cortan en un mismo punto denominado circuncentro (Cc). se deben conocer los siguientes elementos notables: • Cevianas.Desarrollo de contenidos 1 TRIÁNGULOS A Cevianas 1. Rectas y puntos notables de un triángulo Además de los elementos básicos. Baricentro. B Fig. vértices. • Medianas. Cevianas (Fig. Ortocentro. Circuncentro.1. o en el exterior si es obtusángulo (Fig. Cc B C Fig. 1 A C Mediatrices Son las mediatrices de los lados. • Bisectrices interiores. 3). 2). cuadriláteros y polígonos regulares 57 . Dependiendo del tipo de triángulo. • Bisectrices exteriores. 3 Fig. el circuncentro se encuentra en el interior si el triángulo es acutángulo (Fig. lados y ángulos (estudiados el curso anterior). Polígonos: triángulos. • Alturas. que es el centro de la circunferencia circunscrita. 1) Son los segmentos que unen un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto. Exincentros. Incentro. 4 5. • Mediatrices. en el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo (Fig. 4). mb . centros de las circunferencias tangentes a un lado y a la prolongación de los otros dos. una doble que la otra. dos a dos. y si el triángulo es obtusángulo (Fig. 6). que es el centro de la circunferencia inscrita. 7) Son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. 8 Fig. incentro. 9). El baricentro divide a las medianas en dos partes. wb. Los segmentos de bisectriz desde el vértice hasta el punto de corte con el lado opuesto se designan por wa=AWa. C B Wa Fig. llamado baricentro. del triángulo. Las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo se cortan en el punto I. 10 58 5. 9 H Fig. 5 Ib A Ic Rc R b • Exteriores (Fig. 7 B A B hb ha hc ha c=h b hb ha C A C B H=A b=h c H C hc Fig. de radios Ra. el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto. wb=BWb y wc=CWc. Rb y Rc. 8). Las alturas se dibujan trazando las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto. Se cortan en G. hc ) Altura es la distancia desde un vértice al lado opuesto del triángulo. 6 A AG=2/3 m a . mc ) (Fig. Polígonos: triángulos. Las tres alturas se cortan en un punto (H) denominado ortocentro (Fig. GMc=1/3 m c Ma Fig. Alturas (ha . B Mb mc C ma G Mc mb CG=2/3 m c . Las bisectrices de los ángulos exteriores del triángulo se cortan. GMa=1/3 m a BG=2/3 m b . Ib e Ic. cuadriláteros y polígonos regulares . 5). en los puntos Ia. wc ) (Fig. 10). que es el centro de gravedad. hb . B C Ra Ia Fig.A Tb Wc Tc wb Wb I wa Ta wc Bisectrices • Interiores (wa. Obsérvese que si el triángulo es rectángulo (Fig. GMb=1/3 m b Medianas (ma . A estas circunferencias se les denomina exinscritas. el ortocentro es exterior al triángulo. ETa=b-c • Distancia entre dos puntos de tangencia contiguos de circunferencias exinscritas sobre un lado y su prolongación: ML=GH=a. «La distancia desde un vértice hasta los puntos de tangencia de la circunferencia exinscrita al lado opuesto. F K Ia Fig. B' y C' (Fig. 11). 12 M C p-b B' Segmentos determinados por los puntos de tangencia de las circunferencias inscrita y exinscritas en los lados del triángulo En la figura 13 se han dibujado el triángulo ABC y sus circunferencias inscrita y exinscritas. DTa=QTb=c Ib G A Ic L Tc I Ta D B E C J Tb H . son iguales dos a dos y suman el perímetro del triángulo. 2p. Polígonos: triángulos. Los seis segmentos en que los puntos de tangencia dividen a los lados. 