291830592-Yamamoto-Geoestatistica-Aplicada.pdf

Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo YamamotoSUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ________________________________________________________ 1 2 CONCEITOS BÁSICOS _________________________________________________ 1 3 PREPARAÇÃO DE DADOS______________________________________________ 4 3.1 Composição de amostras de furos de sonda _____________________________ 4 3.1.1 Composição por bancadas _________________________________________ 5 4 ANÁLISE ESTATÍSTICA _______________________________________________ 9 4.1 Conceitos de variáveis aleatórias e probabilidade________________________ 10 4.2 Representações gráficas de variáveis aleatórias _________________________ 12 4.3 Estatísticas descritivas de variáveis aleatórias __________________________ 15 4.3.1 Medidas de tendência central ______________________________________ 15 4.3.2 Medidas de dispersão ____________________________________________ 17 4.3.3 Medidas de forma _______________________________________________ 19 4.4 Modelos probabilísticos contínuos ____________________________________ 20 4.4.1 Distribuição normal _____________________________________________ 20 4.4.2 Distribuição lognormal ___________________________________________ 22 4.5 Teorema do Limite Central _________________________________________ 23 4.6 Intervalo de confiança da média _____________________________________ 25 4.7 Correlação e regressão _____________________________________________ 27 5 ANÁLISE GEOESTATÍSTICA __________________________________________ 29 5.1 Por quê variáveis regionalizadas ?____________________________________ 29 5.2 Variáveis regionalizadas ____________________________________________ 31 5.3 O variograma _____________________________________________________ 33 5.4 Relação entre semivariograma e a função covariância ___________________ 35 5.5 Propriedades do variograma ________________________________________ 37 5.6 Anisotropias ______________________________________________________ 38 5.7 Comportamento próximo à origem ___________________________________ 39 5.8 Domínio do variograma ____________________________________________ 40 5.9 Cálculo de variogramas experimentais ________________________________ 41 5.10 Modelos teóricos de variogramas____________________________________ 42 6 ESTIMATIVAS POR KRIGAGEM ORDINÁRIA ___________________________ 44 6.1 Definição da fronteira convexa_______________________________________ 44 6.2 Definição da vizinhança local ________________________________________ 45 i Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 6.3 Definição da malha regular _________________________________________ 49 6.4 Krigagem ordinária________________________________________________ 51 6.5 Validação cruzada _________________________________________________ 64 6.6 Classificação de recursos/reservas minerais ____________________________ 67 7 ESTIMATIVAS POR COKRIGAGEM ORDINÁRIA _________________________ 71 7.1 Definições Básicas de Isotopia e Heterotopia ____________________________ 71 7.2 O variograma cruzado ______________________________________________ 71 7.3 O Modelo Linear de Corregionalização ________________________________ 73 7.4 Cokrigagem ordinária ______________________________________________ 73 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS _______________________________________ 76 ANEXO 1: DISTRIBUIÇÃO NORMAL PARA X ENTRE 0 E 3,49 E AS INTEGRAIS Q(X) CORRESPONDENTES. _____________________________________________ 81 ANEXO 2: VALORES CRÍTICOS DE T PARA ALGUNS NÍVEIS DE SIGNIFICÂNCIA ( IN KOCH & LINK, 1971 PÁG. 346)________________________ 82 ii Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 1 INTRODUÇÃO A geoestatística que foi definida inicialmente, por Matheron (1971, pág. 5), como a aplicação da Teoria das Variáveis Regionalizadas para a estimativa de depósitos minerais, tem hoje sua aplicação nas mais diversas áreas do conhecimento como: petróleo, hidrogeologia, meio ambiente, geotecnia, agronomia de precisão, oceanografia e reflorestamento. Como a geoestatística foi introduzida muito recentemente na grade curricular em cursos de graduação e de pós-graduação, há necessidade de promover cursos de extensão para disseminação da técnica, bem como para proporcionar uma reciclagem aos profissionais atuantes na área. Nesse sentido, surgiu a idéia de oferecer este curso, no qual introduziremos as técnicas e conceitos da geoestatística aplicada na análise e interpretação de dados, com o objetivo de fazer o melhor uso da informação disponível. Além disso, o planejamento deste curso, levou em consideração também à disponibilidade de um software totalmente nacional para que o aluno pudesse contar com uma licença acadêmica para que continuar seus estudos após o término do curso. Trata-se do sistema GeoVisual que foi desenvolvido para suportar o ensino de geoestatística em disciplinas de graduação e de pós-graduação ministradas regularmente no Instituto de Geociências – USP. 2 CONCEITOS BÁSICOS A seguir vamos definir alguns conceitos básicos, cujo entendimento será de importância fundamental para interpretação dos resultados de uma análise geoestatística. Temos um problema a resolver, por exemplo, seja uma das seguintes questões: a) Qual é o teor médio de uma ocorrência mineral? b) Qual é o grau de contaminação por mercúrio no solo? c) Qual é a característica do solo para implantação de uma obra civil? A resposta para qualquer uma dessas questões está baseada na estimativa do atributo de interesse, através da amostragem. Amostragem Amostragem é o ato ou seleção de amostras como representativas do todo que se deseja estudar, tendo em vista sempre a limitação econômica do programa de amostragem. Normalmente, segundo Cochran (1963), as razões para a seleção de uma amostra são de ordem econômica - redução de custos - e apresentam como vantagens principais: maior rapidez, amplitude, flexibilidade e exatidão das 1 Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto informações, em face da impossibilidade de se registrarem integralmente as especificações do mineral que se propõe conhecer. Base teórica A teoria da amostragem é construída em torno do conceito que, se um número significativo de unidades representativas de uma população é selecionado sem enviesamento, o valor médio destas unidades irá aproximar-se da média da população (Barnes, 1980). Métodos de amostragem Existem basicamente três métodos de amostragem que poderiam ser considerados: a) aleatória simples; b) aleatória estratificada; c) sistemática. A amostragem sistemática, sempre que possível, é indicada para o cálculo de estimativas. Condição necessária Estimativas de volumes, massas e teores devem ser baseadas em observações sistemáticas (amostragem sistemática) e interpretações da geologia (litologia e estrutura) e da mineralização (mineralogia, controles, distribuição e continuidades), segundo Vallée & Côte (1992). Fontes de erros Os erros envolvidos na estimativa através da amostragem são devidos aos erros de amostragem e à variabilidade natural do fenômeno em estudo. Erros de amostragem “Qualquer amostragem - até mesmo a mais simples - comporta uma série de erros possíveis, alguns dos quais relacionados com a estrutura do minério, com sua distribuição e textura, outros decorrentes das técnicas usadas na amostragem, ou do modo como as técnicas são aplicadas, ou dos instrumentos de amostragem”, in Gy (1968). Este problema, infelizmente, não termina com a retirada da amostra, mas continua através da preparação, subdivisão e estágios de análise em laboratório, cada um dos quais é passível de erro, que podem 2 Segundo Koch & Link (1971). homogeneização e subdivisão. os erros de amostragem podem ser subdivididos. tais como: redução da granulometria. O padrão de variação pode ser regular ou aleatório. Segundo Waeny (1979). mistura. da impureza dos reagentes e de outros pequenos problemas. sensoriamento remoto). existem limites de sensibilidade. 3 . b) erros analíticos: são decorrentes da diferença entre o resultado da análise e a concentração na amostra original. Os erros aleatórios. Variabilidade natural A variabilidade do fenômeno em estudo. mas que podem ser localizados quando da análise periódica de um grupo de amostras. os erros analíticos podem ser sistemáticos ou aleatórios. O erro de amostragem representa a diferença composicional entre a amostra de rocha e a parte do corpo rochoso com que se espera representá-la (Miesch. Independentemente do tipo de erro e do método analítico utilizado. além dos quais a determinação dos valores de concentração não é efetiva. em: a) erros de preparação: a preparação visa à redução do tamanho da amostra geológica. Ela compreende uma série de operações não seletivas. geralmente muito grande para fins de análise. c) erro total de amostragem: representa a soma dos erros decorrentes das etapas de amostragem e da preparação da amostra primária. todos passíveis de controle ou atenuação (Waeny 1979). 1967). Resultado Os resultados da amostragem podem ser representados através de medidas diretas ou indiretas. Os erros sistemáticos são aqueles que afetam as análises de maneira uniforme e decorrem da imperfeição dos instrumentos. são os de causa desconhecida.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto afetar a precisão ou influenciar sua exatidão. pode representar a maior fonte de erro. que pode ser medida através do coeficiente de variação (razão da média pelo desvio padrão do conjunto de observações). As medidas diretas podem ser obtidas ‘in situ’ e/ou sobre a amostra e as medidas indiretas são obtidas através de sensores remotos (métodos geofísicos. cada uma das quais sujeita a erros. conforme a sua fonte de variação. segundo o mesmo autor. da incorreção da técnica analítica. seus resultados possam ser estendidos para o todo com um mínimo de erro. furos de sonda. Além disso. 3. Entretanto. antes de introduzir a geoestatística é necessário passar pela fase de preparação e analise estatística dos dados. pelos motivos expostos a seguir. amostras de canal coletadas a cada 20 cm. mensurada e utilizada para posterior estimativa de porções não amostradas. na presença de variabilidade. etc. sempre menor que o intervalo de trabalho. Por exemplo. poucas amostras serão suficientes para inferir o todo. muitos problemas surgem pela não especificação da unidade de amostragem. as amostras de furos de sonda necessitam de preparação para regularizar o intervalo de amostragem. a amostragem deve ser rigorosamente planejada para que. Justifica-se isto frente à necessidade de reconhecer e delimitar possíveis zonas ricas dentro da jazida. produzirá dados mais homogêneos e. Inferência A partir dos dados obtidos. dentro da limitação econômica. Aqui começa o problema para a geoestatística. Porém. se uma jazida é avaliada com base na população de amostras de furos de sonda rotativa a 4 . densidade.). pois. assim por diante. teor.1 Composição de amostras de furos de sonda Geralmente o intervalo de amostragem nos furos de sonda não corresponde ao intervalo de trabalho na fase de avaliação de reservas. Assim. portanto. a composição de amostras pelo agrupamento delas para o intervalo de trabalho. com maior facilidade de interpretação. textura. fragmentos. embora tenha sido necessário analisar as amostras segundo o intervalo de amostragem. Porém. nas quais deve-se garantir que apresentem o mesmo tamanho e massa. as amostras individuais dos furos de sonda podem variar bastante em tamanho. testemunhos de sondagem a cada 2 m e. amostras de mão de 2 kg. 3 PREPARAÇÃO DE DADOS As amostras podem ser coletadas de diversas formas (amostras de mão.). etc. Se não houver variabilidade.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Natureza dos dados Quanto à natureza os dados obtidos da amostragem podem ser classificados em qualitativos (cor. devemos inferir as propriedades do todo amostrado ou do fenômeno em estudo. Por exemplo. comprimento e peso. etc. segundo Kim (1990).) e em quantitativos (composição química. os quais estão sujeitos a erros. pois a variabilidade entre as amostras deve ser reconhecida. É importante especificar a unidade de amostragem utilizada na avaliação de reservas. canal. definido segundo a característica que se quer analisar. o objetivo de se fazer composições de amostras é obter amostras representativas de uma unidade mineralógica particular ou unidade de mineração. os tipos de composições possíveis em amostras de furos de sonda para o intervalo de trabalho são: . . sendo tanto maior quanto menor a inclinação do furo. Segundo Barnes (1980). O comprimento composto (CC) pode ser calculado como: 5 . O resultado da composição de amostras de furos de sonda é expresso como média ponderada do teor pelas espessuras selecionadas para o intervalo de trabalho.1 Composição por bancadas O procedimento da composição por bancadas. Existem muitos tipos de depósitos minerais. vamos considerar apenas a composição por bancadas que é o caso mais comum de regularização de dados e não depende de interpretação prévia dos dados. ei é a espessura do i-ésimo trecho. Segundo o mesmo autor. é indicado para se fazer a avaliação de reservas em depósitos cuja lavra se dará a céu aberto. conforme ilustração na Figura 1. A composição por bancadas é feita aplicando-se a equação (1). ti é o teor do i-ésimo trecho. 1980). simplesmente porque a jazida não é lavrada com furos de sonda rotativa a diamante (Kim 1990). Basicamente. cada um dos quais irá requerer um tratamento especial dos dados amostrados para a obtenção dos melhores intervalos de composição para avaliação de depósito (Barnes. onde as espessuras reais ou aparentes foram determinadas a partir de diferenças entre profundidades. como mostra a equação a seguir: n ∑ ti ei i =1 tc = n (1) ∑ ei i =1 onde: n é o número de trechos para compor o intervalo de trabalho. 3. zona mineralizada. a produção da mina provavelmente não corresponderá às estimativas feitas.1. Entretanto. assim como o intervalo de valores a ser analisado.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto diamante. bancadas. as espessuras são aparentes e o comprimento composto (CC) será maior que a altura da bancada. dentro dos limites de cada bancada. No caso de furos inclinados. a unidade de amostragem é especificada no planejamento da amostragem e inclui o tamanho e modo de retirada física da amostra. pois. pois este valor já dá um comprimento composto de aproximadamente três vezes a altura da bancada. deve-se considerar esse ângulo mínimo igual a 20o. para furos com inclinações de 30o.414 60 1. como mostra a Tabela 1.924 30 2. Figura 1: Desenho esquemático mostrando o cálculo do comprimento composto em furos inclinados para cálculo de composições por bancada. Tabela 1: Fator de multiplicação da altura da bancada para cálculo do comprimento composto em furos inclinados.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto altura da bancada CC = sen θ Deve-se. Como recomendação.547 75 1.864 20 2. limitar a inclinação mínima que pode ser aceita para composições por bancadas. Inclinação do furo (o) fator de multiplicação 15 3. o comprimento composto será de 2 vezes a altura da bancada. A Figura 2 apresenta os fatores de multiplicação para inclinações variáveis entre 15 e 75o.035 Figura 2: Desenho ilustrando o problema da inclinação mínima de furos de sonda para a composição de amostras por bancadas. 6 . por exemplo. em casos de furos inclinados.000 45 1. dos intervalos compostos. X0 e Y0 são as coordenadas da posição da amostra anterior e φ é o azimute do furo de sonda. Para o cálculo das posições das novas amostras deve-se determinar inicialmente o deslocamento horizontal (DH) das amostras (Figura 2-3).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Um outro problema relacionado à composição de furos inclinados está no cálculo das posições das novas amostras. A Tabela 2 reproduz o log de um furo de sonda. Deve-se estabelecer inicialmente se a posição é tomada no topo. como a projeção do comprimento composto (CC). meio ou pé da bancada. As posições das novas amostras nas bancadas podem ser calculadas recursivamente usando: X 1 = X 0 + DH sen (φ ) Y1 = Y0 + DH cos(φ ) onde: X1 e Y1 são as coordenadas da posição da nova amostra. com o qual pretende-se ilustrar o cálculo de composição por bancadas para o teor de Fe (%). A Figura 3 ilustra o procedimento do cálculo das posições das amostras compostas para a altura das bancadas. Figura 3: Procedimento para cálculo das posições de amostras compostas para a altura das bancadas: representação do furo em seção (A) e projeção das coordenadas em planta (B). 7 . Recomenda-se utilizar sempre o meio da bancada como referência para localização das amostras compostas. ou seja. como segue: DH = CC cos(θ ) onde: θ é inclinação do furo de sonda em relação à horizontal. 77 0 16. Tomando por base estes dados.00 32.25 28.00 Filito amarelo 0. Profundidade Descrição Fe (%) em metros De Até 0.00 8.000 43.000 8.00 WH amarelo com Goethita 61. considere-se o log de um furo de sonda. conforme os dados da Tabela 3.01 Filito cinza 0.00 Rocha intrusiva 5.00 51.000 37.74 0 28. o cálculo do teor composto de ferro para bancadas de 10 metros de altura será como exemplificado na Figura 5. Com o objetivo de exemplificar o cálculo de teores compostos por bancada para furos inclinados. 8 .43 HA pulverulenta 62.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Tabela 2: Log do furo CP-23.00 43.81 0 32. Figura 4: Exemplo de composição de amostras por bancada para o furo CP-23 (vertical).25 WH vermelho 59.35 16.000 A Figura 4 apresenta esquematicamente o cálculo dos teores compostos de Fe para as bancadas 1410 e 1420 m.35 Aterro da Estrada do Bota Fora 0.43 37. friável.72 33.000 16.04 93.000 29.40 28.70 Rocha intrusiva - 28. inclusive. 