Instituto Tecnológico de AcapulcoDpto. Ciencias Económico Administrativo Investigación de Operaciones Ingeniería en Gestión Empresarial Profesor (a): Zavala Berdeja Jesús Aula: 404 Trabajo de Investigación: U3.- Asignación y Transporte. Horario: 18:00 p.m. – 19:00 p.m. Realizaron: Cortés Ayala Edgar Amín [13321049] Guillen Pastor Raúl [13321064] Navarrete Cortes Itzel [13321084] Ruperto Pérez Amanda Jasmel [13321106] Sánchez Bello Javier [13321109] Acapulco de Juárez, Gro; a 25 de Marzo del 2015 ÍNDICE INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 1 UNIDAD 3.- ASIGNACIÓN Y TRANSPORTE.................................................................................... 2 3.1.- MÉTODO DE ESQUINA NOROESTE ................................................................................. 3 EJERCICIOS PROPUESTOS......................................................................................................... 4 EJERCICIO No. 1.- ................................................................................................................. 4 EJERCICIO No. 2.- ................................................................................................................. 8 EJERCICIO No. 3.- ............................................................................................................... 10 CUESTIONARIO ADICIONAL ............................................................................................... 12 3.2.- MÉTODO DE COSTO MÍNIMO ...................................................................................... 13 EJERCICIOS PROPUESTOS....................................................................................................... 14 EJERCICIO No. 1.- ............................................................................................................... 14 EJERCICIO No. 2.- ............................................................................................................... 18 EJERCICIO No. 3.- ............................................................................................................... 20 CUESTIONARIO ADICIONAL ............................................................................................... 22 3.3.- MÉTODO DE APROXIMACION DE VOGEL ...................................................................... 23 EJERCICIOS PROPUESTOS....................................................................................................... 24 EJERCICIO No. 1.- ............................................................................................................... 24 EJERCICIO No. 2.- ............................................................................................................... 31 EJERCICIO No. 3.- ............................................................................................................... 34 CUESTIONARIO ADICIONAL ............................................................................................... 36 3.4.- MÉTODO DE ASIGNACIÓN ............................................................................................. 37 EJERCICIOS PROPUESTOS....................................................................................................... 40 EJERCICIO No. 1.- ............................................................................................................... 40 EJERCICIO No. 2.- ............................................................................................................... 44 EJERCICIO No. 3.- ............................................................................................................... 49 CUESTIONARIO ADICIONAL ............................................................................................... 52 CONCLUSIÓN .............................................................................................................................. 53 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 54 LINKOGRAFÍA.............................................................................................................................. 54 INTRODUCCIÓN Como futuros Ingenieros en Gestión Empresarial debemos conocer detalladamente la aplicación de cada uno de los Métodos de Asignación y Transporte ya que en el contexto administrativo nos encontramos con el caso de determinar la asignación de n objetos “indivisibles” a n tareas o actividades. Por ejemplo, el gerente de ventas de una empresa debe asignar a sus agentes de ventas a las diferentes rutas, o un ingeniero de producción debe asignar a sus operarios en las diferentes líneas de producción para que realicen las diferentes tareas. En este contexto, la restricción principal es que un recurso puede ser asignado solamente a una tarea. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 1 UNIDAD 3.- ASIGNACIÓN Y TRANSPORTE. El problema de asignación es otro tipo de problema de programación lineal, siendo una variante del modelo de transporte. Su objetivo es asignar personas para realizar ciertas tareas, minimizando costos. Sin embargo, no necesariamente deben de ser personas, también pueden ser máquinas, vehículos, fábricas, etc. Al igual que el método de transporte, se sigue una serie de pasos para encontrar la solución óptima, sólo que la solución se da en ceros y unos, es decir, la tarea asignada a cierta persona o máquina, se presentará en la tabla de asignación, como uno al ser una variable básica parte de la solución óptima, y con ceros las que no fueron asignadas a ninguna tarea. Ya con estos datos, se pueden hacer las operaciones de costos y obtener el costo total. Recordemos que la programación lineal es una herramienta muy útil con múltiples aplicaciones en la asignación de recursos y toma de decisiones. En el tema anterior aprendimos sobre el modelo del transporte el cual nos permite encontrar la manera menos costosa de asignar recursos a n destinos con ofertas en m orígenes. Ahora estudiaremos otra de las aplicaciones de la programación lineal: el modelo de asignación. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 2 3.1.- MÉTODO DE ESQUINA NOROESTE El método de la Esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución mediante la consecución de una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. Este método tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado. Su nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o esquina Noroeste. Es común encontrar gran variedad de métodos que se basen en la misma metodología de la esquina Noroeste, dada que podemos encontrar de igual manera el método e la esquina Noreste, Sureste o Suroeste. Se parte por esbozar en forma matricial el problema, es decir, filas que representen fuentes y columnas que representen destinos, luego el algoritmo debe de iniciar en la celda, ruta o esquina Noroeste de la tabla (esquina superior izquierda). DESTINOS ESQUINA NOROESTE FUENTES Pasos para Realizar este Modelo: Esquina Noroeste Paso No. 1.