CASO APLICATIVO 1Formulación de dieta Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas. El alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta 1.20 USD/unidad y el B 0.80 USD/unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? ¿Cuál sería la utilidad máxima? Formule el modelo de programación lineal. SOLUCIÓN Unidades requeridas Carbohidratos Proteínas 2 4 2 1 16 20 ALIMENTO A B Rendimiento Variables de decisión Sean: FO (costos): X1: Cantidad, en unidades, de alimentos A por comprar X2: Cantidad, en unidades, de alimentos B por comprar min Z = 1.20 X1 + 0.80 X2 Sujeto a: Requerimiento mínimo de carbohidratos: Requerimiento mínimo de proteínas: 2 X1 + 2 X2 ≥ 16 4 X1 + X2 ≥ 20 Condición de no negatividad: X1, X2 ≥ 0 COSTOS 1.20 0.80 CASO APLICATIVO 2 Una empresa elabora los productos X1 y X2. El proceso de producción es similar para cada uno de ellos, ambos necesitan un cierto número de horas de trabajo en los departamentos de electrónica y ensamblaje. Para producir el producto X1, se requiere 4 horas de trabajo en el departamento de electrónica y 2 horas de trabajo en el departamento de ensamblaje. Para producir el producto X2, se requiere 3 horas de trabajo en el departamento de electrónica y 1 hora de trabajo en el departamento de ensamblaje. Durante el período de producción, están disponibles 240 horas en el departamento de electrónica y 100 horas en el departamento de ensamblaje. El producto X1 aporta una utilidad de 7 soles/unidad y el producto X2 una utilidad de 5 soles/unidad. Formule el modelo de programación lineal. SOLUCIÓN Horas requeridas DEPARTAMENTO X1 4 2 7 Electrónica Ensamble Utilidad X2 3 1 5 Variables de decisión Sean: FO (utilidad): X1: Cantidad, en unidades, a producir de X1 X2: Cantidad, en unidades, a producir de X2 max Z = 7 X1 + 5 X2 Sujeto a: 4 X1 + 3 X2 ≤ 240 2 X1 + X2 ≤ 100 Horas requeridas en el departamento de Electrónica: Horas requeridas en el departamento de Ensamble: Condición de no negatividad: X1, X2 ≥ 0 + 3 X2 ≤ 240 + X2 ≤ 100 HORAS DISPONIBLES 240 100 . 90 horas. Formule el modelo de programación lineal. en unidades.CASO APLICATIVO 3 Producción para utilidad máxima Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos juguetes. en unidades. cosas y cositas. JUGUETE Mq A 2 1 Cosa Cosita Horas requeridas Mq B 1 1 Por ejemplo. 40 horas. Si las utilidades en cada COSA y cada COSITA son de 4 USD y 6 USD. utilizando la información concerniente a sus tiempos de prodcucción dados en la tabla que sigue. a producir del juguete cosita max Z = 4 X1 + 6 X2 Sujeto a: Horas requeridas para la Máquina A: Horas requeridas para la Máquina B: Horas requeridas para el Terminado: 2 X1 + X2 ≤ 70 X1 + X2 ≤ 40 X1 + 3 X2 ≤ 90 . cada COSA requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas disponibles empledas por semana son: para operación de la máquina A. respectivamente. SOLUCIÓN JUGUETE Mq A 2 1 70 Cosa Cosita Horas disponibles Horas requeridas Mq B 1 1 40 Variables de decisión Sean: FO (utilidad): X1: Cantidad. a producir del juguete cosa X2: Cantidad. para terminarlo. 