55.70 29. Profundidade Descrição Fe (%) em metros de Até 0. 9 . Esta análise permite sumariar os dados obtidos.000 26.04 Rocha intrusiva com Itabirito cinza 35. eles devem estar isentos de erros de digitação.000 4.40 WH vermelho amarronzado 62. conferir a base de dados e. reconhecer valores anômalos. Trata-se em conhecer melhor os dados que serão utilizados para estimativas e inferências e.000 escuro 33.72 Hematita cinza escuro 60.40 26.40 Hematita cinza escuro friável 60.43 Itabirito cinza escuro.000 Figura 5: Exemplo de composição de amostras por bancada para o furo CP-62 (inclinado).00 4. Antes de introduzir os conceitos estatísticos.20Aterro 0. seria interessante rever brevemente alguns conceitos de variáveis aleatórias e probabilidade. 4 ANÁLISE ESTATÍSTICA A análise estatística é uma etapa importante e deve preceder a análise geoestatística e a estimativa por krigagem ordinária.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Tabela 3: Log do furo CP-62. portanto.20 16. 1 Conceitos de variáveis aleatórias e probabilidade Vamos introduzir e rever alguns conceitos importantes sobre variáveis aleatórias e probabilidade.23 %. Letras minúsculas referem-se a um valor específico da variável aleatória. P(A) é igual à freqüência do evento A (realizações simples igualmente possíveis) sobre n o tamanho da amostra: fA P ( A) = n 10 . Exemplo: X. Variáveis aleatórias Uma variável cujo valor é determinado pela realização de um experimento é denominada variável aleatória. antes de passar à análise estatística propriamente dita. é o teor de sílica em uma amostra específica. Notação Letras maiúsculas serão usadas para referir as variáveis aleatórias. Probabilidade de realizações igualmente possíveis Se A e B são eventos do espaço amostral S. Variáveis aleatórias contínuas Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor num segmento contínuo da linha dos números reais. massas. Variáveis aleatórias discretas Uma variável aleatória discreta é aquela que tem um número contável de realizações possíveis.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 4. representando o teor de sílica em minério de ferro. Exemplo: x=3. segundo uma escala padrão de cores. Exemplo: cor do solo. As variáveis aleatórias podem ser subdivididas em duas classes: discretas e contínuas. volumes são geralmente medidos em uma escala contínua. Exemplo: teores. então a probabilidade do evento A. .. . Função densidade de probabilidade Determina as probabilidades teóricas associadas às variáveis aleatórias contínuas. . p(xi)) denomina-se função de probabilidade de X.p(xn) associadas aos valores possíveis x1.. x2.xn de uma variável aleatória X constituem a distribuição de probabilidade de X. então P( A ∪ B ) = P( A) + P(B ) . ou seja. A função densidade de probabilidade permite calcular a probabilidade da variável aleatória estar no intervalo finito [a.b] como segue: b P(a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x')dx' a Função de distribuição acumulada Dá a probabilidade para a variável aleatória x’ ser menor ou igual a x: x P( x' ≤ x ) = F ( x ) = ∫ f ( x')dx' −∞ 11 . p(x2). similarmente: fB P (B ) = n Então: 1) 0 ≤ P( A) ≤ 1 e 0 ≤ P(B ) ≤ 1 2) P(S ) = 1 3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos. Distribuição de probabilidade As probabilidades p(x1). .Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto e... não podem ocorrer simultaneamente (A∩B=0). Função de probabilidade Ao conjunto de pares ordenados (xi. 0 Valores dos dados Figura 6: Histograma para uma variável aleatória típica de dados geológicos. A distribuição de freqüências pode ser do tipo simples ou acumulada.) em intervalos constantes.2 Representações gráficas de variáveis aleatórias As observações amostradas de uma variável aleatória podem ser representadas graficamente com o objetivo de estudar a sua distribuição dentro do intervalo amostrado. a qual descreve como as unidades de uma população estão distribuídas sobre o intervalo amostrado. 25 % 20 15 10 5 0 0. etc.5 1. porém as freqüências dos dados agrupados nos intervalos são agora acumuladas. espessura. A curva acumulativa é a representação gráfica obtida do lançamento das freqüências acumuladas em ordenada e os intervalos de medida 12 . A distribuição de freqüências do tipo simples é construída tabulando-se os dados de alguma característica medida do depósito (teor.5 2. lançando-se os intervalos de medida em abscissa e as freqüências em ordenada. Histograma A análise estatística começa pelo estudo da distribuição de freqüências. A Figura 6 apresenta um histograma para uma variável aleatória tipicamente encontrada na análise de dados geológicos. Curva acumulativa O procedimento para obtenção de freqüências acumuladas é o mesmo que o do tipo anterior.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 4. O histograma proporciona uma representação gráfica que permite visualizar a distribuição dos dados.0 1. As representações gráficas mais utilizadas são o histograma e a curva acumulativa. os dados assim agrupados podem ser representados graficamente na forma de histograma. Assim. Esta escala é obtida da integração da função densidade de probabilidade da distribuição normal de -∞ a X: X P( X ) = ∫ f ( x )dx −∞ P(X) é a probabilidade acumulada de -∞ a X. A escala de probabilidade aritmética é utilizada freqüentemente para a representação gráfica de distribuições de freqüências acumuladas. Contudo. lançando-se os pontos em gráfico de logprobabilidade aritmética (abscissa em escala logarítmica). As freqüências simples assim obtidas podem então ser acumuladas gerando as freqüências acumuladas. é possível verificar graficamente se a distribuição é normal ou lognormal. que tem a propriedade de identificar graficamente se a distribuição em estudo segue uma distribuição normal (os pontos deverão estar alinhados sobre uma reta). pois permite determinar rapidamente se a distribuição em estudo é normal ou lognormal. ou vice- versa. pois não permite determinar com precisão o valor da variável de interesse para um determinado percentil. se os pontos desenharem um “S”. A simples união dos pontos sobre a curva acumulativa. Se os pontos alinharem-se em torno de uma reta significa que a distribuição é lognormal. quando lançados em gráfico de probabilidade aritmética (abscissa em escala aritmética). atribuindo-se uma freqüência igual a 1/n. representando a distribuição de freqüências acumuladas em gráficos de probabilidade ou logprobabilidade aritmética. mais recentemente as curvas acumulativas têm sido construídas a partir das freqüências acumuladas de todos os dados do conjunto amostrado. com segmentos de reta. ou a uma porcentagem em relação à área total da curva. este tipo de representação não tem sido utilizado. As freqüências acumuladas são geralmente lançadas em escala de probabilidade aritmética. os pontos deverão alinhar-se numa reta.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto em abscissa. Entretanto. significa que a distribuição não é normal e deve ser testada a hipótese de lognormalidade. e corresponde à porcentagem acumulada na escala de probabilidade aritmética. Assim. Se a distribuição de freqüências acumuladas for do tipo normal ou aproximar-se dele. Nesse caso. gera o polígono de freqüências acumuladas. como ilustrado na Figura 7. respectivamente. as freqüências simples são calculadas para todos os valores observados individualmente. 13 . 00 10.95 99.01 0.00 30.99 % ACUMULADA 99. A Figura 8 apresenta uma curva acumulativa para a mesma variável aleatória representada no histograma da Figura 6.00 40.00 60.0 1.00 80.10 0.90 99.50 99.05 0.0 Valores dos dados Figura 8: Curva acumulativa para os valores da variável aleatória típica representada no histograma da Figura 6.5 2.00 95.00 1.50 0.00 50.5 1.00 0.00 70.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Figura 7: A escala de probabilidade aritmética resultando da integração da função densidade de probabilidade da distribuição normal.00 90. 99. 14 .00 5.00 20. L. 4. mediana e moda. por exemplo. que pode ser encontrado a partir de medidas de tendência central: média. o objetivo é determinar o valor mais provável dessa distribuição. x 2 . As estatísticas descritivas são utilizadas para caracterizar numericamente as distribuições de freqüência.3. medidas de dispersão e medidas de forma da curva.1 Medidas de tendência central Ao se estudar uma distribuição de freqüências. Média A média ou esperança matemática de uma variável aleatória X é definida como: E [ X ] = ∑ x i p ( xi ) n i =1 onde: p( xi ) é a probabilidade associada à ocorrência de xi .3 Estatísticas descritivas de variáveis aleatórias As distribuições de freqüência apresentam características intrínsecas ao fenômeno em estudo. Estas estatísticas podem ser obtidas através de: medidas de tendência central. então a média torna-se: E [ X ] = X = ∑ xi n 1 1 n = ∑ xi i =1 n n i =1 Propriedades da média Tem-se a seguir algumas propriedades associadas à média (Fonseca & Martins. págs. 40-41): a) a média de uma constante é a própria constante. Se os valores x1 . 1982. 15 . x n representam os valores possíveis e estes são igualmente possíveis ( p( x1 ) = p( x 2 ) = L = p( x n )) . com menor ou maior variabilidade.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 4. multiplicada por uma constante. a moda corresponde à classe 1.204. E [X ± Y ] = E [ X ] ± E [Y ] d) a média de uma variável aleatória somada ou subtraída de uma constante é igual à média dessa variável somada ou subtraída da mesma constante. 16 . [ E X − X =0] Mediana A mediana corresponde ao valor da variável aleatória a 50% da distribuição acumulada de freqüências. Para o exemplo da Figura 6. E [X ± K ] = E [X ] ± K Observação: esta propriedade é particularmente importante para transformação de variáveis visando ajustar a sua média sem.3. com as mesmas freqüências. Moda A moda corresponde à classe mais freqüente verificada no histograma.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto E [K ] = K b) a média de uma variável aleatória X. E [KX ] = K . então a distribuição é bimodal. é igual a constante multiplicada pela média de X.E [X ] c) a média da soma ou diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou diferença das médias. contudo. No exemplo da Figura 7. o valor da variável aleatória correspondente a 50% é igual a 1. e) a média de uma variável aleatória subtraída de sua própria média é zero. Quando duas modas são verificadas.2 – 1. alterar a variância. assumindo as probabilidades de ocorrência dos n valores possíveis iguais entre si. coeficiente de variação e Teorema de Chebyshev.2 Medidas de dispersão Da mesma forma que existem várias maneiras para medir a tendência central dos dados. há também várias maneiras para medir a dispersão em torno da média: variância e desvio padrão.3. ou desenvolvendo-a. Variância e desvio padrão A dispersão dos valores em torno da média é medida pela variância. tem-se: [ ] S 2 = E X 2 − E[X ] 2 O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e é expresso na mesma unidade dos valores originais. que é determinada como: Var [X ] = ∑ ( xi − X ) 2 p ( xi ) n i =1 Novamente. ou seja. iguais a 1/n. Var [K ] = 0 17 . Propriedades da variância As propriedades associadas à variância. segundo Fonseca & Martins (1982) são: a) a variância de uma constante é zero.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 4. tem-se: Var [ X ] = S 2 = ∑ ( xi − X ) 2 ( ) n 1 1 n 2 = ∑ xi − X i =1 n n i =1 que é a equação usual da variância. Teorema de Chebyshev De acordo com o Teorema de Chebyshev.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto b) a variância de uma variável aleatória multiplicada por uma constante é igual a variância da variável aleatória multiplicada pelo quadrado dessa constante. por exemplo. medida por meio desta estatística. ele é freqüentemente utilizado para comparar a dispersão relativa de valores em torno da média entre diferentes distribuições. para comparação e classificação de depósitos minerais segundo a variabilidade natural. que é uma outra medida de dispersão. 18 . para qualquer função densidade de probabilidade. é obtido pela divisão do desvio padrão pela média: S CV = X Como o coeficiente de variação é adimensional. como. a proporção da variável aleatória dentro de ± K desvios padrão 1 em torno da média é sempre no mínimo 1 − 2 . onde K é qualquer número K positivo maior que 1. Var [X ± Y ] = Var [ X ] + Var [Y ] Coeficiente de variação O coeficiente de variação. Var [KX ] = K 2Var [ X ] c) a variância de uma variável aleatória somada ou subtraída de uma constante é igual à variância da variável aleatória. A Tabela 4 mostra a proporção de Chebyshev para alguns valores de K. Var [ X ± K ] = Var [X ] d) a variância da soma ou diferença entre duas variáveis aleatórias independentes é a soma das respectivas variâncias. A assimetria positiva é observada na maioria das distribuições de freqüências de variáveis de depósitos minerais com alta variabilidade natural (metais raros. que reflete a dispersão dos valores em torno da média. etc. ouro.3 Medidas de forma As distribuições de freqüências podem ser caracterizadas também quanto à forma. 1967).). através das medidas de assimetria e curtose. Assimetria Assimetria é a medida do grau de simetria de uma distribuição de freqüências em torno da média. O coeficiente de assimetria pode ser calculado a partir do terceiro momento centrado na média: n CA=∑ ( xi − X ) 3 / S 3 i =1 Curtose A curtose é a medida do grau de achatamento de uma distribuição em relação à distribuição normal (Spiegel. a qual pode apresentar uma assimetria positiva se a cauda da distribuição estiver à direita da média e negativa se estiver à esquerda. urânio. O coeficiente de curtose é calculado a partir do quarto momento em torno da média: n CC =∑ ( xi − X ) 4 / S 4 i =1 19 .75 3 0.89 4 0. K 1 ≥ 1− K2 2 0.3.94 4.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Tabela 4: Proporção de Chebyshev da variável aleatória estar dentro de ± K desvios padrão em torno da média. A Tabela 5 compara as proporções de Chebyshev para qualquer variável aleatória com a variável aleatória normal. 95% (B) e 99. é dada por: e −1 / 2[( x − µ ) / σ ] 1 2 f ( x )= (2) σ 2π onde: f ( x ) é a função densidade de probabilidade. 4.4. ou seja. que descreve matematicamente esta distribuição.4 Modelos probabilísticos contínuos Serão apresentados neste item os principais modelos probabilísticos utilizados para descrever o comportamento de variáveis aleatórias contínuas encontradas na análise de dados geológicos. 95 e 99. x é uma observação. Tais modelos são representados pela distribuição normal e lognormal. equivalentes aos intervalos µ±σ. µ e σ são respectivamente a média e o desvio padrão que definem a forma da curva. pois sob esta forma de distribuição de freqüências encontra-se um grande número de variáveis aleatórias em muitos campos de aplicação.1 Distribuição normal A distribuição normal ou gaussiana é a mais comumente utilizada em estatística.7% da distribuição. A função densidade de probabilidade. A Figura 9 apresenta os gráficos da função densidade de probabilidade.7%(C) de distribuição. 20 . µ±2σ e µ±3σ. respectivamente. Figura 9: Gráficos da função densidade de probabilidade da distribuição normal para áreas correspondentes a 68% (A).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 4. nos quais encontram-se delimitadas as áreas correspondentes a 68. ao invés das observações originais (vide Teorema do Limite Central).95 3 ≥ 0. esta pode ser aplicada se o problema puder ser resolvido considerando o comportamento de uma variável formada pelo cálculo da estatística de um conjunto de observações. 1998). da posição X até +∞. 21 . daí a sua grande utilidade na prática. 0. 1998).49 resultando numa forma de tabela da distribuição normal (Anexo 1). Assim.997 4 ≥ 0. a variável aleatória contínua é a que está mais concentrada em torno da média (Exell. sem dúvida.75 0. pode-se calcular as áreas sob a distribuição normal entre 0 e 3. Em geral. como ilustrado na Figura 10.d. K Qualquer Variável variável aleatória aleatória normal 1 n. Figura 10: Gráfico da distribuição normal mostrando a área correspondente a integral da função densidade de probabilidade de X à +∞. pois é matematicamente conveniente de se trabalhar com ela. resultando na área Q(X). por exemplo.9375 0. uma vez que suas propriedades são bastante conhecidas. A distribuição normal é.68 2 ≥ 0.8889 0. As áreas sob a distribuição normal podem ser facilmente calculadas integrando-se a função densidade de probabilidade [equação (2)]. a distribuição teórica mais utilizada na prática. a grande maioria das variáveis aleatórias segue uma distribuição normal ou. no mínimo aproximadamente normal.99994 Desta tabela pode-se concluir que de todas as variáveis aleatórias possíveis com a mesma variância.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Tabela 5: Valores de probabilidade que x está no intervalo ± K desvios padrão em torno da média (Exell. Mesmo para observações que não apresentam uma distribuição normal. sendo que o grau de assimetria depende somente do valor de ß2. ß é o desvio padrão dos logaritmos de x em relação a α. A distribuição lognormal é sempre assimétrica para a direita (assimetria positiva).