Tomo IVProblemas sobre Edades Problemas sobre Edades 71 ¿El enigma de la edad de Diofanto? Fue Diofanto quien por primera vez introdujo letras y signos para los cálculos, de allí que a su Algebra se le ha llamado “Algebra sincopada” que antecede al Algebra simbólica actual. Un problema atribuido a Hypalia de Alejandria y colocada en la lápida de su tumba nos señala con precisión la edad que tuvo al morir: "¡Caminante esta tumba contiene a Diofanto! ¡Oh gran maravilla! – Y la tumba dice con arte la medida de su vida - Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo, y en el quinto año después de su boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida". Dime ¿Cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte? Este epitafio plantea la siguiente ecuación, donde x representa la edad que tuvo cuando murió: 1 1 1 1 x x x x+ 4 = x x = 84 6 12 7 2 La solución de esta ecuación nos dice que Diofanto murió a los 84 años de edad. Además, podemos deducir que fue niño hasta los 14 años, le salió la barba a los 21, se casó a los 33 y tuvo un hijo a los 38, el cual murió cuando su padre tenía 80 años. Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 72 Problemas sobre EDADES Objetivos 1. Ejercitar las capacidades para resolver los diferentes tipos de problemas sobre edades. 2. Utilizar, de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de problemas sobre edades que involucren a 2 ó más sujetos. 3. Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los problemas de manera rápida y sencilla. 4. Consolidar lo aprendido en el tema: Planteo de Ecuaciones, mediante la resolución de problemas que constituyen una continuación de dicho tema ya estudiado. Introducción Como podrás apreciar en la lectura final, la leyenda encerraba un problema sobre la vida de Diofanto, en el cual nos pide calcular la edad que tuvo al morir este insigne matemático griego. Así como éste, existen muchos problemas en los cuales la incógnita es la edad de uno o más sujetos. Este tipo de problemas serán objeto de nuestro estudio en el presente capítulo. Como estos ejercicios tienen un texto que debemos interpretar y traducir, cabe plantear la siguiente interrogante: ¿Por qué no se estudiaron este tipo de problemas en el capítulo anterior sobre Planteo de Ecuaciones? Lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden ser resueltos empleando formas particulares y prácticas muy interesantes y efectivas (incluso sin ecuaciones, y es por ello que ameritan ser tratados en un capítulo aparte en el cual se propondrán otras técnicas de planteo y resolución de problemas. Resulta conveniente indicar que el presente capítulo es la continuación del tema: planteo de ecuaciones, por lo cual sería adecuado tener un conocimiento básico del mismo. La importancia del tema aquí desarrollado queda en evidencia por cuanto contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones y consolida las ya estudiadas en el capítulo anterior. En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente 3 elementos: sujetos, tiempos y edades, sobre ellos trataremos a continuación Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 73 NOCIONES PREVIAS SUJETOS Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. Ejemplo: Paola es 5 años menor que Junior, pero 3 años mayor que Kelly. TIEMPOS Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente o futuro) y todo depende de su correcta interpretación. Como hemos mencionado, los tiempos pueden ser: pasado, presente y futuro. Es decir: Tiempos Expresiones Presente • Tengo... • Tienes… En un problema existe un solo • Tenemos... • Hoy la edad… presente. • La suma de nuestras edades es… Se le identifica por las siguientes • Etc. expresiones: Pasado • Hace… • Tenia, tuve… En un problema pueden darse uno o • Teníamos… • Tenias, tuviste… más pasados. • Tuvimos… Se le identifica por las siguientes • La suma de nuestras edades fue… expresiones: • Etc. Futuro • Dentro de… • Tendremos… En un problema pueden darse uno o • Tendrás… más futuros. • La suma de nuestras edades será… Se le identifica por las siguientes • Etc. expresiones: EDAD La edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entre tiempos diferentes. Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 74 Ejemplo: Hoy tengo 26 años, pero dentro de 4 años tendré el doble de la edad que tenía hace 11 años. Tiempo Hace 11 años Hoy Dentro de 4 años Edad 15 26 30 Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemas en dos tipos: CON UN SOLO SUJETO Ejemplo 1 (Cuando interviene la edad de un solo Dentro de 20 años tendré 3 veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tuve hace 3 sujeto) años? Esquema: Resolución: Simi edad actual es "x" años, entonces, dentro Asumiendo la edad actual "x" años: de "a" años y hace "b" años, mi edad se expresará así: Hace 10 Dentro de 20 años años Hoy tengo x – 10 x x + 20 Hace “b” Dentro de “a” Pasado Presente Futuro años años Por condición del problema: x–b x x+a x + 20 = 3(x – 10) Pasado Presente Futuro x + 20 = 3x – 30 (-) (+) ⇒ x = 25 Edad actual: 25 años Conclusiónes: ∴ Hace 3 años tuve 22 años. Cuando en el texto de un problema nos mencionan; “Hace…” o “dentro de…”, se debe tomar como punto de refernecia el tiempo presente; a partir de alli se cuenta el tiempo Otra forma: transcurrido (hace…) o el tiempo a transcurrir Partimos de la relación existente entre la edad (dentro de…) del pasado y futuro. Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 75 Hace 10 Dentro de 20 CON VARIOS SUJETOS años años (Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos) a 3a Para este tipo de problemas se recomienda Pasado Presente Futuro utilizar un cuadro de doble entrada, como el que apreciaremos a continuación: +10 +20 a a + 10 3a Pasado Presente Futuro Luego: ⇒ a + 10 + 20 = 3a ⇒ a = 15 Aquí hay que tener en cuenta dos observaciones importantes, las cuales se Edad actual: 15 + 10 = 25 años apreciarán en el siguiente cuadro: ∴ Hace 3 años tuve 22 años. Ejemplo 2 Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos 3 veces la edad que tenía hace 5 años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuántos años me faltan para cumplir 60 años? Resolución: Hace 5 Dentro de 10 1. La diferencia de edades de dos personas años años permanece constante en el tiempo (es la misma en el pasado, presente y futuro) x–5 x x + 10 Pasado Presente Futuro En el pasado En el Presente En el Futuro Por condición del problema: 23 – 17 = 26 – 20 = 34 – 28 =6 4(x + 10) – 3(x – 5) = 2x 2. Las sumas en aspa de valores colocados x + 55 = 2x simétricamente son iguales. x = 55 (Edad actual) 17 + 26 = 23 + 20 ∴ Para cumplir 60 años me faltan: 20 + 34 = 26 + 28 60 – 55 = 5 años 17 + 34 = 23 + 28 A partir de estas dos consideraciones se plantean dos clases de problemas: Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 76 Problemas con tiempo especificado Nota: En estos problemas se hace mención de cuándo va a ocurrir una determinada condición o Los valores colocados en el cuadro no son las cuando ya ocurrió; es decir, mencionan "dentro edades correspondientes, sólo son valores que de cuánto tiempo" o "hace cuánto tiempo" representan los datos del problema. ocurrirá u ocurrió la condición del problema. Ejemplo 1 Para calcular las edades correctas debemos Hace 4 años la edad de Ana era el cuádruple de realizar 2 pasos: la edad de Juan, pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades actuales. Paso 1: Verificar que las diferencias de Resolución: edades sean iguales. Hace 4 Dentro de Presente años 5 años Hace 4 Dentro de Ana 4x 4x + 4 4x + 9 Presente años 5 años Juan x x+4 x+9 Ana 4 3 Juan 1 1 De la última condición: Dif. = 3 Dif. = 2 4x + 9 = 3(x + 9) ⇒ x = 18 Observamos que las diferencias no son iguales, Edades actuales: entonces haremos que sean iguales. ¿Cómo?