RACIOCÍNIO LÓGICOFundamentos da Lógica: # Primeiros Conceitos: O conceito mais elementar no estudo da lógica – e portanto o primeiro a ser visto – é o de Proposição. Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos – e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso. Então, se eu afirmar “ a Terra é maior que a Lua ”, estarei diante de uma proposição, cujo valor lógico é verdadeiro. Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F). E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, s erá que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que... ... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas – que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas. Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes: Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F. Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes: Proposições podem ser ditas simples ou compostas . Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido. Exemplos: Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta . Exemplos: Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas . Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 1 ) do valor lógico das proposições componentes; e 2 ) do tipo de conectivo que as une. 0 0 # Conectivo “e”: (conjunção) onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante . Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva ? Da seguinte forma: uma só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. conjunção Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante . Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade , de fácil construção e de fácil entendimento. Retomemos as nossas premissas: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante . Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas ( e Maria é estudante ) será também verdadeira. Teremos: Marcos é médico Se for verdade apenas que Marcos é médico , mas falso que Maria é estudante , teremos: Por outro lado, se for verdadeiro que teremos: Maria é estudante , e falso que Marcos é médico , Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que: Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjungão , ou seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e” . Teremos: É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos. Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola a te darei uma bicicleta” . Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras! Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes ( p e q), saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a seguinte estrutura: Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois “vês” seguidos de dois “efes”. Assim: Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas, para a premissa q é diferente: “vês” e “efes” se alternando a cada linha, começando com um V. Assim: Essa estrutura inicial é sempre assim , para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do conectivo “e” , ou seja, no caso da conjungão , já aprendemos a completar a nossa tabela verdade: Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção " p e q " corresponderá à intersegão do conjunto p com o conjunto q. Teremos: Passemos ao segundo conectivo. # Conectivo “ou”: (disjunção) Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposigão disjuntiva ? Claro! Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta.” Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu ! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjungão . Daí, concluímos: uma disjungão será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjungão será verdadeira! Teremos as possíveis situações: Ou: Ou: Ou, finalmente: Juntando tudo, teremos: A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas! Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do pe do q – são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjungão (p e q). Muda apenas a terceira coluna, que agora representa um “ou” , a disjunção. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a se for verdade que 'a te darei uma bicicleta” . Na segunda sentença acima. ou seja. a segunda estrutura apresenta duas situagões mutuamente excludentes . ao mesmo tempo.”: (disjungão exclusiva) Há um terceiro tipo de proposição composta. Nos demais casos. mas importante. Já na segunda proposição. que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira.. falsas. # Conectivo “ou . Daí.. necessariamente falsa.. verdadeiras.”: (condicional) Estamos agora falando de proposições como as que se seguem: . então teremos que não será dada a bicicleta. E como fica a sua tabela-verdade? Ora. e a outra. ou. Comparemos as duas sentenças abaixo: “Te darei uma bola ou “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” te darei uma bicicleta” A diferença é sutil.. a disjungão exclusiva será falsa. Ambas nunca poderão ser. e a restante será necessariamente falsa. se for verdade que 'a te darei uma bola”. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. # Conectivo “Se . mas com uma pequena diferença. o nome completo desta proposição composta é disjungão exclusiva . uma disjungão exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças.disjunção " p ou q " corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q. ambas nunca poderão ser. ao mesmo tempo. bem parecido com a disjunção que acabamos que ver.. de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira.. então teremos que não será dada a bola. este tipo de construção é uma disjungão exclusiva . pela presença dos dois conectivos 'aou”. isso não impedirá que a segunda parte ( te darei uma bicicleta ) também o seja. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola ). E vice-versa... então. Ou seja. Convém. Por exemplo: E assim por diante. usando o formato da condicional. só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira. . nasci em Fortaleza . mas o resultado necessário não se confirmar. quando a primeira parte for verdadeira. então necessariamente é verdade que Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza . a condicional será verdadeira. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário . pois. Ou seja. então Maria é médica” é igual O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos. Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal. no caso da proposigão condicional ? Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente. e a segunda for falsa. Nos demais casos. que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condigão suficiente para Maria ser médica” . então nós podemos reescrever essa sentença. Pronto? Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora.Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. se é verdade que eu eu sou cearense . pois esquecer disso: Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade. Não podemos. se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” . e que é falso que eu sou cearense . Percebam. também poderemos traduzir isso de outra forma: “Maria ser médica é condi ção necessária para que Pedro seja rico” a: “Se Pedro for rico. e a segunda for falsa. que trabalhemos com a seguinte sentença. Teremos: “Pedro ser rico é condi ção suficiente para Maria ser médica” a: “Se Pedro for rico. Ou seja. então Maria é médica” é igual Por outro lado. para facilitar nosso entendimento. Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense . então este conjunto estará todo falso. a proposição p é denominada de antecedente. por meio de um diagrama. separando as duas sentenças simples.Na proposição “Se p. então q ": Daí. Teremos: As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de " Se p. se e somente se .. Se alguém disser: “Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”. a proposição condicional: “ Se chove. então faz frio ” poderá também ser dita das seguintes maneiras: Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos. então q” .”: (bicondicional) A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”. É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: . Trata-se de uma proposição de fácil entendimento.. enquanto a proposição q é dita consequente... a proposição condicional " Se p então q " corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): # Conectivo “. só se vê mesmo a bicondicional no seu tradicional : “p se e somente se q”. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros. Observação: Uma proposição bicondicional " p se e somente se q " equivale à proposição composta: “ se p então q e se q então p ”. por meio de um diagrama. ou quando forem ambos falsos. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos. Nos demais casos. ou seja. # Partícula “ na"o”: (negaça"o) formato . São também equivalentes à bicondicional " p se e somente se q " as seguintes expressões: Via de regra. a proposição bicondicional " p se e somente se q " corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. em questões de prova.São construções de mesmo sentido! Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais . então a bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. a bicondicional será falsa. a questão dirá: “ Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”.Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição. uma a uma: Para negarmos uma proposição no formato de conjunção ( p e q). e já a tornamos uma negativa. como fica? Aí. e pedirá que encontremos. Exemplos: Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples. aquela frase que seja logicamente equivalente a esta . Já sabemos negar uma proposição simples. Mas. faremos o seguinte: E só! Daí. No caso de uma proposição simples. Veremos. pois. também. entre as opções de resposta. não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença. como equivalentes de " não A ". as seguintes expressões: Daí as seguintes frases são equivalentes: # Negativa de uma Proposição Composta: O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. já estamos craques ! Podem-se empregar. e se for uma proposição composta. dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição . Logo. já sabemos que com a negativa. o que é verdadeiro vira falso. como negaremos que “ João é médico e Pedro é dentista” ? Da forma explicada acima: Traduzindo para a linguagem da lógica.fornecida. Ora. diremos que: Tudo começa com aquele formato básico.. construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. dizer que “ não é verdade que.. Teremos: Por fim.. faremos a próxima coluna. que já é nosso conhecido: Daí. teremos: .. Ora. e o que é falso vira verdadeiro. E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! Daí. Analisemos: o começo da sentença é “ não é verdade que.”. ” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. que é a da conjungao (e). No início. a . do ponto de vista lógico. Já sabendo disso. Teremos: . basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas. teremos: Faremos agora as duas colunas das duas negativas. para dizer se uma proposição é. negaremos p. para negar p e q . negaremos q. Ou seja. p e de q. serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica. Para isso. do ponto de vista lógico . equivalente outra. e trocaremos e por ou . de comparar as colunas-resultado das duas tabelas. quem for V virará F e vice-versa. não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber como se faz a negativa de uma conjunção ! Esse exercício que fizemos acima. de sabemos. conforme já Resultados idênticos! Daí. o que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção . faremos: Na linguagem apropriada. Pensemos: a frase em tela começa com um “ não é verdade que. Daí.' . teremos: Finalmente.. ou seja. teremos: . construindo a coluna da disjunção (p ou q) . concluiremos que: Depois. faremos o seguinte: Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro'. fazendo a negação da coluna da disjunção . obedecendo aos passos descritos acima..Para negarmos uma proposição no formato de disjunção ( p ou q). para negar “p ou q” . teremos que: . Na linguagem lógica.Construindo-se as colunas das negações de p e de q. negaremos p. negaremos q. veremos exercícios de concursos bem recentes. Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma: Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”. do ponto de vista lógico . e trocaremos ou por e. já. teremos: Resultados idênticos! Daí. pois. Restam as letras b. . condicional . Todas essas começam com “Não é verdade que. d) Não é verdade que “Pedro não ester em Roma ou Paulo ester em Paris’. e vice-versa. O resultado ficou assim: “Pedro ester em Roma e Paulo não ester em Paris”. Daí. Ou seja. Estão. Não é verdade que ‘Pedro ester em Roma ou Paulo não ester em Paris’. Não é verdade que ‘Pedro não ester em Roma ou Paulo não ester em Paris’. se Pedro ester em Roma. Sol. ” . a proposição resultado de uma negação! Pedro ester em Roma e Paulo são ester em Paris serer o Ora. ou seja..” . descartadas essas duas opções. estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposigão condicional . que são as letras a e e. realizada her poucos dias: (GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que. aprendemos her pouco que negando uma conjungão (e). chegaremos a uma Estamos com o segundo caso. Vejamos que a frase em anerlise começa com “não é verdade que. Ou seja. Daí. em que o resultado é uma conjungão (e): . ”.: Vamos pensar juntos.. alguma que diga justamente que: “E verdade que ‘Pedro ester em Roma e Paulo não ester em Paris”. então Paulo ester em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: a) b) c) É verdade que ‘Pedro ester em Roma e Paulo ester em Paris’. c e d.. começam com uma negação! Daí. então q”. procuraremos entre as opções de resposta. Logo.. recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos: 1) 2) Mantendo a primeira parte: “Pedro ester em Roma” e Negando a segunda parte: “Paulo não ester em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só her duas opções de resposta que começam com “E verdade que. fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro ester em Roma e Paulo não ester em Paris a qual havíamos chegado. uma sentença do tipo “Se p...Vejamos a questão seguinte. Vejamos: disjungão (ou ). e) É verdade que ‘Pedro ester em Roma ou Paulo ester em Paris’. que caiu na prova de Gestor Fazenderrio de Minas Gerais. Logo. então ). as quais poderemos tentar resolver somente com os conhecimentos já adquiridos. até chegarmos à resposta: 1 ) Fizemos a negação de uma proposigão condicional (se . Vejamos: Negativas das Proposições Compostas: Encerraremos esta primeira aula com uma lista de questões de concurso.. O resultado deste primeiro passo é sempre uma conjungão (e). apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até este momento. .. 