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 4. onde ocorre uma grande quantidade de valores baixos e uns poucos valores altos. algumas distribuições de freqüências apresentam-se após a transformação logarítmica com certa assimetria negativa (assimétrica para a esquerda). Entretanto.o terceiro parâmetro . que pode ser corrigida pela adição de uma constante . A função densidade de probabilidade da distribuição lognormal a três parâmetros é descrita por: e −1 / 2[(log( x +C )−α ) / β ] 1 2 f ( x )= ( x + C ) β 2π A constante C .2 Distribuição lognormal A distribuição lognormal é um tipo encontrado em muitos problemas de avaliação de reservas (principalmente em casos de metais raros). a mudança da forma da distribuição para uma distribuição normal ou aproximadamente normal. 1978). caracterizando- se por uma distribuição com assimetria positiva. a distribuição lognormal é definida como uma distribuição contínua caracterizada pela propriedade dos logaritmos das observações seguirem uma distribuição normal (Koch & Link. Os dois parâmetros α e ß2 definem a forma da curva de distribuição de probabilidades. segundo Koch & Link (1971). como: M 2 − p1 p 2 C= p1+ p 2−2M 22 . que corresponde à variância dos logaritmos das observações (Koch & Link.terceiro parâmetro da distribuição lognormal . O objetivo básico da transformação não linear (logarítmica) observada na equação (3) é. Formalmente. 1971).pode ser estimada. A função densidade de probabilidade da distribuição lognormal é dada por: e −1 / 2[(log x −α ) / β ] 1 2 f ( x )= (3) xβ 2π onde: α é a média dos logaritmos de x. segundo Landim (1985). antes da transformação logarítmica (Krige.às observações originais. 1971).4. X2. 4. p2 é o valor de teor correspondente a um percentil entre 100-p1. usando as propriedades (b) e (c) da média. a média X é: ( X 1 + X 2 + . Figura 11: Curvas de distribuição lognormal com α e C iguais a zero e três valores de β2.5 Teorema do Limite Central Segundo Barnes (1980). Xn são valores de uma variável aleatória.. 0. o Teorema do Limite Central é um dos mais importantes teoremas da estatística matemática relacionada a distribuições de freqüências de amostragem e pode ser enunciado como: "Se amostras aleatórias de tamanho fixo são retiradas de uma população cuja distribuição teórica é de forma arbitrária. p1 é o valor de teor correspondente a um percentil entre 5 e 20%. 1971). o valor de teor correspondente a 50% da distribuição.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto onde: M é a mediana. ou seja...1). Se X1. . mas com média e variância finitas. é: [ ] EX = 1 n (E[X 1 ] + E[X 2 ]+ . Na Figura 11. tem-se as curvas de distribuição lognormal com α e C iguais a zero e para três valores de ß2 (2. + X n ) X = n O valor esperado de X ...5 e 0. segundo Aitchison & Brown (1957. apud Koch & Link. a distribuição das amostras tende mais e mais a uma distribuição normal com média µ e variância σ2/n tanto quanto o tamanho das amostras aumenta”.. + E[X n ]) ou 23 ... Na maioria dos casos a aproximação é boa a partir de 40 amostras. Observe-se que a média das amostras tende a µ e variância σ2/n. tanto quanto aumenta o tamanho das amostras. pode ser determinado com precisão. Amostras aleatórias de tamanho fixo são retiradas de distribuições arbitrárias (Figura 12A). o teor médio deverá se manter na mesma faixa de valores. a partir das quais tem-se: as distribuições das médias para 2 amostras (Figura 12B)..µ ) = µ onde µ é a média populacional A variância de X é calculada como: [ ] Var X = Var [( X 1 + X 2 + . O ponderador variará de acordo com o método escolhido na avaliação de reservas.. desde que as informações coletadas estejam bem representadas no mesmo. A Figura 12 ilustra muito bem o que enuncia o Teorema do Limite Central.. 24 . enquanto as variâncias diminuem na proporção da raiz quadrada do número de amostras.. para 4 amostras (Figura 12C) e para 25 amostras (Figura 12D). As médias praticamente permanecem. o teor médio do depósito será igual à média dos teores calculados nos blocos de cubagem. seja ele convencional ou computacional..Var[ X n ]) ⎝n⎠ ou [ ] ⎛ 1 Var X = ⎜ 2 ⎞ 2 ⎟nσ = σ / n 2 ⎝n ⎠ A distribuição de X tem média µ e variância σ2/n que se aproxima da distribuição normal tanto quanto aumenta o tamanho da amostra. como está assegurado pelo Teorema do Limite Central. As n amostras da variável aleatória X são. na verdade. O teor médio no bloco de cubagem é determinado como a média ponderada dos teores de amostras de furos vizinhos.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto [ ] EX = 1 n (n. Por isso.. em problemas de avaliação de reservas. pois mesmo com a alteração da dimensão do bloco. enquanto a variância diminuirá com o tamanho do bloco de cubagem. + X n ) / n ] aplicando-se as propriedades (b) e (d) da variância tem-se: [ ] 2 ⎛1⎞ Var X = ⎜ ⎟ (Var[X 1 ] + Var [X 2 ] + . Portanto. os teores de n blocos de cubagem que compõem o depósito mineral em avaliação. o teor médio do depósito. apud Davis. pode-se determinar o intervalo de confiança associado ao mesmo.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 4. 25 .6 Intervalo de confiança da média Calculado o valor médio da variável de interesse. a um determinado nível de confiança. 1986). O intervalo de confiança pode ser calculado a partir da estatística t: X −µ t= S n (A) (B) (C) (D) Figura 12: Populações arbitrárias (A). das quais são selecionadas aleatoriamente amostras de tamanho fixo: n=2 (B). n=4 (C) e n=25 (D). segundo Lapin (1982. O Anexo 2 apresenta os valores críticos de t para alguns níveis de significância. como está ilustrado na Figura 13. da estimativa da média. é igual a n-1 (n=número de amostras). a um nível de significância de 10%. 26 . corresponde à variável aleatória padronizada da distribuição normal para uma área equivalente a 10% (Anexo 1). Quando o número de graus de liberdade tende ao infinito. que no caso. a distribuição t tende à distribuição normal. Figura 13: Distribuição t de Student para vários graus de liberdade. Observe-se que o valor crítico de t com graus de liberdade tendendo ao infinito.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto que tem uma nova distribuição de amostragem. A expressão para o intervalo de confiança da média populacional ao nível de confiança de 90% é: s s X − t 5% < µ < X + t 5% n n A distribuição t é simétrica e depende somente do número de graus de liberdade. Var ( X )Var (Y ) que tem a vantagem de estar normalizado no intervalo –1 a +1. enquanto a covariância mede a dispersão ou como encontram-se correlacionadas duas variáveis aleatórias simultaneamente: Cov( X . Y ) = E [ XY ] − E [X ]E [Y ] Observe-se que ao contrário da variância que é sempre positiva. 27 . Coeficiente de correlação O resultado da covariância nem sempre é de fácil interpretação.7 Correlação e regressão Muitas vezes é necessário estudar a relação mútua entre duas variáveis aleatórias (X e Y) com o objetivo de verificar se elas encontram-se correlacionadas ou não. Assim. que pode ser desenvolvida como: Cov( X . Y ) = . para o cálculo de co-estimativas. conforme a seguinte expressão: Cov( X . Y ) Corr ( X . comumente utiliza-se de outra medida derivada da covariância denominado coeficiente de correlação. Covariância A variância mede a dispersão de uma variável aleatória X em torno da sua média X . Para isso necessita-se das estatísticas que correlacionem duas variáveis aleatórias. Um valor próximo de zero indica a falta de correlação entre as duas variáveis. a covariância pode ser positiva ou negativa. dependendo da relação existente entre as variáveis aleatórias. pois depende dos valores associados às variáveis aleatórias X e Y.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 4. Y ) = E [(X − X )(Y − Y )] . por exemplo. Assim. pode-se determinar a relação funcional y = f ( x ) . calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero: dS n = ∑ 2( y i − a − bxi )(− 1) = 0 da i =1 dS n = ∑ 2( y i − a − bxi )(− xi ) = 0 db i =1 desenvolvendo. Y ) b= Var [ X ] 28 . i=1.n}. os coeficientes procurados são: n n ∑ y i − b ∑ xi i =1 i =1 a= n Cov( X .Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Reta de regressão Dado um conjunto de pares ordenados {xi. tem-se: n n n a ∑ 1 + b ∑ xi = ∑ y i i =1 i =1 i =1 n n n a ∑ xi + b∑ xi2 = ∑ xi yi i =1 i =1 i =1 Por fim. Segundo este método. devemos minimizar: ( ) n 2 S = ∑ y i − y i∗ . b). i =1 onde y i∗ = a + bxi e. yi. através do método dos mínimos quadrados. portanto: n S = ∑ ( y i − a − bxi ) 2 i =1 Para encontrarmos o mínimo de S com relação aos coeficientes (a. a diferença elevada ao quadrado entre os valores observados (y) e calculados (y*) deve ser a mínima possível. Vamos exemplificar neste item a obtenção da reta dos mínimos quadrados: y ∗ = a + bx . 5. na geoestatística trabalhamos com as funções aleatórias onde as amostras são vistas como realizações de uma variável aleatória que. A geoestatística envolve a análise e predição de fenômenos espaciais ou temporais. que é o variograma. etc. Tabela 6: Estatísticas medidas para as duas séries de números. é função das coordenadas espaciais. À etapa de estudo e modelagem da correlação espacial denomina-se análise geoestatística. baseado no trabalho de Royle (1979).67 29 . pois apresentam os mesmos valores. pode-se fazer predições ou simulações estocásticas em pontos não amostrados para melhor compreensão do fenômeno espacial em estudo. Após a análise geoestatística. Cabe salientar que a krigagem. concentração de poluentes. medidas através da média e variância (Tabela 6). só deve ser utilizada quando o variograma experimental for estruturado. É desta análise que se obtém a ferramenta básica da estimativa por meio da krigagem ordinária. Para o desenvolvimento deste item. justifica porque as variáveis regionalizadas são dependentes de suas posições espaciais relativas e também mostra como se pode medir as variações espaciais.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 5 ANÁLISE GEOESTATÍSTICA Na estatística trabalhamos com realizações de variáveis aleatórias. bem como uma idéia da variabilidade a pequenas distâncias dada pelo comportamento próximo à origem. foram introduzidas para descrever quantitativamente variações espaciais em corpos de minério. serão consideradas as seguintes séries de números: Série A: 1 7 3 6 2 9 4 8 5 Série B: 1 3 5 7 9 8 6 4 2 As características estatísticas dessas duas séries de números. preço do petróleo no tempo.1 Por quê variáveis regionalizadas? As variáveis regionalizadas. porosidades. Com o modelo de variograma reconhecem-se anisotropias (feição particular dos métodos geoestatísticos). se a variabilidade não for totalmente aleatória (efeito pepita puro). ou seja. como método de estimativa da variável de interesse. Entretanto. que representam os valores de variáveis referenciadas geograficamente. tais como: teores de minério.67 B 5 6. Este item. pois resultam de dois tipos distintos de mineralização. são idênticas. por sua vez. essas duas séries são bem diferentes. Série Média Variância A 5 6. Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Assim. que dividido pelo número de pares dá sentido a uma medida de variância.86 2 2 2 2 2 2 2 e. podem ser representados sob forma gráfica. lançando-se as variâncias espaciais em função dos intervalos de amostragem. obtidas por métodos clássicos.83 4 3. com significado espacial. se fosse considerada a posição espacial relativa de cada amostra. Calculando-se a variância espacial até quatro intervalos de amostragem tem-se os resultados mostrados na Tabela 7.00 3. A variância espacial pode ser calculada para várias distâncias.80 29. optou-se pela soma do quadrado das diferenças. esp. não conseguem reconhecer a diferença existente entre as duas séries em estudo.67 23.63 2 2 2 2 2 2 2 2 variância espacial para dois intervalos de amostragem: [ A : (1 − 3) + (3 − 2 ) + (2 − 4 ) + (4 − 5) + (7 − 6 ) + (6 − 9 ) + (9 − 8) / 7 = 3 2 2 2 2 2 2 2 ] B : [(1 − 5) + (5 − 9 ) + (9 − 6 ) + (6 − 2 ) + (3 − 7 ) + (7 − 8) + (8 − 4 ) ]/ 7 = 12.00 12.63 2 3. A var. 30 . intervalo de var. Como a simples soma das diferenças tenderia a anular-se.86 3 23. esp. pois é dependente da distância utilizada. como segue: variância espacial para um intervalo de amostragem: [ A : (1 − 7 ) + (7 − 3) + (3 − 6 ) + (6 − 2 ) + (2 − 9 ) + (9 − 4 ) + (4 − 8) + (8 − 5) / 8 = 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ] B : [(1 − 3) + (3 − 5) + (5 − 7 ) + (7 − 9 ) + (9 − 8) + (8 − 6 ) + (6 − 4 ) + (4 − 2 ) ]/ 8 = 3. as estatísticas. Tabela 7: Variâncias espaciais para as séries A e B. B amostragem 1 22. determinadas até quatro intervalos de amostragem. como está mostrado na Figura 14. pois consideram as amostras independentes entre si. assim sucessivamente. ou para vários intervalos de amostragem. Uma possibilidade seria medir a diferença entre os valores de amostras separadas por uma determinada distância.60 Os dados da Tabela 7. Por outro lado. poder-se-ia distinguir as duas séries de números. respectivamente).63 para uma variância amostral de 6. verifica-se que a série A é muito errática. Uma maneira prática para verificar se há correlação espacial nos dados. apud Huijbregts. caso contrário não há.67. não apresenta correlação espacial.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Figura 14: Variância espacial em função dos intervalos de amostragem para as séries A e B. Uma variável aleatória é aquela que recebe um certo número de valores. podem ser consideradas como exemplos de variáveis regionalizadas. pois a correlação entre os valores diminui com a distância. as variâncias espaciais aumentam conforme o intervalo de amostragem. mas cujas variações não podem ser representadas por uma função determinística (Blais & Carlier. ou seja. dentro de alguma escala de amostragem. a mesma variância é igual a 22. Na série B. geofísicas. que na série B. com boa correlação espacial. por exemplo. então há correlação. é calcular a variância espacial para um intervalo de amostragem e comparar com a variância amostral. sedimentológicas..00. 5. 1968 apud Olea. O termo variável regionalizada foi escolhido por Matheron (1965. 1975). que varia de um lugar a outro com continuidade aparente.2 Variáveis regionalizadas Uma variável regionalizada é qualquer função numérica com uma distribuição espacial. enquanto a série B é mais uniforme. A definição de uma variável regionalizada como uma variável distribuída no espaço é puramente descritiva e não envolve qualquer interpretação probabilística. Observando-se o gráfico da Figura 14. Em geologia. a variância espacial para um intervalo de amostragem é igual a 3. se a variância espacial for menor. enquanto para a série A. 1975) para enfatizar as feições particulares dessas variáveis. Esse comportamento seria desejado em todos os corpos de minério. 1978). portanto. O teor de um elemento num ponto x1 do depósito pode ser considerado como uma realização particular de uma variável aleatória Z(x1) 31 . segundo Bon (1979). sejam elas geoquímicas. de acordo com uma certa distribuição de probabilidades (Journel & Huijbregts. etc. Veja. todas as observações quantitativas feitas em duas ou três dimensões (área ou volume. consistindo de variações altamente irregulares e imprevisíveis.e. x ∈ D) é um processo estocástico a valores reais. Hipótese intrínseca "Um conceito básico na Teoria das Variáveis Regionalizadas é a chamada hipótese intrínseca. A Teoria das Variáveis Regionalizadas tem por objetivos o estudo e representação das propriedades estruturais das variáveis regionalizadas para resolução de problemas de estimativa. in IPT (1989). A interpretação probabilística de uma variável regionalizada. 1978). denomina-se função aleatória Z(x) o conjunto de teores Z(x) para todos os pontos x dentro do depósito [i. como uma realização particular de uma certa função aleatória Z(x). ou seja. A maioria das variáveis regionalizadas apresenta um aspecto aleatório. e um aspecto estruturado. tem um significado operacional quando for possível inferir toda ou parte da lei de probabilidades que define essa função aleatória na sua totalidade (Journel & Huijbregts. A função intrínseca é na verdade o chamado semivariograma. por meio de uma representação simples da variabilidade espacial (Journel & Huijbregts 1978). Essa é a conceituação geoestatística da hipótese intrínseca. definido sobre um domínio D em R. onde (Z(x). variável regionalizada Z(x)]. Em outras palavras. R2 ou R3". o variograma é o mesmo onde quer que se amostre. as características qualitativas de variáveis regionalizadas. a geoestatística assume que a distribuição das diferenças entre dois pontos amostrais (estatística de dois pontos) é a mesma para todo o depósito e que ela depende apenas da distância e orientação entre os pontos. Segundo Journel & Huijbregts (1978). Uma formulação apropriada para solução de problemas de estimativa deve levar em consideração essas duas características aparentemente contraditórias. Características qualitativas das variáveis regionalizadas Segundo Bubenicek & Haas (1969). a qual implica que uma função (a função intrínseca) descreve o comportamento espacial da variável regionalizada dentro do espaço e que essa função é uma característica intrínseca da regionalização. refletindo as características estruturais do fenômeno regionalizado (Kim. A estacionaridade usada na Teoria das Variáveis Regionalizadas é a estacionaridade de segunda ordem das diferenças entre a variável Z(x) e a variável Z(x+h) nos pontos (x) e (x+h). são: 32 . 1990).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto definida no ponto x1. que os métodos estatísticos convencionais não conseguem reconhecer. algumas vezes referenciada como hipótese de quase- estacionaridade. A variação espacial é estacionária se ela puder ser reconhecida em todas as partes do espaço. mas deve existir uma certa continuidade ponto a ponto. grande ou pequena. A unidade amostral básica sobre a qual a variável é medida chama-se suporte (IPT.