- En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 3 Paso No. 2.- En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso. Paso No. 3.- Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse". La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1". EJERCICIOS PROPUESTOS: EJERCICIO No. 1.- Planteamiento: Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1, 2, 3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Planta 1 5 2 7 3 Planta 2 3 6 6 1 Planta 3 6 1 2 4 Planta 4 4 3 6 6 Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 4 SOLUCIÓN PASO A PASO Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 70 5 2 7 3 80 Planta 2 3 6 6 1 30 Planta 3 6 1 2 4 60 Planta 4 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 70 35 Ahora la cantidad asignada a la esquina noroeste es restada a la demanda de Cali y a la oferta de la "Planta 1", en un procedimiento muy lógico. Dado que la demanda de Cali una vez restada la cantidad asignada es cero (0), se procede a eliminar la columna. El proceso de asignación nuevamente se repite. CaliBogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 70 5 10 2 7 3 80 Planta 2 3 6 6 1 30 Planta 3 6 1 2 4 60 Planta 4 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 70 35 Continuamos con las iteraciones. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 70 5 10 2 7 3 80 Planta 2 3 30 6 6 1 30 Planta 3 6 1 2 4 60 Planta 4 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 70 35 En este caso nos encontramos frente a la elección de la fila o columna a eliminar (tachar), sin embargo podemos utilizar un criterio mediante el cual eliminemos la fila o columna que presente los costos más elevados. En este caso la "Planta 2". INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 5 Nueva iteración. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 70 5 10 2 7 3 80 Planta 2 3 30 6 6 1 30 Planta 3 6 1 60 2 4 60 Planta 4 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 70 35 Una vez finalizada esta asignación, se elimina la "Planta 3" que ya ha sido satisfecha con la asignación de 60 unidades, por ende nos queda una sola fila a la cual le asignamos las unidades estrictamente requeridas y hemos finalizado el método. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 70 5 10 2 7 3 80 Planta 2 3 30 6 6 1 30 Planta 3 6 1 60 2 4 60 Planta 4 4 3 10 6 35 6 45 Demanda 70 40 10 35 El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda así: Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 70 10 80 Planta 2 30 30 Planta 3 60 60 Planta 4 10 35 45 Demanda 70 40 70 35 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 6 Los costos asociados a la distribución son: Variable de decisión Actividad de la variable Costo x unidad Contribución Total X1,1 70 5 350 X1,2 10 2 20 X1,3 0 7 0 X1,4 0 3 0 X2,1 0 3 0 X2,2 30 6 180 X2,3 0 6 0 X2,4 0 1 0 X3,1 0 6 0 X3,2 0 1 0 X3,3 60 2 120 X3,4 0 4 0 X4,1 0 4 0 X4,2 0 3 0 X4,3 10 6 60 X4,4 35 6 210 TOTAL 940 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 7 EJERCICIO No. 2.- La empresa “químicos del caribe S.A” posee 4 depósitos de azufre que deben ser usados para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C, D), además por cada litro que se haga de los productos A, B, C, y D se utilizan un litro de azufre. Se sabe que las capacidades de cada depósito son de 100L, 120L, 80L, 95L respectivamente. La empresa tiene un pedido de 125L de la sustancia A, 50L de la sustancia B, 130L de la sustancia C y 90L de la sustancia D. Los costos que reaccionan la producción de cada químico con cada depósito se presenta a continuación: A B C D Dispositivo 1 2 3 4 6 Dispositivo 2 1 5 8 3 Dispositivo 3 8 5 1 4 Dispositivo 4 4 5 6 3 Formule una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos. A B C D Oferta Dispositivo 1 2 3 4 6 100 Dispositivo 2 1 5 8 3 120 Dispositivo 3 8 5 1 4 80 Dispositivo 4 4 5 6 3 95 Demanda 125 50 130 90 395/395 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 8 A B C D Oferta Dispositivo 1 100 2 3 4 6 100 0 Dispositivo 2 25 1 50 5 45 8 3 120 95 45 0 Dispositivo 3 8 5 80 1 4 80 0 Dispositivo 4 4 5 5 6 90 3 95 90 0 Demanda 125 50 130 90 395/395 25 0 85 0 0 5 CT: 100(2)+25(1)+50(5)+45(8)+80(1)+5(6)+90(3) FO= 1215 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 9 EJERCICIO No. 3.- Nicaragua está planificando abastecerse por cuatro proveedores de petróleo, Albaniza, Texas, Irán y Purmerend, Nicaragua analiza las formas de envió, para proveer localmente a la distribuidora Uno, Puma, Petronic y Reservas. La tabla anexada muestra los costos de embarque por cada barril de petróleo crudo. Determine la cantidad de Barriles que debe comprarse a cada proveedor para obtener el mejor costo. Uno Puma Petronic Reservas Oferta Albaniza 35 28 31 33 520 Texas 29 32 33 39 485 Irán 32 35 36 27 400 Purmerend 34 31 35 18 235 Demanda 610 210 310 210 1340/1640 Está en desequilibrio hay que equilibrarla La siguiente tabla ya está en equilibrio Uno Puma Petronic Reservas Pemex Oferta Albaniza 35 28 31 33 0 520 Texas 29 32 33 39 0 485 Irán 32 35 36 27 0 400 Purmerend 34 31 35 18 0 235 Demanda 610 210 310 210 300 1640/1640 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 10 Uno Puma Petronic Reservas Pemex Oferta Albaniza 520 35 28 31 33 0 520 0 Texas 90 29 210 32 185 33 39 0 485 395 185 0 Irán 32 35 125 36 210 27 65 0 400 275 65 0 235 Purmerend 34 31 35 18 235 0 0 Demanda 610 210 310 210 300 1640/1640 90 0 215 0 235 0 0 0 CT: 520(35)+90(29)+210(32)+185(33)+125(36)+210(27)+65(0)+235(0) FO= 43805 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 11 CUESTIONARIO ADICIONAL 1.- ¿En qué circunstancias se aplica dicho método? R= Para resolver problemas de transportes de tipo equilibrado. 2.- ¿Cuál es la regla de la Esquina Noroeste? R= El problema del transporte debe ser balanceado o equilibrado, es decir que el total de ofertas es igual al total de demandas. 3.- ¿Por qué es tan utilizado este método? R= A pesar de que no se obtiene siempre la mejor solución, presenta un cumplimiento de todas las restricciones y una rapidez de elaboración, lo cual es una ventaja en problemas con innumerables fuentes y destinos en los cuales no nos importe más que satisfacer las restricciones. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 12 3.2.- MÉTODO DE COSTO MÍNIMO El método del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método. Pasos para Realizar este Modelo: Costo Mínimo Paso No. 1.- De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda. Paso No. 2.- En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso. Paso No. 3.- Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse". La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1". INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 13 EJERCICIOS PROPUESTOS: EJERCICIO No. 1.- Planteamiento: Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1, 2, 3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Planta 1 5 2 7 3 Planta 2 3 6 6 1 Planta 3 6 1 2 4 Planta 4 4 3 6 6 Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 14 Primer Paso: Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 2 3 6 6 30 40 1 Planta 3 6 2 4 60 Planta 4 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 70 35 En este caso se presenta un empate, este se rompe de forma arbitraria, así que se le asigna a la mayor cantidad posible. Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogotá y a la oferta de la "Planta 3", en un proceso muy lógico. Dado que Bogotá se queda sin demanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 5 2 7 3 80 Planta 2 3 6 6 30 1 30 Planta 3 6 40 1 2 4 20 Planta 4 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 70 35 Nuevo proceso de asignación: Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 5 2 7 3 80 Planta 2 3 6 6 30 1 30 Planta 3 6 40 1 20 2 4 20 Planta 4 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 70 5 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 15 Nuevo proceso de asignación Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 5 2 7 5 3 80 Planta 2 3 6 6 30 1 30 Planta 3 6 40 1 20 2 4 60 Planta 4 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 50 5 Nuevo proceso de asignación Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 5 2 7 5 3 75 Planta 2 3 6 6 30 1 30 Planta 3 6 40 1 20 2 4 60 Planta 4 45 4 3 6 6 45 Demanda 70 40 50 35 Una vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedará una fila, por ende asignamos las unidades y se ha terminado el método. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 25 5 2 50 7 5 3 75 Planta 2 3 6 6 30 1 30 Planta 3 6 40 1 20 2 4 60 Planta 4 45 4 3 6 6 45 Demanda 25 40 50 35 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 16 El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda así: Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 25 50 5 80 Planta 2 30 30 Planta 3 40 20 60 Planta 4 45 45 Demanda 70 40 70 35 Los costos asociados a la distribución son: Variable de Actividad de la Costo X Contribución Decisión Variable Unidad Toral X1,1 25 5 125 X1,2 0 2 0 X1,3 50 7 350 X1,4 5 3 15 X2,1 0 3 0 X2,2 0 6 0 X2,3 0 6 0 X2,4 30 1 30 X3,1 0 6 0 X3,2 40 1 40 X3,3 20 2 40 X3,4 0 4 0 X4,1 45 4 180 X4,2 0 3 0 X4,3 0 6 0 X4,4 0 6 0 Total 780 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 17 EJERCICIO No. 2.- Planteamiento: La Empacadora Copar-Mex S.A de C.V. desea conocer cuál sería el costo mínimo para enviar mercancía de las tres rutas seleccionadas. DESTINO ORIGEN 1 2 3 4 OFERTA 1 10 0 20 11 15 2 12 7 9 20 25 3 0 14 16 18 5 DEMANDA 5 15 15 10 Primer Paso: Elegir la casilla que tenga el costo de Envió más Económico. DESTINO ORIGEN 1 2 3 4 OFERTA 1 10 0 20 11 15 2 12 7 9 20 25 3 0 14 16 18 5 DEMANDA 5 15 15 10 Segundo Paso: Elegir la máxima cantidad de material que se puede programar de las rutas seleccionadas En este caso origen tres, destino 1 DESTINO ORIGEN 1 2 3 4 OFERTA 1 10 0 20 11 15 2 12 7 9 20 25 3 5 0 14 16 18 5 DEMANDA 5 15 15 10 Pasamos a cancelar la demanda y la oferta de dicho origen y destino. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 18 Pasamos hacer lo mismo con la casilla del costo mínimo que falta. Origen 1, Destino 2 DESTINO ORIGEN 1 2 3 4 OFERTA 1 10 15 0 20 11 15 2 12 7 9 20 25 3 5 0 14 16 18 5 DEMANDA 5 15 15 10 Pasamos a cancelar la demanda y la oferta de dicho origen y destino. Ahora forzosamente debemos satisfacer el destino 3 y 4 y origen 2. DESTINO ORIGEN 1 2 3 4 OFERTA 1 10 15 0 20 11 15 2 12 7 9 20 25 3 5 0 14 16 18 5 DEMANDA 5 15 15 10 Satisfacemos la oferta de dichos destinos y origen. DESTINO ORIGEN 1 2 3 4 OFERTA 1 10 15 0 20 11 15 2 12 7 15 9 10 20 25 3 5 0 14 16 18 5 DEMANDA 5 15 15 10 Y de esta manera seria la solución de nuestro ejercicio. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 19 EJERCICIO No. 3.- Planteamiento: Primer Paso: Verificar que la suma de la oferta y la demanda se encuentren iguales. COSTO MINIMO ALMACEN M N O OFERTA A 5 6 8 50 B 7 4 2 80 DEMANDA 35 50 45 130 Tomaremos el almacén B del Costo más minino en este caso de 2. COSTO MINIMO ALMACEN M N O OFERTA A 5 6 8 50 B 7 4 45 2 80 35 DEMANDA 35 50 45 130 Después del Costo mínimo de M y N tomaremos el mínimo en este caso 4. COSTO MINIMO ALMACEN M N O OFERTA A 5 6 8 50 B 7 4 45 2 80 35 DEMANDA 35 50 45 130 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 20 Eliminamos la demanda de N COSTO MINIMO ALMACEN M N O OFERTA A 5 6 8 50 B 7 35 4 45 2 80 35 0 DEMANDA 35 50 45 130 15 0 Después volvemos a elegir el menor en este caso 5. COSTO MINIMO ALMACEN M N O OFERTA A 35 5 6 8 50 B 7 35 4 45 2 80 35 0 DEMANDA 35 50 45 130 15 0 Después tomamos el almacén a en la casilla del costo mínimo 6. COSTO MINIMO ALMACEN M N O OFERTA A 35 5 15 6 8 50 15 B 7 35 4 45 2 80 35 0 DEMANDA 35 50 45 130 15 0 Después de eso procedemos a sacar la suma de los valores de los costos de la cantidad que se va a surtir para cada cliente: C.M.= 35(5)+15(6)+35(4)+45(2)=495 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 21 CUESTIONARIO ADICIONAL 1.- ¿En qué circunstancias se aplica dicho método? R=Principalmente sabemos que este método se enfoca a resolver problemas de transporte o distribución, de este modo se enfocara en las rutas que lograran generar el menor costo posible. En muchas empresas siempre se requiere reducir los gastos al mínimo y generar mayores utilidades; si se pretende distribuir 1000 unidades de X productos en el país o a nivel local, dicho método nos ayudara a encontrar la ruta con el menor costo inferido, esto quiere decir que gastaremos menos y aumentaremos nuestras utilidades. 2.- ¿Qué relación existe entre el Método de Esquina Noroeste con este Método? R= En ambos se busca encontrar el gasto minino; que quiere decir esto que ambos métodos nos ayudaran a encontrar una ruta de distribución lo menos costosa. 3.- ¿Con que otro nombre se le conoce a este Método? R= Mínimos Costos 4.- ¿A qué Restricciones se sujeta este Método Principalmente? R= A la Oferta y a la Demanda 5.- El primer paso para comenzar este Método es: R=De la Matriz se elige la ruta (celda) menos costosa. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 22 3.3.- MÉTODO DE APROXIMACION DE VOGEL El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo producen mejores resultados iniciales que los mismos. El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método. Pasos para Realizar este Modelo: Aproximación de Vogel Paso No. 1.- Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. Paso No. 2.- Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). Paso No. 3.- De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0). Paso No. 4.- Ciclo y Excepciones. I. Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse. II. Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos, detenerse. III. Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse. IV. Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 23 EJERCICIOS PROPUESTOS: EJERCICIO No. 1.- Planteamiento: Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1, 2, 3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Planta 1 5 2 7 3 Planta 2 3 6 6 1 Planta 3 6 1 2 4 Planta 4 4 3 6 6 Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.] El primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en el tabulado de costos, tal como se muestra a continuación. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 2 3 6 6 1 30 2 Planta 3 6 1 2 4 60 1 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 70 35 Penalización 1 1 4 2 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 24 El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta manera: Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 2 3 6 6 1 30 2 Planta 3 6 1 2 4 60 1 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 70 35 Penalización 1 1 4 2 El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor costo es "2" y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 60 unidades "que es la capacidad de la planta 3". Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 2 3 6 6 1 30 2 Planta 3 6 1 2 4 60 1 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 70 35 Penalización 1 1 4 2 Cuadro Solución Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 80 Planta 2 30 Planta 3 60 60 Planta 4 45 Demanda 70 40 70 35 Dado que la fila de la "Planta 3" ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta debe desaparecer. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 25 Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 2 3 6 6 1 30 2 Planta 3 6 1 2 4 60 1 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 10 35 Penalización 1 1 4 2 Se procede a eliminarse la fila correspondiente a la Planta que ha quedado sin unidades, además observemos como la demanda de Medellín se modifica, ahora solo necesita 10 unidades, dado que se resta la cantidad ya asignada. Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 2 3 6 6 1 30 2 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 10 35 Penalización 1 1 0 2 Dado que en este caso existe empate, elegimos de manera arbitraria. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 2 3 6 6 1 30 2 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 10 35 Penalización 1 1 0 2 Cuadro Solución Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 80 Planta 2 30 30 Planta 3 60 60 Planta 4 45 Demanda 70 40 70 35 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 26 Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 2 3 6 6 1 30 2 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 10 5 Penalización 1 1 0 2 Iniciamos una nueva Interacción Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 80 1 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 10 5 Penalización 1 1 1 3 Cuadro Solución Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 5 80 Planta 2 30 30 Planta 3 60 60 Planta 4 45 Demanda 70 40 70 35 Podemos observar cómo queda satisfecha la demanda de Barranquilla, por ende desaparecerá. Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 3 75 1 Planta 4 4 3 6 6 45 1 Demanda 70 40 10 5 Penalización 1 1 1 3 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 27 Continuamos con las iteraciones, Cali Bogotá Medellín Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 75 3 Planta 4 4 3 6 45 1 Demanda 70 40 10 Penalización 1 1 1 Cuadro Solución Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 40 5 80 Planta 2 30 30 Planta 3 60 60 Planta 4 45 Demanda 70 40 70 35 Cali Bogotá Medellín Oferta Penalización Planta 1 5 2 7 75 3 Planta 4 4 3 6 45 1 Demanda 70 40 10 Penalización 1 1 1 Iniciamos otra Interacción Cali Medellín Oferta Penalización Planta 1 5 7 35 2 Planta 4 4 6 45 2 Demanda 70 10 Penalización 1 1 Cuadro Solución Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 40 5 80 Planta 2 30 30 Planta 3 60 60 Planta 4 45 45 Demanda 70 40 70 35 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 28 Cali Medellín Oferta Penalización Planta 1 5 7 35 2 Planta 4 4 6 45 2 Demanda 70 10 Penalización 1 1 Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemos concluido el método. Cali Medellín Oferta Planta 1 5 7 35 Demanda 70 10 Cuadro Solución Cali Bogotá Medellín Barranquilla Oferta Planta 1 25 40 10 5 80 Planta 2 30 30 Planta 3 60 60 Planta 4 45 45 Demanda 70 40 70 35 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 29 Los costos asociados a la distribución son: Variable de decisión Actividad de la variable Costo x unidad Contribución Total X1,1 25 5 125 X1,2 40 2 80 X1,3 10 7 70 X1,4 5 3 15 X2,1 0 3 0 X2,2 0 6 0 X2,3 0 6 0 X2,4 30 1 30 X3,1 0 6 0 X3,2 0 1 0 X3,3 60 2 120 X3,4 0 4 0 X4,1 45 4 180 X4,2 0 3 0 X4,3 0 6 0 X4,4 0 6 0 TOTAL 940 25 1 40 1 PLANTA 1 Cali 10 5 PLANTA 1 2 2 Bogotá 30 PLANTA 1 3 60 3 Medellín 4 45 4 Barranquilla PLANTA 1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 30 EJERCICIO No. 2.- Para el siguiente problema de transporte en el que se especifica la oferta y demanda, para los orígenes (almacenes) y destinos (ciudades) respectivamente, así como los costos de transporte por unidad, desde cada uno de los almacenes hacia cada una de las ciudades, y en el que se desea determinar la cantidad o número de artículos que se tiene que enviar desde cada almacén a cada una de las ciudades, con un costo mínimo de transporte, se resuelve lo siguiente: Ciudades I II III Oferta Almacén 1 5 1 8 12 Almacén 2 2 4 0 14 Almacén 3 3 6 7 4 Demanda 9 10 11 30/30 1. Para iniciar el desarrollo del ejercicio identificaremos los costos más bajos por fila y por columna. Posteriormente se restan dichos valores y este resultado se denomina Penalización. Ciudades I II III Oferta Penalización Almacén 1 5 1 8 12 5 - 1= 4 Almacén 2 2 4 0 14 2 - 0= 2 Almacén 3 3 6 7 4 6 - 3= 3 Demanda 9 10 11 Penalización 3-2=1 4 - 1= 3 7-0= 7 El valor de la penalización siempre es positivo dado que se resta el valor mayor menos el menor. 2. Se identifica la fila o columna con la mayor penalización. De ese renglón o columna tomamos el menor costo y le asignamos la mayor cantidad posible de artículos que se necesita para cubrir nuestra demanda. Después de haber hecho esto tachamos toda la columna o fila indicando que ya se cumplió con la demanda. En este caso se tachó la columna de la ciudad #3 y el almacén 2 cubrió la demanda de los 11 artículos. De esta manera entonces en el almacén 2 queda con 3 artículos. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 31 CIUDADES I II III OFERTA PENALIZACION ALMACEN 1 5 10 1 8 12 2 5-1=4 ALMACEN 2 2 4 11 0 14 3 2-0=2 ALMACEN 3 3 6 7 4 6-3=3 DEMANDA 9 10 11 PENALIZACION 3-2=1 4-1=3 7-0=7 2. Reducir la tabla de transporte sombreando las columnas o filas satisfechas; se repite el proceso desde el paso 1 y se calculan las nuevas penalizaciones, sin tener en cuenta la ciudad 3 (columna 3) pues ya se cubrió la demanda en su totalidad. Al cubrir la demanda de la ciudad número 2 el almacén 1 queda con 3 artículos. CIUDADES I II III OFERTA PENALIZACION PENALIZACION ALMACEN 1 5 10 1 8 12 2 5-1=4 5-1=4 ALMACEN 2 2 4 11 0 14 3 2-0=2 4-2=2 ALMACEN 3 3 6 7 4 6-3=3 6-3=0 DEMANDA 9 10 11 PENALIZACION 3-2=1 4-1=3 7-0=7 PENALIZACION 1 3 4. Ya en este último paso no es necesario realizar la diferencia para encontrar la mayor penalización, simplemente se asignan las unidades o artículos que nos quedan en los almacenes 1,2 y 3 a la ciudad número 1; por lo tanto surtimos a la ciudad 1 con los 2 artículos que nos quedan en el almacén 1, del almacén número 2 asignamos las 3 y por ultimo de almacén número 4 asignamos los artículos para cubrir la demanda de la ciudad número 1 en su totalidad. CIUDADES I II III OFERTA PENALIZACION PENALIZACION ALMACEN 1 5 10 1 8 12 2 5-1=4 5-1=4 ALMACEN 2 2 4 11 0 14 3 2-0=2 4-2=2 ALMACEN 3 3 6 7 4 6-3=3 6-3=0 DEMANDA 9 10 11 PENALIZACION 3-2=1 4-1=3 7-0=7 PENALIZACION 1 3 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 32 Para saber cuántas celdas debimos haber llenado vamos a realizar la siguiente operación: # Filas + # columnas – 1 m+n-1 Entonces: 3+3-1 =5 celdas ocupadas. Para calcular el costo total de envió se realiza la siguiente operación: Z= Unidades asignadas * costo unitarios. Z= 2(5)+10(1)+3(2)+11(0)+4(3). Z= 38 es el costo mínimo total de envió. ALMACENES CIUDADES 1 1 2 2 3 3 Informe: La distribución de los artículos a las ciudades para minimizar los costos de transporte se asignarían de la siguiente manera: 1. El almacén 1 surtiría la ciudad 1 con 2 artículos a un costo mínimo de transporte de 5$ 2. El almacén 1 surtiría a la ciudad 2 con 10 artículos a un costo mínimo de transporte de 1$ 3. El almacén 2 surtiría a la ciudad 1 con 3 artículos a un costo mínimo de transporte de 2$ 4. El almacén 2 surtiría a la ciudad 3 con 11 artículos a un costo mínimo de transporte de 0$ 5. El almacén 3 surtiría a la ciudad 1 con 4 artículos a un costo mínimo de transporte de 3$. (En este caso el almacén 1, 2 y 3 surtieron a la ciudad 1 para cubrir la demanda de 9 artículos). INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 33 EJERCICIO No. 3.- Planteamiento: Consideremos nuevamente que una empresa productora de derivados de Maíz tiene un problema de transporte balanceado que tiene 3 fuentes de oferta (silos) y 4 fuentes de demanda (molinos). Los valores numéricos en la esquina superior derecha de cada cuadro, en adelante Cij representan el costo unitario de transporte desde el silo i al molino j. Por ejemplo c11=10, es el costo unitario de transporte desde el silo 1 al molino 1. MOLINO 1 2 3 5 OFERTA 1 x11 10 x12 2 x13 20 x14 11 15 2 x21 12 x22 7 x23 9 x24 20 25 3 x31 4 x32 14 x33 16 x34 18 10 DEMANDA 5 15 15 15 Según lo descrito anteriormente el primer paso consiste en calcular el factor de penalización para cada fila y columna de la tabla que representa el problema de transporte anterior. Por ejemplo, en la fila 1 el mínimo costo es $2 y Y el costo unitario siguiente al mínimo es $10. En consecuencia la penalización de dicha fila es $8 ($10-$2). Se replica el mismo cálculo para cada fila y columna de la tabla lo cual es trivial y reporta los siguientes resultados (se han marcado las penalizaciones de las respectivas filas y columnas con color naranjo para mayor claridad): MOLINO 1 2 3 5 OFERTA 1 10 2 20 11 15 10-2=8 2 12 7 9 20 25 9-7=2 3 4 14 16 18 10 14-4=10 DEMANDA 5 15 15 15 10-4=6 7-2=5 16-9=7 18-11=7 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 34 Como la fila 3 tiene la máxima penalización ($10) y la celda correspondiente a tiene el costo unitario mínimo de esa fila, se asigna 5 unidades a (más no es necesario aun cuando la capacidad del silo 3 lo permite dado que la demanda del molino 1 es de sólo 5 unidades). Con esto la columna 1 se debe tachar (lo hemos marcado con color amarillo) y se procede a calcular las nuevas penalizaciones como se aprecia a continuación: MOLINO 1 2 3 5 OFERTA 1 10 2 20 11 15 11-2=9 2 12 7 9 20 25 9-7=2 3 5 4 14 16 18 10 16-14=2 DEMANDA 5 15 15 15 7-2=2 16-9=7 18-11=7 Ahora la penalización máxima es $9 ($11-$2) lo cual se alcanza en la fila 1. En consecuencia se asigna la máxima cantidad posible a la variable X12, con lo que se obtiene X12 =15, y al mismo tiempo se satisfacen tanto la fila 1 como la columna 2. En forma arbitraria se tacha la columna 2 y se ajusta a cero la oferta en la fila 1. Al continuar de la misma forma, ahora la fila 2 es la que produce la máxima penalización correspondiente a $11 ($20-$9), por tanto se asigna X23 =15, con lo que se tacha la columna 3 y quedan 10 unidades en la fila 2. Sólo queda la columna 4 y tiene 15 unidades de oferta positiva. Al aplicar el Método del Costo Mínimo a esa columna, se asigna de forma sucesiva X14 =0, X34 =5, X24 =10 (se recomienda verificar dichos resultados). Notar adicionalmente que hay otras soluciones posibles que dependen de cómo se rompen los empates. El valor de la función objetivo asociado a esta solución factible inicial es= 15(2)+0(11)+15(9)+10(20)+5(4)+5(18)=$475 que es similar a lo alcanzado por el Método del Costo Mínimo, no obstante, en general el Método de Aproximación de Vogel reporta mejor solución de inicio. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 35 CUESTIONARIO ADICIONAL 1.- ¿En qué circunstancia se aplica dicho método? R=Se utiliza para ayudar a la toma de decisiones en la realización de actividades como: Control de inventarios Flujo de efectivo Programación de niveles de reservas en prensas entre otras 2.- ¿Cuál es el objetivo principal del método de aproximación de Vogel? R=Es reducir al mínimo posible los costos de transporte destinados a satisfacer los requerimientos totales de demanda y materiales. 3.- Menciona tres características del método de aproximación de Vogel? R= Tiene diferentes orígenes con diferentes destinos Un origen puede abastecer a diferentes destinos La aproximación de Vogel finaliza en costo mínimo 4.- ¿Menciona las ventajas del método de aproximación de Vogel? R= Conduce rápidamente a una mejor solución Tiene en cuenta en el análisis la diferencia entre los menores costos de transporte mediante los cálculos de las llamadas penalizaciones de fila y columna. 