12). Relaciones métricas en los triángulos Relación de los segmentos determinados por los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo Partimos de la circunferencia inscrita al triángulo ABC (Fig. DE=KL=b. CTb=CTa La suma de tres distintos sumarán el semiperímetro p. 11 p-c C C' p pc Ia B c A' A b p Fig. CTb=CTa=p-c Relación de los segmentos determinados por los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas con los lados del triángulo Tengamos ahora en cuenta la circunferencia exinscrita al lado a. con sus respectivos puntos de tangencia.1. Por tanto. cuadriláteros y polígonos regulares 59 . ATc=ATb. se cumplen las siguientes: • Distancia entre los puntos de tangencia de circunferencias exinscritas sobre las prolongaciones de un mismo lado: MK=a+b. p=ATb+CTb+BTa. BTa=BTc=p-b Análogamente: ATc=ATb=p-a. Un análisis similar se puede hacer con los otros dos lados y sus circunferencias exinscritas. AC'=AB'=p. cuyos puntos de tangencia son A'. como ATb+CTb=b. 5. en la prolongación de los otros dos. donde AC'=c+BC' y AB'=b+CB'. HTb=a-c. FTa=MTc=b. es igual al semiperímetro p» A p-a B p- b Tc Ta I Ib Fig.2. BTc=BTa. p=b+BTa. Tb y Tc. uno de una circunferencia exinscrita en la prolongación de un lado y otro de la inscrita sobre el mismo lado: JTb=KTc=a. cuyos puntos de tangencia son Ta. Como BC'=BA' y CB'=CA' se puede poner AC'+AB'=(BA'+CA')+b+c= a+b+c=2p. Además de las relaciones estudiadas en los puntos anteriores. JH=FE=c o distancia entre dos puntos de tangencia contiguos. 13 . Se puede observar que AB'=AC'. GJ=a+c. DF=b+c • Distancia entre los puntos de tangencia de las circunferencias inscrita y exinscrita sobre un mismo lado: LTc=a-b. B a Wc wc Relación entre las bisectrices y los lados En el triángulo ABC (Fig. los lados y la circunferencia circunscrita La bisectriz de un ángulo de un triángulo corta a la circunferencia circunscrita en el punto medio del arco que abarca el lado opuesto. por tanto. Para su construcción. Polígonos: triángulos. ^ En la figura 15. Wb. se establece: AWc/BWc=AC/MC o AWc/BWc=b/a M a ^ C/2 ^ C/2 A b C «La bisectriz de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados concurrentes con ella» Fig. La mediatriz del lado a también pasa por M. el centro de inversión es el punto M y la potencia de inversión es MB=MC. los segmentos BM y CWc son paralelos.Wa. como a. C Wa B x M Fig. la bisectriz del ángulo A corta al arco BC en su punto medio M. se obtienen los segmentos MWa y MA. También se han dibujado la bisectriz del ángulo C (wc) y el segmento BM. . El triángulo BCM es isósceles. 16 60 5. MWa • MA=MC • MC Esta propiedad se emplea para la construcción de algunos casos de ^ triángulos.A. dibujar dos segmentos perpendiculares de valores x y wa con un origen común J. 16). 14) se ha llevado sobre la prolongación del lado b un segmento CM=a. Si se establece una inversión en la que el lado BC y la circunferencia circunscrita sean figuras inversas. Dibujando la circunferencia de diámetro wa y uniendo F con el centro O. sus ^ ángulos iguales valen C/2. cuadriláteros y polígonos regulares wa M W A=M a a +AW Si se conocen la bisectriz y la potencia. Los puntos A y Wa son inversos. 