… multiplicando en el pasado por 2 y en el futuro Ana: 4x + 4 = 4(18) + 4 = 76 por 3 a los valores en el cuadro. Juan: x + 4 = 18 + 4 = 22 ∴ Suma: 76 + 22 = 98 años Hace 4 Dentro de Presente años 5 años Otra forma: Ana 8 9 Hace 4 Dentro de Juan 2 3 Presente años 5 años Dif. = 6 Dif. = 6 Ana 4 3 Juan 1 1 Observará que ya las diferencias son iguales y además la proporción en los datos no se ha alterado. Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 77 Paso 2: Verificar el tiempo que transcurre. Hace 4 Dentro de Presente años 5 años 9 años Ana 72 76 81 4 5 Juan 18 22 27 Hace 4 Dentro de Presente años 5 años ∴ La suma de sus edades actuales es: Ana 8 9 76 + 22 = 98 años Juan 2 3 Para que se entienda mejor esta forma de resolver este tipo de problemas desarrollaremos un segundo ejemplo: Ejemplo 2 Observamos que, según los tiempos Dos jóvenes estudiantes conversaban: "Hace 2 especificados, del pasado al futuro transcurren años, mi edad era los 4/3 de tu edad", decía el 9 años, esto quiere decir que para cada persona primero. "Sin embargo, dentro de 2 años, mi deben transcurrir 9 años; sin embargo para edad será los 4/5 de tu edad", replicaba el cada persona, según sus edades, transcurre sólo segundo. Halle las edades de los jóvenes y dé 1 año. como respuesta la suma de ellas. Para que se cumpla el dato debemos Resolución: multiplicar por 9 a los valores del cuadro. El 1ro: "Hace 2 años, mi edad era 4/3 de tu edad" Hace 4 Dentro de El 2do: "Dentro de 2 años, mi edad será los 4/5 Presente años 5 años de tu edad" Ana 72 81 Hace 2 Dentro de Actual años 2 años Juan 18 27 1ro. 4 5 2do. 3 4 Podemos observar que para cada persona están pasando 9 años, también se puede comprobar Los valores colocados en el cuadro no son las que las diferencias siguen siendo iguales. Esto edades correspondientes, sólo son números que quiere decir que los valores que tenemos son representan los datos. las edades correspondientes. Para calcular las edades debemos realizar 2 Entonces pasamos a calcular las edades pasos: actuales: Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 78 Paso 1: Verificar que la diferencia de edades siguen siendo iguales. Esto quiere decir que sea la misma en ambos casos. estos valores ya son las edades correctas. Hace 2 Dentro de Pasamos, entonces, a calcular las edades Actual actuales: años 2 años 1ro. 4 5 Hace 2 Dentro de 2do. 3 4 Actual años 2 años Dif. = 1 Disf. = 1 1ro. 16 18 20 Se observa que las diferencias son iguales, entonces realizamos el siguiente paso. 2do. 12 14 16 Paso 2: Verificamos el tiempo que transcurre. ∴ La suma de las edades actuales es: 4 años 18 + 14 = 32 años Hace 2 Dentro de Actual años 2 años Ejemplo 3 1ro. 4 5 Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si, dentro de 6 años, él va a 2do. 3 4 tener el cuádruple de la edad que tú tengas, ¿dentro de cuántos años tendré 26 años? Resolución: Observamos que, según los tiempos especificados, el tiempo que transcurre del Dentro de 6 pasado al futuro es 4 años, esto quiere decir Presente años que para cada persona deben transcurrir 4 años, sin embargo se observa que para cada persona Yo 2x 2x + 6 sólo transcurre 1 año, para que se cumpla el dato multiplicamos a todas las edades por 4. Tú x x+6 Hace 2 Dentro de Actual El 6x 6x + 6 años 2 años 1ro. 16 20 De la última condición: 2do. 12 16 Él va a tener tú tengas 6x + 6 = 4(x + 6) ⇒x=9 Observará que el tiempo que transcurre para cada uno es 4 años, además las diferencias Yo tengo: 2(9) = 18 años ∴ Tendré 26 años, dentro de 8 años. Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 79 Problemas con tiempo no especificado • "Cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 63 años" En estos problemas no se hace mención de cuándo va a ocurrir o cuándo ya ocurrió una Pasado Presente Futuro determinada condición; es decir, no se especifica el tiempo exacto a transcurrir o ya Yo 3K 4K 5K transcurrido, sólo se limitan a decir que Tú 2K 3K 4K ocurrirá en el futuro o en el pasado. Suma = 63 Ejemplo 1 El valor “5K” lo calculamos aplicando sumas Yo tengo el doble de la edad que tú tenías en aspa cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de Del cuadro: nuestras edades será de 63 años. Halle la suma 5K + 4K = 63 ⇒ K=7 de las edades actuales. Luego: Resolución: Edades actuales • "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías" Yo: 4(7) = 28 años Pasado Presente Futuro Tú: 3(7) = 21 años Yo 2x ∴ La suma de edades actuales es: Tú x 28 + 21 = 49 años • "Cuando yo tenía la edad que tú tienes" Ejemplo 2 Pasado Presente Futuro Yo tengo los 13/9 de la edad que tú tenías, Yo y 2x Cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando Tú x y tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será de 6 años. ¿Qué edad tuve yo hace 10 años? Aplicando el criterio de las sumas en aspa: Resolución: x 2 x 2K 2y = 3x ⇒ = ⇒ 13 y 3 y 3K • "Yo tengo de la edad que tú tenías" 9 Reemplazamos en el cuadro: Pasado Presente Futuro Yo 13x Pasado Presente Futuro Tú 9x Yo 3K 4K Tú 2K 3K • "Cuando yo tenía la edad que tú tienes" Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 80 Analicemos la siguiente situación: Estamos en setiembre del año 2000. Pasado Presente Futuro Yo y 13x Ana nació en marzo de 1980, por lo tanto tiene 20 años; Betty nació en mayo de 1985, por lo Tú 9x y tanto tiene 15 años; Carlos nació en octubre de 1978, por lo tanto tiene 21 años; David nació en diciembre de 1969, por lo tanto tiene 30 Aplicamos sumas en aspa años; Elena nació en agosto de 1990, por lo tanto tiene 10 años; Francisco nació en 2y = 22x ⇒ y = 11x noviembre de 1965, por lo tanto tiene 34 años. Ahora, sumamos la edad con el año de Reemplazamos: nacimiento de cada uno. Edad Año de Nacimiento Pasado Presente Futuro Ana : 20 + 1980 = 2000 Yo 11x 13x Betty : 15 + 1985 = 2000 Tú 9x 11x Carlos : 21 + 1978 = 1999 • "Cuando tengas la edad que yo tengo, la Elena : 10 + 1990 = 2000 diferencia de nuestras edades será 6 años" David : 30 + 1969 = 1999 Francisco : 34 + 1965 = 1999 Pasado Presente Futuro Yo 11x 13x 15x Podemos apreciar que para Ana, Betty y Elena Tú 9x 11x 13x el resultado es 2000, independientemente de sus edades y años de nacimiento, esto se debe a Dif. = 6 que ellos ya cumplieron años (recuerda que “15x” lo calculamos aplicando sumas en aspa estamos en setiembre y ellos nacieron en meses anteriores). Del cuadro: En cambio, para Carlos, David y Francisco el 15x – 13x = 6 ⇒ x=3 resultado es 1999, debido a que aún no han cumplido años (nacieron después de Luego, las edades en el presente son: setiembre). Yo : 13(3) = 39 años De acuerdo a esto podemos enunciar las Tú: 11(3) = 33 años siguientes conclusiones: ∴ Hace 10 años yo tuve 29 años. Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 81 Conclusiones: Estamos en 1997, suponiendo que todos ya cumplieron años; entonces: Año de Año Cuando una persona ya cumplio años, se Edad + Nacimiento = Actual cumple: E1 + A1 = 1997 E2 + A2 = 1997 Año Nac. + Edad Actual = Año Actual E3 + A3 = 1997 E4 + A4 = 1997 Cuando una persona aun no cumple años, se cumple: E5 + A5 = 1997 A B 9985 Año Nac. + Edad Actual = Año Actual – 1 Suma de edades Suma de años de nac. Suponiendo que todos ya cumplieron años, "A" + "B" debería resultar 9985; pero según el dato del problema, "A+B" es 9982; se puede observar que en nuestro supuesto hay un Ejemplo de aplicación exceso de 9985 – 9982 = 3 unidades, lo cual En agosto de 1997, sumé las edades de mis 5 significa que 3 de sus hermanos aún no hermanos obteniendo "A"; luego sumé sus cumplen años. años de nacimiento, obteniendo "B". Si al sumar "A" y "B" obtengo 9982, écuántos de ∴ La respuesta es: 3 personas aún no cumplen mis hermanos aún no cumplen años? años. Resolución: Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 82 Problemas Resueltos PROBLEMA 1 2x + x = 50 + 13 La edad de un niño será, dentro de 4 años, un 3x = 63 ⇒ x = 21 cuadrado perfecto. Hace 8 años, su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad Entonces, mi edad actual es 21 años tendrá dentro de 8 años? ⇒ Para cumplir 2(21 – 5) = 32 años Resolución: Lo que tenía hace 5 años Planteando los datos obtenemos: ∴ Me faltan 11 años. Hace 8 años Actual Dentro de 4 años n n+8 n2 PROBLEMA 3 A una persona se le pregunta por su edad y ésta 12 años contesta: "Toma tres veces los años que tendré dentro de 3 años, réstales tres veces los años Del esquema: que tenía hace tres años y resultará, exactamente, los años que tengo ahora". ⇒ n + 12 = n2 ⇒ n2 – n = 12 ¿Cuántos años tiene la persona? ⇒ n(n – 1) = 12 = 4 × 3 ⇒ n = 4 Resolución: Entonces, la edad actual del niño es: Hace Edad Dentro de 4 + 8 = 12 años 3 años Actual 3 años ∴ Dentro de 8 años, tendrá 20 años. x–3 x x+3 Luego planteamos: 3(x + 3) – 3(x – 3) = x PROBLEMA 2 Si al doble de mi edad se le quita 13 años, se Resolviendo x = 18 obtendría lo que me falta para tener 50 años. ∴ La persona tiene 18 años. ¿Cuántos años me faltan para cumplir el doble de lo que tenía hace 5 años? Resolución: PROBLEMA 4 Sea mi edad actual: "x" años, Si al año que cumplí 10 años le sumamos el año en que cumpliré los 20, y a éste resultado Planteando la condición: le restas la suma del año en que nací con mi Al doble de mi Me falta para edad actual, obtendremos el año actual. edad le quitan 13 tener 50 años ¿Cuánto resultará al sumar mi edad actual con el año en que cumpliré los 30 años y restarle el 2x – 13 = 50 – x año en que cumpliré los 40 años? Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 83 Resolución: 2 1965 = 1900 + ab + ( ab ) 3 Sea el año en que nací: "A" 5 Sea mi edad actual: "x" años 65 = ( ab ) ⇒ ab = 39 3 Año que Año que Año que Año Entonces la edad de la persona es: cumplí cumpliré nací Actual 10 años 20 años 2 (39) = 26 años A A + 10 A+x A + 20 3 ∴ La suma de cifras de su edad es: Planteamos según los datos: 2+6=8 (A + 10) + (A + 20) – (A + x) = A + x PROBLEMA 6 Resolviendo: x = 15 Jorge multiplica la fecha del día de su Luego: nacimiento por 12 y el número del mes por 31, luego suma estos dos productos obteniendo Edad Año que cumpliré Año que cumpliré 170. ¿Cuándo nació Jorge? Actual los 30 años los 40 años 12d + 31m = 170 15 + (A + 30) – (A + 40) = 5 12d + 31m = 170 ∴ El resultado es 5 Número Número Par par PROBLEMA 5 Se deduce que: 31m = número par A una persona en el año 1965 se le preguntó ⇒ m = 2; 4; 6;… por su edad y contestó: "Tengo, en años, las dos terceras partes del número que forman las Luego: dos últimas cifras del año de mi nacimiento". Halle la suma de las cifras de su edad en dicho 12d + 31m =170 año. para m = 2 ⇒ d = 9 Resolución: para m = 4 ⇒ d = 3,8 (no es solución) Planteando los datos obtenemos: Tampoco hay solución para otros valores de Año de En 1965 "m". Nacimiento edad: ⇒ m = 2; d = 9 2 Luego el número de mes es 2 y el día es 9. 19 ab ( ab ) Años 3 ∴ Jorge nació el 9 de febrero. Luego planteamos: PROBLEMA 7 2 1965 = ( ab ) + 19 ab Un niño nació en noviembre, el 10 de 3 diciembre tiene una edad igual al número de Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 84 días transcurridos del 10 de noviembre hasta el el año actual es un número impar? Año actual: día de su nacimiento, inclusive. ¿Qué fecha 2000 será cuando, a partir de la fecha de su nacimiento, transcurran tantos días como la Resolución: mitad de los días que faltan para culminar el Sea 19 ab el año del nacimiento de Irene. mes de su nacimiento? Por condición del problema: (a+b) – (1+9) = 4 Resolución: ⇒ a + b = 14 Planteando los datos obtenemos: Luego, el año 19 ab podrá ser: 19 ab 1959 Nació En este día la edad es “x” días 1968 En el gráfico se puede observar que su edad el 1977 Se desechan, pues ella tendría a lo sumo 10 de diciembre es igual a: (30 – x + 10) días. 1986 23 años (hasta el 2000) y el dato dice Luego planteamos: 1995 que tuvo a su segundo hijo a los 24 años. x = 30 – x + 10 ⇒ x = 20 Analicemos: Entonces, el niño nació el 20 de noviembre y faltan 10 días para que culmine noviembre. Si nació en 1959, entonces tuvo 21 años en 1980 por condición: 2000 – 1980 = 20 (# par), La pregunta es: lo cual contradice el dato de que esta diferencia 20 de Noviembre ?? (Qué fecha será) es impar. Si nació en 1968, entonces en el año 1989 tuvo 21 años y, precisamente, la diferencia entre Transcurren este año 1989 y el año actual (2000) sería de 11 años (# impar). 10 = 5 días 2 ∴ Su hija nació en 1989 y actualmente tiene 11 años. ∴ La fecha es 25 de noviembre. PROBLEMA 9 PROBLEMA 8 Cuando yo tuve la tercera parte de la edad que Irene nació en un año en el cual la suma de las tú tienes, tú tuviste la mitad de tu edad actual. 2 últimas cifras excede en 4 a la suma de las 2 En cambio cuando yo tenía la mitad de la edad primeras cifras. Además se sabe que a los 24 que tengo, la suma de nuestras edades era 48 años tuvo a su segundo hijo. ¿Cuántos años años. ¿Cuál es la edad que tengo? tiene su hija mayor, si se sabe que nació cuando Irene tenía 21 años en un año en el cual Resolución: se cumple que la diferencia entre dicho año y Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 85 • "Cuando yo tuve la tercera parte de la edad Tuve Tenía Tengo que tú tienes" Tuviste Tenias Tienes Yo 4x 5x 10x Tú 6x 7x 12x Tuve Tenía Tengo Tuvistes Tenias Tienes Suma = 48 Yo x “7x” ha sido calculado aplicando sumas en aspa Tú 3x Del cuadro se tiene: • "Tú tuviste la mitad de tu edad “actual” 5x + 7x = 48 ⇒ x = 4 ∴ Yo tengo: 10(4) = 40 años Tuve Tenía Tengo Tuviste Tenias Tienes PROBLEMA 10 Yo x Tú 3x/2 3x Cuando tú tenías la mitad de la edad que yo tengo, yo tenía la edad que tú tienes; y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la diferencia de Podemos duplicar todos los valores sin alterar nuestras edades será de 8 años. ¿Qué edad en absoluto los datos del problema. tengo? Resolución: Tuve Tenía Tengo • "Cuando tú tenías la mitad de la edad que yo Tuviste Tenias Tienes tengo" Yo 2x 5x Tenía Tengo Tenga Tenias Tienes Tengas Tú 3x 6x Yo 2x Tú x “5x” ha sido calculado aplicando sumas en aspa • "En cambio cuando yo tenía la mitad de la • "Yo tenía la edad que tú tienes" edad que tengo, la suma de nuestras edades era Tenía Tengo Tenga 48 años" Tenias Tienes Tengas Yo y 2x Tuve Tenía Tengo Tú x y Tuviste Tenias Tienes Yo 2x 5x/2 5x Aplicando sumas en aspa Tú 3x 6x y 3 y 3K Suma = 48 2y = 3x ⇒ = ⇒ x 2 x 2K Duplicamos todos los valores en el cuadro: Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 86 Reemplazando: Resolviendo: x = 4 Tenía Tengo Tenga Luego, las edades actuales son: Tenias Tienes Tengas Ornar: 9(4) = 36 años Yo 3K 4K Óscar: 8(4) = 32 años Tú 2K 3K ∴ Las edades actuales suman • "Cuando tú tengas la edad que yo tengo, la 36 + 32 = 68 años diferencia de nuestras edades será de 8 años" Tenía Tengo Tenga Tenias Tienes Tengas PROBLEMA 12 Yo 3K 4K 5K Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendrás Tú 2K 3K 4K lo que él tenía, cuando tenías la tercera parte de lo que tienes y yo tenía la tercera parte de lo Dif. = 8 que él tiene, que es 5 años más de los que yo “5K” Lo calculamos aplicando sumas en aspa tendré cuando tengas lo que ya te dije y él tenga lo que tú y yo tenemos. Entonces yo 5K – 4K = 8 ⇒ K = 8 tengo: ∴ Yo tengo: 4(8) = 32 años Resolución: Del enunciado: PROBLEMA 11 2n n Ornar le dice a Óscar: "Tengo el triple de la Pasado Presente Futuro edad que tú tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que Yo 2n 4n 5n tengo, yo tendré el doble de la edad que tenías Tú n 3n 4n hace 12 años". ¿Cuánto suman sus edades actuales? Él 4n 6n 7n Resolución: Al plantear los datos obtenemos: Por condición: Lo que él tiene es 5 años más de los que yo Pasado Presente Futuro tendré. Omar 4x 9x 10x (Yo) 6n – 5n = 5 = n = 5 Oscar 3x 8x 9x ∴ Yo tengo 4(5) = 20 años (Tú) Yo Tú tenías Tendré hace 12 años PROBLEMA 13 Por condición: 10x = 2(8x – 12) Dentro de 8 años, la edad de un padre será el doble de la edad que tendrá su primer hijo; Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 87 dentro de 10 años, la edad del padre será el Resolviendo: x = 17 doble de la edad que tendrá su segundo hijo y, dentro de 16 años, la edad del padre será el ∴ La edad actual del padre es: doble de la edad de su tercer hijo. Si la edad 2x – 8 = 2(17) – 8 = 26 años del padre excede en 4 años a la suma de las edades de sus tres hijos, ¿cuántos años tiene el padre? PROBLEMA 14 Resolución: Hace 5 años, la edad de un hijo se diferenciaba Planteando los datos obtenemos: en el doble de su edad con la edad de su padre, y en la mitad de su edad con la edad de su Dentro de hermano menor. Si dentro de 7 años, el menor Presente 8 años tendrá la edad que tiene su hermano mayor, Padre 2x – 8 2x calcular la edad que tuvo el padre cuando nació 1er Hijo x–8 x su primer hijo. 2do Hijo Resolución: 3er Hijo Al plantear los datos del problema obtenemos: Hace 5 años Dentro de 8 Dentro de Diferencia Presente años 10 años Padre 6x “4x” años Padre 2x – 8 2x 2x + 2 Hijo Mayor 2x Diferencia 1er Hijo x–8 x Hijo Menor x “x” años 2do Hijo x–9 x+1 Luego 3er Hijo Hace 5 Dentro de años Presente 7 años Dentro Dentro Padre 6x 6x + 5 Dentro Presente de 10 de 16 de 8 años años años Hijo 2x 2x+5 Padre 2x – 8 2x 2x + 2 2x + 8 Mayor Hijo x x+5 x + 12 1er Hijo x–8 x Menor 2do Hijo x–9 x+1 Por condición: 3er Hijo x – 12 x+4 Dentro de 7 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor. Por condición: El menor El mayor Padre Suma de edades de los hijos Tendrá tiene (2x – 8) – [(x – 8) + (x – 9) + (x – 12)] = 4 x + 12 = 2x + 5 ⇒ x=7 (2x – 8) – (3x – 29) = 4 Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 88 Luego: Dentro de Dentro de Presente 5 años 10 años Edad del padre: 6(7) + 5 = 47 años A x–5 x Edad del hijo mayor: 2(7) + 5 = 19 B x ∴ Cuando el hijo mayor nació el padre tenía: C x + 16 4x 47 – 19 = 28 años Suma = ? ? Del cuadro: (x + 16) + 5 = 4x PROBLEMA 15 ⇒ x=7 Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el Reemplazando en el presente: triple de la mía. Si, dentro de 6 años, él va a Dentro de tener el cuádruple de la edad que tú tengas, Presente 10 años ¿dentro de cuántos años tendré 20 años? A 2 12 Resolución: B 7 17 Dentro de Presente C 23 33 6 años Yo 2x 2x + 6 Tú x x+6 ∴ Suma: 12 + 17 + 33 = 62 años Él 6x 6x + 6 PROBLEMA 17 Por condición: Hace 10 años la suma de las edades de dos hijos era 1/3 de la edad de su padre. Si el hijo el tendrá tú tengas mayor tiene 2 años más que el otro y la suma 6x + 6 = 4(x + 6) ⇒x=9 de sus edades actuales es 14 años menos que la de su padre, ¿cuántos años tiene uno de los Entonces, yo tengo 2(9) = 18 años hijos? ∴ Dentro de 2 años tendré 20 años. Resolución: "El hijo mayor tiene 2 años más que el otro y la suma de sus edades es 14 años menos que la PROBLEMA 16 de su padre" Se sabe que, de hoya 5 años, "A" será tan viejo como lo es hoy "B", quien tiene la cuarta parte Presente de la edad que tendrá "C" en ese entonces. Padre 2x + 16 ⇒ Suma 14(2x + 2) Hallar la suma de las edades de los tres dentro Hijo Mayor x+2 de 10 años si, además, "C" es mayor que "B" en 16 años. Hijo Menor x Resolución: Del enunciado obtenemos: Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 89 Hace 10 432 + 43 = 1892 (No) Presente años Padre 2x + 6 2x + 16 Tabulando 442 + 44 = 1980 (Si) Hijo Mayor x–8 x+2 452 + 45 = 2070 (No) Hijo Menor x – 10 x Luego concluimos que: Año de nacimiento es: 442 = 1936 "Hace 10 años la suma de las edades de los hijos era l/3 de la de su padre" ∴ Cumplió 60 años en el año: Suma de los hijos Padre 1936 + 60 = 1996 1 (x – 8) + (x – 10) = (2x + 6) 3 PROBLEMA 19 Resolviendo: x= 15 Luis dice: "Mi tía tiene 2 veces mi edad actual; Como nos piden la edad de uno de los hijos, no su edad es el séxtuplo de la edad que mi especifican si el menor o el mayor, entonces: enamorada tenía cuando yo tenía 2 años más de la edad que mi enamorada tiene; pero Hijo mayor: 17 años cuando yo tenga el cuádruplo de la edad que mi enamorada tiene, la suma de las 3 edades Hijo menor: 15 años será 221 años. Si mi suegra nació tres años antes que mi tía y tuvo a su hijo Fredy cuando tenía 23 años, ¿cuántos años más que yo tiene PROBLEMA 18 Fredy? A principios de los años ochenta, un maestro Resolución: universitario tuvo una edad igual a la raíz Del enunciado: cuadrada del año de su nacimiento. ¿En qué año cumplió 60 años? Pasado Presente Futuro Resolución: Luis y+2 3x 4y 2 Asumimos año de nacimiento: a Enamorada x y Principios de los años ochenta: 198n Tía 6x Suma = 221 Año de nacimiento: a2 En 198n Aplicamos sumas en aspa: y + 2 + y = x + 3x ⇒ y = 2x – 1 Edad: 0 años Edad: "a" años "a" años Pasado Presente Futuro Luis 2x + 1 3x 8x – 4 Luego 198n – a = a2 Enamorada x 2x – 1 7x – 5 Tía 6x 11x – 4 ⇒ a2 + a = 198n Suma = 221 Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 90 “7x – 5” y “11x – 4” Han sido calculados Observará que del pasado al presente (ver a aplicando sumas en aspa Rosa) el tiempo que transcurre es el mismo tiempo que transcurre del presente al futuro Luego: (ver Eva). (8x – 4) + (7x – 5) + (l1x – 4) = 221 Entonces: ⇒x=9 Pasado Presente Futuro A partir de lo obtenido, calculamos las edades Rosa x x+8 x + 16 actuales: Eva x x+8 • Luis: 27 años María 10 18 26 • Enamorada: 17 años • Tía: 54 años María dice: La suegra nació 3 años antes que la tía; entonces tiene 3 años más, es decir, 54+3=57 Ventaja de Ventaja de años. Rosa a María Eva a María Conclusión: (x + 8 – 18) + (x – 18) = 2(18) ⇒ x = 32 Fredy: 57 – 23 = 34 años (tiene 23 años menos La mayor de las tres es Rosa. que su mamá) ∴ La edad de Rosa: 32 + 8 = 40 años ∴ Fredy tiene 34 - 27 = 7 años más que Luis PROBLEMA 21 PROBLEMA 20 Jorge le dice a Luis: "La suma de nuestras Rosa le dice a Eva: "Cuando yo tenía tu edad, edades es 46 años y tu edad es el triple de la María tenía 10 años"; y Eva le responde: edad que tenías cuando yo tenía el triple de la "Cuando yo tenga tu edad, María tendrá 26 edad que tuviste cuando yo nací". Entonces, años". María añade: "Si sumamos los años que ¿cuántos años tiene Luis actualmente? ustedes me llevan de ventaja, resultará el doble Resolución: de mi edad actual". ¿Cuál es la edad de la mayor? Del