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Localização Os valores de uma variável regionalizada são dependentes de suas funções espaciais relativas dentro do campo geométrico (depósito). Além disso.∑ [Z ( x + h) − Z ( x)] 1 n 2γ (h ) = 2 n i =1 33 . Anisotropias A regionalização pode apresentar anisotropias quando apresenta variações graduais numa direção e rápida ou irregular em outra. Suporte Por vezes a variável regionalizada Z(x) não está definida num ponto. A função variograma 2γ(h) é definida como sendo a esperança matemática do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço. Continuidade A variação espacial de uma variável regionalizada pode ser. separados por uma distância h. segundo uma determinada direção. A natureza estrutural de um conjunto de dados (assumido pela variável regionalizada) é definida a partir da comparação de valores tomados simultaneamente em dois pontos.3 O variograma O variograma é a ferramenta básica que permite descrever quantitativamente a variação no espaço de um fenômeno regionalizado (Huijbregts. dependendo do fenômeno. 5. estes valores são dependentes do tamanho da amostra. conforme a seguinte expressão: { 2γ (h ) = E [Z ( x + h ) − Z ( x )] 2 } ou em termos computacionais: . 1975). mas sobre uma área ou volume centrado em x. forma e orientação (suporte amostral). 1989). yi). apresentado por Journel (1989). A distância di entre o i-ésimo ponto (xi. Para o desenvolvimento da relação de dependência entre valores (xi. Havendo n pares de pontos. considere-se o diagrama de dispersão da Figura 15. n i =1 34 . como: 1 n 2 γ xy = . pode-se calcular o momento de inércia em torno da reta de 45o. que é simplesmente a metade da função variograma: .∑ d i . n é o número de pares de pontos separados por uma distância h.∑ [Z ( x + h) − Z ( x)] 1 n γ (h ) = 2 2n i =1 Imaginava-se a expressão da função semivariograma como empírica. Z(x+h) é o valor da variável regionalizada no ponto (x+h).yi) e a reta ideal é: d i = xi − yi cos 45 o elevando a distância ao quadrado tem-se: d i2 = 1 (xi − yi )2 2 Figura 15: Representação do par de pontos (xi. conforme proposta por Matheron (1971). separados por uma distância h. Comumente utiliza-se da função semivariograma. 1989). como apresenta-se a seguir.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto onde: 2γ(h) é a função variograma. Z(x) é o valor da variável regionalizada no ponto x.yi) no diagrama de dispersão (Journel. mas Journel (1989) mostrou que ela não é nada mais que o momento de inércia medido num diagrama de dispersão entre os valores de Z(x+h) versus Z(x). maior o momento de inércia e menor a correlação.∑ (xi − yi ) 2 2 n i =1 2 2n i =1 Quanto maior a dispersão. pode-se definir a covariância C(h). Se não houver dispersão . tem-se uma medida eficiente da dependência espacial por meio do momento de inércia do conjunto de pontos separados por uma certa distância em relação à reta 45o.3. 5. a covariância para distância de separação nula. pode-se definir a média e a variância de uma variável regionalizada. Da mesma forma. ou seja. de acordo com as seguintes relações: m = E [Z ( x )] { Var [Z (x )] = E [Z ( x ) − m] 2 } A variância é conhecida em notação geoestatística como C(0).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto ou 1 n 1 1 n γ xy = .todos os pares de pontos caem sobre a reta 45o .Z ( x )] + E Z 2 ( x ) (5) desenvolvendo-se a expressão da variância tem-se: 35 .1) obtém-se: γ (h ) = 1 2 {[ ] [ ]} E Z 2 ( x + h ) − 2 E [Z ( x + h ). entre pontos separados por uma distância h: C (h ) = E [Z ( x + h ).∑ ( xi − yi ) = .Z ( x )] − m 2 (4) A função variograma 2γ(h) pode também ser expressa em termos de variância C(0) e da covariância C(h).4 Relação entre semivariograma e a função covariância Como na Estatística Clássica.Z ( x ) + Z 2 (x ) aplicando-se as propriedades (b) e (c) da média (item 4.o momento de inércia é zero e o coeficiente de correlação é igual a 1 (máxima correlação). Como pode ser visto. de acordo com o seguinte desenvolvimento: 2γ (h ) = E [Z ( x + h ) − Z ( x )] 2 γ (h ) = 1 2 [ ] E Z 2 ( x + h ) − 2 Z (x + h ). Ao contrário da função covariância. a função γ(h) fica: γ (h ) = 1 2 { [ ] C (0) + m 2 − 2 C (h ) + m 2 + C (0) + m 2 } γ (h) = 1 [2C (0) − 2C (h )] 2 portanto: γ (h ) = C (0) − C (h ) (8) Como a função variograma é uma medida da variância das diferenças nos valores da variável regionalizada entre pontos separados por uma distância h. por estarem correlacionados terão essa variância pequena. aumentando à medida que os pontos se distanciam. A função variograma é usualmente representada sob a forma gráfica denominada variograma e a da função covariância é 36 . que a média do quadrado da variável regionalizada no ponto (x) é igual àquela no ponto (x+h): [ ] [ E Z 2 (x ) = E Z 2 (x + h ) ] (7) Substituindo-se (4).3. tem-se: [ ] [ C (0) = E Z 2 ( x ) − 2mm + m 2 = E Z 2 ( x ) − m 2] ou [ ] E Z 2 ( x ) = C (0) + m 2 (6) admitindo-se a estacionaridade. que é grande para distâncias pequenas diminuindo à medida que a distância aumenta. (6) e (7) em (5).1): [ ] C (0) = E Z 2 (x ) − 2mE [Z ( x )] + m 2 como E [Z ( x )] = m . ou seja. pontos mais próximos.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto C (0 ) = E [Z ( x ) − m] 2 [ C (0 ) = E Z 2 ( x ) − 2 Z ( x ). pois esta função mede a correlação entre pontos separados por uma distância h.m + m 2 ] aplicando-se novamente as propriedades (b) e (c) da média (item 4. 1994).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto denominada covariograma. Este procedimento é denominado "análise estrutural" na literatura (e. a amplitude reflete o grau de homogeneização entre as amostras. A Figura 16 mostra a relação entre a função variograma e a função covariograma. Na prática faz-se variogramas segundo várias direções da jazida. As principais propriedades do variograma.g. 1975. portanto a função γ(h) é vetorial. são: Figura 17: Desenho mostrando um variograma típico e suas propriedades. Olea. quanto maior for a amplitude maior será a homogeneidade 37 . Huijbregts. Figura 16: Relação entre as funções variograma e covariograma. Em outras palavras. que podem ser vistas na Figura 17. ou seja. justamente para se conhecer a estrutura da mineralização.5 Propriedades do variograma A interpretação do variograma permite obter parâmetros que descrevem o comportamento espacial das variáveis regionalizadas. O variograma é determinado segundo uma direção predefinida. Amplitude É a distância a partir da qual as amostras passam a ser independentes (Figura 17). 5. A amplitude (a) é a distância que separa o campo estruturado (amostras correlacionadas) do campo aleatório (amostras independentes). por fim. geralmente. Portanto. A anisotropia pode ser geométrica (Figura 18A). ou seja. a anisotropia mista (Figura 18C) onde variam tanto a amplitude quanto o patamar. Esta correlação. 38 . Patamar É o valor de variância no qual o variograma estabiliza-se (no campo aleatório). Efeito pepita É o valor da função variograma na origem (h=0). a erros de amostragem e/ou análise. conforme Matheron (1971). com os equipamentos disponíveis atualmente. 5. o variograma dá um significado preciso da noção tradicional de zona de influência. atribui-se. mas sob um patamar constante. O efeito pepita também é chamado de variância aleatória (Figura 17). Zona de influência Uma feição resultante da análise dos parâmetros do variograma experimental é a determinação da zona de influência. qualquer valor de Z(x) estará correlacionado com outros valores Z(x+h) que estiverem dentro de um raio “a” de x. quando não é assim. Como os erros analíticos são desprezíveis. o efeito pepita é atribuído a erros de amostragem e/ou à variabilidade natural do depósito. Variância espacial É dada pela diferença entre a variância a priori e o efeito pepita (Figura 17). zonal (Figura 18B) quando a amplitude permanece constante e o patamar varia de acordo com a direção. quando a amplitude varia conforme as direções. como exemplificados pela Figura 18. quando as várias direções resultam em diferentes variogramas. decresce conforme Z(x+h) aproxima-se de “a”. e. que é um fenômeno de transição caracterizado exclusivamente por modelos de variograma que possuem patamar e amplitude definidos. ou a influência de um valor em outro..6 Anisotropias Os variogramas determinados ao longo de diferentes direções da jazida podem mostrar variações distintas. esta diferença.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto entre as amostras. Nesse sentido. entretanto. Teoricamente esse valor deveria ser zero. pois duas amostras tomadas no mesmo ponto (h=0) deveriam ter os mesmos valores. à qual ajusta-se uma elipse visando a definição precisa da direção de anisotropia. Entenda-se por continuidade média das amostras como sendo uma grande homogeneidade destas a pequenas distâncias e uma progressiva perda 39 . representando uma continuidade média das amostras. Linear Caracterizado por um comportamento linear na origem. 5. A anisotropia pode ser identificada facilmente através da confecção e análise de variogramas direcionais. bem como a quantificação dos eixos de maior e menor elongação. Este tipo pode ser exemplificado por um variograma construído a partir de dados de espessura de uma camada.7 Comportamento próximo à origem O grau de continuidade da mineralização é dado pelo comportamento do variograma próximo à origem. por uma tangente oblíqua à origem (Figura 19B). ou seja. Exemplo de anisotropia zonal O variograma de um furo de sonda vertical mostra uma patamar maior que na direção horizontal. zonal (B) e mista (C).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Figura 18: Anisotropias: geométrica (A). Assim. Exemplo de anisotropia geométrica Num depósito eólico a permeabilidade deve ter uma amplitude maior na direção do vento em relação à amplitude na direção perpendicular. quanto a este comportamento podem ser descritos quatro tipos básicos. com os quais constrói-se uma rosácea. Após ajuste dos modelos. a saber: Parabólico O variograma descreve uma curva parabólica próximo à origem (Figura 19A) e representa um alto grau de continuidade das amostras selecionadas. anota-se os valores de amplitude e patamar. segundo Bubenicek & Haas. Efeito pepita Este tipo apresenta uma descontinuidade na origem. (Figura 19C). O efeito pepita puro é um fenômeno de difícil ocorrência em mineralizações. média continuidade (B): efeito pepita (C) e efeito pepita puro (D). o qual implica que o variograma é válido dentro desse domínio e. o variograma deve ser recalculado.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto de homogeneidade com o aumento da distância. Figura 19: Graus de continuidade da mineralização expressos pelo comportamento do variograma na origem: alto grau de continuidade (A). Efeito pepita puro É um tipo extremo de comportamento do variograma próximo à origem (Figura 19D) e reflete a variação espacial de um fenômeno de transição. 1978). 5. 1969). Burguess & Webster (1980) citam que o termo efeito pepita teve origem na mineração de ouro. Este comportamento é típico de muitos depósitos minerais metálicos. porém ressalta-se que neste caso não se deve utilizar o método geoestatístico de interpolação. Esta descontinuidade pode ser reflexo de dois fatores não mutuamente exclusivos - erros de medida na amostragem e micro variabilidades. onde a inclusão de uma pepita de ouro em uma pequena amostra de um testemunho de sondagem é um evento aleatório. se este for alterado. 40 . onde para um dado valor de patamar a amplitude terá um valor infinitesimalmente menor que as distâncias de observação (Journel & Huijbregts.8 Domínio do variograma O domínio de definição do variograma é chamado campo geométrico. portanto. sendo que para os primeiros deve-se ainda especificar direções e aberturas para pesquisa de pontos para fins de cálculo da função variograma. Geralmente os variogramas horizontais são especificados segundo a orientação da linha base e daí a 45o. um variograma intrínseco pode ser obtido (A). além de apresentar variabilidade maior que aquela verificada no variograma intrínseco (B). fazendo com que o variograma seja dependente da posição e tamanho do campo. Basicamente pode-se obter variogramas horizontais e verticais. neste caso. 1969). 41 . e N45oW. Nesta parte a mineralização não existe e. No caso de variogramas horizontais para uma malha de amostragem quadrada. reconhece-se uma lei de dispersão única no campo mineralizado denominada "lei intrínseca". Quando esta hipótese é verificada. encontrado numa determinada direção. Os variogramas assim obtidos servem para identificar e determinar possíveis anisotropias. Figura 20: Domínios de definição do variograma. Contudo. o campo geométrico engloba parte do depósito e uma zona não mineralizada. esta característica intrínseca não se mantém quando se move o campo para a zona de borda. Entretanto. é possível definir um variograma transitivo que é independente do campo que engloba o depósito (C). o valor da variável regionalizada pode ser zero e o conceito de valor médio nesse campo de um dado tamanho tornar-se-ia insignificante. deveria ser até certo ponto intrínseco ou independente da posição nas características representando a variabilidade da variável regionalizada (Bubenicek & Haas. de acordo com aqueles autores. O campo geométrico coincide com o depósito e. N-S.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto O campo geométrico. segundo Bubenicek & Haas (1969). especifica-se quatro direções iniciais de pesquisa: E-W. o campo geométrico é muito maior que o depósito e o variograma tende a zero quando o tamanho do campo aumenta. as direções devem ser especificadas para colherem o máximo de informações. 90o e 135o. Portanto. considerado geologicamente homogêneo. no sentido anti-horário. com direção da linha base E-W. como está ilustrado na Figura 20. para diferentes distâncias. por isso. 5. N45oE.9 Cálculo de variogramas experimentais A obtenção de variogramas representativos depende fundamentalmente do número de pares de pontos. ou seja.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto A consistência dos pontos do variograma experimental irá depender exclusivamente do número de pares de amostras. O ângulo de tolerância pode ser limitado levando-se em consideração a distância “percorrida” ao longo da direção. deverão conter o maior número de pares de pontos possíveis e deve-se descartar aqueles com um número muito inferior àquele locado imediatamente após. O variograma de 42 . quando a tolerância angular é estabelecida forma-se um triângulo (2D) ou um cone (3D) em torno da direção preferencial. dentro de uma janela de pesquisa. para uma dada distância. no mínimo. isto é. Neste sentido. quando os pontos de dados estiverem dispersos. O problema é que se não houver uma limitação. estabelece-se uma distância a partir da qual o triângulo ou cone ficam limitados a essa faixa. se houver. A comparação entre valores de amostras separadas por uma distância h é direta se os pontos de dados estiverem distribuídos segundo uma malha regular. deve-se fazer a pesquisa de amostras situadas a uma distância h. a tolerância angular. N im a áx u r cia a Passo 4 M a rg ân so er as L l To o P d o Passo 3 ss Pa Passo 2 Passo 1 Tolerância Angular Passo 0 Direção E Figura 21: Desenho mostrando a direção do variograma. Para evitar isso. os passos. 5. 30-50 pares de amostras para cada ponto do variograma experimental. por um ângulo e por uma distância de tolerância. Acrescenta-se ainda que se deve sempre observar o número de pares de pontos usado para o cálculo de γ(h) próximo à origem do variograma. conforme pode ser observado na Figura 21.10 Modelos teóricos de variogramas O variograma como ferramenta básica será utilizado para calcular os valores da função variograma. Entretanto. 1994). ao longo da direção do variograma. englobando maior número de pontos. define-se a largura máxima. os quais são necessários para a organização do sistema de equações de krigagem. Para fins práticos Journel & Huijbregts (1978) recomendam utilizar. Esta janela é definida. a largura máxima e a tolerância do passo (modificado de Pannatier. deve-se cuidar que no momento do ajuste do modelo de variograma os pontos que definirão o efeito pepita. a área do triângulo ou o volume do cone tendem a crescer indefinidamente. invariavelmente. pois o variograma é descontínuo na origem. efeito pepita. quando o número de pares de amostras vai diminuindo. surge a necessidade de ajustar uma função matemática que descreva continuamente a variabilidade ou correlação espacial existente nos dados. o variograma teórico é desenhado juntamente com os pontos do variograma experimental. o valor de γ(h)=0 para h=0. porque há necessidade de interpolação e. até que o ajuste seja considerado satisfatório. Assim. onde a partir dos parâmetros do variograma (modelo. conforme as equações apresentadas a seguir. dito experimental. novos parâmetros são fornecidos sucessivamente. principalmente para distâncias grandes. amplitude e patamar).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto pontos. Figura 22: Modelos teóricos de variogramas mais comuns no estudo de fenômenos espaciais geológicos. 