14 A wa Cc Relación entre los segmentos de bisectrices (Wa.Wc). Aplicando el teorema de Tales. se pueden hallar los segmentos MWa y MA por aplicación de potencia del punto F respecto de la circunferencia de diámetro Wa (Fig. 15 O a MW F x J Fig. 18). y su radio es la mitad del de la circunferencia circunscrita. las bisectrices del órtico coinciden sobre las alturas del triángulo ABC. El segmento de Euler tiene por extremos el ortocentro H y el circuncentro Cc. cuadriláteros y polígonos regulares 61 . si un triángulo es complementario de otro. el ortocentro del triángulo coincide con el incentro de su órtico.4. Mb y Mc de los lados de aquel (Fig. Triángulos órtico. 17). Mb y Mc) y a los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el otocentro (Fa.1. La circunferencia de Euler tiene por centro el punto medio (O) del segmento de Euler.3. por contener a los pies de las alturas (Ha. Los lados del complementario son paralelos a los del primero. 19 5. Fb y Fc). es aquel que tiene por vértices los pies de las alturas (Ha. 19) se han dibujado su circuncentro (Cc). A MaMb=c/2 MaMc=b/2 MbMc=a/2 Mb Mc C Ma Fig. La circunferencia de Euler también es conocida con el nombre de circunferencia de los nueve puntos. A GCc=1/3HCc GH=2/3HCc Hc Mb Fa Mc G Hb H Cc O Fc Fb C Ha Ma B Fig. Polígonos: triángulos. Si el triángulo es acutángulo. al que resul-ta de unir los puntos medios Ma. 17 B Se denomina triángulo complementario de otro ABC dado. este es suplementario del primero. En este caso. el triángulo ABC es suplementario del MaMbMc. En la figura 18. a los puntos medios de los lados (Ma. Se denomina triángulo suplementario de otro dado al que se obtiene dibujando paralelas a los lados por los vértices opuestos respectivos. complementario y suplementario El triángulo órtico de otro ABC dado. y de valor la mitad. Contiene siempre al baricentro G. 18 B 1. su baricentro (G) y su ortocentro (H). Segmento y circunferencia de Euler En el triángulo ABC (Fig. Hb y Hc) del primero (Fig. de tal forma que GCc=1/3 HCc. Hb A Hc H C Ha Fig. Hb y Hc). Por tanto. Arco capaz Aº sobre a ^ A 0 a R Equivalencias de datos Algunas parejas de datos son equivalentes para construir un triángulo.A 1. 23). 23 Fig. hc (Fig. se puede dibujar un triángulo AB'C' semejante al pedido. cuadriláteros y polígonos regulares .5. a-b = a+b. B ^ Dibujando el ángulo A y dos lados proporcionales a b y c. 20). son dos los datos implícitos. b = a+b. 21). así como sus propiedades y saber aplicarlas. B (Fig. es conveniente hacer una figura de análisis en la que se suponga el problema resuelto. Fig. se obtiene un triánguFig. identificar los datos y deducir el procedimiento geométrico que lleva a la solución. hc = B. b:c = A. hc hc a C Fig. R (Fig. 21 A ^ A ^ B C' B' ^ B C lo AB'C' semejante al buscado. Algunos ejemplos son los siguientes: • a. ^ = a. ^ ^ • a. R = A. Polígonos: triángulos. 24). es necesario conocerlos. 20 A ^ B B Los casos que se estudian en este curso incluyen elementos notables. B = a. ^ • B = b:c (Fig. A ^ ^ ^ • A. Si el triángulo tiene una condición particular (isósceles o rectángulo) un dato es implícito. En triángulos rectángulos: • a = 2ma = 2R (Fig. En todos los casos se pueden deducir a y b. Como en todo ejercicio de geometría. ^ • a. 22 B A B' ^ B B n C a 0 ma R A ^ C m C' C Si la relación es b:c=m:n. a la hora de resolver un triángulo. 22). y si tiene dos condiciones particulares (equilátero o rectángulo isósceles). 24 62 5. Construcción de triángulos Para construir un triángulo se necesitan tres datos. con lo cual se conocen los ángulos agudos. a:b. por tanto. C B Fig. se obtiene B. c. contiene al lado AC. ^ • Datos: a. La recta tangente desde C a esa exinscrita. A Ib A p 2/3 m a ha G 2/3 mb O ^ B a p m a C Ma B C B Fig. cuadriláteros y polígonos regulares 63 . 