enunciado: Resolución: Cuando Jorge Nació Pasado Presente Del enunciado: Jorge 0 3x 11x Pasado Presente Futuro Luis x 4x 12x Suma = 46 Rosa x y 11x + 12x = 46 ⇒ x = 2 Eva x y María 10 26 Edad de Luis: 12(2) = 24 años +16 Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 91 PROBLEMA 22 de los dos en el momento en que habló Sandra? Año actual: 1997. Un individuo nació el 3 de abril de 1903 y otro el 7 de mayo de 1991. ¿En qué fecha (día, mes Resolución: y año), la edad del primero fue el triple de la edad del otro? Sabemos que para una persona se cumple: Resolución: (Año Nac.) + (Año actual) = 1997 ó 1996 Primero, averigüemos qué tiempo ha Si ya cumplió años (año actual) transcurrido desde el nacimiento de uno hasta Si todavía no cumpleaños el nacimiento del otro: Para el problema, cuando Sandra suma su año Uno nació: 3 de abril de 1903 8 años de nacimiento con su edad puede obtener como 3 de abril de 1911 34 días resultado 1996 ó 1997, lo mismo ocurre para Richard. El otro nació: 7 de mayo de 1911 Entonces: Entonces: Ayer Hoy 7 de mayo de Fecha = ? Suma Suma 1911 Un Sandra: 1996 ≠ 1997 8 años 34 días 3n individuo El otro 0 n Suma Richard: = 1996 Richar aun no cumple años Observará que la fecha buscada es: 7 de mayo de 1911 + n Por dato del problema, Richard es mayor que Diferencia de edades: Sandra en 5 años, pero hoy que todavía no 8 años 34 días – 0 = 3n – n = 2n cumple años, será mayor en 5 – 1 = 4 años. ⇒ n = 4 años 17 días ∴ Diferencia de edades: 4 años ∴ Fecha: 7 mayo de 1911 + 4 años 17 días = 24 de mayo de 1915 PROBLEMA 24 Claudia comenta: "Hoy tengo 10 años menos de la edad que tenía mi padre cuando nací, PROBLEMA 23 además las dos últimas cifras del año en que nació mi padre son iguales a las dos últimas La diferencia de los años de nacimiento de cifras del año en que nos encontramos, pero en Sandra y Ríchard es de 5 años. Sandra, que es orden invertido". (Año presente> 1990). la menor, dice: "Si ayer hubiera sumado mi Entonces, ¿en qué año su padre tuvo 23 años, año de nacimiento con mi edad, hubiera si el próximo año ella cumplirá esa edad? obtenido lo mismo que obtuviste tú el día de hoy con esta operación, ya que hoy no resultó igual". ¿En cuánto se diferenciaban las edades Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 92 Resolución: Entonces, el promedio de las edades es: Del enunciado: “P” alumnos +1 "P – 3" alumnos trillizos Presente E 1 E 2 E 3 E E E Cuando = PK nació mi P Cuando Próximo padre yo nací 199b año 19b9 "P – 3" alumnos Claudia 0 n – 10 23 ⇒ E1 + E2 + E3 + …… + 3E = PK Padre 0 n 2n– 10 Según el enunciado, E es mínimo. Lo calculamos aplicando sumas en aspa Para que "E" pueda ser mínimo cada uno de las El próximo año: otras edades debe ser máxima. (n – 10) + 1 = 23 ⇒ n = 32 Además "ninguno" de los alumnos es mayor de "M" años, es decir, la edad máxima que puede Del cuadro se observa que: tener cada uno de los "P - 3" alumnos restantes es de "M" años. 19b9 + (2n – 10) = 199b Luego: 1900 + b9 + 54 = (1900+ 9b ) "P – 3" alumnos 54 = 9b – b9 M + M + M + ... + M + 3E = PK 54 = (90 + b) - (10b + 9) ⇒ M(P – 3) + 3E = PK 54 = 81 – 9b ⇒ 9b = 27 ⇒ b=3 PK M(P 3) El año en que el padre tuve 23 años fue: ∴ Emínimo = 3 Año de nacimiento ∴ 1939 + 23 = 1962 PROBLEMA 26 En un aula, se calculó el promedio de las edades de todos los alumnos, luego se calculó PROBLEMA 25 el promedio de los años de nacimiento. La edad promedio de "P" alumnos en un salón Finalmente se sacó el promedio de ambos de clase es de "K" años, en dicho salón promedios, cuyo resultado es: estudian un grupo de trillizos. Si ninguno de * Todos ya cumplieron años. los alumnos es mayor de "M" años, ¿cuál es la mínima edad que puede tener uno de los trillizos? Resolución: Resolución: Sabemos que si una persona ya cumplió años, Sea "E" la edad de los trillizos. se cumple: Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 93 Año Nac. + Edad Actual = año actual Suponiendo que todos ya cumplieron años, entonces: ⇒ A + E = Año actual Edades Año de Nacimiento Calculando el promedio de las edades de los “n” alumnos: E1 + A1 = 1995 E1 E 2 E 3 E n E2 + A2 = 1995 P1 = n E3 + A3 = 1995 8 sumandos Calculando el promedio de los años de nacimiento: ⋮ ⋮ ⋮ A1 A 2 A 3 A n E8 + A8 = 1995 P2 = n M + N = 15960 Calculando el promedio de ambos promedios: P1 P2 Si todos ya hubiesen cumplido años, el P= 2 resultado debió ser de 15960, pero como el resultado real es de 15955, quiere decir E1 E 2 E n A1 A 2 A n entonces que 5 personas (15960 – 15955 = 5) ⇒ n n aún no cumplen años todavía. 2 ∴ Faltan 5 fiestas durante este año Año actual Año actual Año actual P = E1 A1 E 2 A 2 E n A n 2n PROBLEMA 28 n (Año Actual) Año Actual Al preguntarle la edad a un abuelo, él contestó: P= = 2n 2 "No tengo menos de 60 años, pero aún no soy noventón". Se sabe que cada uno de sus hijos ∴ Resultado final: P = mitad del año actual le ha dado tantos nietos como hermanos tienen y su edad es, exactamente, el doble del número de hijos, más el número de nietos que tiene. PROBLEMA 27 Hallar la edad del abuelo Una familia consta de 8 personas y realizan Resolución: una fiesta por cada cumpleaños. Estando todos reunidos en mayo de 1995, sumaron los años Por dato: en que habían nacido y luego sumaron las 60 < Edad del abuelo < 90 edades de todos ellos, dando la suma total un resultado de 15955. ¿Cuántas fiestas faltan realizarse durante este año? Resolución: Año actual: 1995 Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 94 Edad del abuelo = n2 + n PROBLEMA 30 Reemplazando en la condición inicial: La suma de las edades de un hombre y su esposa es 6 veces la suma de las edades de sus 60 ≤ n2 + n < 90 hijos. Hace 2 años, la suma de las edades de los esposos era 10 veces la suma de las edades Cumple para n = 8 de sus hijos y, dentro de 6 años, la suma de las ∴ Edad del abuelo: n2 + n = 82 + 8 = 72 años edades de los esposos será 3 veces la suma de las edades de los hijos. ¿Cuántos hijos tienen? Resolución: PROBLEMA 29 Sea el número de hijos: "n" Ayer 15 de marzo de 1981, dos amigos, Carlos y Víctor, hicieron lo siguiente: Carlos sumó a De los datos: su año de nacimiento la edad de Víctor, y Dentro Víctor sumó a su año de nacimiento la edad de Hace 2 Presente de 6 Carlos; se sumaron después ambos resultados, años años obteniéndose 3951. Ven que están equivocados Σ de las ya que Carlos, por distraído, obtuvo un edades de 6S – 2(2) 6S 6S + 2(6) resultado 1973, que es incorrecto. Si Carlos ya los esposos cumplió años y Víctor aún no, ¿Cuál es la Σ de la edades de S – 2n S S + 6n diferencia de las edades de Carlos y Víctor? los n hijos Resolución: 6S – 4 = 10(S – 2n) 6S + 12 = 3(5 + 6n) Del dato final obtenemos: S = 5n – 1 S = 6n – 4 ⇒ 5n – 1 = 6n – 4 n=3 ∴ # de hijos: = 3 PROBLEMA 31 Del dato inicial: 110 Carolina tuvo su primer hijo a los 18 años, 3 años después tuvo a su segundo hijo y 5 años después a su tercer hijo. Si en 1995 las edades Entonces: de los 4 sumaban 79 años, ¿en qué año nació Carolina? (AC + EV) = 1983 - Resolución: 3 años 5 años 1995 (AC + EC) = 1981) Carolina 18 21 26 ∴ EV – EC = 2 1er hijo 0 3 8 2do hijo 0 5 3er hijo 0 Suma = 79 Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 95 Luego: 1995 Del cuadro: Carolina 26 S + 30 = 4S 1er hijo 8 2do hijo 5 S = 10 ... (es la suma de edades en 1980) 3er hijo 0 1980 Suma = 39 Suma = 79 Jorge 6 40 María 0 Se observa que, de una suma a otra suma está Suma = 10 aumentando 40, pero estas sumas corresponden a 4 personas, esto