5.- ¿Cuáles son las soluciones para este tipo de método? Una solución inicial optimo Próxima al nivel optimo INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 36 3.4.- MÉTODO DE ASIGNACIÓN En su forma más general, el problema es como sigue: Hay un número de agentes y un número de tareas. Cualquier agente puede ser asignado para desarrollar cualquier tarea, contrayendo algún coste que puede variar dependiendo del agente y la tarea asignados. Es necesario para desarrollar todas las tareas asignar un solo agente a cada tarea para que el coste total del asignación sea minimizado. Este tipo de problemas son lineales, con una estructura de transporte, sólo que la oferta en cada origen es de valor uno y la demanda en cada destino es también de valor uno. Sería muy ineficiente resolver este tipo de problemas por medio del método simplex o por medio del de transporte. Debido a la estructura propia de los problemas de asignación, existen métodos de solución llamados algoritmos de asignación que son más eficientes que el simplex o que el método de transporte. Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. La restricción importante para cada agente es que será asignado a una y solo una tarea. El problema de asignación tiene que ver con la asignación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas. Al aplicar el método de transporte y el método de asignación la gerencia está buscando una ruta de distribución o una asignación que optimizará algún objetivo; éste puede se la minimización del costo total, la maximización de las utilidades o la minimización del tiempo total involucrado. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 37 Al igual que el método de transporte el método de asignación es computacionalmente más eficiente que el método simplex para una clase especial de problemas. El método de asignación también conocido como la Técnica de flood o el método Húngaro de asignación. Hay básicamente tres pasos en este método 1. Determine la tabla de costo de oportunidad: 1. Reste el elemento del costo más bajo en cada columna de la tabla de costo dada, de todo los elementos en esa columna. 2. Reste el asiento más bajo en cada renglón de la tabla obtenida en la parte 1.1 de todos los números en ese renglón. 2. Determine si se puede hacer una asignación óptima: 1. El procedimiento es dibujar líneas rectas (verticales y horizontales) a través de la tabla de costos total de oportunidad, de tal manera que se minimice el número de líneas necesarias para cubrir todos los cuadros CERO. Si el número de líneas dibujadas es menor que el número de renglones o columnas, no se puede hacer una asignación óptima y el problema no está resuelto. 3. Revise la tabla de costo total de oportunidad. 1. Seleccione el número más pequeño en la tabla no cubierto, por una línea recta y reste este número de todos los números no cubiertos por una línea recta. 2. Añada este mismo número a los números que están en la intersección de dos líneas cualesquiera. Regrese al paso 2. Caracteristicas: El problema de asignación presenta las siguientes características: El Problema de Asignación debe estar equilibrado, es decir, que las ofertas y las demandas sean igual a 1. Un elemento importante para el problema de asignación es la matriz de costos, si el número de renglones o columnas no son iguales el problema está desbalanceado y se puede obtener una solución incorrecta, para obtener una solución correcta la matriz debe ser cuadrada. Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de asignación lineal. Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asignación lineal. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 38 Oferta: Cantidad que representa la disponibilidad del artículo en la fuente/fábrica de donde proviene. Demanda: Cantidad de artículos que necesita recibir el destino para cumplir sus necesidades. Diferencias con el Modelo de Transporte y Asignación Los problemas de asignación son un caso particular de los problemas de transporte y constituyen la clase más sencilla de los problemas lineales, en el cual los trabajadores representan las fuentes y los puestos representan los destinos. En el problema de transporte existen m orígenes y n destinos, y el flujo se realiza desde un origen hacia cada uno de los diferentes destinos. Si en este caso permitimos el flujo en ambos sentidos (de origen a destino y destino a origen) se puede hablar de un problema de m + n orígenes y m + n destinos. A este tipo de problemas se les conoce con el nombre de problemas de transbordo (transhipment problems) o transporte con nodos intermedios. En el caso más general, cada punto origen o destino pude ser un punto de transbordo, es decir, cada origen puede evitar o transportar a otros orígenes o a distintos; y los destinos pueden transportar a su vez a otros destinos o volver a los orígenes. Un punto conserva su identidad, origen o destino, solamente cuando sea respectivamente, un punto que originalmente disponga de un suministro o un punto que tenga una demanda a satisfacer. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 39 EJERCICIOS PROPUESTOS: EJERCICIO No. 1.- Planteamiento: La compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla: Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Eq. De Mantenimiento 1 10 9 5 Eq. De Mantenimiento 2 9 8 3 Eq. De Mantenimiento 3 6 4 7 Paso No.1.- Encontramos el menor elemento de cada fila Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Elemento Menor de la Fila Eq. De Mantenimiento 1 10 9 5 5 Eq. De Mantenimiento 2 9 8 3 3 Eq. De Mantenimiento 3 6 4 7 4 Paso No.2.- Construimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matriz original y el elemento menor de la fila a la cual corresponde. Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Eq. De Mantenimiento 1 5 4 0 ((10-5)(9-5)(5-5)) Eq. De Mantenimiento 2 6 5 0 ((9-3)(8-3)(3-3) Eq. De Mantenimiento 3 2 0 3 ((6-4)(4-4)(7-4)) INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 40 Paso No.3.- En la matriz construida en el paso anterior se procede a efectuar el paso 1 esta vez en relación a las columnas, por ende escogemos el elemento menor de cada columna. Igualmente construimos una nueva matriz con la diferencia entre los valores de la matriz 2 y el elemento menor de la columna a la cual corresponde cada valor. Maquina Maquina Maquina 1 2 3 Eq. De Mantenimiento 1 5 4 0 Eq. De Mantenimiento 2 6 5 0 Eq. De Mantenimiento 3 2 0 3 Elemento Menor de la 2 0 0 Columna MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS Maquina Maquina Maquina 1 2 3 Eq. De Mantenimiento 1 3 4 0 Eq. De Mantenimiento 2 4 5 0 Eq. De Mantenimiento 3 0 0 3 Paso No.4.