25).Construcción de triángulos escalenos • Datos: a. Dibujarla. ha (Fig. La recta que une C con Hb pasa por A. Polígonos: triángulos. Dibujar el lado a=BC y el arco capaz de 90º sobre BC. B. pie de la altura hb. 28 ^ • Datos: a. CBPA es un romboide de lados a y c. • Datos: a. Por simetría. 28) Dibujar el lado a=BC. 30 5. ^ Dibujar el lado a=BC y el ángulo B. Con centro en A y radio ma se dibuja un arco que pasa por Ma. hb (Fig. 30). se halla A. Llevando el semiperímetro p ^ desde B sobre los lados del ángulo B se obtienen los puntos de tangencia sobre la circunferencia exinscrita del lado b. ^ Dibujar el lado a=BC y el ángulo B. B. mc (Fig. hb (Fig. 26 ^ B hb a C Fig. mb. 25 Fig. A A Mc mc Hb ^ B a B C B Fig. Con centro en G y radio 2/3 mb. mc (Fig. ^ • Datos: a. 29 • Datos: ma. 2m c B A P c hb a c Mc a A C C B Fig. Con radio hb y centro B se dibuja un arco que corta al arco capaz en Hb. 27 Fig. c. Con centro A y radio 2ma/3 se halla el baricentro G. 2p (Fig. Por paralelas se halla A. B. 26). 29). Llevar mc desde C para obtener Mc. Con centro en C y radio 2 mc. y con centro en B y radio c. se dibujan dos arcos que se cortan en P. 27) Dibujar la altura ha. mb. ma. El arco de centro el baricentro G y radio 2ma/3. R y S. Q y T en los tres segmentos o en sus prolongaciones. Como el área del triángulo es igual a la mitad del producto del lado por su altura. C y Mc. 34 B 64 5. PR=hb y PS=hc) y la circunferencia que pasa por sus extremos M. La distancia desde el baricentro G a Mc es mc/3. mc (Fig. Dibujar un triángulo A'B'C' de lados PN. En la figura de análisis se puede observar que haciendo una traslación paralela de dos medianas. de longitudes iguales a las alturas dadas (PM=ha. mb y mc que tiene por vértices P. A Arco capaz Aº • Datos: ma. y. hc (Fig. Dibujado el triángulo de lados ma. se obtiene otro vértice (A en este caso). 33 ^ • Datos: A. mb. Dibujar la mediana mb=BMb y sobre ella el arco capaz de Aº. El vértice B se obtiene por simetría de A respecto de Mc. Dibujando tres segmentos con el mismo origen P. 34). 31 Fig. y es constante para cada lado y su correspondiente altura (a•ha=b•hb=c•hc). Hay dos posibles soluciones en un caso general. hb.^ • Datos: A. Por semejanza se obtiene el pedido. 32). se obtiene un triángulo de lados iguales a las tres medianas. A mb P ma 2/3 P Mb ma A O Mc mb G A mb ma mc ma Ma C Mb G B B 2/3 2/3 mb Figura de análisis ma Mb G Mc mc m 2/3 c C Dos soluciones Ma C B Fig. N M R Q P 1/3 m c Mc O O' A B m 2 /3 b S T Mb G A' PT=A'B' PQ=C'A' PN=C'B' ha' PT ha PQ C C=C' Fig. 33). mc (Fig. cuadriláteros y polígonos regulares . con centro de homotecia B y razón 1/2. Deshaciendo la traslación paralela de las medianas y llevando 2/3 de una. La circunferencia homotética de la del arco capaz. Polígonos: triángulos. 31). 32 PN B' Fig. PQ y PT son proporcionales a los lados. Dibujar la mediana mb=BMb. corta al arco capaz en A. se puede obtener el baricentro G del buscado. PQ y PT. A Arco capaz Aº • Datos: ha. es el lugar geométrico de los puntos medios del lado AB. Por potencia del punto P respecto de la circunferencia se puede escribir PM•PN = PQ•PR = PS•PT. sobre ella el arco capaz de Aº. mb (Fig. se obtienen los puntos N. los segmentos PN. 37). Dibujar la circunferencia de radio hb y centro C. ma. obteniendo A. Dibujar dos rectas