43 . bem como no efeito pepita puro. e se o ajuste não for satisfatório. Os modelos de variogramas mais comuns na natureza estão ilustrados na Figura 22. os pontos apresentar-se-ão com uma certa dispersão. Esta modelagem é feita de maneira interativa. Exponencial ⎡ ⎛ ⎛ h ⎞ ⎞⎤ γ (h) = C o + C⎢1 − exp⎜⎜ − ⎜ ⎟ ⎟⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎝ a ⎠ ⎠⎦ Gauss ⎡ ⎛ ⎛ h ⎞ 2 ⎞⎤ γ (h) = C o + C 1 − exp⎜ − ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎜ ⎝ a ⎠ ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ Esférico ⎡3 ⎛ h ⎞ 1 ⎛ h ⎞3 ⎤ ( ) γ h = C o + C⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ para h < a ⎣⎢ 2 ⎝ a ⎠ 2 ⎝ a ⎠ ⎦⎥ γ (h) = C o + C para h ≥ a Foram apresentados os três modelos mais comuns na natureza e que podem resolver a maioria dos problemas na modelagem da correlação espacial de fenômenos geológicos. Obviamente existem outros modelos. mas não se justifica introduzi-los num texto introdutório de geoestatística. O ajuste de uma função matemática ao variograma experimental é denominado modelagem de variogramas. não serve para esse fim. Cabe ressaltar que em qualquer modelo teórico que apresente efeito pepita. a partir de dados de amostragem. este autor (Yamamoto. 6. A fronteira convexa pode ser definida como o polígono convexo de área mínima que engloba os pontos de dados. quando o problema for a estimativa de recursos naturais. Por outro lado. a krigagem como qualquer outro método de interpolação requer a definição de certas condições de controle visando estimativas de qualidade. que pode ser aproximado através da sua fronteira convexa. Cabe lembrar. conseqüentemente. 1997). ambas aproximações necessitam de uma correção para representar apropriadamente o fenômeno espacial através de uma única imagem representativa. Infelizmente. Detalhes de algoritmos para determinação de fronteira podem ser encontrados em Yamamoto (1997). Assim. Cabe notar que a maioria dos programas de geoestatística não permite a definição da fronteira e. A krigagem ordinária tem como característica principal a precisão local das estimativas. que a precisão local é muito mais importante que a precisão global. mas com significativa perda de precisão local. O uso de limites para interpolação de dados evita a interpretação de dados espúrios criados por extrapolação matemática (Yamamoto. Esta é uma característica menos atrativa da simulação estocástica (Olea. Antes de passar a estimativa propriamente dita. não há uma solução pronta para obtenção de uma única imagem representativa que compartilhe tanto a precisão global e local. as realizações estocásticas não estão livres de erros na representação da realidade e os erros. sem nenhum significado prático ou real. estimando pontos fora do domínio dos pontos amostrados.1 Definição da fronteira convexa As estimativas só podem ser feitas dentro do domínio dos pontos de dados. Tais condições são: definição da fronteira convexa e da vizinhança local. Portanto. 1999). ao invés das simulações estocásticas. 2000) propôs recentemente uma alternativa ao cálculo da variância do erro através da variância de interpolação que será visto adiante. a técnica da simulação estocástica tem sido preferida para estudo da variabilidade. pois a variância de krigagem não proporciona uma medida precisa da incerteza associada à estimativa. Na realidade. A simulação estocástica reproduz tanto o histograma como o variograma. 44 . na qual os variogramas experimentais foram calculados e os modelos teóricos foram ajustados.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 6 ESTIMATIVAS POR KRIGAGEM ORDINÁRIA Após a análise geoestatística. Assim. A título de ilustração a Figura 23 apresenta um conjunto de pontos de dados e a sua fronteira convexa. contudo. são maiores que aqueles da estimativa de krigagem. Observe-se que apenas os nós da malha regular que estão dentro da fronteira convexa podem ser estimados. mas com perda da precisão global devido ao efeito de suavização (suavização da variância e do variograma). de acordo com Olea (1999). Muitos autores têm preferido tentar corrigir o efeito de suavização da krigagem ordinária. todo o esforço na procura de alternativas para determinação da variabilidade foi justificado pela falta de uma medida da variância do erro. passa-se ao cálculo de estimativas pela técnica da krigagem ordinária. para qualquer realização. Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto A) B) 100 100 80 80 60 60 40 40 20 20 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 Figura 23: Conjunto de pontos de dados (A) e sua fronteira convexa com o desenho dos nós da malha regular pertencentes à mesma (B). 6.2 Definição da vizinhança local A krigagem ordinária faz uso da correlação espacial existente entre amostras, modelada pela função variograma. Isto significa que somente as amostras dentro de um raio de influência (igual à amplitude) poderão ser utilizadas para a estimativa do valor da variável de interesse em um ponto não amostrado. Assim, a krigagem ordinária é uma técnica essencialmente local, ao contrário da superfície de tendência que é global (todas as amostras são consideradas para o ajuste de uma superfície em toda a área de estudo). Sendo a krigagem uma técnica local de estimativa, deve-se estabelecer estratégias para localização e pesquisa das amostras vizinhas mais próximas do ponto a ser estimado. A localização e busca de n amostras de furos vizinhos para definição do subconjunto de amostras a ser utilizado na estimativa local é um passo importante da krigagem ordinária. Pois, dependendo do modo de pesquisa, diferentes subconjuntos de amostras poderão ser definidos e, portanto, resultados distintos poderão ser obtidos. A escolha das n amostras de furos vizinhos deve ser feita de tal modo que garanta uma boa amostragem espacial, o que implica em evitar subconjuntos com agrupamentos de pontos. Agrupamentos de pontos ocorrem preferencialmente em arranjos aleatórios e semi-regulares. Assim, torna-se necessário estabelecer critérios de seleção de amostras que garantam uma boa amostragem espacial e, conseqüentemente, evitem os agrupamentos de pontos. Existem basicamente três critérios que podem ser aplicados para a definição da vizinhança local: n pontos mais próximos, n/4 pontos mais próximos por quadrante e n/8 pontos mais próximos por octante. 45 Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Pontos mais próximos Considere-se, por exemplo, que o subconjunto de pontos seja definido pelos oito pontos mais próximos, em relação ao ponto a ser interpolado, para os arranjos aleatório e semi-regular, como ilustrado na Figura 24A e 24B, respectivamente. Na Figura 24A, pode-se observar que a pesquisa dos vizinhos próximos, sem nenhuma restrição quanto à localização dos mesmos, resulta no agrupamento de pontos no quadrante nordeste, em detrimento dos demais, enquanto o quadrante sudoeste nem sequer foi amostrado. No arranjo semi- regular da Figura 24B, verifica-se que somente os pontos situados ao longo de uma linha de pesquisa serão amostrados, se nenhuma restrição for imposta, caracterizando também um agrupamento de pontos. Em nenhum caso a amostragem espacial foi representativa em termos da reprodução do gradiente dos dados. A) B) Figura 24: Localização dos oito pontos mais próximos para o arranjo aleatório (A), localização dos oito pontos mais próximos para o arranjo semi-regular (B), modificado de Harbaugh et al. (1977). Assim, para se evitar agrupamentos de pontos foram estabelecidos critérios de seleção de amostras baseados na subdivisão da região do ponto a ser estimado em quatro ou oito setores, denominados respectivamente quadrante e octante. Quadrante Pelo critério dos quadrantes, a região do ponto a ser estimado é subdividida em quatro setores e os n/4 pontos mais próximos por quadrante são selecionados. Observe-se na Figura 25 que o critério dos quadrantes proporciona uma melhor amostragem espacial. Como se pode observar na Figura 6-3B, a aplicação do critério dos quadrantes provocou a amostragem de pontos em duas linhas adjacentes de pesquisa. 46 Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto A) B) Figura 25: Seleção de duas amostras por quadrante, para o arranjo aleatório (A) e para o arranjo semi-regular (B), adaptado de Harbaugh et al. (1977). Octante Utilizando o critério dos octantes, a região do ponto a ser estimado é subdividida em oito setores, nos quais são escolhidos os n/8 pontos mais próximos por octante são selecionados. A Figura 26 apresenta os resultados da seleção pelo critério dos octantes mostrando uma melhor distribuição espacial dos pontos amostrados. A) B) Figura 26: Seleção de uma amostra por octante, para o arranjo aleatório (A) e para o arranjo semi-regular (B), adaptado de Harbaugh et al. (1977). Embora a seleção de amostras pelo critério dos octantes resulte numa melhor distribuição espacial, há, por outro lado, o inconveniente de amostras mais distantes serem selecionadas para a estimativa do ponto. Sem dúvida, deve 47 Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto existir um compromisso entre a representatividade da amostragem e a distância máxima das amostras selecionadas. Quadrante sólido Arranjos semi-regulares ocorrem também com informações de furos de sonda, onde a densidade de amostragem ao longo dos furos é sempre maior que entre os furos. A Figura 27 ilustra o caso da seleção de amostras de furos de sonda para interpolação de ponto ou bloco na jazida, sem impor nenhuma restrição. A Figura 28 mostra a mesma situação anterior, porém com restrição de localização por "quadrantes", ou seja, o equivalente para o caso tridimensional em o que cada quadrante representa um setor com ângulo sólido de 90 . Observe-se na Figura 27 que, no caso de avaliação de jazidas, o critério de seleção por setor é importante para evitar a superamostragem de um determinado furo, em relação aos demais. Na Figura 28, aplicando-se o critério de seleção por setor, pode-se verificar que os quatro furos de sonda foram amostrados, melhorando a representatividade da amostragem, principalmente quando se estiver avaliando um bloco de cubagem. Figura 27: Localização de oito amostras de furos de sonda mais próximas ao centro do bloco. Figura 28: Seleção de uma amostra de furo de sonda mais próxima por setor (octante tridimensional), em relação ao centro do bloco. 48 cujos nós pertencentes à fronteira convexa serão estimados pela técnica da krigagem ordinária. e nem excessivamente grande. dependendo se a estimativa estiver sendo feita em 2D ou 3D. por quê definir uma malha regular? Porque a malha regular proporciona áreas ou volumes de mesmo tamanho permitindo assim fazer uma comparação de resultados.3 Definição da malha regular O último passo antes do cálculo de estimativas pela krigagem ordinária consiste na definição da malha regular em 2D ou 3D. há riscos de se estar avaliando blocos com base na média de amostras do furo mais próximo. principalmente na borda do corpo de minério. No caso da malha 2D. respectivamente. Como os dados em 3D são geralmente ligados a resultados da pesquisa mineral. A Figura 29 apresenta uma malha regular 2D. Número de amostras de furos vizinhos Escolhido o critério para a seleção de amostras de furos vizinhos. A malha regular pode ser definida em 2D ou 3D. ou então ao critério de octante tridimensional. como uma área em torno do nó da malha regular. perdendo a característica de interpolação local. deve-se definir o número de amostras a ser utilizado para estimativa do valor de interesse em um ponto não amostrado. deve-se relaxar a condição inicial para um mínimo de 3 ou 4 amostras. deve ser feita sempre com aplicação do critério de seleção em setores para garantir uma boa amostragem espacial. com o risco da interpolação resultar em valor semelhante ou muito correlacionado ao do ponto mais próximo. 49 . Caso contrário. Ao conjunto de blocos de cubagem que compõem o depósito denomina-se modelo tridimensional de blocos (Figura 30). Daí a diferença entre krigagem pontual e de bloco como se verá adiante. O número de amostras não deve ser excessivamente pequeno. Mas. Assim. nem sempre a condição inicial de 8 amostras de furos vizinhos será satisfeita. que se ajustam perfeitamente aos critérios de quadrante (2 amostras por quadrante) ou octante (1 amostra por octante) no plano. pode-se definir 8 amostras. 6.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto A pesquisa de amostras de furos vizinhos para interpolação de pontos ou centros de blocos para fins de avaliação de recursos. pode-se tanto estimar o nó. dependendo dimensionalidade dos dados. Entretanto. a malha regular em 3D é definida em termos de blocos de cubagem (não mais pontos). com o risco da interpolação resultar num valor bastante suavizado. Os blocos de cubagem têm a forma geral de paralelepípedos e suas dimensões devem ser compatíveis com a densidade média de amostragem nas três direções. Nesses casos. bem como uma maior facilidade computacional para representação gráfica em mapas ou projeção em perspectiva. Figura 30: Modelo tridimensional de blocos de um depósito hipotético. pois tais estimativas exibem extrema variabilidade. seria igual à metade do espaçamento médio entre os furos de sonda. a krigagem de blocos com dimensão muito menor que a metade da malha de amostragem deveria ser evitada. A abertura ideal da malha regular.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 Figura 29: Malha regular 2D com a representação dos nós pertencentes à fronteira convexa. 50 . Cabe ressaltar que no caso da malha regular 3D. Segundo Vallée & Côte (1992). a fronteira convexa é definida também para todos os níveis do modelo tridimensional de blocos. baseada na prática de avaliação de recursos. conforme: n Z ∗ (x o ) = ∑ λ i .Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 6. chamado variância de krigagem. Ainda conforme o mesmo autor. baseadas no estudo da variabilidade espacial do corpo de minério. basta garantir que: [ E Z(x o ) − Z ∗ (x o ) = 0 ] fazendo E[Z(x o )] = m e tendo que: [ ] ⎡n ⎤ n E Z ∗ (x o ) = E ⎢∑ λ i Z(x i )⎥ = ∑ λ iE[Z(x i )] ⎣ i=1 ⎦ i=1 [ ] n E Z ∗ (x o ) = m∑ λ i i=1 51 . Para que o estimador Z ∗ (x o ) não seja enviesado. denominado sistema de equações de krigagem.Z(x i ) (9) i=1 Os ponderadores (λi. A krigagem é feita após a conclusão dos estudos geoestatísticos.n} disponíveis. i=1. são superiores porque permitem o cálculo do erro associado às estimativas. Os estudos geoestatísticos levam a definição de um modelo de variograma. os quais poderão inclusive indicar a não aplicação deste método se o comportamento da variável regionalizada for totalmente aleatório. área ou volume. a krigagem é o procedimento que permite calcular os ponderadores para uma dada configuração (bloco X disposição das amostras no espaço). O estimador Z ∗ (x o ) poderá ser obtido como uma combinação linear dos dados disponíveis. Equações de krigagem A krigagem é um método que permite estimar o valor desconhecido Z ∗ (x o ) associado a um ponto. i=1. segundo Journel & Huijbregts (1978). n) são obtidos da resolução de um sistema linear de equações.4 Krigagem ordinária Segundo Brooker (1979). conforme o desenvolvimento matemático. que servirá para inferir os valores da função variograma ou covariograma que serão utilizados pelos métodos geoestatísticos de interpolação. a partir de um conjunto de n dados {Z(xi). as técnicas geoestatísticas de estimativa. com mínima variância de krigagem. a krigagem procura fazê-la com mínima variância. A variância do erro da krigagem é dada pela equação a seguir: { σ E2 = Var Z(x o ) − Z ∗ (x o ) } Expandindo a variância do erro. conforme Isaaks & Srivastava (1989). a condição de não enviesamento para Z ∗ (x o ) fica: n ∑λ i=1 i =1 (10) Como toda técnica de estimativa. tem-se: Cov{Z(x o )Z(x o )} = Var{Z(x o )} = C(0 ) ⎧⎡ ⎫ { } ⎤ 2Cov Z ∗ (x o )Z(x o ) = 2Cov ⎨⎢∑ λ i Z(x i )⎥ Z(x o )⎬ ⎩⎣ i ⎦ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = 2E⎨∑ λ i Z(x i )Z(x o )⎬ − 2E⎨∑ λ i Z(x i )⎬E{Z(x o )} ⎩ i ⎭ ⎩ i ⎭ = 2∑ λ iE{Z(x i )Z(x o )} − 2∑ λ iE{Z(x i )}E{Z(x o )} i i = 2∑ λ i [E{Z(x i )Z(x o )} − E{Z(x i )}E{Z(x o )}] i = 2∑ λ i C(x o − x i ) i { } { Cov Z ∗ (x o )Z ∗ (x o ) = Var Z ∗ (x o ) } ⎧ ⎫ = Var ⎨∑ λ i Z(x i )⎬ ⎩ i ⎭ = ∑∑ λ i λ j C(x i − x j ) i j Assim. de acordo com Isaaks & Srivastava (1989).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto assim. a expressão (11) torna-se: σ E2 = C(0 ) − 2∑ λ i C(x o − x i ) + ∑∑ λ i λ j C(x i − x j ) i i j 52 . tem-se: { } { σ E2 = Cov{Z(x o )Z(x o )} − 2Cov Z ∗ (x o )Z(x o ) + Cov Z ∗ (x o )Z ∗ (x o ) } (11) Desenvolvendo cada termo do lado direito de (11). como tal função tem n variáveis. portanto. Para minimizar o lagrangiano.minimizar a função: σ E2 = C(0 ) − 2∑ λ i C(x o − x i ) + ∑∑ λ i λ j C(x i − x j ) i i j . λ 2 . sujeita à condição de não enviesamento. 1970). λ n . de tal modo que a variância do erro seja a mínima possível.n dλ i j e fazendo dL/dµ igual a zero: dL = ∑λj −1= 0 dµ j Assim. µ ) = C(0 ) − 2∑ λ i C(x o − x i ) + ∑∑ λ i λ j C(x i − x j ) − 2µ⎜⎜ ∑ λ j − 1⎟⎟ i i j ⎝ j ⎠ onde: L(λ 1. λ n . faz-se cada uma das derivadas parciais dL/dλi iguais a zero: = −2C(x o − x i ) + 2∑ λ j C(x i − x j ) − 2µ = 0 dL para i=1. resulta nas de equações de krigagem ou sistema de krigagem: ⎧∑ λ j C(x i − x j ) − µ = C(x o − x i ) para i = 1. λ 2 . o ponto de mínimo poderá ser determinado após aplicação da técnica dos multiplicadores de Lagrange (Converse. n ⎪ j ⎨ (12) ⎪∑ λ j = 1 ⎩ j 53 .restrito a: ∑λ j j = 1 ou ∑λ j j −1= 0 Forma-se o lagrangiano: ⎛ ⎞ L(λ 1. de encontrar o mínimo da função variância do erro. Trata-se. a minimização da variância do erro. µ ) é o lagrangiano.K. conforme colocação do problema a seguir: .K. Entretanto.