- En este paso trazaremos la menor cantidad de combinaciones de líneas horizontales y verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos. MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Eq. De Mantenimiento 0 1 3 4 Eq. De Mantenimiento 2 4 5 0 Eq. De Mantenimiento 3 0 0 3 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 41 Como se puede observar el menor número de líneas horizontales y/o verticales necesarias para cubrir los ceros de la matriz de costos reducidos es igual a 2, por ende al ser menor que el número de filas o columnas es necesario recurrir al paso 5. Paso No.5.- En este paso seleccionamos el menor elemento de los elementos no subrayados. MENOR ELEMENTO DE LOS NO SUBRAYADOS 3 Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y a adicionarse a los elementos ubicados en las intersecciones de las líneas, en este caso existe una única intersección (3). MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Eq. De Mantenimiento 1 0 1 0 Eq. De Mantenimiento 2 1 2 0 Eq. De Mantenimiento 3 0 0 6 Ahora ya efectuado este paso pasamos al paso 4. MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Eq. De Mantenimiento 0 1 1 0 Eq. De Mantenimiento 2 1 2 0 Eq. De Mantenimiento 3 0 0 6 Ahora observamos cómo se hace necesario trazar tres líneas (la misma cantidad de filas o columnas de la matriz) por ende se ha llegado al tabulado final, en el que por simple observación se determina las asignaciones óptimas. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 42 MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Eq. De Mantenimiento 1 0 1 0 Eq. De Mantenimiento 2 1 2 0 Eq. De Mantenimiento 3 0 0 6 Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17 unidades monetarias. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 43 EJERCICIO No. 2.- Resolución de un problema de Maximización mediante el Método Húngaro Planteamiento: Una organización de recolección de café cuenta con tres equipos de siembra y cosecha del mismo (equipos 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso, condiciones como lo son el tipo de suelo, las condiciones del clima y el tipo de grano. La organización cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembra y cosecha (terrenos A, B, C, D), estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles, salvo el equipo 2, que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos disponibles. Se ha contratado a un Ingeniero Industrial con el objetivo de realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de café cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de sacos) de cosecha de café de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los terrenos. Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 13 7 12 12 Equipo 2 10 13 15 7 Equipo 3 13 10 8 7 Resolución: En este problema debemos recordar un concepto fundamental para la aplicación del método húngaro, este concepto nos dice que el número de filas debe ser exactamente igual al número de columnas. Por ende, la acción a realizar debería ser crear un equipo ficticio, el cual nos deje el tabulado balanceado y a este asignarle un número de sacos cosechados equivalente a cero en cada uno de los terrenos. Sin embargo el problema nos indica que uno de los equipos se encuentra en capacidad de que se le asignen dos terrenos, en este caso crearemos un equipo 2 alternativo (Equipo 2B) el cual nos balanceará el tabulado y nos hará prescindir del equipo ficticio pensado inicialmente. A este equipo 2B que crearemos le corresponderá la misma capacidad de cosecha del equipo 2 (en adelante equipo 2A) según el terreno, lógicamente. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 44 Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 13 7 12 12 Equipo 2A 10 13 15 7 Equipo 2B 10 13 15 7 Equipo 3 13 10 8 7 Una vez balanceado el tabulado debemos de cuestionarnos acerca del criterio de optimización, pues recordemos que el método húngaro se encuentra diseñado para ejercicios de minimización. En este caso nuestro objetivo es maximizar, por lo que tendremos que aplicar un paso adicional. Lo primero que debemos hacer es ubicar el mayor valor del tabulado inicial. Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 13 7 12 12 Equipo 2A 10 13 15 7 Equipo 2B 10 13 15 7 Equipo 3 13 10 8 7 En este caso este valor es 15, por lo cual procederemos a realizar la siguiente operación con cada uno de los valores: Restaremos a 15, el valor de cada una de las celdas y este valor quedará en cada una de las celdas correspondientes. Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 (15-13)=2 (15-7)=8 (15-12)=3 (15-12)=3 Equipo 2A (15-10)=5 (15-13)=2 (15-15)=0 (15-7)=8 Equipo 2B (15-10)=5 (15-13)=2 (15-15)=0 (15-7)=8 Equipo 3 (15-13)=2 (15-10)=5 (15-8)=7 (15-7)=7 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 45 Ahora nuestro tabulado inicial quedará de la siguiente manera: Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 2 8 3 3 Equipo 2A 5 2 0 8 Equipo 2B 5 2 0 8 Equipo 3 2 5 7 7 A partir de este tabulado ya podemos aplicar el algoritmo del método húngaro como se aplicaría en un caso e minimización (normalmente). Ahora encontramos el menor elemento de cada fila. Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 2 8 3 3 Equipo 2A 5 2 0 8 Equipo 2B 5 2 0 8 Equipo 3 2 5 7 7 Y se lo restamos a todas las celdas de la fila. Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 0 6 1 1 (2-2)(8-2)(3-2)(3-2) Equipo 2A 5 2 0 8 (5-0)(2-0)(0-0)(8-0) Equipo 2B 5 2 0 8 (5-0)(2-0)(0-0)(8-0) Equipo 3 0 3 5 5 (2-2)(5-2)(7-2)(7-2) Ahora efectuamos este mismo paso, pero esta vez con las columnas. Elegimos el menor de los valores de cada columna y se lo restamos a cada una de las celdas de la columna correspondiente. Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 0 6 1 1 Equipo 2A 5 2 0 8 Equipo 2B 5 2 0 8 Equipo 3 0 3 5 5 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 46 Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 0 4 1 0 Equipo 2A 5 0 0 7 Equipo 2B 5 0 0 7 Equipo 3 0 1 5 4 Ahora procedemos a cubrir la mayor cantidad de ceros, con la menor cantidad de líneas, si el número de líneas que empleemos es igual al grado de la matriz (en este caso matriz grado 4, 4x4) habremos llegado al final del ejercicio. Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 0 4 1 0 Equipo 2A 5 0 0 7 Equipo 2B 5 0 0 7 Equipo 3 0 1 5 4 Dado que el número de líneas es igual al grado de la matriz, hemos concluido el algoritmo. Lo único que quedará será asignar a cada equipo el terreno en el que el intercepto es igual a 0 (cero). Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 0 0 Equipo 2A 0 0 Equipo 2B 0 0 Equipo 3 0 Las asignaciones, como es lógico deberán iniciarse por el equipo al cual solo corresponda un terreno, en este caso al Equipo 3 le corresponde el Terreno A. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 47 De esta manera al Equipo 1 le corresponde el Terreno D. Mientras tanto el Equipo 2 se encargará de la cosecha en los terrenos B y C. Según el tabulado del problema (recordemos que es de maximización), la cantidad de sacos (expresada en cientos de sacos) será así: Terreno A Terreno B Terreno C Terreno D Equipo 1 12 Equipo 2A 13 Equipo 2B 15 Equipo 3 13 TOTAL= 53 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 48 EJERCICIO No. 3.- Resolución de un problema de asignación mediante Programación Lineal. Planteamiento: La compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla: Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Eq. De Mantenimiento 1 10 9 5 Eq. De Mantenimiento 2 9 8 3 Eq. De Mantenimiento 3 6 4 7 Variables de Decisión Las variables de decisión de este tipo de problemas es igual a las variables de cualquier modelo de transporte tradicional, es decir variables Xi, j donde i {Equipo de mantenimiento 1,2, 3} y j {Máquina 1, 2, 3}, y corresponden a variables binarias en las cuales el valor 1 significa la asignación de un equipo de mantenimiento a una máquina en particular. Restricciones Dado que un equipo de mantenimiento no puede ser asignado a más de una maquinaria, esta característica debe de restringirse mediante las siguientes inecuaciones. X1, 1 + X1, 2 + X1, 3 = 1 X2, 1 + X2, 2 + X2, 3 = 1 X3, 1 + X3, 2 + X3, 3 = 1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 49 Además debe restringirse el hecho de que cada máquina solo requiere de un equipo de mantenimiento, por ende X1, 1 + X2, 1 + X3, 1 = 1 X1, 2 + X2, 2 + X3, 2 = 1 X1, 3 + X2, 3 + X3, 3 = 1 Además se hace necesario que para efectos de resolución en cualquier paquete de herramientas se especifique que estas variables corresponden al conjunto de los enteros (por obvias razones) y que deben ser mayores que cero (dado que es un problema de minimización esta restricción se hace muy necesario). Xi, j ≥ 0 Xi, j ∈ {Z} Función Objetivo ZMIN = 10X1, 1 + 9X1, 2 + 5X1, 3 + 9X2, 1 + 8X2, 2 + 3X2, 3 + 6X3, 1 + 4X3, 2 + 7X3, 3 WINDOWS QSB VARIABLE X11 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33 Dirección R.H.S Minimizar 10 9 5 9 8 3 6 4 7 Restricción 1 1 1 IGUAL A 1 Restricción 2 1 1 1 IGUAL A 1 Restricción 3 1 1 1 IGUAL A 1 Restricción 4 1 1 1 IGUAL A 1 Restricción 5 1 1 1 1 IGUAL A 1 Restricción 6 1 1 IGUAL A 1 LowerBound 0 0 0 0 0 0 0 0 0 UpperBound M M M M M M M M M Tipo de Variable INTEGER INTEGER INTEGER INTEGER INTEGER INTEGER INTEGER INTEGER INTEGER INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 50 RESULTADOS OBTENIDO MEDIANTE EL WINQSB Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17 unidades monetarias. Variable Solución Unit Cost Total Reduced Allowable Alowable Decisión Verdadera or Porfit (i) Contribution Cost Basis Status Min. C (i) Max c.(i) X11 10,000 10,000 100,000 0 Basic 90000 110000 X12 0 90,000 0 10,000 at bound 80000 M X13 0 50,000 0 10,000 at bound 40000 M X21 0 90,000 0 0 Basic 80000 100000 X22 0 80,000 0 10,000 at bound 70000 M X23 1 ,0000 30,000 30,000 0 Basic (-)M 40000 X31 0 60,000 0 0 Basic 50000 100000 X32 10,000 40,000 40,000 0 Basic (-)M 50000 X33 0 70,000 0 at bound 0 M Objetive Function (Min)= 17,000 70,000 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 51 CUESTIONARIO ADICIONAL 1.- ¿En qué circunstancia se aplica dicho método? R= En el modelo de asignación es la idea fundamental de resolución es que una fuente satisface mejor un destino, se representa mediante un modelo a una gran diversidad de circunstancias y se puede plantearse en múltiples contextos, como que candidato es el idóneo para la vacante, o que personal es el indicado para una línea productiva en específico, o que personal es el mejor para ejecutar determinada tarea. Una característica particular del modelo de asignación es que para su resolución no se hace necesario que el número de fuentes sea igual al número de destinos, lo cual es muy común en la vida real teniendo en cuenta su aplicación, pues generalmente la cantidad de aspirantes es exageradamente superior al número de vacantes (lógicamente haciendo referencia a la aplicación del modelo al contexto de oferta y demanda laboral). 2.- Menciona dos características de este método R= El problema de asignación presenta las siguientes características: El Problema de Asignación debe estar equilibrado, es decir, que las ofertas y las demandas sean igual a 1. Un elemento importante para el problema de asignación es la matriz de costos, si el número de renglones o columnas no son iguales el problema esta desbalanceado y se puede obtener una solución incorrecta, para obtener una solución correcta la matriz debe ser cuadrada. Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de asignación lineal. Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asignación línea. 3.- ¿En que se basa el método de Asignación? R= El problema de asignación tiene que ver con la asignación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas. Al aplicar el método de transporte y el método de asignación la gerencia está buscando una ruta de distribución o una asignación que optimizará algún objetivo; éste puede se la minimización del costo total, la maximización de las utilidades o la minimización del tiempo total involucrado. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 52 CONCLUSIÓN Los métodos presentados con anterioridad, son utilizados para determinar tarifas de transporte, para seleccionar recursos óptimos o para conocer la estructura de costos de Transporte. Para realizarlo es necesario conocer la: Actividad y el Desarrollo y su Entorno Identificar las Variables Construir modelos específicos para cada producto Recopilar información necesaria que alimente al Método En general estos modelos se basan en función lineal, donde a medida incrementa la distancia recorrida y por default incrementara el costo. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 53 BIBLIOGRAFÍA Wayne L. Winston Investigación de Operaciones aplicaciones y algoritmos Ed. Thomson. Hillier, F.S y Liebermang G.J., Introducción a la Investigación de Operaciones Ed. Mc Graw Hill 2002 7ma Edición. LINKOGRAFÍA http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero- industrial/investigación-de-operaciones/ http://calculemoscostos.blogspot.mx/2013/10/ejercicio-de-aplicacion-metodo- del_1335.html http://davinci.ing.unlp.edu.ar/produccion/catingp/Capitulo%207%20PROBLEMAS%20DE%2 0TRANSPORTE%20Y%20ASIGNACION.pdf http://books.google.com.mx/books?id=8IMSA6DEaRoC&pg=PA295&lpg=PA295&dq=minim izaci%C3%B3n,+investigaci%C3%B3n+de+operaciones&source=bl&ots=MGiZ4TaCOi&sig=EI Jz4QJCvgjhyEi- 1x3wSOL_k5E&hl=es&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=rsult#PPA275,M1 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PÁGINA 54