paralelas horizontales separadas ha. La mediatriz de AMa pasa por C (b=CMa=a/2). Con centro en A y radio ma se dibuja un arco que pasa por Ma. obteniendo A. ha B ma Ia Ma C B Ra ma A Tb p I a C B' A' Fig. la diagonal CP es 2mc y la distancia entre los lados AC y BP es hb. 38). A Arco capaz 180º-Aº • Datos: a. cuadriláteros y polígonos regulares 65 . Con centro en A y radio ma se dibuja un arco que pasa por Ma (punto medio del lado a). P A A ha Mc 2mc h b b hb ha ma B C B Ma C Fig. 35 Fig. ha. El arco capaz de 180º-Aº pasa por C. 37 • Datos: mc. punto de tangencia de la circunferencia inscrita sobre el lado b. centro de la circunferencia exinscrita de radio Ra que se puede dibujar. El romboide ACBP tiene los lados AP y BC separados ha. ha (Fig. Si se dibuja otra vez ma a continuación de AMa. se halla B. Ra (Fig. • Datos: ha. Dibujar una recta horizontal y sobre una perpendicular a ella llevar ha. La tangente a ella desde P contiene al lado BP del rombo. Dibujar una recta horizontal y sobre una perpendicular a ella llevar ha. Por simetría. ^ cuyo ángulo en C vale 180º-Aº. contiene al lado a del triángulo. Dibujando un arco de centro C y radio 2mc.^ • Datos: A. Dibujar dos semirrectas que formen Aº. se obtiene A'. Situar el vértice C en un punto arbitrario de una de ellas. se tiene P. La recta tangente común a las circunferencias inscrita y exinscrita dibujadas. centro de la circunferencia inscrita e Ia. así obtenemos B. A. Llevando desde B' la distancia a se obtiene Tb. 38 5. 36). 36 Fig. En la bisectriz de ese ángulo estarán I. hb (Fig. Dibujar la inscrita de centro I. 35). El lado CA se obtiene por paralelismo. Polígonos: triángulos. ABA'C es un romboide. a=2b (Fig. ma. C • Datos: mb. C es el simétrico de A respecto de Mb. Hb. Con centro en el punto B. haciendo centro en él y con radio hc se dibuja un arco que corta a la paralela media en Hc. se tiene el vértice A. La mediatriz de CM pasa por A. contiene al lado AC. Llevando 2/3 mb desde el baricentro sobre esa perpendicular. Dibujar una horizontal y levantar un segmento perpendicular HcC de valor la altura. El arco capaz de 90º sobre mb contiene al pie de la altura. t) separadas hb y su paralela media (u). hc (Fig. 44 M mb G 2mb / 3 Mb C 66 5. vértice de ese ángulo. La perpendicular a hb por Hb contiene al lado AC. 42 • Datos: b. 42). Medir 2/3 de su valor desde B para hallar el baricentro G. B t hb Hc hb / 2 u hc s A B A C Fig. C ^ • Datos: B. Dibujar dos rectas paralelas (s. 41 Fig. hb (Fig. Polígonos: triángulos. Dibujar dos rectas que formen Bº.Construcción de triángulos isósceles a=b‡c ^ ^ ^ A=B‡C C • Datos: hc. 40). La perpendicular a hc por Hc contiene al lado AB. se obtiene M. 44). 40 Fig. paralela a r. Medir p sobre la horizontal desde Hc. Dibujar el segmento mb=BMb. hb (Fig. 41). 2p (Fig. A hb hb Hb / 2mb 3 hc B Hc B A p Fig. La tangente a este. dibujar el arco de radio hb. cuadriláteros y polígonos regulares . Tomar un punto C arbitrario en una de las paralelas. 