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto O objetivo da krigagem é buscar o melhor conjunto de ponderadores. µ é o multiplicador de Lagrange. o sistema de equações de krigagem escrito em termos da função semivariograma torna-se: ⎡ γ ( x1 − x1 ) γ ( x1 − x 2 ) L γ ( x1 − x n ) 1⎤ ⎡ λ1 ⎤ ⎡γ ( xo − x1 )⎤ ⎢γ ( x − x ) γ ( x − x ) L γ (x2 − xn ) 1⎥⎥ ⎢⎢λ 2 ⎥⎥ ⎢⎢γ ( xo − x 2 )⎥⎥ ⎢ 2 1 2 2 ⎢ M M L M M⎥ ⋅ ⎢ M ⎥ = ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ( x n − x1 ) γ ( x n − x 2 ) L γ (xn − xn ) 1⎥ ⎢λ n ⎥ ⎢γ ( xo − x n )⎥ ⎢⎣ 1 1 L 1 0⎥⎦ ⎢⎣ µ ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Variância de krigagem A minimização da variância do erro resulta na variância de estimativa ou de krigagem ordinária. conforme Isaaks & Srivastava (1989): ∑ λ C(x j j i − x j ) − µ = C(x o − x i ) para i=1. as equações de krigagem são representadas como segue: ⎡ C ( x1 − x1 ) C ( x1 − x 2 ) L C ( x1 − x n ) 1⎤ ⎡ λ1 ⎤ ⎡ C ( xo − x1 )⎤ ⎢C ( x − x ) C ( x − x ) L C (x2 − xn ) 1⎥⎥ ⎢⎢ λ 2 ⎥⎥ ⎢⎢C ( xo − x 2 )⎥⎥ ⎢ 2 1 2 2 ⎢ M M L M M⎥ ⋅ ⎢ M ⎥ = ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢C ( x n − x1 ) C ( x n − x 2 ) L C (xn − xn ) 1⎥ ⎢ λ n ⎥ ⎢C ( xo − x n )⎥ ⎢⎣ 1 1 L 1 0⎥⎦ ⎢⎣− µ ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ O sistema de equações de krigagem também pode ser escrito em termos da função semivariograma.n escrevendo as n equações para i=1. conforme segue: σ KO 2 = C(0 ) − 2∑ λ i C(x o − x i ) + ∑∑ λ i λ j C(x i − x j ) i i j o termo ∑∑ λ λ C(x i j i j i − x j ) pode ser derivado do primeiro conjunto de equações (12).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Em termos matriciais.n e somando: 54 . visto que esta e a função covariância estão relacionadas conforme a equação (8): ⎧∑ λ j γ (x i − x j ) + µ = γ (x o − x i ) para i = 1. n ⎪ j ⎨ (13) ⎪∑ λ j = 1 ⎩ j Em notação matricial. Observe-se que em (A) a variância do erro deveria ser menor que em (B) por causa de dados mais consistentes. tem- se: σ KO 2 = C(0 ) − ∑ λ i C(x o − x i ) + µ (14) i A variância de krigagem em termos da função semivariograma torna-se: σ KO 2 = ∑ λ i γ (x o − x i ) + µ (15) i Variância de interpolação A variância de krigagem é homoscedástica. 1994). Figura 31: Estimativa de blocos a partir da mesma configuração de dados (segundo Armstrong.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto ∑ ∑ λ λ C(x i j i j i − x j ) − µ∑ λ i = ∑ λ i C(x o − x i ) i i e lembrando que ∑λ i i = 1. A variância de interpolação fará uso tanto 55 . Como os arranjos de dados são idênticos em ambos os casos. tem-se: ∑ ∑ λ λ C(x i j i j i − x j ) = ∑ λ i C(x o − x i ) + µ i substituindo este resultado na expressão da variância de krigagem ordinária. 1994). A Figura 31 ilustra porque a variância de krigagem não é uma medida completa da incerteza. ela é independente dos valores dos pontos de dados usando para obter o estimador Z ∗ ( xo ) (Olea. as variâncias de krigagem são idênticas e também as estimativas de krigagem se não há anisotropia (Armstrong. 1991). ou seja. Assim. que consiste em adicionar o módulo do maior peso negativo (c) a todos os pesos: λ i+ c τi = ∑ (λ j + c ) n j =1 56 . devido à existência de agrupamentos de pontos de dados associada a uma distribuição estatística com forte assimetria positiva (distribuições lognormais). pesos negativos também devem ser evitados. como segue: n [ ] S o2 = ∑ λ i Z ( xi ) − Z ∗ ( xo ) 2 (16) i =1 Segundo Yamamoto (2000). Yamamoto (2000) propôs uma expressão para o cálculo da variância de krigagem. o Usa indiretamente a distância estrutural do variograma através do peso da krigagem ordinária λ i . Entre as propostas existentes. como a variância de krigagem depende apenas do variograma que é global. o autor tem adotado aquela proposta por Journel & Rao (1996). que é determinada como a média ponderada das diferenças ao quadrado entre os valores dos pontos de dados e a estimativa Z ∗ ( xo ) . a variância de interpolação apresenta as seguintes propriedades: o Corresponde à propriedade de exatidão da krigagem ordinária. ela independente dos valores locais dos pontos de dados. Da mesma forma que teores negativos devem ser evitados. Yamamoto (1991) estendeu a definição para calcular a variância de interpolação usando os pesos da krigagem ordinária.n} e dos valores dos dados z(xi). o É proporcional à dispersão dos pontos de dados. Essa expressão foi introduzida por Yamamoto (1989) para definir uma variância de interpolação associada a teores estimados através das equações multiquádricas em depósitos minerais. medindo a maior variabilidade existente no bloco B. se o ponto a ser estimado coincide com um ponto de dado. Journel & Rossi (1989) já haviam concluído que a variância de krigagem mede apenas a configuração espacial dos dados. Correção de pesos negativos A expressão (16) pode resultar em variância negativa quando alguns pesos da krigagem ordinária forem negativos. isto é. então o peso deste ponto é igual a um com todos os outros pesos iguais a zero. i=1. Quanto mais influente o ponto de dado maior o seu peso. Assim.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto do conjunto de pesos {λi. surgiram na literatura várias propostas para eliminação de pesos negativos da krigagem ordinária. portanto S o2 = 0 . Vamos considerar situação apresentada na Figura 32. respectivamente.n}. Tipos de krigagem As equações de krigagem permitem determinar o conjunto de ponderadores {λi. para ilustrar a krigagem pontual. Os pares ordenados (z(xi). Krigagem pontual A krigagem pontual tem por objetivo estimar uma localização não amostrada.krigagem pontual. tem-se: . Distribuição de probabilidade Como os pesos da krigagem ordinária são todos positivos e têm uma soma igual a um.. . classifique os n pontos de dados vizinhos em ordem crescente: z(x 1 ) ≤ z(x 2 ) ≤ L ≤ z(x n ) Os pesos da krigagem ordinária associados aos valores z(x1)..krigagem de bloco. pode-se determinar a probabilidade da variável aleatória z ser menor ou igual a zα no ponto xo. Conforme o domínio que se estima. Em qualquer localização dada xo. z(xn) da variável aleatória Z constituem a distribuição de probabilidade de Z. eles podem ser interpretados como probabilidades condicionais associadas aos n pontos de dados locais (Journel & Rao. i =1 ou seja.i=1. i=1.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Os pesos corrigidos podem ser agora substituídos nas equações (9) e (16) para cálculo do valor estimado e da variância de interpolação. 57 .n} associados ao conjunto de dados disponíveis {Z(xi). 1996). λi) constituem a função de probabilidade de Z. resulta na estimativa do valor desconhecido Z ∗ (x o ) . z α ) = ∑λ i . z(x2). . . condicional aos n pontos de dados mais próximos de xo. que combinados conforme a equação (9). A função de distribuição acumulada condicional é então modelada como: α F(x o . para determinar os ponderadores precisamos resolver o sistema de equações de krigagem.5⎜ ⎟ ⎥ para h < 800 ⎣⎢ a ⎝ a ⎠ ⎦⎥ γ (h ) = 20 para h ≥ 800 Para estimativa no ponto 0.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 1 2 4 3 Figura 32: Configuração dos pontos de amostragem (+) para krigagem pontual na localização do ponto marcado com círculo.5 − 0. Assim. Nessa demonstração vamos utilizar o sistema de equações escrito em termos da função semivariograma (13). Y Variável 0* 250 200 ¿ 1 300 350 56 2 125 250 46 3 200 125 37 4 400 150 42 * Ponto a ser estimado pela krigagem ordinária. X Coord. por exemplo. o seguinte modelo de variograma: ⎡ h ⎛h⎞ ⎤ 3 γ (h ) = 5 + 15⎢1. entre as amostras 1 e 2. conforme segue: Para o cálculo da função semivariograma. A organização do sistema de equações ( ) (13) começa com o cálculo da matriz dos termos γ xi − x j . encontram-se na Tabela 8. determina-se inicialmente a distância entre as mesmas: 58 . Ponto Coord. Tabela 8: Coordenadas dos pontos de amostragem. precisamos dos ponderadores da krigagem ordinária que aplicados na expressão (9) resultará no valor estimado. selecionados pelo critério dos quadrantes. Seja considerado válido para os dados em estudo. Os dados dos pontos de amostragem. 56 − 0. à medida que áreas ou volumes maiores devem ser representados pelos pontos de amostragem.55 11. portanto.55 1⎥ ∗ ⎢λ3 ⎥ = ⎢7. obtendo-se a ( matriz dos termos γ xi − x j : ) ⎡ 0 10.86 10.33 * 37 + 0.55 0 9.21.5 201.71 9.13 12.71 11. Krigagem de bloco A krigagem de bloco é uma técnica de estimativa do teor médio em painéis ou blocos de cubagem. x 2 ) = (300 − 125)2 + (350 − 250)2 = 201.56 ⎞ 3⎤ γ ( x1 − x2 ) = 5 + 15⎢1. cujo resultado é bastante razoável em relação às amostras fornecidas.21 * 56 + 0. devendo haver uma diferença composicional entre o ponto estimado e a unidade lavrada. A estimativa de painéis ou blocos é muito diferente da estimativa pontual. Assim. tratando-se.5⎜ ⎟ ⎥ = 10.05 0 10.231 λ3 = 0.39⎥ ⎢⎣ 1 1 1 1 0⎥⎦ ⎢⎣ µ ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Resolvendo-se o sistema obtêm-se os ponderadores da krigagem ordinária: [λ1 = 0.23 * 42 = 44. γ ( xi − xi ) = 0 . À essa 59 .05 12.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto d (x1 .56 A distância encontrada é convertida em função semivariograma: ⎡ ⎛ 201.21 O valor da variável de interesse no ponto 0 (não amostrado) é igual a 44. portanto de uma técnica desenvolvida exclusivamente para mineração.58] O valor da variável no ponto 0 é estimado como: Z ∗ ( xo ) = 0. é certo que apenas a estimativa de um único ponto no centro daquelas unidades não será suficiente para representá-las.55 .39⎤ ⎢10. ⎢⎣ 800 ⎝ 800 ⎠ ⎥⎦ Para os elementos da diagonal principal.13 1⎤ ⎡ λ1 ⎤ ⎡9.23 * 46 + 0.75⎥⎥ ⎢ ⎢11.86 1⎥⎥ ⎢⎢λ 2 ⎥⎥ ⎢⎢8.52⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢11.33 λ 4 = 0.23 µ = 0. Repete-se o procedimento para todos os pares de amostras.55 0 1⎥ ⎢λ 4 ⎥ ⎢9. observe-se que as distâncias são iguais a zero e.21 λ 2 = 0. Certamente o erro de estimativa associado a krigagem de bloco será menor que aquele associado a krigagem pontual (ponto calculado no centro do bloco para representá-lo). entre as amostras e os centros dos sub-blocos. conforme o Teorema da Combinação das Estimativas de Krigagem (Journel & Huijbregts. Este teorema prova que tanto as estimativas como os ponderadores dos sub-blocos individuais podem ser combinados para dar origem à estimativa ou ponderadores médios do bloco de cubagem. 1978). Tabela 9: Limites máximos recomendados para a subdivisão do bloco a ser estimado (Journel & Huijbregts. O princípio da krigagem de bloco é baseado na subdivisão do bloco de cubagem em sub-blocos. conforme se reproduz na Tabela 9. e esta por sua vez é função da variabilidade natural do depósito que está se avaliando. Da mesma forma os vetores dos valores da função semivariograma. tem-se a configuração apresentada na Figura 33. A subdivisão do bloco de cubagem deve ser feita dentro dos limites máximos recomendados por Journel & Huijbregts (1978). 60 . 1 2 4 3 Figura 33: Configuração do bloco e centros de sub-blocos para avaliação pela krigagem ordinária de bloco. 1978). os quais são avaliados individualmente e compostos para o bloco original.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto diferença composicional denomina-se erro de estimativa que depende fundamentalmente da amostragem. podem ser combinados para dar origem ao vetor médio. As coordenadas dos centros dos sub-blocos encontram-se na Tabela 10. dos valores da função semivariograma entre amostras e o bloco. dimensão do número de domínio pontos 1 10 2 6x6 3 4x4x4 Estabelecendo um bloco de 100 x 100 e adotando uma subdivisão mínima do bloco (2 x 2). 61 . precisamos calcular o vetor da função semivariograma entre as amostras e os sub-blocos como mostra a Figura 34. Assim. porém com a diferença do vetor do lado direito do sistema que levará em consideração a subdivisão em sub-blocos. Leste Norte bloco (m) (m) sb1 275 225 sb2 225 225 sb3 225 175 sb4 275 175 1 1 A B 2 2 4 4 3 3 1 1 C D 2 2 4 4 3 3 Figura 34: Esquema mostrando o cálculo da função semivariograma entre a amostra 1 e todos os sub-blocos (A). pois as amostras são exatamente as mesmas. para a amostra 2 (B). para a amostra 3 (C) e para a amostra 4 (D).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Para o cálculo dos ponderadores da krigagem ordinária vamos resolver o mesmo sistema de equações de krigagem (13) utilizado para a krigagem pontual. Tabela 10: Coordenadas dos centros dos sub-blocos. a matriz dos termos ( ) γ xi − x j é a mesma para a krigagem pontual. Na verdade. Sub. 39 d (x sb 4 − x1 ) = (300 − 275)2 + (350 − 175)2 = 176.77 d (x sb3 − x1 ) = (300 − 225)2 + (350 − 175)2 = 190.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto A seguir tem-se as etapas para cálculo do vetor médio da função semivariograma entre as amostras e os sub-blocos: Para ilustrar o procedimento.78 ⎛ 176.25 + 9.05 ⎢⎣ 800 ⎝ 800 ⎠ ⎥⎦ ⎡ 190.78 ⎞ ⎤ 3 γ ( x sb 4 − x1 ) = 5 + 15⎢1. pode ser calculado: 7.5⎜ ⎟ ⎥ = 9.22 ⎢⎣ 800 ⎝ 800 ⎠ ⎥⎦ ⎡ 145.5 − 0.25 ⎢⎣ 800 ⎝ 800 ⎠ ⎥⎦ ⎡ 176.06 ⎛ 79.06 ⎞ ⎤ 3 γ ( x sb1 − x1 ) = 5 + 15⎢1.78 As distâncias encontradas são convertidas em valores da função semivariograma: ⎡ 79.5⎜ ⎟ ⎥ = 7.5 − 0.22 + 9.5⎜ ⎟ ⎥ = 10.89 γ ( xo − x1 ) = = 9.05 + 10. considere-se a amostra 1 (Figura 34A) em relação aos sub-blocos {sbi.89 ⎢⎣ 800 ⎝ 800 ⎠ ⎥⎦ O valor médio da função semivariograma entre a amostra 1 e o bloco.5⎜ ⎟ ⎥ = 9. cujas distâncias são assim calculadas: d (x sb1 − x1 ) = (300 − 275)2 + (350 − 225)2 = 79.5 − 0.5 − 0.06 d (x sb 2 − x1 ) = (300 − 225)2 + (350 − 225)2 = 145.1025 4 Dessa forma são calculados os demais valores médios: 62 .77 ⎞ ⎤ 3 γ ( x sb 2 − x1 ) = 5 + 15⎢1. i=1.77 ⎛ 145.4}.39 ⎞ ⎤ 3 γ ( x sb3 − x1 ) = 5 + 15⎢1.39 ⎛ 190. 57 + 7.13 550.22 µ = 0.53 418.61 80 100 497.47 513.75 578.86 1⎥⎥ ⎢⎢λ 2 ⎥⎥ ⎢⎢8.65 γ ( xo − x 2 ) = = 8.32 λ 4 = 0.73 480.13 580.89 520.55] O valor da variável no ponto 0 é estimado como: Z ∗ ( xo ) = 0.22 λ3 = 0.13 479.25 + 9.81 100 80 408.05 0 10.66 547.06 730.4375 4 O sistema de equações de krigagem de bloco torna-se: ⎡ 0 10.29 419.29 731.6150⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢11.32 * 37 + 0.23 + 7. Tabela 11: Exemplos de estimativa do valor médio de V (parâmetro de interesse) dentro de blocos de 10 x 10 m2 usando a krigagem ordinária de bloco e várias malhas de discretização dentro do bloco (segundo Isaaks & Srivastava.88 + 6.56 513.55 11.19 419.22 * 46 + 0.13 1⎤ ⎡ λ1 ⎤ ⎡9.47 80 90 538.37 513.8125 4 8.64 O valor médio do bloco foi ligeiramente superior ao valor do ponto.04 732.52 γ ( x o − x3 ) = = 7.24 λ 2 = 0.42 80 110 781.30 573.71 11.35 480.4375⎥ ⎢⎣ 1 1 1 1 0⎥⎦ ⎢⎣ µ ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Resolvendo-se o sistema obtém-se os ponderadores da krigagem de bloco: [λ1 = 0.47 100 90 460.6150 4 9.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 9.32 513.8125⎥⎥ ⎢ ⎢11.58 520.38 419.49 + 9.55 0 9. bem como à dimensão do bloco.05 + 10.51 100 100 530.53 520.52 480.98 573.74 578. devido à pequena variabilidade dos dados.49 + 7. 1989).24 * 56 + 0.40 550.67 576.41 574.86 10.88 + 8. reproduz-se na Tabela 11.55 0 1⎥ ⎢λ 4 ⎥ ⎢9.55 1⎥ ∗ ⎢λ3 ⎥ = ⎢7.05 12.56 γ ( xo − x 4 ) = = 9.36 519.17 737. Centro do bloco malhas de subdivisão E N 1x1 2x2 4x4 6x6 10 x 10 80 80 584.73 578. as estimativas obtidas para vários níveis de subdivisão.22 * 42 = 44.1025⎤ ⎢10.71 9.87 549.41 100 110 591.89 + 8. A fim de mostrar na prática os limites máximos de subdivisão de blocos.72 63 . segundo Isaaks & Srivastava (1989).13 12. 64 . A B Figura 35: Conjunto de pontos de dados (A) e validação cruzada de um ponto do conjunto. Repetindo-se este procedimento um número de vezes igual ao número de pontos do conjunto. os pontos da validação cruzada não apresentarem um bom ajuste em torno da bissetriz. Pode-se assim testar aproximações diferentes. O resultado ideal de uma validação cruzada seria a reta de regressão estar mais próxima da bissetriz e que a dispersão em torno desta reta fosse mínima. mas se após procedimentos de tentativa e erro. além das variâncias de krigagem e de interpolação. causado pelo efeito de suavização das estimativas por krigagem ordinária.5 Validação cruzada A validação cruzada consiste em estimar a localização de um ponto de dado eliminando-se o valor do mesmo do conjunto de pontos de dados. Uma alternativa à validação cruzada seria a simulação. Na Figura 35B tem-se a indicação de um ponto de dado sendo estimado a partir dos 8 vizinhos mais próximos escolhidos pelo critério dos quadrantes. significa que há um enviesamento condicional. Como a estimativa é feita pela krigagem ordinária pontual. porém tem a grande desvantagem de produzir realizações baseadas em populações hipotéticas e não na população amostrada como faz a validação cruzada. A Figura 35A apresenta um conjunto de pontos de dados que será submetido à validação cruzada.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 6. Observe-se que a validação cruzada pode ser utilizada para aferir a modelagem do semivariograma. o qual será estimado a partir dos 8 pontos vizinhos mais próximos selecionados pelo critério dos quadrantes (B). Trata-se da técnica do jackknife herdada da estatística clássica para predição do erro de estimativa. como ilustra a Figura 36. os resultados da validação cruzada podem ser usados para aferir a modelagem de semivariograma. O resultado típico da validação cruzada é apresentado na forma de uma diagrama de dispersão dos valores da validação cruzada em função dos valores reais. tem-se ao final o valor estimado e o valor verdadeiro. 420). 370). 791). apresentam uma variabilidade reduzida. tal como a krigagem ordinária (9). (2000): { E Z ∗ (x ) − Z (x ) Z ∗ (x ) > z c ≠ 0 } O efeito de suavização surge como um sério problema na detecção de padrões de valores extremos do atributo. p.370). tais como zonas de alta permeabilidade ou zonas ricas em metal (Goovaerts. 65 . 