quiere decir que cada Diferencia = 6 40 persona aumenta = 10. Las edades en 1980 son: 8 y 2 4 Entonces: 1995 Carolina 26 36 1980 1er hijo 8 18 Jorge 6 8 2do hijo 5 15 María 0 2 3er hijo 0 10 Luego: Del cuadro tenemos que: en 1995 Carolina tenía 36 años. Jorge tenía 8 años en 1980 ⇒ nació en 1972 ∴ Carolina nació en el año 1995 - 36 = 1959 María tenía 2 años en 1980 ⇒ nació en 1978 PROBLEMA 32 PROBLEMA 33 Jorge nació 6 años antes que María. En 1980, Cuando yo tenía 1 año menos de la edad que tú la suma de sus edades era la cuarta parte de la tienes, tú tenías 5 años menos de la edad que suma de sus edades en 1995. ¿En qué año yo tengo. Pero cuando tengas la edad que yo nació cada uno de ellos? tengo, nuestras edades sumarán 42 años. ¿Qué edad tenemos tú y yo respectivamente? Resolución: Resolución: 15 • "Cuando yo tenía 1 año menos de la edad que 1980 1995 tú tienes tú tenías 5 años menos de la edad que Jorge 6 yo tengo" S 4S María 0 Pasado Presente Futuro Yo x–1 y "S" y "4S" representan la suma de sus edades Tú y–5 x y Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 96 (x – 1) + x = (y – 5) + y ⇒ y = x + 2 xx 1 x = 4200 2 Reemplazando: ⇒ x2 – (x +1) = 8400 Pasado Presente ⇒ x2 – (x + 1) = 202 × 21 ⇒ x = 20 Yo x–1 x+2 ∴ David tiene 20 años Tú y–3 x "Pero cuando tengas la edad que yo tengo, la PROBLEMA 35 suma de nuestras edades será 42 años" Un alumno nació en el año 19 ab y en 1980 Pasado Presente Futuro tuvo "a + b" años. ¿En qué año tuvo "2a + b" años? Yo x–1 x+2 x+4 Resolución: Tú y–3 x x+2 Suma = 42 Año de nacimiento: 19 ab “x + 4” Lo calculamos aplicando sumas en En el año 1980 tuvo "a + b" años aspa Luego: (x + 4) + (x + 2) = 42 ⇒ x = 18 1980 = 19 ab + (a + b) ∴ Nuestras edades son: 1980 = 1900 + ab + a + b Tú: 18 años 80 = 11a + 2b Yo: 20 años Tabulando: 80 = 11a + 2b ⇓ ⇓ PROBLEMA 34 6 7 ⇒ a=6 b=7 Le preguntaron a David por su edad, y él contestó: "Mi edad, más 2 veces mi edad, más Reemplazando: 3 veces mi edad, y así sucesivamente hasta Año de nacimiento: 1967 tantas veces mi edad como la edad que tengo, suman en total 4200". ¿Cuál es la edad de Entonces tuvo: 2a + b = 2(6) +7 = 19 años David? En el año 1967 + 19 = 1986 Resolución: Sea "x" la edad de David PROBLEMA 36 Entonces según lo dicho por él planteamos: La suma de las edades de Antonio y Beatriz es x + 2x + 3x + ... + x(x) = 4200 5/2 de la edad de Antonio. Hace 3 años la edad de Beatriz era la misma que tendrá Antonio "tantas veces mi edad ... como edad tengo" ... dentro de 9 años. ¿Cuántos años tiene x (1 + 2 + 3 + ... + x) = 4200 Antonio? Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 97 Resolución: Pasado Actual Hace 3 Dentro Betty 30 – x x Actual años de 9 años Antonio 2x Ana x Beatriz Carmen 0 Suma = 5x Suma = 30 Hace 3 Dentro Pasado Actual Actual años de 9 años Betty 30 – x x Antonio 2x 2x + 9 Ana x Beatriz 3x – 3 3x Carmen 0 30 – x Por dato: 3x – 3 = 2x + 9 ⇒ x = 12 Luego: (30 – x) + (30 – x) = 0 + x ⇒ x = 20 Reemplazando: Reemplazando: ∴ Antonio tiene 2(12) = 24 años Pasado Actual PROBLEMA 37 Betty 10 20 Estando reunidas Ana, Betty y Carmen se Ana 20 30 escucha la siguiente conversación: Carmen 0 10 • Betty: "Mi edad es la misma que tuvo Ana cuando Carmen nació". Ahora contestamos la pregunta: • Ana: "Así es, y en ese entonces nuestras edades sumaban 30 años". Pasado Actual • Carmen: "Mi edad actual es la misma que Betty 20 tuvo Betty cuando yo nací". 30 y Ana ¿Cuál será la edad que tenga Ana cuando Carmen 10 20 Carmen tenga la edad que tiene Betty? Resolución: 30 + 20 = 10 + y Pasado Actual y = 40 Betty x ∴ Ana tendrá 40 años Ana x Carmen 0 PROBLEMA 38 Al preguntarle por su edad a Silvia, ella contestó: "Mi edad es la suma de todos Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 98 aquellos números naturales tales que el Los valores de las celdas sombreadas son cuadrado, de su quíntuplo disminuido en 4, es iguales, los colocaremos luego del siguiente mayor que 16, pero menor que 900. ¿Cuál es la dato edad de Silvia? "Mi nieto tiene tantos meses como yo años" Resolución: Años Meses Semana Días "Mi edad es la suma de todos aquellos números naturales…" Abuelo x Hijo A esos números naturales les vamos a representar con "N". Nieto x Entonces planteamos: Para el nieto: su edad que está en meses lo 16 < (5N – 4)2 < 900 convertimos en días y en años. 4 < 5N – 4 < 30 Años Meses Semana Días 8 34 Abuelo x 8 < 5N < 34 ⇒ <N< 5 5 Hijo 30x ⇒ 1,6 < N < 6,8 Nieto x/12 30x Como "N" es un número natural, los valores de Suma = 100 "N" son: 2; 3; 4; 5; 6. Recuerda que estos valores eran iguales según De acuerdo a las condiciones iniciales, la edad el primer dato de Silvia es: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20años Para el hijo: su edad que está en semanas debemos convertirlo en años y usar la información que juntos suman 100 años. Sin PROBLEMA 39 embargo no podemos hacerlo de manera directa porque no hay una relación exacta entre Un abuelo, su hijo y su nieto tienen juntos 100 semanas y años. La conversión la haremos de años. El abuelo dice: "Mi hijo tiene tantas la siguiente manera: su edad en "semanas" la semanas como mi nieto días, y mi nieto tiene convertimos en "días" (multiplicamos por 7), tantos meses como yo años". La edad del luego su edad en "días" la convertimos en abuelo es: (Considerar 1 mes = 30 días) "años" (dividiendo entre 360. Recuerda que nos dijeron que consideremos 1 mes=30 días, Resolución: entonces 1 año = 360 días). "Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto días" Años Meses Semana Días Abuelo x Años Meses Semana Días 210x Abuelo Hijo 30x 210x 360 Hijo Nieto x/12 x 30x Nieto Suma = 100 Suma = 100 Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 99 210x x x+ + = 100 ⇒ x = 60 Pasado Presente Futuro 360 12 Madre ∴ El abuelo tiene 60 años Hijo x Hija x PROBLEMA 40 Suma = 70 Suma = 100 Suma = 160 Una madre, su hijo e hija conversan. La madre dice: "Nuestras edades suman 100 años". El 30 60 hijo dice: "Cuando yo tenía la edad de mi hermana, nuestras edades sumaban 70 años". Este valor corresponde Este valor La hija dice: "Cuando yo tenga los años que a la suma de las corresponde a la suma edades de 3 personas, de las edades de 3 mamá tenía, cuanto tú tenías los años que nos por lo tanto cada personas, por lo tanto dijiste, nuestras edades sumarán 160 años". La personas aumenta 10 cada personas madre dice: "Pero si yo tuviera los años que años. aumenta 20 años. tenía, tengo y tendré resultaría también 160 años. "¿Qué edad tiene la hija? Pasado Presente Futuro Resolución: Madre x + 20 x + 30 x + 50 Madre: "Nuestras edades suman 100 años". Hijo x Hijo: "Cuando yo tenía la edad de mi hermana, Hija x x + 20 nuestras edades sumaban 70 años" Madre: "Si yo tuviera los años que tenía, tengo y tendré, resultaría 160 años". Pasado Presente Futuro Tenia Tengo Tendré Madre Hijo x x + 20 + x + 30 + x + 50 = 160 Hija x x = 20 Suma = 70 Suma = 100 ∴ La hija tiene 20 años Hija: "Cuando yo tenga los años que mamá tenía, nuestras edades sumarán 160 años" Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 100 Ejercicios Propuestos 01.- Si al doble de la edad que tendré dentro de cumple tanto como la quinta parte del producto 2 años, le resto el doble de la edad que tenía de cifras del año de nacimiento de Alex? hace 2 años, se obtiene la edad que tengo. ¿Qué edad tendré dentro de 2 años? Observación: Considerar año actual: 1995 A) 12 años B) 14 años C) 20 años A) 27 años B) 25 años C) 23 años D) 15 años E) 10 años D) 19 años E) 30 años 02.