43 A ^ B • Datos: hc. 39 Fig. hb (Fig. C hc b hb r ^ B B A B Fig. 43). mb (Fig. mb (Fig. Dibujar un triángulo BA'C' semejante al buscado. Uniendo C con Mb se tiene el lado b. ha (Fig. mb (Fig. A Mb R a B A B Ma mb C Fig. La tangente a la inscrita en Mc contiene al lado desigual. Dibujar dos rectas paralelas (s y t) distantes hb y su paralela media (u). B Ha u hb hb / 2 Mc I ha b A C C Fig. Dibujar la hipotenusa y su arco capaz de 90º. de la circunferencia inscrita con la paralela media. y con centro en Ma y radio mb. 45 Fig. 49 s A Construcción de triángulos rectángulos a= hipotenusa b. es el punto medio del lado desigual. Polígonos: triángulos. hb (Fig. La semicircunferencia de diámetro CMa es el lugar geométrico de los puntos medios del lado b. 50 5. t B • Datos: b. cuadriláteros y polígonos regulares 67 . Dibujar su mediana y compararla con la dada. El arco de centro B y radio mb corta en Mb a la semicircunferencia anterior. 50). 48 • Datos: r. 46 Fig. A ^ • Datos: B. Dibujar una circunferencia de centro I y radio r tangente a una de las paralelas exteriores. se dibuja su mediatriz para hallar Ma. se dibujan dos arcos que se cortan en A. La recta McI contiene al vértice C. El punto de interseción Mc. 45). 46).• Datos: a. Llevar la altura ha hasta obtener Ha. 49). 48). La recta CHa pasa por B. Una vez dibujado el lado a=BC. C m b C' mb Mb Ma C a B B ^ B A' A a Fig. Con centro en C y radio el lado a. 47 Fig. Sobre el cateto b se dibuja el arco capaz de 90º. c= catetos C • Datos: a. 54). Las rectas AWc y CX se cortan en B. haciendo centro en él. A C p Ib C b Ta wc Wc R b Tc X A p B B Fig. wc (Fig. se tiene Ta. 53 • Datos: Rb. Dibujar el arco capaz de 90º sobre wc y trazar con centro C un arco de radio b. y con radio mb se dibuja un arco que corta a la paralela media en Mb. cuadriláteros y polígonos regulares . wa (Fig. El arco capaz de 90º sobre BMb pasa por A (dos soluciones). • Datos: c. Dibujar dos rectas perpendiculares que se cortan en A y trazar la circunferencia de radio Rb tangente a ambas. 53). se dibuja la hipotenusa. teniendo Wa. 2p (Fig. que pasa por A y por su simétrico X respecto a wc. Desde el punto Tc. Dibujar dos rectas paralelas separadas ha y su paralela media. Uniendo B con Wa. mb (Fig. C A A Mb ha / 2 wa Wa ha c B B mb C C A Fig. Midiendo p desde B hasta la circunferencia exinscrita. se obtiene B. 52). 51). llevar el semiperímetro p. 51 Fig. Se dibuja la bisectriz wc=CWc. La tangente BTa contiene a la hipotenusa BC. 52 Fig. 54 68 5. Dibujar el lado AB=c y una perpendicular por A.• Datos: ha. Polígonos: triángulos. • Datos: b. Trazar la bisectriz del ángulo de 90º y medir sobre ella wa. Tomar un punto B arbitrario en una de las paralelas. 3º Por paralelas. α (Fig. 2º Dibujar AM=p y por M una recta que forme 45º. 58 B 5. α (Fig. 3º Por paralelismo se obtiene el vértice C. D C I ^ A A Fig. D C α 0 δ=90. 1º El ángulo que forman la diagonal AC y el lado AB es δ=90º-α/2.1. y el ^ ángulo obtuso D (Fig. punto medio de AC. 1º Dibujar el arco capaz de D sobre la diagonal AC. Arco capaz α BC D C α α A B 2AB M Fig. 1º Dibujar dos semirrectas de origen A. se traza el arco de ^ radio BD/2. 57 Arco capaz D • Dibujar un romboide conociendo las dos diagonales AC y BD. 58). Construcción de paralelogramos • Dibujar un rectángulo conociendo su perímetro 2p. la cual corta en C a la que forma δ con AB. 1º Dibujar el arco capaz de α sobre AM=2 AB. 2º Llevando el lado desde A se tienen los vértices B y D. 55 • Dibujar un rombo conociendo su lado l y el ángulo agudo A (Fig. D BD/2 0 A C AC Fig. se obtiene D. 56 B • Dibujar un romboide conociendo sus lados AB y BC. que corta al arco capaz en C.2 CUADRILÁTEROS Como un cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos. M Fig. que formen Aº. 56). Polígonos: triángulos. que corta al arco capaz en D. 3º Por paralelas. 