1997. Há. pequenos valores são geralmente superestimados enquanto valores altos são subestimados. Como uma conseqüência do efeito de suavização.. Além disso. Efeito de suavização Estimativas baseadas na fórmula da média ponderada. portanto. Além disso. p.725 Correlação rankeada = 0.698 10 5 0 0 5 10 15 VALOR REAL Figura 36: Resultado típico de uma validação cruzada Pode-se observar na Figura 36 que os maiores valores estão em geral subestimados. 1997. 2000. caracterizando um enviesamento condicional do estimador resultante (Goovaerts. a utilização de um maior número de amostras tende geralmente a aumentar a suavidade das estimativas. O enviesamento condicional dado que o valor estimado z ∗ ( x ) é maior que um valor de referência z c é. segundo Journel et al. o efeito de suavização é desigual no espaço. de acordo com Isaaks & Srivastava (1989. p. nos resultados da validação cruzada o efeito de suavização da krigagem ordinária. que é referida na literatura como efeito de suavização. conforme esses autores. enquanto os menores valores estão superestimados. sendo zero nos pontos de dados e aumentando à medida que a localização x distancia-se dos pontos de dados (Journel et al. p. A reta de regressão confirma essa observação.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 15 VALIDAÇÃO CRUZADA Número de dados = 224 Coeficiente de correlação = 0. p. 66 . 791): { Var{Z ( x )}− Var Z KS ∗ } (x ) = σ KS 2 (x ) Similarmente. 493). Como conseqüência do efeito de suavização.513 para os valores estimados. o déficit de variância para a krigagem ordinária (KO) pode ser derivado da seguinte expressão (Yamamoto. 2000. p. tomada em média sobre todos os valores de dados possíveis.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto O efeito de suavização é devido a um déficit na variância do estimador da krigagem e para a krigagem simples (KS) é precisamente igual à variância de krigagem como mostrado por Journel et al. Yamamoto (2000. 507): { Var{Z ( x )}− Var Z KO ∗ } (x ) = σ KO 2 (x ) + 2µ ≥ 0 onde µ é o multiplicador de Lagrange. p. A Figura 37 mostra comparativamente o histograma original dos pontos de dados (Fig. p. 37A) e o histograma dos valores estimados (Fig. conseqüentemente. menor assimetria em relação à distribuição original. dado pelo efeito de suavização (menor variância). A distribuição dos valores estimados apresenta. 37B). maior a suavização da variância de interpolação do estimador da krigagem (Yamamoto. É notável o patamar menor da imagem krigada. O efeito de suavização pode ser observado nos coeficientes de variação que passa de 0. (2000. 493) também mostrou que o déficit de variância poder ser expresso em termos da variância de interpolação como: { Var{Z ( x )}− Var Z KO ∗ } { } (x ) = E S o2 ≥ 0 que pode ser interpretado como a suavização da variância de interpolação do estimador da krigagem ordinária Z KO∗ (x ) . Esta expressão faz sentido como uma medida do déficit de variância porque quão maior é a variância de interpolação S o2 .746 dos valores originais para 0. 2000. as estimativas pela krigagem ordinária não reproduzem o histograma e o variograma. Na Figura 38 tem-se os variogramas da imagem de referência (a partir da qual foram amostrados os pontos de dados originais) e da imagem estimada pela krigagem ordinária. ao utilizar a dispersão média do depósito medida por meio do variograma.615 Coeficiente de variação = 0.577 Quartil superior = 4. as quais podem ter atribuídas classes de baixa e alta confiabilidade. a 67 .513 Máximo = 14. 1991. A dispersão local é de importância vital para fins de classificação de reservas.147 Desvio padrão = 2. Por outro lado. Olea.339 Desvio padrão = 1. não reconhece a dispersão local dos mesmos.828 10 Mediana = 2.290 10 5 5 0 0 0 5 10 15 0 5 10 15 VARIÁVEL ESTIMATIVA (KO) Figura 37: Histograma da distribuição dos dados originais (A) e dos dados estimados pela krigagem ordinária (B). não consegue discriminar regiões de alta e baixa variabilidade.6 Classificação de recursos/reservas minerais A variância de estimativa ou variância de krigagem foi proposta como uma medida da incerteza associada à estimativa feita por meio da krigagem ordinária. como demonstrado por diversos autores (Journel. 10 SEMIVARIOGRAM 8 6 4 2 0 0 200 400 600 800 1000 DISTANCE Figura 38: Semivariogramas para a imagem de referência (símbolos cheios) e para a imagem estimada pela krigagem ordinária (símbolos vazios). A variância de krigagem.735 Mediana = 2. entre outros).092 Mínimo = 0.746 20 Coeficiente de variação = 0.469 15 Quartil inferior = 2. 6.137 Média = 3. respectivamente. 1986. por isso.914 Quartil inferior = 1. Contudo. Legenda: quadrado = N135o e círculo = N45o.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto A) B) 15 25 % % Número de dados = 224 Número de dados = 2015 Média = 3.577 Máximo = 14. pois discrimina regiões de alta e baixa variabilidade.290 Mínimo = 0.191 Quartil superior = 3. a variância de krigagem mede apenas a configuração espacial dos pontos de dados e. bem como reconhece o efeito proporcional quando existente (distribuições lognormais). A distribuição t só depende do número de graus de liberdade.ns é o valor crítico de t para gl graus de liberdade e um nível de significância ns.ns Z ∗ (xo ) onde σE é o desvio padrão de estimativa no sentido genérico podendo ser substituído pelo desvio padrão de krigagem ou de interpolação. σE é o desvio padrão da estimativa.ns é o valor crítico da distribuição t de Student para gl graus de liberdade e nível de significância ns. 1989. tgl. utilizar o Teorema do Limite Central para calcular o erro em torno de uma estimativa. Z ∗ (xo ) é o valor estimado e n o número de amostras utilizadas para a estimativa. A Figura 39 mostra a curva da distribuição t centrada na estimativa X e o seu intervalo de confiança a um determinado nível de confiança. Contudo. a partir de 40-60 amostras. a distribuição normal não é adequada. 1982. 1993) têm proposto calcular o erro com base no intervalo clássico em torno da estimativa. De fato. portanto. o erro de uma estimativa deve ser determinado segundo o Teorema do Limite Central (expressão 17) e. 1992 e Wober & Morgan. Diversos autores (Froidevaux. para fins de classificação de reservas minerais: 1 IC (%) NC σ E . Nestas aproximações. Vallée & Côte. a distribuição t passa praticamente para uma normal.t gl . mas simplesmente o coeficiente de variação multiplicado pelo valor crítico de t. Diehl & David (1982) e Wellmer (1983) propuseram. o Teorema do Limite Central proporciona uma boa aproximação para uma distribuição normal. Yamamoto & Rocha (1996) propuseram a seguinte expressão para o cálculo do erro de estimativa ou tolerância permitida. e tgl. Como dificilmente utiliza-se 40-60 amostras para avaliação de um bloco de cubagem. 68 .Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto variância de interpolação é uma alternativa que mede a dispersão local. Isaacks & Srivastava. usando a distribuição normal e o desvio padrão da krigagem. estes autores não consideraram o intervalo de confiança para determinação do erro. também com base no desvio padrão da krigagem. a distribuição t passa para uma normal. n onde 1 IC NC (%) é a metade do intervalo de confiança a um nível de confiança 2 (NC). pois o tamanho das amostras em problemas de avaliação de reservas é sempre inferior a 40-60 amostras/bloco avaliado.ns ERRO = 2 ∗ = ∗ 100(%) (17) Z (xo ) Z ( xo ). considerando a distribuição. Contudo. Quando o número de graus de liberdade tende ao ∞. como segue: σE ERRO = t gl . em medido. consideraram também que poderiam ser aplicados somente a alguns depósitos com baixa a média 69 . os recursos minerais são classificados. onde o bloco é subdividido em nsb sub-blocos. na verdade. quando os erros são menores que 20%. deveriam ser classificados na fase de pesquisa mineral. utilizada para o cálculo do intervalo de confiança da estimativa X a um determinado nível de confiança NC. 1980). 1996). sociais e políticos. conforme a proposta do DNPM (1992). para fins de classificação de recursos minerais não é adequado.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Figura 39: Curva da distribuição t de Student. Os recursos minerais que apresentam indicação de economicidade. Yamamoto & Rocha (1996) consideraram que o nível de confiança igual a 95%. a n deveria ser substituída pela nsb . contudo. indicado quando os erros estão entre 20 e 50% e inferido quando os erros são superiores a 50%. Contudo. nsb O modelo para classificação de recursos/reservas minerais. pois tem n em seu denominador. mercadológicos. respectivamente (AIMM. legais. de acordo com nível crescente de conhecimento do depósito. com uma confiabilidade de 95%. sendo n o número de amostras. Neste modelo. de mineração. foi baseado no modelo australiano atualizado em 1996 pela AIMM-Australasian Institute of Mining and Metallurgy (AIMM. pois seria aplicável somente em depósitos minerais extremamente homogêneos. ambientais. pois. A classificação de recursos minerais. A expressão (17) tem sentido para cálculo do erro associado a estimativas pontuais. Assim. 1996). segundo DNPM (1992). os recursos indicado e medido poderão vir a transformar-se em reservas provável e provada.ns ERRO = 100(%) (18) Z ∗ (xo ). metalúrgicos.t gl . são utilizados nsb sub- blocos para a estimativa de teor e da variância de interpolação. para suportar os estudos de viabilidade técnico-econômica que seguem. A partir da consideração de fatores econômicos. foi baseada no modelo da ONU (apud Valente. a expressão para cálculo do erro associado à estimativa de bloco fica: σ E . proposto para adoção pelo DNPM (1992). Tais modelos classificam os recursos minerais. Um nível de confiança igual a 90% foi considerado razoável por Yamamoto & Rocha (1996). em: inferido. indicado e medido. em estimativas de bloco. Recursos⇒ Medido Indicado Inferido Reservas⇒ Provada Provável Possível Inferida Diehl & David Erro: ±10% Erro: ±20% Erro: ±40% Erro: ±60% (1982) N.C.C. com a substituição do desvio padrão de estimativa pelo desvio padrão de interpolação. riscos estes que se tornam claros com as altas taxas de retorno da mineração em relação às indústrias de transformação.: 90% N. Assim. Assim. 70 . em aplicações envolvendo avaliação e outros assuntos de economia mineral.: 90% N.C.:40-60% N.: 90% N.C.C.: 90% N. Nestas situações. a variabilidade dos depósitos minerais é fortemente afetada por uma componente denominada variabilidade natural.: 90% N. Os erros adotados no modelo proposto são calculados pela expressão (23).Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto variabilidade. Muitas vezes.: 95% N. os quais afetam a distribuição espacial dos teores e a morfologia do depósito. e sim como indicados.C. A variabilidade natural resulta da interação dos processos geológicos.C. Pelos motivos expostos anteriormente. Tabela 12: Modelo para classificação de recursos minerais. Yamamoto & Conde (1999) propuseram a adoção dos níveis de erro propostos pela ONU (apud Valente. encontra-se na Tabela 12. em comparação com as propostas de Diehl & David (1982). indicado e inferido.C.C.C. Wellmer (1983) e DNPM (1992). 1980) e DNPM (1992). expressa pela confiabilidade dos dados e pela continuidade da mineralização. dependendo da variabilidade natural do depósito em estudo. portanto.: 90% N. não permitirão classificar os recursos em medido. as classes de erros propostas na Tabela 12 podem não estar adequadas e. Este modelo.C. o uso de um nível de confiança de 90% é consistente com os altos riscos associados à indústria mineral. Segundo Koch & Link (1971). conforme esperado. dependendo do nível de detalhe da pesquisa mineral. Como se sabe. = é o nível de confiança conforme a Figura 4.:20-40% Wellmer (1983) Erro: ±10% Erro: ±20% Erro: ±30% Erro: ±50% N. para fins de classificação de recursos minerais.: 95% Yamamoto & Erro: 0-20% Erro: 20-50% Erro: > 50% Conde (1999) N. o desvio padrão de interpolação apresenta maior precisão e confiabilidade para fins de classificação de reservas.: 95% N.C. em comparação com aqueles propostos por Diehl & David (1982). os recursos ainda não podem ser classificados como medidos.: > 80% N.C.C.C. Wellmer (1983) e DNPM (1992). devido à tolerância máxima de 20%. como se procurará demonstrar neste artigo. a certeza geológica.:60-80% N. deveria prevalecer sobre os erros de tolerância.: 90% ONU e Erro: ±0-20% Erro: ±20-50% Erro: >±50% DNPM (1992) N. sob um nível de confiança igual a 90%. Assim.2 O variograma cruzado O variograma cruzado foi definido por Matheron em 1965 como a generalização natural do variograma e pode ser escrito como: γ ij (h ) = 1 2 [ E {[Z i ( x + h ) − Z i ( x )]* Z j ( x + h ) − Z j ( x ) } ] 71 . pois como pode ser observado. por fim. em apenas alguns pontos de amostragem as duas variáveis de interesse foram analisadas e.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto 7 ESTIMATIVAS POR COKRIGAGEM ORDINÁRIA 7. dependendo da coincidência ser total ou parcial. as duas variáveis de interesse encontram-se analisadas em todos os pontos de amostragem. em (B) a heterotopia é parcial. (B) apresenta um caso de heterotopia parcial onde as variáveis de interesse possuem apenas alguns pontos de amostragem onde a analise foi realizada em ambas e (C) representa o caso de heterotopia total onde não há pontos de amostragem comuns para ambas variáveis. A heterotopia pode ser parcial quando em alguns pontos de amostragem foram medidas as variáveis em estudo. (A) Au Ag (B) Au Ag (C ) Ag Au Ag Au Au 80 80 80 Au Ag Ag Au Au Ag Au Ag Ag 60 60 60 Au Ag Au Ag Ag 40 40 40 Au Ag Ag Au Au Ag Au Ag Ag Au Ag Au 20 20 20 Au Ag Au Ag Au Ag Au Ag Au 0 0 0 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 Figura 40: (A) exemplifica um caso onde a amostragem é isotópica.1 Definições Básicas de Isotopia e Heterotopia Segundo Wackernagel (1998). onde as duas variáveis de interesse foram analisadas em todos os pontos de amostragem. medidas de diferentes variáveis em um dado domínio podem localizar-se tanto em um mesmo ponto de amostragem como em pontos diferentes. ou seja. define-se os termos isotopia e heterotopia. A Figura 40 ilustra em (A) o caso de isotopia. em (C) exemplifica-se a heterotopia total onde não existem pontos de amostragem comuns às duas variáveis. 7. enquanto nos demais pontos de amostragem uma ou outra variável. Algumas questões práticas devem ser mencionadas para o variograma cruzado. 72 . Quando existe. a estimativa do variograma cruzado não é contaminada pela estimativa das médias. L . p ⎩Cov[Z i ( x + h ) − Z i ( x ). a saber: 1. 2 da qual diferencia-se por ser o segundo termo do segundo membro uma variável diferente daquela analisada no primeiro termo. não assume variâncias finitas e. Z j ( x + h ) − Z j ( x )] = 2γ ij (h ) ⎨ existe e depende apenas de h Ainda segundo Chilès & Delfiner (1999). a covariância obtida no variograma cruzado não pode ser maior que o produto das variâncias dos variogramas diretos. uma dada estrutura (por exemplo: efeito pepita) não pode estar presente no variograma cruzado ( γ 12 ) se não estiver presente nos variogramas diretos ( γ 1 ou γ 2 ) . é uma função direcional e diferencia-se daquele por considerar duas variáveis diferentes no cálculo da variância. Os outros procedimentos seguem exatamente aqueles para o cálculo de variogramas experimentais. a relação entre o variograma cruzado e a covariância cruzada é: γ ij (h ) = C ij (0) − 1 2 [ ] [ ] C ij (h ) + C ij (− h ) + C ij (h ) − C ij (− h ) 1 2 Wackernagel (1998) descreve a o variograma cruzado como uma função obviamente ímpar que satisfaz a desigualdade: γ ii (h )γ jj (h ) ≥ γ ij (h ) 2 pois o quadrado da covariância dos incrementos de duas variáveis é limitado ao produto das variâncias do incremento correspondente. 2. Observando-se a equação do variograma cruzado pode-se ver que é a expansão da equação do variograma: 2γ (h ) = E [Z ( x + h ) − Z ( x )] = E [Z ( x + h ) − Z ( x ) * Z ( x + h ) − Z ( x )] . a. Assim como o variograma experimental. o variograma cruzado. o variograma cruzado possui duas vantagens sobre o covariograma cruzado. Em outras palavras.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto para funções aleatórias intrínsecas multivariadas (de ordem zero) deve satisfazer (Chilès & Delfiner 1999): ⎧ E [Z i ( x + h ) − Z i ( x )] = 0 para i = 1. a regionalização multivariada de um conjunto de funções aleatórias pode ser representado por um modelo linear espacial multivariado.3 O Modelo Linear de Corregionalização Segundo Wackernagel (1998). o quadrado da variância espacial do variograma cruzado deve ser menor ou igual que o produto das variâncias espaciais dos variogramas diretos. O modelo linear de corregionalização é a soma de modelos de covariâncias proporcionais. 7. Em notação matricial C (h ) = [Cij (h )] é a matriz covariância com dimensões pxp e similarmente Γ(h ) = [γ ij (h )] é a matriz variância. para o modelo linear de corregionalização ser honrado. 7. Destaca-se que.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto b. O procedimento da cokrigagem consiste em 73 . pois o variograma direto da variável secundária não a apresenta. 1998).392 sph⎜ ⎟ observa-se ainda que o variograma cruzado não ⎣ ⎝ 135 ⎠⎥⎦ apresenta a estrutura com amplitude igual a 50m.873 + ⎢10. O modelo teórico do variograma cruzado será admissível se possuir efeito pepita máximo e variância espacial máxima iguais a: ⎡ ⎛ h ⎞⎤ γ 12 = 3. esse modelo assume a forma (Chilès & Delfiner 1999): n n C (h ) = ∑ Bk Ck (h ) ou Γ(h ) = ∑ Bk γ k (h ) 1 1 Do modelo linear de corregionalização resulta que as variâncias espaciais das estruturas que compõem os modelos de variograma cruzados são dependentes das variâncias espaciais dos modelos de variograma diretos.4 Cokrigagem ordinária A cokrigagem é a extensão natural da krigagem quando dados multivariados e variogramas multivariados ou modelos de covariância podem ser calculados (Wackernagel. por exemplo: Tomem-se os seguintes modelos de variograma ajustados aos variogramas experimentais: ⎡ ⎛ h⎞ ⎛ h ⎞⎤ ⎡ ⎛ h ⎞⎤ γ 1 = 3 + ⎢5sph⎜ ⎟ + 12sph⎜ ⎟⎥ e γ 2 = 5 + ⎢9sph⎜ ⎟ onde γ 1 é o variograma da ⎣ ⎝ 50 ⎠ ⎝ 135 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 135 ⎠⎥⎦ variável primária e γ 2 é o variograma da variável secundaria. uma dada estrutura (por exemplo: efeito pepita) pode estar presente nos variogramas diretos ( γ 1 ou γ 2 ) e não estar presente no variograma cruzado ( γ 12 ) . os resultados.