- Una persona tiene, en 1988, tantos años 06.- La edad que tenía hace "a" años es, a lo como el producto de las 2 últimas cifras del que tendré dentro de "a" años, como 2 es a 3. año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de ¿Qué edad tendré dentro de "2a" años? cifras de la edad que tenía en 1980? A) 5a años B) 6a años C) 7a años A) 6 B) 4 C) 5 D) 8a años E) 9a años D) 7 E) 8 07.- Le preguntan a un individuo por su edad y 03.- Los 5/7 de la edad de una persona menos él contesta: "Mi edad, más dos veces mi edad, 4 años, es igual a la edad que tenía hace 12 más tres veces mi edad y así sucesivamente años. ¿Cuál era su edad hace 12 años? hasta tantas veces mi edad como la edad que A) 14 años B) 18 años C) 16 años tengo, suman en total 4200". Halle la edad de dicho individuo. D) 20 años E) 22 años A) 20 años B) 25 años C) 16 años D) 24 años E) 18 años 04.- Laura al ser interrogada por su edad responde: "Si al año en que cumplí 14 años le suman el año en que cumpliré 23 años y, si a 08.- Hace 5 años, la edad de un padre fue este resultado le restan la suma del año en que cuatro veces la edad de su hijo; y dentro de 5 nací con el año actual, obtendrán 19". ¿Cuál es años será solamente el doble de la de su hijo. la edad de Laura? ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo A) 18 años B) 23 años C) 19 años tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo? D) 16 años E) 22 años A) 40 años B) 50 años C) 30 años D) 45 años E) 35 años 05.- Alex nació en el presente siglo y en este año cumplirá tantos años como la suma de cifras, del año en que nació y el año actual. 09.- Hace 10 años tenía la mitad de la edad ¿Cuál será la edad actual de Arturo, si este año que tendré dentro de 8 años. Si tú naciste Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 101 cuando yo tenía 15 años, ¿cuál será la suma de 14.- La edad de un padre sobrepasa, en 5 años, nuestras edades cuando yo tenga el doble de la a la suma de las edades de sus tres hijos. edad que tuve hace 11 años? Dentro de 10 años, él tendrá el doble de la edad del hijo mayor, dentro de 20 años, tendrá A) 53 B) 62 C) 36 el doble de la edad del segundo, y dentro de 30 D) 57 E) 72 años, tendrá el doble de la edad del tercero. Halle la edad del padre. A) 60 años B) 70 años C) 65 años 10.- Dentro de 10 años tú tendrás la edad que D) 50 años E) 40 años yo tenía cuando tú tenías la edad que yo tuve hace 34 años. ¿Cuántos años tengo si dentro de 20 años la suma de nuestras edades será 98? 15.- Dentro de 8 años la edad de Nora será la A) 32 años B) 38 años C) 40 años que Matilde tiene ahora, pero dentro de 15 D) 43 años E) 37 años años Nora tendrá los 4/5 de la edad que tendrá Matilde. Calcule la suma de las edades de ambas cuando Matilde tenía el doble de la edad de Nora. 11.- Pedro tiene 47 años y Jesús 32 años. ¿Cuántos años hace que la edad de Pedro fue el A) 17 B) 24 C) 25 cuádruplo de la de Jesús? D) 33 E) 40 A) 21 B) 25 C) 27 D) 30 E) 32 16.- Cuando Raúl nació, Lucía tenía la tercera parte de lo que Raúl tiene. Si Paola tiene 10/9 de la edad de Raúl, ¿cuál de los tres es más 12.- Dentro de 8 años la suma de nuestras joven y qué edad tiene; si la suma de las edades será de 46 años; pero hace "m" años la edades actuales de Raúl y Paola es 38 años? diferencia de nuestras edades era de 4 años. ¿Hace cuántos años la edad de uno era el triple A) Raúl, 20 años B) Paola, 18 años de la edad del otro? C) Raúl, 24 años D) Lucía, 24 años A) 9 B) 11 C) 14 E) Raúl, 18 años D) 22 E) 23 17.- Diana le dice a Carlos: "Mi edad es 4 años 13.- Pedro le dice a Juan: "Dentro de 10 años, menor de la edad que tú tenías cuando yo tenía yo tendré el doble de la edad que tú tendrás en 8 años menos de la edad que tú tienes; y ese entonces". Juan responde: "Hace 5 años tu cuando tú tengas el doble de la edad que tengo edad era el quíntuplo de la que yo tenía en ese nuestras edades sumarán 82 años". ¿Qué edad entonces". Si Juan nació en 1920, ¿en qué año tiene Diana? nació Pedro? A) 26 B) 24 C) 22 A) 1900 B) 1905 C) 1908 D) 20 E) 18 D) 1910 E) 1912 Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 102 18.- Un padre, una madre y su hija estaban Observación: El abuelo nació en 1912. reunidos y ésta preguntó por la edad de su madre y su padre le dijo: "Nuestras tres edades A) 32 B) 80 C) 74 juntas suman sesenta años. Como yo soy seis D) 48 E) 90 veces más viejo de lo que tú eres ahora, puede decirse que cuando sea el doble de viejo que tú, nuestras tres edades juntas serán el doble de lo que son ahora? ¿Qué edad tiene la madre? 22.- Dentro de 8 años, la edad de Pedro será la que Juan tiene ahora. Dentro de 15 años, Pedro A) 32 años B) 30 años C) 29 años tendrá 4/5 de la edad que tendrá Juan en ese entonces. ¿Cuál era la suma de las edades de D) 28 años E) 25 años Juan y Pedro, cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? 19.- Hace "a + b + c" años tu edad era "a + b" A) 20 B) 21 C) 22 veces la mía. Cuando tú tengas "b + c" veces D) 23 E) 24 mi edad, habrán transcurrido a partir de hoy "c + b – a" años. Entonces yo tenía en años: bc 23.- Yo tengo el triple de la edad que tú tenías A) 2 B) 2b(b + c) bc cuando yo tenía la edad que tú tuviste cuando yo tuve la novena parte de la edad que tengo 2(a b) ahora. Si nuestras edades suman 57 años, C) D) 2abc c ¿cuántos años tengo? bc A) 27 B) 37 C) 47 E) 2 (b + c – 1 a c D) 36 E) 26 20.- Cuando él nació yo tenía la edad que tú 24.- Luis dice: "La raíz cuadrada del año en tienes, que a su vez es la edad que él tendrá que mi bisabuelo nació más la raíz cuadrada cuando tú tengas 20 años y yo el doble de lo del año en que murió, es igual a la edad que que tienes. ¿Qué edad tienes, si él tiene la edad tuvo cuando murió". Las raíces cuadradas dan que yo tenía cuando tú naciste, y en ese números exactos. ¿A qué edad murió el entonces mi edad era 5 años menos que edad bisabuelo de Luis? actual? Observación: El bisabuelo nació en el siglo A) 5 años B) 10 años C) 15 años XIX D) 18 años E) 20 años A) 83 B) 85 C) 87 D) 89 E) 91 21.- Actualmente nuestras edades suman el doble de lo que tenía mi abuelo en el año de 1982. Además ocurre que yo tengo la edad que 25.- Una herencia de 288 libras de oro se tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tuviste, deben repartir entre tres hermanos en forma cuando yo tuve la tercera parte de la edad que proporcional a sus edades. El menor se opone tengo ahora. ¿Qué edad tienes actualmente? al reparto actual y propone repartirse dentro de Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 103 8 años ya que recibiría 8 soles más. Sin A) 21 B) 24 C) 16 embargo, el mayor no está de acuerdo ya que recibiría 8 soles menos. Halle las edades D) 18 E) 29 actuales de los tres, si suman 48 años A) 20,16 y 12 B) 22, 16 y 10 29.- El promedio de edades de 4 personas es C) 20,15 y 13 D) 24,13 y 11 "K" años. ¿Cuál es la edad mínima que puede tener cualquiera de ellas, si ninguna de las E) 30,10 y 8 personas tiene más de "P" años? A) 4K – 3P B) 3K – 4P 26.- El señor Eduardo tuvo un hijo a los 32 2 3 C) (K – P) D) (P – K) años y un nieto, 18 años más tarde; 3 2 actualmente el nieto tiene 22 años, el abuelo afirma tener 60 años y el hijo, 38. Hallar el E) 8K – 3P producto de los años que ocultan ambos. A) 26 B) 24 C) 22 30.- Mi abuelo nació el siglo XIX y, en 1887, D) 20 E) 18 cumplió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento. Yo nací exactamente 100 años después del año de su nacimiento. ¿Cuántos años cumpliré este año 1995? 