2º Con centro en O. 2º Desde el vértice B. punto medio de AM. y el ángulo que forman sus diagonales. se traza el arco de radio BC. 57). 55). cuadriláteros y polígonos regulares 69 .α /2 A p B 45º 2. las propiedades y construcciones de triángulos se pueden aplicar a la construcción de cuadriláteros. y el ángulo que forman sus diagonales. se obtiene B. se obtienen los cuatro vértices del trapecio. se dibuja un arco de radio la diagonal que corta a la otra recta en C. paralelas a ellos. 4º La circunferencia circunscrita pasa por los otros dos vértices A y D. Fig. A B AC Fig. 1º Dibujar una circunferencia de radio r. B Fig. 62 70 5. se obtiene el vértice B. 3º Medir la base mayor para obtener B. 2º Con centro en un punto cualquiera C de una de ellas. y trazando tangentes a la circunferencia. dos horizontales y otra vertical. cada lado no básico mide p/2. por tanto. 62). 2º Haciendo centro en un punto A arbitrario de una de las rectas. 1º En un cuadrilátero circunscriptible son iguales las sumas de lados opuestos. el lado no básico BC y la altura h (distancia entre bases) (Fig. la diagonal AC y el ángulo α que forman las diagonales (Fig. dibujar el arco de radio BC. 1º Dibujar dos rectas paralelas separadas h. 60 A r D M C p/ 0 • Dibujar un trapecio isósceles circunscriptible dados. 4º La tangente a la circunferencia inscrita desde B contiene al lado oblicuo BC. r (Fig. punto medio de AC. Construcción de trapecios D C I • Dibujar un trapecio rectángulo circunscriptible.2. cuadriláteros y polígonos regulares . se cortan en 0. conociendo su base mayor AB y el radio de la circunferencia inscrita. 60). 2 p/ 2 A r N B Fig.D 0 h α C • Dibujar un romboide conociendo h=distancia entre AB y CD. el trapecio es isósceles. 61). 3º Para hallar el centro de la circunferencia circunscrita. y el radio de la circunferencia inscrita. Polígonos: triángulos. 2º Dibujar tres rectas tangentes a ella. 3º Dibujando dos segmentos de valor p/2 con extremos en ambas paralelas. 2º Dibujar dos paralelas separadas 2r y una circunferencia tangente a ellas. 3º Dibujar por 0. el perímetro 2p. 59 2. r (Fig. 59). 5º Por ser inscriptible. que se cortan en los vértices A y D. 61 D C h R BC 0 A R B • Dibujar un trapecio conociendo el radio R de la circunferencia circunscrita. 1º Dibujar dos rectas paralelas separadas h. hacer centros en B y C con radio R. una recta que forme αº con AC que pase por B y por D. 66 71 . diferencia 2p-AB. 2º A continuación se dibujan dos semirrectas que formen ángulos ^ ^ iguales a C y D. C. ^ ^ 1º En la figura 66 se dibujan los datos MN. 63 • Dibujar un trapezoide dadas las diagonales. C BC M D 0 B AB α A N Fig. A D M D AD 0 α C C B A AB N α Los ángulos que forman estos segmentos entre sí son iguales a los del trapezoide ABCD. N BC+C D+ D AD C M ^ D/ 2 ^ C/2 A Figura de análisis Fig. y. Esta transformación se utiliza para resolver algunos casos de trapezoides. Si se llevan CB y DA en la prolongación de CD. C/2 y D/2. B. 2º Dibujar el triángulo ABC del que se conocen los tres lados. En la figura 65 se hace un análisis del problema. haciendo una doble traslación paralela de la diagonal AC y una traslación paralela de la diagonal BD. los ángulos A. 65 y 66). Construcción de trapezoides En la figura 63. 3º Haciendo una traslación paralela del segmento AN=diagonal BD. el vértice D. Polígonos: triángulos. cuadriláteros y polígonos regulares B Fig.2. 