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto estimar uma variável de interesse em um ponto específico com base nas informações vizinhas da própria variável e nas informações disponíveis para variáveis auxiliares ou secundárias. esta ausência não interfere. a cokrigagem apresenta sua melhor performance quando se verifica esta situação. Esta condição. Pelo contrário. segundo o mesmo autor. apenas da cokrigagem ordinária. quando existe ausência de análise de uma variável em um determinado ponto de amostragem. a cokrigagem simples e cokrigagem co-localizada. existem vários algoritmos de cokrigagem. O número de amostras n p depende do índice p das variáveis. dentre os quais se destacam a cokrigagem ordinária. cada variável é definida em um conjunto de amostras de tamanho n p e o estimador é definido como: N np Z *p0 ( x 0 ) = ∑∑ λip Z p ( xi ) p =1 i =1 onde o índice p0 refere-se a uma variável específica de um conjunto de N variáveis. é satisfeita determinando-se pesos cuja soma seja um para a variável de interesse (primária) e seja zero para a variável auxiliar (secundária). Ainda segundo este autor. o qual deve ser nulo em média. a cokrigagem pode ser descrita como um procedimento de estimativa verdadeiramente multivariado. ou enviesa. Tratar-se-á. uma vez que este é o algoritmo mais utilizado por não requerer que a média populacional seja conhecida como no caso da cokrigagem simples. Assim como na krigagem. Segundo Wackernagel (1998). Equações de cokrigagem ordinária A estimativa da cokrigagem ordinária é feita através de uma combinação linear de pesos λip . com informação apenas parcial da variável primária. pois o modelo lida com dois ou mais atributos (variáveis) em um mesmo domínio. conforme: ⎧1 se p = p0 np ∑λ i =1 p i = δ pp0 = ⎨ ⎩0 se p ≠ p 0 74 . No caso da cokrigagem. no arcabouço da hipótese intrínseca conjunta deseja-se estimar uma variável específica em um conjunto de N variáveis com base em um erro de estimativa. Segundo Olea (1999). 1998). A cokrigagem co-localizada necessita que em todos os pontos de amostragem. Em geoestatística quando duas ou mais variáveis regionalizadas são definidas em um campo aleatório são chamadas de corregionalização. aqui. a variável secundária seja conhecida. ou na maioria deles. a partir de dados de diferentes variáveis localizados em pontos de amostragem na vizinhança de um ponto x0 (Wackernagel. a variância do erro de estimativa fica: ⎡⎛ N n p ⎞ ⎤ 2 σ = E ⎢⎜⎜ ∑∑ λi Z p ( xi ) − Z p0 ( x0 )⎟⎟ ⎥ 2 E p ⎢⎣⎝ p =1 i =1 ⎠ ⎥⎦ ⎧− 1 se p = p 0 Introduzindo-se os pesos λ0p = −δ pp0 = ⎨ que estão incluídos nos ⎩ 0 se p ≠ p 0 somatórios. conforme desenvolvimento de Wackernagel (1998). pode-se formar incrementos: ⎡⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎤ 2 ⎢⎜ N ⎜ n p np ⎟⎟ ⎥ σ E2 = E ⎢⎜ ∑ ⎜ ∑ λip Z p ( xi ) − Z p (0)∑ λip ⎟ ⎟ ⎥ ⎢⎜⎜ p =1 ⎜⎜ i =0 23 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎥ i =1 1 ⎢⎣⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎥⎦ ⎡⎛ N n p ⎞ ⎤ 2 = E ⎢⎜ ∑∑ λip (Z p ( xi ) − Z p (0))⎟ ⎥ ⎢⎜ p =1 i =0 1442443 ⎟ ⎥ ⎣⎢⎝ incrementos ⎠ ⎦⎥ P Definido-se a covariância cruzada dos incrementos C pq (xi . pode-se reduzir a expressão da variância de estimativa para: ⎡⎛ N n p ⎞ ⎤ 2 σ = E ⎢⎜⎜ ∑∑ λi Z p ( xi )⎟⎟ ⎥ 2 E p ⎢⎣⎝ p =1 i =0 ⎠ ⎥⎦ Inserindo-se variáveis aleatórias fictícias Z p (0 ) arbitrariamente posicionadas na origem. tem-se: np nq (x i . tem-se: ⎡ n ⎤ ⎢ ⎥ E [Z *p0 ( x 0 ) − Z p0 ( x0 )] = E ⎢∑∑ λip Z p ( xi ) − ∑ λip0 Z p0 ( x 0 ) − ∑∑ λip Z p ( x 0 )⎥ = N p np N np ⎢ p =1 i =1 i =1 1 23 p = 0 i =1 p ≠ p0 1 23 ⎥ ⎣ 1 0 ⎦ np = ∑∑ λip E [Z p ( xi ) − Z p ( x0 )] = 0 N p =1 i =1 14442444 3 0 Continuando.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Expandindo-se a expressão do erro médio de estimativa. que não é invariante à translação. x j ) N N σ E2 = ∑∑∑∑ λip λqj C pq P p =1 q =1 i = 0 j = 0 75 . x j ). como: ⎡ 1 0⎤ ⎡ λ11 ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ C C12 1 0⎥ ⎢ λ12 ⎥ ⎢C 01 ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 0⎥ ⎢ λ13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1⎥ ⎢ λ12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ onde C pq é uma matriz covariância 3x3 ⎢ C 21 C 22 0 1⎥ ⎢ λ22 ⎥ ⎢C 02 ⎥ ⎢ 0 1⎥ ⎢⎢ λ32 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 1 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ µ1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣0 0 0 1 1 1 0 0⎥⎦ ⎢⎣ µ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 2 e a variância de cokrigagem será: N np σ 2 CKO = ∑∑ λip γ pp0 ( xi − x0 ) + µ p0 − γ p0 p0 ( x0 − x0 ) p =1 i =1 Observa-se que o sistema de equações de cokrigagem pode ser escrito em termos de variogramas e. Apud Koch & Link (1971). como: np np nq σ = 2∑∑ λ γ pp ( xi − x0 ) − γ p p ( x0 − x0 ) − ∑∑∑∑ λip λqj γ pq (xi − x j ) N N N 2 p E i 0 0 0 p =1 i =1 p =1 q =1 i =1 j =1 Após a minimização. N j =1 em termos matriciais será escrito.L. The lognormal distribution. 1957. ter-se-á o sistema de cokrigagem ordinária: ⎧ N nq q ⎪∑∑ λ j γ pq (xi − x j ) + µ p = γ pp0 ( xi − x 0 ) para p =1. J. N . C. A. 76 . Com esta hipótese obtém-se o valor da translação invariante. with special reference to its uses in economics. em sua forma reduzida e para uma variável primária e uma secundária.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Para converter as covariâncias dos incrementos para variogramas. na qual as restrições dos pesos geraram N multiplicadores de Lagrange µ p . para tal. deve-se assumir que as covariâncias cruzadas dos incrementos são simétricas.L. deve-se apenas inverter o sinal dos multiplicadores de Lagrange. i = 1.L. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aitchison. J. n p ⎪ q =1 j =1 ⎨ np ⎪ λp = δ ⎪⎩ ∑ j pp0 para p = 1. & Brown. A. DNPM. & Webster. Departamento Nacional da Produção Mineral-DNPM. Ed. Brasília. Survey. 695p. In: The decade of digital computing in the mineral industry. Inc. 1968. R. M. I: the semivariogram and punctual kriging. A. 1994.I.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Armstrong. Method of calculation of the iron ore reserves in the Lorraine deposit. 1963. 180(9):148-153. Australasian Institute of Mining and Metallurgy-AIMM..A. 1980. Metallurgical and Petroleum Engineers. 550p. 262p. (Series on Spatial analysis. Applications of geostatistics in ore valuation. New York. R. W. Burguess. de A. & Min. J.G. Kansas. Inst. 28p. Otimização. 1986. 1st. 137p. John Wiley. Trad. New York. Kansas Geol.O. & Haas. Soc. The American Institute of Mining. J-P & Delfiner. A. Eng. Computer assited mineral appraisal and feasibility. Trans. Is research in mining geostats as dead as a dodo ? in: Dimitrakopoulos. 1999. 1975. H. T. Bubeniceck. Barnes. M. Brooker. Cochran. 1979. p. Converse. Optimal interpolation and isarithmic mapping of soil properties. Min.. Chilès. 1970. P. apud Olea. (Relatório do Grupo de Trabalho. Blais. 88(A13-A22).. 167p. Inc. 77 . Geostatistics for the next century: Kluwer Academic Publishers.P. Davis. New York. 1992. Dordrecht.179-210. M. 1996. 555p. Optimum mapping techniques using regionalized variable theory. & Carlier. 2). Rio de Janeiro. 1980. E. Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty: John Wiley & Sons. The AusIMM Bulletin (4):1-19. 1979. P.. p. 303-312. Bases técnicas de um sistema de quantificação do patrimônio mineral brasileiro. ed. Kriging. Eng. São Paulo. A. Bon. Exploration techniques employed in The Pulau Tujuh tin discovery. 31:333-341. R. da Secretaria Nacional de Minas e Metalurgia).. Min. Statistics and data analysis in geology. P. 1969. C. L. Rios Neto.. J. New York. Fundo de Cultura. Soil Sci. EDART/ EDUSP. Técnicas de amostragem. Australasian code for reporting of identified mineral resources and ore reserves.. R. Portaria no 03 de 24/10/90. Metall. J. G. Isaaks. 18(1):119-140. 7.IPT. 1997.C.. Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Est. 1975. p. 40p. A. World Wide Web. Harbaugh.B. S. Geostatistics and ore reserve classification..M.H. p. 25p. 1989. Practical mathematics. Min. (ed) Display and anaysis of spatial data. Exell. Journel.H. J. A. http://www. no. and Rao. New York. C. P. (Report #9) Journel. A.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Diehl. Goovaerts.. Fonseca.. São Paulo.net/~exell//. John Wiley. v. An introduction to applied geostatistics. S. G. 600p.E. Davis. 9. Journel. J. São Paulo. CIM Bull. 98p. A. 286p. Curso de estatística. J. Geostatistics for natural resources evaluation: Oxford University Press. Stanford.. & Srivastava. 78 . Deriving conditional distributions from ordinary kriging: Stanford Center for Reservoir Forecasting. 1982. 715-739. Journel. M. American Geophysical Union. New York. G. (IPT Relatório 27. 75(843):77-83. Classification of ore reserves/resources based on geostatistical methods. R.E. A. Regionalized variables and quantitative analysis of spatial data. random variables.. P.crosswinds. Montreal.G. 1968. 1996. Washington. Huijbregts. London. 483p.. New York. & David. Geol. 561p.. p. & Huijbregts. Academic Press. P. M.. Fundamentals of geostatistics in five lessons. de São Paulo . When do we need a trend model in kriging ?: Math. 75(838):127-136. 1986.H. Editora Atlas. 1982. IPT. J. Special Vol. 1998.38-53.J.. 21. Probability methods in oil exploration.C.799). and Rossi. Inst. 1982. R. Math. M.W. Froidevaux. Journel. Estudo e implementação de novas técnicas e desenvolvimento de programas em geoestatística: aplicações em geologia.J. 1989.G. New York. Gy. Mining geostatistics. 1989. 1989. A. John Wiley. CIM Bull. Can. 1978. Metall. 269p.5-10. 1977. Oxford University Press. Theory and practice of sampling broken ores. E. J. J. & Martins.G. Geology. C. Geostatistics: models and tools for the Earth Sciences. & McCullagh. In: Davis. Doveton. R. UNESP.27-36.F. Tulsa. Paper. (USGS Prof. Krige. L. Geology. 5). G. J.L. P. Dover Publishing. 1991. 1965. G. Lapin. & Chambers. Geostatistics for engineers and earth scientists: Kluwer Academic Publishers. Y. Vol. The theory of regionalized variables and its applications. Laboratório de Geomatemática... P. methods and case studies.º 3. Y. Introductory geostatistics and mine planning. Why geostatistics ? Eng. 1994. J. A. Fontainebleau.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Journel. École Nationale Supérieux das Mines de Paris. B. Olea. I. 787-813. Matheron. Olea. (Les Cahiers de Centre de Morphologie Mathématique de Fontainebleau.. 1967. 7. 375p. 1990. Boston. 1971. Introdução a Geoestatística. . G. M. New York. . Olea.. Kim. Landim. modeling and usage.. 175p. C. Statistics for modern business decisions. Geostatistical glossary and multilingual dictionary: Oxford University Press. S. R. (eds) Stochastic modeling and geostatistics – principles. South Afr.. Regionalized variables and quantitative analysis of spatial data. Tucson. AAPG (AAPG Computer Application in Geology no 3). C. 1978. Instituto de Geociências e Ciências Exatas. D. G. R. 180(5):92-101. 50p. Pannatier. Italy. Publicação Didática n. Campus de Rio Claro. no. 1971. R. 211p. 79 . L. Fundamentals of semivariograms estimation.1994. and Mao. Metall. 1979. Apud Davis. In: Yarus.J. 1982.C. The University of Arizona. 32. Les variables régionalisées et leur estimation. Washington. 2000. Statistical analysis of geological data.T. A. Apud Huijbregts. Kyriakidis. G. Theory of errors in geochemical data. 574-A). In “Statistics of Spatial Processes: Theory and Applications. (1986). Correcting the smoothing effect of estimators: a spectral postprocessor: Math. C. 17p. & Min. R. & Link.M. P. 1999. Koch Jr.A. v. Royle. Lognormal-De Wijsian geostatistics for ore evaluation. Min. Inst. 303p. p. A. 1975.1985.S.. 139p. New York. MS-WINDOWS Programs for Exploratory Variography and Variogram Modeling in 2D. Bary. J. USGS. Miesch. R. 69p. Johannesburg. Matheron. Geology. ERZMETALL. Geoc. Classification of ore reserves based on geostatistical and economic parameters. In: CONGR. Bras. D..291p. v. & Rocha. 1996. Recomendações para nomenclatura de confiabilidade metrológica. 32.1243-1257. 725- 738. 1992. 86. de C. IPT.2.K. Estatística. Camboriú. Multivariate Geostatistics: Springer-Verlag. Convex_Hull – A Pascal program for determining the convex hull for planar sets. v.K. M. São Paulo. Waeny. São Paulo. M. 1993.. Yamamoto. Revisão e recomendações para o cálculo e classificação de reservas minerais. F.K. 23.Camboriú. and Morgan.M. 23p. p. CIM Bull. J. Classificação de reservas minerais usando a variância de interpolação: Rev. 489-509. 1983. 1980.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto Spiegel. no. Yamamoto.K. (Publicação Interna. Wellmer. Classification of ore reserves by geoestatistical methods. & Conde. Wackernagel. Berlin. 966. 1999. & Côte. H. Avaliação geoestatística com parametrização da jazida fosfática de Anitápolis. p. J. 85(957):50-61.. 29(3):465-474. 36(7/8):315-321. SBG.H. 73- 76. 4. Bras. 1998. p. The guide to the evaluation of gold deposits: integrating deposit evaluation and reserve inventory practices. no. Rev. Wober. J.. Valente. Anais. 80 . Yamamoto. Computers & Geosciences. 2nd. . An alternative measure of the reliability of ordinary kriging estimates: Math. Geoc.. R. 2000. 7. GEOL. v.. no. 1979. CIM Bulletin.W. 580p. McGraw Hill. v. 1980.C.1967. J. 2). BRAS. Ed. 31.J. p. R. P.. M. Yamamoto.P. H. J. 1997. J.. Vallée... 26(4):243-254. 05 0.07 0.6 0548 0537 0526 0516 0505 0495 0485 0475 0465 0455 1.5 3085 3050 3015 2981 2946 2912 2877 2843 2810 2776 0.09 0.03 0.3 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823 1.02 0.2 0139 0136 0132 0129 0125 0122 0119 0116 0113 0110 2. 0.2 1151 1131 1112 1093 1075 1056 1038 1020 1003 0985 1.3 0107 0104 0102 0099 0096 0094 0091 0089 0087 0084 2.4 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0003 0002 81 .7 0446 0436 0427 0418 0409 0401 0392 0384 0375 0367 1.9 1841 1814 1788 1762 1736 1711 1685 1660 1635 1611 1.9 0019 0018 0018 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 3.9 0287 0281 0274 0268 0262 0256 0250 0244 0239 0233 2.2 0007 0007 0006 0006 0006 0006 0006 0005 0005 0005 3.7 2420 2389 2358 2327 2296 2266 2236 2206 2177 2148 0.3 3821 3783 3745 3707 3669 3632 3594 3557 3520 3483 0.04 0.1 1357 1335 1314 1292 1271 1251 1230 1210 1190 1170 1.6 2743 2709 2676 2643 2611 2578 2546 2514 2483 2451 0.0 0013 0013 0013 0012 0012 0011 0011 0011 0010 0010 3.3 0005 0005 0005 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 3.08 0.1 0179 0174 0170 0166 0162 0158 0154 0150 0146 0143 2.0 1587 1562 1539 1515 1492 1469 1446 1423 1401 1379 1.1 4602 4562 4522 4483 4443 4404 4364 4325 4286 4247 0.6 0047 0045 0044 0043 0041 0040 0039 0038 0037 0036 2.4 0082 0080 0078 0075 0073 0071 0069 0068 0066 0064 2.8 0026 0025 0024 0023 0023 0022 0021 0021 0020 0019 2.06 0.49 E AS INTEGRAIS Q(X) CORRESPONDENTES.0 5000 4960 4920 4880 4840 4801 4761 4721 4681 4641 0.0 0228 0222 0217 0212 0207 0202 0197 0192 0188 0183 2.4 0808 0793 0778 0764 0749 0735 0721 0708 0694 0681 1.5 0062 0060 0059 0057 0055 0054 0052 0051 0049 0048 2.4 3446 3409 3372 3336 3300 3264 3228 3192 3156 3121 0.01 0.2 4207 4168 4129 4090 4052 4013 3974 3936 3897 3859 0.00 0.7 0035 0034 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 2.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto ANEXO 1: DISTRIBUIÇÃO NORMAL PARA X ENTRE 0 E 3.1 0010 0009 0009 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 3.8 0359 0351 0344 0336 0329 0322 0314 0307 0301 0294 1.8 2119 2090 2061 2033 2005 1977 1949 1922 1894 1867 0.5 0668 0655 0643 0630 0618 0606 0594 0582 0571 0559 1. 457 2.750 3.Curso de Geoestatística Aplicada Jorge Kazuo Yamamoto ANEXO 2: VALORES CRÍTICOS DE T PARA ALGUNS NÍVEIS DE SIGNIFICÂNCIA ( IN KOCH & LINK.701 2.878 3.733 16 1.173 5 1.358 2.327 3 1.467 2.106 4.110 2.325 1.686 17 1.645 1.307 60 1.500 2.533 2.796 2.697 2.925 22.000 2.714 2.143 3.552 21 1.101 2.282 1.321 1.681 3.492 2.182 4.215 4 1.725 2.787 15 1.355 4.408 29 1.052 2.064 2.311 1.657 318.415 1.646 18 1.787 3.704 3.015 2.333 1.042 2.920 4.821 3.l.131 2.779 3.069 2.785 8 1.396 30 1.541 5.650 3.624 2.341 1.228 2.390 2.861 3.485 24 1.179 2.440 1.638 2.977 3.365 2.852 14 1.160 inf 1.747 4.782 2.144 11 1.921 3.021 2.1 1 3.372 1.397 1.5 0.450 26 1.776 3.132 2.056 2.345 1.250 4.707 5.501 9 1.721 2.684 2.706 2.060 2.485 2.706 31.930 13 1.505 23 1.086 2.090 82 .313 1.717 2.499 4.819 3.771 2.289 1. 10 5 2.350 1.012 3.711 2.169 4. 1971 PÁG.316 1.319 1.306 2.807 3.303 1. 346) Nível de significância g.703 2.671 2.032 5.310 1.797 3.729 2.746 2.610 19 1.296 1.539 2.734 2.315 1.383 1.045 2.831 3.314 1.508 2.518 2.318 1.771 3.323 1.699 2.567 2.571 3.660 3.761 2.998 3.423 2.583 2.960 2.262 2.965 9.753 2.385 40 1.160 2.617 3.232 120 1.896 3.330 1.898 3.740 2.208 7 1.980 2.886 2.552 2.435 27 1.763 3.841 10.658 1.576 3.476 2.602 2.943 2.756 3.604 7.328 1.421 28 1.860 2.025 12 1.353 3.893 6 1.447 3.078 6.145 2.310 2 1.314 12.365 4.479 2.326 2.074 2.462 2.708 2.764 3.337 1.048 2.845 3.5 1 0.303 6.718 3.473 2.363 1.080 2.527 22 1.812 2.947 3.120 2.467 25 1.821 63.297 10 1.833 2.093 2.356 1.895 2.579 20 1.055 3.528 2.201 2.