27. Claudia comenta: "Hoy tengo 10 años menos de la edad que tenía mi padre cuando yo A) 20 B) 30 C) 29 nací, además las dos últimas cifras del año en que nació mi padre son iguales a las dos D) 25 E) 18 últimas cifras del año en que nos encontramos, pero en orden invertido" (año actual> 1990), entonces. ¿En qué año su padre tuvo 23 años, 31.- Una persona nació un 19 ab y en 19 ab si el próximo año ella cumplirá esa edad? cumplió b2 – a2 años. Halle su edad actual, si A) 1978 B) 1980 C) 1962 es mayor de 70 años y menor de 80 años. D) 1979 E) 1970 (Año actual: 1997) A) 71 B) 42 C) 79 28.- Los años bisiestos no tienen aniversarios D) 60 E) 52 anuales. El siguiente problema se planteó el 29 de febrero de 1896. Leyla dijo: "Mario, sabes bien que tú tenías el triple de mi edad cuando 32.- En el mes de julio de 1993 se le pidió a 12 nos conocimos, y que yo tengo ahora, alumnos que sumen los años que tienen a los exactamente, la misma edad que tú tenías en años en los cuales nacieron y dicho resultado ese entonces, y que cuando yo tenga tres veces fue 23908. ¿Cuántos alumnos todavía no mi edad actual nuestros años juntos sumarán cumplían años en ese momento? cien". ¿Cuál será la edad de Mario el próximo 29 de febrero? A) 6 B) 8 C) 4 Observación: Cada uno cumple años en enero. D) 17 E) 21 Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 104 33.- Jorge sumó: un año, más dos años, más tal que si a 100 veces la edad del 10 se le suma tres años, y así sucesivamente, hasta la edad 10 veces la edad que tenía e12° hace 4 años y actual que tiene dando como resultado un luego se le añade la edad que tendrá el 30 número de tres cifras iguales. ¿Cuál es la edad dentro de 7 años, se obtendrá 953. Halle la de Jorge? edad que tendrá el menor cuando el mayor tenga tantas veces su edad actual como los A) 36 B) 41 C) 42 años que el mediano aventaja al menor. D) 51 E) 54 A) 11 B) 13 C) 15 D) 14 E) 19 34.- Juan nació en la primera mitad del siglo XIX, 19 años antes que naciera José; en el año x2 Juan cumplió una edad igual a la raíz 38.- La diferencia de los cuadrados de las cuadrada de ese año. ¿En qué año José cumplió edades de 2 personas es 189. Halle las edades 15 años? que tendrán cuando la edad del mayor sea el doble de la del menor. Sabiendo que sus A) 1847 B) 1850 C) 1843 edades actuales suman 21. D) 1840 E) 1839 A) 28 y 14 B) 15 y 8 C) 24 y 12 D) 18 y 9 E) 26 y 13 35.- Si Aurora tuviera "n" años menos, tendría "n + S'' años y si Paola tuviera "n + 1" años más, tendría "2n + 8". Si las edades actuales de 39.- En 1920 la edad de "A" era cuatro veces ambas suman 42 años, ¿cuál es la edad de la edad de "B" en 1928 la edad de "A" fue el Teresa, quien nació cuando Aurora tenía 5 doble de la edad de "B". ¿Cuál fue la edad de años? "A" en 1945? A) 19 B) 20 C) 22 A) 60 B) 41 C) 42 D) 25 E) 27 D) 43 E) 64 36.- En un grupo de seis personas, ninguna de 40.- La edad de Nora es un número de dos ellas es menor de 15 años. Si el promedio cifras que es igual a "x" veces la suma de sus aritmético de las edades es 18 años, ¿cuál es la cifras. Al invertir el orden de las cifras de su máxima edad que puede tener una de ellas? edad ésta sería la suma de las cifras multiplicada por: A) 30 B) 33 C) 42 A) x B) x + 1 C) x – 1 D) 51 E) 15 D) 11 – x E) 11 + x 37.- Las edades de 3 hermanos (niños) están representados por números enteros positivos, Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 105 CLAVES 1) E 2) D 3) C 4) A 5) A 6) C 7) A 8) C 9) A 10) C 11) C 12) B 13) A 14) D 15) B 16) E 17) C 18) D 19) E 20) C 21) B 22) E 23) A 24) C 25) A 26) B 27) C 28) E 29) A 30) C 31) C 32) B 33) A 34) D 35) B 36) B 37) C 38) D 39) B 40) D Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 106 Diofanto de Alejandrina Parece que Diofanto de Alejandría vivió en el año 275 D.C. Escribió 13 libros de Aritmética, de los cuales sólo se conocen 6. Estos libros comenzaron a atraer la atención de los matemáticos europeos, 1200 años después de haber sido escritos. La obra de Diofanto tiene gran importancia, porque perfeccionó la notación matemática al mismo tiempo que dio amplia perspectiva al desarrollo de la matemática simbólica y sus aportes se evidenciaron con la creación de la primera escuela francesa en los siglos XV y XVI. Fue Diofanto quien por primera vez introdujo letras y signos para los cálculos, de allí que a su Algebra se la ha llamado "Algebra sincopado", que antecede al Algebra simbólica actual. Introdujo la letra griega: “ξ” para indicar la incógnita, halló representaciones para sus potencias y usó el símbolo "T" para indicar la igualdad. Por ejemplo, con la notación de Diofanto, la ecuación 3x = 12 sería: ξ y i T β. Ya Diofanto usó, de modo explícito, la propiedad que dice que al sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, ésta no varía. Los conocimientos transmitidos por Diofanto permiten entender por qué se le puede considerar el verdadero algebrista de los matemáticos de la escuela greco alejandrina. Desgraciadamente su obra no tuvo seguidores, si exceptuamos el interés demostrado hacia ella por Hipatía, noble mujer, a la que se le recuerda tanto por sus estudios de matemática como por su trágico fin en el 415 D.C., a manos de una muchedumbre de fanáticos cristianos. Su Aporte: Poco se sabe de la vida de Diofanto, aparte de una tradición antigua que ha quedado registrada en una colección de problemas que data de los siglos Vo VI y que se conoce con el nombre de "Antología griega". Hemos visto ya, dicho acertijo, páginas atrás y, si es correcto históricamente, Diofanto vivió 84 años aunque la inseguridad en que nos encontramos respecto a la vida de Diofanto es tan grande que ni siquiera sabemos con exactitud en qué siglo vivió. A Diofanto se le puede llamar el padre del Álgebra, aunque esto no hay que tomarlo literalmente, dado que su obra no contiene nada del material que constituye la base del Algebra elemental moderna, ni tampoco se parece en absoluto al Algebra geométrica que utilizó Euclides. La obra más importante que conocemos de Diofanto es: Aritmética, tratado que consta 13 libros de los que sólo han sobrevivido los seis primeros. No olvidemos que en Grecia la palabra: "Aritmética" significaba, realmente, teoría de números y no teoría del cálculo; por este motivo la Aritmética griega tenía más en común con la Filosofía que con lo que podemos llamar Matemática y no es extraño que esta materia haya sido importante en el pensamiento neoplatónico durante la época alejandrina tardía. La Aritmética de Diofanto está caracterizada por un alto grado de habilidad matemática y de ingenio puestos en juego. Esta obra está dedicada a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas y debido al profundo estudio de estos temas es llamado análisis diofántico. Trató ecuaciones como: x2 = 1 + 30y2 o bien x2 = 1 + 26y2 que son casos particulares de la "Ecuación de Pell": x2 = 1 + py2, aunque Diofanto da una única solución, resolvió ecuaciones del x 2 y 2 208 x y 10 Tipo y también 3 ; aunque de modo muy original y práctico. Diofanto x y 20 x y 370 3 ejerció una influencia enorme sobre la teoría de números moderna, en particular, Fermat se vio conducido a su célebre teorema cuando intentó generalizar el problema de Diofanto: "Dividir un cuadrado dado en la suma de otros dos números cuadrados". Razonamiento Matemático Problemas sobre Edades 107 Razonamiento Matemático