70 horas. para B. X2 ≥ 0 .Condición de no negatividad: X1. as Terminado 1 3 as Terminado 1 3 90 UTILIDAD 4 6 . . del mineral A: Extracción de mineral. en toneladas. Si la compañía debe extraer al menos 3000 libras de A y 2500 libras de B. Cantidad de libras MINERAL Veta I 110 lb 200 lb 50 A B Costo USD/tonelada Veta II 200 lb 50 lb 60 SOLUCIÓN Cantidad de libras MINERAL Veta I 110 lb 200 lb 50 A B Costo USD/tonelada Veta II 200 lb 50 lb 60 Variables de decisión Sean: FO (costo): X1: Cantidad. a extraer de la veta I X2: Cantidad. Formule el modelo de programación lineal para el costo mínimo. en toneladas. X2 ≥ 0 . del mineral B: Condición de no negatividad: X1. a extraer de la veta II min Z = 50 X1 + 60 X2 Sujeto a: 110 X1 + 200 X2 ≥ 3000 200 X1 + 50 X2 ≥ 2500 Extracción de mineral.CASO APLICATIVO 4 Extracción de minerales Una compañía extrae minerales de un yacimiento. El número de libras de minerales A y B puede ser extraído por cada tonelada de las vetas I y II. en toneladas. en toneladas. que está dado en la tabla siguiente junto con los costos por tonelada. EXTRACCIÓN DE MINERAL en lb 3000 2500 X1 + 200 X2 ≥ 3000 X1 + 50 X2 ≥ 2500 . X2 ≥ 0 .CASO APLICATIVO 5 La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. en dólares. los préstamos hipotecarios tienen una tasa anual de recuperación del 10%. que se asigna para créditos para autos FO (utilidad): max Z = 0.4 X2 ≥ 0 X1. y los préstamos para autos una tasa anual de recuperación del 12%.12 X2 Sujeto a: Monto de dinero para invertir Relación de inversión Condición de no negatividad: X1 + X2 = 20'000. En promedio. SOLUCIÓN Variables de decisión Sean: X1: Cantidad. Formule el modelo de programación lineal para determinar la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación. en dólares. que se asigna para créditos hipotecarios X2: Cantidad.10 X1 + 0.000 X1 . La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios debe ser mayor o igual cuatro veces la cantidad total de préstamos para autos. éstamos para tienen una tasa recuperación arios debe ser los préstamos . SOLUCIÓN Cantidad ALIMENTO Calorías 2000 4000 6000 Pan Queso Dieta Proteínas 60 199 200 Variables de decisión Sean: FO (costo): X1: Cantidad. $5. en kilogramos.CASO APLICATIVO 6 Juan tiene dos alimentos: pan y queso. de pan contiene 2000 calorías y 60 gramos de proteínas. de queso que se compra para la dieta min Z = 3 X1 + 5 X2 Sujeto a: Calorías Proteínas Peso mínimo 2000 X1 + 4000 X2 ≥ 6000 60 X1 + 199 X2 ≥ 200 X1 + X2 ≥ 2 Condición de no negatividad: X1. cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en distintas proporciones. Una dieta normal diaria exige 6000 calorías y 200 gramos de proteínas. la dieta debe pesar como mínimo 2 kgr. y un kilogramo de queso 4000 calorías. en kilogramos. El kilogramo de pan cuesta $3 y el de queso. X2 ≥ 0 . Un kgr. y 199 gramos de proteínas. de pan que se compra para la dieta X2: Cantidad. Formule el modelo de programación lineal para determinar una dieta para Juan con el mínimo costo. Además. normal diaria omo mínimo Costo USD / kg 3 5 .de proteínas. El precio de venta del compuesto Aspirina es 20 [$/Kg]. SOLUCIÓN DEPARTAMENTO Electrónica Ensamble Utilidad Horas requeridas X1 4 2 7 X2 3 1 5 Variables de decisión Sean: FO (utilidad): X1: No de unidades a producir de X1 X2: No de unidades a producir de X2 max Z = 7 X1 + 5 X2 Sujeto a: Horas requeridas en el departamento de Electrónica: Horas requeridas en el departamento de Ensamble: 4 X1 + 3 X2 ≤ 240 2 X1 + X2 ≤ 100 . Indique claramente variables. función objetivo. mientras que la Dipirona se vende a 60 [$/Kg].LaLas cantidad del compuesto debe serno mayor a los [kg] por horas que se ejecuta elDipirona primer proceso deben ser7mayor a 5día. 23.. [Hr] en