0 2 ) Achamos a proposição equivalente à conjungão encontrada no primeiro passo. Esta é nossa resposta Letra d. É o nosso. teremos que: E chegamos a: “Não é verdade que Pedro Não ester em Roma ou Paulo ester em Paris” . ! Vejamos o caminho que foi trilhado... 0 Na seqüência. EXERCÍCIOS 01. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. a) Se André é artista. afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. a) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. então Bernardo é engenheiro c) Se Bernardo é engenheiro. é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda. b) Se André não é artista. então Alberto é alto. d) se Pedro não é pobre. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro . 04. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. Marcos estudar é condição necessária para João passear. após visitar uma aldeia distante. 03. 02. então Alberto não é alto. Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. então Bernardo não é engenheiro. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. então André é artista. (Fiscal Recife/2003) Pedro. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. João não passeia. e) se Pedro não é pobre. c) d) e) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo. do ponto de vista lógico. então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista. o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro. d) Se Pedro não é economista. então Pedro não é economista. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é.05. eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 08. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo. então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro. então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro. então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista. então Paulo não é paulista 07. então Luísa não é solteira. e) Se Luísa não é solteira. eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo. então Luísa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. c) Se Luísa é solteira. equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas 06. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.Pedro é economista. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa. . do ponto de vista lógico. condicionais (SE . ou seja. seus resultados são. A tabela-verdade de uma conjunção será. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta” . “te darei uma bola ou te darei uma bicicleta ” . Assim. e do que temos obrigação de saber até agora: REVISÃO DA LIÇÃO ANTERIOR: # Proposigão: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso). sim.Ora. e bicondicionais (. disjungões (OU) disjungões exclusivas (OU .. os seguintes: Correções feitas.SE E SOMENTE SE. podemos fazer uma analogia com a promessa de um pai para um filho. “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta ” . haverá proposições simples ou compostas. dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. ).. diversas estruturas .. ) . a seguinte: Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas! . corrigindo as tabelas acima. iguais! Só que.. passemos a uma breve revisão (breve mesmo!) do que vimos até aqui. ). na verdade. . # As proposições compostas podem assumir diversos formatos. # Conjungão é aquela proposição composta que assume o formato “proposição p E proposição q”. disjunção e disjunção exclusiva).. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem verdadeiras.. os resultados destas duas estruturas são. ENTÃO .. # Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições compostas (conjunção.. portanto.. OU .... haverá proposições compostas chamadas conjungões (E). A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será. A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultado necessário ”. portanto. somente para “ efeitos didáticos lembraremos da seguinte proposição: . a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaram acerca da condicional. ENTAO proposição q ”. Ora. Pensando desta forma. só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for VERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. Na disjunção exclusiva. a seguinte: “ Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente! # Condicional é a proposição composta que tem o formato SE proposição p. “Se nasci em Fortaleza. mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica! Ou seja. a seguinte: Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida! # Disjungão Exclusiva é a proposição que tem o formato OU proposição p OU proposição q ”. a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no caso em que existe a condigão suficiente. Para que uma disjunção seja verdadeira. a seguinte: Como já era o esperado. A tabela-verdade de uma condicional será. basta que uma das sentenças componentes também o seja. Por exemplo. o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para o resultado necessário: ser cearense. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura. portanto. A tabela-verdade de uma disjunção será. então sou cearense”. portanto. não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o conteúdo das proposições componentes da condicional. poderemos ter a seguinte sentença: .# Disjungão é a proposição composta que assume o formato “proposição p OU proposição q ”. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qual trabalhamos acima (“se nasci em Fortaleza então sou cearense') foi escolhido exclusivamente para efeitos didáticos! Na realidade. o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra parte. neste primeiro momento. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha. # Bicondicional é a proposição composta do formato “ proposição p SE E SOMENTE SE proposigão q'. Nesta estrutura. Ok? É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão: A condicional somente será FALSA quando o consequente for FALSO ! antecedente for VERDADEIRO e o Esta é a informação crucial. então o papa é alemão' Viram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma condigão suficiente para a obtenção de um resultado necessário. e ainda assim que eu seja cearense ? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará. que não Fortaleza! Certo? Ou seja. a seguinte: A tabela-verdade . válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as proposições verdadeiras. Voltemos a pensar na frase modelo da condicional: “Se nasci em Fortaleza. ficado inteiramente clara para alguém.