1º Dibujar el paralelogramo ANMC de lados las diagonales y ángulo α. B Fig. se obtiene el paralelogramo BNMD. se tiene esa diagonal en posición. 64 ^ ^ ^ • Dibujar un trapezoide conocidos el lado AB. en el cual los segmentos que unen C con sus vértices son los lados del trapezoide (BC y CD) o iguales a ellos (CM=AD y CN=AB). ^ 3º Dibujar un ángulo A en paralelo a su posición final y llevar JK=AB. con ella. 5º Por último. por paralelas. 4º Haciendo una traslación paralela de JK se tienen los vértices A y B.3. 64). se tiene la suma de los tres lados. se obtienen los vértices C y D. el ángulo α que forman y dos lados contiguos AB y BC (Fig. y el perímetro (Figs. ^ ^ Los ángulos que forman MB y NA con MN son C/2 y D/2 respectivamente. partiendo del trapezoide ABCD. 65 B BC+CD+AD N D C M ^ D/2 ^ D AB ^ C/2 ^ C K ^ A J A 5. AB=AM e iguales a MD. l MD E R= l l (R-l) que es la forma de la proporción áurea. Como MB=BD-MD=AC-AM=d-l: d= l .=R son radios de la circunferencia circunscrita y los lados son AB=BC=CD=. 68 R= l .=l Los triángulos MBC y ABC son semejantes. H E G F d= l l (d-l) I 0 D J «El lado de un decágono regular inscrito en una circunferencia es áureo del radio de esta» (Figs. Los lados son AB=BC=CD=. 68 y 69). 67 B El triángulo AMB es isósceles... se trataron en el libro Dibujo Técnico I. R l = l MD 14 4º 72 C 36º º A B ED Como el triángulo 0EM es isósceles. 69 72 5.. se cumple que 0M=ME iguales a DE.. C 0 M 36 Propiedades especiales de algunos polígonos regulares 36º º «El lado de un pentágono regular es áureo de su diagonal» (Fig. Como MD=0D-MD=R-l: Fig.D 3 POLÍGONOS REGULARES E 72 º Las propiedades de los polígonos regulares.=l (Fig. En la figura 69 se dibuja un detalle del triángulo 0ED de la figura 68.. Se puede escribir: OD = ED MD . l MB forma de la proporción áurea... así como las construcciones (inscritos en la circunferencia. d l = l MB A Fig. Se ha dibujado también el segmento EM=ED. cuadriláteros y polígonos regulares . 36º 72 º 36º Los segmentos AC=BD=.. Los segmentos 0A=0B=. Se puede escribir: AC BC = BC MB . 67).=d son diagonales. Los triángulos 0DE y EDM son semejantes. 68). 36 º 36º 72 º 36º 0 M D Fig. Polígonos: triángulos. dado el lado y estrellados). un triángulo rectángulo isósceles ACD. c) Sea un triángulo obtusángulo. 72). B y C de un triángulo. 72 5. 73 F s 2 Deducir la relación entre los lados de los cuadrados inscrito y circunscrito a una misma circunferencia (Fig. el ángulo BAG. ¿Qué relación hay entre los ortocentros e incentros de unos y otros? C s 3 Estudiar las formas de la circunferencia y segmento de Euler en un triángulo rectángulo y en otro obtusángulo. cuadriláteros y polígonos regulares 73 . b) Dibujar el conjunto sabiendo que el segmento AB=32 mm. el baricentro de ACD y por el punto medio de la apotema del pentágono correspondiente al lado FG. Polígonos: triángulos. b) Sea un triángulo rectángulo.Actividades complementarias s 1 Estudiar las formas del triángulo órtico de un triángulo rectángulo y otro obtusángulo (Figs. y un pentágono regular ADEFG. los ángulos que forman las alturas. 71 B Fig. A' L4' L4 B' A B 0 R D C D' C' Fig. cuando: a) Sea un triángulo acutángulo. Se pide: a) Deducir. en función de los ángulos A. 70 y 71). A C Fig. sin recurrir al dibujo. 70 B C D B A E G A Fig. s 4 En la figura 73 se representan un triángulo equilátero ABC. ^ ^ ^ s 5 Deducir. c) Dibujar la circunferencia que pasa por el ortocentro de ABC.