el día con respecto a las horas que se ejecuta el proceso 2. para los procesos 1 y 2 respectivamente. El máximo tiempo que se corre cada proceso es de 9 [Hr].CASO APLICATIVO 7 Una compañía de productos químicos dispone de 2 procesos de reacción mediante los cuales debe producir 2 tipos de compuestos. Mientras que el segundo proceso produce 3 [Kg/Hr] de Aspirina y 1 [Kg/Hr] de Dipirona. restricciones y condiciones de no negatividad. El costo por hora de proceso es $40 y $50. A partir de los datos entregados.La cantidad del compuesto aspirina no puede sobrepasar los 30 [kg] por día. Con el primer proceso se producen 2 [Kg/Hr] del compuesto Aspirina y 1 [Kg/Hr] del compuesto Dipirona. se pide responder las siguientes preguntas: Realice un Modelo de Programación Lineal que resuelva el problema. 4. La gerencia ha determinado las siguientes condiciones: 1 . Condición de no negatividad: X1. X2 ≥ 0 . claramente + 3 X2 ≤ 240 + X2 ≤ 100 HORAS DISPONIBLES 240 100 . . ¿Cuántas onzas de cada alimento deben comprar? Formule el modelo de programación lineal. en onzas. que se compran del alimento B min Z = 12 X1 + 8 X2 Sujeto a: Requerimiento mínimo de vitamina P: Requerimiento mínimo de vitamina W: Requerimiento mínimo de vitamina Q: 2 X1 + 3 X2 ≥ 30 4 X1 + 3 X2 ≥ 50 7 X1 + 6 X2 ≥ 60 Condición de no negatividad: X1. que se compran del alimento A X2: Cantidad.CASO APLICATIVO 8 Supóngase que el alimento A y B son los dos tipos bajo consideración. 4 unidades de vitamina W y 7 unidades de vitamina Q. en onzas. 3 unidades de W y 6 unidaes de Q por onza respectivamente. 50 unidades de vitamina W y 60 unidades de la vitamina Q. Cada onza del alimento A proporciona 2 unidades de la vitamina P. Se desean por lo menos 30 unidades de vitamina P. SOLUCIÓN Alimento VITAMINAS A 2 4 7 12 P Q W Costo B 3 3 6 8 Variables de decisión Sean: FO (costo): X1: Cantidad. El alimento A cuesta 12 centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza. el alimento B proporciona 3 unidades de P. Se quiere minimizar el costo total de los alimentos al mismo tiempo que satisfacen las tres restricciones vitamínicas. X2 ≥ 0 . W y 60 unidades de vitamina W ades de W y 6 DISPONIBILIDAD 30 50 60 .ere minimizar iones vitamínicas. Hace esto para obtener una solución que tiene lo que considera una combinación apropiada de fosfatos y cloruro. del cloruro para la solución FO (costo): min Z = 25 X1 + 20 X2 Sujeto a: Contenido de fosfato Contenido de cloruro Proporción requerida 5 X1 + 7 X2 ≤ 6 2 X1 + 3 X2 ≤ 1. La compañía necesita que la mezcla final tenga no más del 6% de fosfato y 1. en onzas. y cuesta 25 centavos/onza. Formule el modelo de programación lineal. Un ingrediente tiene 5% de fosfatos y 2% de cloruro.CASO APLICATIVO 9 Supóngase que una compañía que da servicios de limpieza prepara sus propias soluciones mezclando dos ingredientes. cada ingrediente tiene la misma proporción. de fosfato para la solución X2: Cantidad. en onzas.5 X1 + X2 = 1 Condición de no negatividad: X1. X2 ≥ 0 2 7 1 1 20 . y cuesta 20 centavos/onza. SOLUCIÓN IngredienteS COMBINACIÓN 1 5 2 1 25 Fosfato Cloruro Proporcionalidad Costo total Variables de decisión Sean: X1: Cantidad.5% de cloruro. El otro ingrediente tiene 7% de fosfato y 1% de cloruro. 5 1 . DISPONIBILIDAD 6 1. % de cloruro.as soluciones que considera sma proporción. mientras que el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Con anterioridad. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible. en unidades. se han vendido bien dos modelos. X2 ≥ 0 . a producir de biombos II FO (costo): max Z = 120 X1 + 80 X2 Sujeto a: Disponibilidad de madera Disponibilidad de MO 2 X1 + X2 ≤ 6 7 X1 + 8 X2 ≤ 28 Condición de no negatividad: X1. durante las cuales fabricará biombos decorativos. a producir de biombos I X2: Cantidad. SOLUCIÓN Mueble COMPONENTE I 2 7 120 Madera MO Utilidad II 1 8 80 Variables de decisión Sean: X1: Cantidad.CASO APLICATIVO 10 Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles. respectivamente. de manera que se limitará a producir estos. Los precios de los modelos son USD 120 Y USD 80. Formule el modelo de programación lineal. en unidades. durante las dos modelos. unidades de ivamente. DISPONIBILIDAD 6 28 . de bombas tipo Extragrande que se debe producir por s FO (producción): max Z = 50 X1 + 75 X2 Sujeto a: Tiempo de ensamble: Tiempo de pintado: 3. Formule el modelo de programación lineal. Existen disponibles por semana 4.8 X2 ≤ 4800 1.CASO APLICATIVO 11 La fábrica ABC vende dos tipos de bombas hidráulicas: (1) normal y (2) extra grande. en unidades.8 La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50. pintura y prueba de las bombas se muestran en la siguiente tabla: TIPO Normal Extragrande Ensamble 3.6 4. Los requerimientos de recursos para ensamble. SOLUCIÓN TIPO Normal Extragrande Disponibilidad Ensamble 3.8 X2 ≤ 1980 .6 1.8 Tiempo Pintado 1.6 4.8 4800 Tiempo Pintado 1.6 X1 + 4.980 horas en tiempo de pintura y 900 horas en tiempo de prueba. 1.8 1980 Variables de decisión Sean: X1: Cantidad. de bombas tipo Normal que se debe producir por seman X2: Cantidad.6 X1 + 1. en unidades.6 1. en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es $75. pintura y pruebas de control de calidad. Las experiencias anteriores de renta señalan que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de los extra grandes por semana.800 horas en tiempo de ensamble. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres procesos: ensamblado. 6 X1 + 0. bombas normal Producción mínima. bombas extragrande 0.6 X2 ≤ 900 X1 ≥ 300 X2 ≥ 180 Condición de no negatividad: X1.Tiempo de prueba: Producción mínima. X2 ≥ 0 . El proceso sos: ensamblado.6 0.6 0.6 anto que la utilidad as en tiempo de Las experiencias nos 300 bombas Prueba 0. pintura Prueba 0. ensamble.6 900 producir por semana debe producir por semana UTILIDAD 50 75 .grande. . 500 X2 ≥ 10.CASO APLICATIVO 12 FINANZAS INVESTMENT CORP tiene $50. que se invierte en bonos tipo B FO (rentabilidad): max Z = 0.000 de un fondo de pensiones. en dólares. en dólares. SOLUCIÓN Variables de decisión Sean: X1: Cantidad. Por moti de liquidez no puede invertir más del 25% en bonos tipo A.000 Condición de no negatividad: X1.000. que se invierte en bonos tipo A X2: Cantidad. X2 ≥ 0 . Determinar un plan óptimo de inversiones.000 X1 ≤ 12. y lo mínimo a depositar en bonos tipo B es $10.10 X2 Sujeto a: Monto de dinero para invertir Monto de dinero para invertir en bonos tipo A Monto de dinero para invertir en bonos tipo B X1 + X2 = 50. y desea invertir en: bonos tipo A y bonos tipo B que producen una rentabilidad de 6% y 10% anual respectivamente.000 X1 ≤ 25% * 50.06 X1 + 0. 000 .000 ≤ 25% * 50. Por motivos sitar en bonos tipo B X2 = 50.ea invertir en: bonos ctivamente. Producto Recurso Utilidad Precio Costo A B … . Disponibilidad .