“Se a baleia é um mamífero. Este resultado necessário será justamente a segunda parte da condicional. a outra também terá que ser VERDADEIRA. amarradas : se uma for VERDADEIRA. temos certeza que alguns pontos irão clareando mais e mais. e vice-versa! será. por assim dizer. então sou cearense'. Ok? Ao longo das aulas. sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade ): Ora. portanto. No fórum. a seguinte: # Negação de uma Proposição Simples: Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso. a outra também terá que ser FALSA. ou ambas falsas. Será. se uma for FALSA. alguém perguntou como seria possível considerar a condicional VERDADEIRA. portanto. as duas partes componentes estão. é guardar bem a conclusão acima. seria possível que eu não tenha nascido em Fortaleza . A tabela-verdade de uma bicondicional será. por hora. não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e a segunda ser verdadeira. portanto. o mais importante. para negar a seguinte sentença: “Te darei uma bola E te darei uma bicicleta” Faremos: “Não te darei uma bola OU não te darei uma bicicleta” A neqativa de uma disjunção se faz assim: Assim. para negar a seguinte sentença: “Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta” Faremos: “Não te darei uma bola E não te darei uma bicicleta” A neqativa de uma condicional se faz assim: .# Negação de uma Proposição Composta: A negativa de uma conjunção se faz assim: Assim. em páginas mais adiante. Vejamos em destaque: “ Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia são dormem a sesta ” Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que com negações.: Ora. Podemos. Todos . Sol. (Fiscal Recife/2003) Pedro. foi este o conteúdo de nossa primeira aula. b) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. trocar “não é verdade” por “é mentira” . RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO: Comecemos com a questão 2: 02. Tiremos a prova! Vamos trocar essas expressões negativas da frase acima por afirmagões correspondentes. afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. e que precisa ser analisada. então o papa é alemão” Faremos: “A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão” Essencialmente. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. após visitar uma aldeia distante. b) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem. veremos que esta sentença contém duas negações. As demais. aqui percebemos que há uma proposigão simples no enunciado. Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na seqüência. para negar a seguinte sentença: “Se a baleia é um mamífero. faremos algumas delas.Assim. a) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. então. Qual é essa proposição? A seguinte: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta” Se observarmos bem. do ponto de vista lógico. É esta palavra que está sendo negada! E. é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa. teremos: Pedro não é pobre . A frase em análise então era a seguinte: “Não é verdade que Codas as pessoas daquela família não são magras ”. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto. concluiremos que: Deixemos a questão 4 para daqui a pouco. Como interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente. 05. trocando o E por um OU. Negando a segunda parte: Alberto não é alto . Teríamos o seguinte: “E mentira que Codas as pessoas daquela família são gordas ”. então Alberto é alto. e) Daí. Finalmente. se é mentira que todas são gordas. opção C! Daqui. equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: . Adiante! 03. Pode ser? Teremos: “ “não dormem a sesta” por “ficam É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados ” Agora interpretemos a frase acima: ora. negando a primeira parte. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. conforme vimos. a negação de TODOS é PELO MENOS UM (=ALGUM). extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS . Podemos até criar a seguinte tabela: Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. significa que pelo menos um deles dorme ! Concordam? É a resposta da questão. Ora. a) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. se Pedro não é pobre. então Alberto não é alto. então é porque pelo menos uma delas é magra! Só isso e mais nada. b) se Pedro não é pobre. troquemos as partes negativas por afirmações correspondentes. se é mentira que todos os aldeões ficam acordados.concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também acordados” . : Esta questão agora se tornou muito fácil. se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos” . Daí. que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). eu não levo o guarda-chuva está chovendo e eu não levo o guarda-chuva e) Sol. se é mentira que todos os economistas são médicos . vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? Generalizando para qualquer caso. Ora. eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo. Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. concluiremos o seguinte: Ao longo desta aula. Na aula passada.a) pelo menos um economista não é médico a) nenhum economista é médico b) nenhum médico é economista b) pelo menos um médico não é economista todos os não médicos são não economistas e) Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma condicional. é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico ! É nossa resposta – opção A! Pulemos a sexta. teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade . já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda! Daí. inclusive com uma tabela apropriada. resolveremos as questões que ficaram faltando! # TABELAS-VERDADE: Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE . após termos feito a questão dois. eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo. o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! Ora. Aprendemos. por enquanto! 07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo. pelo menos. Como seria? O início da tabela é. conforme sabemos. Qual seja: E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que estarão presentes na proposição composta. Com este conhecimento prévio. Já sabemos construir. a estrutura inicial da tabela-verdade será sempre aquela que já aprendemos na aula passada.. que estamos diante da seguinte proposição composta: .e desejamos construir a sua tabela-verdade. q) . da disjunção exclusiva. pois.. já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer outra proposição condicional formada por duas proposições componentes ( p e q). Teremos: . sempre o mesmo. da disjunção. Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p. cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro! A tabela-verdade da conjunção. da condicional e da bicondicional.será dado por: Trabalhando com duas proposições componentes. Suponhamos. Ou seja.Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que. teremos que seguir uma certa ordem de precedência dos conectivos. Em ambos os casos. os nossos passos terão que obedecer a uma seqüência. sempre obedecendo à seguinte ordem: . Só depois. na hora de construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer. passaremos ao que houver fora deles. Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses . Começaremos. Vamos a ele: Sol. Nossos passos. e passemos a trabalhar o segundo parênteses.Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade ! Caso você queira.: Observamos que há dois parênteses. Teremos: . a trabalhar o primeiro deles. serão os seguintes: Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco. isoladamente. pois. pode tentar a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. obedecendo à ordem de precedência dos conectivos. portanto. . da seguinte forma: Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelasverdades para proposições de duas sentenças. para duas proposições. a coluna da proposição r alternará sempre um V com um F Teremos. Mas. q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade ? Vimos que. sempre a mesma estrutura inicial: . . E será o seguinte: A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com quatro F a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F por fim. a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início . . poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior.Se quiséssemos. e se estivermos trabalhando com três proposições simples (p. então q ou não r. Teremos: Daí. já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada. Começando pelo primeiro deles. faremos os seguintes passos: . como já foi dito. por exemplo!) nos peça que construamos a tabela-verdade da proposição composta seguinte: A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q. de modo que trabalharemos logo os parênteses da proposição acima.Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde. à estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples! Suponhamos que alguém (uma questão de prova. Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para três proposições. e a disjunção ( ou) também o será! Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO na segunda! Novamente.Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira. poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só . se assim o quiséssemos. . Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia . então estaremos diante de uma Tautologia. q..tabela.. que a compõem. construiremos a sua tabela-verdade ! Daí. como se segue: # TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p.. . . se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso ). independentemente dos valores lógicos das proposições p. r. r. Só isso! Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma TABELA 33: tautologia : . q. será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira . se todos os resultados da última coluna forem FALSO . . . q... então estaremos diante de uma contradição. construindo a tabela-verdade de uma proposição composta. Ou seja. r.# CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p. q.. que a compõem. será dita uma contradigão se ela for sempre falsa . r.. Exemplo 1: Exemplo 2: . independentemente dos valores lógicos das proposições p. (B) uma tautologia. você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V). será dita uma contingência ! E por que essa proposição acima é uma contingência ? Porque nem é uma tautologia e nem é uma contradição ! Por isso! Vejamos agora algumas questões de concurso sobre isso. a afirmação da proposição caracteriza: (A) um silogismo.# CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta será dita uma tautologia nem uma contradição . contingencia sempre que não for uma Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. pela via de exceção. Se. então. Sol: Com a finalidade de montarmos a tabela verdade para verificar se a proposição apresentada no enunciado da questão é uma seguinte proposição simples: p : o candidato A será eleito tautologia ou uma contradição . (D) uma contingência. (E) uma contradição. o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico. e nem é uma contradição (só resultados F). # Questões de Concurso: (TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura. definiremos a Construindo a tabela . teremos que: Pronto! Matamos a charada! Como a última linha desta tabela-verdade só apresenta o . ao final.verdade . (C) uma equivalência. A alternativa c) se João é alto ou Guilherme é gordo. procurando por aquela que seja uma Tautologia. então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto. então Guilherme é gordo Sol : Para simplificar e facilitar esta resolução. então João é alto ou Guilherme é gordo – é uma Tautologia ! Daí: Resposta: Letra All . as alternativas O que resta ser feito agora é testar as alternativas. utilizando estas definições feitas acima para as proposições da questão poderão ser reescritas simbolicamente como: p e q. assumiremos as seguintes proposições simples: Daí. Pronto! Mal começamos. então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo.valor lógico Verdadeiro . Passemos a mais uma questão. e já chegamos à resposta! Observemos que a última coluna da tabela-verdade acima só apresentou valores lógicos verdadeiros ! Com isso. concluímos: a proposição da opção A – Se João é alto. então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto. então João é alto e Guilherme é gordo Tautologia . estamos inequivocamente diante de uma correta é a letra B. construiremos a tabela-verdade de cada opção de resposta. Para isso. Portanto. O antecedente desta proposição sendo verdade . Assim. Não é uma tautologia. logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. logo esta proposição é uma tautologia . e portanto o conseqüente também pode ser verdade ou falso. Observem que o antecedente é sempre verdade independente do valor lógico de p. mas vamos analisar os restantes. o valor lógico de q pode ser verdade ou falso . O antecedente desta proposição sendo verdade . e que. e falso se q for falso . os valores de p e q podem ser verdade ou falso . também o conseqüente será verdade . já o conseqüente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso . Passaremos agora a tratar de um tema da maior relevância no Raciocínio Lógico. e daí o conseqüente que é dado por q também pode ser verdade ou falso . o conseqüente será verdade se q for verdade . logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. a proposição pode assumir os valores lógicos de verdade e falso. façamos uma solução alternativa para a questão acima: Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade . .Antes de seguirmos adiante. e assim a proposição nunca será falsa . Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade . concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. A questão terminou. as quais convém conhecermos bem. Ou seja. e se vivo então amo Para facilitar a nossa memorização. a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. vamos aprender a identificar quando duas proposições compostas são equivalentes uma à outra. Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo. já foi exaustivamente exigido em questões de provas recentes de concursos. colocaremos essas equivalências na tabela seguinte: . Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente. Vamos lá! # PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos . estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. Estamos nos referindo à Equivalência Ldgica .inclusive. Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. a estrutura condicional pode ser traduzida também com uso das expressões condição suficiente e condição necessária . teremos: Tomemos as questões restantes do agora: dever de casa .: Conforme aprendemos na aula passada. e as resolvamos 01. para ajudar a memorização. ou seja. por meio da comparação entre as tabelas-verdade . Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda.As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. serão utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes. teremos que: . São as seguintes as equivalências da condicional: Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso Colocando esses resultados numa tabela. Lembrados? Usando essa nomenclatura. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. demonstradas. João não passeia. Inclusive. Estas equivalências podem ser verificadas. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. Sol. então Bernardo não é engenheiro. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjungão .: Aqui temos uma questão mais bonita! Teremos que usar as duas equivalências da condicional para resolvê-la. .Daí. então André é artista. Replicando a tabela 39. teremos que: Se Marcos não estuda. então Marcos estuda . então Bernardo é engenheiro Se Bernardo é engenheiro. concluiremos que: 04. agora analisando esta condicional equivalente . e) André não é artista e Bernardo é engenheiro Sol. então João não passeia” . Se André não é artista. tomando a sentença “ Se Marcos não estuda. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro... Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem! Daí. então João não passeia = Se João passeia. a) b) c) Se André é artista. temos que. d) Se Pedro não é economista. Sol. do ponto de vista lógico. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. . então Paulo não é paulista Teremos. então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro. então Luísa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. então Luísa não é solteira.Pedro é economista. então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro. então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é.06. c) Se Luísa é solteira.: A questão nos trouxe uma condicional e pediu uma proposição equivalente. a condicional equivalente a esta disjungão será a seguinte: 08. e) Se Luísa não é solteira. Podemos testar as duas equivalências da condicional que conhecemos. o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro. pois que: Daí. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista. então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro. então Pedro não é economista. então Luísa é solteira = Pedro são é economista ou Luísa é solteira. mas ainda não terminamos a aula de hoje! Demos seqüência ao estudo das equivalências! Adiante! Este tipo de equivalência já foi estudado por nós na primeira aula. Fica também como tarefa para casa a demonstraGão desta negaGão da bicondicional. E para negar uma conjunção . negam-se as duas partes e troca-se o E por um OU . nos limitaremos apenas a reproduzi-las novamente.: é por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!) Daí. Pronto! Terminamos de resolver as questões que haviam ficado do dever de casa . Teremos: Talvez alguma dúvida surja em relaGão à última linha da tabela acima. Ok? Algumas outras equivalências que podem ser relevantes são as seguintes: 1ª) p e (p ou q) = p Exemplo: Paulo é dentista. das negações das proposições compostas ! Como tais equivalências já foram inclusive revisadas nesta aula de hoje. e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo é dentista 2ª) p ou (p e q) = p . teremos na verdade que negar a sua conjunção equivalente . Porém. para negar a bicondicional acima. Trata-se. tão somente. Seria a segunda resposta possível. já sabemos.Daí: Se Pedro é economista. basta nos lembrarmos do que foi aprendido também na última linha da tabela 38 (página 16): (Obs. de modo que nos limitaremos a apresentá-las. DISTRIBUTIVAS E DA DUPLA NEGAÇÃO: Na seqüência. concluiremos ainda que: . São de fácil entendimento. e de fácil compreensão. teremos: # LEIS ASSOCIATIVAS. Para auxiliar nossa memorizaGão. Daí. ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista Por meio das tabelas-verdade . estas equivalências também podem ser facilmente demonstradas.Exemplo: Paulo é dentista. criaremos a tabela seguinte: Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito freqüentes em questões de prova. Vejamos: 1ª) Nenhum A é B = Todo A é não B Exemplo:Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (=Todo médico não é louco ) 2ª) Todo A é B = Nenhum A é não B Exemplo: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela ) Colocando essas equivalências numa tabela. algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis na análise de alguma questão. É uma equivalência simples. Exemplos: 1) A bola de futebol não é não esférica = 1) A bola de futebol é esférica Todo número inteiro é racional Algum número racional é natural Nenhum número negativo é natural Todo número inteiro não é não racional = 2) Algum número racional não é não natural = 2) Nenhum número negativo não é não natural = EXERCÍCIOS (Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) Texto para os itens de 01 a 08 Com base nas informações apresentadas no texto acima. Fumar deve ser proibido. deve ser proibido. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam. v. Q. i. Considere as sentenças abaixo. mas muitos europeus fumam. julgue os itens a seguir. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido. . ii. Considere também que P. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. i. muitos europeus fumam. ii. R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. então fumar deve ser proibido. conseqüentemente. Se fumar não faz bem à saúde. (Analista Ambiental . E (TCU/2004 . C 06. E 03. a PETROBRAS teria atingido. em 1962. E 02. C 07.Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE) (SERPRO 2004 – CESPE) (Analista Petrobrás 2004 CESPE) Considere a assertiva seguinte.Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto. Com base nessas informações e no texto. C 08. Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima. a produção de 100 mil barris/dia. E 05. julgue os itens seguintes.CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu. . nesse mesmo ano. julgue os itens a seguir: Gabarito: C C E C 13. Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Gabarito: 01. C 04. adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS: Se o governo brasileiro tivesse instituído. o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional. Enio não é economista. Se o governo brasileiro não instituiu. Juca não é arquiteto. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que: a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor. a) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor. E (Papiloscopista 2004 CESPE) A partir das informações do texto acima. Juca não é arquiteto. Gabarito: C. 20. o monopólio da exploração de petróleo e derivados. Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor. c) Carlos é dentista. Enio é economista. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor. o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962. b) Carlos não é dentista. 16. . Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. então a PETROBRAS não atingiu. Juca não é arquiteto. a) Carlos não é dentista. Logo: Ora. Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: “A ou B” Onde A e B. Enio não é economista. a produção de 100 mil barris/dia. Juca é arquiteto. e) Carlos é dentista. Enio é economista. Gabarito: E. por sua vez. Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo.15. a) Carlos não é dentista. então Juca é arquiteto”. são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Enio é economista. E 19. julgue os itens subseqüentes. em 1962. sabe-se que a afirmação P é falsa. nesse mesmo ano. Juca não é arquiteto. Enio é economista. Ciro não é calvo. 21.c) se Pedro é pintor e Carlos é cantor. Ciro não é calvo. e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor. Ciro é calvo. Alda é alta. e) se Alda não é alta. c) se Bino não é baixo. e se Ciro é calvo. Ciro é calvo. e se Bino é baixo. Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. Alda é alta. ou Ciro é calvo” é falsa. ou Bino não é baixo. pois. e se Bino é baixo. que é verdade que: a) se Bino é baixo. Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. b) se Alda é alta. Bino é baixo. e se Bino não é baixo. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta. Segue-se. Bino é baixo. a) se Alda é alta. (Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) Texto para os itens de 01 a 08 . Bino não é baixo. e se Bino não é baixo. Bino não é baixo. Com base nas informações apresentadas no texto acima. vemos que o enunciado definiu que as proposições (P e Q) são ambas verdadeiras! Daí. que a disjungão será verdadeira. Como já é do conhecimento de todos. Teremos: Trabalhemos o primeiro parênteses. a resolução seguirá o mesmo caminho já utilizado acima. teremos: . teremos: Sol. Mas. Lembrados? Daí. Teremos: Redundamos numa condicional . Teremos: Estamos diante de uma disjungão (OU). Neste caso. julgue os itens a seguir. um artifício útil é o de substituir a letra que representa a proposição pelo seu respectivo valor lógico. finalmente. que: Sol. como neste caso. a disjungão é FALSA. Sol. usaremos o valor lógico V . se as duas partes forem falsas. como não é o caso. Teremos. então. a condicional só é falsa quando a primeira parte é verdadeira e a segunda é falsa.: Para este tipo de questão. Conforme sabemos. observando que se trata de uma conjungão . Assim.: Mais uma vez. em lugar de P e de Q.: Usaremos o mesmo artifício da questão acima. somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjungão o também o será! Não é o nosso caso. a qual já conhecemos bem: basta que uma das partes seja verdadeira. i. v.: Façamos o caminho inverso: partindo da simbologia. Considere também que P. Sol. R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.Considere as sentenças abaixo. conseqüentemente. construiremos a frase. então fumar deve ser proibido. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam. mas muitos europeus fumam.: Tomemos a representação simbólica e façamos sua tradugão. Teremos: = Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. julgue os itens seguintes. = Fumar deve ser proibido e não é verdade que muitos europeus fumam. Se fumar não faz bem à saúde. Conclusão: o item 5 está correto! . Q. iii. Fumar deve ser proibido. muitos europeus fumam. ii. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido. Conclusão: o item 4 está errado! Sol. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. iv. deve ser proibido. Conclusão: o item 6 está correto! = Se R e não T. então fumar deve ser proibido. é falso que fumar deve ser proibido. Conclusão: o item 7 está correto! e não é verdade que muitos europeus = Se T. o item 8 está errado! (TCU/2004 . então não R e não P = Se muitos europeus fumam. então é falso que fumar não faz bem à saúde e Percebam que a sentença V inverte a ordem da condicional acima. Q represente a proposigão José foi à praia e R represente a proposigão Maria foi ao comércio. então fumar deve ser proibido. Com base nessas informagões e no texto.CESPE) Suponha que P representa a proposigão Hoje choveu. Daí. então Maria não foi ao comércio e José não foi à . então P = Se fumar não faz bem à saúde fumam.= Se fumar não faz bem à saúde. Sabendo que: P = hoje choveu Q = José foi à praia R = Maria foi ao comércio Teremos: = Se hoje não choveu. julgue os itens a seguir: Sol.: Usemos o mesmo artifício: tomemos a sentença em simbologia e façamos sua tradução. : Questão semelhante às primeiras que resolvemos hoje! Usaremos o mesmo artifício. sabemos que a única situação em torna a condicional falsa é Verdadeiro na primeira parte e Falso na segunda! Como isso não está ocorrendo. se há 3 proposições. Primeiramente. se fôssemos formar uma tabela-verdade para esta sentença composta. quantas linhas ela teria? Teremos que nos lembrar da aula passada. teremos que: Finalmente.: Observem que se trata de uma proposição composta. observemos que a questão atribuiu valores lógicos às seguintes sentenças: Ora. formada por três proposições simples (P. na página 7. teremos que: Conclusão: o item 11 está errado! Sol. Q e R). para matar essa questão. só precisaríamos saber que o número de valoragões possíveis de uma proposigão composta corresponde justamente ao número de linhas da sua tabela verdade! Conclusão: o item 12 está correto! 13.praia. Daí. (Analista Ambiental . Conclusão: o item 9 está correto! = Hoje choveu e José não foi à praia.Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE) . que: Daí. Conclusão: o item 10 está correto! Sol. Teremos. pois. e negam-se ambas! Só isso! Pronto! Achamos a proposição equivalente! Teremos. A primeira sentença é uma mera condicional . pois colocou um sinal de negação ( parte! N) antes da primeira Comparando os resultados. que: Conclusão: o item está errado. concluímos igualmente que tais sentenças não são equivalentes! (SERPRO 2004 – CESPE) Sol. portanto.: Façamos o que manda a questão: comparemos as tabelas-verdade . pois. da seguinte maneira: trocam-se as proposições de lugar.Esta equivalência se forma. que: . Conclusão: o item 15 está correto! 16. definiremos as seguintes proposições simples p e q: p: o governo brasileiro instituiu o monopólio da exploração de petróleo. nesse mesmo ano. a PETROBRAS teria atingido. Sol. nesse mesmo ano. o monopólio da exploração de petróleo e derivados. adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS: Se o governo brasileiro tivesse instituído. 15. Se o governo brasileiro não instituiu. então a PETROBRAS não atingiu. o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional. e q: a PETROBRAS atingiu a produção de 100 mil barris/dia.Conclusão: o item 14 está correto! (Analista Petrobrás 2004 CESPE) Considere a assertiva seguinte. em 1962. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962. Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima. Analisemos o item 15.: Para simplificar e facilitar a resolução dos dois itens seguintes. a produção de 100 mil barris/dia. em 1962. a produção de 100 mil barris/dia. . o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano. teremos: tabelas-verdade .Conclusão: o item 16 está errado! (Papiloscopista 2004 CESPE) A partir das informações do texto acima. Conclusão: o item 17 está errado! . Todavia. julgue os itens subseqüentes. não há equivalência lógica entre as duas construções analisadas. e começando com Como queríamos demonstrar. caso queiramos realmente comparar as a condicional. 0 3 ) Troca-se o ou por um e. Em suma: a questão quer que façamos a negação da disjunção . Juca é arquiteto. logo em seguida o enunciado disse que esta disjunção é falsa! Ora. por sua vez. Só temos que observar que a proposição B é uma condicional . Juca não é arquiteto. concluímos que o item 18 é errado! 19. Juca não é arquiteto. 0 2 ) Nega-se a segunda parte. b) Carlos não é dentista. Logo: Ora. c) Carlos não é dentista.” antes dela. são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Enio é economista.. Enio é economista. Juca não é arquiteto. sabe-se que a afirmação P é falsa.. Enio não é economista.: Essa questão é muitíssimo recente. 0 Agora chegou a hora de fazermos a negação de B.Comparando os dois resultados acima. então Juca é arquiteto”. d) Carlos é dentista. a) Carlos não é dentista. Enio é economista. Como se nega uma condicional? Já sabemos: . Sol. Juca não é arquiteto. Enio não é economista. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: “A ou B” Onde A e B. e) Carlos é dentista. Temos aí uma proposição composta no formato de uma disjunção : A ou B . É isso! Como negar uma disjunção é algo que já sabemos fazer: 1 ) Nega-se a primeira parte. Ora. Enio é economista. dizer que uma sentença qualquer é falsa é o mesmo que colocar as palavras “ não é verdade que . : e) Uma questão interessante! Vamos simplificar nossa vida. 0 20. d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor. Teremos: Até aqui. Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor. Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada uma das alternativas. Executando este procedimento. Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.1 ) Repete-se a primeira parte. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor. Sol. teremos: . Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Isto é o mesmo que saber qual é a alternativa que é sempre verdadeira se nós considerarmos a sentença do enunciado como verdadeira . Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que: a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor. tudo bem? Vamos em frente! A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da sentença do enunciado. e 0 2 ) Nega-se a segunda parte. c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor. Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. definindo as seguintes proposições simples. e sabemos que ! condicionais das opções de Chegaremos aos seguintes Somente a alternativa B tem a segunda parte da condicional com valor lógico verdade significando que ela jamais será falsa ou em outras palavras.Ora. Iniciaremos os testes analisando a segunda parte das resposta. Conclusão: a opção correta é a B. Todas as alternativas desta questão trazem proposições a condicional só é F quando a 1ª parte é V e a 2ª parte é F . . lembrando-nos de que M e F são ambas falsas resultados: condicionais . Lembrando que a alternativa correta é aquela que apresenta uma sentença cujo valor lógico é sempre Verdade . a fim de que toda a condicional seja verdadeira. nas alternativas de resposta. Daí. Fica para cada um realizar esse teste.: Estamos lembrados que para a partes o seja. a 2ª parte também deverá ter este mesmo valor lógico. Obs. disjunção ser verdadeira. teremos as seguintes combinações possíveis: (basta lembrar da tabela-verdade da disjungão): . em uma proposição condicional . a fim de encontrar a nossa resposta. não é isso? (Sabemos que uma condicional será falsa se sua primeira componente for verdadeira e a segunda for falsa). ela sempre será verdade . se a sua 1ª parte tiver o valor lógico verdade . . . agora vamos testar estas combinações de valores lógicos em cada uma das alternativas da questão. basta que uma de suas Pois bem! Entendido isto. Observemos que sequer foi necessário testar. para que (P ou C) seja Verdade em se tratando de uma disjungão . a primeira parte das condicionais . a equivalente de uma condicional . então ”. Bino é baixo. Daí.. A propósito. Alda é alta. Segue-se. Ciro não é calvo. Ora. Esta poderia ser a resposta da questão! Todavia. b) se Alda é alta. ou seja.Mais adiante. ! Traduzindo esta linguagem simbólica para uma sentença em palavras. e se Bino não é baixo. e Ciro não é calvo” . pois. e se Bino é baixo. que é . resolveremos novamente esta mesma questão. alternativamente. obtemos: “Alda não é alta. que é verdade que: a) se Bino é baixo. é o mesmo que pedir a negação daquela sentença. pois há quatro proposições simples. Ciro não é calvo. uma disjungão . ou Ciro é calvo” é falsa. ou. formada por três proposições simples interligadas pelo conectivo ou . Para simplificar. Alda é alta. como já sabemos. d) se Bino não é baixo.. Temos aí uma proposição composta. a afirmação trazida é falsa Ora. 21. não há como fazer facilmente a equivalência entre a sentença acima. ou Bino não é baixo. por um outro caminho. mas cada tabela teria 16 linhas. e se Ciro é calvo. Ciro é calvo. e Bino é baixo. Ciro é calvo. Bino não é baixo. nenhuma das opções apresenta este texto! Vemos que todas as alternativas de resposta trazem o conectivo Ilse . o formato da condicional .: Uma questão muitíssimo recente. (Aprendemos isso na aula passada!) . c) se Alda é alta. esta questão também poderia ter sido resolvida construindo-se a tabela verdade de cada alternativa de resposta. e se Bino é baixo. Sol. definiremos as seguintes proposições simples: Segundo o enunciado da questão. e se Bino não é baixo. Bino é baixo. e solicitar a verdade. e) se Alda não é alta. dizer que uma afirmação qualquer é falsa. o que tornaria a resolução demasiadamente custosa e quase que inviável para o tempo da prova. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta. ou será uma outra condicional . Bino não é baixo. formada por conjungões . passaremos a falar em de hoje. B e C definidas anteriormente. Adiante! Lógica da Argumentação . e assim. pois aprendemos com o erro e não o repetimos na prova! Na seqüência. teremos: Fazendo esse teste para cada opção de resposta. que é nosso assunto . tomando por base as proposições A. É isso! Esperamos que todos tenham se esforçado para resolver essas questões! Mais importante que conseguir é tentar! E a melhor coisa do mundo é errar em casa. teremos: A única alternativa que possui valor lógico V é a alternativa correta! Conclusão: nossa resposta é a opção C. e as alternativas de resposta! O que fazer? Nesta situação. o melhor será traduzirmos em símbolos estas alternativas.